点线面位置关系知识点梳理及经典例题带解析

【知识梳理】（1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面它给出了确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。

符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。

公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。

符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。

（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面的两条直线叫做异面直线。

已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。

（易知：夹角围090θ<≤︒）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线直线、平面平行的判定及其性质 1.容归纳总结 //βα⇒//,//a a b αβ⊂⇒ ,//a b a b⇒直线、平面平垂直的判定及其性质 1.容归纳总结 （一）基本概念1.直线与平面垂直：如果直线l 与平面α的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作l α⊥。

直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。

直线与平面的公共点P 叫做垂足。

2. 直线与平面所成的角： 角的取值围：090θ<<︒。

3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

二面角的记法： 二面角的取值围：0180θ<<︒ ； 两个平面垂直：直二面角。

n ⊥平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。

,a aβαβα⊂⊥⇒⊥（满足条件与α垂直的平面β有无数个）判定的关键：在一个已知平面“找出”两条相交直线与另一平面平行。

即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面垂直的性质同垂直与一个平面的两条直线平行。

,//a b a bαα⊥⊥⇒平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面垂直与交线的直线与另一个平面垂直。

,,,l aa l aαβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面作两平面交线的垂线【经典例题】典型例题一例1简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线⊂a平面α，直线Aab=，则b和α的位置关系如何？（2）直线α⊂a，直线ab//，则直线b和α的位置关系如何？分析：（1）由图（1）可知：α⊂b或Ab=α；（2）由图（2）可知：α//b或α⊂b．说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法．典型例题二例2P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：//PC平面BDQ．分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面找到一条直线和已知直线平行就可以了．证明：如图所示，连结AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是平行四边形∴COAO=，连结OQ，则OQ在平面BDQ，且OQ是APC∆的中位线，∴OQPC//．∵PC 在平面BDQ 外， ∴//PC 平面BDQ ．说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？ 由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．典型例题三例3 经过两条异面直线a ，b 之外的一点P ，可以作几个平面都与a ，b 平行？并证明你的结论． 分析：可考虑P 点的不同位置分两种情况讨论． 解：（1）当P 点所在位置使得a ，P （或b ，P ）本身确定的平面平行于b （或a ）时，过P 点再作不出与a ，b 都平行的平面；（2）当P 点所在位置a ，P （或b ，P ）本身确定的平面与b （或a ）不平行时，可过点P 作a a '//，b b //'．由于a ，b 异面，则a '，b '不重合且相交于P ．由于P b a ='' ，a '，b '确定的平面α，则由线面平行判定定理知：α//a ，α//b ．可作一个平面都与a ，b 平行．故应作“0个或1个”平面．说明：本题解答容易忽视对P 点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论．典型例题四例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面． 已知：直线b a //，//a 平面α，α⊄b ． 求证：α//b ．证明：如图所示，过a 及平面α一点A 作平面β． 设c =βα ，∵α//a ， ∴c a //． 又∵b a //， ∴c b //．∵α⊄b ，α⊂c ， ∴α//b ．说明：根据判定定理，只要在α找一条直线b c //，根据条件α//a ，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a 作平面β与α相交，我们常把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化． 和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．典型例题五例5 已知四面体ABC S -的所有棱长均为a ．求： （1）异面直线AB SC 、的公垂线段EF 及EF 的长； （2）异面直线EF 和SA 所成的角．分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线AB SC 、的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．解：（1）如图，分别取AB SC 、的中点F E 、，连结CF SF 、． 由已知，得SAB ∆≌CAB ∆． ∴CF SF =，E 是SC 的中点， ∴SC EF ⊥．同理可证AB EF ⊥∴EF 是AB SC 、的公垂线段．在SEF Rt ∆中，a SF 23=，a SE 21=． ∴22SE SF EF -=a a a 22414322=-． （2）取AC 的中点G ，连结EG ，则SA EG //．∴EF 和GE 所成的锐角或直角就是异面直线EF 和SA 所成的角． 连结FG ，在EFG Rt ∆中，a EG 21=，a GF 21=，a EF 22=． 由余弦定理，得22222124142412cos 222222=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠a a aa a EF EG GF EF EG GEF ． ∴45=∠GEF ．