导数的基本公式及四则运算法则
1.2.3导数的四则运算法则
=25(5x+3)4
（2） y ln(x2 1) 解：（2）y=ln(x2+1)
令u=x2+1，则y=lnu， 所以y’= 1 ·(2x)
u 2x
x2 1
（3） y e2x3
解：y=e－2x－3 令u=－2x－3，则y=eu， 所以y’=eu·(－2)=－2e－2x－3 .
x
x
(3) 当x 0, y 常数 x
一．函数和（或差）的求导法则
法则1: 两个函数的和（或差）的导数， 等于这两个函数的导数的和（或差），即：
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
证明：令y=f(x)+g(x)，则
y f (x x) g(x x) [ f (x) g(x)]
三．函数的商的求导法则
❖ 设f(x)，g(x)是可导的函数，g(x)≠0，
❖ 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的
积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的
平方 。即
[ f (x)]' g(x)
f
'(x)g(x) f (x)g '(x) g 2 ( x)
例4．求y=tanx的导数。
解 : (1) y' ( sin x )' c os x
解：设x有一改变量△x，则对应于u，y分
别有改变量△u，△y，
由 y y u
x u x
得 lim y lim y lim u
x0 x u0 u x0 x
而
u lim x0 x
u '(x) a
所以
dy dx
a[ f
常用的基本求导定律
1．基本求导公式⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。
特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21)1(x x -='，xx 21)(='。
⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。
⑷ x x 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1)(log ≠>='a a ax x a 。
2．求导法则 ⑴ 四则运算法则设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,)()()()()())()((2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21()()()()g x g x g x ''=-。
3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 常用的不定积分公式（1） ⎰⎰⎰⎰⎰+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 43,2,),1( 11433221αααα； （2） C x dx x+=⎰||ln 1； C e dx e xx +=⎰； )1,0( ln ≠>+=⎰a a C a a dx a x x ； （3）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰⑴⎰⎰⎰+=+bab abadx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121⑵ 分部积分法设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则⎰⎰-=bab abax du x v x v x u x dv x u )()()()()()(6、线性代数 特殊矩阵的概念 （1）、零矩阵 ,000022⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯O （2）、单位矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010001 n I 二阶,100122⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯I (3)、对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (4)、对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==752531212,A a a ji ij (5)、上三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a a a A 000022211211下三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (6)、矩阵转置⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a aa a a A 212222111211转置后⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n T a a a a a a a a a A 2122212121116、矩阵运算 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+h d g c f b e a h g f ed c b a B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dh cf dg ce bh af bg ae h g f e d c b a AB 7、MATLAB 软件计算题例6 试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(2x x x y ++=的二阶导数y ''的命令语句。
导数的定义与计算方法
导数的定义与计算方法导数是微积分中的重要概念之一，用于研究函数的变化率和曲线的切线斜率。
本文将从导数的定义入手，介绍导数的计算方法，并给出一些例题来帮助读者更好地理解和应用导数。
一、导数的定义在数学上，给定一个函数y=f(x)，其导数定义为函数在某一点x处的变化率。
导数可以用极限来表示，即：f'(x) = lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，Δx为自变量的增量。
导数的值可以表示函数在该点的切线斜率，即函数曲线在该点处的速率。
