八年级数学上期末复习新题型(阅读理解、新定义、找规律、作图+证明、开放性题型)精选试题
初二数学上期末总复习(知识点+习题+答案)
D CBA21D CB A（一）三角形部分一、知识点汇总1. 三角形的定义定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC 用符号表示为△ABC.三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． 2、（1）三角形按边分类：（2）三角形按角分类：3、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
注意： （1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；（2）围成三角形的条件是：任意两边之和大于第三边．4、和三角形有关的线段：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段表示法：1、AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2、BD=DC=0.5BC.3、AD 是 ABC 的中线； 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角与交点之间的线段。
表示法：1、AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2、∠1=∠2=0.5∠BAC.三角形 等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形D CB A21B ACMD 3、AD 平分∠BAC ，交BC 于D注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； （3）三角形的高三角形的高：从三角形的一顶点向它的对边作垂线， 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,表示法：1、AD 是△ABC 的BC 上的高。
度第一学期期末八年级数学三大题型复习(附练习及答案)
2019-2020学年度第一学期期末八年级数学三大题型复习考试范围：苏科版2013年教材八年级数学上册全部内容及八下第七章《数据的收集、整理、描述》、第八章《认识概率》、第十章《分式》及第十二章《二次根式》。
考试题型：选择、填空、解答三大类；考试时间：120分钟；试卷分值：130分。
第一部分：选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.在数字722，3.33，2π，212- ，0，3271，9.0- ，2.121121112…(相邻两个2之间1的个数逐次多1)错误！未找到引用源。
中，无理数的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2. 下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是( )A ．2，3，4B ．5，3，4C ．4，6，9 D. 5，11，133．下列各式中，正确的是（ ） A.－49- =－（－7）=7；B.412 =121；C.1694+ =2+43=243；D.25.0 =±0.5 4.估计的值在（ ）之间A ． 1与2之间B ． 2与3之间C ． 3与4之间 ；D ． 4与5之间 5.下列函数中，y 随的增大而减少的函数是（ ） A ． y=2+8； B ． y=﹣2+4；C ． y=﹣2+8；D ． y=46. 点P (3,－5)关于轴对称的点的坐标为（ ）A ．(－3,－5)B ．(5,3)C ．(－3,5)D ．(3,5)7.已知3,5x y =⎧⎨=⎩是方程m －2y ＝2解，则m 的值为( )A.85 B. 53 C. 4 D. 83-8.根据下表中一次函数的自变量与函数y 的对应值，可得p 的值为（ ）A ．1 9.有一个数值转换器， 原理如下：当输入的=64时， 输出的y =（ ） 线密班级 姓名 学号 试场号封D.22错误！未找到引用源。
10.如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放， 两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸 条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上， 则∠1的度数是（ ）A ．30°B ．20°C ．15°D ．14°11.有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（ ）A ．中位数 B ．众数 C ．平均数 D ．加权平均数12.点P 1（1，y 1），点P 2（2，y 2）是一次函数y=kx+b （<0）图象上两点，1＜2，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．不能确定13.某校有两种类型的学生宿舍30间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住5人．该校198个住宿生恰好住满30间宿舍．设大宿舍有间，小宿舍有y 间，得方程组：（ ） A.⎩⎨⎧=+=+3019885y x y x B.⎩⎨⎧=+=+3019858y x y x C.⎩⎨⎧=+=+3058198y x y x D.⎩⎨⎧=+=+3085198y x y x 14.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A.72B.52C.80D. 7615.已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD =CE ，②BD ⊥CE ，③∠ACE +∠DBC =45°，④BE 2=2（AD 2+AB 2）－CD 2，其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第二部分：填空题16. 9的平方根是 ； 17.32-的相反数是_______ 18.在平面直角坐标系中，函数y =－－2的图象经过第 象限 19.直角三角形的两直角边长分别为3和4．则第三边上的高为_________20.如图，直线a∥b，则∠A的度数是________21.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=+b(＞0)和轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则B n的坐标是______________【重点解析及解题技巧】三大方法让你茅塞顿开1.排除法。
2021年秋人教版初中八年级数学上册：期末复习题(知识结构+精选题型、 附答案)
期末复习(一) 三角形01 知识结构图02 重难点突破重难点1 与三角形有关的线段【例1】 如图，CH ，AD 分别为△ABC 的高与中线．若△ABD 的面积为2，AB ＝3，求CH 的长度．【解答】 ∵AD 为△ABC 的中线， ∴S △ABC ＝2S △ABD . ∵S △ABD ＝2，∴S △ABC ＝4. ∵AB ＝3，且12×3×CH ＝4，∴CH ＝83.三角形的三条重要线段各有作用：①中线等分边且等分面积；②高线垂直于边计算面积；③角平分线平分角求角的度数．1．若a ，b 是等腰△ABC 的两边长，且满足|a －3|＋(b －7)2＝0，则此三角形的周长是(B) A ．13 B ．17 C ．13或17 D ．202．如图，在△ABC 中，AM 是中线，AN 是高．如果BM ＝3.5 cm ，AN ＝4 cm ，那么△ABC 的面积是14_cm 2．重难点2 与三角形有关的角【例2】如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E.若∠ADE＝80°，∠EAC＝20°，求∠B的度数．【解答】∵AE⊥BC，∠ADE＝80°，∴∠DAE＝10°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝∠DAE＋∠EAC＝30°.∵∠B＋∠BAD＝∠ADE＝80°，∴∠B＝80°－30°＝50°.3．已知：如图，AD为△ABC的角平分线，过BC延长线上的任意一点H作AD的垂线，分别交AB，AD，AC于E，F，G三点．若∠ACB＝85°，∠B＝45°，则∠H＝20°．4．如图，将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，过点A作直线MN∥DE.若∠ACD＝20°，则∠CAM＝110°．重难点3 多边形的内角和与外角和【例3】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．【解答】设这个多边形的边数是n，依题意，得(n－2)×180＝3×360－180，解得n＝7.答：这个多边形的边数是7.n边形内角和公式为(n－2)×180°，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．5．多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有9条．6.(2020·陕西)如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是144°．03复习自测一、选择题(每小题4分，共32分)1．下列各组中的三条线段能组成三角形的是(C)A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．4，4，82．如图所示是一个起重机的示意图，在起重架中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是(B)A．三角形两边之和大于第三边B．三角形具有稳定性C．三角形两边之差小于第三边D．直角三角形的两锐角互余3．已知三角形的三边长分别为3，8，x.若周长是奇数，则x可取的值有(D)A．6个 B．5个C．4个 D．3个4．(2019·安阳殷都区期中)如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝(B) A．20°B．25° C．30° D．35°5．如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别在三角形的三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF相交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是(B)A．25 B．30 C．35 D．406．将两个分别含30°和45°角的直角三角板如图放置，则∠α的度数是(B)A．10° B．15°C．20° D．25°7．不能作为正多边形内角的度数的是(D)A．120°B．108°C．144° D．145°8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝n(0°＜n＜45°)，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE 分别沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点F处，则∠ACF的度数用n表示为(A)A．90°－2n B.12n C．45°－n D．90°－n二、填空题(每小题5分，共20分)9．如图，以∠B为一个内角的三角形有4个．10．如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为40°．11．根据如图所示的已知角的度数，求出其中∠α的度数为50°．12．(2019·株洲)如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝66度．三、解答题(共48分)13．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．(1)图中有几个直角三角形？是哪几个？(2)∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？还有哪些锐角相等？解：(1)图中有3个直角三角形，分别是△ACD，△BCD，△ABC.(2)∠1＋∠A＝90°，∠2＝∠A，∠1＝∠B.14．(12分)如图，B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东16°方向，C处在B处的北偏东72°方向，求从C处观测A，B两处的视角∠C的度数．解：根据题意可知，∠BAD＝42°，∠DAC＝16°，∠EBC＝72°，∴∠BAC＝58°.∵AD∥BE，∴∠EBA＝∠BAD＝42°.∴∠ABC＝30°.∴∠C＝180°－∠ABC－∠BAC＝92°.15．(12分)(2019·许昌禹州市期中)小月和小东在一起探究有关“多边形内角和”的问题，两人互相出题考对方，小月给小东出了一个这样的题目：一个四边形的各个内角的度数之比为1∶2∶3∶6，求各个内角的度数．小东想了想，说：“这道题目有问题．”(1)请你指出问题在哪里．(2)他们经过研究后，改变题目中的一个数，使这道题目没有问题，请你也尝试一下，换一个合适的数，使这道题目没有问题，并进行解答．解：(1)设此四边形的四个内角度数分别为x°，2x°，3x°，6x°，则x＋2x＋3x＋6x＝360.解得x＝30.所以最大的内角度数为6x°＝180°.则此多边形不是四边形．(2)将四边形的各个内角的度数之比为1∶2∶3∶6改为1∶2∶3∶4.设此四边形的四个内角度数分别为x°，2x°，3x°，4x°，则x＋2x＋3x＋4x＝360.解得x＝36.所以四边形的四个内角度数分别为36°，72°，108°，144°.(答案不唯一)16．(14分)在平面直角坐标系中，将等腰直角三角板OAB(∠OAB＝∠OBA＝45°)的直角顶点放在O点，直角边OB，OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为(0，4)．图1 图2 图3(1)如图1，D为AB上一点，且S△AOD＝S△BOD，求点D的坐标．(2)若将另一直角三角板OEF(∠OFE＝30°)的直角顶点放在O点(如图2)，直角边OF，OE分别在x轴、y轴上，EF交AB于点G，∠AOB的平分线与∠AGF的平分线相交于点P，求∠P的度数．(3)如图3，M，N为x轴、y轴上两点，∠ANM的平分线与∠ABO的外角的平分线相交于点Q，下列两个结论：①∠NMO－∠OAB∠Q的值不变；②∠NMO＋∠OAB∠Q的值不变．其中有且仅有一个是正确的，请你选出正确的结论，并求出其值．解：(1)∵S△AOD＝S△BOD，∴D为AB的中点．∴D(2，2)．(2)设AB，OP相交于点M，易得∠PMG＝90°，∵∠AGE＝60°－45°＝15°，∴∠AGF＝165°.∴∠AGP＝165°÷2＝82.5°.∴∠P＝90°－82.5°＝7.5°.(3)设∠ANQ ＝∠MNQ ＝x ，∠ABQ ＝y ，则y ＝12×(180°－45°)＝67.5°.∴∠NMO ＝2x －90°，∠Q ＝45°＋x －y ＝x －22.5°. ∴∠NMO ＋∠OAB ∠Q ＝2x －90°＋45°x －22.5°＝2，②正确．期末复习(二) 全等三角形01 知识结构图全等三角形⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧全等形、全等三角形的概念全等三角形的判定⎩⎪⎨⎪⎧边边边（SSS ）边角边（SAS ）角边角（ASA ）角角边（AAS ）斜边、直角边（HL ，只适用Rt △）全等三角形的性质⎩⎪⎨⎪⎧对应边相等对应角相等角的平分线的性质与判定02 重难点突破 重难点1 全等三角形的性质与判定 【例1】 如图，在五边形ABCDE 中：(1)若AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，F 为CD 的中点，求证：AF ⊥CD. (2)若AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，AF 平分∠BAE ，AF ⊥CD ，求证：F 为CD 的中点． (3)若∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，∠C ＝∠D ，AF 平分∠BAE ，求证：F 为CD 的中点． 【解答】图1证明：(1)如图1，连接AC ，AD ， ∵AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ， ∴△ABC ≌△AED(SAS)． ∴AC ＝AD. ∵F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD.图2(2)如图2，连接FB，FE，∵AF平分∠BAE，∴∠BAF＝∠EAF.又∵AB＝AE，AF＝AF，∴△ABF≌△AEF(SAS)．∴∠ABF＝∠AEF，∠AFB＝∠AFE，BF＝EF.∵∠ABC＝∠AED，∠AFC＝∠AFD＝90°，∴∠FBC＝∠FED，∠BFC＝∠EFD.∴△BCF≌△EDF(ASA)．∴FC＝FD，即F为CD的中点．图3(3)如图3，延长AB，AE分别与CD所在的直线相交于G，H.∵∠ABC＝∠AED，∠BCD＝∠CDE，∴∠GBC＝∠HED，∠BCG＝∠EDH.又∵BC＝ED，∴△GBC≌△HED(ASA)．∴∠G＝∠H，GC＝DH.∴AG＝AH.∵AF平分∠BAE，∴GF＝HF.∴GF－GC＝HF－DH，即CF＝DF.∴F为CD的中点．1．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB.(1)图中还有几对全等三角形？请一一列举．(2)求证：CF＝EF.解：(1)△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF.(2)证明：连接AF.∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AB＝AD，BC＝DE.又∵AF＝AF，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)．∴BF＝DF.又∵BC＝DE，∴BC－BF＝DE－DF，即CF＝EF.重难点2 角的平分线的性质与判定【例2】如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＝DF.探究发现：如图2，在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的平分线，点E，F分别在AB和AC上”．若∠AED＋∠AFD＝180°，则DE与DF是否仍相等？若相等，请证明；若不相等，请举反例说明．【解答】DE＝DF.证明：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN.∵∠AED＋∠AFD＝180°，∠AFD＋∠DFN＝180°，∴∠DFN＝∠AED.在△DME和△DNF中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DME ＝∠DNF ，∠DEM ＝∠DFN ，DM ＝DN ，∴△DME ≌△DNF(AAS)． ∴DE ＝DF.2．如图，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，BD ＝CD ，BE ＝CF. (1)求证：AD 平分∠BAC.(2)写出AB ＋AC 与AE 之间的等量关系，并说明理由．解：(1)证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠E ＝∠DFC ＝90°.∴△BDE 与△CDF 均为直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，BE ＝CF ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF(HL)． ∴DE ＝DF. ∴AD 平分∠BAC. (2)AB ＋AC ＝2AE.理由：由(1)知，AD 平分∠BAC ， ∴∠EAD ＝∠CAD. 在△AED 和△AFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAD ＝∠FAD ，∠AED ＝∠AFD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD(AAS)． ∴AE ＝AF.∴AB ＋AC ＝AE －BE ＋AF ＋CF ＝AE ＋AF ＝2AE. 03 复习自测一、选择题(每小题4分，共40分)1．下列说法中正确的有(C)①形状相同的两个图形是全等形；②对应角相等的两个三角形是全等形；③全等三角形的面积相等；④若△ABC ≌△DEF，△DEF≌△MNP，则△ABC≌△MNP.A．0个B．1个C．2个 D．3个2．根据下列条件，不能画出唯一的△ABC的是(D)A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°3．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则下列等式不正确的是(D)A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE4．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是(D)A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA5．如图，从下列四个条件：①BC＝B′C；②AC＝A′C；③∠A′CA＝∠B′CB；④AB＝A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是(B)A．1 B．2 C．3 D．46．如图所示，∠ABC＝∠ACB，CD⊥AC于点C，BE⊥AB于点B，AE交BC于点F，且BE＝CD，则下列结论不一定正确的是(B)A．AB＝AC B．BF＝EF C．AE＝AD D．∠BAE＝∠CAD7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于点E，交BA的延长线于点F.若BF＝12，则△FBC的面积为(C)A．40 B．46 C．48 D．508．已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是(D)A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为βB．两个角是β，它们的夹边为4C．三条边长分别是4，5，5D．两条边长是5，一个角是β9．如图所示，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是(C)A．AD＋BC＝AB B．∠AOB＝90°C．与∠CBO互余的角有两个 D．O是CD的中点10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为(B)A．15 B．12.5 C．14.5 D．17二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是答案不唯一，如：AB＝CD(填出一个即可)．12．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点．当BP＝2时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．13．