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二次函数与圆以及三角形的综合题

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二次函数与圆的综合题(中考数学必考压轴题)

二次函数与圆的综合题(中考数学必考压轴题)

二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考）例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明．练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．（1）点B与⊙C的位置关系是；（2）点A是否在二次函数的图象上；（填“是”或“否”）（3）若DQ恰好为⊙C的切线，①猜想：四边形OAQD的形状是，证明你的猜想；②求二次函数的表达式．例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M 的切线CE，求直线OE的解析式．练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．练习5.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．以AB为直径作⊙M．（1）求出M的坐标并证明点C在⊙M上；（2）若P为抛物线上一动点，求出当CP与⊙M相切时P的坐标；练习6.在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的析式；（2）求点D的坐标：（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．练习7.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝n，OC＝m，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点．（1）求证：∠OCA＝∠OBC；（2）若A（x1，0），B（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝5，x1•x2＝4，求点C 的坐标和抛物线的解析式；（3）若△ACD≌△ABD，在四边形ABDC内有一点P，且点P到四边形四个顶点的距离之和P A+PB+PC+PD最小，求此时距离之和的最小值及P点的坐标（用含n的式子表示）．练习8.已知二次函数y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）（1）求证：它的图象与x轴必有两个交点；（2）这条抛物线与x轴交于两点A、B（A在B左），与y轴交于点C，顶点为D，sin∠ABD＝，⊙M过A、B、C三点，求⊙M的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使P A是⊙M的切线？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．练习9.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+1的图象关于y轴对称，且抛物线过点（2，2），点P为抛物线上的动点，以点P为圆心的⊙P与x轴相切，当点P运动对，⊙P始终经过y轴上的一个定点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当⊙P的半径为时，⊙P与y轴交于M、N两点，求MN的长；（3）求定点E到直线y＝kx﹣8k的距离的最大值．练习10.已知：直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx （a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连接AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO＝2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习11.已知A是x轴正半轴上一个动点，以线段OA为直径作⊙B，圆心为点B，直径OA＝m，线段EF是⊙B的一条弦，EF∥x轴，点C为劣弧EF的中点，过点E作DE垂直于EF，交抛物线C1：y＝ax2+bx（a＞0）于点G，抛物线经过点O和点A．（1）求证：DG＝m；（2）拖动点A，如果抛物线C1与⊙B除点O和点A外有且只有一个交点，求b的值；（3）拖动点A，抛物线C1交⊙B于点O、E、F、A，①求证：DE＝m﹣；②直接写出FC2的值（用a，m的代数式表示）练习13.如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A．B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），求出抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D点，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例4.如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B 为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．练习14.如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E 四点，B为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．练习15.如图，二次函数与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得∠ADB＝∠ABM，连接AE，求证：AE＝AD；（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请求出k的值．例5.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y 轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；（2）如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标；（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．练习16.如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣5，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若不存在，请说明理由．（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O 三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．练习17.如图1，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，P为半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．①判断点C、D与⊙G的位置关系，并说明原因；②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段AQ的最小值．练习18.如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF＝AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．课后练习1.抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），点E是△ABP 的外接圆圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当P为抛物线的顶点时，求圆心E的坐标；（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，延长PH交⊙E于点Q，当P从C点出发，沿该抛物线运动到B点，求点Q在这个运动过程中的路径长．2.如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）求证：∠BDE＝90°；（2）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（3）如图2，AC与BE交于点F．①请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；②若，求点E坐标及a的值．。

二次函数和圆综合(压轴题+例题+巩固+答案解析)

二次函数和圆综合(压轴题+例题+巩固+答案解析)

【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．⑵ 点()8Q m ，在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。

（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。

【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是C ⊙的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ；⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标；⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由．提示：（1）先求出t=1时，AP 和OQ 的长，即可求得P 1，Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l 的解析式．（2）当直线PQ 与圆C 相切时，连接CP ，CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC （M 为PG 与圆的切点），因此可设当t=a 秒时，PQ 与圆相切，然后用a 表示出AP ，OQ 的长即PM ，QM 的长（切线长定理）．由此可求出a 的值．（3）本题的关键是确定N 的位置，先找出与P 点关于直线l 对称的点P ′的坐标，连接P ′Q ，那么P ′Q 与直线l 的交点即为所求的N 点，可先求出直线P ′Q 的解析式，进而可求出N 点的坐标．【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与 二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；⑵ 判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x轴交于M N，，三点的圆的，两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F M N面积最小？最小面积是多少？【例3】如图1,⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为()，，顶点D在⊙O上运动．50⑴当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；⑵当直线CD与⊙O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式；⑶设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．【巩固】如图，已知点A 从()10，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以O A ，为顶点作菱形OABC ，使点B C ，在第一象限，且60AOC ∠=︒；以()03P ，为圆心，PC 为半径作圆．设点A 运动了t 秒，求： ⑴ 点C 的坐标（用含t 的代数式表示）；⑵ 当点A 在运动过程中，所有使P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值．【例4】已知：如图，抛物线213y x m =+与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，90ACB ∠=︒⑴ 求m 的值及抛物线顶点坐标；⑵ 过A B C ，，的三点的M ⊙交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交M ⊙于点E ，过E 点的M ⊙的切线分别交x 轴、y 轴于点F G ，，求直线FG 的解析式；⑶ 在条件⑵下，设P 为CBD 上的动点(P 不与C D ，重合)，连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH AP k ⋅=，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．【巩固】如图，已知点A的坐标是()，，以AB为直径作O'，90-，，点B的坐标是()10交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．⑴求抛物线的解析式；⑵点E是AC延长线上一点，BCE∠的平分线CD交O'于点D，连结BD，求直线BD的解析式；⑶在⑵的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDB CBD∠=∠？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．DCEA yxBO O'课后作业：1.如图，直角坐标系中，已知两点()A，，点B在第一象限且OAB2000O，，()∆为正三角形，OAB∆的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．⑴求B C，两点的坐标；⑵求直线CD的函数解析式；⑶设E F，分别是线段AB AD，上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：AEF∆的最大面积？参考答案例1【巩固】例2分析：（1）先求出t=1时，AP和OQ的长，即可求得P1，Q1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l的解析式．（2）当直线PQ与圆C相切时，连接CP，CQ则有Rt△CMP∽Rt△QMC（M为PG与圆的切点），因此可设当t=a秒时，PQ与圆相切，然后用a表示出AP，OQ的长即PM，QM的长（切线长定理）．由此可求出a的值．（3）本题的关键是确定N的位置，先找出与P点关于直线l对称的点P′的坐标，连接P′Q，那么P′Q与直线l的交点即为所求的N点，可先求出直线P′Q的解析式，进而可求出N点的坐标．【巩固】例3【巩固】例4【巩固】作业。

圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相像三角形、解直角三角形及二次函数的综合种类一：圆与相像三角形的综合1．如图， BC 是⊙ A 的直径，△ DBE的各个极点均在⊙ A 上， BF⊥ DE于点 F.求证： BD·BE＝ BC·BF.2．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB＝ 90°，以 AC为直径的⊙ O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于点 E.(1)求证：点 E 是边 BC的中点；求证：2＝BD·BA；(2)BC(3)当以点 O， D， E，C 为极点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1) 连接 OD，∵ DE为切线，∴∠ EDC＋∠ ODC＝90° .∵∠ ACB＝90°，∴∠ ECD＋∠ OCD＝ 90° .又∵ OD＝ OC，∴∠ ODC＝∠ OCD，∴∠ EDC＝∠ ECD，∴ ED＝ EC.∵AC 为直径，∴∠ADC＝ 90°，∴∠ BDE＋∠ EDC＝ 90°，∠ B＋∠ECD＝ 90°，∴∠ B＝∠ BDE，∴ ED＝ EB，∴ EB＝EC，即点 E 为边 BC的中点(2)∵ AC为直径，∴∠ ADC＝∠ ACB＝90° .又∵∠ B＝∠ B，∴△ ABC∽△ CBD，∴ABBC＝ BCBD，∴B C2＝ BDBA(3)当四边形 ODEC为正方形时，∠ OCD＝ 45° .∵AC 为直径，∴∠ ADC＝ 90°，∴∠ CAD＝90°－∠ OCD＝ 90°－ 45°＝ 45°，∴ Rt△ ABC 为等腰直角三角形种类二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ ABC中，以 AC 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 G，且 D 是 BC 的中点，DE⊥ AB，垂足为点 E，交 AC 的延伸线于点 F.(1)求证：直线EF是⊙ O 的切线；(2)已知 CF＝ 5， cosA＝25，求 BE 的长．解： (1)连接 OD.∵ CD＝DB，CO＝ OA，∴ OD 是△ ABC的中位线，∴OD∥ AB， AB＝2OD.∵ DE⊥ AB，∴ DE⊥OD，即 OD⊥ EF，∴直线 EF是⊙ O 的切线(2)∵ OD∥ AB，∴∠ COD＝∠ A，∴ cos∠ COD＝ cosA＝ 25.在 Rt△ DOF中，∵∠ ODF＝ 90°，∴ cos∠ FOD＝ ODOF＝ 25.设⊙ O 的半径为 r，则 rr ＋ 5＝ 25，解得 r＝ 103，∴ AB＝ 2OD＝ AC＝ 203.在 Rt△ AEF中，∵∠ AEF＝ 90°，∴ cosA＝ AEAF＝AE5＋ 203＝25，∴ AE＝ 143，∴ BE＝AB－ AE＝203－ 143＝ 24．(2015 ·资阳 )如图，在△ ABC中， BC是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，且⊙ O 与 AC 订交于点D， E 为 BC 的中点，连接 DE.(1)求证： DE 是⊙ O 的切线；(2)连接 AE，若∠ C＝ 45°，求 sin∠ CAE的值．解： (1)连接 OD，BD，∵ OD＝ OB，∴∠ ODB＝∠ OBD.∵ AB 是直径，∴∠ ADB＝ 90°，∴∠ CDB＝ 90° .∵ E为 BC的中点，∴ DE＝BE，∴∠ EDB＝∠ EBD，∴∠ ODB＋∠ EDB＝∠ OBD＋∠ EBD，即∠ EDO＝∠ EBO.∵ BC 是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，∴ AB⊥ BC，∴∠ EBO＝90°，∴∠ ODE＝ 90°，∴ DE 是⊙ O 的切线(2)过点 E 作 EF⊥ CD于点 F，设 EF＝ x，∵∠ C＝45°，∴△ CEF，△ABC 都是等腰直角三角形，∴CF＝ EF＝ x，∴ BE＝ CE＝ 2x，∴AB＝ BC＝ 22x.在 Rt△ ABE中， AE＝ AB2＋ BE2＝ 10x，∴ sin∠ CAE＝ EFAE＝ 10105．如图，△ ABC 内接于⊙ O，直径 BD 交 AC 于点 E，过点 O 作 FG⊥ AB，交 AC 于点 F，交 AB 于点 H，交⊙ O 于点 G.(1)求证： OF·DE＝ OE·2OH；(2)若⊙ O 的半径为12，且 OE∶OF∶ OD＝ 2∶3∶ 6，求暗影部分的面积． (结果保存根号 )解： (1)∵ BD 是直径，∴∠ DAB＝ 90° .∵ FG⊥ AB，∴ DA∥ FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OFDE＝OEAD.∵O 是BD 的中点， DA∥ OH，∴ AD＝ 2OH，∴ OFDE＝ OE2OH(2)∵⊙ O 的半径为12，且 OE∶ OF∶ OD＝2∶ 3∶ 6，∴ OE＝ 4， ED＝8，OF＝ 6，∴ OH＝ 6.在 Rt△OBH 中，OB＝ 2OH，∴∠ OBH＝ 30°，∴∠ BOH＝ 60°，∴ BH＝ BOsin60°＝ 12× 32＝ 63，∴ S 暗影＝ S 扇形 GOB－S△OHB＝60×π× 122360－ 12× 6×63＝ 24π－ 183种类三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知 A(－ 4，0)， B(1，0)，且以 AB 为直径的圆交 y 轴的正半轴于点 C(0，2)，过点 C作圆的切线交 x 轴于点 D.(1)求过 A，B， C 三点的抛物线的分析式；(2)求点 D 的坐标；(3)设平行于 x 轴的直线交抛物线于E，F 两点，问：能否存在以线段EF为直径的圆，恰巧与x轴相切若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明原因．解： (1)y＝－ 12x2－ 32x＋2(2)以 AB 为直径的圆的圆心坐标为O′ (－32，0)，∴O′ C＝ 52， O′ O＝ 32.∵ CD为圆 O′的切线，∴O′ C⊥ CD，∴∠ O′CO＋∠ DCO＝ 90° .又∵∠CO′ O＋∠ O′ CO＝90°，∴∠ CO′ O＝∠DCO，∴△ O′ CO∽△ CDO，∴ O′ OOC＝ OCOD，∴322＝ 2OD，∴ OD＝ 83，∴点 D 的坐标为 (83，0)(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－ 32，设满足条件的圆的半径为|r| ，则点 E 的坐标为 (－ 32＋ r， r)或 F(－ 32－r ， r)，而点 E 在抛物线y ＝－ 12x2－ 32x＋2 上，∴ r＝－ 12(－ 32＋ |r|)2 － 32(－ 32＋ |r|) ＋ 2，∴ r1＝－ 1＋ 292， r2＝－1－ 292(舍去 )．故存在以线段EF 为直径的圆，恰巧与x 轴相切，该圆的半径为－1＋ 2927．如图，抛物线y＝ax2＋ bx－ 3 与 x 轴交于 A， B 两点，与y 轴交于点C，经过 A，B， C 三点的圆的圆心抛物线的极点为M(1 ，m)恰幸亏此抛物线的对称轴上，E.⊙ M的半径为.设⊙ M与y 轴交于点D，(1)求 m 的值及抛物线的分析式；(2)设∠ DBC＝α，∠ CBE＝β，求 sin( α－β)的值；(3)研究坐标轴上能否存在点 P，使得以 P， A， C 为极点的三角形与△ BCE相像若存在，请指出点 P 的地点，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．解： (1)由题意，可知 C(0，－ 3)，－ b2a＝1，∴抛物线的分析式为 y＝ ax2－ 2ax－ 3(a＞ 0)．过点 M 作 MN ⊥y 轴于点 N，连接 CM，则 MN ＝ 1， CM＝ 5，∴ CN＝ 2，于是 m＝－ 1.同理，可求得 B(3，0)，∴ a× 32－ 2a× 3－ 3＝0，解得 a＝ 1. ∴抛物线的分析式为 y＝ x2－ 2x－3(2)由 (1)得， A(－1 ，0)， E(1，－ 4)， D(0， 1)，∴△ BCE为直角三角形， BC＝32， CE＝ 2，∴OBOD＝31＝ 3， BCCE＝ 322＝3，∴ OBOD＝ BCCE，即 OBBC＝ ODCE，∴ Rt△BOD∽ Rt△BCE，得∠ CBE＝∠ OBD＝β，所以 sin(α－β )＝sin(∠ DBC－∠ OBD)＝ sin∠ OBC＝ COBC＝ 22(3)明显 Rt△ COA∽ Rt△ BCE，此时点 O(0， 0)．过点 A 作 AP2⊥ AC 交 y 轴的正半轴于点 P2，由 Rt△ CAP2∽Rt△ BCE，得 P2(0，13)．过点 C 作 CP3⊥ AC交 x 轴的正半轴于点 P3，由 Rt△P3CA∽ Rt△ BCE，得 P3(9，0)．故在座标轴上存在三个点 P1(0， 0)，P2(0， 13)，P3(9， 0)，使得以 P， A， C为极点的三角形与△ BCE相像。