二、导数的计算方法导数的计算方法有多种，下面列举几种常见的：1. 基本导数公式对于常见的基本函数，存在一些导数的基本公式，如：- 常数函数导数为零：d/dx(c) = 0，其中c为常数；- 幂函数导数为功率减一：d/dx(x^n) = nx^(n-1)，其中n为常数；- 指数函数导数等于自身：d/dx(e^x) = e^x；- 对数函数导数为倒数：d/dx(ln(x)) = 1/x。
通过应用基本导数公式，可以计算更复杂函数的导数。
2. 导数的四则运算规则对于已知的函数f(x)和g(x)，导数的四则运算规则如下：- 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- 积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2以上规则为导数的基本运算规则，可以根据需要进行组合和推广。
3. 链式法则如果函数y=f(g(x))是由两个函数复合而成，那么它的导数可以用链式法则来计算。
链式法则可以表示为：d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)通过链式法则，可以求解更复杂的复合函数的导数，进一步扩展了导数的计算方法。
导数的四则运算法则实用
导数的四则运算法则实用导数的四则运算法则是求解导函数的基本法则，它包括求和、差、积和商四种基本运算。
这些法则对于解决复杂函数的导数问题非常实用，在解题过程中能够简化计算，提高效率。
下面我将详细介绍导数的四则运算法则的应用。
1.和的导数法则：如果函数f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和的导数等于它们的导数之和，即(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)。
这个法则告诉我们，对于求解两个函数相加的导数问题时，我们只需要分别求出每个函数的导数，然后将它们相加即可。
2.差的导数法则：如果函数f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的差的导数等于它们的导数之差，即(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。
这个法则告诉我们，在求解两个函数相减的导数问题时，我们只需要分别求出每个函数的导数，然后将它们相减即可。
3.积的导数法则：如果函数f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数本身再加上第一个函数本身乘以第二个函数的导数，即(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
这个法则告诉我们，在求解两个函数相乘的导数问题时，我们需要将每个函数的导数与另一个函数本身相乘，然后将这两部分结果相加。
4.商的导数法则：如果函数f(x)和g(x)都是可导函数且g(x)≠0，则它们的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数本身再减去分子函数本身乘以分母函数的导数，然后除以分母函数的平方，即(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g(x)^2这个法则告诉我们，在求解两个函数相除的导数问题时，我们需要用分子函数的导数乘以分母函数本身减去分子函数本身乘以分母函数的导数，然后除以分母函数的平方。
以上就是导数的四则运算法则的应用。
2.2 导数的基本公式四则运算法则
（3） (u )' u'v uv'
v
v2
例2.2.2 求下列函数的导数。
解：
（1） y x3 sin x ln 5
（2） y x3ex
（3） y tan x
（4）
x3 y
x 2
x
（1） y x3 sin x ln 5
解：
y ' (x3 sin x ln 5) ' (x3) ' (sin x) ' (ln 5) 3x2 cos x
解：
因为
y
x3
x2 ＝
x
x2
1
x2
2x 1
y
2x
1
3
x2
2x2
2
， 所以
【 小结 】 1．求导数的基本公式
常数的导数
幂函数的导数
指数的函数
6个三角函数的导数
4个反三角函数的导数
2．导数的四则运算法则
和、差、积、商的求导法则
【 作业 】 习题2 4 5
(cosx) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
* (secx)' sec x tan x
(arcsinx)' 1 1 x2
(arctanx)' 1 1 x2
* (cscx)' cscx cot x
(arccosx)' 1 1 x2
(arc
cot
x)'
（2） y x3ex
解：
y ' (x3ex ) ' (x3) 'ex x3(ex ) ' 3x2ex x3ex (x 3)x2ex
导数的基本公式与运算法则
ln y
1 [ln|x 1| ln|x 2| ln|x 3| ln|x 4|] ， 2
上式两边对x求导，得
1 1 y y 1 1 ( ( 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ， ) ， y y 2 2 x x 1 1 x x 2 2 x x 3 3 x x 4 4
解 当x0时, f(x)1,
当x0时, f ( x ) 1 ,
1 x 当x0时,
f (0 )h l i0m (0h ) h ln 1( 0 ) 1,
f (0 ) h l 0 ilm n 1 (0 [ h h ) ]ln 1 0 ( ) 1,
f(0)1.f(x)111,x,
x0 x0.
2. 设 f(x ) (x a )(x ),其中(x) 在 xa处连续,
两边对 x 求导
y ln a a b
y
bxx
yb axb xaa xbln
a b
a x
b x
七、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y
t
2,
t x 2
消去参数
yt2 (x)2 x 2 24
(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
( x ) x 1 (cos x ) sin x
(cot x ) csc 2 x (csc x ) csc x cot x
(e x ) e x
(ln x ) 1 x
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
推论:
n
n
导数的基本公式与运算法则
16 9
2
解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得
x 2 y y 0 。 89 从而 y 9x .
