实变函数与泛函分析41

例 设{fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和发 散点全体是可测集.
f n lim f n ] 证明：发散点全体为 E[lim n n
收敛点全体为 E[lim f n lim f n ]
n n
再 在利用 lim f n和 lim f n是可测函数即可
n n
注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同.
若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。
( x) sup{ f n ( x)}
n n m n
( x) inf{ f n ( x)}
lim sup f n ( x) inf sup{ f m ( x)} lim inf f n ( x) sup inf{ f m ( x)}
⒌可测函数与简单函数的关系
M
M
m
m
M
M m | n ( x) f ( x) | n1 2
n
n 2n 次等分
m 0 可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限
可测函数与简单函数的关系
若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函
数 的极限
{n ( x)}
f ( x) lim n ( x)
0
i 1
n
问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测 度)?
1可测函数定义 定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 若
a R, E[ f a]

)，
可测，则称f(x)是E上的可测函数
例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子 集，有限并，可数并仍为零集
由f单调增知下面的集合为可测集
E[ f a] {
E [ I a , ) 当I a { x| f ( x ) a} E ( I a , ) 当I a { x| f ( x ) a}
a I a x1 x2
⒊可测函数的等价描述
⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测 ( 即(1) a R, E[ f a]可测)
(2) a R, E[ f a]可测 (3) a R, E[ f a]可测 (4) a R, E[ f a]可测 (5) a, b R, a b, E[a f b]可测(充分性要求 | f ( x) | )
证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及
注：Dirichlet函数是简单函数
0 1
（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数
设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 x0 E 处连续 若 0, 0, 使得f (O( x0 , ) E) O( f ( x0 ), )
对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，f ( x)在x0 (a, b)处连续

, f(x)限制在En上是可测函数，
则f(x)在E上也是可测函数。

E1[ f a] E[ f a] E1
E[ f a] En[ f a]
n1
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性
即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测
对前面等式的说明
E[ f a] E[ f a 1 ] ( E[ f a 1 ] )
n1

n


n1

n
[a,) (a ,) ( [a 1 ) n ,)
n1 1 n n1
( a-1/n
[
a ( a [ a+1/n
n1
(a,) [a ,) ( (a 1 n ,) )
n
，而且还可办到
| 1 ( x) || 2 ( x) |
k 2n n ( x ) n
x E[ k f k 1 ]
2n 2n
k 0,1,2,, n2n 1
x E[ f n ]
注：当f(x)是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛
例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则 f( g(x))是可测函数。 证明：要证f( g(x))是可测函数，只要证对任意a， E[f g>a]={x| f( g(x))>a}可测即可,
例： R1上的可微函数f(x)的导函数f `(x)是可测函数
gn(x)
证明：由于
f (x 1 f ( x x) f ( x) n ) f ( x) f ' ( x) lim lim 1 x o n x n
从而f `(x)是一列连续函数（当然是可测函数） 的极限，故f `(x)是可测函数. 利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.
m (E[f g>a])={x| f( g(x))>a}可测即可,
由于f在F=R上连续，故F[f>a]为R中的开集，
又直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的 开区间的并，故不妨令 F[ f a ] (ai , bi )
i
E[ ai g bi ]为可测集 再由g可测，可知 E[ fg a ] i
若m (E[f≠g])=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立, 记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）
证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g]，则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测 ，
另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ， 进一步g(x)在E=E1 ∪E2上也可测 。
E[ f 2 a ] {
E E[ f
a]
E[ f
a]
a 0 a 0
再利用f(x)g(x) ={(f(x)+g(x))2 - (f(x) -g(x))2}/4即可
作业：若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) -g(x) ,f(x)/g(x) 为E上的可测函数
⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。
rQ
从而E[ f a g ] ( E[ f r ] E[ g a r ] )可测
rQ
类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 E[ f g ] 为可测集。
若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) g(x)仍为E上的可测函数。
证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意a∈R
即O( x, x ) E E[ f a]
令G O( x , x )
xE[ f a ]
f(x0)+ε f(x0) f(x0)-ε a
则G为开集，当然为可测集，且
xE[ f a ] xE[ f a ]
x 另外G E ( O( x , x ) ) E (O( x, x ) E ) E[ f a ]
n1
( a-1/n
[
a
比较：E[ f a ] E
n 1

[ f a
1 ] n
E
n 1

[ f a
1 ] n
inf S 下确界：
(1)是数集S的下界，即 x S , x
(2)是数集S的最大下界，>a}= (f g)-1((a,+∞)) = g-1(f-1((a,+∞)))
f-1((a,+∞)) =
( ai , bi )
i
g 1 ((ai , bi )) ( g 1 (( ai , bi )))
i i
g 可测
f 连续
例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则 f( g(x))是可测函数。 证明：要证f( g(x))是可测函数，只要证对任意a，
若 lim f ( x) f ( x0 )
x x0
( ) (
)
(
)
即 0, 0,当| x x0 | 时，有 | f ( x) f ( x0 ) |
即 0, 0,当x O( x0 , ) 时，有f ( x) O( f ( x0 ), )
注：用到了可测函数关于子集、并集的性质
⑵可测函数类关于四则运算封闭
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数, 则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x) 仍为E上的可测函数。 a-g(x) r f(x)
证明 ：只要证a R, E[ f g a] E[ f a g ]可测，
即 0, 0, 使得f (O( x0 , ) ) O( f ( x0 ), )
f(x) 在 x0 [a, b] 处连续(对闭区间端点则用左或右连续)
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数
证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
对 f ( x) a, x 0, 使得f (O( x, x ) E) O( f ( x), ) (a,)
E[ f a ] E
n 1 [ f a 1 ] n
E[ f a ] ( E[ a f a n ] ) E[ f ]
n 1

E[ f a ] E
n 1
1 [ f a ] n
E[ a f b ] E[ f a ] E[ f b ]
第四章 可测函数
第一节 可测函数的定义及性质
新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）
yi yi-1
Ei {x : yi 1 f ( x) yi }
yi 1 i yi
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
( L)
[ a ,b ]
f ( x)dx lim i m Ei