空间问题的有限元方法总结计划.docx
第五讲空间问题有限元分析
进一步写成数值积分形式为：
[K ] = ∑∑∑ [B(r , s , t )] [D] [B(r , s , t )] J (r , s , t ) h h h
n n n e T i =1 j =1 k =1 i j k i j k i j k i
j k
单元体力载荷向量可以表示为
{P }= ∫∫∫[N ] {F } dv = ∫ ∫ ∫ [N ] {F } J drdsdt
0
y
0
x z
0
0 N1 0
0 0 N1
N2 0 0
0 N2 00 0 N2源自L L LN8 0 0
0 N8 0
0 0 N8
N 1 x 0 0 = N 1 y 0 N 1 z
0 N1 y 0 N1 x N1 z 0
0 0 N 1 z 0 N 1 y N 1 x
Q1e e 0 Q2 0 Q3e N8 M e Q24
简记为 ：
5
1
8
{u} = [N ] {Q e }
t
4
s
r
6 2
图（二）
7 3
三、单元刚度矩阵与等效节点载荷向量
x 0 0 [B ] = [ ] [N ] = y 0 z 0 0 N 1 z 0 0 0 y x
单元刚度矩阵可以表示为：
[K ] = ∫∫∫[B] [D] [B] dv = ∫∫∫[B] [D] [B] dxdydz
e T T ve ve
将上式中的 x, y , z 替换为 r , s, t 则有：
[K ] = ∫ ∫ ∫ [B] [D] [B] J drdsdt
1 1 1 e T 1 1 1
N 2 x 0 0 N 2 x 0 N 2 z
9第2章弹性力学平面问题及空间问题有限元
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零 （如图 2-5） 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x
有限空间布置重点工作总结
有限空间布置重点工作总结
在现代社会，我们常常面临有限的空间，需要将重点工作进行合理布置。
在这
篇文章中，我们将探讨如何在有限的空间内有效地布置重点工作，以提高工作效率和生产力。
首先，要对重点工作进行明确的界定。
在有限的空间内，我们不可能同时进行
所有的工作，因此需要确定哪些工作是最重要的，最需要优先处理的。
这样可以确保我们在有限的空间内集中精力进行最重要的工作，提高工作效率。
其次，要充分利用空间资源。
在有限的空间内，我们需要充分利用各种资源，
包括桌面空间、文件柜、墙壁等，将工作进行合理布置。
可以使用文件夹、文件盒等工具，将文件整理归档，避免杂乱无章，提高工作效率。
另外，要合理安排工作时间。
在有限的空间内，我们需要合理安排工作时间，
将重点工作集中在最有效的时间段内进行。
这样可以确保我们在有限的空间内充分发挥工作效率，提高生产力。
最后，要保持空间整洁。
在有限的空间内，保持整洁是非常重要的。
整洁的工
作环境可以提高工作效率，减少工作中的混乱和压力，使我们更加专注于重点工作。
总之，在有限的空间内布置重点工作需要我们明确工作重点、充分利用空间资源、合理安排工作时间和保持空间整洁。
只有这样，我们才能在有限的空间内提高工作效率，提高生产力。
空间问题有限单元法
A1crbs A2brcs
crcs A2 brbs drds
A1brdsA2drbs
A1crds A2drcs
A1drbs A2brds
A1drcs A2crds
drds A2brbs crcs
空间问题有限单元法
第六章 空间问题的有限单元法
(r=i、j、m、n， S=i、j、m、n )
为单元结点位移列向量，而单元应变转换矩阵 [B]可按结 点分块表示为
B B 1 B 2 B 20
其中每个子矩阵又可分为上下两块，有
