导数的四则运算法则
四则运算求导法则
四则运算求导法则四则运算求导法则是微积分中十分重要的一个概念，它是求导数的基础，也是后续复杂函数求导的基础之一。
在这篇文章中，我们将深入探讨四则运算的求导法则，帮助大家掌握这一重要概念。
首先，我们需要了解什么是导数。
导数是用来描述一个函数在某一点处的变化率的数值，它是函数在该点的切线斜率。
我们可以通过求导数的方法来求得某一点的导数。
四则运算包含了加、减、乘、除四个基本运算。
那么，如何求导呢？加法求导法则：两个函数的和的导数等于这两个函数的导数的和。
例如：f(x) = u(x) + v(x) ，则f'(x) = u'(x) + v'(x)。
减法求导法则：两个函数的差的导数等于这两个函数的导数的差。
例如：g(x) = u(x) - v(x)，则g'(x) = u'(x) - v'(x)。
乘法求导法则：两个函数的积的导数等于这两个函数分别求导后再相乘再加上另一个函数分别求导后再相乘的和。
例如：h(x) = u(x)v(x)，则h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
除法求导法则：两个函数的商的导数等于被除函数的导数乘以除数减去除函数乘以被除数的导数后，再除以除数的平方。
例如：q(x) = u(x) / v(x)，则q'(x) = [u'(x)v(x) -u(x)v'(x)] / v(x)^2。
以上就是四则运算的求导法则，可以应用于各种函数的求导。
但需要注意的是：在进行四则运算时，要按照先乘除后加减的顺序进行，使得计算更加准确。
在实际应用中，我们可根据四则运算法则对函数进行逐层求导，以求出函数在某一点的导数和导函数。
导函数不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还是后续求极值、凸凹性等问题的基础工具。
最后，再次强调：四则运算是微积分求导的基础，掌握好四则运算的求导法则，才能更好地掌握后续的高等数学知识，更好地理解微积分的精髓。
导数的四则运算法则
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
导数的四则运算法则
法二：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
题型二 由导数值求参数 [学透用活]
[典例 2] 设 f(x)＝a·ex＋bln x，且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求 a，b 的值． [解] f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋bx，
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16. 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋xx00－16＝3x20＋1，解得 x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
应 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 用 及涉及切线问题的综合应用
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方 方 程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再 法 根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至
关重要的作用
[对点练清]
1．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值
[对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x；(2)y＝lnx2x； (3)y＝exx；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解：(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·1x＝2x＋ln x＋1.
()
3．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为
5.2.2导数的四则运算法则
2 所以 f′(1)＝ae＝2，故 a＝ .
e
导数的运算法则的综合应用
x)(
x2 )
2x2 cos x 4x sin x
x4
2x cos
x x3
4 sin
x
.
导数的运算法则的综合应用
例 3：设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等的实根，且 f′(x)＝2x ＋1.
求 y＝f(x)的函数表达式．
解：因为 f′(x)＝2x＋1，所以 f(x)＝x2＋x＋c(c 为常数)，
解：( 1) y ′＝( 2x 3) ′ ＋( x 2) ′ －( x ) ′＋( 1) ′＝6x 2＋2x －1.
(2)y′＝(x4)′＋(cos x)′＝4x3－sin x.
(3)y′＝(ex)′＋(ln
x
)
′
＝ex
1 ＋
.
x
(4)y′＝(5x)′－(ln
x ) ′＝5x
ln
1 5－
.
x
1
(5)y′＝(lg x)′＋(sin x)′＝
导数的运算法则的综合应用
又点( 1，0) 在切线上，所以
3x02－2x03＝0，解得
x0＝0
或
3 x0＝
.
