基本初等函数的导数公式及运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(上课)
题型三 商的导数
例 3 求下列函数的导数． (1)y＝sxin2x； (2)y＝xx2＋ ＋33； (3)y＝tanx； (4)y＝x·sinx－co2sx.
【解析】 (1)y′＝x2′·sinsxi－ n2xx2·sinx′ ＝2xsinxs－ in2xx2·cosx. (2)y′＝x＋3′·x2＋x32＋ －3x2＋3x2＋3′ ＝x2＋3x－ 2＋2x3x2＋3＝－x2＋ x2＋ 6x3－23. (3)∵y＝tanx＝csoinsxx， ∴y′＝csoinsxx′＝sinx′cosxc－ os2sxinx·cosx′
f (x) • g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
3.两个函数的商的导数,等于第一个函数的导 数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函 数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
f g
(x) (x)
f
(
x)
g
(x) f (
g(x)2
§1.2 导数的计算
探要点·究所然 情境导学
前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基 本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的 定义显得格外轻松.对于由四则运算符号连接的两 个或两个以上基本初等函数的导数如何求，正是本 节要研究的问题.
一、基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c,则 f ' (x) = 0 ；
【总结提升】
函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在 此点附近变化的快慢.由上述计算可
知 c′(98) 25c′(90) .它表示纯净度为98%左
右时净化费用的变化率,大约是纯净度为90% 左右时净化费用的变化率的25倍.这说明,水 的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且 净化费用增加的费用也越快.
几种常见函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
导数的运算法则:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
B
y k x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
f(x1)
O
A x2-x1=△x x x1 x2
回顾
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
lim
x 0
f ( x 0 x) f ( x 0) x
lim
x 0
3
y 3x cos x sin x
2
x x 2 (1) y 2 sin cos 2 x 1 (2) 2 2
y cos x 4 x
(3) y ( x 1)(x 2)
y 2 x 3
例6:求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x;
基本初等函数 的导数公式及导数的运算法则
①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:
回顾
y x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
y
比值反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度．
Y=f(x)
②割线的斜率
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在给定点处的变化率。
在微积分中有许多基本的初等函数，它们都有对应的导数公式和导数的运算法则。
下面，我将介绍一些常见的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
1.常数函数导数公式：如果f(x)=C，其中C为常数，则其导数为f'(x)=0。
2.幂函数导数公式：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
例如：f(x)=x^3，则f'(x)=3x^23.指数函数导数公式：如果f(x)=e^x，则其导数为f'(x)=e^x。
例如：f(x)=e^2，则f'(x)=e^24.对数函数导数公式：如果f(x) = ln(x)，则其导数为f'(x) = 1/x。
例如：f(x) = ln(2)，则f'(x) = 1/25.三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = sin(x)，则其导数为f'(x) = cos(x)。
(2) 如果f(x) = cos(x)，则其导数为f'(x) = -sin(x)。
(3) 如果f(x) = tan(x)，则其导数为f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = arcsin(x)，则其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 如果f(x) = arccos(x)，则其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
(3) 如果f(x) = arctan(x)，则其导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数的运算法则：1.常数乘法法则：设c为常数，f(x)为可导函数，则(cf(x))' = c*f'(x)。
例如：如果f(x)=2x，则f'(x)=2*1=22.求和差法则：设f(x)，g(x)为可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
y (x 解：因为2x 3)
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
(t ) 1.05t ln1.05 p
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
导数的运算法则:(和差积商的导数)
导数的运算法则:(和差积商的导数)
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切y x 2
线的 方程 为
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则[www
3x2 2. 所以,函数 y x3 2x 3的导数是 y' 3x2 2.
例3 日常生活中的饮用水 通常是经过净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加.已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费
用单位: 元为
1.金属晶体属等径圆球的密堆积方式：
请你比较
最紧密堆积
非紧密堆积
密置层
非密置层
采用密置层排列能够降低体系的能量
第一层:密置型排列 第二层:将球对准 1，3，5 位。
1
6
2
5
3
4
12
6
3
54
对准 2，4，6 位，其情形是一样的 吗？
密置双层只有一种
思考
取A、B两个密置层，将B层放 在A层的上面，有几种堆积方式？ 最紧密的堆积方式是哪种？它有 何特点？
cx 5284 80 x 100.求净化到下纯度
100 x 时,所需净化费用的瞬时变化率 :
1 90% ; 298%.
解 净化费用的瞬时变化率就是净化费
用函数的导数.
c
'
x
5284 100 x
'
5284' 100 x 5284 100 x'
100 x2
0
100 x 5284 100 x2
2
A
B
1
第一种排列
A
B
12
6
3
A
54
B
A
于是每两层形成一个 周期，即 AB AB 堆 积方式。
A3型紧密堆积
1
C
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
'
0.05eu 0.05e0.0 5x 1.
3函数y sinπx φ可以看作函数 y sinu和
u πx φ的复合函数 .
由复合函数求导法则有
' y'x yu u'x sinu' πx φ'
π cosu π cosπx φ.
我们无法用现有的方法 求函数 y lnx 2 的导数 . 下面, 我们先分析这个函数的 结构特点 . 若设 u x 2x 2 , 则y ln u.从而 y lnx 2 可以看成是由 y ln u 和u x 2x 2 经过 " 复 合" 得到的, 即y可以通过中间变量 u表示为自变量 x 的函数 . 如果把 y 与u的关系记作 y f u, u 和 x 的关系记作 u gx ,那么这个 " 复合 " 过程可表示为 y f u f gx lnx 2 . 我们遇到的许多函数都 可以看成是由两个函数 经过
思考 如何求函数y ln x 2 的导数呢?