中考数学专题复习二次函数与图形综合培优

中考数学专题复习二次函数与图形综合培优

1坐标系中（函数图象上）动点产生三角形的问题我们主要讲解3类：①因动点产生的等腰三角形问题②因动点产生的直角三角形问题③因动点产生的相似三角形问题.一、方法与技巧：已知线段AB 和直线l ，在直线l 上找点P ，使ABP △为等腰三角形．l知识互联网思路导航二次函数与图形综合题型一：坐标系中（函数图象上）动点产生三角形问题234l 几何法：①分别以点A 、B 为圆心，AB 为半径作圆，找点1P ，2P ，3P ，4P ．（检验） ②作线段AB 的垂直平分线k ，找点5P ．（检验）代数法：设点P 的坐标为()m n ，，求出AB 、AP 、BP 的长度，分类讨论：①AB AP =；②AB BP =；③AP BP =．求出点P ()m n ，．（检验）二、方法与技巧：已知线段AB 和直线l ，在直线l 上找点P ，使ABP △为直角三角形．几何法：①分别过点A 、B 作线段AB 的垂线，找点1P ，2P ．（检验）②以线段AB 为直径作圆，利用直径所对的圆周角为90︒，找点3P ，4P ．（检验）代数法：设点P 的坐标为()m n ，，求出AB 、AP 、BP 的长度，分类讨论： ①222AB AP BP =+；②222AP AB BP =+；③222BP AB AP =+. 求出点P ()m n ，．（检验）三、方法与技巧：以点A 、B 、C 为顶点的三角形和OPQ △相似．根据“两组角对应相等，两三角形相似．”进行分类讨论： ①ABC OPQ △∽△，②ACB OPQ △∽△， ③BAC OPQ △∽△，④BCA OPQ △∽△，⑤CAB OPQ △∽△，⑥CBA OPQ △∽△.（检验）【例1】 已知二次函数23y x bx =-++的图象与x 轴的一个交点为()40A ，，与y 轴交于点B ． ⑴ 求此二次函数关系式和点B 的坐标；⑵ 在x 轴的正半轴上是否存在点P ．使得PAB △是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】⑴ 把点()40A ，代入二次函数有： 01643b =-++得：134b =所以二次函数的关系式为：21334y x x =-++． 当0x =时，3y =∴点B 的坐标为()03，．⑵ 如图：典题精练3作AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，连接BP ， 则：BP AP =设BP AP x ==，则4OP x =-， 在直角OBP △中，222BP OB OP =+ 即：()22234x x =+- 解得：258x = ∴257488OP =-= 所以点P 的坐标为：708⎛⎫⎪⎝⎭， 【点评】 可以把“PAB △是以AB 为底边的等腰三角形”拓展为“PAB △是等腰三角形”.【例2】 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数()21y k x x =+-的图象交于点和点()k B --1，． ⑴当时，求反比例函数的解析式；⑵要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大，求应满足的条件以及的取值范围；⑶设二次函数的图象的顶点为，当是以为斜边的直角三角形时，求的值．【解析】 ⑴当时，，∵在反比例函数图象上，∴设反比例函数的解析式为：my x=，代入得：21m -=， 解得：，∴反比例函数的解析式为：，⑵∵要使反比例函数和二次函数都是y 随着的增大而增大，∴0k <，∵二次函数，的对称轴为：直线，要使二次函数满足上述条件，在的情况，必须在对称轴左边，即时，才能使得随着的增大而增大，∴综上所述，0k <且；()1A k ，2k =-y x k x Q ABQ △AB k 2k=-()12A -，A ()12A -，2m =-2y x=-x ()2215124y k x x k x k ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭12x =-()21y k x x =+-0k <x 12x <-y x 12x <-4⑶由⑵可得：，∵是以为斜边的直角三角形，点与点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）∴原点平分，∴，作，，∴， ∵，解得：． 【例3】 如图，在矩形OABC 中，10AO =，8AB =，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处．分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx c =++经过O ，D ，C 三点．⑴求AD 的长及抛物线的解析式；⑵一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与ADE △相似？【解析】 ⑴∵四边形ABCO 为矩形，∴90OAB AOC B ∠=∠=∠=︒， 8AB CO ==，10AO BC ==． 由题意得，BDC EDC △≌△．∴90B DEC ∠=∠=︒，10EC BC ==，ED BD =． 由勾股定理易得6EO =．∴1064AE =-=． 设AD x =，则8BD DE x ==-，由勾股定理，得()22248x x +=-． 解之得，3x =，∴3AD =．∵抛物线2y ax bx c =++过点()00O ，，∴0c =． ∵抛物线2y ax bx c =++过点()310D ，，()80C ，， ∴93106480a b a b +=⎧⎨+=⎩．解之得23163a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴抛物线的解析式为：221633y x x =-+．1524Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，ABQ △AB A B O AB OQ OA OB ==AD OC ⊥QC OC ⊥OQ ==OA =k =5⑵∵90DEA OEC ∠+∠=︒，90OCE OEC ∠+∠=︒， ∴DEA OCE ∠=∠．由⑴可得3AD =，4AE =，5DE =． 而CQ t =，2EP t =，∴102PC t =-．当90PQC DAE ∠=∠=︒时，ADE QPC △∽△，∴CQ CP EA ED =，即10245t t -=，解得4013t =． 当90QPC DAE ∠=∠=︒时，ADE PQC △∽△， ∴PC CQ AE ED =，即10245t t -=，解得257t =． ∴当4013t =或257时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与ADE △相似．坐标系中（函数图象上）动点产生四边形问题：主要讲解两类问题：⑴因动点产生的平行四边形问题 ⑵因动点产生的梯形问题.⑴因动点产生的平行四边形问题的方法与技巧：已知以点A 、点B 为顶点的四边形为平行四边形，寻找平行四边形的另外两个顶点． ①AB 为边：平移型，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形． ②AB 为对角线：旋转型，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形．⑵因动点产生的梯形问题的方法与技巧：如图，已知ABC △和直线l ，在直线l 上找点P ，使以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为梯形．①分别过点A 、B 、C 作BC 、AC 、AB 的平行线与直线l 相交． ②检验以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是否为平行四边形．ABClP 3P 2P 1lCBA思路导航题型二：坐标系中（函数图象上）动点产生四边形问题B BAA6【例4】 在平面直角坐标系中，以点()30A ，为圆心、半径为5的圆与x 轴相交于点B 、C （点B 在点C 的左边），与y 轴相交于点D 、M （点D 在点M 的下方）． ⑴求以直线3x =为对称轴，且经过点D 、C 的抛物线的解析式；⑵若E 为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F ，使得以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点F 坐标；若不存在，说明理由．【解析】 ⑴如图，∵圆以点()30A ，为圆心，半径为5，∴此圆与x 轴交于点()20B -，，()80C ，．连接OD 在Rt AOD △中，90AOD ∠=°，∵3OA =，5AD =，∴4OD =．∴点D 的坐标为(设抛物线的解析式为2y ax bx c =++， ∵抛物线经过点()04D -，，()80C ，， 且对称轴为3x =，∴4320648c b a a b c=-⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=++⎩ 解得14a =，32b =-，4c =-． ∴抛物线的解析式为 213442y x x =--．⑵存在符合条件的点F ，使得以点B 、C 、E 、F 顶点的四边形是平行四边形．情况1：当BC 为平行四边形的一边时，∵10BC =， ∴10EF BC ==．