1.2.2_基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)ppt课件
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• [解析] (1)看成函数y＝u2与u＝3x－2的复 合函数，根据复合函数求导法则有：y′x＝ y′u·u′x＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝18x－12.
• 开始学习复合函数求导时，要紧扣上述步 骤进行，待熟练后可简化步骤如下：
• y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.
6
[例 2] 求下列函数的导数 (1)y＝(3x－2)2 (2)y＝ln(6x＋4) (3)y＝e2x＋1 (4)y＝ 2x－1 (5)y＝sin3x－4π (6)y＝cos2x
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• [分析] 抓住构成复合函数的基本初等函数 是求复合函数导数的关键，解题时可先把 复合函数分拆成基本初等函数，再运用复 合函数求导法则．
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• (6)y′ ＝ 2cosx·(cosx)′ ＝ － 2cosx·sinx ＝ － sin2x
• [点评] 法则可简单叙述成：复合函数对 自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的导数，乘以中间变量对自变量的导数．
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求下列函数的导数：
(1)y＝lnsinx2x；
(2)y＝
x 1－x.
11
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. y对u的导数与u对x的导数的乘积
4
[例 1] 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成 的．
①y＝a3x＋2 ③y＝log2(x2－2x＋3)
②y＝ln3 ex＋2 ④y＝sin(x2＋1) ⑥y＝4 3－lnx
5
[解析] ①y＝au，u＝3x＋2
③y＝log2u，u＝x2－2x＋3 ④y＝sinu，u＝x2＋1 ⑤y＝eu，u＝x2－2
3
复合函数及其求导法则
复合函 数的概
念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u，y可以表 示成 x的函数 ，那么称这个函数
为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记 作 y＝f(g(x)) ．
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y 复合函 ＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 数的求 yx′＝ yu′·ux′ .即y对x的导数等 导法则 于
1.2.Fra Baidu bibliotek 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则(二)
（复合函数的求导法则）
1
学习目标：
• 1．了解复合函数的定义，并能写出简单 函数的复合过程；
• 2．掌握复合函数的求导方法，并运用求 导方法求简单的复合函数的导数．
2
• 本节重点： • ①导数公式和导数运算法则的应用． • ②复合函数的导数． • 本节难点：复合函数的求导方法．
A．0
B．1
C．2
D．3
• [答案] A
17
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二、填空题 4．设 f(x)＝2sin3x＋π4，则 f′π4＝________.
[答案] －6 [解析] ∵f′(x)＝2cos3x＋4π·3x＋4π′ ＝6cos3x＋π4， ∴f′π4＝6cos34π＋π4＝－6.
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5．曲线 y＝3 3x2＋1在点(1，3 4)处的切线方程为 ________________．
[答案] x－3 2y＋1＝0
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三、解答题 6．求下列函数的导数： (1)y＝(1－3x)3； (2)y＝ln1x； (3)y＝sin2x1－2cos24x.
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[解析] (1)y′＝3(1－3x)2(1－3x)′＝－9(1－3x)2. (2)y′＝11·1x′＝x·－x12＝－1x.
x (3)y＝－sin2x·cos2x＝－12sinx. ∴y′＝－12sinx′＝－12cosx.
f(x)＝sin
1 ，则 x
f′(x)＝
1 A.2x xcos x
－1 B.2x xcos x
C．－2x1
xcos
1 x
11 D.2x xcos x
• [答案] C
()
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3．下列函数求导数，正确的个数是
()
①(e2x)′＝e2x ②[(x2＋3)8]′＝8(x2＋3)·2x
③(ln2x)′＝2x ④(a2x)′＝2a2x
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练习
一、选择题
1．y＝12(ex＋e－x)的导数是
A.12(ex－e－x)
B.12(ex＋e－x)
C．ex－e－x
• [答案] A
D．ex＋e－x
[解析] y′＝12(ex)′＋12(e－x)′
＝12ex＋12e－x(－x)′
＝12ex－12e－x＝12(ex－e－x)，故应选 A.
()
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2．已知
设 y＝8sin3x，求曲线在点 Pπ6，1处的切线方程． [解析] y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点 P6π，1处的切线的斜率
k＝
＝24sin26π·cos6π＝3 3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3 3x－π6，即 6 3x－2y－ 3π＋2＝0.
