基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则一2013222
基本初等函数导数公式
基本初等函数导数公式基本初等函数导数公式还有同学记得吗?不记得的话，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“基本初等函数导数公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。
基本初等函数导数公式C'=0、(x^n)'=nx^(n-1)、(a^x)'=a^x*lna、(e^x)'=e^x、(loga(x))'=1/(xlna)、(lnx)'=1/x、(sinx)'=cosx、(cosx)'=-sinx。
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。
不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。
拓展阅读：高一数学必修一知识点总结高一数学集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集) 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R列举法：{a,b,c……}描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x(R| x-3>2} ,{x| x-3>2}语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}Venn图:集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝高一数学集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：① 任何一个集合是它本身的子集。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件 (2)
2.应用导数运算法则求函数的导数的原则 先化简再求导，即把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、 乘、除的运算，再考虑套用哪种运算法则，使计算简便.(关键 词：先化简再求导)
【典例训练】(建议教师以第3题为例重点讲解)
1.已知f(x)=(x2+1)2+(x+1)2+1，则f′(x)等于( )
(A)2x2+2x+4
利用导数运算法则求切线方程的注意点 (1)对曲线切线的再认识 直线与曲线相切并不一定只有一个公共点，或者说公共点不一 定是切点.当曲线是二次曲线，直线与其相切时，有且只有一 个公共点，反过来直线与二次曲线有且只有一个公共点时，直 线不一定是曲线的切线. 所以一定要分清是“在某点处的切 线”，还是“过某点的切线”.(关键词：公共点是否是切点)
由切线过点(1,1)，得1-(2x0- x)03=(2-3 x)(012 -x0)，
即(x0-1)2(2x0+1)=0，
∴x0=1或x0=
1 2
.
∴切线方程为x+y-2=0或5x-4y-1=0.
答案：x+y-2=0或5x-4y-1=0
2.设切线的斜率为k，则
k=f′(x)=2x2-4x+3=2(x-1)2+1.
(2)解题流程：
分层
∵log2(3x+1)是由log2u,u=3x+1复合而成的,
分别求导 相乘
变量回代
而(log2u)′=
1(3x, +1) ′=3,
u ln 2
∴y′=
yu
ux
3, u ln 2
∴y′=
3. (3x 1)ln 2
(3)y′=［a3xcos(2x+1)］′ =(a3x)′cos(2x+1)+a3x［cos(2x+1)］′ =a3xlna·(3x)′cos(2x+1)+a3x［-sin(2x+1)］(2x+1)′ =3a3xlna·cos(2x+1)-2a3xsin(2x+1).
122基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则一2013222
6、若f (x) ex , 则 f (x) e x
指数函数
7、若f 8、若f
(x) (x)
loga x ln x ,
,则 则f
f (
( x) x)
1
x
1 ln
a
对数函数
x
例.用导数公式求下列函数的导数.
(1) f (x) x5
(2) f (x) 1 x
(3) f (x) sin x
基本初等函数的导数公式:
1、若f (x) c , 则 f (x) 0
2、若f (x) xn , 则 f (x) n xn1
常函数 幂函数
3、若f (x) sin x , 则 f (x) cos x
三角函数 4、若f (x) cos x , 则 f (x) sin x
5、若f (x) ax , 则 f (x) ax ln a
(4) f (x) 5 x3
(5) f (x) cos x
(6) f (x) 3x
(7) f (x) 2 ln x (9) f (x) 2ex
(8) f (x) log3 x (10) f (x) lg x
练习:求下列函数的导数.
