整体分析及总体刚度矩阵的性质

[ ]
局部码 总码
j1
1
m 1 , j2 , i 3 2
i1 , m 3 , j4 3
m2
4
i 2 , j3 , m 4 5
i4
6
j1 m1 j2 i3 i1
1
[ K jj ] (1)
[ K jm ] (1)
[ K ji ] (1)
[ K mm ] (1) 2
+ [ K jj ]
+ [ K ii ]
(2) (3)
[ K mi ] (1) + [ K im ] ( 3 ) [ K ii ] (1) + [ K mm ] ( 3 ) + [ K jj ] ( 4 )
[ K jm ] ( 2 )
[ K ji ] ( 2 )
+ [ K ij ] ( 3 )
[ K mj ] ( 3 ) + [ K jm ] ( 4 ) [ K ji ] ( 4 )
整体分析 及总体刚度矩阵的性质
整体分析
单元分析得出单元刚度矩阵，下面， 单元分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组 合成结构，进行整体分析。 合成结构，进行整体分析。
1
Py1
a
①
2
Py 3
3
Px2
a
Px3
③ ②
4 5
④
6
图示结构的网格共有四 个单元和六个节点。 个单元和六个节点。在节 点1、4、6共有四个支杆支 承。结构的载荷已经转移 为结点载荷。 为结点载荷。 整体分析的四个步骤： 整体分析的四个步骤： 建立整体刚度矩阵； 1、建立整体刚度矩阵； 2、根据支承条件修改整体 刚度矩阵； 刚度矩阵； 解方程组，求节点位移； 3、解方程组，求节点位移； 根据节点位移求出应力。 4、根据节点位移求出应力。
[ ]
整体分析
2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。 根据支承条件修改整体刚度矩阵。 建立整体刚度矩阵时， 点的位移当作未知量看待， 建立整体刚度矩阵时，每个节点的位移当作未知量看待，没有
考虑具体的支承情况， 考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以 处理。 处理。 在上图的结构中，支承条件共有四个， 在上图的结构中，支承条件共有四个，即在节点1、4、6的四 个支杆处相应位移已知为零： 个支杆处相应位移已知为零：
∑{ F } = { R }
e i i e
i=1,...6
[ K ]{δ } = {R}
整体刚度矩阵的形式
整体平衡方程： 整体平衡方程：
[ K ]{δ } = {R}
ɶ ɶ ɶ ɶ + K + K + K = ∑K
1）其中[K]为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度矩 其中[K]为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度矩 [K] 阵： (1) (2) (3) (4) (e)
u1 = 0， 4 = 0， 4 = 0， 6 = 0 u v v
点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。 建立节点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。
3、解方程组，求出节点位移。 解方程组，求出节点位移。
通常采用消元法和迭代法两种方法。 通常采用消元法和迭代法两种方法。
4、根据节点位移求出应力。 根据节点位移求出应力。
[]
[ ]
[]
整体刚度矩阵的形式
1
j1
a
①
2 m1
i1
j2
a 4
i3
②
m3
3
③
j4
④
m2
i2
j3
5
m4
i4
6
结构中的节点编码称为 节点的总码， 节点的总码，各个单元的三 个节点又按逆时针方向编为 i,j,m,称为节点的局部码 称为节点的局部码。 i,j,m,称为节点的局部码。 单元刚度矩阵中的子块 是按节点的局部码排列的， 是按节点的局部码排列的， 而结构刚度矩阵中的子块是 按节点的总码排列的。因此， 按节点的总码排列的。因此， 在单元刚度矩阵中， 在单元刚度矩阵中，把节点 的局部码换成总码， 的局部码换成总码，并把其 中的子块按照总码次序重新 排列。 排列。
m3 3 j4
m2 4
[ K mm ] ( 2 )
[ K mi ] ( 2 ) [ K ii ] ( 2 )