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• [解析] (1)看成函数y＝u2与u＝3x－2的复 合函数，根据复合函数求导法则有：y′x＝ y′u·u′x＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝18x－12.
• 开始学习复合函数求导时，要紧扣上述步 骤进行，待熟练后可简化步骤如下：
• y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.
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[例 2] 求下列函数的导数 (1)y＝(3x－2)2 (2)y＝ln(6x＋4) (3)y＝e2x＋1 (4)y＝ 2x－1 (5)y＝sin3x－4π (6)y＝cos2x
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• [分析] 抓住构成复合函数的基本初等函数 是求复合函数导数的关键，解题时可先把 复合函数分拆成基本初等函数，再运用复 合函数求导法则．
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• (6)y′ ＝ 2cosx·(cosx)′ ＝ － 2cosx·sinx ＝ － sin2x
• [点评] 法则可简单叙述成：复合函数对 自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的导数，乘以中间变量对自变量的导数．
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求下列函数的导数：
(1)y＝lnsinx2x；
(2)y＝
x 1－x.
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. y对u的导数与u对x的导数的乘积
4
[例 1] 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成 的．
①y＝a3x＋2 ③y＝log2(x2－2x＋3)
②y＝ln3 ex＋2 ④y＝sin(x2＋1) ⑥y＝4 3－lnx
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[解析] ①y＝au，u＝3x＋2
③y＝log2u，u＝x2－2x＋3 ④y＝sinu，u＝x2＋1 ⑤y＝eu，u＝x2－2
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复合函数及其求导法则
复合函 数的概
念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u，y可以表 示成 x的函数 ，那么称这个函数
为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记 作 y＝f(g(x)) ．
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y 复合函 ＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 数的求 yx′＝ yu′·ux′ .即y对x的导数等 导法则 于
1.2.Fra Baidu bibliotek 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则(二)
（复合函数的求导法则）
1
学习目标：
• 1．了解复合函数的定义，并能写出简单 函数的复合过程；
• 2．掌握复合函数的求导方法，并运用求 导方法求简单的复合函数的导数．
2
• 本节重点： • ①导数公式和导数运算法则的应用． • ②复合函数的导数． • 本节难点：复合函数的求导方法．
A．0
B．1
C．2
D．3
• [答案] A
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二、填空题 4．设 f(x)＝2sin3x＋π4，则 f′π4＝________.
[答案] －6 [解析] ∵f′(x)＝2cos3x＋4π·3x＋4π′ ＝6cos3x＋π4， ∴f′π4＝6cos34π＋π4＝－6.
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5．曲线 y＝3 3x2＋1在点(1，3 4)处的切线方程为 ________________．
[答案] x－3 2y＋1＝0
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三、解答题 6．求下列函数的导数： (1)y＝(1－3x)3； (2)y＝ln1x； (3)y＝sin2x1－2cos24x.
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[解析] (1)y′＝3(1－3x)2(1－3x)′＝－9(1－3x)2. (2)y′＝11·1x′＝x·－x12＝－1x.
x (3)y＝－sin2x·cos2x＝－12sinx. ∴y′＝－12sinx′＝－12cosx.
f(x)＝sin
1 ，则 x
f′(x)＝
1 A.2x xcos x
－1 B.2x xcos x
C．－2x1
xcos
1 x
11 D.2x xcos x
• [答案] C
()
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3．下列函数求导数，正确的个数是
()
①(e2x)′＝e2x ②[(x2＋3)8]′＝8(x2＋3)·2x
③(ln2x)′＝2x ④(a2x)′＝2a2x
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练习
一、选择题
1．y＝12(ex＋e－x)的导数是
A.12(ex－e－x)
B.12(ex＋e－x)
C．ex－e－x
• [答案] A
D．ex＋e－x
[解析] y′＝12(ex)′＋12(e－x)′
＝12ex＋12e－x(－x)′
＝12ex－12e－x＝12(ex－e－x)，故应选 A.
()
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2．已知
设 y＝8sin3x，求曲线在点 Pπ6，1处的切线方程． [解析] y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点 P6π，1处的切线的斜率
k＝
＝24sin26π·cos6π＝3 3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3 3x－π6，即 6 3x－2y－ 3π＋2＝0.