电场强度通量和高斯定理
电场强度通量
S
E
Q
l
O
r
E
p
S
o
均匀带电球壳 均匀带电细棒
r
例3(P27)求无限长均匀带电直线的场强分布。 设线电荷密度为 该电场分布具有轴对称性。 距离导线 r 处一点 p 点的 场强方向一定垂直于带电直导线 沿径向，并且和 P点在同一圆柱 面(以带电直导线为轴)上的各点 场强大小也都相等，都沿径向。
O
S
h
r
E
p
以带电直导线为轴，作一个通过P点， 高为 h 的圆筒形封闭面为高斯面 S， 通过S面的电通量为圆柱侧面和上下 底面三部分的通量。
E
// E
E
dS
1、均匀电场中通过平面S的电通量
定义：矢量面元 dS dS n
dN d e EdS E dS dS dS cos( E n ) dS cos
dS
E
n
dS
大小等于面元的面积，方向取其法线方向。
因此电通量： d e E dS
p E
均匀带电无限大平板
例2(P26)均匀带电的球壳内外的场强分布。 设球壳半径为 R，所带总电量为 Q。 解：场源的对称性决定着场强分布的对称性。
具有与场源同心的球对称性。选同心球 面为高斯面，场强的方向沿着径向，且 在球面上的场强处处相等。
当 r R 高斯面内电荷为Q， 所以：
高斯定理与电场强度
高斯定理与电场强度高斯定理是物理学中的一个重要定理，用于描述电场的性质和行为。
它与电场强度有着密切的关系，通过高斯定理我们可以更好地理解和分析电场的分布和性质。
1. 高斯定理的基本原理高斯定理是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于19世纪提出的。
它描述了电场通量与电场的源之间的关系。
根据高斯定理，一个确定闭合曲面上的电场通量（通过该曲面的电场线数量）等于该闭合曲面所包围的电荷量的代数和的1/ε0 倍（其中ε0 为真空介电常数）。
2. 电场强度与电场通量电场强度是描述电场在空间中的分布情况的物理量。
它是一个矢量量，在每个点上具有大小和方向。
根据高斯定理，通过一个闭合曲面的电场通量与该曲面所包围的电荷量有关。
当曲面与电荷分布有关时，电场通量的值不为零；而当曲面内没有电荷时，电场通量为零。
因此，通过对电场通量进行计算和观察，我们可以推断和了解电场强度在空间中的分布。
3. 高斯定理在电场分析中的应用高斯定理在电场分析中有着广泛的应用。
例如，在对均匀电荷分布产生的电场进行分析时，可以利用对称性和高斯定理来简化计算过程。
通过选择合适的闭合曲面，可以使被积函数的形式简化为常数或者与曲面法向量平行的形式，从而简化了积分运算。
这大大简化了电场强度的计算过程，提高了计算的效率。
4. 高斯定理的意义和应用范围高斯定理的意义不仅仅局限于电场分析，还能够应用于其他物理学领域中。
例如，它可以用于描述流体动力学中的流体流动和流量，用于量子力学中的波函数分布和球面波传播等。
高斯定理作为一个基础定理，为我们研究各种物理现象提供了重要的数学工具。
5. 实际应用举例高斯定理在现实生活和工程领域中有着广泛的应用。
例如，在电力输电线路的设计和分析中，可以利用高斯定理计算导线周围的电场分布，从而评估电线对周围环境的影响。
在电容器的设计中，可以通过高斯定理来分析电场强度分布，从而优化电容器的结构和性能。
另外，在雷达和天线设计中，高斯定理可以用来计算电磁波的辐射和接收效率，为信号处理和系统优化提供依据。
第六讲 电场强度通量 高斯定理
rO
E
q dS
0R
4π
q 0(r 2
l
2 )(r
2
l l
2
)1
2
2πrdr
q 1 -
20
l
2
l
R2
解二：以 q 为球心，半径为 L R2 l 2 作球冠面，则
S冠 2πL(L - l)，
E
q
4π 0 L2
Φ Φ冠 S冠 E dS S冠 EdS E S冠 dS ES冠
20
l
2
l
R2
放在高斯球面外附近；
答：(1)
穿过这高斯面的
E
通量
Φe
q
0
丌变。
Q2.6.1
一个点电荷 q 放在球形高
斯面的中心处，试问在下
列情况下，穿过这高斯面
的
E
通量是否改变？
(2) 如果第二个点电荷 q
放在高斯球面内；
答：(2)
穿过这高斯面的
E
通量变为 Φe
q
q
0
。
Q2.6.1
¼ 球面(直径沿 y 轴)的电场强度通量。
z
