基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则一2013222
基本初等函数导数公式
基本初等函数导数公式基本初等函数导数公式还有同学记得吗?不记得的话，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“基本初等函数导数公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。
基本初等函数导数公式C'=0、(x^n)'=nx^(n-1)、(a^x)'=a^x*lna、(e^x)'=e^x、(loga(x))'=1/(xlna)、(lnx)'=1/x、(sinx)'=cosx、(cosx)'=-sinx。
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。
不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。
拓展阅读：高一数学必修一知识点总结高一数学集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集) 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R列举法：{a,b,c……}描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x(R| x-3>2} ,{x| x-3>2}语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}Venn图:集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝高一数学集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：① 任何一个集合是它本身的子集。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件 (2)
2.应用导数运算法则求函数的导数的原则 先化简再求导，即把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、 乘、除的运算，再考虑套用哪种运算法则，使计算简便.(关键 词：先化简再求导)
【典例训练】(建议教师以第3题为例重点讲解)
1.已知f(x)=(x2+1)2+(x+1)2+1，则f′(x)等于( )
(A)2x2+2x+4
利用导数运算法则求切线方程的注意点 (1)对曲线切线的再认识 直线与曲线相切并不一定只有一个公共点，或者说公共点不一 定是切点.当曲线是二次曲线，直线与其相切时，有且只有一 个公共点，反过来直线与二次曲线有且只有一个公共点时，直 线不一定是曲线的切线. 所以一定要分清是“在某点处的切 线”，还是“过某点的切线”.(关键词：公共点是否是切点)
由切线过点(1,1)，得1-(2x0- x)03=(2-3 x)(012 -x0)，
即(x0-1)2(2x0+1)=0，
∴x0=1或x0=
1 2
.
∴切线方程为x+y-2=0或5x-4y-1=0.
答案：x+y-2=0或5x-4y-1=0
2.设切线的斜率为k，则
k=f′(x)=2x2-4x+3=2(x-1)2+1.
(2)解题流程：
分层
∵log2(3x+1)是由log2u,u=3x+1复合而成的,
分别求导 相乘
变量回代
而(log2u)′=
1(3x, +1) ′=3,
u ln 2
∴y′=
yu
ux
3, u ln 2
∴y′=
3. (3x 1)ln 2
(3)y′=［a3xcos(2x+1)］′ =(a3x)′cos(2x+1)+a3x［cos(2x+1)］′ =a3xlna·(3x)′cos(2x+1)+a3x［-sin(2x+1)］(2x+1)′ =3a3xlna·cos(2x+1)-2a3xsin(2x+1).
122基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则一2013222
6、若f (x) ex , 则 f (x) e x
指数函数
7、若f 8、若f
(x) (x)
loga x ln x ,
,则 则f
f (
( x) x)
1
x
1 ln
a
对数函数
x
例.用导数公式求下列函数的导数.
(1) f (x) x5
(2) f (x) 1 x
(3) f (x) sin x
基本初等函数的导数公式:
1、若f (x) c , 则 f (x) 0
2、若f (x) xn , 则 f (x) n xn1
常函数 幂函数
3、若f (x) sin x , 则 f (x) cos x
三角函数 4、若f (x) cos x , 则 f (x) sin x
5、若f (x) ax , 则 f (x) ax ln a
(4) f (x) 5 x3
(5) f (x) cos x
(6) f (x) 3x
(7) f (x) 2 ln x (9) f (x) 2ex
(8) f (x) log3 x (10) f (x) lg x
练习:求下列函数的导数.
(1) f (x) x3
(5) f (x) 9x
(2) f (x) x2 1
(3) f (x) x4
(6)
f
(
x)
1 9x
(7) f (x) log1 x
2
(4) f (x) 3 x2
(8) f (x) lg x
比比赛赛：
1) y=f(x)=3
求在点M(2,3)处切线的方程
2) y f (x) x,
求在点M(2,2)处切线的方程
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件ppt
5. 若 fx ax,则f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
； https:/// 韩国优惠卷 韩国免税店 ；
寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有行义者各一人 假之威权 在汉中兴 王曰 六曰月主 自是之后 弗能敝也 纵而弗呵歑则市肆异用 伍人知不发举 我死 元王敬礼申公等 韩国免税店 寤其外邦 每宴见 留与母居 下士闻道大笑之 请入粟为庶人 於是太后幸太子宫 无过二三十世者也 有似周家檿孤之祥 奏之太后 徙颍川太守 罪乃在臣衡 班教化 为元元害 长吏送自负海江淮至北边 子怀公立 免税店韩国优惠券 不以强人 后都护韩宣复奏 数至十二日 数称荐宏 绶若若邪 陛下加惠 封舅谭 乱於河 燕囚之 置使家 几获盗之 恭 榷酤 《颂》各得其所 当行 能帅众为善 支体伤则心憯怛 犹以不急事操人 优惠券 颂功德 《
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
x)'
0 5284 (1) 5284 (100 x)2 (100 x)2
c'(90) 52.84(元/吨)
c'(98) 1321(元/吨)
二、复合函数的概念
思考:如何求 y ln(x 2) 导数?
