实数指数幂及其运算教学设计姚璐
【高教版】4.1《实数指数幂》(2) 优秀教案
【课题】4.1实数指数幂(2)
【教学目标】
知识目标：
⑴掌握实数指数幂的运算法则；
⑵通过几个常见的幂函数，了解幂函数的图像特点.
能力目标：
⑴正确进行实数指数幂的运算；
⑵培养学生的计算技能；
⑶通过对幂函数图形的作图与观察，培养学生的计算工具使用能力与观察能力.
【教学重点】
有理数指数幂的运算．
【教学难点】
有理数指数幂的运算．
【教学设计】
⑴在复习整数指数幂的运算中，学习实数指数幂的运算；
⑵通过学生的动手计算，巩固知识，培养计算技能；
⑶通过“描点法”作图认识幂函数的图像，通过利用软件的大量作图，总结图像规律；
⑷通过知识应用巩固有理数指数幂的概念.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】。
教学设计2： 实数指数幂及其运算（二）
§3.1.1 实数指数幂及其运算（二）一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化； （3）掌握分数指数幂的运算性质； （4）培养学生观察分析、抽象等的能力. 2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质. 3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 2．教学难点：分数指数幂概念的理解 三．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2．教具：多媒体四、教学过程： 提问：1．习初中时的整数指数幂，运算性质？00,1(0),0n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠无意义1(0)n na a a -=≠;()m n m n m n mn a a a a a +⋅== (),()n m mn n n n a a ab a b ==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0①1025a a===②842a a===③1234a a===1025a a===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：23(0)a a==>12(0)b b==>54(0)c c==>*(0,,1)mna a n N n=>∈>为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：*0,,)mna a m n N=>∈正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：*1(0,,)mnmna a m n Na-=>∈规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)nm m m ma a a a a=⋅⋅⋅⋅>由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）(0,,)r s r sa a a a r s Q+⋅=>∈（2）()(0,,)r S rsa a a r s Q=>∈（3）()(0,0,)r r ra b a b Q b r Q⋅=>>∈若a＞0，P是一个无理数，则(0,)pa a p>是一个无理数该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P62——P62.的不足近似值，的.所以，的方向逼近时，的过剩似值从大于时，(如课本图所示)所以，.一般来说，无理数指数幂(0,)pa a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈ ()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈ ()(0,)r r r a b a b a r R ⋅=>∈例1求值:①832;②2521-③(21)－5;④(8116)43-.活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23，25写成52，21写成2－1，8116写成(32)4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①832=(23)32=2323⨯=22=4; ②2521-=(52)21-=5)21(2-⨯=5－1=51; ③(21)－5=(2－1)－5=2－1×(－5)=32;④(8116)43-=(32))43(4-⨯=(32)－3=827.点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解.在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如832=328=364=4. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式. a 3·a ;a 2·32a ;3a a (a >0).活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结. 解：a 3·a =a 3·a 21=a 213+=a 27;a 2·32a =a 2·a 32=a232+=a 38;3a a =(a ·a 31)21=(a 34)21=a 32.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数.例3计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a 32b 21)(－6a 21b 31)÷(－3a 61b 65); （2）(m 41n83-)8. 活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤. 解：（1）原式=［2×(－6)÷(－3)］a612132-+b653121-+=4ab 0=4a ;（2）(m 41n83-)8=(m 41)8(n 83-)8=m 841⨯n883⨯-=m 2n －3=32nm.点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法.有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用. 变式训练 求值:(1)33·33·63;(2)6463)12527(nm . 解：(1)33·33·63=3·321·331·361=36131211+++=32=9；(2)6463)12527(n m =(6463)12527(n m =(646333)53(n m =646643643643)()5()()3(n m =42259n m =42259-n m . 例4求值或化简. (1)3224ab ba -(a >0，b >0);(2)(41)21-213321)()1.0()4(---b a ab (a >0，b >0);(3)246347625---+-.活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)由里向外把根式化成分数指数幂，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幂又有根式，应当统一起来，化为分数指数幂，对(3)有多重根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑完全平方，这样，把5，7，6拆成(3)2+(2)2，22+(3)2，22+(2)2，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律. 解：(1)3224ab ba -=2224b a -(a 31b 32)21=a －2ba 61b 31=a611-b 34=61134ab .点评：根式的运算常常化成幂的运算进行，计算结果如没有特殊要求，就用根式的形式来表示.(2)(41)21-2133231)()1.0()4(---b a ab =223211044•a 23a 23-b 23-b 23=254a 0b 0=254.点评：化简这类式子一般有两种办法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数，另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数. (3)246347625---+-=222)22()32()23(---+- =3－2+2－3－2+2 =0.点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数，千万注意方根的性质的运用. 例5化简下列各式: (1)323222323222--------+--++yxy x yxy x ;(2)(a 3+a －3)(a 3－a －3)÷［(a 4+a －4+1)(a －a －1)］.