(完整版)Mathematica数值分析和数值计算
基于Mathematica的数值计算.ppt
求m次多项式拟合程序
Clear[xi,xx,yi]; xi=Input["xi="] yi=Input["yi="] n=Length[xi]; h=ListPlot[Table[{xi[[i]],yi[[i]]},{i,1,n}],PlotStyle->PointSize[0.04]] m=Input["多项式次数m="] s=Table[Sum[xi[[k]]^i,{k,1,n}],{i,0,2m}]; a=Table[s[[i+j-1]],{i,1,m+1},{j,1,m+1}]; Print["a=",MatrixForm[a]]; b=Table[Sum[xi[[k]]^i*yi[[k]],{k,1,n}],{i,0,m}]; Print["b=",MatrixForm[b]]; xx=Table[x[i],{i,1,m+1}]; g=Solve[a.xx==b,xx]; fa=Sum[x[i]*t^(i-1),{i,1,m+1}]/.g[[1]]; p=fa//N p1=Plot[p,{t,xi[[1]],xi[[n]]},DisplayFunction->Identity]; Show[{p1,h},DisplayFunction->$DisplayFunction];
程序中变量说明
xi：存放拟合基点{x0 , x1, ... , xn } yi: 存放对应函数值{y0 , y1 , … , yn} m: 存放拟合多项式次数 a: 存放正规方程组系数矩阵 b: 存放正规方程组常数项 p: 存放m次拟合多项式 h: 存放散点图 p1：存放拟合函数图形 xx:定义正规方程组变量，存放m次拟合多项式的系数 注：语句s=Table[Sum[xi[[k]]^i,{k,1,n}],{i,0,2m}]、
mathematica如何数值解微分方程
mathematica如何数值解微分方程（实用版）目录一、引言二、微分方程数值解的方法1.常微分方程的数值解法2.偏微分方程的数值解法三、Mathematica 在微分方程数值解中的应用1.数值解微分方程的 Mathematica 函数2.Mathematica 解微分方程的实例四、结论正文一、引言微分方程是数学领域中的一个重要研究对象，它在物理、工程、生物等多个学科中都有广泛的应用。
然而，许多微分方程无法求得解析解，这时就需要通过数值方法来求解。
数值解微分方程是将微分方程转化为数值问题，通过计算机进行求解的方法。
Mathematica 作为一款强大的数学软件，可以很好地用于数值解微分方程。
二、微分方程数值解的方法1.常微分方程的数值解法常微分方程是指关于未知数 x 的导数为常数的微分方程。
数值解常微分方程的方法有多种，如欧拉法、改进欧拉法、龙格 - 库塔法等。
这些方法在 Mathematica 中都有相应的实现。
例如，使用 Mathematica 解一阶常微分方程 y" = ky：```mathematicaeq = y"[x] == k*y[x];sol = DSolve[eq, y[x], x];y[x] // FullSimplify```2.偏微分方程的数值解法偏微分方程是指关于未知函数 y 的导数包含 x 的偏导数的微分方程。
数值解偏微分方程的方法同样有多种，如分离变量法、有限差分法等。
这些方法在 Mathematica 中同样有相应的实现。
例如，使用 Mathematica 解二维热传导方程：```mathematicaeq = T[x, y] == k*y"[x, y];bc = {T[0, y] == 0, T[x, 0] == 0};sol = NDSolve[eq, T[x, y], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, bc];T[x, y] // FullSimplify```三、Mathematica 在微分方程数值解中的应用1.数值解微分方程的 Mathematica 函数Mathematica 中提供了许多用于数值解微分方程的函数，如 DSolve、NDSolve 等。
《Mathematica》使用手册
《Mathematica》使用手册Mathematica 使用手册1.简介1.1 Mathematica 简介1.2 Mathematica 的应用领域1.3 Mathematica 的基本特性2.安装与启动2.1 系统要求2.2 安装 Mathematica2.3 启动 Mathematica2.4 探索 Mathematica 界面2.5 设置用户首选项3.数值计算3.1 基本数值运算3.2 数值函数的使用3.3 数值积分与微分3.4 数值解方程3.5 特殊数值计算技巧4.符号计算4.1 符号数据类型4.2 符号运算与化简4.3 方程求解与解析解4.4 函数极限和级数展开4.5 矩阵与线性代数运算5.绘图与可视化5.1 绘制函数图像5.2 绘制二维与三维图形5.3 自定义图形选项5.4 绘制动态图形5.5 数据可视化6.编程与函数定义6.1 Mathematica 的编程语言 6.2 函数的定义与使用6.3 控制流程与条件判断6.4 模块化与函数封装6.5 文件读写与外部程序交互7.数据分析与统计7.1 数据导入与清洗7.2 数据处理与转换7.3 数据可视化与探索7.4 数值统计与假设检验7.5 机器学习与数据建模8.物理与工程应用8.1 经典力学模拟8.2 电磁场与电路分析8.3 量子力学与粒子物理8.4 工程建模与仿真8.5 数据分析在物理与工程中的应用9.MATLAB 兼容性与互操作9.1 导入与导出 MATLAB 数据9.2 运行 MATLAB 代码9.3 在 Mathematica 中调用 MATLAB 函数 9.4 在 MATLAB 中调用 Mathematica 函数9.5 MATLAB 兼容性的限制与注意事项10.Mathematica 社区与资源10.1 论坛和社区支持10.2 官方文档与教程10.3 第三方扩展包与资源10.4 在线学习资源10.5 Mathematica 社区的活动与会议本文档涉及附件：附件1：示例代码文件附件2：图形绘制示例文件附件3：数据分析样本数据集本文所涉及的法律名词及注释：1.版权：法律上对原创作品的保护权益。
Mathematica 基本运算
