2.7 第1课时 二次根式及其化简 精品获奖学案
024.北师大版八年级数学上册2.7 第1课时 二次根式及其化简(教案)
2.7二次根式第1课时二次根式及其化简教学目标1．了解二次根式的定义及最简二次根式；(重点)2．运用二次根式有意义的条件解决相关问题．(难点)教学过程一、情境导入问题：(1)如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝90°，那么AB边的长是多少？(2)面积为S的正方形的边长是多少？(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14)上述结果有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的相关概念【类型一】二次根式的定义下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)2；(2)4；(3)33；(4)1x＋y；(5)x＋y(x≥0，y≥0)；(6)3a2＋8；(7)－x2－12.解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是．方法总结：在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题4＝2，4是二次根式，但2不是二次根式．【类型二】二次根式有意义的条件当x________，x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义．解析：要使x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．探究点二：二次根式的性质及化简化简下列二次根式．(1)48；(2)8a3b(a≥0，b≥0)；(3)（－36）×169×（－9）.解析：本题主要考查运用ab＝a·b(a≥0，b≥0)及a2＝a(a≥0)进行化简．解：(1)48＝16×3＝16×3＝43；(2)8a 3b ＝22·a 2·2ab ＝（2a ）2·2ab ＝2a 2ab ；(3)（－36）×169×（－9）＝36×169×9＝6×13×3＝234.方法总结：(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式(后面学到)． 探究点三：最简二次根式 在二次根式8a ，c 9，a 2＋b 2，a 2中，最简二次根式共有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个解析：8a 中有因数4；c 9中有分母9；a 3中有因式a 2.故最简二次根式只有a 2＋b 2.故选A.方法总结：只需检验被开方数是否还有分母，是否还有能开得尽方的因数或因式．三、板书设计二次根式⎩⎪⎨⎪⎧定义⎩⎨⎧形如a （a ≥0）的式子有意义的条件：a ≥0性质：（a ）2＝a （a ≥0），a 2＝a （a ≥0）最简二次根式 教学反思本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系，加深学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否确认结果的合理性，等等．初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形21平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形22平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形23平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形24矩形性质定理1矩形的四个角都是直角25矩形性质定理2矩形的对角线相等26矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形27矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形28菱形性质定理1菱形的四条边都相等29菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形32菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形33正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等34正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35定理1关于中心对称的两个图形是全等的36定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。
二次根式及其化简2【公开课教案】(含反思)
2.7 二次根式第1课时二次根式及其化简重点难点提示本单元重点是二次根式的重要性质：，它是二次根式化简和运算的重要依据。
1．二次根式的重要性质：要注意以下问题：（1）因为被开方数a2 ≥0(非负数)，所以a可以取任意实数。
而是表示算术根，所以（非负数），即，可用绝对值的定义和性质去掉绝对值符号。
去掉绝对值符号时，首先要判断绝对值符号内的代数式的值的符号。
若无法决定，要对其进行讨论。
（2）应用公式化简时，为保证结果的非负性，也避免出现运算上的错误，应首先写成的形式，然后再去绝对值符号。
2．的区别（1）a的取值范围不同：中的a必须是非负数。
中的a可以是任何实数。
（2）运算顺序不同，表示对非负数a先开方，再平方。
而表示对实数a先平方，再开方。
知识点精析例1．判断下列各式是否正确(1)(2)(3) (4)(5)解：根据二次根式知，(1),(2),(3)都是错的，只有(4),(5)是对的。
