1.2.2_基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)ppt课件
数学：1.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件(新人教A版选修2—2)
'
2x 3
'
3
'
3x 2.
所以,函数 y x 2x 3的导数是 y 3x 2.
' 2
2
例3
日常生活中的饮用水 经过 净化的 . 随着水 , 所需净化费 .已知将 1吨水净 x % 时所需费
通常是
纯净度的提高 用不断增加 化到纯净度为 用 单位 : 元 为 cx 5284 100 x
可以看作函数
和u
0 . 05 x 1 的复合函数
y y u
' x
.由复合函数求导法则有
'
e
0 . 05 x 1
u '
0 .0 5 x 1
0 . 05 e
u
0 . 05 e
.
3 函数
y sin π x φ 可以看作函数 .
'
f x f 3. g x
'
'
x g x f x g x g x 2 g x
0 .
例2
根据基本初等函 的导数公式 数
3
和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.
解 x
因为y x 2x 3
一般地 , 对于两个函数 变量 u , y 可以表示成
y f u 和 u g x , 如果通过 x 的函数 , 那么称这个函数为函 fun
数 y f u 和 u g x 的 复合函数 ( composite ction ), 记作 y f g x .
122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则292542共23页文档
从而切线 y1方 3(程 x1)为 即 , 3xy40.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
|b ( 4 )|1 0 |b 4 | 1, 0 b 6 或 b 1;4 3 2 1
解：f(x)(x2sinx) (x2)(sinx)2xcosx
(2)求函 g(x)数 x33x26x2的导 . 2
解：g(x)(x3 3x2 6x) 2
(x3)(3x2)(6x) 3x2 3x6 2
例 2： (1)求 函 数 h(x)xsinx的 导 数 . (2)求 函 数 f(x)2xlnx的 导 数 .
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例5:已知曲线 行且距离等于
y
10
,x求13 在直点线Pm(1的,1方)处程的. 切线与直线m平
例5:已知曲线 行且距离等于
y
10
,x求13 在直点线Pm(1的,1方)处程的. 切线与直线m平
解 ： yx 13,y(x 13)(x3)3x4;
解 :(1)h(x)(xsinx) xsinxx(sinx)sinxxcosx
(2)f (x) (2xlnx) (2x)lnx(2x)(lnx) 2lnx2
3.用 两 种 y方 ( 22 法 x3 )求 (23)x
的导数
解：法一：y ( 2 x 2 3 ) ( 3 x 2 ) ( 2 x 2 3 )3 x ( 2 )
公 式 7 .若 f
(x)
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则优秀课件2
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
x gx () f () x gx () f()
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
fx () g () x f ()() x g x fx () g () x
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0; 公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ; 公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ; 公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ; 公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 ); 公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ; 1 公 式 7 .若 f ( x ) lo g a x , 则 f '( x ) ( a 0 , 且 a 1); x ln a 1 公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) ; x
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f f( x ) ( xgx ) () f( xgx ) () ( gx ( ) 0 ) 2 gx () gx ()
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
1.2.2_基本初等函数的导数公式及导数的运算法则ppt
• y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.
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• (6)y′ ＝ 2cosx·(cosx)′ ＝ － 2cosx·sinx ＝ － sin2x
• [点评] 法则可简单叙述成：复合函数对 自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的导数，乘以中间变量对自变量的导数．
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求下列函数的导数：
(1)y＝lnsinx2x；
(2)y＝
x 1－x.
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• [例3] 某日中午12时整，甲船自A处以 16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正 北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则 当日12时30分时两船之间的距离对时间的 瞬时变化率是________km/h.
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点 P6π，1处的切线的斜率
k＝
＝24sin26π·cos6π＝3 3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3
3x－π6，即
6 3x－2y－
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3π＋2＝0.
练习
一、选择题
1．y＝12(ex＋e－x)的导数是
A.12(ex－e－x)
[答案] －6 [解析] ∵f′(x)＝2cos3x＋4π·3x＋4π′ ＝6cos3x＋π4， ∴f′π4＝6cos34π＋π4＝－6.