Mathematica 基本运算a+b+c 加a-b 减a b c 或a*b*c 乘a/b 除-a 负号a^b 次方Mathematica 数字的形式256 整数2.56 实数11/35 分数2+6I 复数常用的数学常数Pi 圆周率，π=3.141592654…E 尤拉常数，e=2.71828182…Degree 角度转换弧度的常数，Pi/180I 虚数，其值为√-1Infinity 无限大指定之前计算结果的方法% 前一个运算结果%% 前二个运算结果%%…%(n个%) 前n个运算结果%n 或Out[n] 前n个运算结果复数的运算指令a+bI 复数Conjugate[a+bI] 共轭复数Re[z], Im[z] 复数z的实数/虚数部分Abs[z] 复数z的大小或模数(Modulus)Arg[z] 复数z的幅角(Argument)Mathematica 输出的控制指令expr1; expr2; expr3 做数个运算，但只印出最後一个运算的结果expr1; expr2; expr3; 做数个运算，但都不印出结果expr; 做运算，但不印出结果常用数学函数Sin[x],Cos[x],Tan[x],Cot[x],Sec[x],Csc[x] 三角函数，其引数的单位为弪度Sinh[x],Cosh[x],Tanh[x],… 双曲函数ArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x] 反三角函数ArcCot[x],ArcSec[x],ArcCsc[x]ArcSinh[x],ArcCosh[x],ArcTanh[x],… 反双曲函数Sqrt[x] 根号Exp[x] 指数Log[x] 自然对数Log[a,x] 以a为底的对数Abs[x] 绝对值Round[x] 最接近x的整数Floor[x] 小於或等於x的最大整数Ceiling[x] 大於或等於x的最小整数Mod[a,b] a/b所得的馀数n! 阶乘Random[] 0至1之间的乱数Max[a,b,c,...]，Min[a,b,c,…] a,b,c,…的极大/极小值数之设定x=a 将变数x的值设为ax=y=b 将变数x和y的值均设为bx=. 或Clear[x] 除去变数x所存的值变数使用的一些法则xy 中间没有空格，视为变数xyx y x乘上y3x 3乘上xx3 变数x3x^2y 为x^2 y次方运算子比乘法的运算子有较高的处理顺序四个常用处理代数的指令Expand[expr] 将expr展开Factor[expr] 将expr因式分解Simplify[expr] 将expr化简成精简的式子FullSimplify[expr] Mathematica 会尝试更多的化简公式，将expr化成更精简的式子多项式/分式转换的函数ExpandAll[expr] 把算是全部展开Together[expr] 将expr各项通分在并成一项Apart[expr] 把分式拆开成数项分式的和Apart[expr,var] 视var以外的变数为常数，将expr拆成数项的和Cancel[expr] 把分子和分母共同的因子消去分母/分子的运算Denominator[expr] 取出expr的分母Numerator[expr] 取出expr的分子ExpandDenominator[expr] 展开expr的分母ExpandNumerator[expr] 展开expr的分子多项式的另二种转换函数Collect[expr,x] 将expr表示成x的多项式，如Collect[expr,{x,y,…}] 将expr分别表示成x,y,…的多项式FactorTerms[expr] 将expr的数值因子提出，如4x+2=2(2x+1)FactorTerms[expr,x] 将expr中把所有不包含x项的因子提出FactorTerms[expr,{x,y,…}] 将expr中把所有不包含{x,y,...}项的因子提出三角函数、双曲函数和指数的运算TrigExpand[expr] 将三角函数展开TrigFactor[expr] 将三角函数所组成的数学式因式分解TrigReduce[expr] 将相乘或次方的三角函数化成一次方的基本三角函数之组合ExpToTrig[expr] 将指数函数化成三角函数或双曲函数TrigToExp[expr] 将三角函数或双曲函数化成指数函数复数、次方乘积之展开ComplexExpand[expr] 假设所有的变数都是实数来对expr展开ComplexExpand[expr,{x,y,…}] 假设x,y,..等变数均为复数来对expr展开PowerExpand[expr] 将多项式项次、系数与最高次方之取得Coefficient[expr,form] 於expr中form的系数Exponent[expr,form] 於expr中form的最高次方Part[expr,n] 或expr[[n]] 在expr项中第n个项代换运算子expr/.x->value 将expr里所有的x均代换成valueexpr/.{x->value1,y->value2,…} 执行数个不同变数的代换expr/.{{x->value1},{x->value2},…} 将expr代入不同的x值expr//.{x->value1,y->value2,…} 重复代换到expr不再改变为止求解方程式的根Solve[lhs==rhs,x] 解方程式lhs==rhs，求xNsolve[lhs==rhs,x] 解方程式lhs==rhs的数值解Solve[{lhs1==rhs1,lhs2==rhs2,…},{x,y,…}]解联立方程式，求x,y,…NSolve[{lhs1==rhs1,lhs2==rhs2,…},{x,y,…}] 解联立方程式的数值解FindRoot[lhs==rhs,{x,x0}] 由初始点x0求lhs==rhs的根Mathematica 的四种括号(term) 圆括号，括号内的term先计算f[x] 方括号，内放函数的引数{x,y,z} 大括号或串列括号，内放串列的元素p[[i ]] 或Part[p,i] 双方括号，p的第i项元素p[[i,j]] 或Part[p,i,j] p的第i项第j个元素缩短Mathematica输出的指令expr//Short 显示一行的计算结果Short[expr,n] 显示n行的计算结果Command; 执行command，但不列出结果查询Mathematica的物件?Command 查询Command的语法及说明??Command 查询Command的语法和属性及选择项?Aaaa* 查询所有开头为Aaaa的物件函数的定义、查询与清除f[x_]= expr 立即定义函数f[x]f[x_]:= expr 延迟定义函数f[x]f[x_,y_,…] 函数f有两个以上的引数?f 查询函数f的定义Clear[f] 或f=. 