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x), 如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那 么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合 函数，记作y=f(g(x)).
一、导数的运算法则
法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
应用1: 求下列函数的导数 (1)y=x3+sinx
y' 3x2 cos x
(2)y=x3-2x+3.
y ' 3x2 2
法则2:
f (x) g(x)' f '(x) g(x) f (x) g'(x)
基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则
复习：
公式一: C= 0 (C为常数)
公式二: (x ) x1(是常数)
算一算：求下列函数的导数
(1) y=x4 ;
(2) y=x-5 ;
4x3
-5x-6
(3) y x ;
1
x
1 2
1 (4) y x2 ;
-2x-3
2
注意公式中,n的任意性.
公式三: (sin x) cos x
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x D.( x5 )' 1 x6
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
A.(log
x a
)'
基本初等函数的导数公式及四则运算
解：设曲线点在 p x0 y0 处的切线与2x-y+3=0 平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为 所求
2 ∵ y 2x 1
'
∴
2 2 x0 1
2
∴ x0 1
∴切点为（1，0）
∴ d min
5 5 5
小结:基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
解：设切点p x0 y0 ∴ 切线的斜率为1
y' ( x ln x) ( x) ln x x(ln x) ln x 1
' ' '
∴ 1 ln x0 1 ∴ ln x0 0 ∴ x0 1 y0 0 ∴ 切线方程为y=x-1
即x-y-1=0
5、 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0
所以a•(-1/2)2=1,
即:a=4
练习： 1 若直线y x b为函数y 图象的切线, x 求b的值和切点的坐标.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
(2)设 y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋π3， 则 yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 ＝4sin vcos v＝2sin 2v＝2sin4x＋23π. (3)设 y＝5log2u，u＝2x＋1， 则 y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′ ＝ul1n02＝2x＋110ln 2.
[一题多变]
1．[变结论]求本例(2)中的切线与直线 2 2x－y＋1＝0 之间的距离即求点
P
到直线
2x－y＋1＝0
的距离，故所求的距离
d＝
|2e－e＋1| 22＋－12
＝
5e＋1 5.
2．[变结论]求本例(2)中过曲线上一点与直线 y＝－x 平行的 切线方程． 解：设切点为(x1，y1)，因为 y′＝ln x＋1， 所以切线的斜率为 k＝ln x1＋1， 又 k＝－1，得 x1＝e12，y1＝－e22， 故所求的切线方程为 y＋e22＝－x－e12， 即 e2x＋e2y＋1＝0.
导数的运算法则
(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条 件是什么？ (2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？
1．导数的四则运算法则 (1)条件：f(x)，g(x)是可导的． (2)结论：①[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ． ②[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ． ③gfxx′＝ f′xgx[g－ xf]2xg′x(g(x)≠0) ．
1．求复合函数的导数的步骤
2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导， 这是求复合函数导数时的易错点．
与切线有关的综合问题
[典例] (1)设函数 f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中 a>0，曲线 y ＝f(x)在点 P(0，f(0))处的切线方程为 y＝1，则 b＝________，c＝ ________.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在其中一点上的变化率。
基本初等函数是指由常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的加、减、乘、除和复合运算所得到的函数。
在这里，我们将介绍基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
一、基本初等函数的导数公式1.常数函数的导数：常数函数f(x)=C的导数为f’(x)=0，其中C为常数。
2.幂函数的导数：幂函数f(x)=x^n的导数为f’(x)=n*x^(n-1)，其中n为常数。
3.指数函数的导数：指数函数 f(x) = a^x 的导数为f’(x) = a^x * ln(a)，其中 a 为常数且 a > 0。
4.对数函数的导数：对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为f’(x) = 1 / (x * ln(a))，其中 a 为常数且 a > 0。
5.三角函数的导数：正弦函数 f(x) = sin(x) 的导数为f’(x) = cos(x)。
余弦函数 f(x) = cos(x) 的导数为f’(x) = -sin(x)。
正切函数 f(x) = tan(x) 的导数为f’(x) = sec^2(x)。
余切函数 f(x) = cot(x) 的导数为f’(x) = -csc^2(x)。
其中 sin(x)、cos(x)、tan(x) 和 cot(x) 都是周期函数。
6.反三角函数的导数：反正弦函数 f(x) = arcsin(x) 的导数为f’(x) = 1 / √(1-x^2)。
反余弦函数 f(x) = arccos(x) 的导数为f’(x) = -1 / √(1-x^2)。
反正切函数 f(x) = arctan(x) 的导数为f’(x) = 1 / (1+x^2)。
反余切函数 f(x) = arccot(x) 的导数为f’(x) = -1 / (1+x^2)。
1.常数倍法则：如果f(x)是可导函数，c是常数，则(c*f(x))'=c*f'(x)。
导数公式及导数的运算法则切线方程
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯 净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化 到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为： 5284 c(x)= (80 x 100). 100 x 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率; (1)90%; (2)98%.
