2019年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷(含答案)
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4 27．（ 10 分）如图，在平面直角坐标系中， 点 O 为坐标原点， 直线 y x 4 与 x 轴交于点 A ，
3 与 y 轴交于点 B ，直线 BC 与 x 轴交于点 C ，且点 C 与点 A 关于 y 轴对称； （1）求直线 BC 的解析式； （2）点 P 为线段 AB 上一点，点 Q 为线段 BC 上一点， BQ AP ，连接 PQ ，设点 P 的横坐
2019 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分）
1．（ 3 分） 9 的相反数是 (
)
A ．9
B． 9
2．（ 3 分）下列运算一定正确的是 (
)
A ． 2a 2 a 2a2
1 C．
9 B． a2 ga3 a6
1 D．
9
23
6
C． (2 a ) 6a
2
2
D． ( a b)( a b) a b
180 ，如果旋转后的
图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解答此题的关键．
4．（ 3 分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是
(
)
A．
B．
C．
D．
【考点】 U 2 ：简单组合体的三视图
【分析】 左视图有 2 列，从左到右分别是 2， 1 个正方形．
【解答】 解：这个立体图形的左视图有 2 列，从左到右分别是 2， 1 个正方形，
C． (2 a2 )3 6a6
B． a2 ga3 a6 D． ( a b)( a b) a2 b2
【考点】 47：幂的乘方与积的乘方； 46：同底数幂的乘法； 35：合并同类项； 4F ：平方差
公式
【分析】 利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可；
【解答】 解： 2a 2a 4a ， A 错误； a 2 ga3 a5 ， B 错误；
【解答】 解： A 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B 、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选： B ．
【点评】 本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转
活动． 为了使活动更具有针对性， 学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，
要求
学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只
选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根
据图中所给的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
故选： B ．
【点评】 此题主要考查了三视图的画法，正确掌握三视图观察的角度是解题关键．
5．（ 3 分）如图， PA 、 PB 分别与 e O 相切于 A 、 B 两点，点 C 为 e O 上一点，连接 AC 、
BC ，若 P 50 ，则 ACB 的度数为 (
)
A ． 60
B ． 75
C． 70
【考点】 M 5 ：圆周角定理； MC ：切线的性质
【考点】 H 6 ：二次函数图象与几何变换 【分析】 根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】 解：将抛物线 y 2x 2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到的
抛物线的解析式为 y 2( x 2) 2 3 ， 故选： B ．
【点评】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，
．
BD BC D．
BE EM
14．（ 3 分）不等式组
3x ,
2
0 的解集是
．
3x 2…1
2
15．（ 3 分）二次函数 y (x 6) 8 的最大值是
．
16．（ 3 分）如图， 将 ABC 绕点 C 逆时针旋转得到△ A B C ，其中点 A 与 A 是对应点， 点 B
与 B 是对应点，点 B 落在边 AC 上，连接 A B ，若 ACB 45 ， AC 3 ， BC 2 ，则 A B
(
)
x
A ． (4, 1)
1 B ． ( ， 1)
4
C． ( 4, 1)
D． ( 1 ， 2) 4
10．（3 分）如图，在 Y ABCD 中，点 E 在对角线 BD 上，EM / / AD ，交 AB 于点 M ，EN / / AB ，
交 AD 于点 N ，则下列式子一定正确的是 (
)
AM NE A．
写出图 2 中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形
ABCD 面积的 1 ． 8