故异面直线EF 和SA 所成的角为45．说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．典型例题六例6 如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面． 已知：直线α//a ，α∈B ，b B ∈，a b //． 求证：α⊂b ．分析：由于过点B 与a 平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面α外，不存在过B 与a 平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法．证明：如图所示，设α⊄b ，过直线a 和点B 作平面β，且'b =αβ ．∵α//a ，∴α//'b ．这样过B 点就有两条直线b 和'b 同时平行于直线a ，与平行公理矛盾．∴b 必在α．说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据． (2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式．如上图，过直线a 及点B 作平面β，设'b =αβ ．∵α//a ，∴α//'b ．这样，'b 与b 都是过B 点平行于a 的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条， ∴b 与'b 重合．∵α⊂'b ，∴α⊂b ．典型例题七例7 下列命题正确的个数是（ ）．(1)若直线l 上有无数个点不在平面α，则α//l ； (2)若直线l 平行于平面α的无数条直线，则α//l ；(3)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α的任一直线平行； (4)若直线l 在平面α外，则α//l ．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系．对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键．要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面来分类．解：(1)直线l 上有无数个点不在平面α，并没有说明是所在点都不在平面α，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交．解题时要注意“无数”并非“所有”．(2)直线l 虽与α无数条直线平行，但l 有可能在平面α，所以直线l 不一定平行α．(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到．当α//l 时，若α⊂m 且l m //，则在平面α，除了与m 平行的直线以外的每一条直线与l 都是异面直线．(4)直线l 在平面α外，应包括两种情况：α//l 和l 与α相交，所以l 与α不一定平行． 故选A ．说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面．如直线l 、m 都平行于α，则l 与m 的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线m l //、α//l ，则m 与α的位置关系可能是平行，可能是m 在α． 典型例题八例8 如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交． 已知：直线b a //，P a =α平面 ．求证：直线b 与平面α相交．分析：利用b a //转化为平面问题来解决，由b a //可确定一辅助平面β，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用．解：∵b a //，∴a 和b 可确定平面β． ∵P a =α ，∴平面α和平面β相交于过点P 的直线l ．∵在平面βl 与两条平行直线a 、b 中一条直线a 相交，∴l 必定与直线b 也相交，不妨设Q l b = ，又因为b 不在平面α（若b 在平面α，则α和β都过相交直线b 和l ，因此α与β重合，a 在α，和已知矛盾）． 所以直线b 和平面α相交．说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平面以及直线和平面平行；用此结论：一条直线如果经过平面一点，又经过平面外一点，则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明）． 典型例题九例9 如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行． 已知：a 与b 是异面直线．求证：过b 且与a 平行的平面有且只有一个．分析：本题考查存在性与唯一性命题的证明方法．解题时要理解“有且只有”的含义．“有”就是要证明过直线b存在一个平面α，且α//a ，“只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的．存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论．证明：(1)在直线b 上任取一点A ，由点A 和直线a 可确定平面β． 在平面β过点A 作直线'a ，使a a //'，则'a 和b 为两相交直线，所以过'a 和b 可确定一平面α． ∵α⊂b ，a 与b 为异面直线， ∴α⊄a ．又∵'//a a ，α⊂'a ，∴α//a ．故经过b 存在一个平面α与a 平行．(2)如果平面γ也是经过b 且与a 平行的另一个平面， 由上面的推导过程可知γ也是经过相交直线b 和'a 的．由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面α与γ重合， 即满足条件的平面是唯一的．说明：对于两异面直线a 和b ，过b 存在一平面α且与a 平行，同样过a 也存在一平面β且与b 平行．而且这两个平面也是平行的（以后可证）．对于异面直线a 和b 的距离，也可转化为直线a 到平面α的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法． 典型例题十例10 如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 已知：l =βα ，α//a ，β//a ，求证：l a //．分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力．利用线面平行的性质定理，可以先证明直线a 分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平行．然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明a 与l 平行．证明：在平面α取点P ，使l P ∉，过P 和直线a 作平面γ交α于b ． ∵α//a ，γ⊂a ，b =αγ ，∴b a //．同理过a 作平面δ交β于c ． ∵β//a ，δ⊂a ，c =βδ ， ∴c a //． ∴c b //．∵β⊄b ，β⊂c ， ∴β//b ．又∵α⊂b ，l =βα ， ∴l b //． 