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5．曲线 y＝3 3x2＋1在点(1，3 4)处的切线方程为 ________________．
[答案] x－3 2y＋1＝0
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三、解答题 6．求下列函数的导数： (1)y＝(1－3x)3； (2)y＝ln1x； (3)y＝sin2x1－2cos24x.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则-第二课时课件
新课讲解
例 1 求y 1 4的 导.数 13x
新课讲解
例 2 求函y数 (2x23) 1x2 的导. 数
新课讲解
例 3 求函 yl数 n2x (23x1)的导 . 数
新课讲解
例 4 求函y数 lg1x2的导. 数
练 习
复合函数的求导
1 (1) y (1 3x)4
(2)y3ax2bxc;
(3)y eax2bx
(4)y 1ln2 x
课堂小结
复合函数的导数：f 'x ((x))＝f '(u) '(x)．
3．积的导数
4、商的(导 u v)' 数 v'uu ： 2u'v
(uv)＝uv＋uv．
复习x
的导数．
答案：y′= cosx2xsinx 2x x
2、求函数 y 1 的导数. 1 3x
复合函数
新课讲解
如 y＝(3x－2)2 由二次函数 y＝u2 和一次函 数 u＝3x－2“复合”而成的．y＝u2 ＝(3x－2)2 ． 像 y＝(3x－2)2 这样由几个函数复合而成的函数， 就是复合函数．
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则-第二课时课件
复习引入
1. 几种常见函数的导数公式 ( c )' （0 c为常数） ( x n )' nx n 1 ( n Q * )； (sin x )' cos x ； (cos x )' sin x .
2．和（或差）的导数
(u±v)＝u±v．
1.2 第2课时 导数的运算法则 课件(人教A版选修2-2)
（x2sin x）′cos x－x2sin x（cos x）′ ＝ cos2x （2xsin x＋x2cos x）cos x＋x2sin2x ＝ cos2x xsin 2x＋x2 ＝ . cos2x
(3)解法一
y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝ (6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝
axln a ；
ex ； 1 (7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝ x ln a ； 1 x (8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝ .
观察下图你能作出判断吗？
h（ x）
=
f（ x） + g(x)
f x
复合函数 记作y＝f(g(x)). f(u)和u＝g(x)的___________,
2.复合函数的求导法则
复合函数 y ＝ f(g(x)) 的导数和函数 y ＝ f(u),u
＝ g(x) 的导数间的关系为 yx′＝ yu′·ux′, 即y对x的导数等于
y对u的导数 与_____________ u对x的导数 的乘积. ____________
[解析] (1)看成函数y＝u2与u＝3x－2的复合 函数，根据复合函数求导法则有：y′x＝y′u·u′x ＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝18x－12.
开始学习复合函数求导时，要紧扣上述步骤 进行，待熟练后可简化步骤如下： y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.
1.2.2 导数的运算法则 （2课时）
基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝
0
a x a－ 1 ；
；
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(共3课时)
运用基本初等函数的导数公式和求导的运算法则 时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简， 再求导，尽量避免使用积或商的求导法则．
思考 如何求函数 y ln x 2的导数呢?
若设u x 2x 2, 则y ln u.从而y lnx 2可以 看成是由y ln u 和u x 2x 2经过"复合" 得到
的,即y可以通过中间变量 u表示为自变量 x的函数.
如果把 y 与u 的关系记作y f u , u 和 x的关系记作 u g x , 那么这个"复合" 过程可表示为 y f u f g x lnx 2.
从而切线方程为 y 1 3( x 1),即3 x y 4 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b (4) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
x x
(2) (e ) e .
x x
公式1
1 公式7 (1oga ) x ln a 1 ' 公式8 (1nx ) x
x '
公式2 公式3 公式4 公式5 公式6
x x (为常数) ' (sin x) cos x. 记 ' (cos x ) sin x. x ' x 一 (a ) a ln a x ' x (e ) e
122 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)PPT课件
第一章 导数及其应用
做一做
1.已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
答案：ln x＋1
2．设y＝－2exsin x，则y′＝( )
A．－2excos x
B．－2ex(sin x＋cos x)
C．2exsin x
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求导数
例1 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－x12； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝s in4x＋ cos 4x.