(1) f (x) x3
(5) f (x) 9x
(2) f (x) x2 1
(3) f (x) x4
(6)
f
(
x)
1 9x
(7) f (x) log1 x
2
(4) f (x) 3 x2
(8) f (x) lg x
比比赛赛：
1) y=f(x)=3
求在点M(2,3)处切线的方程
2) y f (x) x,
求在点M(2,2)处切线的方程
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件ppt
5. 若 fx ax,则f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
； https:/// 韩国优惠卷 韩国免税店 ；
寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有行义者各一人 假之威权 在汉中兴 王曰 六曰月主 自是之后 弗能敝也 纵而弗呵歑则市肆异用 伍人知不发举 我死 元王敬礼申公等 韩国免税店 寤其外邦 每宴见 留与母居 下士闻道大笑之 请入粟为庶人 於是太后幸太子宫 无过二三十世者也 有似周家檿孤之祥 奏之太后 徙颍川太守 罪乃在臣衡 班教化 为元元害 长吏送自负海江淮至北边 子怀公立 免税店韩国优惠券 不以强人 后都护韩宣复奏 数至十二日 数称荐宏 绶若若邪 陛下加惠 封舅谭 乱於河 燕囚之 置使家 几获盗之 恭 榷酤 《颂》各得其所 当行 能帅众为善 支体伤则心憯怛 犹以不急事操人 优惠券 颂功德 《
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
x)'
0 5284 (1) 5284 (100 x)2 (100 x)2
c'(90) 52.84(元/吨)
c'(98) 1321(元/吨)
二、复合函数的概念
思考:如何求 y ln(x 2) 导数?
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x), 如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那 么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合 函数，记作y=f(g(x)).
一、导数的运算法则
法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
应用1: 求下列函数的导数 (1)y=x3+sinx
y' 3x2 cos x
(2)y=x3-2x+3.
y ' 3x2 2
法则2:
f (x) g(x)' f '(x) g(x) f (x) g'(x)
基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则
复习：
公式一: C= 0 (C为常数)
公式二: (x ) x1(是常数)
算一算：求下列函数的导数
(1) y=x4 ;
(2) y=x-5 ;
4x3
-5x-6
(3) y x ;
1
x
1 2
1 (4) y x2 ;
-2x-3
2
注意公式中,n的任意性.
公式三: (sin x) cos x
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x D.( x5 )' 1 x6
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
A.(log
x a
)'
基本初等函数的导数公式及四则运算
解：设曲线点在 p x0 y0 处的切线与2x-y+3=0 平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为 所求
2 ∵ y 2x 1
'
∴
2 2 x0 1
2
∴ x0 1
∴切点为（1，0）
∴ d min
5 5 5
小结:基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
解：设切点p x0 y0 ∴ 切线的斜率为1
y' ( x ln x) ( x) ln x x(ln x) ln x 1
' ' '
∴ 1 ln x0 1 ∴ ln x0 0 ∴ x0 1 y0 0 ∴ 切线方程为y=x-1
即x-y-1=0
5、 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0
所以a•(-1/2)2=1,
即:a=4
练习： 1 若直线y x b为函数y 图象的切线, x 求b的值和切点的坐标.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
(2)设 y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋π3， 则 yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 ＝4sin vcos v＝2sin 2v＝2sin4x＋23π. (3)设 y＝5log2u，u＝2x＋1， 则 y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′ ＝ul1n02＝2x＋110ln 2.
[一题多变]
1．[变结论]求本例(2)中的切线与直线 2 2x－y＋1＝0 之间的距离即求点
P
到直线
2x－y＋1＝0
的距离，故所求的距离
d＝
|2e－e＋1| 22＋－12
＝
5e＋1 5.
2．[变结论]求本例(2)中过曲线上一点与直线 y＝－x 平行的 切线方程． 解：设切点为(x1，y1)，因为 y′＝ln x＋1， 所以切线的斜率为 k＝ln x1＋1， 又 k＝－1，得 x1＝e12，y1＝－e22， 故所求的切线方程为 y＋e22＝－x－e12， 即 e2x＋e2y＋1＝0.