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点．若AB＝11 cm，CF＝5 cm，则BD＝6cm.14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，AB＝5 cm，O是∠CAB与∠CBA平分线的交点，则O点到AB的距离为1_cm．15．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中成立的有①③④(填写正确结论的序号)．①PA＝PB；②AB垂直平分OP；③OA＝OB；④PO平分∠APB.16．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有3个．三、解答题(共36分)17．(10分)已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM.求证：∠B＝∠ANM.证明：∵∠BAC ＝∠DAM ，∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAM ＝∠DAC ＋∠NAM ， ∴∠BAD ＝∠NAM. 在△BAD 和△NAM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AN ，∠BAD ＝∠NAM ，AD ＝AM ，∴△BAD ≌△NAM(SAS)． ∴∠B ＝∠ANM.18．(12分)如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 边上一点，过点C 作CF ∥AB 交ED 的延长线于点F.(1)求证：△BDE ≌△CDF.(2)当AD ⊥BC ，AE ＝1，CF ＝2时，求AC 的长．解：(1)证明：∵CF ∥AB ， ∴∠B ＝∠FCD ，∠BED ＝∠F. ∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝CD.∴△BDE ≌△CDF(AAS)．(2)∵△BDE ≌△CDF ，∴BE ＝CF ＝2. ∴AB ＝AE ＋BE ＝1＋2＝3. ∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴AC ＝AB ＝3.19．(14分)已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点B ，C 重合)．以AD 为边作等边三角形ADE ，连接CE.(1)如图1，当点D 在边BC 上时． ①求证：△ABD ≌△ACE ；②直接判断结论BC ＝DC ＋CE 是否成立(不需证明)．(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，请写出BC ，DC ，CE 之间存在的数量关系，并写出证明过程．解：(1)①∵△ABC 和△ADE 是等边三角形， ∴∠BAC ＝∠DAE ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，AD ＝DE ＝AE. ∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC. ∴∠BAD ＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)． ②成立． (2)BC ＋CD ＝CE.∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴∠BAC ＝∠DAE ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，AD ＝DE ＝AE. ∴∠BAC ＋∠DAC ＝∠DAE ＋∠DAC. ∴∠BAD ＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)． ∴BD ＝CE.∵BD ＝BC ＋CD ，∴CE ＝BC ＋CD.期末复习(三) 轴对称01 知识结构图02 重难点突破重难点1 平面直角坐标系中的轴对称变换【例1】 如图，在△ABC 中，BC ＝2，BC ∥x 轴，点B 的坐标是(－3，1)，点A 的坐标是(－4，3)． (1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A ′B ′C ′. (2)求以点A ，B ，B ′，A ′为顶点的四边形的面积．【思路点拨】 (1)利用关于y 轴对称的点的坐标的性质得出对应点位置，进而得出答案；(2)利用点的坐标得出各线段长，进而利用梯形面积公式求出即可．【解答】 (1)如图所示，△A ′B ′C ′即为所求．(2)∵BC ＝2，BC ∥x 轴，点B 的坐标是(－3，1)，点A 的坐标是(－4，3)， ∴AA ′＝4＋4＝8，BB ′＝3＋3＝6.∴四边形ABB ′A ′的面积为12×(6＋8)×2＝14.重难点2 线段的垂直平分线【例2】 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 上一点，BD ＝BC ，过点D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F.求证：BE 垂直平分CD.【思路点拨】 先根据“HL ”证明Rt △EBC 与Rt △EBD 全等，可得EC ＝ED ，即点E 在CD 的垂直平分线上．又由BD ＝BC 可知点B 在CD 的垂直平分线上．最后根据两点确定一条直线得证BE 就是线段CD 的垂直平分线．【解答】 证明：∵BD ＝BC ， ∴点B 在线段CD 的垂直平分线上．∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AB ， ∴∠EDB ＝∠ACB ＝90°.在Rt △EBC 和Rt △EBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝BE ，BC ＝BD ，∴Rt △EBC ≌Rt △EBD(HL)． ∴EC ＝DE.∴点E 在线段CD 的垂直平分线上． ∵两点确定一条直线，∴BE 垂直平分CD.证明某条直线垂直平分某条线段时，只要分别证明该直线上任意两点到该线段两端点的距离相等即可．1．(2020·新乡长垣市期末)如图，在△ABC 中，点D 是边AB ，AC 的垂直平分线的交点，已知∠A ＝50°，则∠BDC ＝(B)A ．180°B ．100°C ．80°D ．50°重难点3 等腰三角形的性质与判定【例3】 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC ，垂足为G ，且AD ＝AB.∠EDF ＝60°，其两边分别交边AB ，AC 于点E ，F.求证：(1)△ABD 是等边三角形． (2)BE ＝AF.【思路点拨】 (1)由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD ＝∠DAC ＝12×120°＝60°，再由AD ＝AB ，即可证得；(2)由△ABD 是等边三角形，得BD ＝AD ，∠ABD ＝∠ADB ＝60°，证出∠BDE ＝∠ADF ，由“ASA ”证明△BDE ≌△ADF ，得出BE ＝AF.【解答】 证明：(1)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝∠DAC ＝12∠BAC.∵∠BAC ＝120°，∴∠BAD ＝∠DAC ＝12×120°＝60°.又∵AD ＝AB ，∴△ABD 是等边三角形． (2)∵△ABD 是等边三角形， ∴∠ABD ＝∠ADB ＝60°，BD ＝AD. ∵∠EDF ＝60°，∴∠BDE ＝∠ADF. 在△BDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DBE ＝∠DAF ，BD ＝AD ，∠BDE ＝∠ADF ，∴△BDE ≌△ADF(ASA)． ∴BE ＝AF.2．如图，已知△ABC 是等边三角形，点E ，D ，G 分别在AB ，BC ，AC 边上，且AE ＝BD ＝CG.连接AD ，BG ，CE ，相交于点F ，M ，N.(1)求证：AD ＝CE. (2)求∠DFC 的度数．(3)试判断△FMN 的形状，并说明理由．解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°，AB ＝AC. 又∵AE ＝BD ，∴△AEC ≌△BDA(SAS)． ∴AD ＝CE.(2)由(1)知△AEC ≌△BDA ，∴∠ACE＝∠BAD.∴∠DFC＝∠FAC＋∠ACE＝∠FAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°.(3)△FMN为等边三角形，理由：由(2)知∠DFC＝60°，同理可求得∠AMG＝60°，∠BNF＝60°.∴△FMN是等边三角形．03复习自测一、选择题(每小题4分，共40分)1．被誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值．下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是(C)2．在平面直角坐标系中，点B的坐标是(4，－1)，点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是(A)A．(4，1) B．(－1，4) C．(－4，－1) D．(－1，－4)3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是(D)A．△AA′P是等腰三角形B．MN垂直平分AA′，CC′C．△ABC与△A′B′C′面积相等D．直线AB，A′B′的交点不一定在MN上4．等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为(C)A．25 B．25或32 C．32 D．195．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，已知AC＝5 cm，△ADC的周长为17 cm，则BC的长为(C)A．7 cm B．10 cm C．12 cm D．22 cm6．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是(B)A．20°B．35° C．40° D．70°7．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN 上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5 cm，PN＝3 cm，MN＝4 cm，则线段QR的长为(A) A．4.5 cm B．5.5 cm C．6.5 cm D．7 cm8．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于(D)A．90° B．75° C．70° D．60°9．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有(D)A．6个B．7个C．8个D．9个10．如图，在△ABC中，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，以3 cm/s的速度向点A运动，点Q从点A 同时出发，以2 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是以∠A为顶角的等腰三角形时，运动的时间是(D)A．2.5 s B．3 s C．3.5 s D．4 s二、填空题(每小题4分，共16分)11．如图，△ABC与△A1B1C1关于某条直线成轴对称，则∠A1＝75°．12．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP 长为半径画弧交BC于点D，连接PD.如果PO＝PD，那么AP的长是6．13．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位长度后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为12．14．如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB＝30°，OP＝8 cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则△MPN周长的最小值为8cm.三、解答题(共44分)15．(8分)某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器．如图，有三条两两相交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三个路口的交叉点的距离相等，以便及时进行监控．解：作法：如图所示，A，B，C代替三个路口．①连接AB，BC.②分别作线段AB，BC的垂直平分线交于点P，则点P就是所求作的点．16．(10分)如图，△ABC为等边三角形，∠1＝∠2，BD＝CE.求证：△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝60°，AB ＝AC. 又∵∠1＝∠2，BD ＝CE ， ∴△ABD ≌△ACE(SAS)． ∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE. ∵∠BAD ＝60°， ∴∠CAE ＝60°. ∴△ADE 为等边三角形．17．(12分)如图，已知在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD ＝AE ，连接BE ，CD ，交于点F.(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由． (2)求证：过点A ，F 的直线垂直平分线段BC.解：(1)∠ABE ＝∠ACD.理由： 在△ABE 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD(SAS)． ∴∠ABE ＝∠ACD. (2)证明：连接AF.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB. 由(1)可知∠ABE ＝∠ACD ， ∴∠FBC ＝∠FCB.∴FB ＝FC. ∴点F 在线段BC 的垂直平分线上．∵AB ＝AC ，∴点A 在线段BC 的垂直平分线上． ∴过点A ，F 的直线垂直平分线段BC.18．(14分)(2020·烟台)如图，在等边△ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为一边作等边△DEF ，连接CF.【问题解决】如图1，若点D 在边BC 上，求证：CE ＋CF ＝CD. 【类比探究】如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．解：【问题解决】证明：在CD 上截取CH ＝CE ， ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ECH ＝60°. ∴△CEH 是等边三角形． ∴EH ＝EC ＝CH ，∠CEH ＝60°. ∵△DEF 是等边三角形， ∴DE ＝FE ，∠DEF ＝60°.∴∠DEH ＋∠HEF ＝∠FEC ＋∠HEF ＝60°. ∴∠DEH ＝∠FEC. 在△DEH 和△FEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝FE ，∠DEH ＝∠FEC ，EH ＝EC ，∴△DEH ≌△FEC(SAS)．∴DH ＝CF.∴CD ＝CH ＋DH ＝CE ＋CF. ∴CE ＋CF ＝CD.【类比探究】线段CE ，CF 与CD 之间的等量关系是CF ＝CD ＋CE.理由如下： ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝60°. 过点D 作DG ∥AB ，交AC 的延长线于点G ， ∴∠GDC ＝∠B ＝60°，∠DGC ＝∠A ＝60°. ∴∠GDC ＝∠DGC ＝60°.∴△GCD 为等边三角形． ∴DG ＝CD ＝CG ，∠GDC ＝60°. ∵△EDF 为等边三角形， ∴ED ＝DF ，∠EDF ＝∠GDC ＝60°. ∴∠EDG ＝∠FDC.在△EGD 和△FCD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧ED ＝FD ，∠EDG ＝∠FDC ，DG ＝DC ，∴△EGD ≌△FCD(SAS)． ∴CF ＝EG ＝CG ＋CE ＝CD ＋CE.期末复习(四) 整式的乘法与因式分解01 知识结构图02 重难点突破 重难点1 幂的运算【例1】 下列算式的运算结果为a 4的是(B) A ．a 4·aB ．(a 2)2C ．a 3＋a 3D ．a 4÷a1．小明做题一向比较粗心，下面四道题他只做对了一道，他做对的那道题是(C) A ．x 4＋x 4＝x 8B ．a 2·a 4＝a8C ．－a 7·a 5＝－a 12D ．(2x 2y 3)2＝－2x 5y 62．已知3m＝a ，9n＝b ，则3m ＋2n －1的值用含a ，b 的式子表示为ab3．重难点2 整式的乘除【例2】 计算：[x(x 2y 2－xy)－y(x 2－x 3y)]÷x 2y. 【解答】 原式＝[x 2y(xy －1)－x 2y(1－xy)]÷x 2y ＝[x 2y(2xy －2)]÷x 2y ＝2xy －2.整式的混合运算与有理数的混合运算类似，主要紧扣运算顺序和运算法则两点．3．(2020·济宁)先化简，再求值：(x ＋1)(x －1)＋x(2－x)，其中x ＝12.解：原式＝x 2－1＋2x －x 2＝2x －1.当x ＝12时，原式＝2×12－1＝0.重难点3 乘法公式【例3】 如图，从边长为(a ＋1)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为(a －1)cm 的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则该长方形的面积为(C)A ．2 cm 2B ．2a cm2C ．4a cm 2D ．(a 2－1)cm 2【思路点拨】 由拼成的长方形(不重叠无缝隙)的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求解．解答与整式运算的应用有关的题，关键是通过建立整式运算模型，把实际问题转化为整式运算问题来解．4．利用乘法公式计算： (1)199.5×200.5.解：原式＝(200－0.5)(200＋0.5) ＝2002－0.52＝39 999.75. (2)982－101×99.解：原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1) ＝1002－400＋4－1002＋1 ＝－395.重难点4 因式分解 【例4】 分解因式：(1)10a －5a 2－5. (2)(x 2＋3x)2－(x －1)2. 【解答】 (1)原式＝－5(a 2－2a ＋1) ＝－5(a －1)2.(2)原式＝(x 2＋3x ＋x －1)(x 2＋3x －x ＋1) ＝(x 2＋4x －1)(x 2＋2x ＋1) ＝(x 2＋4x －1)(x ＋1)2.把一个多项式分解因式通常采用的方法是先提公因式，再运用公式因式分解．5．因式分解：(1)(2020·济宁)a 3－4a ＝a(a ＋2)(a －2)． (2)(2020·黄石)m 3n －mn 3＝mn(m ＋n)(m －n)． 6．若a ＋b ＝3，ab ＝2，则a 2b ＋ab 2＝6． 7．因式分解：(x 2＋4y 2)2－16x 2y 2. 解：原式＝(x 2＋4y 2)2－(4xy)2＝(x 2＋4y 2－4xy)(x 2＋4y 2＋4xy) ＝(x －2y)2(x ＋2y)2.03 复习自测 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．(2020·柳州)2ab ·a 2的计算结果是(C) A ．2abB ．4abC ．2a 3bD ．4a 3b2．(2020·深圳)下列运算正确的是(B) A ．a ＋2a ＝3a 2B ．a 2·a 3＝a5C ．(ab)3＝ab 3D ．(－a 3)2＝－a 63．下列各式计算正确的是(C) A ．(x ＋2)(x －5)＝x 2－2x －3 B ．(x ＋3)(x －13)＝x 2＋x －1C ．(x －23)(x ＋12)＝x 2－16x －13D ．(x －2)(－x －2)＝x 2－44．下列式子：①x 2＋xy －y 2；②－x 2＋2xy －y 2；③x 2＋xy ＋y 2；④1－x ＋x24.其中能用完全平方公式分解因式的是(D)A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④5．若将(3x ＋a)(3x ＋b)展开的结果中不含有x 项，则a ，b 的关系是(D) A ．ab ＝1B ．ab ＝0C ．a －b ＝0D ．a ＋b ＝06．化简(a －1)(a ＋1)(a 2＋1)－(a 4－1)的结果为(A) A ．0B ．2C ．－2D ．2a 47．如果单项式－2x a －2b y 2a ＋b与x 3y 8b是同类项，那么这两个单项式的积是(B)A ．－2x 6y 16B ．－2x 6y32C ．－2x 3y 8D ．－4x 6y 168．化简(－2)2n ＋1＋2(－2)2n的结果是(A)A ．0B ．－22n ＋1C ．22n ＋1D ．22n9．(2020·平顶山期末)对于算式2 0203－2 020，下列说法错误的是(A) A ．能被2 018整除B ．能被2 019整除C ．能被2 020整除D ．能被2 021整除10．(2019·烟台)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a ＋b)n(n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”．(a ＋b)0＝1； (a ＋b)1＝a ＋b ； (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2； (a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3； (a ＋b)4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4；(a ＋b)5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5； ……则(a ＋b)9展开式中所有项的系数和是(C) A ．128B ．256C ．512D ．1 024二、填空题(每小题3分，共15分) 11．计算：4＋(π－2)0＝3.12．一个长方形的面积为a 3－2a 2＋a ，宽为a ，则长方形的长为(a －1)2. 13．若a 2＋2ab ＋b 2－c 2＝10，a ＋b ＋c ＝5，则a ＋b －c 的值是2. 14．已知a x b 2＝3，a 3b y＝4，则式子a2x ＋6b 2y ＋4的值为144．15．(2020·洛阳偃师市期中)若△ABC 的边a ，b 满足a 2－12a ＋b 2－16b ＋100＝0，则第三边c 上的中线长m 的取值范围为1＜m ＜7．三、解答题(共55分) 16．(12分)计算： (1)10012×9912.解：原式＝(100＋12)(100－12)＝1002－(12)2＝10 000－14＝9 99934.(2)(3a ＋2b －1)(3a －2b ＋1)．解：原式＝[3a ＋(2b －1)][3a －(2b －1)] ＝(3a)2－(2b －1)2＝9a 2－4b 2＋4b －1. (3)(a －b)2－(a ＋b)2.