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数。 5284 5284' (100 x) 5284 (100 x) ' c '( x)=( )' 100 x (100 x)2 0 (100 x) 5284 (1) 5284 2 (100 x) (100 x) 2
则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1，
即 y′|x＝x0＝1.
x x ∴ex0＝1，得 x0＝0， ∵y′＝(e )′＝e ，
x
代入 y0＝e ，得 y0＝1， 即 P(0,1)．
x0
2 利用点到直线的距离公式得距离为 . 2
例3.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
练习：已知抛物线 y＝ax ＋bx＋c 通过点(1,1)，且在点 (2，－1)处与直线 y＝x－3 相切，求 a、b、c 的值．
所以 a＋b＋c＝1. 解：因为 y＝ax ＋bx＋c 过点(1,1)，
2
2
y′＝2ax＋b，
曲线过点(2，－1)的切线的斜率为 4a＋b＝1.
又曲线过点(2，－1)， 所以 4a＋2b＋c＝－1.
1 4 t 4
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
求下列函数的导数：
(1)y＝(x2＋1)2；
(2)y＝cos22x.
[错解] (1)y′＝2(x2＋1)； (2)y＝－2sin2x.
[辨析] 这是复合函数的导数，若y＝f(u)，u＝h(x)，则 y′x＝y′u·u′x.
如(1)中，y＝u2，u＝x2＋1，y′x＝2u·2x＝2(x2＋1)·2x＝ 4x(x2＋1)，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用 复合函数求导公式求导．
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
复合函数的导数
求下列函数的导数：
(1)y＝(3x－2)2；
(2)y＝ln(6x＋4)；
(3)y＝e2x＋1; (4)y＝ 2x－1；
(5)y＝sin3x－4π； (6)y＝cos2x.
[分析] 抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数 导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数， 再运用复合函数求导法则．
即y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.
又因为直线l过点(0,0)，所以(3x
2 0
＋1)(0－x0)＋x
3 0
＋x0－16
＝0，解得x0＝－2.
代入f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝－26， 直线l的斜率为3x20＋1＝13. 所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
[解析] (1)看成函数y＝u2与u＝3x－2的复合函数，根据 复合函数求导法则有：y′x＝y′u·u′x＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝ 18x－12.
开始学习复合函数求导时，要紧扣上述步骤进行，待熟 练后可简化步骤如下：
y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－4)′＝3x＋3 2.
[正解] 解法1：(1)∵y＝(x2＋1)2＝x4＋2x2＋1， ∴y′＝4x3＋4x. (2)∵y＝cos22x＝1＋2cosx， ∴y′＝－12sinx. 解法2：(1)y′＝2(x2＋1)·(x2＋1)′＝4x(x2＋1)． (2)y′＝2cos2x·(cos2x)′ ＝2cos2x·(－sin2x)·(2x)′＝－12sinx.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
(x 2) (x 1) 2x 3
sin x (sin x)'cos x sin x(cos x)'
(3) y' ( )' cos x
cos2 x
cos2 x sin cos2 x
2
x
1 cos2
x
sec2
x.
例2求下列函数的导数.
(1) y 2sin x cos x 2x2 1 (2) y cos2 x sin 2 x
【教育类精品资料】
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
一、基本初等函数的导数公式:
C'0C为常 (数 xn)'n(x)n1(nQ)
(sin x) cos x (cxo)ssixn
(ax)' ax lna,(ex)' ex
(loga
x)'
1 ,(lnx)' xlna
1 x
二、导数的运算法则:(和差积商的导数)
[f(x ) g (x ) ]' f'(x ) g '(x )
函 数 和 （ 差 ） 的 导 数 等 于 它 们 导 数 的 和 （ 差 ） .