16y
将 x2 ，y 3 3 ，代入上式得 所求切线的斜率 2
k 3 . 所求的切线方程为
4
yy33 33 33(x(x22) )，，即即 33xx44yy88 3300。。
22
44
六、对数求导法
v(x)
v2 ( x)
推论:
n
n
(1) [ fi ( x)] fi( x);
i 1
i 1
(2) [Cf ( x)] Cf ( x);
(3)
n
[
fi (x)] f1(x) f2 (x)
fn (x)
i 1
f1(x) f2 (x) fn(x).
二、例题分析
例1 求 y x3 2 x2 sin x 的导数 . 解： y 3x 2 4x cos x.
四、复合函数的求导法则
前面我们已经会求简单函数——基本初等函数经 有限次四则运算的结果的导数，但是像
ln
tan
x,e
x2
, sin
2x x2
1
等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求 它们的导数。
定理 如果函数u g(x)在点 x可导 , 而y f (u)
在点u g(x)可导 , 则复合函数 y f [g(x)]在点
一般地
f ( x) u( x)v( x) (u( x) 0)
两边取对数得
ln f (x) v(x) ln u(x)
f (x) v(x) ln u(x) v(x)u(x)
f (x)
u(x)
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
导数的四则运算法则
导数的四则运算法则1.求和规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和的导数等于各自函数的导数之和。
即：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)2.差规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的差的导数等于各自函数的导数之差。
即：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)3.乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
即：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)4.除法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数且g(x)不等于零，则它们的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方。
即：(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2这些四则运算法则可以用于计算复杂函数的导数。
下面通过一些简单的例子来说明这些规则的具体应用。
例子1：计算函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1的导数。
解：对于这个函数，可以按照求和规则和乘法规则分别对各项进行求导。
f'(x)=(x^3)'+(2x^2)'+(-3x)'+(1)'=(3x^2)+(4x)+(-3)=3x^2+4x-3例子2：计算函数g(x)=(2x^2+3x-1)/(x+2)的导数。
解：应用乘法规则和除法规则对该函数进行求导。
g'(x)=((2x^2+3x-1)'*(x+2)-(2x^2+3x-1)*(x+2)')/(x+2)^2=(((4x+3)*(x+2))-((2x^2+3x-1)*1))/(x+2)^2=(4x^2+11x+6-2x^2-3x+1)/(x+2)^2=(2x^2+8x+7)/(x+2)^2通过这两个简单的例子，我们可以看到四则运算法则在计算导数中的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例3 设 y xsin xln x ，求 y 解 y (x)sin xln x x(sin x)ln x xsin x(ln x)
1 sin xln x xcos xln x xsin x 1 x
sin x ln x xcos x ln x sin x ．
cos2 x
cos2 x
即 (tan x) 1 sec2 x ． cos2 x
用同样方法可以得到 (cot x) 1 csc2 x． sin 2 x
练习一
1.求下列函数的导数：
(1) y 10x x10
(2) y x2
1 x
5cos
x
3log2
x
ln 4
(3) y 10x5 ln x
(2x
1)( x
3) (x2 (x 3)2
x
2)
1
x2 6x (x 3)2
5，
f (1) 12 6 1 5 1 ． (1 3)2 8
例5 设 y 5x3 2x 7 ，求 y x
解
先化简，得
5
1
1
y 5x2 2x2 7x 2
，
于是
y
5
5
3
x2
2
1
1