N i
x
0
0 N i
0
0
y
B i
Ti
S i
0
N
i
y
0
N i x
N z
i
0
0
N i
N
i
z y
N i z
0
N i x
单元的刚度矩阵为
y
v y
xy
u y
v x
yz
v z
w y
(6-1)
z
w z
zx
w x
u z
三维弹性体的应
变分量，用矩阵表示
x
为
x
y
z xy
0
0
yz
y
0
y
0
x
0
0
z
u v
0
w
zx 0
z
y
z
0
x
空间问题有限单元法
(6-2)
第六章 空间问题的有限单元法
中，整理后得
u N iu i N ju j N m u m N n u n
第六讲 空间问题的有限元方法
和 ｕ， 、
、
表示 ｉ 和 两个 节 点沿局
部坐 标系 三个 坐标 轴 的节 点力 ，对 应 于 局部 坐标 系三 个坐 标 轴 的节 点 力矩 为
Ｍ ｊ、 Ｍ ｊ、 Ｍ ｉｏ ｘ ｙ ｚ
、
，、
和
， ｍ３ ３
３
同样 ，ｆ ， 和 两个 节点 相对局 部坐标 系 的线位
维普资讯
技 术 与讲 座 Ｔｃ ｉｌ ｓ ｎ ｅ ｎａＬ ｓ ｈｃ ｏ ｅ
第六讲 空间问题 的有限元方法
Ｔｈ ｉｉ ｅ ｅ Ｆｎｔ Ｅｌｍｅ ｔＭｅ ｈ ｄ ｆ ｒ３ ｄｍｅ ｓｏ ｓ ｅ ｎ ｔｏ ｏ ｉ ｎ ｉｎ
陈 乐 生
标系 ，原点 为节 点 ｉ 连线 为 ，Ｙ 与横截 面 ， 一 ， 两个惯 性主 轴平 行 。 了确 定 面 平面 的位置 ，必 为 须在 而 平 面上给 定一 个参考 点 ｋ ，当然 ｋ 点不 能 在 ｆ上 。于是 ，我们 可 以得到局 部坐标 系与整 体 ， 坐标 系之 间的变换 关系 如下 ：
（ 州大 学机 械 工程及 自动化 学院 ） 福
前 面 几讲 我们 介 绍 了平面 问题 的 有 限元分 析
— —
—
—
ห้องสมุดไป่ตู้
— —
方 法 及其 原 理 ，关 于空 间 问题 的有 限元分 析这 里 只介绍 工程上 常见 的空 间粱单元 和轴对 称 问题 。
， ｌ
Ｖ
－
Ｚ
ｍＩ
．
称 为轴对 称 问题 ，这在 工程上 是一类 常见 的 问题 ， 或 者说 许 多 问题 工程 实 际 问题可 以简 化 为轴 对 称 问题加 以解决 。 ‘
《弹性力学与有限元》第7章空间问题的有限元分析
其中形状函数
10
10
10
∑ ∑ ∑ u = ui ， v = vi ， w = wi
i =1
i =1
i =1
角点： N1 = (2L1 − 1)L1 ， N2 = (2L2 − 1)L2 ， N3 = (2L3 − 1)L3 ， N4 = (2L4 − 1)L4 ；
边中点： N5 = 4L1L2 , N 6 = 4L1L3 , N 7 = 4L1L4 , N8 = 4L3 L4 , N9 = 4L2 L3 , N10 = 4L2 L4 .
(1
+
ξiξ
)(1
+
ηiη
)(1
+
ζ
iζ
)
其中 (ξi ,ηi ,ζ i ) 是 i 节点的局部坐标。并且规定在局部坐标系中，面 2376 上ξ = 1，面 1485
上ξ = −1；面 3487 上η = 1，面 1265 上η = −1；面 5678 上 ς = 1，面 1234 上ς = −1 。
Li
=
Vi V
, Lj
=
Vj V
, Lm
=
Vm V
, Lp
=
Vp V
为体积坐标。其中 V 是四面体 ijmp 的体积， Vi、Vj、Vm、Vp 分别是四面体 ojmp、oimp、 oijp 和 oijm 的体积。
热动3同学修改
王正伟 13601363209
11 1 1 V = 1 xi x j xm xp ，
A
则单元节点力矩阵
{ } { } ∑ {P}e = { } ( Pp e + PF e + Pq e ) .