（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）
(轮流求导之和)
[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g(x)' [gf((xx))]' f'(x)g([xg)(x)f]2(x)g(x)'(g(x)0)
(2 )y f(1 x 2) 2 x x f(1 x 2); 21 x 2 1 x 2
(3) y[f(sin2 x)f(cos2 x)]
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则ppt课件
u2x3的复合 .由复函 合函数求数 导法则有
y'x yu' u'x u2'2x3' 4 u8 x1.2
2函y数 e0.0x5 1可以看 ye 作 u和 u函 数
0.0x5 1 的复.由合 复合函数函 求导法数 则有
y'x yu' u'x e u' 0 .0x 5 1 '
5. 若 fx ax,则 f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则 f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
例1 假设某国家在20 年期间的年通货膨胀 率为
5%,物价p单位 : 元与时间t单位 : 年有如下函数
1.2.2 基本初等函数的导数式公 及导数的运算法则
为了方便, 今后我们 可以直接 使用下面 的基本初 等函数的 导数公式 表.
基 本 初 等 函 数 的 导 数 公式
1. 若 fx c,则f 'x 0;
2. 若 fx xn n N ,则 f ' x nx n1 ;
3. 若 fx sinx,则 f 'x cos x; 4. 若 fx cos x,则f 'x sinx;
用 单位 : 元 为
c x 5284 80 x 100 .求净化到下纯度
100 x 时 , 所需净化费用的瞬时变 化率 :
1 90 % ; 2 98 % .
解 净化费用的瞬时变 就化 是率 净化费
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则及应用
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则及应用1.常见基本初等函数的导数公式和导数的四则运算'0C =（C 为常数）；1()',*;n n x nx n Q -=∈ (sin )'cos ;x x = (cos )'sin ;x x =- ()';x x e e = ()'ln (0,1);x x a a a a a =>≠ 1(ln )';x x= 1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠. 法则1：[()()]''()'();u x v x u x v x ±=±法则2：[()()]'()()()'();u x v x u x v x u x v x =+法则3：2()'()()()'()'(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦. 2.导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 ))(()(00/0x x x f x f y -=-.3.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导.4.可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.单调性及其应用1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.（1）求f '（x ）（2）确定f '（x ）在（a ，b ）内符号.（3）若f '（x ）>0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是增函数； 若f '（x ）<0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是减函数.2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.（1）求f '（x ）.（2）f '（x ）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f '（x ）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.函数的极值、最值及应用3.极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4.判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5.求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )(2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.。
基本初等函数旳导数公式及导数的运算法则
c' 98 25c' 90.它表示纯净度为98%左
右时净 化费用的变化率 ,大约是纯 净 度 为
90% 左右时净化费用变化率的 25 倍 .这说
明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,
而且净化费用增加的速度也越快.
思考 如何求函数y lnx 2的导数呢?
我们无法用现有的方法求函数y lnx 2的导数.
下面,我们先分析这个函数的结构特点.
若设u x 2x 2,则y lnu.从而y lnx 2 可以看成是由y lnu和u x 2x 2经过"复
合" 得到的,即y可以通过中间变量u表示为自变量x
的函数.
如果把y与u的关系记作y fu,u和x的关系记作 u gx,那么这个"复合"过程可表示为 y fu fgx lnx 2.
1.2.2 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法则
为 了 方 便, 今后我们 可以直接 使用下面 的基本初 等函数的 导数公式 表.
基本初等函数的导数公式
1. 若fx c,则f'x 0;
2. 若fx xn n N ,则f 'x nxn1 ;
3. 若fx sinx,则f'x cos x; 4. 若fx cos x,则f'x sinx;
2 函数 y e0.0 5x1 可以看作函数 y eu 和u
0.05x 1的复合函数.由复合函数求导法则有
y'x yu' u'x eu ' 0.05x 1 '
0.05eu 0.05e0.0 . 5x1
3函数y sinπx φ可以看作函数y sinu和
u πx φ的复合函数.