设点()3E t ，，()17F t -，，()213F t ，，将点1F 、2F 分别代入抛物线的解析式，得17574F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，275134F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．情况2：当BC 为平行四边形的对角线时，AE AF =，又∵点F 在抛物线上， ∴点F 必为抛物线的顶点．∴32534F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．综上所述17574F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，275134F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，32534F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．【例5】 抛物线2y x bx c =-++经过直线3y x =-+与坐标轴的两个交点A B 、，抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ． ⑴求此抛物线的解析式；典题精练F 3ECBAF 2F 1E CB7⑵试判断ABD △的形状，并证明你的结论；⑶在坐标轴上是否存在点P 使得以点P 、A 、B 、D 为顶点的四边形是梯形．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】 ⑴∵直线3y x =-+与坐标轴的两个交点坐标分别为()()0330A B ，，，，又抛物线2y x bx c =-++经过这两个点， 则可得0933b c c =-++⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴此抛物线的解析式为223y x x =-++．⑵由⑴可知：C 点坐标为()10-，，顶点D 的坐标为()14，，过D 点作DE y ⊥轴于E ，可知11AE DE ==，，∴45DAE ∠=︒，∵390OA OB AOB ==∠=︒，，∴45OAB ∠=︒，∴18090DAB DAE OAB ∠=︒-∠-∠=︒， ∴ABD △是直角三角形．⑶分以下三种情况讨论：①若BD 为底，则1AP BD ∥与x 轴交于1P 点，由()()3014B D ，，，易知，直线BD 的解析式为26y x =-+， ∴直线1AP 的解析式为23y x =-+，∴1302P ⎛⎫⎪⎝⎭，． ②若AD 为底，则2BP AD ∥与y 轴交于2P 点，由()()0314A D ，，，易知，直线AD 的解析式为3y x =+， ∴直线2BP 的解析式为3y x =-，∴()203P -，．③若AB 为底，则DP AB ∥与y 轴、x 轴分别交于34P P 、， 已知直线AB 的解析式为3y x =-+，∴直线34P P 的解析式为5y x =-+，∴()()340550P P ，，，．综上所述，满足以P A B D 、、、为顶点的四边形是梯形的P 点坐标为1302P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()203P -，，()305P ，，()450P ，．8【例6】 如图，已知抛物线1C ：()225y a x =+-的顶点为P ，与x 轴相交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．⑴求P 点坐标及a 的值；⑵如图⑴，抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的抛物线记为3C ，3C 的顶点为M，当点P M 、关于点B 成中心对称时，求3C 的解析式； ⑶如图⑵，点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线1C 绕点Q 旋转180︒后得到抛物线4C ．抛物线4C 的顶点为N ，与x轴相交于E F 、两点（点E 在点F 的左边），当以点P N F 、、为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．【解析】 ⑴由抛物线1C ：()225y a x =+-得顶点P 的坐标为()25--， ∵点()10B ，在抛物线1C 上，∴()20125a =+-，解得59a =．⑵连接PM ，作PH x ⊥轴于H ，作MG x ⊥轴于G ∵点P M 、关于点B 成中心对称， ∴PM 过点B ，且PB MB =∴PBH MBG △≌△，∴5MG PH ==，3BG BH == ∴顶点M 的坐标为()45，抛物线1C 关于x 轴对称得到2C ，再平移得到3C∴抛物线3C 的解析式为()25459y x =--+⑶∵抛物线4C 由1C 绕着x 轴上的点Q 旋转180︒得到 ∴顶点N P 、关于点Q 成中心对称由⑵得点N 的纵坐标为5，设点N 坐标为()5m ， 作PH x ⊥轴于H ，作NG x ⊥轴于G ，作PK NG ⊥于K ∵旋转中心Q 在x 轴上，∴26EF AB BH ===，∴3FG =，点F 坐标为()30m +，，H 坐标为()20-，，K 坐标为()5m -，，根据勾股定理得22224104PN NK PK m m =+=++，22221050PF PH HF m m =+=++， 2225334NF =+=，①当90PNF ∠=︒时，222PN NF PF +=，解得443m =，∴Q 点坐标为1903⎛⎫⎪⎝⎭，②当90PFN ∠=︒时，222PF NF PN +=，解得103m =，∴Q 点坐标为203⎛⎫ ⎪⎝⎭， C③∵90NPF HPK∠<∠=︒，∴90NPF∠≠︒综上，当Q点坐标为193⎛⎫⎪⎝⎭，或23⎛⎫⎪⎝⎭，时，以点P N F、、为顶点的三角形是直角三角形．910x题型一 坐标系中（函数图象上）动点产生三角形问题 巩固练习 【练习1】 如图，抛物线()()31y a x x =+-与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C ，点C 的坐标为()26-，．⑴求a 的值及直线AC 的函数关系式；⑵P 是线段AC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点交x 轴于点N ．①求线段PM 长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M ，使得CMP △与APN △果存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．【解析】 ⑴由题意得()()62321a =-+--，∴2a =-∴抛物线的函数解析式为()()231y x x =-+-，与x 轴交于()30B -，、()10A ， 设直线AC 的解析式为y kx b =+，则有062k b k b =+⎧⎨=-+⎩，解得22k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为22y x =-+⑵ ①设P 的横坐标为()21a a -≤≤，则()22P a a -+，，()2246M a a a --+， ∴()2221924622224242PM a a a a a a a ⎛⎫=--+--+=--+=-+++ ⎪⎝⎭219222a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴当12a =-时，PM 的最大值为92．②()106M ，；215548M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，提示：1M 通过观察容易得到，2M 需要计算过C 点且与AC 垂直的直线与抛物线的交点，比较复杂；亦或过C 作MN 的垂线，垂足为H ，则CHM PNA △∽△，得到2CHMH=，设P 点的横坐标为m ，通过点坐标与线段的转化，利用比例关系求出m ，进一步求出M 点坐标．题型二 坐标系中（函数图象上）动点产生四边形问题 巩固练习【练习2】 已知：如图所示，关于x 的抛物线()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点()20A -，、点()60B ，，与y 轴交于点C ．复习巩固⑴求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；⑵在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的 解析式；⑶在⑵的条件下直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ，是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】 ⑴根据题意，得4203660a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为2134y x x =-++，顶点坐标是()24，．⑵()43D ，设直线AD 的解析式为()0y kx b k =+≠ ∵直线经过点()20A -，，点()43D ，∴2043k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴112y x =+．