空间问题的有限元
THANKS
电磁学
用于分析电磁场分布、电磁波 传播等问题，如天线设计、电 磁兼容分析等。
结构力学
用于分析建筑结构、桥梁结构、 飞机结构等的静力学、动力学 问题。
热力学
用于分析热传导、热对流、热 辐射等问题，如热设计、热优 化等。
其他领域
如生物医学工程、地球科学、 环境科学等领域中也广泛应用 了有限元方法。
02
插值函数
在每个单元内构造插值函数， 用于近似表示单元内的物理量 分布。
变分原理
基于最小势能原理或虚功原理 ，建立离散系统的平衡方程。
求解方法
采用直接法、迭代法等方法求解离 散系统的平衡方程，得到节点值，
进而得到整个系统的近似解。
有限元方法的应用领域
流体力学
用于分析流体流动、传热传质 等问题，如CFD（计算流体动 力学）模拟。
边界条件的处理
在总体刚度矩阵中引入边界条件，如固定支撑、滑动支撑等。
边界条件的处理
本质边界条件
直接修改总体刚度矩阵和右端向 量，将本质边界条件（如位移、
转角等）作为已知量引入。
自然边界条件
在求解过程中自动满足，无需特别 处理。
混合边界条件
将本质边界条件和自然边界条件结 合处理，既修改总体刚度矩阵和右 端向量，又在求解过程中考虑自然 边界条件。
空间问题的数学描述
空间问题的偏微分方程
01
02
03
椭圆型偏微分方程
描述稳态空间问题，如热 传导、弹性力学等。
抛物型偏微分方程
描述瞬态空间问题，如热 传导过程中的非稳态温度 场。
双曲型偏微分方程
描述波动现象，如电磁波、 声波等的传播。
边界条件与初始条件
有限元法小结
一维函数的两种展开方式比较
设有一维函数 ，分析其展开与逼近形式：
基于全域展开，如傅里叶级数 如傅里叶级数（Fourier series）展开
基于子域[xi , xi+1]上分段展开形式 上分段展开形式，若采用线性函数，
3
两种函数展开方式比较
基本函数Φi
4
基于单元的分析方法
所谓基于单元的分析方法， ，就是将原整体结构按几何形状 的变化性质划分节点并进行编号 划分节点并进行编号，然后将其分解为一个个 小的构件（即：单元）； 基于节点位移，建立每一个单元的 建立每一个单元的节点平衡关系（叫做单 元刚度方程）； 将各个单元进行组合和集成，以得到该结构的 下一步就是将各个单元进行组合和集成 整体平衡方程（也叫做整体刚度方程 整体刚度方程）； 按实际情况对方程中一些节点位移和节点力给定相应的值 （即边界条件处理），就可以 就可以求解出所有的节点位移和支 反力； 最后，在得到所有的节点位移后 在得到所有的节点位移后，就可以计算每一个单元 的其它力学参量（如应变、 、应力）。
FirstFirst order interpolation Full integration Reduced integration
SecondSecond order interpolation
全积分
Full integration：完全积分 完全积分
所谓完全积分是指当单元具有规则形状时，所用的高斯积分点可 所谓完全积分是指当单元具有规则形状时 以对单元刚度矩阵中的多项式进行精确的积分。线性单元如果要 以对单元刚度矩阵中的多项式进行精确的积分 完全积分，则在每个方向需要两个积分点 则在每个方向需要两个积分点。二次单元如果要完全 积分，则在每个方向需要三个积分点 则在每个方向需要三个积分点。
第3章空间问题有限元分析
(2)
式中，为待定系数，由单元结点的位移和坐标决定。将四个 结点的坐标（xi, yi, zi）、（xj, yj, zj）、（xm, ym, zm）、（xn,
yn, zn）和结点位移（ui, vi, wi）、（uj, vj, wj）、（um, vm, wm）、（un, vn, wn）代入（2）式可得12个联立方程，解方 程组便可求出。将这十二个系数回代到（2）式，则得到 由结点位移和形函数表示的单元内任一点的位移表达式：
e u5
e w8
w
w1e
1
e 7
e u8
8
e v7
e v8