E
Ry
-R O
x
解：
E
E x iˆ
Ezkˆ
Ex 通量
Φe1
Ex
1 2
πR2
2 E 1 πR2 22
2 πR2E 4
Ez 通量
Φe2
2 πR2E 4
z
E
Ry
-R O
5-4 电场强度通量 高斯定理
• 选择合适的高斯面 ，求 e。
Φe SE dS f (E)
• 确定高斯面包围的电量 qiin = ？
• 由高斯定理求 E
f
(
EΦ)e
1
0
i
qiin
E
27
例题5-7（课本P.169 例2）
第五章 静电场
设有一半径为R , 均匀带电 Q 的球面，求球面内、
外任意点的电场强度。
解：• 电场分布的对称性分析
• 选择合适的高斯面，求e。
过所求点 P 作半径为 r 同 心 高
斯球面， 穿过 该球面的 通E量
Φe
E dS
S
E
dS E 4πr 2
S
第五章 静电场
en
Q r r dS
O• •
R
P
无论所求点 P 在球体内还是
在球体外，上述结论均成立。
• 确定高斯面包围的电量qi = ？ E
0 < r < R 时：
ΦE SE dS 0
结论： 通过任一闭合曲面的
电场强度通量，与闭合曲面外 的电荷无关，仅仅取决于闭合 曲面内的电荷量。
第五章 静电场
E
S
+
q
17
三、高斯定理
高斯是德国数学家、天文学家和物 理学家，有“数学王子”美称，他与韦 伯制成了第一台有线电报机和建立了地 磁观测台，高斯还创立了电磁量的绝对 单位制。
33
• 选择合适的高斯面，求e。
第五章 静电场
过所求点P 作一高为 h、半径为 r ，以直线为轴的
闭合圆柱面为高斯面。穿过该柱面的电场强度通量为
Φe E dS E dS E dS E dS
S0
电场强度通量
（2）当r>R 时，
q l
E 2 0 r
均匀带电圆柱面的电场分布
r
l
E Er 关系曲线
2 0 R
r 1
0
R
r
高斯定理的应用
例3 均匀带电无限大平面的电场. 解：电场分布也应有面对称性，
方向沿法向。
E
E
σ
高斯定理的应用
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为 S，两底面到带电平面距离相同。
高斯定理的应用
3. 高斯定理的应用
条件： 电荷分布具有较高的空间对称性
1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电圆柱面的电场 3. 均匀带电无限大平面的电场
高斯定理的应用
例1. 均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
S E dS
0
合球面的电通量都相等。
高斯定理
（2）高斯定理的验证:
①当点电荷在球心时
②任一闭合曲面S´包围点电荷
e
S
E
dS
q
0
作以q为中心的球面S，由于
电力线的连续性，通过闭合曲面
S和球面S´的电力线根数相等。
因此通过S和S´的电通量相等，
均为
e
S
E
dS
q
0
S
q+
r
S´
高斯定理
（2）高斯定理的验证:
§8-3 高斯定理
1. 电场强度通量 2. 高斯定理 3. 高斯定理的应用
电场强度通量
1. 电场强度通量
(1)定义：通过电场中任一给定面的电力线总数，称
为通过该面的电场强度通量或电通量，用Ψ表e 示。
电通量,高斯定理
电通量、高斯定理1、均匀电场的场强E与半径为R 的半球面的轴线平行，则通过半球面的电场强度通量φ = πR 2E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q不改变E分布，则通过半球面的电场强度通量 φ =πR 2E ±q/2ε0。
2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑⎰=⋅0/εq s d E i s ，其物理意义是静电场是有源场。
3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通过立方体每个表面的E的通量是q/6ε0；若把这电荷移到立方体的一个顶角上，这时通过电荷所在顶角的三个面E的通量是 0 ，通过立方体另外三个面的E的通量是 q/8ε0。