解：原式＝(a －b ＋a ＋b)(a －b －a －b) ＝2a ·(－2b) ＝－4ab. (4)(2x ＋y －3)2.解：原式＝4x 2＋4xy ＋y 2－12x －6y ＋9. 17．(12分)分解因式： (1)a 2x 2y －axy 2.解：原式＝axy(ax －y)． (2)－14abc －7ab ＋49ab 2c. 解：原式＝7ab(7bc －2c －1)． (3)9(a －b)2－16(a ＋b)2. 解：原式＝－(a ＋7b)(7a ＋b)． (4)3x 3－12x 2y ＋12xy 2. 解：原式＝3x(x －2y)2.18．(9分)如图所示，有一位狡猾的地主，把一块边长为a 米的正方形土地租给李老汉种植．今年，他对李老汉说：“我把你这块地一边减少4米，另一边增加4米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”李老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应了．同学们，你们觉得李老汉有没有吃亏？解：吃亏了．理由如下：原来的面积为a 2，后来的面积为(a ＋4)(a －4)＝a 2－16， ∵a 2>a 2－16，∴李老汉吃亏了．19．(10分)(2020·南阳期末)若x 满足(9－x)(x －4)＝4，求(4－x)2＋(x －9)2的值． 解：设9－x ＝a ，x －4＝b ，则(9－x)(x －4)＝ab ＝4，a ＋b ＝(9－x)＋(x －4)＝5， ∴(4－x)2＋(x －9)2＝a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝52－2×4＝17. 请仿照上面的方法求解下面的问题：若x 满足(x －2 018)2＋(x －2 021)2＝31，求(x －2 018)(x －2 021)的值． 解：设x －2 018＝a ，x －2 021＝b ， 则(x －2 018)2＋(x －2 021)2＝a 2＋b 2＝31， (x －2 018)－(x －2 021)＝a －b ＝3，(x －2 018)(x －2 021)＝ab ＝（a 2＋b 2）－（a －b ）22＝31－322＝11.20．(12分)阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier ，1550—1617)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Euler ，1707—1783)才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x＝N(a ＞0，a ≠1)，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x ＝log a N.比如指数式24＝16可以转化为4＝log 216，对数式2＝log 525可以转化为52＝25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a (M ·N)＝log a M ＋log a N(a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0)．理由如下： 设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m，N ＝a n， ∴M ·N ＝a m·a n＝am ＋n，由对数的定义得m ＋n ＝log a (M ·N)．又∵m ＋n ＝log a M ＋log a N ， ∴log a (M ·N)＝log a M ＋log a N. 解决以下问题：(1)将指数式43＝64转化为对数式：3＝log 464．(2)求证：log a MN ＝log a M －log a N(a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0)．(3)计算：log 32＋log 36－log 34＝1．证明：设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m，N ＝a n， ∴M N ＝a ma n ＝a m －n，由对数的定义得m －n ＝log a M N . 又∵m －n ＝log a M －log a N ，∴log a MN＝log a M －log a N(a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0)．期末复习(五) 分式01 知识结构图分式⎩⎪⎨⎪⎧分式⎩⎪⎨⎪⎧概念、基本性质分式的化简分式的运算⎩⎪⎨⎪⎧分式的乘除、乘方分式的加减整数指数幂分式方程⎩⎪⎨⎪⎧分式方程的解法分式方程的应用02 重难点突破 重难点1 分式的有关概念及基本性质【例1】 若分式2aba ＋b 中a ，b 的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值(B)A ．变为原来的20倍B ．变为原来的10倍C ．变为原来的110D ．不变解答此类问题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．1．(2019·商丘柘城县期末)若分式3x1－2x 有意义，则x 的取值范围是(B)A ．x ≠0B ．x ≠12C ．x ＞12D ．x ＜122．下列等式成立的是(C) A.1a ＋2b ＝3a ＋bB.a 2＋b 2a ＋b＝a ＋bC.ab ab －b 2＝aa －bD.m m 2＋1＝1m ＋13．化简a 2b －ab2b －a ，结果正确的是(B)A ．abB ．－abC ．a 2－b2D ．b 2－a 2重难点2 分式的运算 【例2】 先化简，再求值： (1－1m )÷m 2－1m 2＋2m ＋1，其中m ＝2.【解答】 原式＝(m m －1m )÷（m ＋1）（m －1）（m ＋1）2＝m －1m ·m ＋1m －1 ＝m ＋1m.当m ＝2时，原式＝2＋12＝32.分式的运算要把握两个关键：一是灵活运用因式分解去通分和约分；二是巧借运算律简化运算．4．化简2a 2－1－1a －1的结果是－1a ＋1．5．化简：(1＋1x )÷(2x －1＋x2x )．解：原式＝x ＋1x ÷2x 2－1－x2x＝x ＋1x ·x x 2－1＝x ＋1x ·x （x ＋1）（x －1） ＝1x －1. 6．先化简，再求值：(a ＋1－4a －5a －1)÷(1a －1a 2－a )，其中a 从－2，0，1，2中选一个你喜欢的数代入求值．解：原式＝（a ＋1）（a －1）－（4a －5）a －1÷a －1－1a （a －1）＝a 2－1－4a ＋5a －1·a （a －1）a －2＝（a －2）2a －1·a （a －1）a －2＝a(a －2)．∵a ≠0，1，2，∴a ＝－2.当a ＝－2时，原式＝－2×(－2－2)＝8. 重难点3 分式方程【例3】 分式方程2x －5x －2＝32－x 的解是(C)A ．x ＝－2B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝1或x ＝2解分式方程应注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． (2)解分式方程一定要注意验根．7．已知关于x 的分式方程x ＋k x ＋1－k x －1＝1的解为负数，则k 的取值范围是k ＞12且k ≠1．8．解方程：12x －4＋12＝32－x .解：去分母，得1＋x －2＝－6. 移项、合并同类项，得x ＝－5. 检验：当x ＝－5时，2(x －2)≠0. 所以原分式方程的解为x ＝－5.9．(2020·威海)在“旅游示范公路”建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一条长1 200 m 的步行道．由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求计划平均每天修建步行道的长度．解：设计划平均每天修建步行道的长度为x m ，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5x m ，依题意，得1 200x －1 2001.5x ＝5， 解得x ＝80.经检验，x ＝80是原方程的解，且符合题意． 答：计划平均每天修建步行道的长度为80 m. 03 复习自测一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列式子：－3x ，2a ，x 2－y 2xy ，－a 2π，x －1y 2，a －2b ，其中是分式的有(C)A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．分式a x ，x ＋y x 2－y 2，a －b a 2－b 2，x ＋yx －y 中，最简分式有(B) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．计算2a a ＋1＋2a ＋1的结果是(A)A ．2B ．2a ＋2C ．1D.4a a ＋14．若将分式2x 2yx ＋y 中x ，y 的值都扩大10倍，则该分式的值(C)A ．扩大到原来的10倍B ．缩小到原来的110C ．扩大到原来的100倍D ．不变5．下列运算正确的是(C) A.－x －y －x ＋y ＝x －y x ＋yB.a 2－b 2（a －b ）2＝a －b a ＋b C.a 2－b 2（a －b ）2＝a ＋b a －bD.x －11－x 2＝1x ＋16．(2020·贵港)目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺，它的最小刻度为0.2 nm(其中1 nm ＝10－9m)，用科学记数法表示这个最小刻度(单位：m)，结果是(C)A ．2×10－8mB ．2×10－9mC ．2×10－10m D ．2×10－11m7．化简：a ＋1a 2－2a ＋1÷(1＋2a －1)＝(A)A.1a －1B.1a ＋1C.1a 2－1D.1a 2＋18．(2020·郑州金水区校级模拟)某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．求甲、乙两种图书每本价格分别为多少元．我们设乙图书每本价格为x 元，则可得方程(B)A.8002.5x －800x ＝24 B.800x －8002.5x＝24 C.800×2.5x －800x ＝24 D.800x 2.5－800x＝24 9．(2020·孝感)已知x ＝5－1，y ＝5＋1，那么式子x 3－xy2x （x －y ）的值是(D)A ．2B. 5C ．4D ．2 510．若分式方程3x x ＋1＝mx ＋1＋2无解，则m ＝(B)A ．－1B ．－3C ．0D ．－2二、填空题(每小题3分，共18分)11．若分式12x －1有意义，则x 的取值范围是x ≠12．12．计算：3－8＋(13)－2＋(π－1)0＝8．13．化简：(2x x －3－x x ＋3)·x 2－9x＝x ＋9.14．如图，点A ，B 在数轴上，它们所表示的数分别是－4，4x －45x ＋1，且点A 到原点的距离是点B 到原点距离的2倍，则x ＝－1．15．已知a 2－6a ＋9与|b －1|互为相反数，则式子(a b －b a )÷(a ＋b)的值是23．16．观察规律并填空． (1－122)＝12·32＝34；(1－122)(1－132)＝12·32·23·43＝12·43＝23；(1－122)(1－132)(1－142)＝12·32·23·43·34·54＝12·54＝58；(1－122)(1－132)(1－142)(1－152)＝12·32·23·43·34·54·45·65＝12·65＝35；……(1－122)(1－132)(1－142)…(1－1n 2)＝n ＋12n (用含n 的式子表示，n 是正整数，且n ≥2)．三、解答题(共52分) 17．(10分)计算： (1)(2x －3y 2)－2÷(x －2y)3. 解：原式＝14x 6y －4÷x －6y 3＝x 124y 7.(2)4－x x －2÷(x ＋2－12x －2)． 解：原式＝4－x x －2÷(x 2－4x －2－12x －2)＝4－x x －2÷x 2－4－12x －2 ＝4－x x －2·x －2（x ＋4）（x －4）＝－1x ＋4.18．(10分)解分式方程： (1)2x x ＋1－1＝1x ＋1. 解：方程两边乘(x ＋1)，得2x －x －1＝1. 解得x ＝2.检验：当x ＝2时，x ＋1≠0. 所以原分式方程的解为x ＝2. (2)x 2x －3＋53－2x＝4. 解：去分母，得x －5＝4(2x －3)． 解得x ＝1.检验：当x ＝1时，2x －3≠0. 所以原方程的解是x ＝1.19．(9分)先将(1－1x )÷x －1x 2＋2x 化简，然后请自选一个你喜欢的x 值代入求值．解：原式＝x －1x ÷x －1x 2＋2x＝x －1x ·x （x ＋2）x －1＝x ＋2.当x ＝10时，原式＝10＋2＝12. (注意：x 不能取0，1，－2)20．(11分)某校数学兴趣小组的成员在研究题目时发现一个有趣的现象：x ，y 表示两个正数，分别把它们作为分子、分母，得到两个分式y x ，xy .如果这两个正数的差等于它们的积，即x －y ＝xy ，那么这两个分式的和比这两个正数的积大2，即y x ＋xy＝xy ＋2.(1)写出两组符合条件x －y ＝xy 的正数x ，y 的值．(2)选(1)中的一组x ，y 的值，验证兴趣小组发现的结论y x ＋xy ＝xy ＋2.(3)在一般情形下，验证兴趣小组发现的结论． 解：(1)x ＝1，y ＝12或x ＝13，y ＝14.(2)当x ＝1，y ＝12时，x －y ＝1－12＝12＝1×12＝xy ，∵y x ＋x y ＝12＋2＝212，xy ＝12， ∴y x ＋xy ＝xy ＋2. (3)∵x －y ＝xy ，∴y x ＋x y －xy ＝y 2＋x 2－（xy ）2xy ＝x 2＋y 2－（x －y ）2xy ＝2. ∴当x －y ＝xy 时，y x ＋xy比xy 大2.21．(12分)某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．(1)甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？(2)若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？(3)在(2)的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？解：(1)设每件乙种商品的进价为x 元，则每件甲种商品的进价为(x －2)元，根据题意，得 80x －2＝100x ， 解得x ＝10.经检验，x ＝10是原方程的根，且符合题意． ∴x －2＝8.。
初中八年级上册数学期末复习作图题及答案
初中八年级上册数学期末复习作图题及答案1．（2021秋•武昌区期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）．（1）若△ABO与△A1B1O关于y轴的对称，则A1、B1的坐标分别是；（2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．①在图1中，找一格点P，使得∠APO＝45°；②在图2中，作出△ABO的高AQ．2．（2021秋•黄陂区期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，3），B（3，3）都在格点上．连接AB，AO，BO，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）△ABO的面积为（直接写出结果）；（2）在AB上找点C，使∠AOC＝45°；（3）在格点上找点D，使点A，D关于直线BO轴对称，直接写出点D的坐标（，）；（4）连接BD，在BD上找点E，使BE＝BC．3．（2021秋•江汉区期末）△ABC在如图所示的网格中，点A的坐标为（1，﹣1），点B的坐标为（3，1）．（1）在网格中画出坐标系，并直接写出C点坐标；（2）作△ABC关于x轴对称的图形A'B'C'；（3）已知M为网格中的一个格点．①若点M在x轴上，且△ABM的面积为2，写出点M的坐标；②写出以A，B，M为顶点的等腰三角形的个数．4．（2021秋•武汉期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（3，0），AB＝5．请按要求用无刻度的直尺作图（横纵坐标均为整数的点称为格点）．（1）在图1中将线段AB向左平移5个单位得线段CD（点A的对应点为C），并直接写出四边形ABDC 的面积为；（2）在图1中作出∠ABO的平分线BM，P为BM上的格点，则P点有个；（3）在图2中过O作AB的垂线ON，Q为ON上的格点，写出Q点的坐标为．5．（2021秋•汉阳区期末）在平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如：A（0，4），B（4，2）都是格点．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹．（1）画出线段AB关于x轴对称的线段EF；（2）在x轴上找一点P，使AP+BP最小；（3）连接AP，BP，画出△APB关于y轴对称的△AP′B′．6．（2021秋•硚口区期末）如图是由小正方形组成的6×6网格．每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示）．（1）在图1中，画一个以AB为腰的等腰△ABD；（2）①在图2中，画一个以AB为腰，以A为直角顶点的等腰Rt△ABE；②在图2中，画AB延长线上的点F，使得∠CF A＝45°．（3）在图3中，画AB的垂直平分线．7．（2021秋•青山区期末）如图，在8×7的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，如A（1，4）、B （6，4）、C（3，0）都是格点，且BC＝5．请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）过点A作AD∥BC，且AD＝BC；（2）画△ABC的高BE，并直接写出E点坐标；（3）在AB上找点P，使∠BCP＝45°：（4）作点P关于AC的对称点Q．8．（2021秋•江夏区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，3），B（5，1），C（﹣2，﹣3）．（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标．（2）求△ABC的面积．9．（2021秋•洪山区期末）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点．点A、C、G、H在格点上，将点A先向右移动5格，再向上移动2格后得到点B，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，保留画图过程的痕迹，并回答问题：（1）在网格中标注点B，并连接AB；（2）在网格中找格点D，使得GD∥AB且GD＝AB；（3）在网格中找格点E，使得CE⊥AB，垂足为F；（4）在线段GH上找一点M，使得∠AMG＝∠BMH．10．（2021秋•江岸区期末）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1）如图1，作△ABC的中线AD；（2）如图2，作△ABC的高线CE；（3）如图3，点F是AC与网格线的交点，请在BC上作一点H，使FH∥AB；（4）如图4，直线a和直线b在网格线上，点A和点H在两条直线的两侧，请在直线a上作一点M，直线b上作一点N，使AM+MN+NH的值最小．参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．【解答】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，则A1、B1的坐标分别（3，2），（4，﹣1）；（2）①如图1在，点P即为所求（答案不唯一，（2，2），（﹣3，3）也满足条件）；②如图2中，线段AQ即为所求．2．【解答】解：（1）△ABO的面积，故答案为：6；（2）如图所示：（3）如图所示，D（3，﹣1）；故答案为：3；﹣1；（4）如图所示．3．【解答】解：（1）如图，（2）如图，△A'B'C'为所作；（3）①设M（t，0），∵△ABM的面积为2，∴|t﹣2|×2＝2，解得t＝0或t＝4，∴M点坐标为（0，0）或（4，0）②以A，B，M为顶点的等腰三角形的个数为13．4．【解答】解：（1）如图1，∵将线段AB向左平移5个单位得线段CD，∴AC＝BD＝5，∵AB5，∴CD＝AB＝5，∴AB＝BD＝CD＝AC，∴四边形ABDC是菱形，∴四边形ABDC的面积＝BD•OA＝5×4＝20；故答案为：20；（2）作射线BC，由（1）知，四边形ABDC是菱形，∴BC平分∠ABO，∴射线BM与射线BC是同一条射线，由图知满足条件的P点有4个，故答案为：4；（3）如图2，过点（4，3），（0，0）作直线，则OQ⊥AB，Q（4，3）或（﹣4，﹣3），故答案为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．5．【解答】解：（1）如图，线段EF即为所求；（2）如图，点P即为所求；（3）如图所示，△AP′B′即为所求．6．【解答】解：（1）如图1中，△ABD即为所求；（2）①如图2中，△ABE即为所求；②如图2中，∠AFC即为所求；（3）如图，直线PQ即为所求．7．【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求；（2）如图，线段BE即为所求；（3）如图，点P即为所求；（4）如图，点Q即为所求．8．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．并直接写出点A1（﹣3，3），B1（﹣5，1），C1（2，﹣3）．故答案为：（﹣3，3），（﹣5，1），（2，﹣3）；（2）S△ABC＝6×76×52×27×4＝11．9．【解答】解：（1）如图，线段AB即为所求；（2）如图，线段DG即为所求；（3）如图，线段CE，点F即为所求；（4）如图，点M即为所求．10．【解答】解：（1）如图1中，线段AD即为所求；（2）如图2中，线段CE即为所求；（3）如图3中，线段FH即为所求；（4）如图4中，点M，点N即为所求．。
2021-2022初二上期末新定义---大题(有答案)
②当线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度时，求t的值．
【答案】（1）① ；② 或 ；（2）① ；② 或 或
【解析】
【分析】（1）①先在数轴上分别表示 ，再求解 中点 对应的数，再求解 即可；②设 的中点 对应的数为 结合 对应的数为： 再列绝对值方程 解方程即可得到答案；
（2）若关于 的方程 是关于 的方程 的后移方程，求 的值．
（3）当 时，如果方程 是方程 的后移方程，用等式表达 ， ， 满足的数量关系．
（2021海淀区25题）
【分析】（1）求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判断即可；
（2）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关于 的方程，求出方程的解即可得到 的值；
（2）①分别求解 的中点 运动 s后对应的数，利用新定义即可得到答案；②分两种情况讨论，当 时， 的中点 对应的数为： 的中点 对应的数为： 而 当 时，线段EF随即向数轴负方向运动， 的中点 对应的数为： 再分别列方程求解即可.