清除f的定义Remove[f] 将f自系统中清除掉含有预设值的Patterna_+b_. b的预设值为0，即若b从缺，则b以0代替x_ y_ y的预设值为1x_^y_ y的预设值为1条件式的自订函数lhs:=rhs/;condition 当condition成立时，lhs才会定义成rhsIf指令If[test,then,else] 若test为真，则回应then，否则回应elseIf[test,then,else,unknow] 同上，若test无法判定真或假时，则回应unknow 极限Limit[expr,x->c] 当x趋近c时，求expr的极限Limit[expr,x->c,Direction->1]Limit[expr,x->c,Direction->-1]微分D[f,x] 函数f对x作微分D[f,x1,x2,…] 函数f对x1,x2,…作微分D[f,{x,n}] 函数f对x微分n次D[f,x,NonConstants->{y,z,…}] 函数f对x作微分，将y,z,…视为x的函数全微分Dt[f] 全微分dfDt[f,x] 全微分Dt[f,x1,x2,…] 全微分Dt[f,x,Constants->{c1,c2,…}] 全微分，视c1,c2,…为常数不定积分Integrate[f,x] 不定积分∫f dx定积分Integrate[f,{x,xmin,xmax}] 定积分Integrate[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] 定积分数列之和与积Sum[f,{i,imin,imax}] 求和Sum[f,{i,imin,imax,di}] 求数列和，引数i以di递增Sum[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]Product[f,{i,imin,imax}] 求积Product[f,{i,imin,imax,di}] 求数列之积，引数i以di递增Product[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]函数之泰勒展开式Series[expr,{x,x0,n}] 对expr於x0点作泰勒级数展开至(x-x0)n项Series[expr,{x,x0,m},{y,y0,n}] 对x0和y0展开关系运算子a==b 等於a>b 大於a>=b 大於等於a<b 小於a<=b 小於等於a!=b 不等於逻辑运算子!p notp||q||… orp&&q&&… andXor[p,q,…] exclusive orLogicalExpand[expr] 将逻辑表示式展开基本二维绘图指令Plot[f,{x,xmin,xmax}]画出f在xmin到xmax之间的图形Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}]同时画出数个函数图形Plot[f,{x,xmin,xmax},option->value]指定特殊的绘图选项，画出函数f的图形Plot[]几种常用选项的指令选项预设值说明AspectRatio 1/GoldenRatio 图形高和宽之比例，高/宽Axes True 是否把坐标轴画出AxesLabel Automatic 为坐标轴贴上标记，若设定为AxesLabel->{"ylabel"}，则为y轴之标记。
mathematica代入数值进行运算
mathematica代入数值进行运算以mathematica代入数值进行运算Mathematica是一种非常强大的数学软件，它可以进行各种数值计算和符号计算。
在这篇文章中，我们将介绍如何使用Mathematica 进行数值代入和运算。
我们需要定义一些变量和函数。
假设我们想计算一个函数f(x)在给定数值x处的值。
我们可以使用Mathematica的函数定义语法来定义这个函数，如下所示：f[x_] := x^2 + 3这里，我们定义了一个函数f(x)，其表达式是x的平方加上3。
接下来，我们可以使用Mathematica的代入符号“:=”来为变量x赋值。
例如，我们可以将x的值赋为2，然后计算f(x)的值，如下所示：x = 2f[x]运行以上代码，Mathematica会输出结果5，这是因为当x等于2时，f(x)的值为2的平方加上3，即5。
除了代入单个数值，我们还可以使用Mathematica的List数据结构进行向量化计算。
例如，我们可以定义一个包含多个数值的向量x，然后计算f(x)的值。
具体代码如下：x = {1, 2, 3}f[x]运行以上代码，Mathematica会输出一个向量{4, 7, 12}，这是因为当x分别等于1、2和3时，f(x)的值分别为4、7和12。
在进行数值代入和运算时，我们还可以使用Mathematica的各种数学函数和操作符。
例如，我们可以使用Mathematica的内置函数Sin计算正弦函数在给定数值处的值。
具体代码如下：x = Pi/2Sin[x]运行以上代码，Mathematica会输出结果1，这是因为正弦函数在π/2处的值等于1。
除了单个数值的代入和运算，我们还可以使用Mathematica的内置函数Table进行多个数值的代入和运算。
例如，我们可以使用Table函数计算函数f(x)在一系列数值处的值。
具体代码如下：x = Table[i, {i, 1, 10}]f[x]运行以上代码，Mathematica会输出一个向量{4, 7, 12, 19, 28, 39,52, 67, 84, 103}，这是因为当x分别等于1到10时，f(x)的值分别为4、7、12、19、28、39、52、67、84和103。
Mathematica 基本运算
Mathematica 基本运算a+mathematica数学实验(第2版)b+c 加a-b 减a b c 或a*b*c 乘a/b 除-a 负号a^b 次方Mathematica 数字的形式256 整数2.56 实数11/35 分数2+6I 复数常用的数学常数Pi 圆周率，π=3.141592654…E 尤拉常数，e=2.71828182…Degree 角度转换弧度的常数，Pi/180I 虚数，其值为√-1Infinity 无限大指定之前计算结果的方法% 前一个运算结果%% 前二个运算结果%%…%(n个%) 前n个运算结果%n 或Out[n] 前n个运算结果复数的运算指令a+bI 复数Conjugate[a+bI] 共轭复数Re[z], Im[z] 复数z的实数/虚数部分Abs[z] 复数z的大小或模数(Modulus)Arg[z] 复数z的幅角(Argument)Mathematica 输出的控制指令expr1; expr2; expr3 做数个运算，但只印出最后一个运算的结果expr1; expr2; expr3; 做数个运算，但都不印出结果expr; 做运算，但不印出结果常用数学函数Sin[x],Cos[x],Tan[x],Cot[x],Sec[x],Csc[x] 三角函数，其引数的单位为弧度Sinh[x],Cosh[x],Tanh[x],… 双曲函数ArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x] 反三角函数ArcCot[x],ArcSec[x],ArcCsc[x]ArcS inh[x],ArcCosh[x],ArcTanh[x],… 反双曲函数Sqrt[x] 根号Exp[x] 指数Log[x] 自然对数Log[a,x] 以a为底的对数Abs[x] 绝对值Round[x] 最接近x的整数Floor[x] 小于或等于x的最大整数Ceiling[x] 大于或等于x的最小整数Mod[a,b] a/b所得的馀数n! 