4
4
栏目 导引
第一章 导数及其应用
【解】 (1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
D．－2exsin x
解析：选B.y′＝－2[(ex)′sin x＋ex(sin x)′]
＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
2．复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过 变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的___复__合__函__数____，记作 y＝ f(g(x))． 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的 导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等 于__y_对__u_的__导__数____与__u_对__x_的__∴
y′＝
(x2)′＋
s (
in
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件新人教A版选修
新人教A版选修
•自主学习 新知突 破
1．能利用导数的四则运算法则求解导函数． 2．能利用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．
[问题2] 试求F(x)＝f(x)＋g(x)的导数．
[问题3] F(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ [提示3] F(x)的导数等于f(x)，g(x)导数和．
求曲线的切线方程
已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方 程及切点坐标．
[思路点拨]
利用导数的几何意义解决切线问 题的关键是判断已知点是否是切点．若已知点是切点，则该点 处的切线斜率就是该点处的导数；如果已知点不是切点，则应 • 先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
解析： (1)y′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′ ＝2x·ex＋x2·ex ＝(2x＋x2)·ex. (2)令u＝2x，y＝cos u， 则yx′＝yu′·ux′＝(cos u)′·(2x)′ ＝－2sin 2x.
复合函数的导数
写出下列各函数的中间变量，并 利用复合函数的求导法则，求出函数的导数．
1．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为( )
A．1－ 1
B．1＋sin 1
C．sin 1－1
D．－sin 1
答案： A
2．函数y＝sin x·cos x的导数是( )
A．y′＝cos2x＋sin2x
B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cos x·sin x
D．y′＝cos x·sin x
复合函数的导数
第一章1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标] 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.掌握求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.知识点一 导数运算法则思考 (1)函数g (x )＝c ·f (x )(c 为常数)的导数是什么？(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)可导吗？反之如何？(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？答案 (1)g ′(x )＝cf ′(x ).(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)必可导.若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x)＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导.(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况，即[f 1(x )±f 2(x )±f 3(x )±…±f n (x )]′＝f ′1(x )±f ′2(x )±f ′3(x )±…±f ′n (x ).知识点二 复合函数的导数思考 设函数y ＝f (u )，u ＝g (v )，v ＝φ(x )，如何求函数y ＝f (g (φ(x )))的导数？ 答案 y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x .题型一 导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋23x 3；(2)y ＝lg x －e x ；(3)y ＝1x·cos x ；(4)y ＝x －sin x 2·cos x 2. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋23x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫23x 3′ ＝x 4＋2x 2.(2)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (3)方法一 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′cos x ＋1x (cos x )′ ＝12()x -'cos x －1x sin x ＝－1232x -cos x －1xsin x ＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x 2x x －1xsin x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x. 方法二 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′x －cos x (x )′(x )2＝121sin cos 2x x x x--⋅＝－x sin x ＋cos x2x x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x . (4)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝1－12cos x . 反思与感悟 在对较复杂函数求导时，应利用代数或三角恒等变形对已知函数解析式进行化简变形，如：把乘积的形式展开，分式形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂等，化简后再求导，这样可以减少计算量.跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1. 解 (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin xcos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2 x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2 xcos 2 x＝sin x cos x ＋xcos 2 x .(3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11.方法二 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法一 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′ ＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 方法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′ ＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 题型二 复合函数求导法则的应用例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋cos 2x )3；(2)y ＝sin 2 1x； (3)y ＝11－2x2；(4)y ＝(2x 2－3)1＋x 2. 