又∵b a //， ∴l a //．另证：如图，在直线l 上取点M ，过M 点和直线a 作平面和α相交于直线1l ，和β相交于直线2l ．∵α//a ，∴1//l a ， ∵β//a ，∴2//l a ，但过一点只能作一条直线与另一直线平行． ∴直线1l 和2l 重合． 又∵α⊂1l ，β⊂2l ， ∴直线1l 、2l 都重合于直线l ，∴l a //． 说明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要． 典型例题十一例11 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各取一点P 、Q ，且DQ AP =．求证：//PQ 面BCE ．分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行．关键是在平面BCE 中如何找一直线与PQ 平行．可考察过PQ 的平面与平面BCE 的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同．证明一：如图，在平面ABEF 过P 作AB PM //交BE 于M ， 在平面ABCD 过Q 作AB QN //交BC 于N ，连结MN ．∵AB PM //，∴AEPEAB PM =． 又∵CD AB QN ////，∴BD BQ DC QN =，即BDBQAB QN =． ∵正方形ABEF 与ABCD 有公共边AB ， ∴DB AE =．∵DQ AP =，∴BQ PE =． ∴QN PM =．又∵AB PM //，AB QN //， ∴QN PM //．∴四边形PQNM 为平行四边形． ∴MN PQ //． 又∵⊂MN 面BCE ， ∴//PQ 面BCE ．证明二：如图，连结AQ 并延长交BC 于S ，连结ES ．∵AD BS //，∴QBDQQS AQ =． 又∵正方形ABEF 与正方形ABCD 有公共边AB ， ∴DB AE =，∵DQ AP =，∴QB PE =． ∴QSAQQB DQ PE AP ==． ∴ES PQ //， 又∵⊂ES 面BEC ， ∴//PQ 面BEC ．说明：从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定．此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形”，那么题中的结论是否仍然成立？ 典型例题十二例12 三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点． 已知：a =βα ，b =γβ ，c =αγ ．求证：a 、b 、c 互相平行或相交于一点．分析：本题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系．证明：∵a =βα ，b =γβ ， ∴β⊂b a 、． ∴a 与b 平行或相交． ①若b a //，如图∵γ⊂b ，γ⊄a ，∴γ//a ．又∵c=αγ ，α⊂a，∴ca//．∴cba////．②若a与b相交，如图，设Oba=，∴aO∈，bO∈．又∵βα=a，γβ=b．∴α∈O，γ∈O又∵c=γα ，∴cO∈．∴直线a、b、c交于同一点O．说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体ABCD中，M、N分别是1CC、11BA的中点，画出点D、M、N的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形？典型例题十三例13已知空间四边形ABCD，ACAB≠，AE是ABC∆的BC边上的高，DF是BCD∆的BC边上的中线，求证：AE和DF是异面直线．证法一：（定理法）如图由题设条件可知点E、F不重合，设BCD∆所在平面α．∴⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∉∈∉⊂DFEEADFαααAE和DF是异面直线．证法二：（反证法）若AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面，设过AE、DF的平面为β．(1)若E、F重合，则E是BC的中点，这与题设ACAB≠相矛盾．(2)若E、F不重合，∵EFB∈，EFC∈，β⊂EF，∴β⊂BC．∵β∈A ，β∈D ，∴A 、B 、C 、D 四点共面，这与题设ABCD 是空间四边形相矛盾． 综上，假设不成立．故AE 和DF 是异面直线．说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用． 首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？” 对于这个问题，同学们可试验做一做． 也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾．只须两句话就解决了这个问题． 典型例题十四例14 已知AB 、BC 、CD 是不在同一平面的三条线段，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，求证：平面EFG 和AC 平行，也和BD 平行．分析：欲证明AC //平面EFG ，根据直线和平面平等的判定定理只须证明AC 平行平面EFG 的一条直线，由图可知，只须证明EF AC //．证明：如图，连结AE 、EG 、EF 、GF ． 在ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点． ∴EF AC //．于是AC //平面EFG ． 同理可证，BD //平面EFG ．说明：到目前为止，判定直线和平面平行有以下两种方法：(1)根据直线和平面平行定义；(2)根据直线和平面平行的判定定理． 典型例题十五例15 已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心， 求证：ACD PQ 平面//．分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ 与平面ACD 中的某条直线平行，根据条件，此直线为AD ，如图．证明：取BC 的中点E ．∵P 是ABC ∆的重心，连结AE ， 则1∶3=PE AE ∶，连结DE ， ∵Q 为BCD ∆的重心， ∴1∶3=QE DE ∶， ∴在AED ∆中，AD PQ //．又ACD AD 平面⊂，ACD PQ 平面⊄， ∴ACD PQ 平面//．说明：(1)本例中构造直线AD 与PQ 平行，是充分借助于题目的条件：P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，借助于比例的性质证明AD PQ //，该种方法经常使用，望注意把握．(2)“欲证线面平行，只须证线线平行”．判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法．根据问题具体情况要熟练运用． 典型例题十六例16 正方体1111D C B A ABCD -中，E 、G 分别是BC 、11D C 的中点如下图． 求证：D D BB EG 11//平面．分析：要证明D D BB EG 11//平面，根据线面平等的判定定理，需要在平面D D BB 11找到与EG 平行的直线，要充分借助于E 、G 为中点这一条件．