例2．化简(1) (2) (-1<x<8)(3) (0<x<1)(4)解：(1) ∵x2+1>0,∴(2) ∵-1<x<8,∴x+1>0, x-8<0.∴=|x+1|-|x-8|=x+1+x-8=2x-7.(3) ∵0<x<1,∴.∴.(4) ==|x-4|+|x-3|当x≥4时，原式=x-4+x-3=2x-7.当3≤x<4时，原式=4-x+x-3=1.当x<3时，原式=4-x-x+3=7-2x。
∴原式=说明：对于二次根式的化简，首先应根据算术根的定义写成绝对值的形式。
而正确去掉绝对值符号是化简的关键。
去掉绝对值符号时应首先判定绝对值符号内代数式值的符号。
此类问题，一般可分为两类。
第一类是不需要讨论直接化简。
属于此类问题一般有以下三种情况①具体数字，此时化简的条件已暗中给定，②恒为非负值或根据题中的隐含条件，如（1）小题。
③给出明确的条件，如（2）小题。
二次根式运算市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
二次根式运算教案一、教学目标1.了解二次根式的定义和性质。
2.掌握二次根式的基本运算法则，包括加减乘除。
3.能够运用二次根式的运算法则解决实际问题。
二、教学重点1.理解二次根式的含义和运算规律。
2.掌握二次根式的基本运算法则，包括加减乘除。
三、教学难点1.能够灵活运用二次根式的运算法则。
2.提高学生解决实际问题的能力。
四、教学方法1.讲解法：通过讲解理论知识，阐述二次根式的含义和运算规律。
2.示范法：通过示范例题，引导学生理解二次根式的运算方法。
3.练习法：通过练习题，巩固学生对二次根式运算法则的掌握。
4.讨论合作法：让学生分组讨论，合作解决实际问题。
五、教学过程1.引入（5分钟）通过一个简单的问题引入二次根式运算的概念，例如：“小明买了一块长宽分别为√2米和2√3米的矩形地毯，求地毯的面积。
”2.讲解二次根式的定义和性质（10分钟）讲解二次根式的定义和性质，明确二次根式的含义以及根式的加减乘除法则。
3.示范例题（15分钟）通过一些简单的例题，演示二次根式的基本运算方法，包括加减乘除。
4.练习题（15分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固对二次根式运算法则的掌握。
5.讨论合作解题（15分钟）将学生分组讨论一些实际问题，例如：“小明有一块长宽分别为√5米和√3米的矩形地毯，他想铺在房间的地面上，房间的长宽分别为3√2米和2√3米，问地毯是否能完全覆盖房间的地面？”引导学生通过二次根式的运算解决问题。
6.总结归纳（5分钟）总结二次根式的运算法则和解题思路，强调学生在实际问题中的运用能力。
七、课堂练习（15分钟）八、作业布置（5分钟）九、教学反思。
九年级数学上人教版《二次根式及其化简》教案
《二次根式及其化简》教案
一、教学目标
1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和化简方法。
2.会进行二次根式的化简和运算。
3.培养学生的观察、比较、分析、推理能力。
二、教学重点难点
1.重点：掌握二次根式的性质和化简方法。
2.难点：正确运用二次根式的性质进行化简和运算。
三、教学方法与手段
1.通过实例引入，让学生感受二次根式在生活中的应用。
2.通过讲解和示范，让学生掌握二次根式的性质和化简方法。
3.通过练习和反馈，让学生深入理解并掌握二次根式的化简和运算。
4.通过小组合作和讨论，让学生互相交流和学习。
四、教学过程
1.复习导入：复习整式、一元二次方程等知识，为学习二次根式做准备。
2.新课引入：通过实例引入二次根式的概念，引导学生探索二次根式的性质
和化简方法。
3.讲解新课：通过讲解和示范，让学生掌握二次根式的性质和化简方法，包
括化简的步骤、注意事项等。
4.巩固练习：通过练习和反馈，让学生深入理解并掌握二次根式的化简和运
算，包括简单的一元二次方程的解法等。
5.课堂小结：总结二次根式的性质、化简方法和应用，强调正确运用二次根
式的性质进行化简和运算的步骤和方法。
6.作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
五、教学反思与改进
1.通过观察学生的表现，了解学生对二次根式的掌握情况。
2.根据学生的反馈情况，进行相应的反思和改进，调整教学方法和手段。
3.加强与学生的沟通和交流，及时发现和解决学生在学习过程中遇到的问
题。
二次根式的混合运算 公开课获奖学案
2.7 二次根式第3课时二次根式的综合运算复习引入1、什么样的二次根式叫做最简二次根式？（由学生回答）可以化简为．继续提问：，可以化简吗？，可以化简吗？这就是本节课研究的内容——二次根式的加减法．2、复习整式的加减运算：计算：（1）；（2）；（3）。
小结：整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算。
自主探究（一）探究新知问题中的化简 1、2、点拨：如果把二次根式当成x、y，不就转化为上面的问题了吗？（学生在教师的指导下完成）小结：（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算。
（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算。
定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
3、例题解析例1 ：下列各式中，哪些是同类二次根式？，，，，，，例2 计算例3 计算二次根式加减法的法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变。