4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C )(A)(B) (C)(D) 5、应用高斯定理求场强E时，要求E的分布具有对称性，对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B )(A)正确 (B)错误 (C)无法判断6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D )(A)均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子 (D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C )(A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零；()0212/εσσ+()021/εσσ+()0212/εσσ-()021/εσσ-(B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零；(C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零；(D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。
8、无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R，求柱体内外的场强分布解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面根据对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场强大小相等，方向沿矢径方向⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅侧面下底上底s dEs dEs dEs dEs=⎰⋅侧面s dE=E⎰侧面ds=2rhEπ（1）r < R时, ∑=ρπhrqi2,2/2ερππhrrhE=,2ερrE=（2）r > R时, ∑=ρπhRqi2,2/2ερππhRrhE=,rRE22ερ=∴=E)(,2)(,22RrrRRrr><ερερ。
电场强度通量.
S vv de E dS '
Eerr dS ' nr
derrS
EdS q d
d
4 0
蜒 e
S
de
q
4 0
d q
S
0
实际上因为电力线不会中断（连续性），所以
通过闭合曲面 S ' 和 S 的电力线数目是相等的。
③ 证明不包围点电荷的任一闭合曲面 S 的
qqi 1
S
S
S
E1 dS
S
E2
dS
S
En
dS 2
e
E dS
S
e1
e2
en
1
0
qi
inside ,i
说明：
① 高斯定律中的场强 E 是由全部电荷产生的。
② 通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的 电荷，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。
二、电场强度通量
E //
E E
1.定义
通过电场中任一曲面的电场线
条数。称为通过这曲面的电场
dS
强度通量（电通量）e
1、均匀电场中通过平面S的电通量
定Qd义SE：矢ddd量SSN面co元s(EvddSvnv) de SdSnvEcdosS
n
dS
dS
E
q 发出的电力线连续的延伸到无穷远。
r
E
q
②证明包围点电荷q 的任一闭合曲面S 的
电通量 e等于 q / 0
立体角solid angle
dS d r 2
q
立体角
电场强度通量高斯定理思政
电场强度通量高斯定理思政电场强度通量高斯定理是电学中的重要定理之一，它描述了电场强度通过一个闭合曲面的总通量与该曲面内电荷的代数和之间的关系。
高斯定理在电学领域中具有广泛的应用，可以帮助我们理解电场的分布和性质，以及解决一些与电场有关的问题。
首先，让我们来理解什么是电场强度通量。
电场强度是描述电场对电荷施加的力的物理量，通常用矢量表示。
电场强度的大小和方向决定了电荷在电场中承受的力的大小和方向。