2)坐标变换 8 x N i r , s, t x i i 1 8 y N i r , s, t y i i 1 8 z N i r , s, t z i i 1
6 A3 S i DBi V
(9)
返回
其中
A1 1
1 2 A2 2(1 )
A3
361 1 2
E1
显然单元中的应力也是常量。因此，四面体单元是常应力 单元。 三、单刚矩阵 对于四面体单元，利用虚功原理，采用类似平面问题 的处理方法可以得到其单刚矩阵
S j Sm Sn (8)
e
式中：[S]为四面体单元的应力矩阵，其分块形式为：
bi A1bi A1bi A2 ci 0 A2 d i A1ci ci A1ci A2 bi A2 d i 0 A1 d i A1 d i di （i, j, m, n） 0 A2 ci A2 bi
采用四面体单元处理弹性力学空间问题时，首先将要研究 的空间结构划分为一系列有限个不相互重叠的四面体。每个四 面体为一个单元，四面体的顶点即为结点。这样连续空间结构 就被离散为由四面体单元所组成的有限元网格。
弹性力学及有限元方法-空间问题
4．2 应变与应力
– 将假定的位移代入式(4．12)，得到单元内应
变为：
– 将应变矩阵[B]按节点分块表示为：
– 由(4．12)，得到应变矩阵[B]中任一子矩阵 [Bi] 为：
• 其中bi、ci及D如前，而
• 按物理关系式，有应力 • 注意轴对称问题三角形单元的形函数虽与平面
问题三角形单元相同，但其应变、应力则不相
• 同理，用v式可求得a5到a8 ，用w求得a9到 a12 ,为：
• 用矩阵记法统一表达为：
• [N]为形状函数矩阵，可表示为：
• [I]为三阶单位矩阵，而各节点的形状函数 可按下式计算得到，即
• 如记矩阵
为四面体单元的体积，其他系 数皆可由[L]确定，如
• 为矩阵第一行各元素的代数余子式。同样 可以确定al、bl、cl、dl…an、bn、cn、dn等， 它们是矩阵[L]第二、三、四行元素的代数 余子式。
• 轴对称问题中，上述截面内任一点p，实 际上代表一个半径为r的圆周(图4-2)，当 此圆周上各点都有径向位移u时，圆周被 拉伸，多出一个环向应变q。有：
• 全部应变的4项分量与两项位移分量之间 的几何关系（几何方程），以矩阵表示为:
• 轴对称问题的4项应力分量，以列阵表示为：
• 轴对称问题的应力与应变间的物理关系仍写为：
用位移法，就是只研究这个代表截面的位 移求得一个截面的位移分布，也就有了整 个三维结构内的位移分布，从而可以求得 体内任一点的应变及应力。这样，一个三 维问题，就可以转化为一个二维问题。 由于结构的变形是对称于中心轴的，因而 子午面内各点都只有沿径向r的位移u和沿 轴向z的位移w，一般应为截面坐标r，z的 函数，即
• 单元内应变为常值，按物理方程，单元内的 应力也是常值。当然，一般受力情况下，三 维体内有限大小的四面体内的应力并不是常 值，用常应力单元来代替它，只是近似的。 • 对此单元，单元间的应力是不连续的。只有 当单元划分得较小时，单元内的应力才会接 近于常值，此时计算的应力在单元间的不连 续才会比较小，因而可以作为真实应力分布 的近似。 • 一般，把这种单元应力的计算值作为单元中 心一点的应力近似值是比较适当的。
有限元 空间问题
{ } [B]{ }e [Bi Bj Bm Bn ]{ }e
{ f } [ N ]{ }e
bi 0 1 0 [ Bi ] 6V ci 0 常量 d i
0 ci 0 bi di 0
0 0 di (i, j , m, n) 0 ci bi
1
A2
1 2 E (1 ) A3 2(1 ) (1 )(1 2 )
4、单元刚度矩阵 [k ] v[ B] [ D][ B]dV
T
[k ] [ B] [ D][B]V
T
分块矩阵的形式
[k ]1212
kii k ji kmi kni
kij k jj kmj knj
kim k jm kmm knm
kin k jn kmn knn
式中子矩阵[krs]为3×3的矩阵 ：