（可对比整式的加减法则）例4 计算：（1）（2）（二）随堂练习：课本练习1、2题计算：（1）；（2）；（3）（三）总结、扩展1、同类二次根式的定义2、二次根式的加减法与整式的加减法进行比较，强调注意的问题（四）布置作业：课本习题7.2 A组1、2题B组1题（五）板书设计标题1．复习题5．例题（1）、（2）、2．整式的加减例题（3）、（4）3．例题（1）、（2）6．练习题4．同类二次根式7．小结（六）达标训练：2．2平方根第1课时算术平方根1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点)2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点)3．了解算术平方根的性质．(难点)一、情境导入上一节课我们做过：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a 的大正方形，那么有a 2＝2，a ＝________，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学过若x 2＝a ，则a 叫做x 的平方，反过来x 叫做a 的什么呢？二、合作探究探究点一：算术平方根的概念【类型一】 求一个数的算术平方根求下列各数的算术平方根：(1)64；(2)214；(3)0.36；(4)412－402.解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．解：(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8；(2)∵(32)2＝94＝214，∴214的算术平方根是32；(3)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；(4)∵412－402＝81，又92＝81，∴81＝9，而32＝9，∴412－402的算术平方根是3.方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．【类型二】 利用算术平方根的定义求值3＋a 的算术平方根是5，求a 的值．解析：先根据算术平方根的定义，求出3＋a 的值，再求a.解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a ＝25，所以a ＝22. 方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．探究点二：算术平方根的性质【类型一】解析：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算． 解：49＋9＋16－225＝7＋5－15＝－3.方法总结：解题时容易出现如9＋16＝9＋16的错误．【类型二】已知x 3(y －2)2＝0，求x －y 的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，a 2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y 的值，进而求得答案．解：由题意可得x －1＝0，y －2＝0，所以x ＝1，y ＝2.所以x －y ＝1－2＝－1.方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，|a|≥0，a 2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.三、板书设计算术平方根⎩⎨⎧概念：非负数a 的算术平方根记作a 性质：双重非负性⎩⎨⎧a≥0，a ≥0让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．4．4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式1．会确定正比例函数的表达式；(重点) 2．会确定一次函数的表达式．(重点)一、情境导入某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y 与x 之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．二、合作探究探究点一：确定正比例函数的表达式求正比例函数y ＝(m －4)m 2－15的表达式．解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．解：由正比例函数的定义知m 2－15＝1且m －4≠0，∴m ＝－4，∴y ＝－8x.方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 探究点二：确定一次函数的表达式【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．解析：先设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x ＝0时，y ＝5；当x ＝2时，y ＝－5.由此可以得到两个关于k 、b 的方程，通过解方程即可求出待定系数k 和b 的值，再代回原设即可．解：设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意得，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝b ，－5＝2k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝5.∴一次函数的表达式为y ＝－5x ＋5. 