通量是描述矢量场通过一个曲面的“流量”量的物理量，用于衡量场的分布情况。
电场强度通量就是电场强度通过一个曲面的“流量”量。
然后，我们来看一下高斯定理的表达形式。
高斯定理告诉我们，闭合曲面内电场强度通量的总和等于该曲面内电荷的代数和的1/ε0倍，其中ε0是真空中的介电常数。
数学表达式为∮E·dA = Q/ε0，其中∮表示对整个曲面进行积分，E·dA表示电场强度和曲面微元面积向量的点乘，Q表示曲面内的电荷量。
高斯定理的应用非常广泛。
首先，我们可以通过高斯定理计算出一个闭合曲面内任意电荷分布所产生的电场强度。
根据高斯定理，只需知道闭合曲面内包围的总电荷量，就能计算出曲面上每个点的电场强度。
这在研究电场分布时非常有用。
此外，高斯定理还可以帮助我们在给定电场强度分布的情况下求解出电荷分布。
通过把高斯定理应用于不同的曲面，我们可以得到一组关于电场强度和电荷分布的方程。
通过求解这些方程，我们可以确定电荷分布的情况。
另外，高斯定理还能帮助我们判断给定电场分布的对称性。
根据高斯定理，如果一个曲面内没有电荷，那么曲面上任意一点的电场强度通量都为零。
通过观察电场强度通量变化的规律，我们可以推断出电场分布的对称性，从而更好地理解和描述电场的性质。
总之，电场强度通量高斯定理是电学中非常重要的定理，它可以帮助我们理解电场的分布和性质，解决与电场有关的问题。
通过应用高斯定理，我们能够计算出闭合曲面内任意电荷分布所产生的电场强度，求解电荷分布以及判断电场分布的对称性。
大学物理-电场强度通量,高斯定理
2
i
0
q
i
E 4πr 0
E 4 πr
2
q
E 0
0
E
q 4 π 0 r 2
例2 计算均匀带电球体的场强分布，q , R 解： 通量
q 4 πR 3 3
qi 2 Φe E dS E 4πr S 0
r<R r>R 电量
电量
4 3 q π r i 3
S S
n
E
曲面闭合时
Φe E dS E cos dS
S S
S
dS
注： E为dS处的电场强度
n E
例 三棱柱体放置在如图所示的匀强电 场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量. 解
Φe Φei
i 1
5
y
N
S1
P
S2
Φe1 Φe 2
2、高斯 (Gauss) 定理 （1） 证明: 略.书P166-168 （2 ）内容(书P168): 真空中 注:
1 Φe E dS
s
0
q
i 1
n
in i
①公式中S：高斯面(闭合曲面)
②穿过S面的电场强度通量e: 只由S面内的电荷决定
（如图中 q1、q2） ③ E : 面元 dS 处的场强 , 由所有电荷（面内、外电荷） 共同产生（如图中 q1、 q2 、 q3）
；
.
q 8 0
(3) 若将此电荷移到正方体的一 个顶点上，则通过整个 正方体表面的电场强度通量为
1 e E dS
s
0
q
电场强度通量-高斯定理
n
n
E d S E d S E d S 侧 左底 右底
0 ES ES 2 ES
根据高斯定理有 Ex
2ES S
1
0
E 2 0
O
x
5-4 电场强度通量
高斯定理
无限大带电平面的电场叠加问题
(3) 根据高斯定理求电场强度。
5-4 电场强度通量
高斯定理
典型电场的电场线分布图形
正点电荷与负点电荷的电场线 一对等量正点电荷的电场线 一对等量异号点电荷的电场线 一对不等量异号点电荷的电场线 带电平行板电容器的电场线
27
5-4 电场强度通量
高斯定理
正点电荷与负点电荷的电场线
15
5-4 电场强度通量
高斯定理
3 高斯定理的讨论
•高斯定理是反映静电场性质（有源性）的一条基本定理； •高斯定理是在库仑定律的基础上得出的，但它的应用范围比 库仑定律更为广泛； •高斯定理中的电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产 生的，并非只有曲面内的电荷确定； •若高斯面内的电荷的电量为零，则通过高斯面的电通量为零， 但高斯面上各点的电场强度并不一定为零；