活动：学生观察式子的特点，特别是指数的特点，教师引导学生考虑题目的思路，这两题要注意分解因式，特别是立方和和立方差公式的应用，对有困难的学生及时提示:对(1)考查x 2与x 32的关系可知x 2=(x32)3，立方关系就出来了，公式便可运用，对(2)先利用平方差，再利用幂的乘方转化为立方差，再分解因式，组织学生讨论交流. 解：(1)原式=323222323222--------+--++yxy x yxy x=])())(()[()()(23232322322323232232--------++-+-yyx x yy x x=343234343234)()(---------+-yxy xy xy x=xyxy xy 3322)(2-=--; (2)原式=［(a 3)2－(a －3)2］÷［(a 4+a －4+1)(a －a －1)］=))(1()()(1442222----++-a a a a a a =))(1()1)((1444422-----++++-a a a a a a a a =1212)(----a a a a =a +a －1.点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用，因为二项和、差公式，平方差公式一般在使用中一目了然，而对立方和立方差公式却一般不易观察到，a 23=(a 21)3还容易看出，对其中夹杂的数字m 可以化为m ·a 21a 21-=m ，需认真对待，要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力. 知能训练课本P 59习题2.1A 组 3. 利用投影仪投射下列补充练习: 1.化简:(1+2321-)(1+2161-)(1+281-)(1+241-)(1+221-)的结果是( )A.21(1－2321-)－1 B.(1－2321-)－1 C.1－2321- D.21(1－2321-) 分析:根据本题的特点，注意到它的整体性，特别是指数的规律性，我们可以进行适当的变形. 因为(1+2321-)(1－2321-)=1－2161-，所以原式的分子分母同乘以(1－2321-)，依次类推，所以321212121)21)(21(----+-=32112121----=21(1－2321-)－1. 答案：A2.计算(297)0.5+0.1－2+(22710)32-－3π0+9－0.5+490.5×2－4.解：原式=(925)21+100+(6427)32－3+4921×161=53+100+169－3+31+167=100.3.计算1212--+-+a a a a (a ≥1). 解：原式=|11|11)11()11(22--++-=--++-a a a a (a ≥1).本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习.4.设a >0，x =21(a n 1－a n 1-)，则(x +2x 1+)n 的值为_______.分析:从整体上看，应先化简，然后再求值，这时应看到解：1+x 2=1+41(a n 1－a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.这样先算出1+x 2，再算出2x 1+，将x =21(a n 1－a n 1-)代入1+x 2，得1+x 2=1+41(a n 1－a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.所以(x +2x 1+)n=［21(a n 1－a n1-)+41(a n 1+a n 1-)2］n=［21(a n 1－a n1-)+21(a n 1+a n 1-)］n=a .答案：a 课堂小结(1)无理指数幂的意义.一般地，无理数指数幂a α（a >0，α是无理数）是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质:对任意的实数r ，s ，均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r +s (a >0，r ，s ∈R ). ②(a r )s =a rs (a >0，r ，s ∈R ). ③(a ·b )r =a r b r (a >0，b >0，r ∈R ). (3)逼近的思想，体会无限接近的含义. 作业课本P 60习题2.1 B 组 2.。
实数指数幂及其运算教案
3.1.1 实数指数幂及其运算1．整数指数(1)一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积，即n n n a a a a a =⋅⋅⋅⋅个叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数．并规定a 1＝a .(2)正整指数幂在a n 中，n 是正整数时，a n 叫做正整指数幂． 正整指数幂具有以下运算法则：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(a m )n ＝a mn ；③am a n ＝a m －n (a ≠0，m ＞n )；④(ab )m＝a m b m .其中m ，n ∈N ＋.(3)整数指数幂在上述法则③中，限制了m ＞n ，如果取消这种限制，那么正整指数幂就推广到了整数指数幂．规定：①a 0＝1(a ≠0)；②a －n ＝1a n (a ≠0，n ∈N ＋)．这样，上面的四条法则可以归纳为三条：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(ab )n ＝a n b n ；③(a m )n ＝a mn .其中m ，n ∈Z .同时，将指数的范围由正整数扩大为整数．0的零次幂没有意义，0的负整数次幂也没有意义，因此对于整数指数幂，要求“底数不等于0”．【例1】化简：(a 2b 3)－2·(a 5b －2)0÷(a 4b 3)2.解：原式＝223246423286()()1=()()a b a b a b a b----⋅⋅⋅ ＝(a －4·a －8)·(b －6·b －6) ＝a －12b －12.2．根式如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根．求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算． 当na 有意义时，式子na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．n 次方根具有以下性质：(1)在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；(2)在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根不存在；(3)零的任何次方根都是零．根式有两个重要性质：(1)(na )n ＝a (n ＞1，n ∈N ＋)，当n 为奇数时，a ∈R ，当n 为偶数时，a ≥0(a ＜0时无意义)；(2)n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数. 析规律 关于根式的知识总结正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为负无意义，零取方根仍为零．【例2－1】已知＝－a －1，则实数a 的取值范围是__________．解析：|a ＋1|，∴|a ＋1|＝－a －1＝－(a ＋1)．∴a ＋1≤0，即a ≤－1. 答案：(－∞，－1]【例2－2】化简下列各式：；.解：(1)原式＝(－2)＋2|＋2)＝－2＋(2＋2)＝－2.(2)＝(1＋1)＝辨误区 根式运算应注意的问题利用na n 的性质求值运算时，要注意n 的奇偶性．特别地，当n 为偶数时，要注意a 的正负．3．分数指数幂(1)分数指数幂的意义 正分数指数幂可定义为：①1na＝na (a ＞0)；②m na ＝(na )m＝na m⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞0，n ，m ∈N ＋，且m n 为既约分数.负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，可定义为：1=m nm na a-⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞0，n ，m ∈N ＋，且m n 为既约分数. 提示：所谓既约分数，就是约分后化成最简形式的分数． 感悟：1.规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数；2．m na 与na m 表示相同的意义，所以分数指数幂与根式可以相互转化；3．通常规定分数指数幂的底数a ＞0，但要注意在像14()a -＝4－a中的a ，则需要a ≤0.(2)有理指数幂的运算法则：①a αa β＝a α＋β；②(a α)β＝a αβ；(3)(ab )α＝a αb α(其中a ＞0，b ＞0，α，β∈Q )．