证明：取BD 的中点F ，连结EF 、F D 1．∵E 为BC 的中点，∴EF 为BCD ∆的中位线，则DC EF //，且CD EF 21=． ∵G 为11D C 的中点， ∴CD G D //1且CD G D 211=， ∴G D EF 1//且G D EF 1=， ∴四边形G EFD 1为平行四边形，∴EG F D //1，而111B BDD F D 平面⊂，11B BDD EG 平面⊄， ∴11//B BDD EG 平面． 典型例题十七例17 如果直线α平面//a ，那么直线a 与平面α的（ ）．A ．一条直线不相交B ．两条相交直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线都不相交解：根据直线和平面平行定义，易知排除A 、B ．对于C ，无数条直线可能是一组平行线，也可能是共点线，∴C 也不正确，应排除C ．与平面α任意一条直线都不相交，才能保证直线a 与平面α平行，∴D 正确． ∴应选D ．说明：本题主要考查直线与平面平行的定义． 典型例题十八例18 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ）． A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面 D ．相交或异面解：如图中的甲图，分别与异面直线a 、b 平行的两条直线c 、d 是相交关系； 如图中的乙图，分别与异面直线a 、b 平行的两条直线c 、d 是相交关系．综上，可知应选D ．说明：本题主要考查有关平面、线面平行等基础知识以及空间想象能力． 典型例题十九例19 a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）． A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 平行B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个直线与a 、b 相交C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个直线与a 、b 都平行D ．过a 可以并且只可以作一平面与b 平行解：A 错，若点与a 所确定的平面与b 平行时，就不能使这个平面与α平行了． B 错，若点与a 所确定的平面与b 平等时，就不能作一条直线与a ，b 相交． C 错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有b a //，这与a ，b 异面矛盾． D 正确，在a 上任取一点A ，过A 点做直线b c //， 则c 与a 确定一个平面与b 平行，这个平面是惟一的． ∴应选Ｄ．说明：本题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等基本概念． 典型例题二十例20 (1)直线b a //，α平面//a ，则b 与平面α的位置关系是_____________．(2)A 是两异面直线a 、b 外的一点，过A 最多可作___________个平面同时与a 、b 平行． 解：(1)当直线b 在平面α外时，α//b ；当直线b 在平面α时，α⊂b ． ∴应填：α//b 或α⊂b ．(2)因为过A 点分别作a ，b 的平行线只能作一条，（分别称'a ，'b ）经过'a ，'b 的平面也是惟一的．所以只能作一个平面； 还有不能作的可能，当这个平面经过a 或b 时，这个平面就不满足条件了． ∴应填：1．说明：考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答本题的关键． 典型例题二十一例21 如图，α//a ，A 是α的另一侧的点，a D C B ∈,,，线段AB ，AC ，AD 交α于E ，F ，G ，若4=BD ，4=CF ，5=AF ，则EG =___________．解：∵α//a ，ABD EG 平面 α=． ∴EG a //，即EG BD //， ∴FCAF AFBD EG CD BC FG EF AC AF CD FG BC EF +==++===．则9204545=+⨯=+⋅=FC AF BD AF EG ． ∴应填：920．说明：本题是一道综合题，考查知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例性质等．同时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力．【课堂练习】1.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）A. α所有的直线都与a 异面；B. α不存在与a 平行的直线；C. α所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点. 2.已知两个平面垂直，下列命题①一个平面的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.03.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为A 、030B 、045C 、060D 、090 4. 给出下列命题：（1）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α的所有直线都不平行； （2）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α的所有直线都不垂直； （3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面其中错误命题的个数为（ ） （A ）0 （B ） 1 （C ）2 （D ）35．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（ ）条 A 3 B 4 C 6 D 8 6. 点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA=PB=PC ，则点O 是ΔABC 的（ ） （A ）心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 7.如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角 C 1—BD —C 的大小为（ ）（A ）300 （B ）450 （C ）600 （D ）900 8.直线a,b,c 及平面α,β,γ,下列命题正确的是（ ）A 、若a ⊂α，b ⊂α,c ⊥a, c ⊥b 则c ⊥αB 、若b ⊂α, a//b 则 a//αC 、若a//α,α∩β=b 则a//bD 、若a ⊥α, b ⊥α 则a//b 9.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βAB CD A 1B 1C 1D 1C.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD.α的任何直线都与β平行 10、 a, b 是异面直线，下面四个命题：①过a 至少有一个平面平行于b ； ②过a 至少有一个平面垂直于b ； ③至多有一条直线与a ，b 都垂直；④至少有一个平面与a ，b 都平行。