⑶存在．()120Q -，，()220Q --，，()360Q -，()460Q +．【练习3】 在平面直角坐标系中，以点(30)A -，为圆心、半径为5的圆与x 轴相交于点B 、C（点B 在点C 的左边），与y 轴相交于点D 、M （点D 在点M 的下方）． ⑴求以直线3x =-为对称轴，且经过点C 、D 的抛物线的解析式； ⑵若点P 是该抛物线对称轴上的一个动点，求PC PD +的取值范围；⑶若E 为这个抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F ，使得以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】 ⑴由A ⊙的圆心为()30-，，半径为5，及各点的位置可知()()()()80200404B C D M --，，，，，，，，∵抛物线的对称轴是3x =-，且经过点C ，∴该抛物线一定经过点B ，∴设抛物线解析式为()()82y a x x =+-，代入()04D -，，可得()482a -=⋅⋅-，解得14a =，∴抛物线解析式为()()2113824442y x x x x =+-=+-． ⑵由B C 、两点关于对称轴对称，则连结BD 与对称轴交于一点P ，此时PC PD +最小，又知BD =∴PC PD +的取值范围是PC PD +≥．⑶①若BC EF ∥，则F 点横坐标为13-或7，这两点关于对称轴对称，∴16939754424F y =--=，∴F 点的坐标为757513744⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，．②若BC EF 、互相平分，则F 点在对称轴上， ∴F 点坐标为2534⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．∴存在点F ，坐标为7575251373444⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，．　【练习4】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21410189y x x =--与y 轴的交点为点B ，与x 轴的交点为点A ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动，线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE OA ∥，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）⑴求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；⑵当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程；⑶当902t <<时，PQF △的面积是否总为定值?若是，求出此定值，若不是，请说明理由；⑷当t 为何值时，PQF △为等腰三角形?请写出解答过程.【解析】 ⑴∵()21818018y x x =--，令0y =，得281800x x --=，()()18100x x -+=，∴18x =或10x =-，∴()180A ，；在21410189y x x =--中，令0x =，得10y =-，即()010B -，； 由于BC OA ∥，故点C 的纵坐标为10-，由2141010189x x -=--，得8x =或0x =即()810C -，，且易求出顶点坐标为9849⎛⎫- ⎪⎝⎭，，于是，()()()180010810A B C --，，，，，，顶点坐标为9849⎛⎫- ⎪⎝⎭，．⑵若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC PA ∥．故只要QC PA =即可，而184PA t CQ t =-=，，故184t t -=，得185t =；⑶设点P 运动t 秒，则4OP t CQ t ==，，0 4.5t <<， 说明P 在线段OA 上，且不与点O 、A 重合，由于QC OP ∥知QDC PDO △∽△，故144QD QC t DP OP t ===，∴4AF t OP ==，∴18PF PA AF PA OP =+=+=．又点Q 到直线PF 的距离10d =，∴1118109022PQF S PF d =⋅⋅=⨯⨯=△，于是PQF △的面积总为90．⑷由⑶知，()()()401840810P t F t Q t +--，，，，，．构造直角三角形后易得()()2222481058100PQ t t t =-++=-+，()()2222184810510100FQ t t t =+-++=++．①若FP FQ =，即()2218510100t =++，故()2252224t +=，∵22 6.5t +≤≤，∴2t +==，∴2t =． ②若QP QF =，即()()2258100510100t t -+=++，无0< 4.5t ≤的t 满足条件； ③若PQ PF =，即22(58)10018t -+=，得2(58)224t -=，∴ 4.5t =>或0t =<都不满足0< 4.5t ≤，故无0< 4.5t ≤的t 满足方程；综上所述：当2t =-时，PQR △是等腰三角形．【练习5】 如图，抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ，它的顶点为A ，连接AB ，把AB所在的直线沿y 轴向上平移，使它经过原点O ，得到直线l ，设P 是直线l 上一动点.⑴求点A 的坐标；⑵以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、 直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标； ⑶设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S ，点P 的横坐标为x ，当46S ++≤时，求x 的取值范围.【解析】 ⑴由()22424y x x x =+=+-，知点A 的坐标为()24--，．⑵ ①如图2，菱形OABP 的顶点P 的坐标为()24-，． ②如图3，等腰梯形OBAP 的顶点P 的坐标为2455⎛⎫- ⎪⎝⎭，．③如图4，直角梯形OPBA 的顶点P 的坐标为4855⎛⎫- ⎪⎝⎭，，直角梯形OBAP '的顶点P '的坐标为61255⎛⎫- ⎪⎝⎭，．⑶ 直线l 的解析式为2y x =-，那么点P 的坐标可表示为()2x x -，．ABO △的面积8ABO S =△．① 当P 在x 轴上方时，184(2)842ABO PBO S S S x x =+=+⨯⨯-=-△△．解不等式组4846x +-+≤≤，得112x -≤．② 当P 在x 轴下方时，ABO △与ABP △是同底等高的三角形，面积相等．因此1842842ABP PBO ABO PBO S S S S S x x =+=+=+⨯⨯=+△△△△．解不等式组4846x +++≤≤112x --≤≤．综上所述，x 的取值范围.是112x --≤112x --≤≤【测试1】点A 在x 轴的负半轴上，4OA =，AB OB ==.将ABO △绕坐标原点O 顺时针旋转90︒，得到11A B O △，再继续旋转90︒，得到22A B O △.抛物线23y ax bx =++经过B 、1B 两点.⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 点2B 是否在此抛物线上，请说明理由；⑶ 在该抛物线上找一点P ，使得2PBB △是以2BB 为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点P 的坐标；⑷ 在该抛物线上，是否存在两点M 、N ，使得原点O 是线段MN 中点，若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】⑴ 过点B 作BE OA ⊥于点E ，∵AB OB =，∴OE =又OB =∴1BE =． ∴(2B -．∴(11B ，)21-．∵抛物线23y ax bx =++经过B 、1B 两点，∴423132a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3132b a ． ∴抛物线的解析式为331322+--=x x y ．⑵ ∵当2x =时，22112231333y =-⨯-⨯+=--≠，∴点()221B -，不在此抛物线上．⑶ 点P 应在线段2BB 的垂直平分线上，由题意可知，12OB BB ⊥且平分2BB ， ∴点P 在直线1OB 上．可求得1OB 所在直线的解析式为2y x =．又点P 是直线2y x =与抛物线221333y x x =--+的交点，由2221333y x y x x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，解得{1112x y ==，22929x y ⎧⎪=-⎨=-⎪⎩． ∴符合条件的点P 有两个，()112P ，即点1B 和2992P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． ⑷存在．⎛ ⎝和． 课后测。