析规律 有理指数幂的运算1．有理指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(2)幂的幂，底数不变，指数相乘；(3)积的幂等于幂的积．2．乘法公式仍适用于有理指数幂的运算，例如：11112222()()a b a b +⋅-＝a －b (a ＞0，b ＞0)；111122222()2a b a b a b ±=+±(a ＞0，b ＞0)．【例3－1】求值：(1)438-；(2)3481；(3)323-⎛⎫ ⎪⎝⎭；(4)2327125-⎛⎫⎪⎝⎭. 解：(1)44433433318=(2)=2=2=16⎛⎫⨯---⎪-⎝⎭. (2)333443444=(3)=3=3=27⨯.(3)332327==328-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (4)2223323332733325====1255559⎛⎫--⨯-- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.点技巧 有理指数幂运算时把根式转化为幂进行有理指数幂的运算要首先考虑利用幂的运算性质，而不要将幂转化为根式的运算，像238【例3－2】求下列各式的值：(1)1123331222x x x --⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)2. 解：(1)原式＝11121333314222=14=12x x x x x x ----⋅-⋅--.(2)原式＝125222362132==a aa a a --⋅4．无理指数幂 (1)一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数； (2)有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂，即： ①a α·a β＝a α＋β(a ＞0，α，β是无理数)； ②(a α)β＝a αβ(a ＞0，α，β是无理数)；③(ab )α＝a αb α(a ＞0，b ＞0，α是无理数)． 【例4】求值：(1)213328--⋅⋅；(2)12+⋅解：(1)原式＝221333(22(2)--⋅⋅＝2322323222=2=2=8--+-⋅. (2)原式＝12+52＋21＝27.5．指数幂(根式)的化简与计算化简、计算指数幂(根式)时，应注意以下几点：(1)运算顺序：先进行幂的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算，有括号的先算括号内的．(2)如果指数是小数，那么通常化为分数指数，这样可以随时检验运算的正确性，是常用的化简技巧．比如，(－3)2.1＝2110(3)-＝10(－3)21，由于(－3)21是一个负数，所以(－3)2.1无意义．(3)将其中的根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质进行计算．比如，化简a a ，如果不将根式a 化为指数幂，就很难完成化简：1131222==a a a a +⋅.(4)计算或化简的结果尽量最简，如果没有特殊要求，用正分数指数幂或根式来表示均可．析规律 多重根号化为有理指数幂此类问题应熟练应用na m＝m na ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞0，m ，n ∈N ＋，且m n 为既约分数.当各式中含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用指数运算法则化简．【例5－1】求下列各式的值：(1)121203170.027279--⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)1012234122254--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(3)分析：结合指数幂的运算性质，应首先将小数化为分数，根式转化为指数幂的形式，负指数幂转化为正指数幂，再根据指数幂的运算性质求解．解：(1)原式＝11232227125105(1)1=491=4510007933---⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)原式＝112314111161=1=49100061015⎛⎫⎛⎫+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3)原式＝11111111111113312636333236223123(32)=23332=2322-+++⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2×3＝6.【例5－2】化简下列各式：(1)1373412a a a ；(2)131234()x y -；解：(1)1137537334123412==a a a a a ++.(2)1133121212493344()==x y xyx y ⨯--⨯-.1125152331123336363442125364()===xyx y x y x y x yx y------⋅⋅⋅⋅⋅.辨误区化简时注意运算顺序化简时要弄清开方、乘方等的运算顺序，同时注意运算性质及乘法公式的应用．6．知值求值问题已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点，然后采取“整体代换．．．．”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，像平方、立方等以及一些公式的应用问题，还要注意开方时的取值符号问题．例如，已知1122=3a a-+，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)33221122a aa a----.显然，从已知条件中解出a的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件1122=3a a-+的联系，进而整体代入求值．将1122=3a a-+两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.再将上式平方，有a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47.由于3311332222=()()a a a a----，所以有331111122222211112222()()=a a a a a a a aa a a a--------++⋅--＝a＋a－1＋1＝8.【例6－1】已知2x＋2－x＝5，求下列各式的值：(1)4x＋4－x；(2)8x＋8－x.解：(1)4x＋4－x＝(22)x＋(22)－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x)2＋2·2x·2－x＋(2－x)2－2＝(2x＋2－x)2－2＝52－2＝23.(2)8x＋8－x＝(23)x＋(23)－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)·[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)＝5×(23－1)＝110.析规律 平方在知值求值中的应用遇到式子中含有指数互为相反数的数，通常用平方进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可．本题中用到了两个公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)．【例6－2】已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a ＞b ＞0，的值． 分析：观察所求式子，将所求式子平方后出现了ab 和a ＋b 的形式．又a ，b 为方程的两根，所以可利用根与系数的关系求解．解：由根与系数的关系可得=6,=4.a b ab +⎧⎨⎩∵a ＞b ＞0，>又∵221=105⎛.。
实数指数幂及运算法则教案
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解实数指数幂的概念；（2）掌握实数指数幂的运算法则；（3）能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳实数指数幂的运算法则；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）实数指数幂的概念；（2）实数指数幂的运算法则；（3）运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
2. 教学难点：（1）实数指数幂的运算法则的推导和理解；（2）运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