25．（ 10 分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组 活动使用．若购买 3 副围棋和 5 副中国象棋需用 98 元；若购买 8 副围棋和 3 副中国象棋需 用 158 元； （1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元； （2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共 40 副，总费用不超过 550 元， 那么寒梅中学最多 可以购买多少副围棋？ 26．（ 10 分）已知：MN 为 e O 的直径，OE 为 e O 的半径， AB 、CH 是 e O 的两条弦， AB OE 于点 D ， CH MN 于点 K ，连接 HN 、 HE ， HE 与 MN 交于点 P ． （1）如图 1，若 AB 与 CH 交于点 F ，求证： HFB 2 EHN ； （2）如图 2，连接 ME 、 OA ， OA 与 ME 交于点 Q ，若 OA ME ， EON 4 CHN ，求 证： MP AB ； （3）如图 3，在（ 2）的条件下，连接 OC 、 BC 、 AH ， OC 与 EH 交于点 G ， AH 与 MN 交于点 R ，连接 RG ，若 HK : ME 2:3 ， BC 2 ，求 RG 的长．
3．（ 3 分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
(
)
A．
B．
C．
D．
4．（ 3 分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是
(
)
A．
B．
C．
D．
5．（ 3 分）如图， PA 、 PB 分别与 e O 相切于 A 、 B 两点，点 C 为 e O 上一点，连接 AC 、
BC ，若 P 50 ，则 ACB 的度数为 (
标为 t ， PBQ 的面积为 S( S 0) ，求 S 与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取值
范围）；
（3）在（ 2）的条件下，点 E 在线段 OA 上，点 R 在线段 BC 的延长线上，且点 R 的纵坐标
为
2 ，连接 PE 、 BE 、 AQ ， AQ 与 BE 交于点 F ，
的长为
．
17．（ 3 分）一个扇形的弧长是 11 cm ，半径是 18cm，则此扇形的圆心角是
度．
18．（3 分）在 ABC 中， A 50 ， B 30 ，点 D 在 AB 边上，连接 CD ，若 ACD 为直
角三角形，则 BCD 的度数为
度．
19．（ 3 分）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有
长为 ．
三、解答题（其中 21～ 22 题各 7 分， 23-24 题各 8 分， 25～ 27 题各 10 分，共计 60 分）
21．（ 7 分）先化简再求值：
x2 ( x2
x2 2x
x
x2
4x
) 4
x
4 ，其中 x 2
4tan45
2cos30 ．
22．（ 7 分）图 1、2 是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均
BM DE
AM AN B．
AB AD
二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分）
BC BE C．
ME BD
11．（3 分）数 6260000 用科学记数法可表示为
．
12．（ 3 分）在函数 y 3x 中，自变量 x 的取值范围是
．
2x 3
13．（ 3 分）把多项式 a3 6a2b 9ab2 分解因式的结果是
【解答】 解：设降价的百分率为 x
根据题意可列方程为 25(1 x) 2 16
解方程得 x1
1 ， x2
9 （舍 )
5
5
每次降价得百分率为 20%
故选： A ．
23
6
(2 a ) 8a ， C 错误；
故选： D ．
【点评】 本题考查整式的运算； 熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，
差公式是解题的关键．
3．（ 3 分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
(
)
平方
A．
B．
C．
D．
【考点】 P3 ：轴对称图形； R5 ：中心对称图形
【分析】 根据轴对称及中心对称图形的定义对各选项进行逐一分析即可．
1
1
ACB
AOB
130 65 ．
2
2
故选： D ．
AOB 的
【点评】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
6．（ 3 分）将抛物线 y 2 x 2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所得到的
抛物线为 (
)
A ． y 2( x 2) 2 3 B ． y 2( x 2)2 3 C． y 2( x 2) 2 3 D． y 2( x 2)2 3
D． 65
【分析】先利用切线的性质得 OAP OBP 90 ，再利用四边形的内角和计算出
度数，然后根据圆周角定理计算
ACB 的度数．
【解答】 解：连接 OA 、 OB ，
Q PA 、 PB 分别与 e O 相切于 A 、 B 两点，
OA PA ， OB PB ， OAP OBP 90 ，
AOB 180 P 180 50 130 ，
)
A ． 60
B ． 75
C． 70
D． 65
6．（ 3 分）将抛物线 y 2 x 2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所得到的
抛物线为 (
)
A ． y 2( x 2) 2 3 B ． y 2( x 2)2 3 C． y 2( x 2) 2 3 D． y 2( x 2)2 3
APE
5
长线与 y 轴的负半轴交于点 M ，连接 QM 、MR ，若 tan QMR
CBE ，连接 PF ， PF 的延 24
，求直线 PM 的解析式． 23
2019 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分）
1．（ 3 分） 9 的相反数是 (
)
上加下减．
7．（ 3 分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件