i2 j3 m4
i4
5
+ [ K jj ] ( 3 )
[ K mi ] ( 4 )
+ [ K mm ] ( 4 ) 6 [ K ii ] ( 4 )
2. 整体刚度矩阵的特点
在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的， 在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在 解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。 解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体 刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。 刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。 1、对称性。 对称性。 只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。 只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。 2、稀疏性。 稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。
整体刚度矩阵的形式
• 用同样的方法可得出其他单 e {F } 元的扩大的单元刚度方程: 元的扩大的单元刚度方程: 1 {δ1} e {F2 } {δ 2 } {F3e } ɶ ( e ) {δ 3 } e=1,2,...4 e = K {δ 4 } {F4 } e {δ 5 } { F5 } {δ 6 } e F6 } { • 据节点力平衡，各个单元相 据节点力平衡， 应节点力叠加： 应节点力叠加： • 整理可得，整体平衡方程： 整理可得，整体平衡方程：
a
a
整体分析
1、建立整体刚度矩阵(也叫作结构刚度矩阵) 建立整体刚度矩阵(也叫作结构刚度矩阵) 上图中的结构有六个节点，共有12个节点位移分量和12 12个节点位移分量和 上图中的结构有六个节点，共有12个节点位移分量和12 个节点力分量。由结构的节点位移向量求结构的节点力向量时， 个节点力分量。由结构的节点位移向量求结构的节点力向量时， 转换关系为： 转换关系为： { F} = [ K]{δ} 分块形式为： 分块形式为： { F 1} K11 K12 K13 K14 K15 K16 {δ1} F 2} K21 K22 K23 K24 K25 K26 {δ2} { { F 3} K31 K32 K33 K34 K35 K36 {δ3} = F 4} K41 K42 K43 K44 K45 K46 {δ4} { { F } K51 K52 K53 K54 K55 K56 {δ5} 5 { F 6} K61 K62 K63 K64 K65 K66 {δ6} 都是二阶向量， 其中子向量 {δi } 和 { F} 都是二阶向量，子矩阵 Kij i 是二行二列矩阵。整体刚度矩阵[K] 12*12阶矩阵 [K]是 阶矩阵。 是二行二列矩阵。整体刚度矩阵[K]是12*12阶矩阵。
整体刚度矩阵的特点
2、稀疏性。 稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。 节点5只与周围的六个节点 节点5 (2、 9)用三角形 (2、3、4、6、8、9)用三角形 单元相连，它们是5 单元相连，它们是5的相关节 点。只有当这七个相关节点产 生位移时， 生位移时，才使该节点产生节 点力，其余节点发生位移时并 点力， 不在该节点处引起节点力。 不在该节点处引起节点力。因 在矩阵[K] [K]中 此，在矩阵[K]中，第5行的非 零子块只有七个( 零子块只有七个(即与相关节 点对应的七个子块) 点对应的七个子块)。
整体刚度矩阵的形式 e 整体刚度矩阵 [ K]是单元刚度矩阵 [ k] 的集成。 的集成。