圆、相似三角形、二次函数经典综合题

圆、相似三角形、二次函数经典综合题

中考数学《圆》综合复习【1】已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，EF ∥BC 且交AC 延长线于F ，连结CE.求证：(1)∠BAE=∠CEF ；(2)CE 2=BD ·EF.【2】如图，△ABC 内接于圆，D 为BA 延长线上一点，AE 平分∠BAC 的外角，交BC 延长线于E ，交圆于F.若AB=8，AC=5，EF=14.求AE 、AF 的长.【3】如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上的任意一点（不与点A 、B 重合），连接 CO 并延长CO 交于⊙O 于点D ，连接AD ． (1)弦长AB 等于 ▲ （结果保留根号）； (2)当∠D ＝20°时，求∠BOD 的度数；(3)当AC 的长度为多少时，以A 、C 、D 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．【4】如图，在ABC △中90ACB ∠=，D 是AB 的中点，以DC 为直径的O 交ABC △的三边，交点分别是G F E ，，点．GECD ，的交点为M ，且ME = :2:5MD CO =．（1）求证：GEF A ∠=∠． （2）求O 的直径CD 的长．B CF E A D O .A B D C EF 第9题图【5】如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。

(1)求证：CD 为⊙0的切线；(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度. 【6】【7】如图，已知⊙O 1与⊙O 2都过点A ，AO 1是⊙O 2的切线，⊙O 1交O 1O 2于点B ，连结AB 并延长交⊙O 2于点C ，连结O 2C. （1）求证：O 2C ⊥O 1O 2； （2）证明：AB ·BC=2O 2B ·BO 1；（3）如果AB ·BC=12，O 2C=4，求AO 1的长.O 1O 2A B【8】如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为 直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上一动点，连 结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB=AB ，过点D 作x 轴垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF （1）当∠AOB =30°时，求弧AB 的长度； （2）当DE =8时，求线段EF 的长；（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此 时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【9】 如图（18），在平面直角坐标系中，ABC △的边AB 在x 轴上，且OA OB >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)，，5AB =，A 、B 两点的横坐标A x ，B x 是关于x 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根． （1）求m 、n 的值；（2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则11CM CN+第24题图图（3）l '【10】如图l0．在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10．以AB为直径的⊙O’与y轴正半轴交于点C．连接BC，AC。

专题62 二次函数与圆综合性问题(解析版)

专题62 二次函数与圆综合性问题(解析版)