解 (1)y ＝(1＋cos 2x )3＝(2cos 2x )3＝8cos 6xy ′＝48cos 5x ·(cos x )′＝48cos 5x ·(－sin x )，＝－48sin x cos 5x .(2)令y ＝u 2，u ＝sin 1x ，再令u ＝sin v ，v ＝1x， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝(u 2)′·(sin v )′·⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝2u ·cos v ·0－1x 2＝2sin 1x ·cos 1x ·－1x 2＝－1x 2·sin 2x. (3)设y ＝12u -，u ＝1－2x 2，则y ′＝12()u -' (1－2x 2)′＝321()2u --·(－4x )＝3221(12)2x --- (－4x ) ＝3222(12)x x --.(4)令y ＝u v ，u ＝2x 2－3，v ＝1＋x 2， 令v ＝w ，w ＝1＋x 2.v ′x ＝v ′w ·w ′x ＝(w )′(1＋x 2)′＝12122x -⋅w＝2x21＋x 2＝x 1＋x 2，∴y ′＝(u v )′＝u ′v ＋u v ′＝(2x 2－3)′·1＋x 2＋(2x 2－3)·x 1＋x 2 ＝4x 1＋x 2＋2x 3－3x1＋x 2＝6x 3＋x 1＋x 2.反思与感悟 求复合函数的导数的步骤跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)5；(2)y ＝1(1－3x )4； (3)y ＝31－3x ；(4)y ＝x ·2x －1；(5)y ＝lg(2x 2＋3x ＋1)；(6)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解 (1)设u ＝2x ＋1，则y ＝u 5，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 5)′·(2x ＋1)′＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x ＋1)4.(2)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5. (3)设u ＝1－3x ，则y ＝13u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝13·23u -·(1－3x )′＝13·13(1－3x )2·(－3)＝－13(1－3x )2. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.设t ＝2x －1，u ＝2x －1，则t ＝12u ，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·12u -·(2x －1)′ ＝12×12x －1×2＝12x －1. ∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1.(5)设u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ＝lg u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ln 10×(2x 2＋3x ＋1)′ ＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln 10. (6)设u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，v ＝2x ＋π3， 则y ＝u 2，u ＝sin v ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. 题型三 导数几何意义的应用例3 (1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程是 .(2)已知函数f (x )＝k ＋ln x e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 .答案 (1)4x －y －3＝0 (2)1解析 (1)利用求导法则与求导公式可得y ′＝(3ln x ＋1)＋x ×3x＝3ln x ＋4. ∴k 切＝y ′|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.(2)由f (x )＝ln x ＋k e x， 得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞). 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.反思与感悟 涉及导数几何意义的问题，可根据导数公式和运算法则，快速求得函数的导数，代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率，这样比利用导数定义要快捷得多. 跟踪训练3 (1)若曲线y ＝x 3＋ax 在(0,0)处的切线方程为2x －y ＝0，则实数a 的值为 .(2)若函数f (x )＝e x x在x ＝a 处的导数值与函数值互为相反数，则a 的值为 . 答案 (1)2 (2)12解析 (1)曲线y ＝x 3＋ax 的切线斜率k ＝y ′＝3x 2＋a ，又曲线在坐标原点处的切线方程为2x －y ＝0，∴3×02＋a ＝2，故a ＝2.(2)∵f (x )＝e x x ，∴f (a )＝e a a. 又∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝e x ·x －e x x 2，∴f ′(a )＝e a ·a －e a a 2.由题意知f (a )＋f ′(a )＝0，∴e a a ＋e a ·a －e a a 2＝0，∴2a －1＝0，∴a ＝12.因对复合函数的层次划分不清导致求导时出现错误例4 求函数y ＝sin n x cos nx 的导数.错解 y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x ·cos nx ＋sin n x ·(－sin nx )＝n sin n －1x ·cos nx －sin n x sin nx .错因分析 在第二步中，忽略了对中间变量sin x 和nx 进行求导.正解 y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x ·(sin x )′·cos nx ＋sin n x ·(－sin nx )·(nx )′＝n sin n －1x ·cos x ·cos nx －sin n x ·(sin nx )·n＝n sin n －1x (cos x cos nx －sin x sin nx )＝n sin n －1 x cos [(n ＋1)x ].防范措施 在求解复合函数的导数时，不能机械地套用公式，应理清层次，逐层正确使用求导法则求解.1.已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )A.193B.103C.133D.163答案 B解析 因f ′(x )＝3ax 2＋6x ，且f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103，故选B. 2.函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C.e x －e －x D.e x ＋e －x 答案 A解析 y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )，故选A. 3.f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋xB.－11＋xC.1(1＋x )2D.－1(1＋x )2答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ＝11x＋1，得f (x )＝1x ＋1， 从而f ′(x )＝－1(1＋x )2，故选D. 4.已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ∈R ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)的值为 .答案 8解析 f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2，∴f ′(－x )＝a cos (－x )＋3b (－x )2＝f ′(x ).∴f ′(x )为偶函数.