[k rs ] [ Br ]T [ D][Bs ]V A1br c s A2 cr bs A1br d s A2 d r d s br bs A2 (cr c s d r d s ) A3 A1cr bs A2 br c s cr c s A2 (d r d s br bs ) A1cr d s A2 d r c s 36V A1d r bs A2 br d s A1d r c s A2 cr d s d r d s A2 (br bs cr c s ) (r , s i, j, m, n)
Ni 子矩阵： N i ] 0 [ 0 0 Ni 0 0 0 N i I (i , j , m, n ) Ni
第六章空间问题有限元
3．体积力的移置
• 设作用在单元上的体力为 ： • 由{Pv}移置后产生的等效节点载荷为： 移置后产生的等效节点载荷为： 移置后产生的等效节点载荷为
• 因此，由各类载荷移置产生的单元总等效节点载荷列阵为 因此，
由此可求出整个结构的 节点载荷列阵， 节点载荷列阵，即
各种单元的比较与选择
• 对平面应力单元而言，在大多数情况下， 平面应力单元而言，在大多数情况下， 而言 高次单元具有更高的精度， 高次单元具有更高的精度，但在应力集中 区，采用密集的三角形单元反而比稀疏的 高次单元可得到更好的计算结果。 高次单元可得到更好的计算结果。 • 对于空间三维单元，等参数单元既有较高 对于空间三维单元 空间三维单元， 的计算精度，又能适应复杂的几何形状， 的计算精度，又能适应复杂的几何形状， 应用较为广泛。 应用较为广泛。
• 在空间结构的离散 中，四节点四面体 单元是常用的实体 单元。 • 图示四面体单元， 图示四面体单元， 其节点为四面体的4 其节点为四面体的 个顶点， 个顶点，节点坐标 分别为i 分别为 (xi，yi，zi) , j (xj,yj,zj)，m (xm,ym,zm)，p (xp,yp,zp)。每个节 。 点有u,v,w 3个位移 点有 个位移 分量， 分量，即三个自由 度，而一个单元共 个自由度。 有12个自由度。 个自由度
四面体单元分析（1）
• 1.位移函数
• 基于单元自由度，可设单元的位移函数为线性函数，即有： 基于单元自由度，可设单元的位移函数为线性函数，即有：
• 根据12个边界条件，联立求解可以确定12个待定系数 1，α2，···α12， 根据12个边界条件，联立求解可以确定12个待定系数α 12个边界条件 可以确定12个待定系数 代回到前式， 代回到前式，经过整理得到 ：
2、空间问题的有限元法
机电工程学院
由平面问题转为空间问题，给有限元分析带来两个主要
难题：
1、空间离散化不太直观，人工离散很容易出错。 2、未知量的数量剧增，对计算机的存储和计算时间要 求较高。
车辆工程技教研室
机电工程学院
解决问题： 1、编程建模 2、采用高精度单元
由于通用软件有很好的前后处理功能，因此空间问题基本上都靠软件来解决。
或： f N
e
（由结点位移表示的单元内位移）
N1 N 0 0
0 N1 0
0 0 N1
N2 0 0
0 N2 0
0 0 N2
N3 0 0
0 N3 0
0 0 N3
N4 0 0
0 N4 0
0 0 N4
形函数矩阵
车辆工程技教研室
机电工程学院
1. 基本变量 单元内任一点位移:
u { f } v w 单元内任一点应变:
{ } x y z xy yz zx
单元内任一点应力:
T
{ } x y xy yz zx z 车辆工程技教研室
T
机电工程学院
其中：
A1
A1c r cr A1c r A2br A2 d r 0
A1d r A1d r dr 0 A2 cr A2br
(r 1,2,3,4)
1
,
1 2 A2 , 21
E 1 A3 361 1 2
设单元内任一点的位移为坐标的 线性函数:
u ( x, y, z ) 1 2 x 3 y 4 z v( x, y, z ) 5 6 x 7 y 8 z w( x, y, z ) x y z 9 10 11 12
4_空间问题有限元分析
σ = {σ x
σ x σ x τ xy τ yz τ zx }