降价的百分率为 (
)
25 元降到每件 16 元，则平均每次
A ． 20%
B ． 40%
【考点】 AD ：一元二次方程的应用
C． 18%
D． 36%
【分析】 设降价得百分率为 x ，根据降低率的公式 a(1 x)2 b 建立方程，求解即可．
7．（ 3 分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件
降价的百分率为 (
)
25 元降到每件 16 元，则平均每次
A ． 20%
B ． 40%
C． 18%
D． 36%
8．（ 3 分）方程 2
3 的解为 (
)
3x 1 x
3 A． x
11
11 B． x
3
3 C． x
7
7 D． x
3
k
9．（ 3 分）点 ( 1,4) 在反比例函数 y 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是
为 1，线段 AC 的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图 1 中画出以 AC 为底边的等腰直角三角形 ABC ，点 B 在小正方形顶点上； （2）在图 2 中画出以 AC 为腰的等腰三角形 ACD ，点 D 在小正方形的顶点上，且 ACD 的 面积为 8．
23．（ 8 分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书
A ．9
B． 9
【考点】 14：相反数
1 C．
9
1 D．
9
【分析】 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】 解： 9 的相反数是 9，
故选： A百度文库．
【点评】 本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（ 3 分）下列运算一定正确的是 (
)
A ． 2a 2 a 2a2
这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为
．
1 到 6 的点数，则
20．（ 3 分）如图，在四边形 ABCD 中， AB AD ， BC DC ， A 60 ，点 E 为 AD 边上 一点，连接 BD 、 CE ， CE 与 BD 交于点 F ，且 CE / / AB ，若 AB 8 ， CE 6 ，则 BC 的
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）如果海庆中学共有 1500 名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．
24．（ 8 分）已知：在矩形 ABCD 中， BD 是对角线， AE BD 于点 E ， CF BD 于点 F ．
（1）如图 1，求证： AE CF ；
（2）如图 2，当 ADB 30 时，连接 AF 、 CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接
3 与 y 轴交于点 B ，直线 BC 与 x 轴交于点 C ，且点 C 与点 A 关于 y 轴对称； （1）求直线 BC 的解析式； （2）点 P 为线段 AB 上一点，点 Q 为线段 BC 上一点， BQ AP ，连接 PQ ，设点 P 的横坐
2019 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分）
1．（ 3 分） 9 的相反数是 (
)
A ．9
B． 9
2．（ 3 分）下列运算一定正确的是 (
)
A ． 2a 2 a 2a2
1 C．
9 B． a2 ga3 a6
1 D．
9
23
6
C． (2 a ) 6a
2
2
D． ( a b)( a b) a b
180 ，如果旋转后的
图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解答此题的关键．
4．（ 3 分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是
(
)
A．
B．
C．
D．
【考点】 U 2 ：简单组合体的三视图
【分析】 左视图有 2 列，从左到右分别是 2， 1 个正方形．
【解答】 解：这个立体图形的左视图有 2 列，从左到右分别是 2， 1 个正方形，
C． (2 a2 )3 6a6
B． a2 ga3 a6 D． ( a b)( a b) a2 b2
【考点】 47：幂的乘方与积的乘方； 46：同底数幂的乘法； 35：合并同类项； 4F ：平方差
公式
【分析】 利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可；
【解答】 解： 2a 2a 4a ， A 错误； a 2 ga3 a5 ， B 错误；
【解答】 解： A 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B 、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选： B ．
【点评】 本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转
活动． 为了使活动更具有针对性， 学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，
要求
学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只
选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根
