数学史与数学思想

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1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
数学史与数学思想
• 作为一线的教师已经知道运用数学史的功能进行教学。向学 生介绍数学史，可以提高学生的学习兴趣，学习数学名家的 数学思想和方法，激励学生的爱国热情和学习积极性。运用 数学史消除那些荒诞的想法，诸如数学是静止的、一成不变 的、仅仅为男孩设立的一门学科。讲述数学家的故事和趣闻 轶事，历史地导入新课题是老师们常用的招式。1998年4月 20日在法国马赛由国际数学教育委员会发起举行了题为《数 学史在数学教育中的作用》国际讨论会，各国数学教育家相 互研讨了这一问题，取得了许多共识，华东师大张奠宙教授 在“重视科学史在科学教育中的应用”中指出：在数学教育 中，尤其在中小学数学教学过程中，运用数学史知识是进行 素质教育的重要方面。下面我们来看看数学史在小学数学教
• 我国11世纪的数学家贾宪利用二项式高次幂展开式的各项系数所遵循Baidu Nhomakorabea规律，制 成了“开方作法本源”图，载入其《皇帝九章算法细草》中，虽然贾宪的著作已 失传，但杨辉在《详解九章算法》一书中保存着这个“开方作法本源”图，而且 杨辉说“出释锁算术，贾宪用此术”，下面我们从数学的角度来看看贾宪三角形 的应用。
• 贾宪三角形的几何特性：隐藏在贾宪三角形中的几何性质更 是令人拍案叫绝，这是波兰数学家Waclaw Sierpinski（18821969）三角形带给我们的享受，这是最有意义的分形图之一。 画一个三角形，把它的三条边的中点相连，得到一个与原三 角形相似的三角形，把这个三角形移走，留下3个小三角形， 其边长是原三角形的一半，从这三个三角形中再移走三个更 小的三角形，这样就得到了9个边长为原三角形的四分之一 的小三角形。从理论上讲，这一过程可以无限进行下去，产 生了一个越来越空的和自相似的图形，它不是直线即它不是 一维的，也没有面积即它不是二维的，介于一维到二维之间。
• 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 贾宪三角形
• 贾宪三角形的有趣性质：我们从贾宪三角形中可以 看出 ：（1）的展开式共有n+1项；（2）在的展开 式中，与首末两端等远的项的系数相等；（3）如果 的幂指数n是偶数，展开式中间一项最大，n是奇数 时，中间两项相同且最大；（4）贾宪三角形第三条 斜线1，3，6，10…即三角形数中任意相邻二数之和 为平方数；（5）斜数第三列诸数的平方也恰好是； （6）斜数第四条斜线上诸数1，4，10，20，35，… 即四面体数中相邻两数之和1+4，4+10，10+20，… 恰好为；(7)如果p为质数，则第p行的数可以被p整 除（两端的1除外）；（8）把虚线上的数相加可以 得到Fibonacci数列：1，1，2，3，5，8，13，21， 34，55，89，…；（9）第行的所有数字都是奇数。
五除余三的数，然后，8+15=23，它已经满足给出的所有条件。
• 下面我们再来看一道稍微麻烦一点的问题，它出自于黄宗宪的 “求一术通解”：求一数，五除余零，七百十五除余十，二百
四十七除余一百四十，三百九十一除余二百四十五，一百八十 七除余一百零九。仔细读题后发现：5除余0是废话，247除余 140，余数是5的倍数，原数是5的倍数，因此这句话可变为 247×5=1235除余140，同样第四句话可变为391×5=1955除余245。 现在从1955除余245，1235除余140出发：
• 245，245+1955=2200，4155，6110，8065，10020
• 245，
965， 450，1170， 655， 140，第二行是第
一行除以1235的余数。依次试除，发现10020即为所求之数。
• 问题（杨辉《续古摘奇算法》）：二除余一，五除余二，七除 余三，九除余四，问本数。
贾宪三角形的应用
• 这类问题在我国历史上有不少有趣的名称：鬼谷算、秦王 暗点兵、剪管术、隔墙算和神奇妙算及大衍求一术等。
• 这个问题常用程大位于1583年在算法统宗中介绍的一首诗 “三人同行七十稀，五树梅花 一枝，七子团圆正半月，除 百零五便得知。”来计算的。然而这里涉及到衍母70，21， 15。小学生要想明白这些道理却不太容易！下面我们介绍华 罗庚先生给出的一种“笨方法” ：原问题就是求一数，三除 余二，五除余三，七除余二。三除余二，七除余二，则二十 一除余二，而23是三、七除余二的最小数，恰好被五除余三。 另外还可以如下求解：先在纸上写2，2+3=5，5+3=8，它是
学中的一些应用。
• 从孙子算经谈起 • 贾宪三角形的应用 • 鸡兔同笼问题 • 纵横图趣谈 • 东家流水入西邻 • 趣谈图形的拼补 • 数学名家的思想
从孙子算经谈起
• 孙子算经是我国古代的一部优秀数学著作，成书年代已
无从考证。其中有“物不知其数问题”：
• 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之 剩二，问物几何？
现在我们建立一个由多行组成的贾宪三角形，偶数用黑体表示， 如果把奇数去掉就出现三角形形状的洞，这样贾宪三角形就 变成了Waclaw Sierpinsk三角形，行数越多就越接近。如果把 被3整除的数用同一种颜色表示，就会得到一个新的完全由
数字构成的三角形。
•
鸡兔同笼问题
• 我国古代数学著作《孙子算经》中有一道著名的“鸡兔同笼问题：鸡兔 同笼，总体一数，有头30，脚72，问鸡兔数。小学算术大全中给出了公 式解法：鸡数=（头数×4-脚数）÷2，兔数=脚数÷2-头数。学生不知这 些公式怎样得来，一律死记公式。现在我们给出算术妙解1：设想把鸡变 为兔，看看发生了什么，一个换一个，每换一次，头数不变，脚却增加2 个，即头数仍为30，脚数为120，增加了120-72=48只脚，可见换了48 ÷2=24次，即换了24只鸡。算术总式的产生过程为24=48 ÷2 （48何 来？） =（120-72）÷2 （120何来？）