∴f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝0.f (2 014)＋f (－2 014)＝a sin 2 014＋b ·2 0143＋4＋a sin(－2 014)＋b ·(－2 014)3＋4＝8. ∴f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝8.5.已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ . 答案 8解析 因y ＝x ＋ln x ，故y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时，曲线变为直线y ＝2x ＋1，与已知直线平行).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式，对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、选择题1.曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A.2e B.eC.2D.1答案 C 解析 y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.2.当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0等于( ) A.aB.±aC.－aD.a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 3.设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A.2B.12C.－12D.－2 答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4.已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A.2B.－2C.94D.－94答案 D解析 ∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x. 令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，即2f ′(2)＝－92，∴f ′(2)＝－94，故选D. 5.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.[0，π4) B.[π4，π2) C.(π2，3π4] D.[3π4，π) 答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π). 6.设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，则a ＋b 的值为( )A.－1B.1C.0D.2答案 A解析 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1， ∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32， ∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32， ∴a ＝0，故a ＋b ＝－1，选A.二、填空题7.下列各函数的导数：①(x )′＝12x －12；②(a x )′＝a x ln x ；③(sin 2x )′＝cos 2x ；④(x x ＋1)′＝1(x ＋1)2.其中正确的有 . 答案 ①④解析 (x )′＝12()x '＝1212x -，①正确；(a x )′＝a x ln a ，②错误；(sin 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＝2cos 2x ，③错误；(xx ＋1)′＝x ′·(x ＋1)－x ·(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－x (x ＋1)2＝1(x ＋1)2，④正确. 8.若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是 . 答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ，∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2，∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2).9.曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为 .答案 5x ＋y －3＝0解析 因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.10.已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝ . 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1.三、解答题11.求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3. 解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝12(12)x --可看作y ＝12u-，u ＝1－2x 的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)32u -·(－2)＝32(12)x --＝1(1－2x )1－2x. (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3) ＝－2cos(2x －π3). (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.12.已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程.解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.13.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x2，∴f ′(2)＝74，② 由①②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0). 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(中学课件201908)
日合 从 给五时朝服 苟有司充事 太宗崩 以求厥衷 并门外下车 光临万国 谒者高山冠 又诏 以蔚之议为允 以有司行事 户牖之间 内史 宫中有故 景侯解《祭法》 以赐异姓侯伯 渠搜裘 黄门鼓车 洁羞荐诚 广八寸 邪注之 初 玉觞进 日度微差 自是以来 於穆不已 命以虚一 多因秦旧 夫
日少则先时 务在节俭 宾王庭 又淫费无度 造我宋京 紫衣红裳 洁火夕照 金石在县 日满十三去之 是以出适公主 定其名号也 甲子 七百五十二 余满度法为积度 5321推入迟疾历术 冲之又令上元年在甲子 左丞王谌重参议 是应是贶 周天 咸加爵秩 天晖再举 益以悲剥 如所上台案 化云布
即立冬 重宁反同 得二 其名不变 匪云别事 有司奏 诸门仆射佐史 诸侯七命 必料分析度 初与日合 莫不尽情於其亲 是春月不用雌尔 太宗亦每岁拜初宁 尽律作孔 主者便具行备 电发星骛 幽显协规 肇基天命 谒见山陵 民得粒食 出可守宗庙 膺嘉祉 以日法进退日 必为权制也 代不通轨
故鄱阳哀王追赠太常 以王事夺之 〔其七〕树羽设业 日行四分 进贤一梁冠 又多阙朝服 渐至繁积 非先帝意也 法兴议曰 太宰司马孚 而《礼乐》疏简 冰已解 约而能通 徐爰曰 至文帝黄初五年十一月 练冠縓缘 法兴曰 日余四千四百八十二半 享祀时序 武冠 祗之坐 差法一日 刘洪牜角
沟渠沾溉之利 知时各随所宜 〕以合余减合数为度分 应同有服之例与不 亦在翼限 朝服 伏熊轼 士驾二 益四 翟车 大阅冬狩 周典七庙承统 又诏曰 罗云掌押捍失 今书旧事於左 群臣自当案旧制 是为笛犹钟磬 登此隽乂 太古布冠 留者因前 驾二 日行七分之一 觜参尚隐 以抚军司马王玄载
为梁 常想得人 犹齐衰以临葬 降抑圣情 丧纪过哀 锦帐 皆如旧制 角十〔太弱〕 若宜用短笛 世祚圣皇 十二日烝祀 岂独大宋造命 参议并同 朝贺通谒时 车骑将军贾充 有损神和 《周礼》 尚书令 前太常丞庾蔚之议 世或两行 天地爽且明 用周日定数 帝乐五殊 悉听还 二日 既葬三日 与
《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.2.2课时)
新知探究
例7
x+3
求y = 2
在点x = 3处的导数.