三、教学准备1. 教师准备：（1）实数指数幂的相关知识；（2）实数指数幂的运算法则的例题和练习题；（3）实数指数幂的实际问题。
2. 学生准备：（1）掌握实数的基本概念；（2）具备一定的数学运算能力。
四、教学过程1. 导入：（1）复习实数的基本概念；（2）引导学生思考实数指数幂的概念。
2. 知识讲解：（1）讲解实数指数幂的概念；（2）推导和讲解实数指数幂的运算法则；（3）运用实际例子解释实数指数幂及运算法则的应用。
3. 课堂练习：（1）让学生独立完成练习题；（2）讲解练习题的解题思路和方法。
4. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容；（2）强调实数指数幂及运算法则的重要性和应用。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容；2. 完成课后练习题；3. 思考和解决实际问题。
六、教学评估1. 课堂讲解评估：（1）观察学生对实数指数幂概念的理解程度；（2）评估学生对实数指数幂运算法则的掌握情况；（3）评价学生的课堂参与度和提问回答情况。
2. 课堂练习评估：（1）检查学生练习题的完成情况；（2）分析学生解题思路和方法的正确性；（3）针对学生易错点进行讲解和辅导。
七、教学反思1. 反思教学内容：（1）是否全面讲解了实数指数幂的概念和运算法则；（2）是否结合实际例子让学生更好地理解实数指数幂的应用；（3）是否注重了学生的课堂参与和思维能力的培养。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的性质。
2. 掌握实数指数幂的运算法则，能够熟练进行相关计算。
3. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：实数指数幂的概念，有理数指数幂的性质，实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：实数指数幂的运算法则的应用。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解实数指数幂的概念、性质和运算法则。
2. 利用例题解析，让学生掌握实数指数幂的运算方法。
3. 开展小组讨论，引导学生探索实数指数幂的运算法则的应用。
四、教学内容1. 实数指数幂的概念2. 有理数指数幂的性质3. 实数指数幂的运算法则4. 实数指数幂的运算法则在实际问题中的应用五、教学安排1. 第一课时：实数指数幂的概念、有理数指数幂的性质2. 第二课时：实数指数幂的运算法则、例题解析3. 第三课时：实数指数幂的运算法则的应用、小组讨论4. 第四课时：课堂小结、作业布置5. 第五课时：作业批改与讲解、课后辅导六、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引出实数指数幂的运算法则。
2. 讲解实数指数幂的运算法则：引导学生通过观察、分析、归纳实数指数幂的运算法则。
3. 例题解析：讲解典型例题，让学生掌握实数指数幂的运算方法。
4. 小组讨论：让学生探讨实数指数幂的运算法则的应用，分享解题心得。
5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调实数指数幂的运算法则的重要性。
七、课后作业1. 复习实数指数幂的运算法则。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考实际问题，运用实数指数幂的运算法则解决问题。
八、作业批改与讲解1. 及时批改学生作业，了解学生掌握情况。
2. 针对学生作业中出现的问题，进行讲解和辅导。
3. 鼓励学生提问，解答学生心中的疑惑。
九、课后辅导1. 针对学习有困难的学生，进行个别辅导。
2. 组织课后讨论小组，帮助学生巩固实数指数幂的运算法则。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质。
2. 掌握实数指数幂的运算法则，能够运用运算法则解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学重点与难点1. 教学重点：实数指数幂的概念，有理数指数幂的运算性质，实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：实数指数幂的运算法则的应用。
三、教学方法采用问题驱动法、案例分析法、分组讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、合作学习，提高学生解决问题的能力。
四、教学准备1. 教师准备：实数指数幂的相关知识，运算法则的案例，教学PPT等。
2. 学生准备：预习实数指数幂的相关知识，准备好笔记本。
五、教学过程1. 导入新课教师通过复习实数的基本概念，引导学生进入实数指数幂的学习。
2. 知识讲解（1）实数指数幂的概念教师讲解实数指数幂的定义，引导学生理解指数幂的意义。
（2）有理数指数幂的运算性质教师讲解有理数指数幂的运算性质，引导学生掌握运算规律。
（3）实数指数幂的运算法则教师讲解实数指数幂的运算法则，引导学生掌握运算法则。
3. 案例分析教师展示实数指数幂的运算案例，引导学生运用运算法则解决问题。
4. 课堂练习教师布置课堂练习题，学生独立完成，教师进行讲解和辅导。
5. 总结与拓展教师对本节课的知识进行总结，引导学生思考实数指数幂在实际问题中的应用。
6. 课后作业教师布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学反思教师在课后对教学情况进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
七、教学评价通过课堂表现、课后作业和课堂练习，评价学生对实数指数幂及运算法则的掌握程度。
八、教学时间本节课计划用2课时完成。
九、教学资源1. 教学PPT2. 实数指数幂的案例分析资料3. 课堂练习题十、教学拓展引导学生学习实数指数幂在实际问题中的应用，如科学计算、经济学等领域。
六、教学活动设计1. 导入新课：通过复习实数的乘方概念，引导学生自然过渡到实数指数幂的学习。
教学设计3： 实数指数幂及其运算
3.1.1实数指数幂及其运算（一）学习目标1．知识与技能目标理解整数指数幂的概念和性质，并能用于相关计算中；理解根式的概念和性质，并能用于相关计算中。
2．过程与方法目标通过复习回顾初中所学二次根式的相关性质，用类比的思想来完成根式的学习。
3．情感态度与价值观目标通过复习回顾旧知识，来完成新知识的学习，在这一过程中培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力。
（二）重点难点教学重点：根式的概念、性质教学难点：根式的概念（三）教学内容安排1复习回顾：在初中，我们已经学习了整数指数幂的概念及其性质。
现在，我们一起来看屏幕。
规定：a 0=1（a≠0）n n aa 1=-（a≠0,n +N ∈） 这儿我们为什么都要求a≠0？（引导学生分析清楚）另外，我们在初中还学习了平方根、立方根这两个概念。
我们来看，若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。
这样，我们可以给出n 次方根的定义。
2讲授新课：1.n 次方根的定义：若x n =a(n>1且n ∈N*)，则x 叫做a 的n 次方根。
n 次方根的定义给出了，我们考虑这样一个问题，x 如何用a 表示呢？正数的平方根有两个且互为相反数，负数没有平方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。
跟平方根一样，偶次方根有下列性质：在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；跟立方根一样，奇次方根有下列性质：在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数。
这样，再由n 次方根的定义我们便可得到n 次方根的性质。
2.根式运算性质：①a a n n =）（（n>1,且n +N ∈）,||,a n a n ⎧=⎨⎩当为奇数时；当为偶数时关于性质的推导，我们一起来看：性质②有一定变化，大家应重点掌握，接下来，我们来看例题。
3.例题讲解： 解：)(||)()4(3|3|)3()3(10|10|)10()2(881244233b a b a b a b a >-=-=--=-=-=-=--=πππ）（－）（根指数n 为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n 为偶数的运算，说明此类题目容易出错，应引起大家的注意。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解实数指数幂的概念；（2）掌握实数指数幂的运算法则；（3）能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例引入实数指数幂的概念；（2）引导学生发现并归纳实数指数幂的运算法则；（3）运用运算法则进行变形和求解。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生主动探索、合作学习的意识；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 实数指数幂的概念：（1）引入平方根、立方根的概念；（2）引导学生理解实数指数幂的概念，即a^n 表示n 个a 相乘。