阶乘Random[] 0至1之间的随机数（最新版本已经不用这个函数，改为使用RandomReal[]）Max[a,b,c,...]，Min[a,b,c,…] a,b,c,…的极大/极小值数值设定x=a 将变数x的值设为ax=y=b 将变数x和y的值均设为bx=. 或Clear[x] 除去变数x所存的值变数使用的一些法则xy 中间没有空格，视为变数xyx y x乘上y3x 3乘上xx3 变数x3x^2y 为x^2 y次方运算子比乘法的运算子有较高的处理顺序四个处理代数指令Expand[expr] 将expr展开Factor[expr] 将expr因式分解Simplify[expr] 将expr化简成精简的式子FullSimplify[expr] Mathematica 会尝试更多的化简公式，将expr化成更精简的式子多项式/分式转换函数ExpandAll[expr] 把算式全部展开Together[expr] 将expr各项通分在并成一项Apart[expr] 把分式拆开成数项分式的和Apart[expr,var] 视var以外的变数为常数，将expr拆成数项的和Cancel[expr] 把分子和分母共同的因子消去分母/分子的运算Denominator[expr] 取出expr的分母Numerator[expr] 取出expr的分子ExpandDenominator[expr] 展开expr的分母ExpandNumerator[expr] 展开expr的分子多项式二种转换函数Collect[expr,x] 将expr表示成x的多项式，如Collect[expr,{x,y,…}] 将expr分别表示成x,y,…的多项式FactorTerms[expr] 将expr的数值因子提出，如4x+2=2(2x+1)FactorTerms[expr,x] 将expr中把所有不包含x项的因子提出FactorTerms[expr,{x,y,…}] 将expr中把所有不包含{x,y,...}项的因子提出函数和指数运算TrigExpand[expr] 将三角函数展开TrigFactor[expr] 将三角函数所组成的数学式因式分解TrigReduce[expr] 将相乘或次方的三角函数化成一次方的基本三角函数之组合ExpToTrig[expr] 将指数函数化成三角函数或双曲函数TrigToExp[expr] 将三角函数或双曲函数化成指数函数复数、次方乘积之展开ComplexExpand[expr] 假设所有的变数都是实数来对expr展开ComplexExpand[expr,{x,y,…}] 假设x,y,..等变数均为复数来对expr展开PowerExpand[expr] 将项次、系数与最高次方Coefficient[expr,form] 于expr中form的系数Exponent[expr,form] 于expr中form的最高次方Part[expr,n] 或expr[[n]] 在expr项中第n个项代换运算子expr/.x->value 将expr里所有的x均代换成valueexpr/.{x->value1,y->value2,…} 执行数个不同变数的代换expr/.{{x->value1},{x->value2},…} 将expr代入不同的x值expr//.{x->value1,y->value2,…} 重复代换到expr不再改变为止求解方程式的根Solve[lhs==rhs,x] 解方程式lhs==rhs，求xNsolve[lhs==rhs,x] 解方程式lhs==rhs的数值解Solve[{lhs1==rhs1,lhs2==rhs2,…},{x,y,…}] 解联立方程式，求x,y,…NSolve[{lhs1==rhs1,lhs2==rhs2,…},{x,y,…}] 解联立方程式的数值解FindRoot[lhs==rhs,{x,x0}] 由初始点x0求lhs==rhs的根四种括号(term) 圆括号，括号内的term先计算f[x] 方括号，内放函数的引数{x,y,z} 大括号或串列括号，内放串列的元素p[[i ]] 或Part[p,i] 双方括号，p的第i项元素p[[i,j]] 或Part[p,i,j] p的第i项第j个元素缩短输出指令expr//Short 显示一行的计算结果Short[expr,n] 显示n行的计算结果Command; 执行command，但不列出结果查询物件?Command 查询Command的语法及说明??Command 查询Command的语法和属性及选择项?Aaaa* 查询所有开头为Aaaa的物件函数定义、查询与清除f[x_]= expr 立即定义函数f[x]f[x_]:= expr 延迟定义函数f[x]f[x_,y_,…] 函数f有两个以上的引数?f 查询函数f的定义Clear[f] 或f=. 清除f的定义Remove[f] 将f自系统中清除掉含有预设值的Patterna_+b_. b的预设值为0，即若b从缺，则b以0代替x_ y_ y的预设值为1x_^y_ y的预设值为1条件式的自订函数lhs:=rhs/;condition 当condition成立时，lhs才会定义成rhsIf指令If[test,then,else] 若test为真，则回应then，否则回应elseIf[test,then,else,unknow] 同上，若test无法判定真或假时，则回应unknow 极限Limit[expr,x->c] 当x趋近c时，求expr的极限Limit[expr,x->c,Direction->1]Limit[expr,x->c,Direction->-1]微分D[f,x] 函数f对x作微分D[f,x1,x2,…] 函数f对x1,x2,…作微分D[f,{x,n}] 函数f对x微分n次D[f,x,NonConstants->{y,z,…}] 函数f对x作微分，将y,z,…视为x的函数全微分Dt[f] 全微分dfDt[f,x] 全微分Dt[f,x1,x2,…] 全微分Dt[f,x,Constants->{c1,c2,…}] 全微分，视c1,c2,…为常数不定积分Integrate[f,x] 不定积分∫f dx定积分Integrate[f,{x,xmin,xmax}] 定积分Integrate[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] 定积分数列之和与积Sum[f,{i,imin,imax}] 求和Sum[f,{i,imin,imax,di}] 求数列和，引数i以di递增Sum[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]Product[f,{i,imin,imax}] 求积Product[f,{i,imin,imax,di}] 求数列之积，引数i以di递增Product[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]函数之泰勒展开式Series[expr,{x,x0,n}] 对expr于x0点作泰勒级数展开至(x-x0)n项Series[expr,{x,x0,m},{y,y0,n}] 对x0和y0展开关系运算子a==b 等于a>b 大于a>=b 大于等于a<b 小于a<=b 小于等于a!