【详解】解：（1）①如图， 在数轴上表示如下：
为 的中点， 为 的中点，
（2）补表如下：
说明： 表示 ，其中 ，a，b，c均为整数．
A
A的表达式
第一次操作得到的和，记为M（A）
436
436＝10×43＋6
M（436）＝43＋2×6
532
532＝
M（532）＝
863
863＝10×86＋3
M（863）＝86＋2×3
……） ， ，
，
当M（ ）是19的倍数时， 也是19的倍数，即 是19的倍数，此时 也是19的倍数．
（2）① ，
而 不是 的因数，所以 一定是7的因数，
期末综合复习试题(八年级上)创新新题型三套
八年级数学（上）期末综合试卷（一）温馨提示：亲爱的同学，这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获. 我们一直投给你信任的目光。
请认真审题，看清要求，仔细答题. 预祝你取得好成绩！相信自己，我是最棒的！！！！！！！一、 选择题（每小题3分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内。
1、 如图1，AP 平分∠BAF ，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AF 于点E ，则△APD 与△APE 全等的理由是（ ） A ．SSS B ．SAS C ．SSA D ．AAS2、装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图2），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④3、一个多边形只有5条对角线，则这个多边形的边数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．74、a ，b ，c 是三角形的三边长，化简a b c b a c b c a +-+-++--等于（ ） A ．b ＋a －3c B ．a ＋b ＋cC ．3a ＋3b ＋3cD ．a ＋b －c5、要使分式有意义，x 的取值范围为（ ）BC ．7、若关于x 的方程=+1无解，则a 的值为（ ） 8、Rt 90ABC C BAC ∠∠在△中，＝，的角平分线AD交BC 于 点D ，2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49、下列运算正确的是AEH D CBA（ ）A ．222()a b a b +=+B ．325a a a =C ．632a a a ÷=D ．235a b ab +=10、到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）Ａ．三条中线的交点 Ｂ．三条高的交点 Ｃ．三条边的垂直平分线的交点 Ｄ．三条角平分线的交点11、如图，已知ABC △中，45ABC ∠=，4AC =，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ）AB ．4C ．D ．512、计算（ab 2）3的结果是（ ）A ．ab 5B ．ab 6C ．a 3b 5D ．a 3b 6 13、若式子5-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x>5B ．x ≥5C ．x ≠5D ．x ≥0 14、如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD ≌△BAC 的条件是（ ）A ．∠D=∠C ，∠BAD=∠ABCB ．∠BAD=∠ABC ，∠ABD=∠BAC C ．BD=AC ，∠BAD=∠ABCD ．AD=BC ，BD=AC15、下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边 距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边 的距离相等；④△ABC 中∠BAC 的平分线上任意一点到三角形的三边的距离 相等，其中正确的（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题（每小题3分）16、等腰三角形是轴对称图形，它有 条对称轴.17、正ｎ边形的一个内角等于150°，则从这个多边形的一个顶点出发可引________条对角线．18、如图2所示，BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，∠A ＝100°，则∠BOC 的度数为________．19、正多边形的一个内角等于144°，则该多边形的边数是________． 20、三角形中，最大角α的取值范围是________．21、计算：234(2)a a = ． 22、因式分解：2242x x ++= ．23、)3()126(23x x x x -÷+-=___ ___ ．24、 边长分别为a 和a 2的两个正方形按如图(I)的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 ．25、关于x 的方程无解，则a 的值是 ．26、若关于x 的方程的解为正数，则a 的取值范围是 ．27、若x ，则= ．28、已知63x y xy +==-，，则22x y xy +=______________．29、等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm ，则三角形的面积为 . 30、观察下列式子：第1个式子：222345=-；第2个式子：22251213=-第3个式子：22272425=-；……按照上述式子的规律，第5个式子为22211(_____)(_____)=-；第n 个式子为_______________________________(n 为正整数) 三、解答题 1、分解因式：（1）-a 2+6ab-9b 2； （2）（p-4）（p+1）+3p. （3）32a ab -． 2、解方程21124x x x -=--. 3、先化简，再求值：（1）（a 2b-2ab 2-b 3）÷b-（a+b ）（a-b ），其中a=1/2，b= -1.(2) 22(3)(2)(2)2x x x x +++--，其中13x =-．（3）x x x x24)11(22+-÷-，其中1-=x . （4）211122x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中2x =. 4、汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图11所示的三个汉字可以看成是轴对称图形，请在方框中再写出4个类似轴对称图形的汉字．5、已知：122=+xy x ，152=+y xy ，求()2y x +－()()y x y x -+的值．6、已知：为不等于0的数，且11m m -=-，求代数式221m m+的值．7、（10分）（1）如图8－（1），在△ABC 中， ∠C ＞∠B ，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分∠BAC ，你能找出∠EAD 与∠B ，∠C 之间的数量关系吗？并说明理由． （2）如图8－（2），AE 平分∠BAC ，F 为AE 上一点，FM ⊥BC 于点M ，这时∠EFM 与∠B ，∠C 之间又有何数量关系？请你直接说出它们的关系，不需要说明理由．8、(9分) 把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ． 求证：AF ⊥BE ．9、(10分) 如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，且BD AE =，AD 与CE 交于点F ．（1）求证：AD CE =； 2）求DFC ∠的度数．10、（8分）如图：E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ，BD=CE 。
2021-2022初二上期末新定义---计算、找规律(有答案)
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据“铺地锦”的定义计算即可．
【详解】设3下面的数字为
根据“铺地锦”的定义 ，解得
∵ 必须是正整数，且a为十位上的数字
∴
故选：A
【点睛】本题考查新定义；能够理解新定义，3a的结果用各位数字正确表示出来是解题的关键．
A. 110B. 180C. 220D. 264
【答案】C
【解析】
【分析】观察图形得：第一个图形有 根火柴，第二个图形有 根火柴，第三个图形有 根火柴，据此规律求解即可．
【详解】解：观察图形得：
第1个图形有 根火柴，
第2个图形有 根火柴，
第3个图形有 根火柴，
第4个图形有 根火柴，
所以第 个图形有 根火柴，
故答案为：-2；
（2）根据题意得：2⊗x=22-2x=3+x，
整理得：4-2x=3+x，
解得：x= ．
故答案 ： ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
找规律
（2021通州区26题）26. 如图表示 的数表，数表每个位置所对应的数是1，2或3，有如下定义： 为数表中第a行第b列所对应的数．例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以， ．请根据以上定义，完成下面的问题：
（2021门头沟区15题）15．（2分）规定：符号“ ”为选择两数中负数进行运算，“◎”为选择两数中非负数进行运算，则 ◎ 的结果为．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：
原式 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键．
2022-2023学年北京课改版八年级上期末复习数学试卷含答案解析
2022-2023学年北京课改新版八年级上册数学期末复习试卷一．选择题（共7小题，满分14分，每小题2分）1．下列由全等的等边三角形拼成的图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC≌△DBE，∠C＝45°，∠D＝35°，∠ABD＝40°，则∠ABE的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°3．如果分式的值为零，则m的值是（）A．m＝﹣1B．m＝1C．m＝±1D．m＝04．计算：的值为（）A．B．C．D．5．下列各式中，正确的是（）A．﹣＝B．﹣＝C．＝D．﹣＝6．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．1、2、3B．3、5、7C．32、42、52D．5、12、137．下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）8．如图，AD平分∠BAC，其中∠B＝35°，∠ADC＝82°，则∠C＝度．9．一只不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到球的可能性最大．（填球的颜色）10．如图，已知AB∥CD，AD∥CB，则△ABC≌△CDA的依据是．11．等腰三角形的周长为16，且边长为正整数，则底边长为．12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3．设AB长是m，下列关于m的四种说法：①m是无理数；②m可以用数轴上的一个点来表示；③m是10的算术平方根；④4＜m＜5．其中，说法正确的序号是．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为．三．解答题（共11小题，满分68分）14．（8分）计算：（1）﹣22÷×（1﹣）2（2）﹣+（﹣）×（﹣48）15．（6分）已知：如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．求证：AD＝AE．16．（6分）解方程：＝．17．（6分）化简：（）•（）．18．（6分）化简求值：，其中．19．（6分）已知：线段a，AE⊥AF，垂足为点A．求作：四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AE，AF上，且AB＝BC＝a，∠ABC＝60°，CD∥AB．20．（6分）“十三五”期间，云南脱贫攻坚目标任务如期完成，乡村振兴实现良好开局，农业农村发展取得显著成就．培育壮大特色优势产业是云南脱贫攻坚的重要途径，农产品已成为农民脱贫致富的一把“金钥匙”．今年，我市某山区苹果喜获丰收，苹果一上市，水果店的王老板用3200元购进一批苹果，很快售完；老板又用5600元购进第二批苹果，购进总重量是第一批的2倍，由于进货量增加，进价比第一批每千克少了2元．求第一批苹果每千克进价多少元？21．（6分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知点A、B都在格点上（网格线的交点叫做格点），且它们的坐标分别是（2，﹣2）、（3，﹣5）．（1）点B关于x轴的对称点的坐标为；（2）若点C的坐标是（0，﹣4），沿y轴翻折得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，点B1的坐标为；（3）若格点D在第四象限，△ABD为等腰直角三角形，这样的格点D有个．22．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为CB上一点，过点D作DE⊥AB于点E．（1）若CD＝DE，判断∠CAD与∠BAD的数量关系；（2）若AE＝EB，CB＝10，AC＝5，求△ACD的周长．23．（6分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E是边AC上一动点，点F是BC所在直线上的动点．（1）如图①，若∠EDF＝90°，请判断线段AE、BF、AC之间的数量关系，并说明理由；（2）如②，若∠EDF＝45°，判断（1）中的结论是否发生变化，若不变，请说明理由若改变，请提出新的结论并说明理由；（3）在（2）的条件下，过点D作DG⊥ED，交AC的延长线于点G，若AC＝4，AE：EC＝1：3，请直接写出的值为．24．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）请利用尺规作图，在AB边上找一点D，使得点D到点A、点C的距离相等．（2）在（1）的条件下证明：AB＝2CD．参考答案解析一．选择题（共7小题，满分14分，每小题2分）1．解：A、是轴对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，符合题意；故选：D．2．解：∵△ABC≌△DBE，∴∠E＝∠C＝45°，∵∠D＝35°，∴∠EBD＝180°﹣∠D﹣∠E＝100°，∵∠ABD＝40°，∴∠ABE＝∠DBE﹣∠ABD＝60°，故选：A．3．解：由题意可知：，∴m＝1，故选：B．4．解：原式＝（4﹣3）÷×＝÷×＝1×＝．故选：A．5．解：A．﹣＝，故本选项不符合题意；B．﹣＝，故本选项不符合题意；C.＝≠，故本选项不符合题意；D．﹣＝，故本选项符合题意；故选：D．6．解：A、∵1+2＝3，∴三条线段不能组成三角形，不能组成直角三角形，故A选项错误；B、∵52+32≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵322+422≠522，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、∵52+122＝132，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项正确；故选：D．7．解：A、AD不是△ABC的高；B、AD不是△ABC的高；C、AD不是△ABC的高；D、AD是△ABC的高；故选：D．二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）8．解：∵∠ADC是△ABD的一个外角，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝82°﹣35°＝47°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝94°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝51°，故答案为：51．9．解：∵红球数量最多，∴摸到红球的可能性最大，故答案为：红．10．解：∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC＝∠ACD，∠DAC＝∠BCA，且AC＝AC∴△ABC≌△CDA（ASA）故答案为：ASA．11．解：由题意得：2x+y＝16，∵三角形的两边之和大于第三边，∴符合条件的三角形有：腰长为5，底边为6；腰长为6，底边为4；腰长为7，底边为2；∴底边长为2，4，6，故答案为：2或4或6．12．解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3，∴m＝AB＝＝＝，故①②③正确，∵m2＝10，∴3＜m＜4，故④错误，故答案为：①②③．13．解：如图所示，作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，∴PN+PM＝PN+PM'，当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，此时，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°，∴M'N＝AM'＝×（8﹣1）＝，∴PM+PN的最小值为，故答案为：．三．解答题（共11小题，满分68分）14．解：（1）原式＝﹣4××＝﹣；（2）原式＝﹣3+8﹣36+4＝﹣27．15．证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AE⊥AB，∴∠E＝90°＝∠ADB，∵AB平分∠DAE，∴∠BAD＝∠BAE，在△ADB和△AEB中，，∴△ADB≌△AEB（AAS），∴AD＝AE；16．解：方程两边都乘以x（x﹣2）得，2x＝3x﹣6，解得x＝6，检验：当x＝6时，x（x﹣2）＝6×4＝24≠0，所以x＝6是分式方程的解．因此，原分式方程的解是x＝6．17．解：原式＝＝．18．解：原式＝÷＝（x﹣1）•＝x，当x＝时，原式＝．19．解：如图，四边形ABCD即为所求．20．解：设第一批苹果每千克进价为x元，根据题意，得：×2＝，解得：x＝16，经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意；答：第一批苹果每千克进价是16元．21．解：（1）点B关于x轴的对称点的坐标为（2，2）；故答案为：（2，2）；（2）如图，△A1B1C1即为所求；点B1的坐标为（﹣3，﹣5）；故答案为：（﹣3，﹣5）；（3）如图，格点D有4个．22．解：（1）∠CAD＝∠BAD．在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠CAD＝∠BAD；（2）∵AE＝BE，DE⊥AB，∴AD＝BD，∵BC＝10，AC＝5，∴AD+CD＝BD+CD＝10，∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝5+10＝15．23．解：（1）结论：AC＝BF+AE．理由：连接CD，如图①所示：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，∴∠A＝∠B＝45°，CD⊥AB，∠ACD＝∠DCF＝45°，CD＝AB＝AD＝BD，∴∠A＝∠DCF，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF；，∴BF+AE＝BF+CF＝BC＝AC，即AC＝BF+AE；（2）（1）中的结论不成立．结论：2AE•BF＝AC2．理由：连接CD，如图②所示：∵∠ADF＝∠ADE+∠EDF＝∠B+∠F，∠EDF＝∠B＝45°，∴∠ADE＝∠F，又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BFD，∴＝，∴AE•BF＝AD•BD＝AD2，∴2AE•BF＝2AD2，∵AC2＝AD2+CD2＝2AD2，∴2AE•BF＝AC2；（3）∵AC＝4，AE：EC＝1：3，∴AE＝AC＝，AD＝CD＝4，由①得：2AE•BF＝AC2＝32，∴BF＝8，∵BC＝AC＝4，∴CF＝BF﹣BC＝4，∵∠EDF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，由①得：∠ADE＝∠F，∴∠F＝∠CDG，∵∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCG，∴∠DCF＝∠GCD，∴△DCF∽△GCD，∴＝＝＝．故答案为：．24．（1）解：如图，点D为所求；（2）证明：∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠A，∵∠ACB＝90°，∴∠DCA+∠DCB＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠DCB＝∠B，∴DC＝DB，∴AB＝2DC．。
人教版八年级数学上学期期末常考精选30题(解析版)