2. 实数指数幂的运算法则：（1）同底数幂的乘法：a^m a^n = a^(m+n)；（2）同底数幂的除法：a^m / a^n = a^(m-n)；（3）幂的乘方：a^m^n = a^(mn)；（4）积的乘方：(ab)^n = a^n b^n；（5）零指数幂：a^0 = 1（a ≠0）；（6）负指数幂：a^-n = 1 / a^n（a ≠0）。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）实数指数幂的概念；（2）实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：（1）实数指数幂的运算法则的应用；（2）解决实际问题中指数幂的运用。
四、教学方法1. 实例引入：通过实际问题引入实数指数幂的概念；2. 引导发现：引导学生发现并归纳实数指数幂的运算法则；3. 练习巩固：运用运算法则进行变形和求解；4. 实际应用：解决实际问题，巩固知识。
五、教学步骤1. 导入新课：通过实际问题引入实数指数幂的概念；2. 讲解与演示：讲解实数指数幂的概念，演示运算法则的运用；3. 练习与讨论：学生独立练习，小组讨论，共同解决问题；4. 总结与拓展：总结实数指数幂的运算法则，拓展相关知识；5. 作业布置：布置练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问了解学生对实数指数幂概念和运算法则的理解程度；2. 练习题：布置课堂练习题，检查学生掌握运算法则的情况；3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和合作能力；4. 课后作业：检查课后作业的完成质量，了解学生对知识的掌握和运用能力。
实数指数幂及其运算教学设计
第三章 基本初等函数（Ⅰ） 3.1.1 实数指数幂及其运算 第1课时本章教材分析教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题.本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x 的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x 的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）;知道指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数（a ＞0,a≠1）,初步了解反函数的概念和f -1(x)的意义;通过实例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=x -1,y=x 21的图象,了解它们的变化情况.本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.3.1 指数与指数函数3.1.1 实数指数幂及其运算 整体设计教学分析我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n 次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美. 重点难点 教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解. (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质. (3)运用有理指数幂性质进行化简、求值. 教学难点:(1)分数指数幂及根式概念的理解. (2)有理指数幂性质的灵活应用. 课时安排 3课时教学过程第1课时 实数指数幂及其运算(1)导入新课即时聊天工具qq 的强大传播功能 新知探究一、正整数指数幂（复习）：1．()na n N +∈的意义： n na a aa =⋅2．()na n N +∈的运算：（1）m n m na a a+⋅= （2）()m n m na a⋅=（3）(,0)m m n n a a m n a a-=>≠ （4）()m m ma b a b ⋅=⋅3.负整数指数幂（拓展）：规定： 01(0)a a =≠ 1(0)n n a a a-=≠ 练习1想一想=08 =-08）（ =-≠0）时，（b a b a =-310=--621）（ =-32）（x =-323）（r x =0001.0二、根式：1．复习：问题： 2x a = 3x a = 则x 的取值是什么？ 2．拓展：如果存在实数x ，使得nx a =(,1,)a R n n N +∈>∈，则x 叫做a 的n 次方根；求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算， 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标：1. 理解实数指数幂的概念及性质。
2. 掌握实数指数幂的运算法则。
3. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
二、教学重点与难点：重点：实数指数幂的概念、性质及运算法则。
难点：实数指数幂在实际问题中的应用。
三、教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 教学素材（例如：数学题、实际问题等）。
四、教学过程：1. 引入：通过生活中的实际例子（如电话号码、楼层等）引出实数指数幂的概念。
2. 讲解：讲解实数指数幂的定义、性质及运算法则。
3. 练习：让学生通过练习题巩固所学知识。
4. 应用：结合实际问题，让学生运用实数指数幂及运算法则解决问题。
五、课后作业：1. 完成练习册相关题目。
2. 举出生活中的实际例子，运用实数指数幂及运算法则进行解释。
六、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对实数指数幂概念、性质及运算法则的理解程度。
2. 课后作业：评价学生运用实数指数幂及运算法则解决实际问题的能力。
3. 单元测试：评价学生对实数指数幂及运算法则的掌握程度。
七、教学反思：在教学过程中，要注重让学生理解实数指数幂的概念，引导学生掌握运算法则，并通过实际问题激发学生的学习兴趣。
在课后，要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生运用知识解决实际问题的能力。
八、教学拓展：1. 研究其他数的指数幂及其运算法则。
2. 探索实数指数幂在科学、工程等领域的应用。
九、教学时间安排：1. 课时：本节课计划用2课时完成。
2. 教学进程：第一课时讲解实数指数幂的概念、性质及运算法则；第二课时进行练习、应用及课后作业布置。
十、教学素材来源：1. 人教版《数学》教材。
2. 网络资源。
3. 教师自编练习题。
六、教学活动设计：1. 导入：通过回顾上一节课的内容，引导学生进入本节课的学习。
2. 新课导入：讲解实数指数幂的运算法则，包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方与积的乘方等。
3. 案例分析：分析实际问题，运用实数指数幂的运算法则进行解答。
教学设计1： 实数指数幂及其运算（一）