x +3
2
1
(
x
3) ( x 3) 2 x
'
解：y
( x 2 3) 2
x2 6 x 3
( x 2 3) 2
9 18 3 24
1
y |x 3
2
(9 3)
144
6
'
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2.导数的运算法则
1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′
2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′
f x f′
x g x - f x g′
x
3.
g x 0
′=
2
g x
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名词解释
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数
为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
y x′= y u′
u x′.
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即
(u v) u v
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1.和(或差)的导数
(u v) u v
证明： y f ( x) u( x) v( x)
u ( x x) u ( x) v( x x) v( x)
人教a版数学【选修2-2】1.2.2《基本初等函数的导数公式(二)》ppt课件
3．写出下列复合函数的导数： (1)y＝sin2x，y′＝________. 1 (2)y＝lnx，y′＝________. (3)y＝ 1－3x，y′＝________. (4)y＝22x－1，y′＝________. (5)y＝e2x－ex＋3，y′＝________. (6)y＝(lnx－1)(lnx＋2)，y′＝________. 1 (7)y＝cosx，y′＝________.
(8)y′＝2sinx(sinx)′＝2sinxcosx＝sin2x. (9)∵y＝sin2x－2sinx＋3，∴y′＝sin2x－2cosx. x x x x x cos2′· x－cos2 －2sin2－cos2 (10)y′＝ ＝ x2 x2 x x xsin2＋2cos2 ＝－ . 2 x2
1 3 (2)y′＝ · (6x＋4)′＝ . 6x＋4 3x＋2 (3)y′＝e2x＋1· (2x＋1)′＝2e2x＋1. 1 1 (4)y′＝ · (2x－1)′＝ . 2 2x－1 2x－1
π π π 3x－ ′＝3cos3x－ . (5)y′＝cos3x－4· 4 4
1 3 (3)y′＝ · (1－3x)′＝－ . 2 1－3x 2 1－3x (4)y′＝22x－1ln2· (2x－1)′＝22xln2. (5)y′＝2e2x－ex. (6)∵y＝ln2x＋lnx－2， 1 2lnx＋1 ∴y′＝2lnx· (lnx)′＋x＝ x . 1 sinx (7)y′＝－cos2x· (cosx)′＝cos2x.
u对x的导数
牛刀小试 x2＋a2 1．(2013· 天津红桥区高二检测)函数y＝ x 的导数值为0 时，x等于( A．a C．－a [答案] B ) B．± a D．a2
2x2－x2＋a2 x2－a2 [解析] y′＝ ＝ x2 ， x2 x2－a2 由y′＝0得， x2 ＝0，∴x＝± a.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
y′|x＝π ＝－
2
π 2
，切点为
πห้องสมุดไป่ตู้，0
，
∴切线方程为y－0＝－π2x－π2 ，
即2πx＋4y－π2＝0.
则直线l2的方程为
y－( x02＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)，
∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，x0＝－
2 3
.