人教版八年级数学上学期期末常考精选30题考试范围：全册的内容，共30小题.)180360︒=，七边形的对角线条数为【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和、对角线的条数等知识，熟练掌握多边形的内角和与外角和A．4B．3C．2D．1x y x y =+101001010【点睛】本题考查了分式的基本性质；解题的关键是熟练运用分式的基本性质进行化简比较．湖北孝感·八年级期中）下列各图中，作出ABC 的AC A ．B ．C ．D ．【答案】C 不是ABC 边AC 不是ABC 边AC 上的高，故是ABC 边AC 上的高，故C 不是ABC 边AC 上的高，故．【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．江苏淮安·八年级期中）的长是（ ）A ．1.5B ．2C ．4D ．6【分析】根据全等三角形的性质得出1BC EC ==，，根据BD BC CD =+即可求解．【详解】解：∵ABC DEC ≌△△，1CE =，3CD =，∵1BC EC ==，∵134BD BC CD =+=+=，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解本题的关键．7．（2022·山东济宁·八年级期中）已知，多项式2x mx n -+可因式分解为()()34x x +-，则m 的值为（ ） A ．1-B ．1C ．7-D ．7【答案】B【分析】分解因式结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m 的值即可．【详解】解：根据题意得：()()223412x mx n x x x x -+=+-=--， 则1m =，故选：B ．【点睛】此题考查了因式分解和多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（2022·浙江省富阳市郁达夫中学八年级期中）在等腰三角形ABC 中，它的两边长分别为6cm 和3cm ，则它的周长为（ ）A ．10cmB ．12cmC ．12cm 或15cmD ．15cm【答案】D【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为3cm ，底边长为6cm 时，当等腰三角形的腰长为6cm ，底边长为3cm 时，然后分别进行计算即可解答．【详解】解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为3cm ，底边长为6cm 时，∵336+=，∵不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为6cm ，底边长为3cm 时，∵等腰三角形的周长()66315cm =++=；综上所述：等腰三角形的周长为15cm ，故选：D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义与三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解答本题的关键．二、填空题（共8小题）9．（2022·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校八年级阶段练习）把多项式39x x -分解因式的结果是___________．【答案】(3)(3)x x x +-【分析】根据提公因式法和公式法进行因式分解即可．【详解】解：32()()(9933)x x x x xx x-=-=+-故答案为：(3)(3)x x x +-【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法，提公因式法和公式法．10．（2022·广东·东莞市寮步镇香市中学八年级期中）如图，手机支架能非常稳定地支起手机，它的设计原理是三角形的__________．【答案】稳定性【分析】根据三角形的稳定性即可解答．【详解】解：手机支架能非常稳定地支起手机，它的设计原理是三角形的稳定性，故答案为：稳定性．【点睛】此题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性的特点是解题的关键．11．（2022·山东淄博·七年级期中）如图，已知,BD CE B C =∠=∠，若5,2AB AD ==，则DC =___．【答案】3【分析】由AAS 证明ABD ACE △△≌，得5AC AB ==，从而得出答案． 【详解】解：在ABD △与ACE △中，A ABC BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵()AAS ABD ACE △△≌，∵5AC AB ==，∵523CD AC AD AB AD =-=-=-=，钦州市第四中学八年级阶段练习）如图，在ABC中，∠=__________70，19FAE∠，则C【答案】24【详解】解：DE∠，19C+︒19AF BAC，FAC=天长市实验中学八年级阶段练习）已知，ABC的三边长为当ABC的周长为偶数时，求【答案】(1)6<或10或12【分析】（1）根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边计算确定．）根据偶数【详解】（1）解：∵ABC的三边长为，∵ABC的周长为偶数，是偶数，，的值可以是8或10本题考查了三角形三边关系定理，广东·江门市新会尚雅学校八年级期中）如图，牧童在(1)牧童从A 处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？(2)最短路程是多少？【答案】(1)见解析；(2)1000米【分析】（1）作点A 关于CD 的对称点A '，连接A B '与CD 相交于M ，则点M 是牛饮水的位置． （2）根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接A B '，得到最短距离为A B '，再根据全等三角形的判定和性质结合A 到河岸CD 的中点的距离为500米，即可求出A B '的值．【详解】（1）如图，作点A 关于CD 的对称点A '，连接A B '与CD 相交于M ，则牧童从A 处把牛牵到河边M 处饮水再回家，所走路程最短．即在点M 处饮水，所走路程最短；（2）根据作图结合题意可知A MC BMD '∠=∠，90A CM BDM '∠=∠=︒，AC BD A C '==，且A B '长为最短距离，∵()AAS A CM BDM '≌，∵A M BM CM DM '==，，∵M 为CD 的中点，∵A 到河岸CD 的中点的距离为500米，∵A '到M 的距离为500米，∵500A M BM '==米∵1000A B '=米．故最短距离是1000米．【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定和性质．掌握轴对称的性质是解题的关键． 24．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）如图，B 、F 、C 、E 是直线l 上的四点，AB DE ∥，AB DE =，BF CE =，(1)求证：ABC DEF△△；≌七年级期中）如图，在ABC中，∠的度数；(1)求CBC AB =．【详解】（1）解：由三角形外角性质得12ADC ∠=∠+∠，∵1236∠=∠=︒，∵72ADC ∠=︒，∵AD AC =，∵ADC △是等腰三角形，∵ADC C ∠=∠，∵72C ∠=︒；（2）解：∵72ADC C ∠=∠=︒，∵180********CAD C ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒⨯=︒，∵1363672BAC CAD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵BAC C ∠=∠，∵5BC AB ==．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的综合应用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．26．（2022·重庆丰都·八年级期中）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是ACB ∠内部一点，连接CE ，作AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为点D ，E ．(1)证明：CAD BCE ≌△△； (2)若15cm AD =，6cm BE =，求DE 的长．【答案】(1)见解析(2)9cm【分析】（1）根据同角的余角相等得DAC ECB ∠=∠，由“AAS ”即可证CAD BCE ≌△△； （2）由全等三角形的性质可得BE DC =，AD CE =，即可求解．【详解】（1）证明：BE CE ⊥，AD CE ⊥，90ADC E ∠=∠=∴︒，90DAC ECA ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90ECB ECA ∴∠+∠=︒，在CAD和BCE中，ADC EDAC ECBAC CB∠=∠∠=∠=，(AASCAD BCE∴≌（2）解：CAD BCE≌15cmAD CE∴==，BE CD=9cmDE CE CD∴=-=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．·江苏江苏·八年级期中）如图，在ABC中，(1)求证：ABE DBE≌；100=︒，50C∠=︒，求(1)见解析（1）由角平分线定义得出由三角形内角和定理得出在ABE中，在ABE和DBE中，AB DBABE DBEBE BE=∠=∠=，ABE DBE△≌△（SAS2）解：∵100A∠=︒30ABC∠=︒，在ABE 中，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．．（2022·贵州黔东南是ABC 的角平分线，.连接EF ，(1)求证：AD 是EF 的垂直平分线；Rt ADE Rt ADF ≌得到AE ）四边形对角线垂直，利用四边形的面积等于对角线乘积的一半解题．）证明：AD 是ABC 的角平分线，AC ，90︒，Rt DFA 中，Rt DEA ∵()Rt DFA HL ，EDA FDA =∠，DG 垂直EF ，且平分EF AD 是EF 的垂直平分线；）解：AD 垂直EF 12AEF S EF AG =⋅，DEF S =12AEF DEF S S EF +=20AD =，150AEDF S =四边形15EF ∴=，答：EF =【点睛】本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学定理证明三角形全等．29．（2022分别是ABC 的高和中线(1)ABE 的面积；AD 的长度；ACE △与ABE 的周长的差．【答案】(1)227cm ；36cm 5； 3cm ．）先根据三角形面积公式计算出 的周长－ABE 的周长）解：ABC 是直角三角形，254(cm )=， AE 是BC 上的中线，BE EC ∴=ABE S S ∆∴=ABE S ∆∴=（2）解：BAC ∠=）解：AE是BCCE，的周长－ABE的周长和ABE的周长差是【点睛】本题考查了三角形的面积公式，以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键．2022·江苏南通·八年级期中）如图，ABC和AHG都是等腰直角三角形，．(1)求证：ABH∵ACG；作EF BC∥，分别交的大小关系，并说明理由．(1)见解析GQ，理由见解析（1）根据等式性质证明先由平行线的性质得）证明：BAC∠=CAG HAQ∠+∠在ABH和ACG中，AB ACBAH CAGAH AG=∠=∠=，ABH∴∵ACG(SAS（2）解：AG GQ=，理由如下：ABC和AHG都是等腰直角三角形，45∴∠=∠=︒，ABC ACHEF BC，//∴∠=∠=︒，AEF ABC45=，AF EH∴∠=∠=︒，67.5EAH AHE∠=∠，BAH CAG67.5∴∠=︒，CAGAQC CAQ ACQ∴∠=︒-∠-∠=︒，18067.5∴∠=∠，GAQ GQA∴=．AG GQ【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，关键是综合应用这些知识解题．。
2021-2022初二上期末新定义(有答案)
①当t=-1，且直线m与y轴平行时,点A的<x轴，m>伴随图形点A'的坐标为；
如： ， ．
根据上述定义，解决下列问题：
（1） ， ；
（2）如果 ，那么x＝；
（3）如果 ，求x的值．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据新定义的运算进行计算即可求解；
（2）根据 得到 ，解分式方程即可求解；
（3）根据-2＜0，得到 =-2+x，对 分大于0和小于0两种情况讨论，得到方程，解方程并对答案进行验证，问题得解．
②若 与 的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求 的值．
27．【分析】（1）根据材料中的新定义求解；
（2）①把 ， 代入可计算 和 的值，分别代入 ， ， ， 中计算，并根据新定义判断是否是二次分式；
②计算 并根据一次分式的定义可得 和 的值，代入 中计算求值即可．
【解答】解：（1） ；
故答案为 ；
（2）第n个等式为： ．
【点睛】此题主要考查分式运算的应用，解题的关键是根据已知的等式找到规律．
（2021昌平区28题）28．（7分）若 和 均为等腰三角形，且 ，当 和 互余时，称 与 互为“底余等腰三角形”， 的边 上的高 叫做 的“余高”．
（1）如图1， 与 互为“底余等腰三角形”．
①若连接 ， ，判断 与 是否互为“底余等腰三角形”：（填“是”或“否” ；
（2）根据材料中的 进行计算即可；
（3）结合（1）（2）的规律进行计算即可
【详解】解：（1） （答案不唯一）；
（2） ；Biblioteka 故答案为：证明：=
人教版八年级数学上册期末专项训练资料(阅读理解)问题探究以及拓展延伸训练题
八数上册期末专项训练资料：（阅读理解）问题探究以及拓展延伸训练题1.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下右图： 23a b 3ab +2.阅读：计算252147920⨯+解：原式()()()=+⨯-+-25002150021211=-+-⨯+2225000021212211=-+250000421=249959解答下列问题：；（用含字母a b ， 的式子表示）⑵.⑶.巧算3.阅读材料，分解因式：()()()()()()()--+=---=+---=-+-2222a b a b a b a b a b a b a b a b a b 1；这种分解因式的方法叫分组分解法；分组分解法要有目的性，比如分组后能提取公因式，分组后能运用公式等，同时分组还要有预见性，要报证下一继续分解.请用分组分解法分解因式： ⑴.-+-3322a b a b ab = ； ⑵.-++22a b 2a 1 = .4.观察以下等式：第1个等式：=+211112 ；第3个等式：=+211326 ；第3个等式：=+2115315； 第4个等式：=+2117428 ；第5个等式：=+2119545；……按照以上规律，解决下列问题：⑴.写出第6个等式: ;⑵.写出你猜想的第n 个等式： （用含n 的等式表示 ），并证明.5.阅读下面的解题过程：已知=+2x 13x 1，求+24x x 1 的值. 解：又=+2x 13x 1知≠x 0，所以 +=+=2x 11x 3x x .又+⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭24222x 111x x 27x x x . 所以+24x x 1的值为：17 .上面这种解法称为“倒数法”；请利用“倒数法”解答：已知+=1x 4x ，求++242x x x 1= . ,,212018这212018++7.著名数学教育家C·波利亚有句名言：“发现问题比解决题更重要”.这句话启发我们：要想学好数学，就要善于观察、发现、探索问题的规律性本质，要有一双敏锐的眼睛；请观察下列算式，再填空：-=⨯-=⨯2223181,5382,；则：⑴. -=⨯22758；⑵. -=⨯22978；⑶.()-=⨯22985；⑷. ()-=⨯2138.⑸.通过观察归纳，并用含字母n 的式子表示这一规律，并进行验证.8.某装饰公司为小明家设计电视背景墙时需要A,B 型板材若干块，A 型板材规格是⨯a b ,B 型板材规格为⨯b b ，现在只能够得规格是⨯150b 的标准板材（单位：cm ） ⑴.若设==a 60cm,b 30cm ，一张标准板材尽可能的材出A 型、B 型板材，共有下表三种裁法，图1是裁法一的裁剪示意图.则表中，=m ，=n .⑵.为装修需要，小明家又购买了若干C 型板材,其规格是⨯a a ，并做成如图2的背景墙，请写出图中所表示的等式： .⑶.若规定一个二次三项式++22a 4ab 3b ，试用拼图的方式将其分解因式（请仿照图2，在几何图形中标上有关数量）10.仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方式()±+=±222a 2ab b a b 以及()±2a b 的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用.比如：已知x,y 满足-+++=22x 2x y 6x 100，求x,y 的值 .我们可以这样处理： 解：∵=+1091 （拆项）∴()()-++++=22x 2x 1y 6x 90 ∴()()-++=22x 1y 30（配方） 又()()-≥+≥22x 10,y 30 ∴-=x 10 ，+=y 30∴==-x 1,y 3上面主要是采用了拆项后配成完全平方的办法，再利用非负数的性质为桥梁来解决问题 . ⑴.若又++-+=22x 4x y 2y 50 ⑵.已知x,y 满足-+-225x 4xy y 6x ⑶.试求+-242x x 的最大值.11.我们都知道，在本期学习的因式分解中，只要没有特别加以说明都是指在有理数范围内分解因式，比如把-4a 9分解因式：()()-=+-422a 9a 3a 3，这样就达到题目的要求了；但如果要求在实数范围内将 -4a 9分解因式，由于=23 ，所以-4a 9在实数范围内还可以继续分解的结果为()(+2a 3a a .有个这样的一个题目：在实数范围内将+-2x 2x 5分解因式.小明是这样做的：()(+-=++--=+-=+++222x 4x 2x 4x 442x 26x 2x 2.小明去问老师是否可以这样做？老师说这种做法也是对的，并称赞小明在现有的知识条件下，能想到用这种添拆项的技巧解题实属难能可贵，转化是数学最重要的思想，这也是一种转化！ 请同学们根据上面的阅读材料按要求解答下列各题：⑴.多项式-+23ax 6ax 3a 分解因式为 ； ⑵.多项式-22x 3在实数范围内分解因式为 ； ⑶.在实数范围内将下列各式分解因式（写出过程）： ①.--22ay 12ay 2a ； ②.()()-+--222x 2x 2x 2x 3.12.理解和规律拓展探究题：已知：()()-+=-21x 1x 1x ，()()-++=-231x 1x x1x ，()()-+++=-2341x 1x xx 1x⑴.猜想填空：()()-+++++23n 1x 1x x x x = ；⑵.根据你的猜想进行下列运算：图 2ab b b 图 1①.()()-+++++++999832x 1xx x x x 1；②.+++++239912222： ③. ++++23n 2222.13.已知下列关于x 的分式方程：方程1:=-12x 1x ； 方程2:=+23x x 1； 方程3:=++34x 1x 2； …… 方程n ： .⑴.填空：方程 1的解为 ，方程2的解为 ； ⑵.解分式方程3；⑶.根据上述方程的规律及解的特点，直接写出方程n 及它的解.14.阅读解答：=-=⨯11111222； +=-+-=-=⨯⨯111111211122322333；…… 根据上面的材料解答：⑴.填空：①.()()()=-+111x x 1； ②.()()()()=---111x 1x 2；⑵.计算：()()()()()()()()()++++++++++++++11111x x 1x 1x 2x 2x 3x 2019x 2020x 2020x 2021.15. 阅读下面材料：例.解方程：-=-----1111x 1x 2x 3x 4 解：()()()()()()()()-----=---------x 2x 1x 4x 3x 1x 2x 1x 2x 3x 4x 3x 4（分别通分）()()()()=----11x 1x 2x 3x 4（整理）()()()()--=--x 1x 2x 3x 4（交叉相乘）解得：=5x 2（解整式方程） =5x 2时，()()()()----≠x 1x 2x 3x 40（验根）所以原方程的解为：=5x 2.（写解） 借鉴上面的解法解方程： ⑴.-=-++++1111x 5x 6x 7x 8； ⑵.+=+++++1111x 5x 6x 7x 8.16.数学课上，老师出示了如下的题目：在等边⊿ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =,如图①，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由. 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： ⑴.特殊情况,探索结论当点E 为AB 的中点时，如图②，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE DB （填“> ”, “< ”或“= ”）. ⑵.特列启发，解答题目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是AE DB （（填“> ”, “< ”或“= ”）. 理由如下：如图③，过点E 作EF ∥BC ,交AC 于点F （请你完成以下解答过程）. ⑶.拓展讨论，设计新题在等边等边⊿ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED BC =,若⊿ABC 的边长为1 ，AE 2=,求CD 的长（请直接写出结果．．．．．．．）.17. 已知△ABC 为正三角形，点M 是射线BC 上任意一点，点N 是射线CA 上任意一点，且=BM CN ,直线BN 与AM 相交于Q 点．就下面给出的三种情况（如图①、②、③），先用量角器分别测量∠BQM 的大小，然后猜测∠BQM 等于多少度？并利用图③证明你的结论．C A ED 图 ① D EA 图 ② D A E C F 图 ③QNMABC图③QNMABC图②QNMABC图①18. 已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，BAD BCE90∠=∠= ,M为DE 的中点，过点E与AD的平行的直线EN交射线AM于点N.⑴.当A B C、、三点在同一直线上时，如图1，求证：M为AN的中点；⑵.将图1中△BCE绕点B旋转，当A B E、、三点在同一直线上时，如图2；求证：△CAN 为等腰直角三角形.⑶.将图1中△BCE绕点B旋转，当A B E、、三点不在同一直线上时，如图3，⑵中的结论是否仍然成立（不需证明）？90,点D在90,90,直角顶点22. 直线MN与PQ互相垂直，垂足为点O,点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动,点A,B不与点O重合.⑴.如图1，AD平分∠BAO,BC平分∠ABO;若∠=BAO40 ,求∠ADB的度数；⑵.如图2，AD平分∠BAO,BC平分∠ABM,BC的反向延长线交AD于点D.①.若∠=BAO40 ,则∠ADB= （直接写结果，不必说理）；②.点A,B在运动过程中，∠ADB的度数是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明理由.⑶.如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AD，∠OAE的平分线AF与∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D,F;在△ADF中，如果一个角是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数.DA图3D图2D图1图2图1图1图1图2图 1图 2。
八年级数学上期末复习新题型(阅读理解、新定义、找规律、作图+证明、开放性题型)精选试题
八年级数学上期末复习新题型（阅读理解、新定义找规律）精选一、阅读理解题 1．阅读材料：课堂上，老师设计了一个活动：将一个4×4的正方形网格沿着网格线．．．．．划分成两部分（分别用阴影和空白表示），使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法．约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同．小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图1、图2、图3所示． 小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形（图3）逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法（图1）是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．”老师说：“小方说得对．”完成下列问题：（1）图4的划分方法是否正确？答：_______________．（2）判断图5的划分方法与图2小易的划分方法是否相同，并说明你的理由； 答：____________________________________________________________________． （3）请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图6中画出来．图4图5图6图1图2图32.阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围。
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD到Q，使得DQ＝AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14，则AD的取值范围是_____________。
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的己知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中。
（2）请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明。
（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC ＝90°。
人教版八年级上册数学期末专题复习九大类型
ab
21．计算：x2
2x 1 x2 1
x
x 1
.