(1)物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩 擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间） 法则量度非力学量以及地磁分布理论研究。 (2)光学 ：利用几何学知识研究光学系统近轴光 线行为和成像，建立高斯光学。 (3)天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计 算，地球大小和形状的理论研究等。 (4)实验数据处理：结合实验数据的测算，发展 了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法， 引入高斯误差曲线。 (5)高斯还创立了电磁量的绝对单位制。
第四节 电场强度通量 高斯定理
7-4 电场强度通量高斯定理为了更形象地描述电场，这一节将在介绍电场线的基础上，引进电场强度通量的概念；并导出静电场的重要定理——高斯定理一、电场线下图是几种带电系统的电场线。
在电场线上每一点处电场强度E的方向沿着该点的切线，并以电场线箭头的指向表示电场强度的方向。
电场线密度越大，该处的电场强度越大。
静电场的电场线有如下特点：（1）电场线总是始于正电荷，终止于负电荷，不形成闭合曲线；（2）任何两条电场线都不能相交，这是因为电场中每一点处的电场强度只能有一个确定的方向。
图7-12S E N d d =或E S N=d d （7-8）这就是说，通过电场中某点垂直于E 的单位面积的电场线数等于该点处电场强度E 的大小。
SNd d 也叫做电场线密度。
二、电场强度通量我们把通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面的电场强度通量，用符号eΦ表示。
如下图(左)所示。
这是一个匀强电场，匀强电场的电场强度处处相等，所以电场线密度也应处处相等。
这样，通过面S 的电场强度通量为SE Φe =如果平面S 与匀强电场的E 不垂直，那么面S 在电场空间可取许多方位。
为了把面S 在电场中的大小和方位两者同时表示出来，我们引入面积矢量S ，规定其大小为S ，其方向用它的单位法线矢量e n 来表示，有S =S e n 在上图（中）中，面S 的单位法线矢量e n 与电场强度E 之间的夹角为θ。
因此，这时通过面S 的电场强度通量为θcos ES Φe =由矢量标积的定义可知，SΦn e E S E e ⋅=⋅=如果电场是非匀强电场，并且面S 不是平面，而是任意曲面[上图（右)]则可以把曲面分成无限多个面积元d S ，每个面积元d S 都可看成是一个小平面，而且在面积元d S 上，E 也可以看成处处相等。
仿照上面的办法，若e n 为面积元d S 的单位法线矢量，则e n d S =d S 。
如设面积元d S 的单位法线矢量e n 与该处的电场强度E 成θ角，于是，通过面积元d S 的电场强度通量为SE d cos d ⋅==θS E Φe d为了给出电场线密度与电场强度间的数量关系，我们对电场线的密度作如下规定：经过电场中任一点，想像地作一个面积元dS ，并使它与该点的E 垂 直（上图），由于dS 很小，所以dS 面上各点的E 可认为是相同的，则通过面积元dS 的电场线数dN 与该点E 的大小有如下关系：所以通过曲面S 的电场强度通量eΦ，就等于通过面S 上所有面积元dS 电场强度通量eΦd 的总和，即⎰⎰⎰⋅===SE d s s S E ΦΦd d e s e θcos （7-9）式中“⎰s ”表示整个曲面S 进行积分。
9-4 电场强度通量 高斯定理-新
dS
v E
v EP
dS
P
dS
点电荷的电场线
正 点 电 荷 负 点 电 荷
+
一对等量异号点电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
−q
带等值异号电荷的两平行板的电场线 + + + + + + + + + + + +
均匀电场(匀强电场) 均匀电场(匀强电场)
电场线特性： 电场线特性：
1） 始于正电荷 止于负电荷 或来自无穷远 去向无穷远 ） 始于正电荷,止于负电荷 或来自无穷远,去向无穷远 止于负电荷(或来自无穷远 去向无穷远). 2） 在无电荷分布处，电场线不相交 不中断 (连续性 . ） 在无电荷分布处，电场线不相交,不中断 连续性 连续性) 3） 电场强处，电场线密，电场弱处，电场线疏 ） 电场强处，电场线密，电场弱处，电场线疏.
