点线面位置关系知识点梳理及经典例题带解析

【知识梳理】

（1）四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面

它给出了确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。 符号语言：,,P P l P l αβα

β∈∈⇒=∈且。

公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。

（2）空间中直线与直线之间的位置关系

1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面的两条直线叫做异面直线。

已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。（易知：夹角围090θ<≤︒）

定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）

2.位置关系：⎧⎧⎪⎨

⎨⎩⎪

⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

（3）空间中直线与平面之间的位置关系

直线与平面的位置关系有三种：//l l A l ααα⊂⎧⎪

=⎧⎨⎨⎪⎩⎩

直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点

（4）空间中平面与平面之间的位置关系

平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩

两个平面平行（）没有公共点

两个平面相交（）有一条公共直线

直线、平面平行的判定及其性质 1.容归纳总结 //βα

⇒//,//a a b αβ⊂⇒ ,

//a b a b

⇒

直线、平面平垂直的判定及其性质 1.容归纳总结 （一）基本概念

1.直线与平面垂直：如果直线l 与平面α的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作l α⊥。直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。直线与平面的公共点P 叫做垂足。

2. 直线与平面所成的角： 角的取值围：090θ<<︒。

3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法： 二面角的取值围：0180θ<<︒ ； 两个平面垂直：直二面角。 n ⊥

平面与平面

垂直的判定

一个平面过另一平面的垂

线，则这两个平面垂直。

,

a a

βαβα

⊂⊥⇒⊥（满

足条件与α垂直的平面β

有无数个）

判定的关键：在一个已知平面“找

出”两条相交直线与另一平面平行。

即将“面面平行问题”转化为“线

面平行问题”

直线与平面

垂直的性质

同垂直与一个平面的两条

直线平行。

,//

a b a b

αα

⊥⊥⇒

平面与平面

垂直的性质

两个平面垂直，则一个平面

垂直与交线的直线与另一

个平面垂直。

,,,

l a

a l a

αβαββ

α

⊥=⊂

⊥⇒⊥

解决问题时，常添加的辅助线是在

一个平面作两平面交线的垂线

【经典例题】

典型例题一

例1简述下列问题的结论，并画图说明：

（1）直线⊂

a平面α，直线A

a

b=

，则b和α的位置关系如何？

（2）直线α

⊂

a，直线a

b//，则直线b和α的位置关系如何？

分析：（1）由图（1）可知：α

⊂

b或A

b=

α

；

（2）由图（2）可知：α

//

b或α

⊂

b．

说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法．

典型例题二

例2P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：//

PC平面BDQ．分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面找到一条直线和已知直线平行就可以了．

证明：如图所示，连结AC，交BD于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形

∴CO

AO=，连结OQ，则OQ在平面BDQ，且OQ是APC

∆的中位线，

∴OQ

PC//．

∵PC 在平面BDQ 外， ∴//PC 平面BDQ ．

说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？ 由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为：

过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．

典型例题三

例3 经过两条异面直线a ，b 之外的一点P ，可以作几个平面都与a ，b 平行？并证明你的结论． 分析：可考虑P 点的不同位置分两种情况讨论． 解：（1）当P 点所在位置使得a ，P （或b ，P ）本身确定的平面平行于b （或a ）时，过P 点再作不出与a ，b 都平行的平面；

（2）当P 点所在位置a ，P （或b ，P ）本身确定的平面与b （或a ）不平行时，可过点P 作a a '//，b b //'．由于a ，b 异面，则a '，b '不重合且相交于P ．由于P b a ='' ，a '，b '确定的平面α，则由线面平行判定定理知：α//a ，α//b ．可作一个平面都与a ，b 平行．

故应作“0个或1个”平面．

说明：本题解答容易忽视对P 点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论．

典型例题四

例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面． 已知：直线b a //，//a 平面α，α⊄b ． 求证：α//b ．

证明：如图所示，过a 及平面α一点A 作平面β． 设c =βα ，

∵α//a ， ∴c a //． 又∵b a //， ∴c b //．

∵α⊄b ，α⊂c ， ∴α//b ．

说明：根据判定定理，只要在α找一条直线b c //，根据条件α//a ，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a 作平面β与α相交，我们常把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化． 和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．