据图中所给的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
故选： B ．
【点评】 此题主要考查了三视图的画法，正确掌握三视图观察的角度是解题关键．
5．（ 3 分）如图， PA 、 PB 分别与 e O 相切于 A 、 B 两点，点 C 为 e O 上一点，连接 AC 、
BC ，若 P 50 ，则 ACB 的度数为 (
)
A ． 60
B ． 75
C． 70
【考点】 M 5 ：圆周角定理； MC ：切线的性质
【考点】 H 6 ：二次函数图象与几何变换 【分析】 根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】 解：将抛物线 y 2x 2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到的
抛物线的解析式为 y 2( x 2) 2 3 ， 故选： B ．
【点评】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，
．
BD BC D．
BE EM
14．（ 3 分）不等式组
3x ,
2
0 的解集是
．
3x 2…1
2
15．（ 3 分）二次函数 y (x 6) 8 的最大值是
．
16．（ 3 分）如图， 将 ABC 绕点 C 逆时针旋转得到△ A B C ，其中点 A 与 A 是对应点， 点 B
与 B 是对应点，点 B 落在边 AC 上，连接 A B ，若 ACB 45 ， AC 3 ， BC 2 ，则 A B
(
)
x
A ． (4, 1)
1 B ． ( ， 1)
4
C． ( 4, 1)
D． ( 1 ， 2) 4
10．（3 分）如图，在 Y ABCD 中，点 E 在对角线 BD 上，EM / / AD ，交 AB 于点 M ，EN / / AB ，
交 AD 于点 N ，则下列式子一定正确的是 (
)
AM NE A．
写出图 2 中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形
ABCD 面积的 1 ． 8
25．（ 10 分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组 活动使用．若购买 3 副围棋和 5 副中国象棋需用 98 元；若购买 8 副围棋和 3 副中国象棋需 用 158 元； （1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元； （2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共 40 副，总费用不超过 550 元， 那么寒梅中学最多 可以购买多少副围棋？ 26．（ 10 分）已知：MN 为 e O 的直径，OE 为 e O 的半径， AB 、CH 是 e O 的两条弦， AB OE 于点 D ， CH MN 于点 K ，连接 HN 、 HE ， HE 与 MN 交于点 P ． （1）如图 1，若 AB 与 CH 交于点 F ，求证： HFB 2 EHN ； （2）如图 2，连接 ME 、 OA ， OA 与 ME 交于点 Q ，若 OA ME ， EON 4 CHN ，求 证： MP AB ； （3）如图 3，在（ 2）的条件下，连接 OC 、 BC 、 AH ， OC 与 EH 交于点 G ， AH 与 MN 交于点 R ，连接 RG ，若 HK : ME 2:3 ， BC 2 ，求 RG 的长．
3．（ 3 分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
(
)
A．
B．
C．
D．
4．（ 3 分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是
(
)
A．
B．
C．
D．
5．（ 3 分）如图， PA 、 PB 分别与 e O 相切于 A 、 B 两点，点 C 为 e O 上一点，连接 AC 、
BC ，若 P 50 ，则 ACB 的度数为 (
标为 t ， PBQ 的面积为 S( S 0) ，求 S 与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取值
范围）；
（3）在（ 2）的条件下，点 E 在线段 OA 上，点 R 在线段 BC 的延长线上，且点 R 的纵坐标
为
2 ，连接 PE 、 BE 、 AQ ， AQ 与 BE 交于点 F ，
的长为
．
17．（ 3 分）一个扇形的弧长是 11 cm ，半径是 18cm，则此扇形的圆心角是
度．
18．（3 分）在 ABC 中， A 50 ， B 30 ，点 D 在 AB 边上，连接 CD ，若 ACD 为直
角三角形，则 BCD 的度数为
度．
19．（ 3 分）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有
长为 ．
三、解答题（其中 21～ 22 题各 7 分， 23-24 题各 8 分， 25～ 27 题各 10 分，共计 60 分）
21．（ 7 分）先化简再求值：
x2 ( x2
x2 2x
x
x2
4x
) 4
x
4 ，其中 x 2
4tan45
2cos30 ．
22．（ 7 分）图 1、2 是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均
BM DE
AM AN B．
AB AD
二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分）
BC BE C．
ME BD
11．（3 分）数 6260000 用科学记数法可表示为
．
12．（ 3 分）在函数 y 3x 中，自变量 x 的取值范围是
．
2x 3
13．（ 3 分）把多项式 a3 6a2b 9ab2 分解因式的结果是