=b 不等于逻辑运算子!p notp||q||… orp&&q&&… andXor[p,q,…] exclusive orLogicalExpand[expr] 将逻辑表示式展开基本二维绘图指令Plot[f,{x,xmin,xmax}]画出f在xmin到xmax之间的图形Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}]同时画出数个函数图形Plot[f,{x,xmin,xmax},option->value]指定特殊的绘图选项，画出函数f的图形Plot几种指令选项预设值说明AspectRatio 1/GoldenRatio 图形高和宽之比例，高/宽Axes True 是否把坐标轴画出AxesLabel Automatic 为坐标轴贴上标记，若设定为AxesLabel->{?ylabel?}，则为y轴之标记。
mathematica数值计算
mathematica数值计算Mathematica是一款强大的数学计算软件，可以进行各种数值计算和符号计算。
本文将介绍Mathematica在数值计算方面的应用。
一、数值计算的基础在Mathematica中，我们可以使用各种内置函数进行数值计算。
比如，我们可以使用N函数将一个表达式或方程转化为数值，并指定精度。
例如，我们可以计算sin(π/4)的数值：N[Sin[π/4]]结果为0.707107。
二、数值积分Mathematica提供了强大的数值积分功能。
我们可以使用NIntegrate函数对函数进行数值积分。
例如，我们可以计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的积分：NIntegrate[x^2, {x, 0, 1}]结果为0.333333。
三、数值方程求解Mathematica还可以解决各种数值方程。
我们可以使用NSolve函数对方程进行数值求解。
例如，我们可以求解方程x^2 - 2x + 1 =0的解：NSolve[x^2 - 2x + 1 == 0, x]结果为{{x -> 1}}，即方程的解为x=1。
四、数值优化Mathematica也可以进行数值优化。
我们可以使用NMinimize函数对一个函数进行最小化。
例如，我们可以求解函数f(x) = x^2的最小值：NMinimize[x^2, x]结果为{x -> 0.}，即函数的最小值为0。
五、数值微分Mathematica还提供了数值微分的功能。
我们可以使用ND函数对函数进行数值微分。
例如，我们可以计算函数f(x) = x^2的导数在x=1的值：ND[x^2, x, 1]结果为2，即函数在x=1处的导数为2。
六、数值级数求和Mathematica可以对级数进行数值求和。
我们可以使用NSum函数对级数进行数值求和。
例如，我们可以计算级数1/2^k的和：NSum[1/2^k, {k, 1, ∞}]结果为1，即级数的和为1。
9_基于Mathematica的数值计算
9_基于Mathematica的数值计算Mathematica是一种强大的数学软件，可以进行各种数值计算。
它提供了丰富的内置函数和算法，可以帮助用户解决各种数学问题。
本文将介绍Mathematica的一些常用数值计算功能，并结合实例说明其用法。
首先，Mathematica可以进行基本的数值计算，例如加减乘除等。
用户可以直接输入表达式，然后使用Mathematica进行计算。
例如，要计算1加2，可以输入表达式"1+2"，然后按下回车键，Mathematica将返回结果3、Mathematica还支持复杂的数学函数，例如三角函数、指数函数、对数函数等。
用户可以使用这些函数进行各种复杂的数值计算。
除了基本的数学计算，Mathematica还提供了一些高级的数值计算功能。
例如，它可以进行数值积分和数值微分。
用户可以使用内置的积分函数和微分函数，将待积分或待微分的函数作为参数传递给这些函数。
Mathematica将根据给定的函数和积分或微分的区间，计算出准确的结果。
例如，要计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的积分，可以使用内置函数NIntegrate[f[x],{x,0,1}]，Mathematica将返回准确的积分结果。
此外，Mathematica还可以进行数值求解方程的计算。
用户可以使用内置的求解函数，将方程和待求解的变量作为参数传递给这些函数。
Mathematica将根据给定的方程和初始猜测，计算出方程的解。
例如，要求解方程x^2-2x+1=0，可以使用内置函数NSolve[x^2-2x+1==0,x]，Mathematica将返回方程的解{x->1}。
除了上述功能，Mathematica还可以进行矩阵计算、数值优化、概率统计等。
用户可以使用内置的函数和算法，进行各种高级的数值计算。
例如，用户可以使用内置函数MatrixForm，对矩阵进行漂亮的格式化输出。
用户还可以使用内置函数FindMinimum，对函数进行最小化。
Mathematica数值分析
NSum 10 + i, i, 1, 2, 0.1 126.5
@8 < D
@8 < D @8 < D
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２、极值 FindMinimum[f,{x,x0}]从初值 从初值x=x0开始寻找函数 开始寻找函数f 从初值 开始寻找函数 的极小值 FindMinimum[f,{x,x0},{y,y0},…]从初值 从初值(x0,y0,…)开 从初值 开 始寻找寻找函数f的极小值 始寻找寻找函数 的极小值 对于FindMinimum[]，选取不的初值可能会得 对于 ， 到不同的极值， 到不同的极值，例如
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In[1]:=
NSum
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Out[8]=
In[9]:= Out[9]=
Out[6]=
Out[1]=
0.926025 In[6]:= NSum i + j, i, 1, 10, 0.5 , j, 1, 21, 2
H H 8 D @ L L < @8 < < 8 D
d = 1, 2 , 3, 7 , 5, 9 , 7, 15 , 9, 35 , 11, 80 , 13, 150 ; x =.; f x_ = Fit d, 1, x, Log x , x - 13.0035 + 23.7089 x - 65.4063 Log x