3.1.1 实数指数幂及其运算（一）一．教学目标：1．知识与技能：理解n 次方根和根式的概念；2．过程与方法：（1）通过与初中所学的知识进行类比，掌握n 次方根及根式的概念.（2）正确运用根式运算性质进行运算，体验分类讨论思想的应用.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．重点、难点1．教学重点：（1）根式概念的理解；（2）掌握根式的运算性质；2．教学难点：根式概念的理解三．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2．教具：多媒体教学过程一、复习提问：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平方根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.二、新课讲解类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念.n 次方根：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根（throot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊，当n 为偶数时，a 的n 次方根中，表示，如果是负数，用叫做根式.n 为奇数时，a 的nn 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？,,:,,n a n a n a n ⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数 的次方根有一个为正数为偶数 的次方根有两个为n a n a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在.零的n0=举例：16的次方根为2±，275-的27-的4次方根不存在. 小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况.例1 求下列各式的值: (1)33)8(-;(2)2)10(-;(3)44)3(π-;(4)2)(b a -(a >b ).活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数.解：(1)33)8(-=－8; (2)2)10(-=10; (3)44)3(π-=π－3; (4)2)(b a -=a －b (a >b ).点评：不注意n 的奇偶性对式子n na 的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用.变式训练求出下列各式的值: (1)77)2(-; (2)33)33(-a (a ≤1); (3)44)33(-a .解：(1)77)2(-=－2， (2)33)33(-a (a ≤1)=3a －3， (3)44)33(-a =⎩⎨⎧<-≥-.1,33,1,33a a a a 点评：本题易错的是第(3)题，往往忽视a 与1大小的讨论，造成错解.例2 223++223-=_________活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路. 解：223+=2)2(221++=2)21(+=2+1. 223-=122)2(2+-=2)12(-=2－1. 所以223++223-=22.点评：不难看出223-与223+形式上有些特点，即是对称根式，是B A 2±形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.思考：上面的例2还有别的解法吗?活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是+，一个是－，去掉一层根号后，相加正好抵消.同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法.另解：利用整体思想，x =223++223-，两边平方得x 2=3+22+3－22+2(223+)(223-)=6+222)22(3-=6+2=8，所以x =22.点评：对双重二次根式，特别是B A 2±形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对B A B A 22-±+的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解.变式训练a －1，求a 的取值范围.解：a －12)1(-a =|a －1|=a －1，即a －1≥0，所以a ≥1.点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号，是解题的关键.知能训练(教师用多媒体显示在屏幕上)1.以下说法正确的是( )A.正数的n 次方根是一个正数B.负数的n 次方根是一个负数C.0的任何次方根都是零D.a 的n 次方根用n a 表示(以上n ＞1且n ∈N *).答案：C2.化简下列各式:(1)664;(2)42)3(-;(3)48x ;(4)636y x 答案：(1)2;(2)9;(3)x 2;(4)|x |y ;(5)|x －y |.3.计算407407-++=__________. 解：407407-++=2222)2(252)5()2(252)5(+•-++•+ =22)25()25(-++ =5+2+5－2- =25.答案：25拓展提升 问题：n n a =a 与(n a )n =a （n ＞1，n ∈N ）哪一个是恒等式，为什么?请举例说明.活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n 次方根的定义.通过归纳，得出问题结果，对a 是正数和零，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下.再对a 是负数，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论.解答：①（n a ）n =a （n ＞1，n ∈N ）.如果x n =a （n ＞1，且n ∈N ）有意义，则无论n 是奇数或偶数，x =n a 一定是它的一个n 次方根，所以（n a ）n =a 恒成立.例如：（43）4=3，33)5(-=－5. ②n n a =⎩⎨⎧.|,|,,为偶数当为奇数当n a n a 当n 为奇数时，a ∈R ，n na =a 恒成立. 例如：552=2，55)2(-=－2. 当n 为偶数时，a ∈R ，a n ≥0，n n a 表示正的n 次方根或0，所以如果a ≥0，那么n n a =a .例如443=3， 40=0；如果a ＜0，那么n n a =|a |=－a ，如2(-3)=23=3. 即（n a ）n =a （n ＞1，n ∈N ）是恒等式，n n a =a （n ＞1，n ∈N ）是有条件的.点评：实质上是对n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解.三．归纳小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,n 为偶数时，x =2．掌握两个公式：(0),||(0)n a a n n a a a ≥⎧==⎨-<⎩为奇数时为偶数时 四．作业：P 69习题2.1 A 组 第1题。
人教版高中必修1(B版)3.1.1实数指数幂及其运算教学设计
人教版高中必修1(B版)3.1.1实数指数幂及其运算教学设计一、教学目标•掌握实数指数幂的概念•熟练掌握实数指数幂的运算方法•能够解决实际问题中的运算问题二、教学重难点教学重点•实数指数幂的概念•实数指数幂的运算方法教学难点•运用实数指数幂解决实际问题三、教学内容1.实数指数幂的概念2.实数指数幂的运算方法四、教学步骤第一步：引入实数指数幂通过引入一道具体问题，引导学生了解实数指数幂的概念。
例如：一张面积为1平方米的圆形纸片折成相等的两半，再将其中一个部分继续折成相等的两半，不断折下去，直到最后纸片的面积只剩下了1/1024平方米，问这张纸片折了几次？学生根据已知条件推理出实数指数幂的概念。
第二步：讲解实数指数幂的概念通过引入具体案例，对实数指数幂的概念进行详细讲解。
例如：若正整数a>1，x为实数，则a的x次方就是x个a相乘得到的积，记作a^x。
第三步：讲解实数指数幂的运算方法引入具体运算方式，对实数指数幂的运算方法进行讲解。
例如：a^x*a y=a(x+y)a x/a y=a^(x-y)(a x)y=a^(xy)第四步：举例操作通过实例展示具体的运算过程，引导学生应用实数指数幂的运算方法。
例如：计算2^3*2^(-1)2^3*2(-1)=2(3-1)=2^2=4第五步：练习巩固让学生进行相关的练习和巩固，加深对实数指数幂的理解。
例如：计算下面的值：(1)5^(-2)*10^(3)(2)(1/3)^2*(2/3)^(-3)五、教学方法案例法通过实例引导学生了解实数指数幂的概念。
讲解法让学生了解实数指数幂的运算方法。
实践操作让学生通过练习和操作巩固所学内容。
六、教学时长本次教学所需时间约为2个课时。
七、教学评价针对学生的学习情况，进行适时的小结和评价。
例如：通过课堂互动和练习，学生对实数指数幂的概念和运算方法进行了深入的了解和掌握，课堂效果良好。
实数指数幂及其运算运算教案
3.1.1实数指数幂及其运算知识与技能: (1）掌握根式的概念；(2）规定分数指数幂的意义；(3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化； (4）理解有理指数幂的含义及其运算性质； (5）了解无理数指数幂的意义过程与方法: 通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．情感态度与价值观: 通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质． 一、引入课题有典故引入课题，了解指数指数概念提出背景，体会引入指数的必要性； 二、研探新知 （一）整数指数幂1、整整指数幂：n a 叫做a 的n 次幂，n →幂指数，a →幂底数，n 是正整数→正整数指数幂规定：a a =12、正整数指数幂的运算法则：（1）n m n m a a a +=⋅ （2）()mn nma a =（3）)0,(≠>=-a n m a aa n m n m 且 （4）()m m mb a ab ⋅=3、零指数幂和负整数指数幂 规定：（1）)0(0≠=a a a （2）),0(1+-∈≠=N n a a a nn 例：96页A-1二组：（1）若,m n Z ∈，满足5m a =，15n b=，则25m n -= .（2）已知21na=，*()n N ∈，则33n nnna a a a---=- （3）已知11a a --=，则66a a -+的值为（二）分数指数幂1、根式的概念：一般地，如果存在实数x,使得）（+N ∈>∈=n n R a a x n ,1,，那么x 叫做a 的n 次方根，求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算。