x2
7 ( 1)
x (3) y 5 x3 (4) y x5 4 x3 (5) y x 3 x
x
3.2.3 正弦函数的导数
设 y sin x ，则
y 于是
sin(
x
x)
sin
x
2sin
x 2
cos( x
x) 2
，
y 2sin x
x cos( x x)
2
2
x
cos(
x
x 2
)
sin x 2
x
，
2
所以
(4) y (1 2x2)sin x sin 2
(5) y x 1 x 1
2.求下列函数在指定点处的导数：
(1)
设f
(x)
(1
x 3 )(4
1 x2
),求f
(1)和f
(
1) 2
(2) 设y 1 x ,求y(4) 1 x
3.2.6 反函数的导数
5 2x 3 (3)x4 2x ln 2 4(sin x) 10x 9 2x ln 2 4sin x．
x4
2.乘积函数的导数
设函数 u(x)和 v(x)在点 x 处可导，则 y u(x) v(x) 在点 x 处也可导，且
(uv) uv uv ．
特别地，当其中有一个函数为常数 c 时， 则有
设 y x10 ，y 3
x
，y
1 x
，y 1 4 x3
解 由幂函数的求导公式得
(x10) 10x9；
(3
x)
(
1
x3
)
1 3
x 32
1 33 x2
；
(1) (x1) (1)x2 1 ；
x
x2
(
1
)
3
(x 4 )
( 3)
7
x4
3
．
4 x3
4
44 x7
练习一 求下列函数的导数：
(1) y x7 (2) y 1
3
x2
2
2
2
25
3
x2
1
x2
7
3
x2
2
2
1 (25x3 2x 7) ． 2 x3
例6 求 y tan x 的导数．
解 因为 y sin x ，所以 cos x
y (sin x)cos x sin x(cos x) (cos x)2
cos2 x sin 2 x 1 sec2 x ，
loga
x
x x
loga
(1
x) x
，
于是
y x
loga (1 x
x) x
x xx
loga
(1
x) x
1 x
loga
(1
x
)
x x
x
，
所以
lim
x0
y x
lim[1 x x0
loga
(1
x
)
x x
x
]
1 x
loga
lim
x0
(1
x
)
x x
x
1 x
log
aeΒιβλιοθήκη 1 x lna，
即
(log a
x)
1 x ln
a
．
特别地，当a e时，因为 ln e 1，所以有
(ln
x)
1 x
．
例5 设 y log2 x ， 求 y．
解 因为 a 2 ，由公式，可得
(log2
x)
1 xln 2
．
指数函数的导数
设 y ax (a 0,a 1)，则 (ax ) ax ln a．
特别地，当 a e 时，因为 ln e 1，有
lim
x0
y x
lim [cos( x
x0
x) 2
sin x
2 x
]
2 cos x 1 cos x，
即
(sin x) cos x ．
类似地可以得到
(cos x) sin x．
3.2.4 对数函数的导数
设 y loga x (x 0,a 0,a 1) ，则
y loga (x x) loga x
3.2.5 函数的和、积、商的导数
1.代数和函数的导数
设函数 u(x)和 v(x)在点 x 处可导，则 y u(x) v(x) 在点 x 处也可导，且
(u v) u v ． 例1 设 y 5x2 3 2x 4cos x， 求 y．
x3 解 y 5(x2) 3(x3) (2x ) 4(cos x)
3.函数商的导数
设函数 u(x)和 v(x)在点 x 处可导，且，
v(x) 0 ，则 y u(x) 在点 x 处也可导，且 v(x)
(u) uv uv .
v
v2
(2.2.5)
推论
c v
cv v2
1 v
v v2
例4 已知 f (x) x2 x 2 , 求 f (1)． x3
解 f (x) (x2 x 2)(x 3) (x2 x 2)(x 3) (x 3)2
3.2.1 常值函数导数
设 y c( c 为常数)，
y c c 0 ，
于是
y x
0 x
0
，
所以
c lim y 0 ． x0 x
即常值函数的导数为零．(C) 0
3.2.2 幂函数的导数
设幂函数 y x ( 为实数 )
即
y ( x ) x1
我们将在下一节给出上式证明
例4 求 y．
(cu) cu．
上面的公式对于有限多个可导函数成立， 例如：
(uvw) uvw uvw uvw．
例2 设 y (1 2x)(5x2 3x 1)， 求 y． 解 y (1 2x)(5x2 3x 1)
(1 2x)(5x2 3x 1) 2(5x2 3x 1) (1 2x)(10x 3)
(ex ) ex ．
例6
设 y1
10x，y2
2x 3x
，求 y1 ， y2 ．
解
在
y 中，因为 1
a
10 ，由公式得
y1 (10x ) 10x ln10 ；
而
y2
2x 3x
(2) 3
x
，a
2 3
，由公式得
[(2)x ] (2)x ln 2 (2)x (ln 2 ln3) ．
3
3 33