方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y ＝kx ＋b 中有两个待定系数k 、b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的图象与y 轴的交点，且OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA 的长，从而可以求出点B 的坐标，根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．解：设正比例函数的表达式为y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为y 2＝k 2x ＋b.∵点A(4，3)是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b.∴k 1＝34，即正比例函数的表达式为y ＝34x.∵OA ＝32＋42＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵点B 在y 轴的负半轴上，∴B 点的坐标为(0，－52)．又∵点B 在一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象上，∴－52＝b ，代入3＝4k 2＋b 中，得k 2＝118.∴一次函数的表达式为y 2＝118x －52.方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的函数关系式为y ＝8.4x.当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．三、板书设计确定一次函数表达式⎩⎪⎨⎪⎧正比例函数y ＝kx （k≠0）一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．。
1 二次根式 一等奖创新教案
1 二次根式一等奖创新教案二次根式【教学目标】1．了解二次根式的概念和二次根式的非负性。
2．理解和掌握二次根式的性质，并能利用它们进行化简或计算。
3．理解最简二次根式的概念，并能把一个不是最简二次根式的二次根式化为最简二次根式。
4．感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识和对数学的探究能力。
【教学重难点】重点：二次根式性质的应用。
难点：二次根式的化简。
【教学过程】一、一起探究。
1．（1）2，18，，的算术平方根是怎样表示的？（2）非负数的算术平方根又是怎样表示的？2．学校要修建一个占地面积为S m2的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a m2的环型绿化带，那么所成大圆的半径应为多少米？在上面的问题中，我们得到了等式子，它们分别表示某个非负数的算术平方根。
若无特殊说明，本章所说的“数”均指实数。
一般地，把形如的式子叫做二次根式。
二、探究。
1．小亮和小颖对二次根式分别有如下的观点。
你认同亮和小颖的观点吗？请举例说明。
小亮的观点：因为表示的是非负数的算术平方根，所以，根据算术平方根的意义，有。
小颖的观点：因为表示的是非负数的算术平方根，所以，根据算术平方根和被开方数的关系，有。
2．计算，并与大家交流你的结果。
事实上，对于二次根式，有是一个非负数，三、做一做化简：例1 化简：练习：化简习题A组1．化简2．化简B组1．做一个面积为300 cm2的长方形镜框，使它长与宽的比为3：2．镜框的宽应为多少厘米？2．有边长分别为a cm和b cm的两个正方形，还有一个大正方形的面积为这两个正方形的面积之和。
这个大正方形的边长是多少？当a = 3 cm，b=4 cm时，这个大正方形的边长又是多少？四、观察与思考探究。
1．是否相等？呢？2．当时，对的关系提出你的猜想，并说明理由。
3．是否相等？呢？4．当时，对的关系提出你的猜想，并说明理由。
事实上，理由如下：（1）因为当时，所以1．积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积，即2．商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即观察与思考：在例2中，观察每个小题化简前后被开方数的变化，请思考：（1）化简前，被开方数分别是整数、分数和小数。
1二次根式一等奖创新教案
1二次根式一等奖创新教案引言：二次根式是中学数学中一个重要且难点的知识点，学生对于二次根式的理解和应用往往存在困难。
为了提高学生对二次根式的学习兴趣和提高学习效果，我设计了一份创新教案，通过多种教学手段引导学生主动探索并理解二次根式的概念和运算规律，同时注重培养学生的动手实践能力和问题解决能力。
一、教学目标：1.理解二次根式的概念，知道二次根式的特点和性质。
2.掌握二次根式的基本运算法则，能熟练进行二次根式的加减乘除运算。
3.能够应用二次根式进行实际问题的解答。
4.培养学生的观察力、分析和解决问题的能力。
二、教学重点：1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的基本运算法则。
三、教学难点：1.二次根式的基本运算法则的理解和应用。
2.运用二次根式解决实际问题的能力。
四、教学过程：1.导入（5分钟）通过提问引导学生回顾并激发他们对二次根式的认识：你们对二次根式有什么了解？它和平方根有什么关系？2.学习二次根式的概念和性质（15分钟）通过讲解和示例演示，介绍二次根式的概念和性质，如二次根式的定义及符号表示、二次根式的化简、二次根式的性质等，并帮助学生理解和记忆。
3.运算法则的讲解和练习（25分钟）讲解二次根式的基本运算法则，包括加减乘除法则，并通过实例进行演示和讲解。
随后，组织学生进行个别或小组练习，巩固运用二次根式的基本运算法则。
4.创新实践环节：问题解决（30分钟）设计一些实际问题，要求学生通过运用二次根式的知识解答问题。
例如：一个正方形的边长是√2+√3，求其对角线的长度。