例题精讲【例1】．如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求证：直线AB与⊙O相切．（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．解：（1）∵抛物线的顶点为A（0，2），∴可设抛物线的解析式为：y＝ax2+2，∵抛物线经过点B（2，0），∴4a+2＝0，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2；（2）证明：∵A（0，2），B（2，0），∴OA＝OB＝2，∴AB＝2，∵OC⊥AB，∴•OA•OB＝•AB•OC，∴×2×2＝×2•OC，解得：OC＝，∵⊙O的半径r＝，∴OC是⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切；（3）∵点P在抛物线y＝﹣x2+2上，∴可设P（x，﹣x2+2），以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，可得：AC＝OM＝，CM＝OA＝2，∵点C是AB的中点，∴C（1，1），M（1，﹣1），设直线OM的解析式为y＝kx，将点M（1，﹣1）代入，得：k＝﹣1，∴直线OM的解析式为y＝﹣x，∵点P在OM上，∴﹣x2+2＝﹣x，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，∴y1＝﹣1﹣，y2＝﹣1+，∴P1（1+，﹣1﹣），P2（1﹣，﹣1+），如图，当点P位于P1位置时，OP1＝＝＝（1+）＝+，∴P1M＝OP1﹣OM＝+﹣＝，当点P位于P2位置时，同理可得：OP2＝﹣，∴P2M＝OP2﹣OM＝﹣﹣＝﹣2；综上所述，PM的长是或﹣2．变式训练【变1-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+2．（2）存在．如图1，作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE；作BF⊥x轴于点F，则F（3，0）．当y＝0时，由x2+x+2＝0，得x1＝1，x2＝4，∴C（4，0），∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣（﹣1）＝4；又∵BF＝2，∴，∵∠BFC＝∠AFB＝90°，∴△BFC∽△AFB，∴∠CBF＝∠BAF，∴∠ABC＝∠CBF+∠ABF＝∠BAF+∠ABF＝90°，∴BC∥AE，∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，∴△BCF≌△EAO（ASA），∴BC＝EA，∴四边形ABCE是矩形；∵OE＝FB＝2，∴E（0，﹣2）．（3）如图2，作FL⊥BC于点L，连结AL、CD.由（2）得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，∴CF＝CD，CB＝＝．∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF（公共角），∴△FCL∽△BCF，∴＝，∴＝，∵∠DCL＝∠BCD（公共角），∴△DCL∽△BCD，∴＝，∴LD＝DB；∵DA+LD≥AL，∴当DA+LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA+DB＝DA+LD＝AL最小．∵CL＝CF＝，∴BL＝＝，∴BL2＝（）2＝，又∵AB2＝22+42＝20，∴AL＝＝＝，DA+DB的最小值为．【例2】．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，∵与y轴交于点C（0，6），∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣，∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴令y＝0，则﹣（x﹣2）2+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，∴BE2＝BC2+CE2，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是直角三角形；（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．理由如下：连结CP，∵CP为半径，∴＝＝，又∵∠FCP＝∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴＝＝，即FP＝EP，∴BF＝BP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．∵CF＝CE，E（2，8），∴由比例性质，易得F（，），∴BF＝＝．变式训练【变2-1】．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，当△ACP是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标；（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D．交OM于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：由y＝x2﹣x﹣4可得C（0，﹣4），设P（x，x2﹣x﹣4），∴AC2＝（﹣2﹣0）2+（0+4）2＝20，CP2＝x2+（x2﹣x）2，AP2＝（x+2）2+（x2﹣x ﹣4）2，∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴AC2+CP2＝AP2，即20+x2+（x2﹣x）2＝（x+2）2+（x2﹣x﹣4）2，∴20+x2+（x2﹣x）2＝x2+4x+4+（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+16，解得x＝0（与C重合，舍去）或x＝3，∴P（3，﹣）；（3）点P在运动过程中线段DE的长不变，理由如下：连接AP、BE，如图：∵＝，＝，∴∠APD＝∠DBE，∠DAP＝∠DEB，∴△ADP∽△EDB，∴＝，∴DE＝，设P（m，m2﹣m﹣4），则D（m，0），∵A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4），∴AD＝m+2，BD＝4﹣m，PD＝﹣（m2﹣m﹣4）＝﹣m2+m+4，∴DE＝＝＝2，∴DE是定值2，∴点P在运动过程中线段DE的长不变，是定值2．1．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与坐标轴相切时，圆心P的坐标可以是（，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1）．解：分两种情况：（1）当⊙P与x轴相切时，依题意，可设P（x，2）或P（x，﹣2）．①当P的坐标是（x，2）时，将其代入y＝x2﹣1，得2＝x2﹣1，解得x＝±，此时P（，2）或（﹣，2）；②当P的坐标是（x，﹣2）时，将其代入y＝x2﹣1，得﹣2＝x2﹣1，无解．（2）当⊙P与y轴相切时，∵⊙P的半径为2，∴当⊙P与y轴相切时，点P到y轴的距离为2，∴P点的横坐标为2或﹣2，当x＝2时，代入y＝x2﹣1可得y＝1，当x＝﹣2时，代入y＝x2﹣1可得y＝1，∴点P的坐标为（2，1）或（﹣2，1），综上所述，符合条件的点P的坐标是（，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1）；故答案为：（，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1）．2．如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．（1）求∠AOB的度数；（2）如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．解：（1）令y＝0，则﹣2x＝0，解得：x＝0或8．∴A（8，0）．∴OA＝8．∵y＝﹣2x＝﹣4，∴B（4，﹣4）．过点B作BD⊥OA于点D，如图，则OD＝4，BD＝4，∴OD＝BD，∴∠AOB＝∠OBD＝45°；（2）①设⊙A与x轴交于点C，则C（4，0）．连接BC，如图，∵B（4，﹣4），∴BC⊥OA．∵CO＝CB＝4，∴△CBO是以OB为底的等腰三角形．∴点M与点C重合时，△MBO是以OB为底的等腰三角形．此时点M（4，0）；过点A作AM⊥x轴，交⊙A于点M，延长MA交⊙A于点E，连接BE，过点M作MF⊥y轴于点F，如图，则M（8，4），E（8，﹣4），F（，4）．∴MF＝ME＝8．∵B（4，﹣4），∴BE∥x轴．∴BE⊥ME，BE＝4．∴∠BEM＝∠MFO＝90°，BE＝OF＝4．在△MOF和△MBE中，，∴△MOF≌△MBE（SAS）．∴MO＝MB．∴△MBO是以OB为底的等腰三角形．此时点M（8，4）；综上，当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，点M的坐标为（4，0）或（8，4）；②设⊙A与x轴交于点C，则C（4，0）．连接BC，CN，AM，如图，∵A（8，0），∴点C是OA的中点．∵N为OM的中点，∴CN是△OMA的中位线．∴CN＝AM＝2．当点M在⊙A上运动时，由三角形的三边的关系定理可知：BC﹣CN≤BN≤BC+CN．∵BC＝4，∴4﹣2≤BN≤4+2．∴线段BN长度的取值范围为：2≤BN≤6．3．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜3，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OB＝3，∵OB＝OC，∴OC＝3，∴C（0，﹣3），∴﹣3a＝﹣3，∴a＝1，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），∵PM⊥x轴，∴P（m，m﹣3），∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴CB＝OB，∴CP＝m，∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，∴∠PCM＝∠NCM，∵PM∥y轴，∴∠NCM＝∠PMC，∴∠PCM＝∠PMC，∴PC＝PM，∴m＝﹣m2+3m，整理得：m2+（﹣3）m＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣，∴P（3﹣，﹣）．（3）如图2，连接BI，OI，EI，作△OBI的外接圆⊙M，连接OM，BM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，∵EF⊥x轴，∴∠BFE＝90°，∴∠FBE+∠FEB＝90°，∵△BEF的内心为I，∴BI，EI分别平分∠FBE，∠FEB，∴∠IBE＝∠FBE，∠IEB＝∠FEB，∴∠IBE+∠IEB＝（∠FBE+∠FEB）＝45°，∴∠BIE＝135°，在△BIO和△BIE中，，∴△BIO≌△BIE（SAS），∴∠BIO＝∠BIE＝135°，∵⊙M是△OBI的外接圆，∴∠OMB＝2×（180°﹣∠BIO）＝90°，∴OM＝BM＝OB＝，∴MI＝OM＝，∴∠MOB＝∠MOH＝45°，∵MH⊥y轴，∴∠HOM＝∠HMO＝45°，∴OH＝HM＝OM＝，∴CH＝OH+OC＝+3＝，∴CM＝＝，∵CI≥CM﹣MI，当且仅当C、M、I三点共线时，CI取得最小值，∴CI的最小值为﹣．4．已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6．（1）试说明对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点；（2）设抛物线与x轴的两个交点A（x1，0）和B（x2，0）（x1＜x2）分别在原点的两侧，且A、B两点间的距离小于6，求m的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点C，在（2）的条件下，试判断是否存在m的值，使经过点C及抛物线与x轴的一个交点的⊙M与y轴的正半轴相切于点D，且被x轴截得的劣弧与是等弧？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可知：y＝（x﹣2）（x﹣2m+3），因此抛物线与x轴的两个交点坐标为：（2，0）（2m﹣3，0），因此无论m取何值，抛物线总与x轴交于（2，0）点；（2）令y＝0，有：x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6＝0，则：x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝4m﹣6；∵AB＜6∴x2﹣x1＜6，即（x2﹣x1）2＜36，（x1+x2）2﹣4x1x2＜36，即（2m﹣1）2﹣4（4m﹣6）＜36，解得﹣＜x＜．①根据A、B分别在原点两侧可知：x1x2＜0，即4m﹣6＜0，m＜．②综合①②可得﹣＜m＜；（3）假设存在这样的m，设圆M与y轴的切点为D，过M作x轴的垂线设垂足为E．①当C点在x轴正半轴时，x＝＞0，因此＜m＜，∵弧BC＝弧CD，因此BC＝CD．OC＝，CD＝BC＝OB﹣OC＝2﹣＝，EC＝BC＝，OE＝MD＝OC+CE＝+＝．易知：OD＝ME，即OD2＝ME2∴CD2﹣OC2＝CM2﹣CE2，（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2；解得m＝，符合m的取值范围．②当C点在x轴负半轴时，x＝＜0，因此﹣＜m＜，同①可求得OC＝，CD＝AC＝，CE＝，MD＝OE＝．同理有：CD2﹣OC2＝MC2﹣CE2（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2化简得：m2＝，∴m＝±，均不符合m的取值范围，因此这种情况不成立．综上所述，存在符合条件的m，且m＝．5．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x＝﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．