r
电荷轴对称分布 场强轴对称分布 + + + O+ r + +
P
v E
电荷分布轴对称, 电荷分布轴对称 选柱面为高斯面
∫
S
S
v v λh E ⋅ dS =
z
∫
v v E ⋅ dS
+ +
ε0
v en
+
v v ∫ E ⋅ dS =
∫ ∫
v v E ⋅ dS + v v E ⋅ dS
v E
s (柱面）
s (上底）
1 2 3
v v q Φe1 = ∫ E ⋅ d S =
_电场强度_电场强度通量
Φe前 = Φe后 = Φe下 = ∫ s v v Φe左 = ∫ E ⋅ dS = ES左 cos π = − ES左 s左 v v Φe右斜 = ∫ E ⋅ dS = ES 右斜 cos θ = ES 左 s右斜
z
v Me
Q
v E R x
n
y
N
P
S右
∴Φe = Φe前 + Φe后 + Φe左 + Φe右斜 + Φe下 = 0
电场强度通量 高斯定理
∑ ∫
i （外）
S
v v Ei ⋅ dS
v v Q ∑ ∫ Ei ⋅ dS = 0 S i （外） v v 1 ∴ Φe = ∑ ∫ E i ⋅ d S =
i （内） S
q1
∑
qi
i (内）
q2
v Ev
ε0
高斯定理 Φ
e
=
∫
S
v v 1 E ⋅dS =
ε
∑
n
s
qi
dS qi
0 i (内 )
总 结
(i) 高斯面为封闭曲面. 高斯面为封闭曲面. (ii) 高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度 所有内外电荷的总电场强度. (iii) 穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出正为. 穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出正为. (iv) 仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献. 仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献. 通量有贡献 (v) 静电场是有源场. 即是电荷产生的电场. 静电场是有源场. 即是电荷产生的电场. 有源场
v v dS＇ dS
q dS＇ q dΦ e = = dΩ 2 4 πε 0 r 4 πε 0
6.2电场强度通量 高斯定理
一半径为 R , 均匀带电 Q 的球体 .
E
E Qr 40 R
3
E
Q 40 r
2
O
R
r
电场强度通量
高斯定理
静电场
例 无限长均匀带电直线的电场强度 无限长均匀带电直线，电荷线密度为 ，求距 直线 处的电场强度.
r
解 对称性分析：轴对称 选取闭合的柱形高斯面 E dS
有几条电场线穿进必然有同 样数目的电场线从面内出来。
电场强度通量
高斯定理
静电场
练习1：半径为R的半球面置于电场强度为E的均匀电场 中，选半球面的外法线为面法线正方向，则通过该半球 面的电场强度通量 E 为（ ）
A. B. C. D.
R E
2
E
2
2R E 3R E
2
R
R E
2
2
o
r
电场强度通量
高斯定理
静电场
利用高斯定律求静电场的分布（ E ）
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）
步骤： 1.对称性分析，确定 E 的大小及方向分布特征 2.选择一合适的闭合曲面作高斯面，计算电通量及 qi
3.利用高斯定律求解 E
电场强度通量
例
高斯定理
静电场
均匀带电球壳的电场强度分布 一半径为 R , 均匀带电 Q 的薄球 壳 . 求球壳内外任意点的电场强 度.
π 2
,
Φe 0
电场强度通量
高斯定理
静电场
3. 非均匀电场或非平面情况下求电通量
d Φe E d S
Φe
E
en
d S dS en
电场强度通量 高斯定理
2、球外
rR
Q 4π 0 R 2
E
Q 4πε0 r 2
r
O
o
R
r
s
Q
电场在带电面两侧有突变。
30
5-4 电场强度通量 高斯定理
例3 静电复印机中光导硒鼓是一个圆筒，在 充电极的作用下，带有均匀的静电荷，由于 反射光的强弱使其电荷分布发生变化，这时 在电场力的吸引下把墨粉末加到光导体表面 上，“硒鼓”上形成深浅层次的墨粉图像， 最后移到复印纸上，复印出文字和图像。
电通量为零。
35
5-4 电场强度通量 高斯定理
利用高斯定理解E
E 2 π rl
内 q i i
R λ
0
i
E
内 q i
2 0l
r
内 i
E
圆柱面内 r R
q
i
0
E0
圆柱面外 r R
q
i
内 i
l
E 2π 0 r
36
5-4 电场强度通量 高斯定理
例5 无限大均匀带电平面，面密度 , 求电场强度分布。 解: 对称性：面对称 闭合面：圆柱面 通过闭合面的电通量为：
e E d S ( E1 E 2 E 3 E 4 ...) d S
S S
E
q6 q5 q3 q1 q7 q4
dS
E1 d S E 2 d S E 3 d S E 4 d S
S S S S
q1
E 2 π rh
‖ 0
E
h
r
+ + +
o
大学物理之54电场强度通量高斯定理
(5) 静电场：有源场.