或者一个远足团共计10人，组织人数包括成人和学生，成人每人费用是30元，学生每人费用是20元，远足团总共花费350元，请问成人人数和学生人数各是多少？通过这些问题的解答过程，培养学生的问题解决能力。
5.总结与拓展（10分钟）通过对本节课的学习内容进行总结，并对二次根式的拓展内容进行简要介绍，引导学生进一步探索和学习。
6.作业布置（5分钟）布置相关的综合练习和拓展任务，巩固和拓展学生对二次根式的理解和运用能力。
八年级数学上册 2.7.1 二次根式教案 (新版)北师大版
课题：2.7.1 二次根式教学目标：1.认识二次根式和最简二次根式的概念.2.探索积的算术平方根与商的算术平方根的性质．3.利用积的算术平方根和商的算术平方根的性质将二次根式化为最简二次根式．4.通过利用二次根式的性质进行计算，理解最简二次根式的含义.在探究中培养学生的思维能力和归纳概括的意识．教学重点与难点：重点：二次根式的概念、性质及二次根式的化简.难点：（a≥0，b≥0）=（a≥0， b＞0）．并用它们进行二次根式化简.教学过程：一、创设情境，导入新课活动内容：求下列各数，思考下面的两个问题:1.我校有两个正方形的花坛，一个面积为8平方米，一个面积为2平方米，大家说这两个正方形的边长是多少？2. 5的算术平方根是多少？3.一个正数的平方是7.2，这个数多少？4.直角三角形的斜边长是c，一条直角边是b，那么另一条直角边的长为多少？问题1：它们的值有什么共同特点?问题2：它们的值是最简形式吗？处理方式：学生独立完成，，然后同伴交流所提出的两个问题。
引入我们今天要学习的内容.设计意图：由生活中的数学引出新课要探究的数学问题，一是，使学生感知数学在生活中的应用，激发学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础．二是加强前后知识间的联系，使学生认识到学习的必要性，从而增强学习的积极性.同时也顺利的引入了新课.二、探究学习，感悟新知活动内容1：（多媒体出示）观察下列各数并思考下面的问题：，5，11，2.7，12149，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？处理方式：以小组为单位，让学生充分讨论后回答，只要学生回答的合情合理均给予肯定和鼓励，通过式子的特点介绍二次根式的概念. 一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式.a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ．设计意图：学生通过观察并与小组成员的讨论这些式子的共同点，使学生能够形成二次根式的概念，初步感知二次根式的形态.同时教会学生在探究中培养学生的思维能力和归纳概括的意识，使学生学会学习．练一练：1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式?2.当x 在实数范围内有意义？3.若有意义，则m 能取得最小整数值是（ ）. 参考答案：， 2. 13x ≥ 3. 1处理方式：学生独立完成后进行交流讨论，使学生对二次根式有一个较深刻、全面的认识.使学生认识到：看一个式子是否为二次根式，关键看是否满足)0(≥a a 的形式. 即:二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是非负数.设计意图：通过练习，让学生加强对二次根式定义的认识. 第1题着眼于弄清二次根式的形式，巩固二次根式有意义的条件.第2题和第3题都是用不同的形式来考察学生对二次根式有意义的理解.让学生在练习中发现乐趣，掌握知识.活动内容2：（多媒体出示）计算下列各题，你发现了什么规律？(1). 计算下列各式，你能得到哪些猜想？94⨯＝ ； 94⨯＝ ，1x2516⨯25＝ ，；处理方式：让学生完成题目后交流，发现算式的特点及规律.设计意图：引导学生发现算式的特点及规律，并产生猜想, 增强学生的求知欲．(2). 猜猜76⨯7＝ ，也有类似的关系吗？你还能举出类似的例子吗？并用计算器验证.设计意图：引导学生验证猜想，得出规律,使学生获得成功的喜悦.并且收获了研究数学问题的探究方法．问题1：你能用字母表示这个规律吗？问题2：能用语言描述这个结论的意义吗?处理方式：小组内交流展示，重点引导学生认识算式的特点及二次根式有意义的条件.小组总结出结论= a ≥0，b ≥0)，这里应强调a ,b 的取值范围.预设：如果不能得出a ,b 的取值范围，教师应及时引导学生根据二次根式有意义的条件去发现。
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2.7 二次根式
第1课时二次根式及其化简
一、学习目标
1、了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断。
2、能熟练地把二次根式化为最简二次根式。
3、了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用。
4、进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力。
5、通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点。
6、通过本节的学习，渗透转化的数学思想。
二、重点难点
1、学习重点
会把二次根式化简为最简二次根式
2、学习难点
准确运用化二次根式为最简二次根式的方法
三、学习方法
程序式学习
四、课时安排
二课时
五、学习过程（此过程中，教师可以将顺序进行适时调换）
1、复习引入
准备本节内容需要的二次根式的性质和与性质相关例题、练习题以及引入材料。
【预备资料】
⑴、二次根式的性质
⑵、二次根式性质例题
⑶、二次根式性质练习题
【引入材料】
看下面的问题：
已知：＝1.732，如何求出的近似值?