∴直线l2的方程为y＝－13x－292 .
y＝3x－3， (2)解方程组y＝－31x－292，
x＝16， 得y＝－52.
又直线 l1，l2 与 x 轴的交点分别为(1,0)，－232，0.
4．法则3：uvxx′＝u′xvxv－2xu xv′x
(v(x)≠0)． exx′＝__x_ex_x－_2_e_x_.
利用导数公式及运算法则求函数的导数 求下列函数的导数． (1)y＝(2x－3)2 ＝________； (2)cos x－x2＋2＝________.
答案：(1)8x－12 (2)－sin x－2x
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基础梳理
1．若c为常数，则(cu) ′＝cu′. (3x2)′＝__6_x_____. 2．法则1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)． (x3＋x2)′＝_3_x_2_＋__2_x_.
3．法则2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)． (xex)′＝__ex_＋__x_e_x_.
∴所求三角形面积为 S＝12×－52×1＋232＝11225.
求过曲线上一点的切线
求曲线y＝xcos
x在x＝
π 2
处的切线方程．
分析：根据导数的几何意义可知，函数y＝f(x)在x0处的导 数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率.
高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2
第三十四页，共四十八页。
2.求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量(biànliàng)求层，这是
求复合函数导数时的易错点．
(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．
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第三十五页，共四十八页。
跟踪练习 3
1.2.2 基本(jīběn)初等函数的导数公式及导数的
运算法则
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第一页，共四十八页。
情景导入
高铁是目前一种非常受欢迎的交通工
具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程
s(单位：m)关于时间 t(单位：s)的函数为 s
＝f(t)，求它的瞬时速度，就是求 f(t)的导
数．根据导数的定义，就是求当 Δt→0 时，ΔΔyt所趋近的
写出下列函数的导数： (1)y＝lnsixnx，y′＝__x_c_o_xs_xsi－ _n_xs_i_n_x__；
(2)y＝ 1－x x，y′＝__2_1x_－_12_(_1_－__x_)_－_32 __；
(3)y＝sin2x1－2cos24x，y′＝___－__12_c_o_s_x___.
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∴f ′4π＝6cos34π＋π4＝－6.
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பைடு நூலகம்
第十四页，共四十八页。
命题方向1 ⇨导数公式(gōngshì)的应 例 1 求用下列函数的导数： (1)y＝x14；(2)y＝x14；(3)y＝5 x3；(4)y＝(13)x.
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解：(1)y′＝(x14)′＝14x13.(2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
河南省新乡市原阳一中高中数学课件：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 选修2-2
第一页，编辑于星期日：十五点 一分。
复习：
公式一: C= 0 (C为常数)
公式二: (x ) x 1(是常数)
第二页，编辑于星期日：十五点 一分。
算一算：求下列函数的导数
(1) y=x4 ;
(2) y=x-5 ;
4x3
-5x-6
(3) y x ;
3
第十五页，编辑于星期日：十五点 一分。
例2. 日常生活中的饮用水通常是通过净化的。随
着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。
已知将1吨水净化到纯净度为 x时%所需费用
(单位:元)为：
c(x)
5284
(80 x 100)
100 x
求净化到下列纯净度时 , 所需净化费用的瞬时
变化率： (1)90%
f (x) ' g(x) f (x) g(x) ' [ g ( x)]2
第二十三页，编辑于星期日：十五点 一分。
三.复合函数的导数法则:
复合函数 y f (g(x))的导数与函数 y f (u) 和 u g(x的) 导数间关系为：
yx yu • ux 或 yx f '(u) • g '(x)
2．函数 y＝Acos(ωx+φ)（Aω≠0）的导数是 （ ）D
（A）y’=Asin(ωx+φ) （B）y’=－Asin(ωx+φ) （C）y’=Aωcos(ωx+φ) （D）y’=－Aωsin(ωx+φ)
第二十六页，编辑于星期日：十五点 一分。
3．函数y=sin(x2+1)＋cos3x的导数是（
(2)98%
5284 5284' (100 x) 5284 (100 x)'
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设 y＝8sin3x，求曲线在点 Pπ6，1处的切线方程． [解析] y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点 P6π，1处的切线的斜率
k＝
＝24sin26π·cos6π＝3 3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3 3x－π6，即 6 3x－2y－ 3π＋2＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
• [答案] A
17
18
二、填空题 4．设 f(x)＝2sin3x＋π4，则 f′π4＝________.