Φe SE dSε10
n
qin i
i1
四 高斯定理应用举例
用高斯定理求电场强度的一般步骤为 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
Φe SE dSε10
n
qin i
i1
例2 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任意点的电场强度.
-q
2 高斯定理
高斯面
在真空中静电场，穿过任一闭合曲面 的电场强度通量，等于该曲面所包围的所
有电荷的代数和除以 ε 0 .
Φe SE dSε10
n
qin i
i1
3 高斯定理的讨论
(1) 高斯面：闭合曲面. (2) 电场强度：所有电荷的总电场强度.
(3) 电通量：穿出为正，穿进为负.
(4) 仅面内电荷对电通量有贡献.
二 电场强度通量
1 定义 通过电场中某个面的电场线数
2 表述
匀强电场 ， E垂直平面时.
SS
Een
E
Φe ES
二 电场强度通量
1 定义 通过电场中某个面的电场线数
2 表述
匀强电场 ，
E与平面夹角 θ.
Φe EScoθs ES
S
Sθ
en
E
非匀强电场，曲面S .
dS dSe n
d Φ e E cθ o d S s E d S
库仑定律 电场强度叠加原理
高斯 定理
高斯 (C.F.Gauss 17771855）
高 德国数学家、天文学
家和物理学家，有“数 学王子”美称，他与韦
斯 伯制成了第一台有线电
报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
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？
高斯定理的导出
点电荷电场强度公式 电场强度叠加原理
高斯 定理
点电荷位于球面中心
E
S
q 4π 0r
S
2
r
2
dS
+
Φe E dS
q 4π 0r
dS
Φe
q
0
Φe
q
4 π 0
dS＇ q 2
r
0
dΦe
q 4π 0r
2
dS cos
q
q2
S
0 S面内 e E dS S 1 ( q1 q2 q3 )
i
q
0
证明： 1）仅有一个点电荷
e E dS
S
Sn
B）点电荷在S面外：
A）点电荷在S面内：
E
q
+
q E dS
Sn
S
0
E
e E dS
q
q1
i
S面内电荷代数和
3） 当
e 0
时，
q 0
i
面内有净正电荷，并非 一定仅只有正电荷
+
q2
-
S
q1 q2
1 e E dS
S
当
e 0
时，
q 0
i
0 S面内q2
+
面内有净负电荷，并非 一定仅有有负电荷
S
q1 q2
i
当
e 0
i（外）
S
Ei dS 0
i（外）
Ei dS
Φe
i（内）
S
1 Ei dS
0
i (内）
q
i
1 高斯定理 Φe E dS
S
0
q
i 1
n
i
说明 1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 2）高斯面为封闭曲面.
3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正.
4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献.
5）静电场是有源场.
讨论
将 q2 从
A
移到
点 P 电场强度是否变化？ 穿过高斯面 的 有否变化？
B q2 A P*
q2 B
s
Φe
s
q1
在点电荷 q 和 q 的静电场中，做如下的三 个闭合面 S1 , S 2 , S3 , 求通过各闭合面的电通量 .
q Φe1 E dS
S1
Φe 2 0
Φe3
q
0
0
q
S1 S2
q
S3
第二节
第四章
四
高斯定理的应用
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）
其步骤为: 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
※求电场强度E的方法： ①.电场强度叠加原理； ②.高斯定理；
i（外） S
Φe
i（内）
S
1 Ei dS
0
i (内）
q
i
第二节 高斯定理的数学表达式：
第四章
1 Φe E dS
S
0
q
i 1
n
i
高斯定理的含义： 在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量,等于该曲面所包围的所有电荷 电量的代数和的1/0倍。
思考
1）高斯面上的 E 与哪些电荷有关 ？ 2）哪些电荷对闭合曲面 s的 Φ 有贡献 e
？
q>0, Φe>0, 说明电场线从封闭面内发出，正电荷是源； q<0, Φe<0, 说明电场线向封闭面内汇聚，负电荷是尾；
静电场是有源场，正负电荷是场源.