2
当 x0＝0 时，由直线 y＝0 与曲线 y＝ax2＋15 x－9 相切可得, 4
方程 ax2＋15 x－9＝0 有两个相等的实数根， 4
一导数的四则运算法则
u'( x) lim u( x) , v'( x) lim v( x)
x0 x
x0 x
且y v( x)在点x处必连续，即
lim v( x x) v( x)
x0
所以
lim
x0
y x
=
lim
x0
u( x) x
v(
x
x)
v( x) x
u( x)
=u '( x) v( x) u( x) v '( x)
一、导数的四则运算法则
定理1 设函数u( x)与v( x)在点x处可导，则函数u( x) v( x)， u( x) v( x)，u( x) (v( x) 0)在点x处也可导并且有：
v( x)
1、u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
2、u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
=
1
1 x
2
(16)(arc
cot
x)'
=
1 1 x
2
2、 导数的四则运算法则
(1)u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
(2)u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
(3)Cu(x) ' Cu '(x)(C为常数)
'
u( x)
u '( x) v( x) u( x) v '( x)
f '(u)u'( x)
值得指出的是，复合函数的求导法，有时也称为链 导法，它可用于多次复合的情形。
四则运算与复合函数求导法则
四则运算与复合函数求导法则在微积分中，求导是一个重要的概念和工具。
通过求导，我们可以计算函数在某一点上的斜率，进而研究函数的性质和变化规律。
本文将介绍四则运算和复合函数求导法则，帮助读者理解和应用这些常用的求导规则。
一、四则运算求导法则四则运算是指加法、减法、乘法和除法。
求导的四则运算法则可总结如下：1. 加减法：对于两个函数的和或差，求导后的结果等于各自函数的导数之和或差。
即如果函数f(x)和g(x)可导，则有：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)2. 乘法：对于两个函数的乘积，求导后的结果等于第一个函数乘以第二个函数的导数再加上第二个函数乘以第一个函数的导数。
即如果函数f(x)和g(x)可导，则有：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x)3. 除法：对于两个函数的商，求导后的结果等于第一个函数乘以第二个函数的导数减去第二个函数乘以第一个函数的导数，再除以第二个函数的平方。
即如果函数f(x)和g(x)可导，并且g(x)≠0，则有： (f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x)) / (g(x))^2二、复合函数求导法则复合函数是由两个或多个函数构成的复合形式，求导的复合函数法则可总结如下：1. 外函数求导后不变，内函数求导后乘上外函数对内函数的导数：若y = f(u)，u = g(x)，则y对x的导数为：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)2. 链式法则：对于一个复合函数，可以将其表示为一系列简单的函数的复合形式，利用链式法则求导，即将求导过程分解为多个简单函数的求导过程。
若y = f(u)，u = g(v)，v = h(x)，则有：dy/dx = dy/du * du/dv * dv/dx = f'(u) * g'(v) * h'(x)综上所述，四则运算和复合函数求导法则是微积分中常用的工具。
课件11：1.2.3 导数的四则运算法则
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1.2.3 导数的四则运算法则
学习目标 (1)能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式 求简单函数的导数； (2)理解并掌握复合函数的求导法则．
知识导学 一、导数的四则运算法则 1．函数和(或差)的求导法则 若f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)，(f(x) －g(x))′＝f′(x)－g′(x)． 注意：(1)设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))′＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两 个函数的导数的和(或差)．
解：(1)y′＝4x3－9x2＋4x－4. (2)y′＝x′cosx＋x(cosx)′＝cosx－xsinx. (3)y′＝(sin2x)′＝(2sinxcosx)′＝(2sinx)′cosx＋2sinx(cosx)′ ＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x. (4)y′＝(tanx＋cotx)′＝csoinsxx′＋csoinsxx′ ＝cos2cxo＋s2sxin2x＋－sins2ixn－2xcos2x＝co1s2x－sin12x
归纳总结 (1)熟练掌握和运用函数的和、差、积、商的导数公式， 并进行简单、合理的运算，注意运算中公式运用的准确 性． (2)灵活运用公式，化繁为简，如小题(2)这种类型，展开 化为和、差的导数比用积的导数简单容易．
练一练 1.求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x3＋2x2－4x－1； (2)y＝xcosx； (3)y＝sin2x； (4)y＝tanx＋cotx； (5)y＝x2lnx＋lo1gax(a>0 且 a≠1，x>0)．
(2)对任意有限个可导函数，有(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′ ＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．
导数的四则运算法则
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则
求函数的导数.
知识点 导数的运算法则
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) . (2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ，特别地，[cf(x)]′＝ cf′(x).
12345
6.已知
f(x)＝1＋sincoxs
，则 x
f′π3＝__23__.