d = 1, 2, 3 , 4, 5, 6 , 5, 6, 7 , 6, 7, 8 , 7, 8, 9 ; y =.; Fit d, 1, x, y, x y, x^2, y^2 , x, y
x - 1.81626 , x 1.00417 FindRoot x^2 + y^2 4, Exp x + Exp y + Sin x + Sin y 1 , x, -2 , y, 0
(完整版)Mathematica数值分析和数值计算
第五章 数值分析和数值计算1． 如何求插值多项式给定n 个点( x i ,y i )，(i=1,2,…,n)，构造一个次数不超过n-1的多项式函数f(x)，使得f(x i )=y i ，则称f(x)为拉格朗日插值多项式。
可以证明该多项式函数由公式))...()(())...()((...))...()(())...()(())...()(())...()((1211212321231113121321--------++------+------=n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y唯一给定。
Mathematica 提供了根据插值点数据计算拉格朗日插值多项式的函数InterpolatingPolynomial ，下面是其调用格式：InterpolatingPolynomial[data,var]作出以data 为插值点数据，以var 为变量名的插值多项式。
例：在多数情况下，我们构造插值函数的目的在于计算函数f(x)的值，而并不在意插值多项式的具体表示形式。
对于拉格朗日插值多项式，当n 较大时，得到的高次插值多项式由于截断误差和舍入误差的影响，往往误差较大。
此时在实际应用中，一般采用分段插值。
Mathematica 提供了分段插值函数Interpolation ，其使用格式为：Interpolation[data,InterpolationOrder->n]这里InterpolationOrder->n 指定插值多项式的次数，默认值为3。
此外数据data 中还可以包括插值点处的导数，格式为：{{x1,{y1,dy1}},{x2,{y2,dy2}},…}例：已知f(0)=0,f(1)=2,f’(0)=1,f’(1)=1,求3次插值多项式f(x)，并计算f(0.72)和画出函数f(x)在[0,1]区间上的图形。
(完整版)Mathematica求解方程(组)、级数
方程（组）与级数的Mathematica 求解[学习目标]1. 能用Mathematica 求各种方程（组）的数值解和近似解；2. 能对常见函数进行幂级数的展开。
一、 求解简单方程（组）数学里的方程是带有变量的等式。
一般地说，一个或一组方程总是对于方程中出现的变量的可能取值范围增加了一些限制。
所谓求解方程就是设法把方程对于变量取值的限制弄清楚，最好的结果是用不含变量的表达式把变量的值表示出来。
在这个系统里，方程也用含有变量的等式表示，要注意的是在这里等号用连续的两个等号(==)表示。
方程的两端可以是任何数学表达式。
用户可以自己操作Mathematica 系统去求解方程，例如使用移项一类的等价变换规则对方程加以变形、对方程的两端进行整理、把函数作用于方程的两端等等。
系统也提供了一些用于求解方程的函数。
1、 求方程的代数解最基本的方程求解函数是Solve ，它可以用于 求解方程(主要是多项式方程)或方程组。
Solve 有两个参数，第一个参数是一个方程，或者是由若干个方程组的表(表示一个方程组);第二个参数是要求解的变量或变量表。
例如，下面的式子对于变量X 求解方程016x x x 234=+--：In[1]:=Solve[x^4-x^3-6x^2+1==0,x]输入了这个表达式，系统立刻就能计算出方程的四个根，求出的解都是精确解(代数根)。
对于一般的多项式，这样得出的解常常是用根式描述的复数。
方程的解被表示成一个表，表中是几个子表，每一个子表的形式都是{x->...}，箭头后面是方程的一个解。
Solve 也可以求解多变量的方程或者方程组:In[2]:=Solve[{x-2y==0,x^2-y==1},{x,y}]这个表达式求解方程组: x y x y -=-=⎧⎨⎩2012.有时求解方程会得到非常复杂的解。
例如将上面的第一个方程稍加变形，所得到的解的表达式就会变得很长:In[3]:=Solve[x^4-x^3-6x^2=2==0,x]这个表达式求出的解的表达式非常长，以至一个计算机屏幕显示不下。
9_基于Mathematica的数值计算
Mathematica曲线拟合的一般形式为: Fit[{数据点集合}, {拟合基函数集合}, 自变量名] 具体的拟合命令有: 命令形式1：Fit[{{x1,y1},{x2,y2},...,{xn,yn}},{ 0, 1, 2,…, m },x] 功能：根据数据点集{{x1,y1},{x2,y2},...,{xn,yn}}求出具有拟合函数为 (x)= a 0 0(x)+a11(x)+…+a mm(x) 形式的近似函数(x)
DisplayFunction->Identity]; Show[{p1,h},DisplayFunction->$DisplayFunction]; tu=Input["Satisfatory?0(No)or1{Yes}"]] 执行该程序后，屏幕上出现拟合多项式次数输入窗口和散 点图。
多项式拟合算法
ห้องสมุดไป่ตู้
输入n+1个拟合点： (xi, yi),i=0,1,…,n 根据散点图确定拟合多项式的次数m 计算相应正规线性方程组的系数和右端项 解正规正规线性方程组，得解：a0*,a1*,…,a m* 写出拟合多项式*(x)= a0*+ a1*x+ a2*x2+ …+ am*xm
Mathematica的基本运算解读
第3章Mathematica的基本运算3.1 多项式的表示形式可认为多项式是表达式的一种特殊的形式，所以多项式的运算与表达式的运算基本一样，表达式中的各种输出形式也可用于多项式的输出。
Mathematica提供一组按不同形式表示代数式的函数。