第二节
通过闭合曲面的电通量为零,则说明（ ）
第四章
S
q
+
S
0
2）S面内有
q1, q2, qn qn 1, qn 2, qn k
n个电荷。
S面外有
k个电荷。
q1 + + e E dS q 4 S ( E1 E2 Enk ) dS
S
+ -
q2
q3
E1 dS E2 dS S En dS n S S En1 dS En 2 dS En k dS S S S n K n q1 q2 qn 0 0 1 qi
三
高斯定理
在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量, 等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0 . （与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
1 Φe E dS
S
0
q
i 1
n
i
请思考：1）高斯面上的 E 与那些电荷有关 ？ 2）哪些电荷对闭合曲面 s的 Φ 有贡献 e
Φe ES cos
en
S
Φe E S
E
3、非均匀电场的电通量
dΦe E dS
S 为任意曲面
dS dS en
Φe dΦe E cos d S S s E dS en Φe E dS s
第四章
Φe E dS Ei dS
S S i
q1 , q2 ......... qi E E1 E2 Ei
由点电荷系产生的电场
q1
q2
E
dS
s
qi
Ei dS Ei dS S S i (内） i（外） Ei dS 0
(1)曲面上各点的电场强度一定为零；
(2)闭合曲面内一定没有电荷存在； (3)闭合曲面内电荷的代数和一定为零；
(4)闭合曲面内电荷的代数和不一定为零；
第二节
讨论
第四章 将 q2 从
A
移到
点 P 的电场强度是否变化？ 穿过高斯面 的 有变化？
B , q2 A P
q2 B
s
Φe
s
q1
在点电荷 q 和 q 的静电场中，做如下的三 个闭合面 S1 , S 2 , S3 , 求通过各闭合面的电通量 .
dΦ 1 dΦ 2 0
q
E2
dS 2
dS1
E1
E dS 0
S
由多个点电荷产生的电场
E E1 E2
S S i
q1
q2
E
dS
Φe E dS
Ei dS
s
S
qi
i (内）
S
Ei dS
dS＇
4 π 0 r 2
+
dS＇
dS ＇ d S
q
其中立体角
4 π 0
r2
dS＇ dΩ 2 r
q Φe d Ω 4 π 0 0 q
r
dS ＇
dS
点电荷在封闭曲面之外
dΦ 1 E 1 dS1 0 dΦ2 E2 dS2 0
q Φe1 E dS
S1
Φe 2 0
Φe3
q
0
0
q
S1 S2
q
S3
第二节
第四章
三.
高斯定理
高斯定理：是关于电场线、电荷分布、空间曲面三者之间的关系；
高斯定理的导出
库仑定律 电场强度叠加原理
高斯 定理
第二节 点电荷位于球面中心
第四章
E
q 4π 0r
S
dS
ˆ n
2）高斯面是简单而又便于计算的平面或曲面。
ˆ n
E
3）高斯面上的场强为所求。
•重要应用——计算带电体周围电场的电场强度。 •要求——场强分布具有一定的对称性时 •关键——选取适当的高斯面。 •常见的具有对称性分布的源电荷有：
球对称分布
轴对称分布
无限大平面电荷：
步骤：
1.进行对称性分析 2. 适当的高斯面，要求： ①求场强的点应在此高斯面上 ②电通量容易计算 高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直， n与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到 积分号外面； 3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，由高斯定 理求出场强。
1).球对称性：带电球面（体） 2).轴对称性：无限长带电直线 3).面对称性：无限大带电平面
三、高斯定理
穿出任一闭合曲面的电通量 等于该曲面 内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与 闭合面外的电荷无关。
e
0
1 e E dS
S
例：
q4 q5
-
q6
+
+
+
q1 q3
+ -
-
q3
S
四、利用高斯定理计算具有对称性分布的电场 若某个电场可找到这样的高斯面，高斯面上 的场强处处相等或分区域相等，则：
E cos dS
S
S面是一个简单易求的曲面面积：
1
0
1
S面内
q
i
1 E
cos dS
S
0
q
S内
i
cos S
0
q
S内
i
这样的高斯面通常应满足：