解：原式＝ (x 1)2 x
(x 1)(x 1) x 1
＝ x 1 x
x 1 x 1
＝1
x 1
22．计算：
a2 a
3
3
9
a
a
a
3
.
解：原式＝ a2 9 a 3
a3 a
＝ (a 3)(a 3) a
a3 a3
＝a
23.化简：
B
)
A．x＝ 1
6
B．x＝
2 3
C．x＝ 1
3
D．x＝ 5
6
3．解方程 3 4 .
x 1 x
解：方程两边同乘以x(x－1)，得3x＝4(x－1) 解得x＝4 检验：当x＝4时，x(x－1)≠0. 所以，原分式方程的解为x＝1.
4．解方程 x 2 ＝4.
x 1 1 x
解：方程两边都乘以(x－1)，得x－2＝4(x－1)
2 x
x2
4x x2 4
4
x x
4 2
其中x2＋2x－15＝0.
解：原式＝ x 2
x
x2 4 x 4 x2 4x 4 x 2
＝
x2 x
(
x
2)(x (x 2)2
2)
x4 x2
＝Байду номын сангаасx2 x4
x x2
＝ (x 2)2 x(x 4)
x(x 2)
＝ x2 4x 4 x2 4x
解：原式＝x2＋4x＋4＋4x2－1－4x2－4x ＝x2＋3
当x＝－ 2 时，原式＝(－ 2 )2＋3＝2＋3＝5.
2021最新八年级数学上第一学期期末复习专题训练新定义题型精心整理
八年级数学期末复习新定义1．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{}＝的解为（）A．0B．0或2C．无解D．不确定2．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，}＝﹣2的解为（）A．B．2C．或2D．1或﹣23．如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B（，0），连接AB．若对于平面内一点C，当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，称点C是线段AB的“等长点”（1）在点C1（﹣2，3+2），点C2（0，﹣2），点C3（3+，﹣）中，线段AB的“等长点”是点；（2）若点D（m，n）是线段AB的“等长点”，且∠DAB＝60°，求m和n的值．4．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．5．一个个位不为零的四位自然数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“隐等数”，将这个“隐等数“反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新数m，记D（n）＝．（1）请任意写出一个“隐等数”n，并计算D（n）的值；（2）若某个“隐等数“n的千位与十位上的数字之和为6，D（n）为正数，且D（n）能表示为两个连续偶数的平方差，求满足条件的所有“隐等数”n．6．如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，右边数位上的数总比左边数位上数大1，那么我们把这样的自然数叫做“相连数”．例如：234，4567，56789，…都是“相连数”．（1）请直接写出最大的两位“相连数”与最小的三位“相连数”，并求它们的差．（2）若某个“相连数”恰好等于其个位数的469倍，求这个“相连数”．7．通常情况下，a+b不一定等于ab，观察：2+2＝2×2，3+，4+…我们把符合a+b＝ab的两个数叫做“和积数对”，已知m、n是一对“和积数对”．（1）当m＝﹣10时，求n的值．（2）求代数式的值．8．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请你根据上述规定求出下列等式中x的值：．9．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝．（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+＝（+）2；（3）化简10．利用平方根去根号可以用一个无理数构造一个整系数方程．例如：时，移项，两项平方得，所以a2﹣2a+1＝2，即a2﹣2a﹣1＝0，仿照上述方法完成下面的题目．已知，求：（1）a2+a的值；（2）a3﹣2a+2009的值．11．对于任意一个三位正整数，十位上的数字减去个位上的数字之差恰好等于百位上的数字，则称这个三位数为“极差数”．例如：对于三位数451，5﹣1＝4，则451是“极差数”；对于三位数110，1﹣0＝1，则110是“极差数”（1）求证：任意一个“极差数”一定能被11整除；（2）在一个“极差数”首位之前添加其十位的数字得到一个新的四位数M，在一个“极差数”末位之后添加数字1得到一个新的四位数N，若M﹣N能被12整除，求满足条件的“极差数”．。
2021最新八年级上学期末数学复习专题新定义题型训练精心选题含答案解析
八年级上期末复习专题新定义题型一．选择题（共1小题）1．（2019•随县模拟）定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--，已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，⋯，以此类推，2009a 的值为( )A ．13-B ．34C ．4D ．43二．填空题（共3小题）2．（2020秋•海淀区校级月考）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为30︒，那么这个“特征角” α的度数为 ．3．（2011•毕节地区）对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，*0)a b a b =+>，如：3*2==， 那么6*(5*4)= ．4．（2014•射阳县校级模拟）定义一种运算☆，其规则为a ☆11b a b=+，根据这个规则，计算2☆3的值是 ． 三．解答题（共9小题）5．（2020秋•鄞州区期中）概念学习．已知ABC ∆，点P 为其内部一点，连接PA 、PB 、PC ，在PAB ∆、PBC ∆、PAC ∆中，如果存在一个三角形，其内角与ABC ∆的三个内角分别相等，那么就称点P 为ABC ∆的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30︒、60︒、90︒的三角形存在等角点； ； ②任意的三角形都存在等角点； ；（2）如图①，点P 是锐角ABC ∆的等角点，若BAC PBC ∠=∠，探究图①中，BPC ∠、ABC ∠、ACP ∠之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在ABC ∆中，A B C ∠<∠<∠，若ABC ∆的三个内角的角平分线的交点P 是该三角形的等角点，求ABC ∆三角形三个内角的度数．6．（2013秋•抚州期末）如图1，像我们常见的学习用品-圆规．我们不妨把这样的图形叫作“规形图”，那么这个简单的图形中，到底隐藏了那些数学知识呢？下面就请发挥你的聪明才智解决一下问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠，B ∠，C ∠之间的关系，并证明． （2）请你直接利用以上的结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC ∆上，使三角尺的两条直角边XY ，XZ 恰好经过点B ，C ．若50A ∠=︒，则ABX ACX ∠+∠= ︒．②如图3，BG 平分ABD ∠，GC 平分ACD ∠．若50BAC ∠=︒，140CDB ∠=︒，求BGC ∠的度数．③如图4，ABD ∠，ACD ∠的10等分线相交于点1G ，2G ，⋯，9G ．若160BDC ∠=︒，170BG C ∠=︒，求A ∠的度数．7．（2018秋•綦江区校级月考）若一个整数能表示成{2}{2}(a b a +、b 是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为{2}{2}211=+，再如，{2}{2}{2}{2}22()(M x xy y x y y x y =++=+++，y 是正整数），所以M 也是“丰利数”． （1）20 “丰利数”（填是或不是）；最小的三位“丰利数”是 ；（2）已知{2}{2}26(S x y x y x =++-+、y 是整数，是常数），要使S 为“丰利数”，试求出符合条件的一个值(10200)<，并说明理由．（3）若{2}{2}4269p x mxy y y =-+-+（其中x ，y 是正整数，m 是常数）是“丰利数”，则m = ．（只写答案，不写理由）8．（2017春•九龙坡区校级月考）定义：若数p 可以表示成22(P x y xy x =+-，y 为自然数）的形式，则称P 为“希尔伯特”数．例如：2132121=+-⨯，22397575=+-⨯，2214713111311=+-⨯⋯ 所以3，39，147是“希尔伯特”数． （1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位．那么形如(a bi a +，b 为实数）的数就叫做复数，a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2)(34)53i i i ++-=-． （1）填空：3i = ，42i = ； （2）计算：①(2)(2)i i +-； ②2(2)i +；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题： 已知：(3)3(1)x y i x yi ++=--，(x ，y 为实数），求x ，y 的值．（4）试一试：请你参照21i =-这一知识点，将225(m m +为实数）因式分解成两个复数的积．10．（2020春•东台市期中）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----； 2322522552()11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++ （1）下列分式中，属于真分式的是 （填序号）；①21a a -+②21x x +③2231a a +-④223b b +（2）将假分式4321a a +-化为整式与真分式的和的形式：4321a a +=- ；若假分式4321a a +-的值为正整数，则整数a 的值为 ；（3）请你写出将假分式2261a a +-化成整式与真分式的和的形式的完整过程．类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式． 拓展定义：对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----；2322522552()11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++．理解定义：（1）下列分式中，属于真分式的是： 属于假分式的是： （填序号）①21a a -+；②21x x +；③223b b +；④2231a a +-．拓展应用： （2）将分式4321a a +-化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式231a a +-化成整式与真分式的和的形式．12．（2018春•蜀山区校级期中）对于实数a ，我们规定：用符号整数，称为叫做a 的根整数，例如：3=，3=．（1）仿照以上方法计算：= ；= ．（2）若2=，写出满足题意x 的整数值 ．如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次31=→=，这时候结果为1．（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．13．（2018秋•西城区校级期中）如果一个正整数能写成223a b +的形式（其中a 、b 均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为22=+⨯，7231 2231233=+⨯．（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数；（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．八年级上新定义题型参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2019•随县模拟）定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--，已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，⋯，以此类推，2009a 的值为( )A ．13-B ．34C ．4D ．43【解答】解：113a =-，213141()3a ∴==--，314314a ==-，411143a ==--，⋯∴每3个数为一周期循环，200936692÷=⋯，2009234a a ∴==， 故选：B ．二．填空题（共3小题）2．（2020秋•海淀区校级月考）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为30︒，那么这个“特征角” α的度数为 30︒或60︒或100︒ ． 【专题】32：分类讨论；66：运算能力；552：三角形 【解答】解：当“特征角”为30︒时，即特征角” 30α=︒； 当30β=︒时，“特征角” 23060α=⨯︒=︒；当第三个角为30︒时，“特征角”1301802αα++︒=︒，解得100α=，综上，这个“特征角”α的度数为30︒或60︒或100︒．故答案为30︒或60︒或100︒．3．（2011•毕节地区）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，*0)a b a b=+>，如：3*2==，那么6*(5*4)=1．【专题】23：新定义【解答】解：*0)a b a b=+>，5*43∴=，6*(5*4)6*3∴=，=1=．故答案为：1．4．（2014•射阳县校级模拟）定义一种运算☆，其规则为a☆11ba b=+，根据这个规则，计算2☆3的值是56．【专题】23：新定义【解答】解：2☆1153236 =+=．故答案为56．三．解答题（共9小题）5．（2020秋•鄞州区期中）概念学习．已知ABC∆，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在PAB∆、PBC∆、PAC∆中，如果存在一个三角形，其内角与ABC∆的三个内角分别相等，那么就称点P为ABC∆的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30︒、60︒、90︒的三角形存在等角点； 真命题 ； ②任意的三角形都存在等角点； ；（2）如图①，点P 是锐角ABC ∆的等角点，若BAC PBC ∠=∠，探究图①中，BPC ∠、ABC ∠、ACP ∠之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在ABC ∆中，A B C ∠<∠<∠，若ABC ∆的三个内角的角平分线的交点P 是该三角形的等角点，求ABC ∆三角形三个内角的度数． 【专题】66：运算能力；552：三角形 【解答】解：理解应用（1）①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点是真命题； ②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点； 故答案为：真命题，假命题；（2）如图①，在ABC ∆中，BPC ABP BAC ACP ∠=∠+∠+∠，BAC PBC ∠=∠， BPC ABP PBC ACP ABC ACP ∴∠=∠+∠+∠=∠+∠；解决问题如图②，连接PB ，PCP 为ABC ∆的角平分线的交点，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠，P 为ABC ∆的等角点，PBC BAC ∴∠=∠，22BCP ABC PBC BAC ∠=∠=∠=∠，4ACB BPC A ∠=∠=∠，又180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒， 24180A A A ∴∠+∠+∠=︒， 1807A ︒∴∠=， ∴该三角形三个内角的度数分别为1807︒，3607︒，7207︒． 6．（2013秋•抚州期末）如图1，像我们常见的学习用品-圆规．我们不妨把这样的图形叫作“规形图”，那么这个简单的图形中，到底隐藏了那些数学知识呢？下面就请发挥你的聪明才智解决一下问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠，B ∠，C ∠之间的关系，并证明． （2）请你直接利用以上的结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC ∆上，使三角尺的两条直角边XY ，XZ 恰好经过点B ，C ．若50A ∠=︒，则ABX ACX ∠+∠= 40 ︒．②如图3，BG 平分ABD ∠，GC 平分ACD ∠．若50BAC ∠=︒，140CDB ∠=︒，求BGC ∠的度数．③如图4，ABD ∠，ACD ∠的10等分线相交于点1G ，2G ，⋯，9G ．若160BDC ∠=︒，170BG C ∠=︒，求A ∠的度数．【解答】解：（1）连接AD 并延长至点F ，由外角定理可得BDF BAD B ∠=∠+∠，CDF C CAD ∠=∠+∠，BDC BDF CDF ∠=∠+∠，BAC BAD CAD ∠=∠+∠，∴相加可得：BDC A B C ∠=∠+∠+∠；（2）①由（1）的结论易得：ABX ACX A BXC ∠+∠+∠=∠， 又50A ∠=︒，90BXC ∠=︒， 905040ABX ACX ∴∠+∠=︒-︒=︒，故答案为：40；②如图3，由（1）的结论易得BDC A ABD ACD ∠=∠+∠+∠， 50BAC ∠=︒，140CDB ∠=︒， 1405090ABD ACD ∴∠+∠=︒-︒=︒；11()90509522BGC ABD ACD A ∴∠=∠+∠+∠=⨯︒+︒=︒；③如图4，11()10BG C ABD ACD A ∠==∠+∠+∠， 170BG C ∠=︒，∴设A ∠为x ︒， 160ABD ACD x ∠+∠=︒-︒ ∴1(160)7010x x -+=， 解得：60x =A ∴∠为60︒．7．（2018秋•綦江区校级月考）若一个整数能表示成{2}{2}(a b a +、b 是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为{2}{2}211=+，再如，{2}{2}{2}{2}22()(M x xy y x y y x y =++=+++，y 是正整数），所以M 也是“丰利数”．（1）20 是 “丰利数”（填是或不是）；最小的三位“丰利数”是 ；（2）已知{2}{2}26(S x y x y x =++-+、y 是整数，是常数），要使S 为“丰利数”，试求出符合条件的一个值(10200)<，并说明理由．（3）若{2}{2}4269p x mxy y y =-+-+（其中x ，y 是正整数，m 是常数）是“丰利数”，则m = ．（只写答案，不写理由）【专题】整式；运算能力【解答】解：（1）{2}{2}2042=+，20∴是“丰利数”；{2}636=，{2}864=，∴最小的三位“丰利数”是：{2}{2}68100+=，故答案为：是；100；（2）{2}{2}26S x y x y =++-+，{2}{2}(21)(69)(10)x x y y =+++-++-，{2}{2}(1)(3)(10)x y =++-+-，当{2}(1)x +、{2}(3)y -是正整数的平方时，10-为零时，S 是“丰利数”， 故的一个值可以是10．备注：当1x =-时，可以为14，当3y =时，可以为26．（3）{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}4269(4)(69)(4)(3)p x mxy y y x mxy y y y x mxy y y =-+-+=-++-+=-++-，且{2}{2}4269p x mxy y y =-+-+（其中x ，y 是正整数，m 是常数）是“丰利数”， (221)m ∴-=±⨯⨯，4m ∴=±．故答案为：4±．8．（2017春•九龙坡区校级月考）定义：若数p 可以表示成22(P x y xy x =+-，y 为自然数）的形式，则称P 为“希尔伯特”数．例如：2132121=+-⨯，22397575=+-⨯，2214713111311=+-⨯⋯所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．【专题】21：阅读型【解答】解：（1）220000=+⨯，2211010=+-⨯，2132121=+-⨯，2242020=+-⨯，2272323=+-⨯，2293030=+-⨯，10∴以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9；（2）设“希尔伯特”数为22(21)(21)(21)(21)n n n n ++--+-．(n 为自然数）222(21)(21)(21)(21)43n n n n n ++--+-=+，24n 能被4整除，∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）设两个“希尔伯特”数分别为：22(21)(21)(21)(21)m m m m ++--+-和22(21)(21)(21)(21)n n n n ++--+-．(m ，n 为自然数）．由题意：2222(21)(21)(21)(21)[(21)(21)(21)(21)]224m m m m n n n n ++--+--++--+-=， 2256m n ∴-=，()()56m n m n ∴+-=，可得整数解：95m n =⎧⎨=⎩或1513m n =⎧⎨=⎩， ∴这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679．9．（2017秋•洛江区期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位．那么形如(a bi a +，b 为实数）的数就叫做复数，a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2)(34)53i i i ++-=-．