导数的四则运算法则

§4 导数的四则运算法则

一、教学目标： 1．知识与技能

掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法

通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2

的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2

g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观

培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。

二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用

教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程

（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。

1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比

x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x

y

∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0

/

x x y =，即x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)

()(lim

)(000

0/

2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x )(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-

3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个

),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函

数)(/

x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，

4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率

x

x y ∆=

∆∆（3）取极限，得导数/

y ＝()f x '=x

y

x ∆∆→∆0lim

5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1

)'(-=n n nx x

（二）、探析新课

两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即

)()(])()([)

()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+

证明：令)()()(x v x u x f y ±==，

)]

()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，

∴

x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆，x

v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪

⎭⎫

⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['

'

'

x v x u x v x u ±=±． 例1：求下列函数的导数：

（1）x

x y 22+=； （2）x x y ln -=

； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4）

221x x

x

y +-=

。 解：（1）2ln 22)2()()2(2

2

x

x

x

x x x y +='+'='+='。

（2）x

x

x x x x y 1

21)(ln )()ln (-

='-'='-='。 （

3

）

[]

123)1()()()()1()1)(1(223232+-='-'+'-'='-+-='

-+='x x x x x x x x x x y 。

()

x x

x x x x x x x x x x x x x x x x y 21

222)()()(111)4(23232122

122222++-

=++-='+'-'='+-='

⎪⎭

⎫

⎝⎛+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='------

例2：求曲线x

x y 1

3

-

=上点（1，0）处的切线方程。 解：()22331311x x x x x x y +='

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-'='

⎪

⎭⎫

⎝

⎛-='。 将1=x 代入导函数得 41

1

13=+⨯。 即曲线x

x y 1

3

-

=上点（1，0）处的切线斜率为4，从而其切线方程为 )1(40-=-x y ，

即44-=x y 。

设函数)(x f y =在0x 处的导数为)(0x f '，2)(x x g =。我们来求)

()()(2

x f x x g x f y ==在0x 处的导数。

[]

)

()()()()()()()]()([)()()()(02

020002002

020002002

020x f x

x x x x x f x x f x x x

x f x x x x f x x f x x x

x f x x x f x x x y ∆-∆++∆-∆+∆+=∆-∆++-∆+∆+=∆-∆+∆+=∆∆

令0→∆x ，由于 2

0200

)(lim x x x x =∆+→∆

)()

()(lim

0000

x f x

x f x x f x '=∆-∆+→∆

02

02002)(lim x x

x x x x =∆-∆+→∆ 知)()()(2

x f x x g x f y ==在0x 处的导数值为)(2)(00020x f x x f x +'。

因此)()()(2

x f x x g x f y ==的导数为)()()(2

2x f x x f x '+'。

一般地，若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和)(x g '，我们有

)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'=

'⎥⎦

⎤⎢⎣⎡'

+'=' 特别地，当k x g =)(时，有