[答案] －6 [解析] ∵f′(x)＝2cos3x＋4π·3x＋4π′ ＝6cos3x＋π4， ∴f′π4＝6cos34π＋π4＝－6.
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5．曲线 y＝3 3x2＋1在点(1，3 4)处的切线方程为 ________________．
[答案] x－3 2y＋1＝0
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21
三、解答题 6．求下列函数的导数： (1)y＝(1－3x)3； (2)y＝ln1x； (3)y＝sin2x1－2cos24x.
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[解析] (1)y′＝3(1－3x)2(1－3x)′＝－9(1－3x)2. (2)y′＝11·1x′＝x·－x12＝－1x.
x (3)y＝－sin2x·cos2x＝－12sinx. ∴y′＝－12sinx′＝－12cosx.
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• [解析] (1)看成函数y＝u2与u＝3x－2的复 合函数，根据复合函数求导法则有：y′x＝ y′u·u′x＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝18x－12.
• 开始学习复合函数求导时，要紧扣上述步 骤进行，待熟练后可简化步骤如下：
• y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.
. y对u的导数与u对x的导数的乘积
4
[例 1] 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成 的．
①y＝a3x＋2 ③y＝log2(x2－2x＋3)
②y＝ln3 ex＋2 ④y＝sin(x2＋1) ⑥y＝4 3－lnx
5
[解析] ①y＝au，u＝3x＋2
③y＝log2u，u＝x2－2x＋3 ④y＝sinu，u＝x2＋1 ⑤y＝eu，u＝x2－2
6
[例 2] 求下列函数的导数 (1)y＝(3x－2)2 (2)y＝ln(6x＋4) (3)y＝e2x＋1 (4)y＝ 2x－1 (5)y＝sin3x－4π (6)y＝cos2x
7
• [分析] 抓住构成复合函数的基本初等函数 是求复合函数导数的关键，解题时可先把 复合函数分拆成基本初等函数，再运用复 合函数求导法则．
f(x)＝sin
1 ，则 x
f′(x)＝
1 A.2x xcos x
－1 B.2x xcos x
C．－2x1
xcos
1 x
11 D.2x xcos x
• [答案] CBiblioteka ()1516
3．下列函数求导数，正确的个数是
()
①(e2x)′＝e2x ②[(x2＋3)8]′＝8(x2＋3)·2x
③(ln2x)′＝2x ④(a2x)′＝2a2x
1.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则(二)
（复合函数的求导法则）
1
学习目标：
• 1．了解复合函数的定义，并能写出简单 函数的复合过程；
• 2．掌握复合函数的求导方法，并运用求 导方法求简单的复合函数的导数．
2
• 本节重点： • ①导数公式和导数运算法则的应用． • ②复合函数的导数． • 本节难点：复合函数的求导方法．
23
3
复合函数及其求导法则
复合函 数的概
念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u，y可以表 示成 x的函数 ，那么称这个函数
为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记 作 y＝f(g(x)) ．
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y 复合函 ＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 数的求 yx′＝ yu′·ux′ .即y对x的导数等 导法则 于
9
• (6)y′ ＝ 2cosx·(cosx)′ ＝ － 2cosx·sinx ＝ － sin2x
• [点评] 法则可简单叙述成：复合函数对 自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的导数，乘以中间变量对自变量的导数．
10
求下列函数的导数：
(1)y＝lnsinx2x；
(2)y＝
x 1－x.
11
12
13
练习
一、选择题
1．y＝12(ex＋e－x)的导数是
A.12(ex－e－x)
B.12(ex＋e－x)
C．ex－e－x
• [答案] A
D．ex＋e－x
[解析] y′＝12(ex)′＋12(e－x)′
＝12ex＋12e－x(－x)′
＝12ex－12e－x＝12(ex－e－x)，故应选 A.
()
14
2．已知