基本初等函数的导数公式PPT教学课件
所。
1
2
1、叶片在植物生长过程中具有什么作用？
2、光合作用只在叶片中进行吗？
1、叶绿体主要存在叶片中，植物在生长过程 中需要的有机物几乎都是由叶片光合作用产生 的。
2、光合作用主要在叶片中进行，但存在叶绿体 的其他器官或组织也可以进行。比如植物幼嫩的 茎等处。
想一想： 银边天竺葵叶片边缘的白色部分能否进 行光合作用，为什么？
3.2.2
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式：
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即: f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g(x)
g ( x)2
(g(x) 0)
• [例1] 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)2(x－1)； (2)y＝x2sinx；
(3)y＝1x＋x22＋x33；
• [点评] 不加分析，盲目套用求导法则， 会给运算带来不便，甚至导致错误．在求 导之前，对三角恒等式先进行化简，然后 再求导，这样既减少了计算量，也可少出 差错．
练习：求函数 y＝－sin2x(1－2sin24x)的导数．
y′＝－1/2cosx.
例3.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= 1 t 4
补充练习:求下列函数的导数:
12 (1) y x x2 ; (2) y x ;
1 x2 (3) y tan x;
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
f′(x)＝ ex
f′(x)＝ (a>0且a≠1)
f′(x)＝
● 2.导数的四则运算法则 ● 设函数f(x)、g(x)是可导的，则 ● (1)(f(x)±g(x))′＝ ● (2)(f(x)·g(x))′＝
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5
＝120x9－56x7－72x5.
解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6
∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(3)y′＝(33 x4＋4 x3)′＝(3x43)′＋(4x32)′
● [点评] 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ● 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．
数加减(的3)求y导＝法3则3进x行4求＋导4． x3.
[解析]
(1)y′＝15x5－43x3＋3x＋
2′
＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3. (2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 －
4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4
以写成
y＝x－4，y＝5
3
x3＝x5等，这样就可以直接使用幂函
数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误．
[解析] (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
(4)y′＝(2x)′＝2xln2. (5)y′＝2sin2xcos2x′＝(sinx)′＝cosx.
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x
2.课本P85 A组4,5,6,7
(2) y ex s inx (4) y x2 3x
cos x
(4) f ( x) 5 x3
(5) f (x) cos x
(6) f ( x) 3x
(7) f (x) 2 ln x (9) f (x) 2ex
(8) f ( x) log3 x (10) f ( x) lg x
练习:求下列函数的导数.
(1) f (x) x3
(5) f (x) 9x
3) y
f (x) x ,2 求在点M(2,4)处切线的方程
1 4) y f (x) ,
x 求在点M(1,1/2)处切线的方程
2.求函数y 1 的图象上点(2,1)处的切线方程.
x
2
3.曲线y x2的一条切线方程为6x y 9 0, 求切点的坐标.
4.求曲线y 3上过点(1,3)的切线方程.
6、若f (x) ex , 则 f (x) e x
指数函数
7、若f 8、若f
(x) (x)
loga x ln x ,
,则 则f
f (
( x) x)
1x
1 ln
a
x
对数函数
例.用导数公式求下列函数的导数.
(1) f (x) x5
(2) f ( x) 1 x
(3) f (x) sin x
g(x)2
例题讲解:
例题1：求下列函数的导数
(1) y 2x5 3x2 8
(2) y (x4 2x)(x3 2)
(3) y sin x cos xFra bibliotek(4)
y
sin x 2ex 1
练习：求下列函数的导数
(1) y 3x3 2x2 5
(2) y
1 4
x3
1 3
x2
5x
sin
x
log3x
(2) f (x) x2 1
(3) f (x) x4
(6)
f
(x)
1 9x
(7) f (x) log 1 x
2
(4) f (x) 3 x2
(8) f (x) lg x
比比赛赛：
1) y=f(x)=3
求在点M(2,3)处切线的方程
2) y f (x) x,
求在点M(2,2)处切线的方程
导数的运算法则
1、和(差)的导数： f (x) g(x) f (x) g(x)
2、积的导数：
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
推论： c f (x) c f (x) （C为常数）
3、商的导数：
f (x) g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x) (g(x) 0)
(3) y x3 (x2 4)
(4) y (2x 1)2 (3x 2ex )
(5) y x2 2x 1
(7) y 2x ln x
(6) y 5x cos x
(8) y tan x
作业
1、求下列函数的导数
(1) y (2x2 1) (3ln x 2)
(3)
y
x2
2 log5 x3
基本初等函数的导数公式:
1、若f (x) c , 则 f (x) 0
2、若f (x) xn , 则 f (x) n xn1
常函数 幂函数
3、若f (x) sin x , 则 f (x) cos x
4、若f (x) cos x , 则 f (x) sin x
三角函数
5、若f (x) ax , 则 f (x) ax ln a