解法1：
解法2：
比较两种解法，解法1很繁，解法2较简便，比例说明，将二次根式化简，有时会带来方便。
2、概念讲解与巩固
【概念讲解材料】
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1)、被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如:都不是最简二次根式，因为被开方数的因数(或系数)为分数或因式为分式，不符合条件(1)，条件(1)实际上就是要求被开方数的分母中不带根号。
又如也不是最简二次根式，因为被开方数中含有能开得尽方的因数或因式，不满足条件(2).注意条件(2)是对被开方数分解成质因数或分解成因式后而言的，如。
判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是。
【概念理解学习材料1】
例1、下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？
分析：判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是。
解：最简二次根式有，因为
被开方数中含能开得尽方的因数９，所以它不是最简二次根式。
说明：判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
【概念理解巩固材料1】
正选练习题1
判断下列各式是否是最简二次根式？
【概念理解学习材料2】
例2、判断下列各式是否是最简二次根式？
分析：（1）显然满足最简二次根式的两个条件。
（2）或
解：最简二次根式只有，因为
或
说明：最简二次根式应该分母里没根式，根式里没分母（或小数）。
【概念理解巩固材料2】
正选练习题2
判断下列各式是否是最简二次根式？
【概念理解学习材料3】
例3判断下列各式是否是最简二次根式？
分析：最简二次根式应该分母里没根式，根式里没分母（或小数）来进行判断发现和
是最简二次根式，而不是最简二次根式，因为
在根据定义知也不是最简二次根式，因为
解：最简二次根式有和，因为
，
【概念理解巩固材料3】
正选练习题3
判断下列各式是否是最简二次根式？
【概念理解学习材料4】
例4判断下列各式是否是最简二次根式？
分析：被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断。
（1）不能分解因式，显然满足最简二次根式的两个条件。
（2）
解：最简二次根式只有，因为
说明：被开方数比较复杂时，应先进行因式分解再观察。
【概念理解巩固材料5】
正选练习题5
判断下列各式是否是最简二次根式？
3、化简二次根式为最简二次根式方法学习与巩固
【化简方法学习材料1】
例1、把下列二次根式化为最简二次根式
分析：本例题中的2道题都是基础题，只要将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它
的算术平方根代替后移到根号外面即可。
解：
【化简方法巩固材料1】
正选练习题1
化简
【化简方法学习材料2】
例2、把下列二次根式化为最简二次根式
分析：本例题中的2道题被开方数都是多项式，应先进行因式分解。
解：
说明：被开方数中能开的尽方的因数或因式的算术平方根移到根号外面后要注意符号问题。
在化简二次根式时，要防止出现如下的错误:
化简二次根式的步骤是：
(1)把被开方数(或式)化成积的形式，即分解因式。
(2)化去根号内的分母，即分母有理化。
(3)将根号内能开得尽方的因数(式)开出来。
【化简方法巩固材料2】
正选练习题2
化简
【化简方法学习材料3】
例3、把下列二次根式化为最简二次根式
分析：被开方式比较复杂时，要先对被开方式进行处理。
解：
说明：运算中要注意运算的准确性和合理性。
【化简方法巩固材料3】
正选练习题3
化简
4、小结
⑴最简二次根式概念
⑵二次根式的化简
化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分。
7.5 三角形内角和定理
第2课时三角形的外角
学习内容（学习过程（此过程中，教师可以将顺序进行适时调换））
一、自主预习（感知）
二、合作探究（理解）
阅读教材P181页，思考下列问题：
1、什么是三角形的外角？
外角的特征有三：
(1)顶点在上．
(2)一条边是三角形的．
(3)另一条边是三角形某条边的．
2、如图，△ABC 中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD 是△ABC 的一个外角，能由∠A 、∠B 求出∠ACD 吗？如果能，∠ACD 与∠A 、∠B 有什么关系？
任意一个△ABC 的一个外角∠ACD 与∠A 、∠B 的大小会有什么关系呢？
（1（2）
三、轻松尝试（运用） 1、课本例2 2、课本例3
3、已知，如图，在三角形ABC 中，AD 平分外角∠EAC ，∠B=∠C ．求证：AD ∥BC
四、拓展延伸（提高） 习题7.7 联系拓广 3
五、收获盘点（升华）
六、当堂检测（达标）
1、如图，下列哪些说法一定正确 A ∠HEC >∠B
B ∠B+∠ACB=180°—∠A
C ∠B+∠ACB<180°
D ∠B>∠ACD
2、已知：如图，在△ABC 中，∠A=45°，外角∠DCA=100°，
B A
C
D
E
求∠B和∠ACB的大小
七、课外作业（巩固）
1、必做题：①整理导学案并完成下一节课导学案中的预习案。
②完成《学练优》中的本节内容
2、思考题：。