T
在线弹性范围内， 在线弹性范围内，应力应变间的物理关系可用矩阵形式表 示为
σ = Dε
<<结构分析中的有限单元法>>
(4.3)
By Xiaojun Wang 4 /22
三维应力状态
对于各向同性的弹性体，在三维应力状态下， 对于各向同性的弹性体，在三维应力状态下，弹性系数矩阵 D 的 一般形式为
bi 0 1 0 Bi = 6V ci 0 di 0 ci 0 bi di 0 0 0 di 0 ci bi
(i, j , k , m)
(4.10)
<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
13 /22
四面体常应变单元
等按式(4.9)决定。可见，这里 Bi 的每项元素都是由结点坐 决定。 式中的V 及 bi , ci , di 等按式 决定 可见， 标决定的常数，因而简单四面体单元内，各点的应变都是一样的，这是一种 标决定的常数，因而简单四面体单元内，各点的应变都是一样的， 常应变单元。这一点与平面问题常应变三角形单元是相似的。由于单元内位 常应变单元。这一点与平面问题常应变三角形单元是相似的。 移都假定为线性变化，因而由位移一阶导数组成的应变，自然就是常值了。 移都假定为线性变化，因而由位移一阶导数组成的应变，自然就是常值了。 单元内应变为常值，按物理方程 单元内应变为常值，按物理方程(4.3)，单元内的应力也是常值。一般受 ，单元内的应力也是常值。 力情况下， 体内优先大小的四面体内的应力并不是常值， 力情况下，三维体内优先大小的四面体内的应力并不是常值，用常应力单元 来代替它，当然是近似的，单元间的应力是不连续的。 来代替它，当然是近似的，单元间的应力是不连续的。只有当单元划分得很 小时，单元内的应力才接近于常值， 小时，单元内的应力才接近于常值，用有限元法计算出的应力在单元间的不 连续才是比较小的，可以作为真实应力分布的近似。 连续才是比较小的，可以作为真实应力分布的近似。一般把这种单元应力的 计算值作为单元中心一点的应力近似值是比较适当的。 计算值作为单元中心一点的应力近似值是比较适当的。
有限元计算平面问题总结书
小组总结报告本次作业的任务是要求用有限元的计算机算法对一个实例进行计算来熟练掌握机算的方法。
方法并验证机算的精确程度和分析如何提高机算的精确性。
通过机算得要每个有限单元的应力，通过不同的方法进行应力整理，在结构上取几个点通过弹性力学的精确解答得到这些点的精确解，然后把计算机算得的单元应力进行整理得到点的应力大小，然后把弹性力学的精确解和机算的应力进行比较，得到误差，验证精确性，并通过不同个数单元的应力精确性进行分析，如何提高有限元算法的精确性。
小组商量选择简支梁为模型进行有限元的分析，选择了一个6m，高1m，厚度0.1m的简支梁模型，梁的上部受10牛每平方米的均布力作用，小组成员5人都采用了三角形单元法进行有限元单元网络的分解，分别选取40, 60,80,100,120个单元的网络，各自进行单元和节点的编号。
编写输出数据，运行C语言程序分析得到各点的应力和个单元的应力，并记录。
在梁上选取几个点通过弹性力学的公式计算得到精确解，在通过有限单元法对单元应力进行整理得到此点的应力，比较误差，分析误差。
通过小组的分析和商讨看出误差的一定规律，并找到如何减小误差从而提高精度的方法。
通过误差的分析可以看出50个单元的应力误差很大，较100,120个单元的结构误差大了很多，所以可以看出，单元越少，应力的误差比较大。
在单元相同个数的结构中，可以看出，应力大的点，应力的误差大，应力小的点，误差较小，所以可以看出应力大的地方误差较为集中，应该进行单元的密分，进而减少误差。
当然进行了误差分析之后，也找到了提高精度的方法，其就是减少误差。
通常可以通过网格的细分，使每个单元的面积缩小，那么尽管每个单元是应变、常应力单元，仍可较好地反映结构中的应力变化，使得到的解答收敛于问题的精确解；还可以根据应力梯度使网格的布局合理化。
即在梯度大的区域网格密些，梯度小的区域应稀些，密、稀网格之间应逐步过渡。