" 复合" 得到的, 例如,函数y 2 x 3 由y u2和u 2 x 3" 复合" 而成,等等.
2
一般地 , 对于两个函数 y f u和u gx , 如果通过 变量 u, y可以表示成 x的函数 ,那么称这个函数为函 数y f u 和u g x 的 复 合 函 数 (composite fun ction),记作 y f gx . 复合函数 y f gx 的导数和函数 y f u,u gx 的 ' ' ' 导数间的关系为 y x yu ux .
基本初等函数导数公式附导数运算法则
1.2．2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）教学目的：1熟练掌握基本初等函数的导数公式。
2掌握导数的四则运算法则；3能利用给出的公式和法则求解函数的导数。
教学重点难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学安排：两课时教学过程：引入：复习巩固导数的基本公式，及其基本运算规律。
且知识讲解：一：基本初等函数的导数公式为了方便我们将可以直接使用的基本初等函数的导数公式表如下：关于表特别说明：1 常数函数的导数是0；2幂函数导数是以对应幂函数的指数为系数3余弦函数的导数是正弦函数的相反数。
从图像上来看，正弦函数在区间上单调递增，瞬时变化率为正，和余弦函数在该区间的正负是一致的，余弦函数在区间上是单调递减，瞬时变化率为负，和正弦函数在该区间的正负是相反的，故有一个负号。
4的导数是它自身。
5例1计算下列函数的导数强调：1幂函数和指数函数是两种不同的函数，关键是看变量所处的位置是在底数上还是在指数上。
2 导函数的定义域决定于原函数的定义域。
练习：求下列函数的导数。
例2．（课本P14例1）假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？/年）在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．提出问题：10个年头，这种0.01）？二导数的计算法则推论1导数不变）2（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）3解决问题：公式和求导法则，有/年）0.4元/年的速度上涨．例3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数，并注明定义域。
（1（2（3强调： 1 求导数是在定义域内实行的．2 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例4（P15例3）日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净所需净化费用的瞬时变化率：（1（24538y x x =+-练习：()()32454338x y xx -+'=+-解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．（1）用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）所以，费用的瞬时变化率是1321元/吨．强调：费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快． 五．课堂练习六．课堂小结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则 七．布置作业 八．教学后记。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
讲解经济学中的温水煮青蛙现象。虽然每年只有8分钱，但在 不知不觉中物价已经让你承担不起。
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为
c(x) 5284 (80 x 100) 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90％ （2）98％
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
c'(x)
( 5284 100 x
)'
5284'(100
x) 5284 (100 x)2Βιβλιοθήκη (100x)'
0 (100 x) 5284 (1) (100 x)2
5284 (100 x)2
例2 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，物价p(单位： 元)与时间t（单位：年）有如下函数关系
p(t) p0 (1 5%)t
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第10个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到）?
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p'(t) 1.05t ln1.05 p'(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元 / 年)
解：因为 y (x3 2x 3)
(x3 ) (2x) (3) 3x2 2
所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y ' 3x2 2
既然导数可求，那可以求这个函数图像的切线吗？原来的旧方 法没用了吧！我们用几何画板画出此函数的图像。
2.已知函数y=xlnx (1)求这个函数的导数 (2)求这个函数在点x=1处的切线方程
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课时授课计划
教师活动
教学过程：
一•创设情景
2 1
四种常见函数y=c、y = x、y =x、y —的导数公式及应用
:■•新课讲授
学生活动学生自行预习
(二)导数的运算法则导数运算法则
1. 〔f(X)土g(x)i = f'(x) ±g'(x)
2. [f(x) g(x)]' = f'(x)g(x)±f(x)g'(x)
I
f (x) I f (x)
g (x) - f (x) g (x) / . .
3. = ——(g(x)HO)
]g(x) 一[g(x)f
(2)推论:lcf(x) I - Cf'(x)
(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)
三.典例分析
例1 .假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5% ,物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系p(t) = p0(1 - 5%亍，其中p0 为t = 0时的物价.假定某种商品的p0 = 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?
解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(t) =1.0“ In 1.05
所以p (10) =1.0510|n1.05 ： 0.08 (元/年)
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨.
例2•根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.
(1) y = x3 -2x 3
(2) y
1 1
(3) y = x sin x ln x;
(4)y
(5)y
(6)y 4x
1 -ln x
1 l n x
(2 x2—5 x + 1) e x
/ 、sin x—xcosx (7) y =--------------------------
cosx +xsin x 通过预习自行完成
在老师的指导下独立完成后面几道题
【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的. ② ② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心. 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的•随着水纯净度的提高，所需 净化费用不断增加•已知将
1吨水净化到纯净度为 X%时所需费用(单 位：元)为 5284 c(x) (80 :：: x ：：：
100) 100 —x 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： (1) 90% (2) 98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数. c(x 、_( 5284、‘_5284 x (100 — x)—5284 x (100 — x) c
(x)=(
)
100—x
(100-x)2
_ 0 (100 -x)-5284 (-1)_
5284 一 2
(100-x)
2
(100 -x)
(1)
5284
因为c(90) = --------------- =52.84 ,所以，纯净度为90%
(100 -90)2
时，费用的瞬时变化率是 52.84元/吨.
(2)
因为c '(98)
2 =1321，所以，纯净度为 98%
(100 —90)
时，费用的瞬时变化率是 1321元/吨.
函数f (x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢•由
上述计算可知，c '(98^25c (90) •它表示纯净度为98%左右时净化费 用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的 25倍•这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费 用增加的速度也越快.。