Expand[ploy] 按幂次展开多项式ployExpandAll[ploy] 全部展开多项式ployFactor[ploy] 对多项式poly 进行因式分解FactorTerms[ploy，{x,y,…}] 按变量x,y,…进行分解Simplify[poly] 把多项式化为最简形式FullSimplify[ploy] 把多项式化简Collect[poly,x] 把多项式poly按x幂展开Collect[poly,{x,y…}] 把多项式poly按x,y….的幂次展开1.下面是一些例子(1) 对x 8 -1 进行分解In[1]:=Factor[x^8-1]Out[1]=(-1+x)(1+x)(1+x 2)(1+x4)(2) 展开多项式(1+x) 5In[2]:= Expand[(1+x)^5]Out[2]=1+5x+10x 2+10x 3+5x 4+x5(3) 展开多项式(1+x+3y) 4In[3]:= Expand[(1+x+3y)^4]Out[3]=1+4x+6x 2+4x 3+x 4+12y+36xy+36x 2y+12x 3y+54y 2+108xy 2+54x 2y 2+108y 3+108xy 3+81y 4(4) 展开并化简(2+x) 4 (1+x) 4 (3+x) 3In[4]:= Simplify[Expand[(2+x)^4(1+x)^4(3+x)^3]]Out[4]=(3+x) 3 (2+3x+x 2 ) 42.多项式的代数运算多项式的运算有加、减、乘、除运算：+，-，*，/ 下面通过例子说明。
(1) 多项式的加运算a 2 +3a+2与a+1相加(后面例子中也使用这两个多项式运算)In[5]:=(a^2+3*a+2)+(a+1) 括号可以不要Out[5]= 3+4a+ a 2或者In[5]:=p1= a^2+3*a+2;p2= a+1;p1+p2Out[5]= 3+4a+ a 2(2) 多项式相减In[6]:=(a^2+3*a+2)-(a+1)Out[6]= 1+2a+ a 2或者In[6]:=p1-p2Out[6]= 1+2a+ a 2(3) 多项式相乘In[7]:=(a^2+3*a+2)*(a+1) Out[7]= (1+ a) (2+3a+ a2) 或者In[7]:=p1*p2Out[7]= (1+ a) (2+3a+ a2) In[8]:=Expand[p1*p2] Out[8]=2+5a+4a 2+a 3 (4) 多项式相除In[9]:=(a^2+3*a+2)/(a+1)Out[9]=2 23a a1a +++或者In[9]:=p1/p2Out[9]=2 23a a1a +++(5) 另外使用Cancel函数可以约去公因式In[10]:=Cancel[p1/p2]Out[10]=2+a两个多项式相除，总能写成一个多项式和一个有理式相加Mathematic中提供两个函数PolynomialQuotient和PolynomialRemainder分别返商式和余式。
Mathematica 导数、积分、方程等的数值计算
第4章导数、积分、方程等的数值计算在上一章的符号运算中已经指出，有些数学问题的解可以用一个解析式（数学公式）精确地表示出来，而另一些问题则不能。
遇到这种情况时，人们常会转而去求它的近似数值解，所谓近似数值解是指按照某种逼近思路，推导出相应的迭代公式，当给定一个适当的初始值（或称初始点）后，由迭代公式就可产生一系列的近似解（点），从而一步一步的去逼近原问题的精确解（点）。
在迭代过程中所有的计算（按迭代公式）都是对具体数值进行的，或者说计算的主要对象是具体的数值（主要是实数）。
4.1 函数值与导数值的计算4.1.1函数值的计算在Mathematica系统里,计算函数值的过程同数学里的情况基本相似｡Note：先定义函数表达式，再作变量替换。
4.1.2导数值的计算Note：先定义函数表达式，再求导函数，最后作变量替换。
4.2定积分与重积分的数值计算4.2.1定积分的数值计算在Mathematica系统中为我们提供的对定积分进行近似数值计算的函数是NIntegrate,它的调用格式如下:NIntegrate[f(x),{x,a,b}]式中f(x)为被积分函数,x为积分变量,a为积分下限,b为积分上限,有时a可取到-∞,b可取到+∞｡4.2.2 重积分的数值计算1.矩形区域G:a≤x≤b,c≤y≤d上的二重积分Note:先对y积分，再对x积分。
2.一般（有界）区域Ｇ上的二重积分NIntegrate[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1[x],y2[x]}] OrNIntegrate[f[x,y],{y,y1,y2},{x,x1[y],x2[y]}] Zhou er3.一般区域上的多重积分4.3方程的近似根牛顿迭代法的几何解释在0x 处作曲线的切线, 切线方程为 y = f (0x )+f ’ (0x ) (x -0x ). 令y =0,可得切线与x 轴的交点横坐标 1x =0x -)(' )(00x f x f , 这就是牛顿法的迭代公式. 因此, 牛顿法又称"切线法".分析法（零点存在定理）图形法随机生点法4.4常微分方程数值解4.5 偏微分方程求解（略）。
§1 Mathematica简述与函数求值
§5 Mathematica简述与函数运算5.1 Mathematica简述Mathematica系统是美国的Wolfram Research公司开发的一个功能强大的计算机数学系统。
从1988年问世至今，已广泛的运用到工程、应用数学、计算机科学、财经、生物、药学、生命科学以及太空科学等领域，深受科学家、学生、教授、研究人员及工程师的喜爱，产生很深远的影响。
数以万计的论文、科学报告、期刊杂志、图书资料、计算机绘图等都是Mathematica的杰作，可以说，Mathematica的使用是现代技术性计算开始的标志。
自从1960年开始，专用的数值、代数、绘图和其它任务的工具包就已经使用了。
但是，Mathematica的梦幻般的概念制作一旦产生，就能够在一个相对独立的系统里面，采用在一个相对统一的方法，处理各种各样的技术性计算。
这种重要的、并且富于才智的先进之处在于，它能够使用一些简单的、基本的单元，并且在初次操作中仅仅使用一些基本操作元素，是一种能够在很多方面进行技术性计算的、新的符号计算机语言。
Mathematica版本1.0被商业周刊评为是当年的十大最重要的新产品之一。
起初，Mathematica的影响主要是在物理科学、工程学和数学领域中。
但是，随着岁月的积累，Mathematica已经在很多领域中得到了广泛的应用，并且扮演越来越重要的角色。
例如，用于研究微分方程，进行张量分析，解决物理及工程问题，从事经济学的研究等等。
现今，Mathematica应用于整个科学领域——物理学、生物学、社会学以及其它领域，而且，Mathematica的热心支持者中还有很多世界第一流的科学家。
在工程学中，Mathematica已经成为研究和生产的一个标准工具，而且，世界上很多重要的新产品，它们在一个阶段的设计或者多阶段的设计中是依赖Mathematica的。
在商业领域中，Mathematica已经在尖端的经济学建模中扮演越来越重要的角色。
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第五章 数值分析和数值计算
1． 如何求插值多项式
给定n 个点( x i ,y i )，(i=1,2,…,n)，构造一个次数不超过n-1的多项式函数f(x)，使得f(x i )=y i ，则称f(x)为拉格朗日插值多项式。
可以证明该多项式函数由公式
))...()(())...()((...)