1、刚度集成法的物理概念： 刚度集成法的物理概念： 刚度矩阵中的元素，即由节点作单位位移时引起的节点力。 刚度矩阵中的元素，即由节点作单位位移时引起的节点力。 e e kij j节点单位位移，其他节点位移为 k 表示j 在单元刚阵 中， 表示 节点单位位移， 零时，单元e 节点引起的节点力；类似，在整体刚阵中， 零时，单元e在i节点引起的节点力；类似，在整体刚阵中， kij 表示j节点单位位移，其他节点位移为零时，整体结构在i 表示j节点单位位移，其他节点位移为零时，整体结构在i节点 引起的节点力（由于结构已被离散为一系列单元，即所有与i 引起的节点力（由于结构已被离散为一系列单元，即所有与i、 节点相关的单元在i节点引起的节点力之和）。 j节点相关的单元在i节点引起的节点力之和）。 如上图结构， 与节点2 如上图结构，计算 k23 时，与节点2和3相关的单元有单元 当节点3发生单位位移时，相关单元① ①和③，当节点3发生单位位移时，相关单元①和③同时在节点 引起节点力，将相关单元在节点2的节点力相加， 2引起节点力，将相关单元在节点2的节点力相加，就得出结构 1 3 k23 = k23 + k23 。由此看出，结构的刚度 在节点2 由此看出， 在节点2的节点力 系数是相关单元的刚度系数的集成， 系数是相关单元的刚度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是 相关单元的对应子块的集成。 相关单元的对应子块的集成。
1 i 2 i n i i
3
2）整体离散结构各节点应满足平 衡条件。 衡条件。即环绕每个节点的所有单 元作用其上的节点力之和应等于作 用于该节点上的节点载荷Ri Ri， 用于该节点上的节点载荷Ri，
1 ③ ④ 2 i ① ②
4 Ri
{Fi e } = {Ri } ∑
e
3
整体刚度矩阵的形式
• 2、整体刚度矩阵的集成方法 • 具体集成方法是：先对每个单元求出单元刚度矩 具体集成方法是： e 阵 k ，然后将其中的每个子块 kij 送到结构刚 度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构 度矩阵中的对应位置上去， 刚度矩阵[K]的子块，从而得出结构刚度矩阵[K] [K]的子块 e [K]。 刚度矩阵[K]的子块，从而得出结构刚度矩阵[K]。 • 关键是如何找出 k 中的子块在[K]中的对应位置。 中的子块在[K]中的对应位置。 [K]中的对应位置 这需要了解单元中的节点编码与结构中的节点编码之 间的对应关系。 间的对应关系。
[]
整体刚度矩阵的形式
2、刚度矩阵的集成规则： 刚度矩阵的集成规则： 在整体离散结构变形后， 1）在整体离散结构变形后，应保 证各单元在节点处仍然协调地相互 连接， 连接，即在该节点处所有单元在该 节点上有相同位移， 节点上有相同位移，
1 ③ ④ 2 i ① ② 4
{δ } = {δ } = ⋯ = {δ } = {δ }
ɶ [ K] = K
集成包含搬家和迭加两个环节： 集成包含搬家和迭加两个环节： e 中的子块搬家， A、将单元刚度矩阵 K 中的子块搬家，得出单元的扩 ɶ e 大刚度矩阵 K 。 ɶ e 迭加， K 迭加，得出结构刚度 B、将各单元的扩大刚度矩阵 矩阵[K] [K]。 矩阵[K]。 T T δ } = {{δ1} ⋯ {δ n }} 为节点载荷向量， 2） { R} = {{R1} ⋯ {Rn }} 为节点载荷向量，{ 为节点位移向量。 为节点位移向量。
a
a
整体刚度矩阵的形式
以单元②为例，局部码i,j,m对应于总码5,2,4，因此 k 以单元②为例，局部码i,j,m对应于总码5,2,4， i,j,m对应于总码5,2,4 ɶ (2) 为： 子块按照总码重新排列后， 子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵 K 局部码 j2 m2 i2 而相应的单元刚度 总码 1 2 3 4 5 6 方程为（ 方程为（或节点力表 达式）： 达式）： 1
j2
[]
(2)
2 3
[ K jj ]( 2 )
[ K jm ]( 2 ) [ K ji ]( 2 )
m2 4
[ K mj ]( 2 )
[ K ij ]( 2 )
[ K mm ]( 2 )[ K mi ]( 2 )
[ K im ]( 2 ) [ K ii ]( 2 )
5
i2
wenku.baidu.com
6
{0} {δ1} 2 { F2 } {δ 2 } {0} ɶ (2) {δ 3 } 2 = K F4 } δ 4 } { { 2 {δ 5 } F5 } { {δ 6 } {0}