（1）填空：3i = i - ，42i = ；（2）计算：①(2)(2)i i +-； ②2(2)i +；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：(3)3(1)x y i x yi ++=--，(x ，y 为实数），求x ，y 的值．（4）试一试：请你参照21i =-这一知识点，将225(m m +为实数）因式分解成两个复数的积．【专题】21：阅读型【解答】解：（1）21i =-，321i i i i i ∴==-=-，422222(1)(1)2i i i ==--=，故答案是：i ；2；（2）①2(2)(2)4145i i i +-=-+=+=；②22(2)4414434i i i i i +=++=-++=+；（3）(3)3(1)x y i x yi ++=--，31x y x ∴+=-，3y =-，5x ∴=，3y =-；（4）225(5)(5)m m i m i +=+-．10．（2020春•东台市期中）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----； 2322522552()11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++ （1）下列分式中，属于真分式的是 ④ （填序号）； ①21a a -+②21x x +③2231a a +-④223b b + （2）将假分式4321a a +-化为整式与真分式的和的形式：4321a a +=- ；若假分式4321a a +-的值为正整数，则整数a 的值为 ；（3）请你写出将假分式2261a a +-化成整式与真分式的和的形式的完整过程． 【专题】66：运算能力；513：分式【解答】解：（1）223b b +的分子整式的次数小于分母整式的次数， ∴223b b +是真分式， 故答案为：④；（2）4342552212121a a a a a +-+==+---， 假分式4321a a +-的值为正整数，则整数a 为1或3或2-， 故答案为：5221a +-；1或3或2-； （3）22262282(1)(1)88221111a a a a a a a a a +-++-+===++----． 11．（2018秋•宁城县期末）阅读理解：类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．拓展定义：对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----；2322522552()11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++． 理解定义：（1）下列分式中，属于真分式的是： ③ 属于假分式的是： （填序号） ①21a a -+；②21x x +；③223b b +；④2231a a +-． 拓展应用：（2）将分式4321a a +-化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式231a a +-化成整式与真分式的和的形式． 【专题】11：计算题；23：新定义；513：分式【解答】解：（1）属于真分式的是：③；属于假分式的是①②④；故答案为：③，①②④；（2）434252(21)5522121212121a a a a a a a a +-+-==+=+-----；（3）22314(1)(1)441 11111a a a aaa a a a a+-++-==+=++-----．12．（2018春•蜀山区校级期中）对于实数a，我们规定：用符号整数，称为叫做a的根整数，例如：3=，3=．（1）仿照以上方法计算：=4；=．（2）若2=，写出满足题意x的整数值．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次31=→=，这时候结果为1．（3）对100连续求根整数，次之后结果为1．【专题】61：数感；511：实数【解答】解：（1）4=，5=，故答案为：4；5；（2）[]2x=，23x∴<，49x∴<，x∴的整数值为4，5，6，7，8，故答案为：4，5，6，7，8；（3）10=，3=，1=，∴对100连续求根整数，3次之后结果为1，故答案为：3．13．（2018秋•西城区校级期中）如果一个正整数能写成223a b+的形式（其中a、b均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为227231=+⨯，2231233=+⨯．（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数；（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．【专题】512：整式；44：因式分解【解答】证明：（1）222813328=+⨯=，222171334217=+⨯=，28∴和217都是婆罗摩笈多数．（2）设一个婆罗摩笈多数为223x a b =+，另一个婆罗摩笈多数为223y c d =+， 2222(3)(3)xy a b c d =++22222222339a c a d b c b d =+++222222()(3)6633ac bd abcd abcd a d b c =++-++22()3()ac bd ad bc =++-因此，任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．。
苏教版八年级上册数学期末复习知识点+常考题型
苏教版八年级上册期末复习（知识点+考试热点题型）汇总第一章全等三角形知识点梳理1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等．．；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
2、全等三角形的性质：⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
⑵全等三角形的周长相等、面积相等。
⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定：①边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、证明两个三角形全等的基本思路：⑴已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.⑵已知一边一角：①找一角（AAS或ASA）；②找夹边（SAS）.⑶已知两角：①找夹边（ASA）；②找其它边（AAS）.常考题型汇总一、选择题1.如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE 的是（）A、∠A=∠CB、AD=CBC、BE='DF'D、AD∥BC2.如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列条件后，不能判定△ABE≌△ACD 的是( )A、AD=AEB、BE=CDC、∠AEB=∠ADCD、AB=AC3.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD.AD∥BC，且AD=BC4.如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）A.BD=DC，AB=ACB.∠ADB=∠ADC，BD=DCC.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC5.已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A.72°B.60°C.50°D.58°6．在△ABC中和△DEF中，已知AC=DF，∠C= ∠F，增加下列条件后还不能判定△ABC≌△DEF 的是（）A．BC=EF B．AB=DE C．∠A= ∠D D．∠B= ∠E7．（3分）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB=AC B．BD=CD C．∠B=∠C D．∠BDA=∠CDA二、填空题1.如图，△ABC≌△ADE，∠B＝100°，∠BAC＝30°，那么∠AED＝________°．2.如图所示，已知△ABC≌△ADE，∠C=∠E，AB=AD，则另外两组对应边为________，另外两组对应角为________．3.如图，△ACE≌△DBF，点A、B、C、D共线，若AC=5，BC=2，则CD的长度等于________．4.如图，AB=AD，只需添加一个条件________，就可以判定△ABC≌△ADE．5.△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为________．三、解答题1.如图，已知△ABC≌△BAD，AC与BD相交于点O，求证：OC=OD．2.如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．3. 已知：如图，点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，求证：AB=AC．4 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝D C，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．5.已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：①△BEC≌△DEA；②DF⊥BC．BCDEFAACD E6.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .第二章 轴对称知识点梳理1、 轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。
八年级数学上册第二部分期末专题复习专题3规律探索与应用习题新版新人教版
的坐标是( D )
A. (－2 023，0)
B. (－2 023，－ )
C. (－2 022， )
D.1 (－2
023，
)7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
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点拨：∵ A1(－1， )， A2(－2，0)， A3(－3， )，
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解：(4)如图③，由题易知，∠1＝90°－ ∠3，
∠2＝90°－ ∠4.因为光线 m 与光线 n 垂直，
所以∠3＋∠4＝180°－90°＝90°.
所以∠1＋∠2＝180°－
(∠3＋∠4)＝135°.
所以∠ O ＝180°－135°＝45°.
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点拨：∵ AD ＝ DE ＝ DF ，
∴∠ DAE ＝∠ DEA ，∠ DAF ＝∠ DFA .
∵∠ DAE ＋∠ DAF ＝∠ BAC ＝60°，
∴∠ DEA ＋∠ DFA ＝60°.
∵∠ ABC ＝∠ DEA ＋∠ EDB ＝60°，
∴∠ EDB ＝∠ DFA .
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2021最新八年级上学期末数学复习专题新定义题型训练精心选题含答案解析
八年级上期末复习专题新定义题型一．选择题（共1小题）1．（2019•随县模拟）定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--，已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，⋯，以此类推，2009a 的值为( )A ．13-B ．34C ．4D ．43二．填空题（共3小题）2．（2020秋•海淀区校级月考）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为30︒，那么这个“特征角” α的度数为 ．3．（2011•毕节地区）对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，*0)a b a b =+>，如：3*2==， 那么6*(5*4)= ．4．（2014•射阳县校级模拟）定义一种运算☆，其规则为a ☆11b a b=+，根据这个规则，计算2☆3的值是 ． 三．解答题（共9小题）5．（2020秋•鄞州区期中）概念学习．已知ABC ∆，点P 为其内部一点，连接PA 、PB 、PC ，在PAB ∆、PBC ∆、PAC ∆中，如果存在一个三角形，其内角与ABC ∆的三个内角分别相等，那么就称点P 为ABC ∆的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30︒、60︒、90︒的三角形存在等角点； ； ②任意的三角形都存在等角点； ；（2）如图①，点P 是锐角ABC ∆的等角点，若BAC PBC ∠=∠，探究图①中，BPC ∠、ABC ∠、ACP ∠之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在ABC ∆中，A B C ∠<∠<∠，若ABC ∆的三个内角的角平分线的交点P 是该三角形的等角点，求ABC ∆三角形三个内角的度数．6．（2013秋•抚州期末）如图1，像我们常见的学习用品-圆规．我们不妨把这样的图形叫作“规形图”，那么这个简单的图形中，到底隐藏了那些数学知识呢？下面就请发挥你的聪明才智解决一下问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠，B ∠，C ∠之间的关系，并证明． （2）请你直接利用以上的结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC ∆上，使三角尺的两条直角边XY ，XZ 恰好经过点B ，C ．若50A ∠=︒，则ABX ACX ∠+∠= ︒．②如图3，BG 平分ABD ∠，GC 平分ACD ∠．若50BAC ∠=︒，140CDB ∠=︒，求BGC ∠的度数．③如图4，ABD ∠，ACD ∠的10等分线相交于点1G ，2G ，⋯，9G ．若160BDC ∠=︒，170BG C ∠=︒，求A ∠的度数．7．（2018秋•綦江区校级月考）若一个整数能表示成{2}{2}(a b a +、b 是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为{2}{2}211=+，再如，{2}{2}{2}{2}22()(M x xy y x y y x y =++=+++，y 是正整数），所以M 也是“丰利数”． （1）20 “丰利数”（填是或不是）；最小的三位“丰利数”是 ；（2）已知{2}{2}26(S x y x y x =++-+、y 是整数，是常数），要使S 为“丰利数”，试求出符合条件的一个值(10200)<，并说明理由．（3）若{2}{2}4269p x mxy y y =-+-+（其中x ，y 是正整数，m 是常数）是“丰利数”，则m = ．（只写答案，不写理由）8．（2017春•九龙坡区校级月考）定义：若数p 可以表示成22(P x y xy x =+-，y 为自然数）的形式，则称P 为“希尔伯特”数．例如：2132121=+-⨯，22397575=+-⨯，2214713111311=+-⨯⋯ 所以3，39，147是“希尔伯特”数． （1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位．那么形如(a bi a +，b 为实数）的数就叫做复数，a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2)(34)53i i i ++-=-． （1）填空：3i = ，42i = ； （2）计算：①(2)(2)i i +-； ②2(2)i +；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题： 已知：(3)3(1)x y i x yi ++=--，(x ，y 为实数），求x ，y 的值．（4）试一试：请你参照21i =-这一知识点，将225(m m +为实数）因式分解成两个复数的积．10．（2020春•东台市期中）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----； 2322522552()11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++ （1）下列分式中，属于真分式的是 （填序号）；①21a a -+②21x x +③2231a a +-④223b b +（2）将假分式4321a a +-化为整式与真分式的和的形式：4321a a +=- ；若假分式4321a a +-的值为正整数，则整数a 的值为 ；（3）请你写出将假分式2261a a +-化成整式与真分式的和的形式的完整过程．类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式． 拓展定义：对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----；2322522552()11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++．理解定义：（1）下列分式中，属于真分式的是： 属于假分式的是： （填序号）①21a a -+；②21x x +；③223b b +；④2231a a +-．拓展应用： （2）将分式4321a a +-化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式231a a +-化成整式与真分式的和的形式．12．（2018春•蜀山区校级期中）对于实数a ，我们规定：用符号整数，称为叫做a 的根整数，例如：3=，3=．（1）仿照以上方法计算：= ；= ．（2）若2=，写出满足题意x 的整数值 ．如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次31=→=，这时候结果为1．（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．13．（2018秋•西城区校级期中）如果一个正整数能写成223a b +的形式（其中a 、b 均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为22=+⨯，7231 2231233=+⨯．（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数；（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．八年级上新定义题型参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2019•随县模拟）定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--，已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，⋯，以此类推，2009a 的值为( )A ．13-B ．34C ．4D ．43【解答】解：113a =-，213141()3a ∴==--，314314a ==-，411143a ==--，⋯∴每3个数为一周期循环，200936692÷=⋯，2009234a a ∴==， 故选：B ．二．填空题（共3小题）2．（2020秋•海淀区校级月考）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为30︒，那么这个“特征角” α的度数为 30︒或60︒或100︒ ． 【专题】32：分类讨论；66：运算能力；552：三角形 【解答】解：当“特征角”为30︒时，即特征角” 30α=︒； 当30β=︒时，“特征角” 23060α=⨯︒=︒；当第三个角为30︒时，“特征角”1301802αα++︒=︒，解得100α=，综上，这个“特征角”α的度数为30︒或60︒或100︒．故答案为30︒或60︒或100︒．3．（2011•毕节地区）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，*0)a b a b=+>，如：3*2==，那么6*(5*4)=1．【专题】23：新定义【解答】解：*0)a b a b=+>，5*43∴=，6*(5*4)6*3∴=，=1=．故答案为：1．4．（2014•射阳县校级模拟）定义一种运算☆，其规则为a☆11ba b=+，根据这个规则，计算2☆3的值是56．【专题】23：新定义【解答】解：2☆1153236 =+=．故答案为56．三．解答题（共9小题）5．（2020秋•鄞州区期中）概念学习．已知ABC∆，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在PAB∆、PBC∆、PAC∆中，如果存在一个三角形，其内角与ABC∆的三个内角分别相等，那么就称点P为ABC∆的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30︒、60︒、90︒的三角形存在等角点； 真命题 ； ②任意的三角形都存在等角点； ；（2）如图①，点P 是锐角ABC ∆的等角点，若BAC PBC ∠=∠，探究图①中，BPC ∠、ABC ∠、ACP ∠之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在ABC ∆中，A B C ∠<∠<∠，若ABC ∆的三个内角的角平分线的交点P 是该三角形的等角点，求ABC ∆三角形三个内角的度数． 【专题】66：运算能力；552：三角形 【解答】解：理解应用（1）①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点是真命题； ②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点； 故答案为：真命题，假命题；（2）如图①，在ABC ∆中，BPC ABP BAC ACP ∠=∠+∠+∠，BAC PBC ∠=∠， BPC ABP PBC ACP ABC ACP ∴∠=∠+∠+∠=∠+∠；解决问题如图②，连接PB ，PCP 为ABC ∆的角平分线的交点，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠，P 为ABC ∆的等角点，PBC BAC ∴∠=∠，22BCP ABC PBC BAC ∠=∠=∠=∠，4ACB BPC A ∠=∠=∠，又180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒， 24180A A A ∴∠+∠+∠=︒， 1807A ︒∴∠=， ∴该三角形三个内角的度数分别为1807︒，3607︒，7207︒． 