)...()(())...()(())...()(())...()((1211212321231113121321--------++------+------=n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y
唯一给定。
Mathematica 提供了根据插值点数据计算拉格朗日插值多项式的函数InterpolatingPolynomial ，下面是其调用格式：
InterpolatingPolynomial[data,var]
作出以data 为插值点数据，以var 为变量名的插值多项式。
例：
在多数情况下，我们构造插值函数的目的在于计算函数f(x)的值，而并不在意插值多项式的具体表示形式。
对于拉格朗日插值多项式，当n 较大时，得到的高次插值多项式由于截断误差和舍入误差的影响，往往误差较大。
此时在实际应用中，一般采用分段插值。
Mathematica 提供了分段插值函数Interpolation ，其使用格式为：
Interpolation[data,InterpolationOrder->n]
这里InterpolationOrder->n 指定插值多项式的次数，默认值为3。
此外数据data 中还可以包括插值点处的导数，格式为：{{x1,{y1,dy1}},{x2,{y2,dy2}},…}
例：已知f(0)=0,f(1)=2,f’(0)=1,f’(1)=1,求3次插值多项式f(x)，并计算f(0.72)和画出函数f(x)在[0,1]区间上的图形。
注：虽然Interpolation函数生成一个没有显式表达式的函数，但我们可以计算该函数在某点的值，也可以画出它在插值区间内的图形。
2．如何进行曲线拟合
曲线拟合是根据已知的某函数在某些点处的函数值，按照最小二乘法的原理，得到该函数的近似函数的过程。
一般来说，拟合的过程是先选定一组函数，通过它们的线性组合来近似原函数。
在Mathematica中，使用函数Fit来进行拟合，其一般使用格式是：Fit[拟合数据，用于拟合的函数列表，变量]
拟合函数形式意义
Fit[data,{1,x},x] 作线性拟合a+bx
Fit[data,{1,x,x^2},x] 构造二次拟合a+bx+cx2
Fit[data,Table[x^i,{i,0,n}],x] n次多项式拟合
Exp[Fit[Log[data],{1,x},x]] 拟合曲线为e a+bx
例：
3．如何求解超越方程
Solve和FindRoot函数都能求方程的根，它们之间的区别在于，Solve主要用于求多项式方程或方程组的所有根，而FindRoot则给出任意方程或方程组的一个根（注意不是全部），FindRoot的求根方法是牛顿切线法（或弦截法），其使用格式为：
函数意义
FindRoot[方程,{x,x0}] 从x=x0开始，计算方程的一个数值解
FindRoot[方程,{x,x0,xmin,xmax}] 求根区间范围(xmin,xmax)
FindRoot[{方程组},{x,x0},{y,y0},…] 计算方程组的一个数值解
注：初值x0在一些情况下对寻找根是有影响的，如果找不到，请改变初值再试。
初值的选取可以结合所求函数的图形来分析。
例：
4．如何求函数的极小值
函数的极小值用函数FindMinimum计算，和FindRoot一样，该函数也只能给出初值附
函数意义
FindMinimum[f,{x,x0}] 以x=x0为起始点计算f的一个局部极小值
FindMinimum[f,{x,{xs,x0,x1}}] xs为起始点，在区间(x0,x1)上求f的极小值FindMinimum[f,{x,x0},{y,y0},…] 计算多元函数的极值
5．如何求常微分方程的数值解
求常微分方程或方程组的数值解的函数是NDSolve，由于是求数值解，所以初始条件也必须一起给出，和方程列在一起。
函数使用的一般形式为：
NDSolve[{方程1,方程2,…},y[x],{x,xmin,xmax}]
对常微分方程，求函数y关于自变量x在区间[xmin,xmax]内的数值解；
NDSolve[{方程1,方程2,…},{y1[x],y2[x],…},{x,xmin,xmax}] 对常微分方程组，求函数y1,y2,…关于自变量x在区间[xmin,xmax]内的数值解；例：（1）求解y’=x2+y2,y(0)=0，并计算y(1)和画出y(x)的图形
（2）求解方程组x’(t)=-y(t)-x2(t),y’(t)=2x(t)-y(t),x(0)=y(0)=1
解：
6．线性规划
函数ConstrainedMax和ConstrainedMin可求解任意线性规划在限定区域上的目标函数的最大值或最小值问题。
其使用格式为：
ConstrainedMin[目标函数,{限定区域},{变量列表}]
ConstrainedMax[目标函数,{限定区域},{变量列表}]
例：求解线性规划问题
max f=3x+2y-1
s.t. 0<=x<=1
0<=y<=2
解：
注：函数中的变量限于取非负值，对不等式也是约定可以取等号；关于这方面的内容可以参考有关线性规划方面的书籍。
习题
1．已知函数f(x)过点(-1,3),(0,0.5),(0.5,0),(1,1)，试求拉格郎日插值多项式并画出其图形；2
X 19 23 30 35 40
Y 19．0 28．5 47．0 68．2 90．0 试对以上数据作出形如y=a+bx的曲线拟合；
3．求函数y=sinxcosx在x=0.5附近的极小值；
4．用FindRoot解方程cos3x+2cosx=0
5．求微分方程y’=y2+x3,y(0)=0.5在区间[-2,2]上的数值解并画出其图形；
6．解下列线性规划问题
min f=2x+3y+4z
s.t. x+2y-z>10
x+y-z>=60
y+2z>12
x>0,y>0,z>1。