在小组进行任务完成的工作中，遇到了各种各样的问题，例如怎么样进行输入数据源的编写，C语言程序的使用，应力的整理和分析，在这些工作中都遇到了难题，但是在小组成员共同努力下，齐心协力的克服了各种各样的难题，最终完成了有限单元法计算机求解的任务，在此过程中更加深刻得理解了有限元的方法，学会了用有限元计算机来求解一些复杂的实际问题。
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第三章 空间问题的有限元方法引言许多工程实际问题，属于空间问题，由于结构形状或受力的复杂性，用经典弹性理论去求解它们的解析解是不可能的。
而有限元法处理此类问题， 原则上不存在什么困难，本章将介绍一般空间问题的四面体单元。
一般空间问题的有限元列式3.2.1 单元位移模式及插值函数空间问题中，每个单元有四个结点，编码为i,j,m,p。
每个结点有3 个位移分量。
每个结点的位移可用位移矢量i 表示，即u iiv i(i , j ,m, p)w i单元结点的位移向量可表示为ieju i v iw i u j v j w ju m v m w m u pv pw pTmpe为单元结点位移列阵。
假设单元内的位移模式选取一次多项式u 1 2x3y4zv56 x7 y8 z（3.2.1 ）w910x11y12z由于四个结点也在单元内，满足位移模式，于是得u i 12xi 3yi 4ziu j 1 2xj 3yj 4zj（ 3.2.2 ）u m12 xm 3 ym4 zmu p12xp 3yp 4zp上式是关于1 ,2, 3,4 的线性方程组。
1, 2 , 3, 4 是待定常数，也称为广义坐标。
它可由（ 3.2.2 ）式求出。
上式的系数行列式是1x i y i z i1x j y j z j2V（3.2.3 ）Dx m y m z m11x p y p z p上式中当 i,j,m,p 的编号顺序满足右手法则， V值为正，其大小为四面体体积，因此为了方便单元的编号一般满足右手法则。
求得1 , 2 , 3 , 4后,回代入位移模式得u N i u i N j u j N m u m N p u p(3.2.4)式中N i1(a i b i x c i y d i z)(i , j, m, p) (3.2.5) 6Vx j y j z ja i x m y m z mx p y p z p1y j z jb i1y m z m1y p z p1x j z jc i 1x m z m(i , j , m, p) （3.2.6）1x p z p1x j y jd i1x m y m1x p y p上式下标 (i ,j , m, p) 轮换，可得 a j , b j ,c j , d j, a m ,b m ,c m , d m及 a p , b p , c p ,d p。
同理 , 也可得到其它两式 , 于是得u N i u i N j u j N m u m N p u pv N i v i N j v j N m v m N p v p（ 3.2.7）w N i w i N j w j N m w m N p w p 其中N i1(a i b i x c i y d i z)(i , j, m, p) (3.2.8) 6VN i , N j , N m , N p称为单元的插值函数或形函数，这里它是x, y, z的一次函数，其中a i ,b i , c i ,d i， a j , b j , c j , d j, a m ,b m , c m , d m及 a p , b p , c p ,d p是常数，由表达式可知，它完全由单元的大小和方位确定，一旦单元确定了，这些常数也完全确定。
（ 3.2.7 ）式的矩阵形式是u N i00N j00N m00N p0i 0u v0N i00N j00N m00N pj 0w00N i00N j00N m00m N ppiIN i IN j IN m IN p jmp[ N ] i[ N ] j[ N ] m[ N ] p e N e（3.2.9 ）N称为插值函数矩阵或形函数矩阵。
