空间问题的有限元方法总结计划.docx

第三章 空间问题的有限元方法

引言

许多工程实际问题，属于空间问题，由于结构形状或受力的复杂性，用

经典弹性理论去求解它们的解析解是不可能的。 而有限元法处理此类问题， 原则

上不存在什么困难，本章将介绍一般空间问题的四面体单元。

一般空间问题的有限元列式

3.2.1 单元位移模式及插值函数

空间问题中，每个单元有四个结点，编码为

i,j,m,p

。每个结点有

3 个位移分量。每个结点

的位移可用位移矢量

i 表示，即

u i

i

v i

(i , j ,m, p)

w i

单元结点的位移向量可表示为

i

e

j

u i v i

w i u j v j w j

u m v m w m u p

v p

w p

T

m

p

e

为单元结点位移列阵。

假设单元内的位移模式选取一次多项式

u 1 2

x

3

y

4

z

v

5

6 x

7 y

8 z

（3.2.1 ）

w

9

10

x

11

y

12

z

由于四个结点也在单元内，满足位移模式，于是得

u i 12

x

i 3

y

i 4

z

i

u j 1 2

x

j 3

y

j 4

z

j

（ 3.2.2 ）

u m

1

2 x

m 3 y

m

4 z

m

u p

1

2

x

p 3

y

p 4

z

p

上式是关于

1 ,

2, 3,

4 的线性方程组。 1, 2 , 3, 4 是待定常数，也称为广义坐

标。它可由（ 3.2.2 ）式求出。上式的系数行列式是

1x i y i z i

1x j y j z j

2V（3.2.3 ）

D

x m y m z m

1

1x p y p z p

上式中当 i,j,m,p 的编号顺序满足右手法则， V值为正，其大小为四面体体积，因此为了方便单元的编号一般满足右手法则。求得1 , 2 , 3 , 4后,回代入位移模式得

u N i u i N j u j N m u m N p u p(3.2.4)

式中

N i

1

(a i b i x c i y d i z)(i , j, m, p) (3.2.5) 6V

x j y j z j

a i x m y m z m

x p y p z p

1y j z j

b i1y m z m

1y p z p

1x j z j

c i 1x m z m(i , j , m, p) （3.2.6）

1x p z p

1x j y j

d i1x m y m

1x p y p

上式下标 (i ,j , m, p) 轮换，可得 a j , b j ,c j , d j, a m ,b m ,c m , d m及 a p , b p , c p ,d p。同理 , 也可得到其它两式 , 于是得

u N i u i N j u j N m u m N p u p

v N i v i N j v j N m v m N p v p（ 3.2.7）

w N i w i N j w j N m w m N p w p 其中

N i

1

(a i b i x c i y d i z)(i , j, m, p) (3.2.8) 6V

N i , N j , N m , N p称为单元的插值函数或形函数，这里它是x, y, z的一次函数，其中a i ,b i , c i ,d i， a j , b j , c j , d j, a m ,b m , c m , d m及 a p , b p , c p ,d p是常数，由表达式可知，它完全由单元的大小和方位确定，一旦单元确定了，这些常数也完全确定。

（ 3.2.7 ）式的矩阵形式是

u N i00N j00N m00N p0

i 0

u v0N i00N j00N m00N p

j 0

w00N i00N j00N m00

m N p

p

i

IN i IN j IN m IN p j

m

p

[ N ] i[ N ] j[ N ] m[ N ] p e N e（3.2.9 ）

N称为插值函数矩阵或形函数矩阵。

3.2.2 ．应变矩阵和应力矩阵

⑴应变

确定了单元位移后，可以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。在（ 1.4.21 ）式的几何方程中，位移用（）式代入，得到单元应变为

x y z xy yz zx

u

x

v

y

w

z

u v y x v w z y w u x z

[ B] i[ B] j[ B] m[ B] p e B e（3.2.10 ）

B称为应变矩阵。

应变矩阵的分块矩阵 [ B]i是

b i00

0c i0

100 d i(i , j , m, p)（3.2.11 ）

[ B] i

c i b i0

6V

0d i c i

d i0b i

可以看出，应变矩阵 B 中的元素都是常量，从而单元中的应变都是常量，所以三维线性位移模式的四面体单元是常应变单元。

⑵ 应力

单元应力可以根据物理方程求得，其应力应变关系如下：

x 1 [x( E

y

1 [y( E

z

1 [z(

E

yz yz /

zx zx

/

xy xy /

y z )]

z x )]

x y )]

或