6．（2013秋•抚州期末）如图1，像我们常见的学习用品-圆规．我们不妨把这样的图形叫作“规形图”，那么这个简单的图形中，到底隐藏了那些数学知识呢？下面就请发挥你的聪明才智解决一下问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠，B ∠，C ∠之间的关系，并证明． （2）请你直接利用以上的结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC ∆上，使三角尺的两条直角边XY ，XZ 恰好经过点B ，C ．若50A ∠=︒，则ABX ACX ∠+∠= 40 ︒．②如图3，BG 平分ABD ∠，GC 平分ACD ∠．若50BAC ∠=︒，140CDB ∠=︒，求BGC ∠的度数．③如图4，ABD ∠，ACD ∠的10等分线相交于点1G ，2G ，⋯，9G ．若160BDC ∠=︒，170BG C ∠=︒，求A ∠的度数．【解答】解：（1）连接AD 并延长至点F ，由外角定理可得BDF BAD B ∠=∠+∠，CDF C CAD ∠=∠+∠，BDC BDF CDF ∠=∠+∠，BAC BAD CAD ∠=∠+∠，∴相加可得：BDC A B C ∠=∠+∠+∠；（2）①由（1）的结论易得：ABX ACX A BXC ∠+∠+∠=∠， 又50A ∠=︒，90BXC ∠=︒， 905040ABX ACX ∴∠+∠=︒-︒=︒，故答案为：40；②如图3，由（1）的结论易得BDC A ABD ACD ∠=∠+∠+∠， 50BAC ∠=︒，140CDB ∠=︒， 1405090ABD ACD ∴∠+∠=︒-︒=︒；11()90509522BGC ABD ACD A ∴∠=∠+∠+∠=⨯︒+︒=︒；③如图4，11()10BG C ABD ACD A ∠==∠+∠+∠， 170BG C ∠=︒，∴设A ∠为x ︒， 160ABD ACD x ∠+∠=︒-︒ ∴1(160)7010x x -+=， 解得：60x =A ∴∠为60︒．7．（2018秋•綦江区校级月考）若一个整数能表示成{2}{2}(a b a +、b 是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为{2}{2}211=+，再如，{2}{2}{2}{2}22()(M x xy y x y y x y =++=+++，y 是正整数），所以M 也是“丰利数”．（1）20 是 “丰利数”（填是或不是）；最小的三位“丰利数”是 ；（2）已知{2}{2}26(S x y x y x =++-+、y 是整数，是常数），要使S 为“丰利数”，试求出符合条件的一个值(10200)<，并说明理由．（3）若{2}{2}4269p x mxy y y =-+-+（其中x ，y 是正整数，m 是常数）是“丰利数”，则m = ．（只写答案，不写理由）【专题】整式；运算能力【解答】解：（1）{2}{2}2042=+，20∴是“丰利数”；{2}636=，{2}864=，∴最小的三位“丰利数”是：{2}{2}68100+=，故答案为：是；100；（2）{2}{2}26S x y x y =++-+，{2}{2}(21)(69)(10)x x y y =+++-++-，{2}{2}(1)(3)(10)x y =++-+-，当{2}(1)x +、{2}(3)y -是正整数的平方时，10-为零时，S 是“丰利数”， 故的一个值可以是10．备注：当1x =-时，可以为14，当3y =时，可以为26．（3）{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}4269(4)(69)(4)(3)p x mxy y y x mxy y y y x mxy y y =-+-+=-++-+=-++-，且{2}{2}4269p x mxy y y =-+-+（其中x ，y 是正整数，m 是常数）是“丰利数”， (221)m ∴-=±⨯⨯，4m ∴=±．故答案为：4±．8．（2017春•九龙坡区校级月考）定义：若数p 可以表示成22(P x y xy x =+-，y 为自然数）的形式，则称P 为“希尔伯特”数．例如：2132121=+-⨯，22397575=+-⨯，2214713111311=+-⨯⋯所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．【专题】21：阅读型【解答】解：（1）220000=+⨯，2211010=+-⨯，2132121=+-⨯，2242020=+-⨯，2272323=+-⨯，2293030=+-⨯，10∴以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9；（2）设“希尔伯特”数为22(21)(21)(21)(21)n n n n ++--+-．(n 为自然数）222(21)(21)(21)(21)43n n n n n ++--+-=+，24n 能被4整除，∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）设两个“希尔伯特”数分别为：22(21)(21)(21)(21)m m m m ++--+-和22(21)(21)(21)(21)n n n n ++--+-．(m ，n 为自然数）．由题意：2222(21)(21)(21)(21)[(21)(21)(21)(21)]224m m m m n n n n ++--+--++--+-=， 2256m n ∴-=，()()56m n m n ∴+-=，可得整数解：95m n =⎧⎨=⎩或1513m n =⎧⎨=⎩， ∴这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679．9．（2017秋•洛江区期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位．那么形如(a bi a +，b 为实数）的数就叫做复数，a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2)(34)53i i i ++-=-．（1）填空：3i = i - ，42i = ；（2）计算：①(2)(2)i i +-； ②2(2)i +；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：(3)3(1)x y i x yi ++=--，(x ，y 为实数），求x ，y 的值．（4）试一试：请你参照21i =-这一知识点，将225(m m +为实数）因式分解成两个复数的积．【专题】21：阅读型【解答】解：（1）21i =-，321i i i i i ∴==-=-，422222(1)(1)2i i i ==--=，故答案是：i ；2；（2）①2(2)(2)4145i i i +-=-+=+=；②22(2)4414434i i i i i +=++=-++=+；（3）(3)3(1)x y i x yi ++=--，31x y x ∴+=-，3y =-，5x ∴=，3y =-；（4）225(5)(5)m m i m i +=+-．10．（2020春•东台市期中）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----； 2322522552()11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++ （1）下列分式中，属于真分式的是 ④ （填序号）； ①21a a -+②21x x +③2231a a +-④223b b + （2）将假分式4321a a +-化为整式与真分式的和的形式：4321a a +=- ；若假分式4321a a +-的值为正整数，则整数a 的值为 ；（3）请你写出将假分式2261a a +-化成整式与真分式的和的形式的完整过程． 【专题】66：运算能力；513：分式【解答】解：（1）223b b +的分子整式的次数小于分母整式的次数， ∴223b b +是真分式， 故答案为：④；（2）4342552212121a a a a a +-+==+---， 假分式4321a a +-的值为正整数，则整数a 为1或3或2-， 故答案为：5221a +-；1或3或2-； （3）22262282(1)(1)88221111a a a a a a a a a +-++-+===++----． 11．（2018秋•宁城县期末）阅读理解：类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．拓展定义：对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----；2322522552()11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++． 理解定义：（1）下列分式中，属于真分式的是： ③ 属于假分式的是： （填序号） ①21a a -+；②21x x +；③223b b +；④2231a a +-． 拓展应用：（2）将分式4321a a +-化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式231a a +-化成整式与真分式的和的形式． 【专题】11：计算题；23：新定义；513：分式【解答】解：（1）属于真分式的是：③；属于假分式的是①②④；故答案为：③，①②④；（2）434252(21)5522121212121a a a a a a a a +-+-==+=+-----；（3）22314(1)(1)441 11111a a a aaa a a a a+-++-==+=++-----．12．（2018春•蜀山区校级期中）对于实数a，我们规定：用符号整数，称为叫做a的根整数，例如：3=，3=．（1）仿照以上方法计算：=4；=．（2）若2=，写出满足题意x的整数值．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次31=→=，这时候结果为1．（3）对100连续求根整数，次之后结果为1．【专题】61：数感；511：实数【解答】解：（1）4=，5=，故答案为：4；5；（2）[]2x=，23x∴<，49x∴<，x∴的整数值为4，5，6，7，8，故答案为：4，5，6，7，8；（3）10=，3=，1=，∴对100连续求根整数，3次之后结果为1，故答案为：3．13．（2018秋•西城区校级期中）如果一个正整数能写成223a b+的形式（其中a、b均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为227231=+⨯，2231233=+⨯．（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数；（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．【专题】512：整式；44：因式分解【解答】证明：（1）222813328=+⨯=，222171334217=+⨯=，28∴和217都是婆罗摩笈多数．（2）设一个婆罗摩笈多数为223x a b =+，另一个婆罗摩笈多数为223y c d =+， 2222(3)(3)xy a b c d =++22222222339a c a d b c b d =+++222222()(3)6633ac bd abcd abcd a d b c =++-++22()3()ac bd ad bc =++-因此，任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．。
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八年级数学上期末复习新题型（阅读理解、新定义找规律）精选一、阅读理解题 1．阅读材料：课堂上，老师设计了一个活动：将一个4×4的正方形网格沿着网格线．．．．．划分成两部分（分别用阴影和空白表示），使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法．约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同．小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图1、图2、图3所示． 小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形（图3）逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法（图1）是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．”老师说：“小方说得对．”完成下列问题：（1）图4的划分方法是否正确？答：_______________．（2）判断图5的划分方法与图2小易的划分方法是否相同，并说明你的理由； 答：____________________________________________________________________． （3）请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图6中画出来．图4图5图6图1图2图32.阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围。
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD到Q，使得DQ＝AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14，则AD的取值范围是_____________。
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的己知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中。
（2）请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明。
（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC ＝90°。
试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明。
二、新定义3.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；①；②；③；④（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：=；（3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．4.对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．（1）仿照以上方法计算：=；=．（2）若=1，写出满足题意的x的整数值．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．（3）对100连续求根整数，次之后结果为1．（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是．5.现场学习：在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在a n=b中，a，b，n三者关系．同学甲：已知a，n，可以求b，是我们学过的乘方运算，其中b叫做a的n次方．如：（﹣2）3=﹣8，其中﹣8是﹣2的3次方．同学乙：已知b，n，可以求a，是我们学过的开方运算，其中a叫做b的n次方根．如：（±2）2=4，其中±2 是4的二次方根（或平方根）；（﹣3）3=﹣27，其中﹣3是﹣27的三次方根（或立方根）．老师：两位同学说的很好，那么请大家计算：（1）81的四次方根等于；﹣32的五次方根等于．同学丙：老师，如果已知a和b，那么如何求n呢？又是一种什么运算呢？老师：这个问题问的好，已知a，b，可以求n，它是一种新的运算，称为对数运算．这种运算的定义是：若a n=b（a＞0，a≠1），n叫做以a为底b的对数，记作：n=log a b．例如：23=8，3叫做以2为底8的对数，记作3=log28．根据题意，请大家计算：（2）log327=；（）﹣2+﹣log4=．随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么log a MN=log a M+log a N．（3）请你利用上述性质计算：log53+log5．6.如果一个正整数能写成223ba 的形式（其中a，b均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为7＝22＋3×12，31＝22＋3×32。
（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数。
（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数。
三、找规律7．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A7B7A8的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．64四、作图+证明8．在l上求作一点M，使得A M＋BM最小，并简要说明理由。
9．在等边△ABC外作射线AD，使得AD和AC在直线AB的两侧，∠BAD=α（0°＜α＜180°），点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC．（1）依题意补全图1；（2）在图1中，求△BPC的度数；（3）直接写出使得△PBC是等腰三角形的α的值．10. 在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）11.在△DEF中，DE=DF，点B在EF边上，且∠EBD=60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA=BC，连接AC．（1）当点C在线段BD上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图．．．1．，并直接写出线段AE与BF的数量关系为；②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE=BF+CD；（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE ，BF ，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．12.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=2，现将一块三角板的直角顶点放在AB的中点D处，两直角边分别与直线AC，直线BC相交于点E，F，我们把DE⊥AC时的位置定为起始位置（如图1），将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，当点E在线段AC上时，试判别△DEF的形状，并说明理由；（2）设直线ED交直线BC于点G，在旋转过程中，是否存在点G，使得△EFG为等腰三角形？若存在，求出CG的长，若不存在，说明理由．13如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，点D是BC边上一动点（与点B，C不重合），点E与点D关于直线AC对称，连结AE，过点B作BF⊥ED的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）当AE=BD时，用等式表示线段DE与BF之间的数量关系，并证明．14．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC=20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．五、整体思想15.如图，BM是△ABC的角平分线，D是BC边上的一点，连接AD，使AD=DC，且∠BAD=120°，则∠AMB=（）A．30°B．25°C．22.5° D．20°六、操作问题16. 如图，把△A BC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示.若∠A = 60°，∠1 = 95°，则∠2 的度数为（）A．24°B．25°C．30°D．35°17．平面直角坐标系中有一点A（1，1）对点A进行如下操作：第一步，作点A关于x轴的对称点A1，延长线段AA1到点A2，使得2A1A2=AA1；第二步，作点A2关于y轴的对称点A3，延长线段A2A3到点A4，使得2A3A4=A2A3；第三步，作点A4关于x轴的对称点A5，延长线段A4A5到点A6，使得2A5A6=A4A5；……则点A2的坐标为，点A2015的坐标为；若点A n的坐标恰好为（4m，4n）（m、n均为正整数），请写出m和n的关系式．七、计算18．已知：，，求代数式的值.19. 先化简，再求值：，其中满足.20.已知：a2+3a﹣2=0，求代数的值．21.若，求的值．22.已知，求的值结论开放性几何题23.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC．作射线AP，过点B作BD⊥AP于点D，连接CD．（1）当射线AP位于图1所示的位置时①根据题意补全图形；②求证：AD+BD=CD．（2）当射线AP绕点A由图1的位置顺时针旋转至∠BAC的内部，如图2，直接写出此时AD，BD，CD三条线段之间的数量关系为．24.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上﹣点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．（1）求证：AF=CG；（2）写出图中长度等于2DE的所有线段．。