解析
因为
f′(x)＝sin
x′1＋cos x－sin x1＋cos 1＋cos x2
x′
＝cos
x1＋cos x－sin 1＋cos x2
x－sin
x＝cos
x＋cos2x＋sin2x 1＋cos x2
＝1c＋oscxo＋s x12＝1＋c1os x.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确； B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C
项中，sixn2
x′＝sin
x′x2－sin x22
xx2′，故错误；
C.1
D.2
解析 因为 f(x)＝12 f′(－1)x2－2x＋3， 所以f′(x)＝f′(－1)x－2. 所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2， 所以f′(－1)＝－1.
12345
4.已知 f(x)＝lnxx，则 f′(1)＝__1__.
解析
f′(x)＝ln
x′·x－ln x2
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§4 导数的四则运算法则一、教学目标： 1．知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
2.过程与方法通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。
二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x )(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆（3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x（二）、探析新课两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+证明：令)()()(x v x u x f y ±==，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，∴x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆，xv x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 例1：求下列函数的导数：（1）xx y 22+=； （2）x x y ln -=； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4）221x xxy +-=。
解：（1）2ln 22)2()()2(22xxxx x x y +='+'='+='。
（2）xxx x x x y 121)(ln )()ln (-='-'='-='。
（3）[]123)1()()()()1()1)(1(223232+-='-'+'-'='-+-='-+='x x x x x x x x x x y 。
()x xx x x x x x x x x x x x x x x x y 21222)()()(111)4(23232122122222++-=++-='+'-'='+-='⎪⎭⎫⎝⎛+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='------例2：求曲线xx y 13-=上点（1，0）处的切线方程。
解：()22331311x x x x x x y +='⎪⎭⎫ ⎝⎛-'='⎪⎭⎫⎝⎛-='。
将1=x 代入导函数得 41113=+⨯。
即曲线xx y 13-=上点（1，0）处的切线斜率为4，从而其切线方程为 )1(40-=-x y ，即44-=x y 。
设函数)(x f y =在0x 处的导数为)(0x f '，2)(x x g =。
我们来求)()()(2x f x x g x f y ==在0x 处的导数。
[])()()()()()()()]()([)()()()(02020002002020002002020x f xx x x x x f x x f x x xx f x x x x f x x f x x xx f x x x f x x x y ∆-∆++∆-∆+∆+=∆-∆++-∆+∆+=∆-∆+∆+=∆∆令0→∆x ，由于 20200)(lim x x x x =∆+→∆)()()(lim0000x f xx f x x f x '=∆-∆+→∆0202002)(lim x xx x x x =∆-∆+→∆ 知)()()(2x f x x g x f y ==在0x 处的导数值为)(2)(00020x f x x f x +'。
因此)()()(2x f x x g x f y ==的导数为)()()(22x f x x f x '+'。
一般地，若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和)(x g '，我们有)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'=' 特别地，当k x g =)(时，有)(])([x f k x kf '='例3：求下列函数的导数：（1）xe x y 2=； （2）x x y sin =； （3）x x y ln =。
解：（1）xxxxxxe x x e x xe e x e x e x y )2(2)()()(22222+=+='+'='='；（2）x x xx x x x x x x y cos 2sin )(sin sin )()sin (+='+'='='；（3）1ln 1ln 1)(ln ln )()ln (+=⋅-⋅='-'='='x xx x x x x x x x y 。
例4：求下列函数的导数：（1）xxy sin =； （2）x x y ln 2=。
解：（1）222sin cos 1sin cos )(sin )(sin sin x x x x x x x x x x x x x x x y -=⋅-⋅='⋅-⋅'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='； （2）xx x xx x x x x x x x x x x y 2222222ln )1ln 2(ln 1ln 2)(ln )(ln ln )(ln -=⋅-⋅='⋅-⋅='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='(三)、练习：课本44P 练习：1、2. 课本46P 练习1.（四）课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+ 2()()()()()[()()]()()()()()()f x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-'''=+=⎢⎥⎣⎦（五）、作业：课本47P 习题2-4：A 组2、3 B 组2五、教后反思：本节课成功之点：（1） 从特殊函数出发，利用已学过的导数定义来求f （x ）=x+x 2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明 （2） 由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
（3）通过上述的教学过程，让学生自己探索求法法则，总结出求导公式培养了学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。
不足之处：学生做练习的时间太短，对于公式还没有时间去练习运用，这样有可能导致学生对积、商的导数公式不是很熟练掌握。