3.2.2 ．应变矩阵和应力矩阵⑴应变确定了单元位移后，可以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。
在（ 1.4.21 ）式的几何方程中，位移用（）式代入，得到单元应变为x y z xy yz zxuxvywzu v y x v w z y w u x z[ B] i[ B] j[ B] m[ B] p e B e（3.2.10 ）B称为应变矩阵。
应变矩阵的分块矩阵 [ B]i是b i000c i0100 d i(i , j , m, p)（3.2.11 ）[ B] ic i b i06V0d i c id i0b i可以看出，应变矩阵 B 中的元素都是常量，从而单元中的应变都是常量，所以三维线性位移模式的四面体单元是常应变单元。
⑵ 应力单元应力可以根据物理方程求得，其应力应变关系如下：x 1 [x( Ey1 [y( Ez1 [z(Eyz yz /zx zx/xy xy /y z )]z x )]x y )]或Ex ,Ex12yz yz12(1)Ey ,Ey12zx zx12(1)Ez ,Ez12xy xy12(1)于是应力向量可表示为D DB e S e（3.2.12 ）式中 D 为弹性矩阵，而111111E(1)1111 2D2)00(1 )(12(1)00120 2(1)12 0)2(1（3.2.13 ）从而可以到，三大物理参量，都可以用单元结点位移向量表示：u N eTB ex y z xy yz zxTe S ex y z xy yz zx DB由于 N，B，S 都是已知的矩阵，只要求得 e ，则单元内的位移、应变和应力就可以就得，问题是：如何求结点位移向量3．单元刚度矩阵和结点载荷向量对于三维单元，单元刚度矩阵也具有上章所讨论的单元刚度矩阵的一般形式，即KeV e B TDBtdxdyB TDBV（ 3.2.15 ）写成分块矩阵的形式K ii e K ij e K im e K ip eK eK e jiK jj e K e jm K e jp（3.2.16 ）K mi eK mjeK mmeK mp eK pi e K pj e K pm e K pp e每个子矩阵为K rs e [ B r ] T D[ B s ]V等效结点载荷P f eN T fdVV eP S eeN T TdSSP e P f e P S e（3.2.17 ）P e 是单元等效结点载荷（体力和面力引起的等效结点力） ， F e 是其他单元对该单元的作用力，则单元结点力为P e 与 F e 和。
体积力的等效结点载荷：P if ef xP f eP jf e VeN T f y dxdydzP mf ef zP ix ef xP if eP iy eV eNif y dxdydz (i, j , m, p)P iz e ff z面积力的等效结点载荷：P S eeN T TdSSPeTixP S eP jeSeN TT y dSP m eT zSP ix e T xP iS eP iy e N i T y dSP iz eST zS这里给出两种常见的载荷的等效结点力：ⅰ）均质单元的自重分配到四个结点的等效结点力，其数值都等于 gV / 4 ；ⅱ）设单元的某一边界面上，例如ijm ，受有线性分布载荷，它在i, j , m 三个结点处的强度分别为 q i , q j , q m ，则分配到结点 i 上的等效结点力的数值为P i e1 q i1q j1q m A ijm(i , j, m)62 2A ijm 为受力面三角形面积。
方向与原方向平行。
3.2.4 ．结构刚度矩阵和结构载荷列阵的集成由单元分析可得有限元列式为K eeP e F e（ 3.2.18 ）经叠加，组合，得有限元方程KP其中N eKK ee 1N EPP ee 1式中K e 为扩大后的单元刚度矩阵；P e 为扩大后的单元等效结点载荷；N e 为结构系统的单元数。