【解答】 解：设降价的百分率为 x
根据题意可列方程为 25(1 x) 2 16
解方程得 x1
1 ， x2
9 （舍 )
5
5
每次降价得百分率为 20%
故选： A ．
23
6
(2 a ) 8a ， C 错误；
故选： D ．
【点评】 本题考查整式的运算； 熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，
差公式是解题的关键．
3．（ 3 分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
(
)
平方
A．
B．
C．
D．
【考点】 P3 ：轴对称图形； R5 ：中心对称图形
【分析】 根据轴对称及中心对称图形的定义对各选项进行逐一分析即可．
1
1
ACB
AOB
130 65 ．
2
2
故选： D ．
AOB 的
【点评】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
6．（ 3 分）将抛物线 y 2 x 2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所得到的
抛物线为 (
)
A ． y 2( x 2) 2 3 B ． y 2( x 2)2 3 C． y 2( x 2) 2 3 D． y 2( x 2)2 3
D． 65
【分析】先利用切线的性质得 OAP OBP 90 ，再利用四边形的内角和计算出
度数，然后根据圆周角定理计算
ACB 的度数．
【解答】 解：连接 OA 、 OB ，
Q PA 、 PB 分别与 e O 相切于 A 、 B 两点，
OA PA ， OB PB ， OAP OBP 90 ，
AOB 180 P 180 50 130 ，
)
A ． 60
B ． 75
C． 70
D． 65
6．（ 3 分）将抛物线 y 2 x 2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所得到的
抛物线为 (
)
A ． y 2( x 2) 2 3 B ． y 2( x 2)2 3 C． y 2( x 2) 2 3 D． y 2( x 2)2 3
APE
5
长线与 y 轴的负半轴交于点 M ，连接 QM 、MR ，若 tan QMR
CBE ，连接 PF ， PF 的延 24
，求直线 PM 的解析式． 23
2019 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分）
1．（ 3 分） 9 的相反数是 (
)
上加下减．
7．（ 3 分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件
降价的百分率为 (
)
25 元降到每件 16 元，则平均每次
A ． 20%
B ． 40%
【考点】 AD ：一元二次方程的应用
C． 18%
D． 36%
【分析】 设降价得百分率为 x ，根据降低率的公式 a(1 x)2 b 建立方程，求解即可．
7．（ 3 分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件
降价的百分率为 (
)
25 元降到每件 16 元，则平均每次
A ． 20%
B ． 40%
C． 18%
D． 36%
8．（ 3 分）方程 2
3 的解为 (
)
3x 1 x
3 A． x
11
11 B． x
3
3 C． x
7
7 D． x
3
k
9．（ 3 分）点 ( 1,4) 在反比例函数 y 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是
为 1，线段 AC 的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图 1 中画出以 AC 为底边的等腰直角三角形 ABC ，点 B 在小正方形顶点上； （2）在图 2 中画出以 AC 为腰的等腰三角形 ACD ，点 D 在小正方形的顶点上，且 ACD 的 面积为 8．
23．（ 8 分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书
A ．9
B． 9
【考点】 14：相反数
1 C．
9
1 D．
9
【分析】 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】 解： 9 的相反数是 9，
故选： A百度文库．
【点评】 本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（ 3 分）下列运算一定正确的是 (
)
A ． 2a 2 a 2a2
这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为
．
1 到 6 的点数，则
20．（ 3 分）如图，在四边形 ABCD 中， AB AD ， BC DC ， A 60 ，点 E 为 AD 边上 一点，连接 BD 、 CE ， CE 与 BD 交于点 F ，且 CE / / AB ，若 AB 8 ， CE 6 ，则 BC 的
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）如果海庆中学共有 1500 名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．
24．（ 8 分）已知：在矩形 ABCD 中， BD 是对角线， AE BD 于点 E ， CF BD 于点 F ．
（1）如图 1，求证： AE CF ；
（2）如图 2，当 ADB 30 时，连接 AF 、 CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接