a 的n 次方根用符号n a 表示．（1）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，分别表示为n a ， －n a （a >0，n 为偶数）（2）负数的偶次方根在实数范围内不存在 （3）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．都表示为n a （n 为奇数）．（4）正数a 的正n 次方根，叫a 的n 次算数方根 2、根式的概念及性质：（1n 叫做根指数。
实数指数幂及其运算教案
实数指数幂及其运算一、教学目标： 知识与技能：（1）规定0指数幂和负数指数幂（2）掌握根式的概念与性质，熟练地将根式与分数指数幂之间的转化 （3）理解有理数指数幂的含义及其运算法则 过程与方法：通过指数范围的扩大，使学生理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力。
情感态度与价值观：通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质。
二、教学重点与难点教学重点：分数指数幂及根式的性质，实数指数幂的化简、求值 教学难点：实数指数幂的灵活应用 三、教学资源与教学手段 多媒体教室；学生自主思考，合作探究，教师加以引导。
四、教学过程模块一：首先，我们复习一下初中学过的正整数指数幂的概念及运算法则： a a a ⋅=2 a a a a ⋅⋅=3 a a a a n ⋅⋅⋅=定义：n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。
法则：（1）nm nma a a +=⋅ （3） )0,(≠>=-a n m a aa nm n m（2） mnn m aa =)( （4）mmmb a ab =)(如果我们取消上述公式（3）中n m >的限制，令n m =或n m <比如：103333===-a a a a 2253531aa a a a ===--所以我们规定：)0(10≠=a a ),0(1+-∈≠=N n a aa n n 练一练：180= 1)8(0=- )(1)(0b a b a ≠=- 001.01011033==-64)21(6=-- 3381)2(xx =- 64223)(x r r x =- 4100001.0-= 12222--=c b a c b a模块二：在初中我们还学过平方根和立方根的概念。
如果a x =2，则x 叫做a 的平方根。
0>a 时，a x =或a x -=；0=a 时，00==x ；0<a 时，无实根。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标：1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质。
2. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学知识的运用能力。
二、教学内容：1. 实数指数幂的定义与性质2. 有理数指数幂的运算性质3. 实数指数幂在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 实数指数幂的定义与性质2. 有理数指数幂的运算性质3. 实数指数幂在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解实数指数幂的定义与性质，有理数指数幂的运算性质。
2. 利用案例分析法，分析实数指数幂在实际问题中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，分享学习心得。
五、教学步骤：1. 引入实数指数幂的概念，讲解实数指数幂的定义与性质。
2. 讲解有理数指数幂的运算性质，引导学生进行实际例子的计算。
3. 分析实数指数幂在实际问题中的应用，引导学生运用所学知识解决实际问题。
5. 对本节课的内容进行复习，布置作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂讲解的准确性，学生的理解程度。
2. 学生作业的完成情况，对实数指数幂及运算法则的掌握程度。
3. 学生小组讨论的活跃程度，对实际问题分析的能力。
七、教学资源：1. 教材《数学》2. 教案3. PPT4. 习题八、教学时间：1课时（45分钟）九、课后作业：1. 复习实数指数幂及运算法则，整理课堂笔记。
2. 完成课后习题，巩固所学知识。
3. 思考实数指数幂在实际问题中的应用，准备课堂分享。
十、板书设计：实数指数幂及运算法则教案一、教学目标：1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质。
2. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学知识的运用能力。
二、教学内容：1. 实数指数幂的定义与性质2. 有理数指数幂的运算性质3. 实数指数幂在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 实数指数幂的定义与性质2. 有理数指数幂的运算性质3. 实数指数幂在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解实数指数幂的定义与性质，有理数指数幂的运算性质。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解实数指数幂的概念；（2）掌握实数指数幂的运算法则；（3）能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、探究、归纳实数指数幂的运算法则；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣；（2）培养学生的团队合作精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）实数指数幂的概念；（2）实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：（1）实数指数幂的运算法则的灵活运用；（2）解决实际问题。
三、教学准备1. 教具准备：（1）黑板；（2）粉笔；（3）多媒体教学设备。
2. 学具准备：（1）练习本；（2）计算器。
四、教学过程1. 导入新课（1）复习相关知识：幂的定义、运算法则；（2）提出问题：实数指数幂是什么？它有哪些运算法则？2. 自主探究（1）学生自主探究实数指数幂的定义；（2）学生分组讨论实数指数幂的运算法则；（3）各组汇报讨论成果。
3. 课堂讲解（1）讲解实数指数幂的定义；（2）讲解实数指数幂的运算法则；（3）举例说明实数指数幂的运算法则的应用。
4. 巩固练习（1）学生自主完成练习题；（2）教师点评答案，解答疑问。
5. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容；（2）强调实数指数幂的运算法则的运用。
五、课后作业1. 完成练习册相关题目；2. 运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
六、教学拓展1. 对比实数指数幂与整数指数幂的差异；2. 探讨实数指数幂在实际问题中的应用，如放射性衰变、人口增长等。
七、实践操作1. 学生分组，利用计算器验证实数指数幂的运算法则；2. 每组选取一个实际问题，运用实数指数幂及运算法则求解，并分享解题过程。
八、课堂互动1. 教师提问，学生回答；2. 学生互相提问，共同解答；3. 教师点评互动过程，解答疑问。
九、总结反思1. 学生总结本节课所学内容；2. 学生分享自己在实践操作中的收获；3. 教师点评学生表现，总结实数指数幂及运算法则的重要性和实际应用。
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实数指数幂及其运算（Ⅰ）教学设计首都师范大学附属中学 姚璐课程名称： 教材分析：1. 数系的扩充众所周知，人类对于数的认识经历了漫长的过程，从Z 到Q ，从Q 到R ，从R 到C ，乃至扩充到四元数等等。
虽然每一次数的范围的扩大往往伴随着质疑，但随着时间的发展，人们逐渐能够接受越来越多的数，而且寻找到了许多新的数背后所蕴含的实际意义。