导数的运算法则
(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条 件是什么？ (2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？
1．导数的四则运算法则 (1)条件：f(x)，g(x)是可导的． (2)结论：①[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ． ②[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ． ③gfxx′＝ f′xgx[g－ xf]2xg′x(g(x)≠0) ．
1．求复合函数的导数的步骤
2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导， 这是求复合函数导数时的易错点．
与切线有关的综合问题
[典例] (1)设函数 f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中 a>0，曲线 y ＝f(x)在点 P(0，f(0))处的切线方程为 y＝1，则 b＝________，c＝ ________.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在其中一点上的变化率。
基本初等函数是指由常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的加、减、乘、除和复合运算所得到的函数。
在这里，我们将介绍基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
一、基本初等函数的导数公式1.常数函数的导数：常数函数f(x)=C的导数为f’(x)=0，其中C为常数。
2.幂函数的导数：幂函数f(x)=x^n的导数为f’(x)=n*x^(n-1)，其中n为常数。
3.指数函数的导数：指数函数 f(x) = a^x 的导数为f’(x) = a^x * ln(a)，其中 a 为常数且 a > 0。
4.对数函数的导数：对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为f’(x) = 1 / (x * ln(a))，其中 a 为常数且 a > 0。
5.三角函数的导数：正弦函数 f(x) = sin(x) 的导数为f’(x) = cos(x)。
余弦函数 f(x) = cos(x) 的导数为f’(x) = -sin(x)。
正切函数 f(x) = tan(x) 的导数为f’(x) = sec^2(x)。
余切函数 f(x) = cot(x) 的导数为f’(x) = -csc^2(x)。
其中 sin(x)、cos(x)、tan(x) 和 cot(x) 都是周期函数。
6.反三角函数的导数：反正弦函数 f(x) = arcsin(x) 的导数为f’(x) = 1 / √(1-x^2)。
反余弦函数 f(x) = arccos(x) 的导数为f’(x) = -1 / √(1-x^2)。
反正切函数 f(x) = arctan(x) 的导数为f’(x) = 1 / (1+x^2)。
反余切函数 f(x) = arccot(x) 的导数为f’(x) = -1 / (1+x^2)。
1.常数倍法则：如果f(x)是可导函数，c是常数，则(c*f(x))'=c*f'(x)。
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x
2.课本P85 A组4,5,6,7
(2) y ex s inx (4) y x2 3x
cos x
(4) f ( x) 5 x3
(5) f (x) cos x
(6) f ( x) 3x
(7) f (x) 2 ln x (9) f (x) 2ex
(8) f ( x) log3 x (10) f ( x) lg x
练习:求下列函数的导数.
(1) f (x) x3
(5) f (x) 9x
3) y
f (x) x ,2 求在点M(2,4)处切线的方程
1 4) y f (x) ,
x 求在点M(1,1/2)处切线的方程
2.求函数y 1 的图象上点(2,1)处的切线方程.
x
2
3.曲线y x2的一条切线方程为6x y 9 0, 求切点的坐标.
4.求曲线y 3上过点(1,3)的切线方程.
6、若f (x) ex , 则 f (x) e x
指数函数
7、若f 8、若f
(x) (x)
loga x ln x ,
,则 则f
f (
( x) x)
1x
1 ln
a
x
对数函数
例.用导数公式求下列函数的导数.
(1) f (x) x5
(2) f ( x) 1 x
(3) f (x) sin x
g(x)2
例题讲解:
例题1：求下列函数的导数
(1) y 2x5 3x2 8
(2) y (x4 2x)(x3 2)
(3) y sin x cos xFra bibliotek(4)
y
sin x 2ex 1
练习：求下列函数的导数
(1) y 3x3 2x2 5
(2) y
1 4
x3
1 3
x2
5x
sin
x
log3x
(2) f (x) x2 1
(3) f (x) x4
(6)
f
(x)
1 9x
(7) f (x) log 1 x
2
(4) f (x) 3 x2
(8) f (x) lg x
比比赛赛：
1) y=f(x)=3
求在点M(2,3)处切线的方程
2) y f (x) x,
求在点M(2,2)处切线的方程
导数的运算法则
1、和(差)的导数： f (x) g(x) f (x) g(x)
2、积的导数：
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
推论： c f (x) c f (x) （C为常数）
3、商的导数：
f (x) g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x) (g(x) 0)
(3) y x3 (x2 4)
(4) y (2x 1)2 (3x 2ex )
(5) y x2 2x 1
(7) y 2x ln x
(6) y 5x cos x
(8) y tan x
作业
1、求下列函数的导数
(1) y (2x2 1) (3ln x 2)
(3)
y
x2
2 log5 x3
基本初等函数的导数公式:
1、若f (x) c , 则 f (x) 0
2、若f (x) xn , 则 f (x) n xn1
常函数 幂函数
3、若f (x) sin x , 则 f (x) cos x
4、若f (x) cos x , 则 f (x) sin x
三角函数
5、若f (x) ax , 则 f (x) ax ln a