数系扩充的动力主要包括两个方面： （1）生产生活的推动就本节课所涉及内容而言，指数模型是一种重要的数学模型，能较好的刻画许多自然现象（如放射性元素的衰变），在模型中变量t 显然是连续的，因此要求我们将指数推广到实数范围内。
（2）数学本身的推动许多数的出现都与方程有关（如负数，分数，复数等），根式也不例外。
当我们将数系扩充后，我们任然希望新的数系能较好的继承原有数系的一些性质。
事实上，如果我们假定指数运算拓展到实数范围内后，仍然继承下述性质：（1）m n m n a a a +=⋅（0a >，,m n ∈R ）（2）当1a >时，若m n >，则m n a a >（0a >，,m n ∈R ）当1a =时，若m n >，则m n a a =（0a >，,m n ∈R ） 当1a <时，若m n >，则m n a a <（0a >，,m n ∈R ）则指数n a 的定义是唯一的2. Cauchy 法从Z 到Q 是非常重要的一步，这一步将一个疏集上定义的函数延拓到了一个稠密集上的函数，依靠的是,,<+⋅>Q 是,,<+⋅>Z 的分式环；从Q 到R 也是非常重要的一步，这一步将一个稠密集上的函数延拓到了一个连续集上的函数，依靠的是逼近的想法。
这种方法即为Cauchy 法.事实上，如果附加上连续性条件，我们可以得到许多函数的“特征性质”如： （1）()f x 是正比例函数或零函数()()(),,f m n f m f n m n ⇔+=⋅∀∈R （2）()f x 是指数函数或零函数()()(),,f m n f m f n m n ⇔+=⋅∀∈R （3）()f x 是对数函数或零函数()()(),,0f m n f m f n m n ⇔⋅=+∀>（4）()⇔⋅=⋅∀>f m n f m f n m nf x是幂函数或零函数()()(),,03. 指数运算和加法运算，乘法运算的区别乘法运算是连加法运算的推广，指数运算是连乘法运算的推广。
但是同加法运算以及乘法运算相比，指数运算有一个非常大的区别，即一个幂的底数与指数的地位是不平等的。
换言之，一般的b a≠a b因此尽管有幂指数对底数的分配律成立，即()c c c⋅=⋅a b a b一般的，仍然有：()()cc bb⋅≠⋅≠，b c b ca aa a a而这恰恰是学生的易错点学情分析：1. 初中阶段，学生学习过整数指数幂，经历了从正整数指数幂到整数指数幂的推演过程，能较为熟练的运用整数指数幂的运算性质解题，但零次幂和负整数指数幂为何选用该方式定义则较模糊，不够深刻。
初中阶段，学生学习过平方根运算和立方根运算，对于平方根和立方根运算相关性质掌握较好，易于接受高次方根的概念。
2. 本班是一个普通班，纯数学的推导较为抽象，相对较难，从具体模型入手则相对容易。
教学目标：知识与技能： 1.了解指数模型的实际背景2.理解根式及有理指数幂的含义3.掌握有理指数幂的运算性质过程与方法：在解决简单实际问题的过程中，体会有理指数幂的含义情感态度与价值观：体验数学与生产实践的紧密联系，提高数学应用意识教学重点、难点：教学重点：分数指数幂的概念和分数指数幂的运算性质教学难点：根式的概念及分数指数概念教学设计：一、课前阅读：阅读下述材料，回答问题衰变是放射性元素放射出粒子后变成另一种元素的现象。
不稳定（即具有放射性）的原子核在放射出粒子及能量后，可变得较为稳定，这个过程称为衰变。
放射性同位素衰变的快慢有一定的规律。
例如，氡-222经过α衰变为钋-218，如果隔一段时间测量一次氡的数量级就会发现，每过3.8天就有一半的氡发生衰变。
也就是说，经过第一个3.8天，剩下一半的氡，经过第二个3.8天，剩有1/4的氡；再经过3.8天，剩有1/8的氡......因此，我们可以用半衰期来表示放射性元素衰变的快慢。
放射性元素的原子核有半数发生衰变所需的时间，叫做这种元素的半衰期。
不同的放射性元素，半衰期不同，甚至差别非常大。
例如，氡-222衰变为钋-218的时间为3.8天，镭-226衰变为氡-222的时间为1620年，铀-238衰变为钍-234的半衰期竟长达4.5×109年。
设计意图：创设问题情境问题一：现有一种新的放射性物质M ，自然条件下每经过一年，剩余M 的量为一年前的量的a 倍。
假设某时刻放射性物质M 的量为1，则在自然条件下：（1） 1年后，剩余放射性物质M 的量为多少？ （2） 2年后，剩余放射性物质M 的量为多少？ （3） 3年后，剩余放射性物质M 的量为多少？（4） n 年后，剩余放射性物质M 的量为多少？为什么？ 问题二：现有一种新的放射性物质M ，自然条件下每经过一年，剩余M 的量为一年前的量的a 倍。
假设在自然条件下，放射性物质M 放置了一段时间，剩余的量为1，则：（1） 若放置时间为1年，则1年前放射性物质M 的量为多少？ （2） 若放置时间为2年，则2年前放射性物质M 的量为多少？ （3） 若放置时间为3年，则3年前放射性物质M 的量为多少？ （4） 若放置时间为n 年，则n 年前放射性物质M 的量为多少？ 为什么？二、问题引入问题四：前述表达中，n 的取值范围是什么？问题五：现有一种新的放射性物质M ，自然条件下每经过一年，剩余M 的量为一年前的量的a 倍。
假设某时刻放射性物质M 的量为1，则在自然条件下：（1） 半年后，剩余放射性物质M 的量为多少？为什么？ （2） 一个月后，剩余放射性物质M 的量为多少？为什么？ （3） 一年半后，剩余放射性物质M 的量为多少？为什么？设计意图：结合具体模型为进一步引入有理指数幂及根式的概念作必要的准备三、概念形成：一般地，设a ，b 是实数，n 为正整数.若n b a =，则称b 为a 的n 次单位根. （1）当n 为奇数时，任何实数均恰有一个n （2）当n 为偶数时，负数没有n 次单位根；0有唯一的n 次单位根0；正数有两个n 次单位根，记作根式运算性质：,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数问题六： 观察等式332a ==，m na（其中m 、n 是正整数）应该如何定义？设计意图：引入正有理指数幂的概念问题七： 参考负整数次幂的实际意义，m na -（其中m 、n 是正整数）有何实际意义？应该如何定义？设计意图：引入负有理指数幂的概念问题八： 为了对任意的整数m 、n ，m na 和m na -都有意义，应该对a 的取值范围补充哪些规定？设计意图：强调底数的取值范围.例1. 用分数指数幂表示下列各式①②③④⑤设计意图：有理指数幂形式与根式形式相互转化 例2. 先将下列各式写成根式形式，再求值① 1236 ② 126449-⎛⎫⎪⎝⎭③ 2327④ 1410000 ⑤ 124- ⑥ 32164⎛⎫⎪⎝⎭设计意图：体验根式形式的优点 四、运算律： 问题九：观察等式：()33113222a a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，31122a a a =⋅，它们分别是初中阶段哪条性质的推广？设计意图：引入指数运算的性质问题十：结合模型，说明m n m n a a a +=⋅的含义.设计意图：阐明指数运算律的意义，帮助学生理解运算律. 设a ，b 是任意正数，m ，n 是任意有理数，则：m nmnaa a +=⋅，()nm mn a a =，()m m m a b ab =例3. 计算① 151384a a a ⋅⋅ ② 61132x y -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭设计意图：有理指数运算性质应用 例4. 计算① ②0)x >设计意图：体验有理指数运算的优点五、课堂小结：1. 本节课我们学习了分数指数幂的概念及与根式的关系2. 本节课我们将指数运算性质从整数指数推广到了有理指数幂3. 回顾数系的扩充，我们经历了++→→↓→→N N Q Z Q R回顾幂指数的扩充，我们经历了++→→↓↓→N N Q Z QR六、课后作业：1. 课本90页B 组1、2题的偶数题2. 三新（3.1.1 实数指数幂及其运算（一））板书设计：3.1.1 实数指数幂及其运算一、根式 二、分数指数幂 三、运算律若nx a =（n +∈N ）m mna ==a a a αβαβ+⋅=则 x 为a 的n 次方根 （0a ≥，,m n +∈N ，mn既约） ()a a βααβ⋅=若n为奇数，则x = 1m nm naa-=()ab a b ααα=若n为偶数，则x =0a >，,m n +∈N ，mn既约） ,Q αβ∈，0a > 教学反思： 课堂实践基本实现了课前预期.以应用背景为主线，贯穿本节课的教学，有效的克服了本节课的难点，使学生较易接受有理指数幂的概念，为后期进一步学习实数指数幂、指数函数，乃至对数运算、对数函数、幂函数都提供了素材. 学生在得到下述连等式时：313122a a a ===⋅往往仅能关注到其中的一个或两个等式，生成的顺序也不尽相同，需要教师对各种可能情况做好预案，根据课堂进程加以引导. 学生虽然较为容易的得到了公式：m n m n a a a +=⋅，()nmmn a a =但是后续还需要不断强化和训练，加深学生的熟练度本节课中关于根式运算的概念及其相关性质涉及较少，后续的课堂教学中需有针对性的补充和训练，否则可能会影响幂函数的学习（研究幂函数性质的一个重要方法，即将其改写为根式形式）.。