解：（1）令y＝0，∴x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16，∵m＞0，∴Δ＞0，∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）令y＝0，∴x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0，∴x＝2或x＝﹣（m+2），∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），∴OA＝2，OB＝m+2，令x＝0，∴y＝﹣2（m+2），∴C（0，﹣2（m+2）），∴OC＝2（m+2），①通过定点（0，1）理由：如图，∵点A，B，C在⊙P上，∴∠OCB＝∠OAF，在Rt△BOC中，tan∠OCB＝＝＝，在Rt△AOF中，tan∠OAF＝＝＝，∴OF＝1，∴点F的坐标为（0，1）；②如图1，由①知，点F（0，1），∵D（0，1），∴点D在⊙P上，∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，∴∠DCE＝90°，∵⊙P是△ABC的外接圆，∴点P在抛物线的对称轴上，∴点E在⊙P上，∴DE是⊙P的直径，∴∠DBE＝90°，∵∠BED＝∠OCB，∴tan∠BED＝，设BD＝n，在Rt△BDE中，tan∠BED＝＝＝，∴BE＝2n，根据勾股定理得，DE＝＝n，∴l＝BD+BE+DE＝（3+）n，r＝DE＝n，∴＝＝．6．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M （4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；＝8S△QAB，（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN 且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）如图，连接OC，∵M（4，0），N（0，3），∴OM＝4，ON＝3，∴MN＝5，∴OC＝MN＝，∵CD为抛物线对称轴，∴OD＝MD＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD＝＝＝，∴PD＝PC﹣CD＝﹣＝1，∴P（2，﹣1）；（2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），∴设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2﹣1，∵抛物线过N（0，3），∴3＝a（0﹣2）2﹣1，解得a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3；（3）在y＝x2﹣4x+3中，令y＝0可得0＝x2﹣4x+3，解得x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB＝3﹣1＝2，∵ON＝3，OM＝4，PD＝1，＝S△OMP+S△OMN＝OM•PD+OM•ON＝×4×1+×4×3＝8＝8S△QAB，∴S四边形OPMN＝1，∴S△QAB设Q点纵坐标为y，则×2×|y|＝1，解得y＝1或y＝﹣1，当y＝1时，则△QAB为钝角三角形，而△OBN为直角三角形，不合题意，舍去，当y＝﹣1时，可知P点即为所求的Q点，∵D为AB的中点，∴AD＝BD＝QD，∴△QAB为等腰直角三角形，∵ON＝OB＝3，∴△OBN为等腰直角三角形，∴△QAB∽△OBN，综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．7．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a＝，故二次函数表达式为：y＝x2；（2）将y＝1代入y＝x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1），则MN＝4，∵△PMN是等边三角形，∴点P在y轴上且PM＝4，∴PF＝2；∵点F（0，1），∴点P的坐标为（0，1+2）或（0，1﹣2）；（3）假设二次函数的图象上存在一点E满足条件，设点Q是FN的中点，则点Q（1，1），故点E在FN的中垂线上．∴点E是FN的中垂线与y＝x2图象的交点，∴y＝×12＝，则点E（1，），EN＝＝，同理EF＝＝，点E到直线y＝﹣1的距离为|﹣（﹣1）|＝，故存在点E，使得以点E为圆心半径为的圆过点F，N且与直线y＝﹣1相切．8．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c+1，①当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c＝﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，b＞0，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足＝，求二次函数的表达式．解：①二次函数y＝﹣x2+bx+c+1的对称轴为x＝，当b＝1时，＝，∴当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x＝．②二次函数y＝﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（，），∵二次函数的图象与x轴相切且c＝﹣b2﹣2b，∴，解得：b＝，∴b为，二次函数的图象与x轴相切．③∵AB是半圆的直径，∴∠AMB＝90°，∴∠OAM+∠OBM＝90°，∵∠AOM＝∠MOB＝90°，∴∠OAM+∠OMA＝90°，∴∠OMA＝∠OBM，∴△OAM∽△OMB，∴，∴OM2＝OA•OB，∵二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），∴OA＝﹣x1，OB＝x2，x1+x2，＝b，x1•x2＝﹣（c+1），∵OM＝c+1，∴（c+1）2＝c+1，解得：c＝0或c＝﹣1（舍去），∴c＝0，OM＝1，∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足＝，∴AD＝BD，DF＝4DE，DF∥OM，∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，∴，，∴DE＝，DF＝，∴×4，∴OB＝4OA，即x2＝﹣4x1，∵x1•x2＝﹣（c+1）＝﹣1，∴，解得：，∴b＝﹣+2＝，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+1．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足；当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC 有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．解：①当x1＜x2＜0时，x1﹣x2＜0，∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴y1﹣y2＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，当0＜x1＜x2时，x1﹣x2＜0，∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴y1﹣y2＞0，∴当x＞0时，y随x的增大而减小．∴抛物线关于y轴对称，∴b＝0，∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），∴c＝2，如图，连接OB、OC，设BC y轴于点D．由对称性可知，△ABC为等腰三角形，又∵△ABC有一个内角为60°，∴△ABC是等边三角形，∴OD＝OA＝1，CD＝OD＝，∴B（﹣，﹣1），C（，﹣1），将C点坐标代入y＝ax2+2可求得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．②设直线OM的解析式为y＝k1x，∵O、M、N三点共线，∴x1≠0，x2≠0，且＝，化为x1﹣x2＝，∵x1≠x2，∴x1x2＝﹣2，∴，∴，设点N关于y轴的对称点为N'，则N'的坐标为，∵点P是点O关于点A的对称点，∴OP﹣2OA＝4，即点P的坐标为（0，4），设直线PM的解析式为y＝k2x+4，∵点M的坐标为，∴，∴，∴直线PM的解析式为x+4．∵，即N'在直线PM上，∴PA平分∠MPN．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO 的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF ＝4时，求点P的坐标．解：（1）点B（0，4），则点C（0，2），∵点A（4，0），则点M（2，1）；（2）应该是圆M与直线AD相切，则∠CAD＝90°，设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO＝＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，AC＝，则CD＝＝10，则点D（0，﹣8），将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，将点B坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH＝EF＝2，cos∠PEH＝，解得：PE＝5，设点P（x，x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），则PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，解得x＝或2，则点P（，）或（2，1）．11．如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．解：（1）令ax2+6ax＝0，ax（x+6）＝0，∴A（﹣6，0）；（2）①证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，∴PM⊥OA，∠PBC+∠BDM＝90°，又∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∵CE为切线，∴∠PCB+∠ECD＝90°，又∵∠BDM＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE．②解：设OE＝m，点D的坐标为（t，0），∵∠CAE＝∠CBO，∠CAE＝∠OBE，∴∠CBO＝∠EBO，由角平分线成比例定理可得：，即：，∴，∴，∴，＝，＝．12．抛物线y＝﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y＝t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点B，D的坐标分别为（3，0），（，）；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处，当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t＝0时，点Q是“M”形新图象上一动点．①直接写出“M”形图象AB段的函数关系式；②是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，则﹣x2+x﹣1＝0，解得x＝3或x＝，∴B（3，0），A（，0），令x＝0，则y＝﹣1，∴C（0，﹣1），∵y＝﹣x2+x﹣1＝﹣（x﹣）2+，∴顶点D（，），故答案为：（3，0），（，）；（2）∵E与D关于直线y＝t对称，∴E（，2t﹣），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，﹣1）代入，得，∴，∴y＝x﹣1，当x＝时，y＝﹣，∵E点在△ABC内（含边界），∴2t﹣≥﹣，∴t≥，∵2t﹣≤0，∴t≤，∵t＜，∴t的取值范围是≤t≤；（3）①当t＝0时，y＝﹣x2+x﹣1关于x轴对称的函数为y＝x2﹣x+1，∴“M”形图象AB段的函数关系式为y＝x2﹣x+1（≤x≤3）；②存在点P，理由如下：设Q点的横坐标为m，∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴P点的横坐标为m，当m＞3或m＜时，Q（m，﹣m2+m﹣1），∵△CPQ为直角三角形，∴CQ2＝CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2＝m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，解得m＝或m＝，∴P（，0）或P（，0）；当≤m≤3时，Q（m，m2﹣m+1），∵△CPQ为直角三角形，∴CQ2＝CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2＝m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，解得m＝2或m＝，∴P（，0）或P（1，0）；综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，P点坐标为（，0）或（，0）或（，0）或P（1，0）．13．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），∴c＝2．又∵点（﹣，0）也在该抛物线上，∴a（﹣）2+b（﹣）+c＝0，∴2a﹣b+2＝0（a≠0）．（2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大；同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，∴b＝0．∵OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B、C，∴△ABC为等腰三角形，又∵△ABC有一个内角为60°，∴△ABC为等边三角形．设线段BC与y轴交于点D，则BD＝CD，且∠OCD＝30°，又∵OB＝OC＝OA＝2，∴CD＝OC•cos30°＝，OD＝OC•sin30°＝1．不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，﹣1）．∵点C在抛物线上，且c＝2，b＝0，∴3a+2＝﹣1，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣+2），点N的坐标为（x2，﹣+2）．直线OM的解析式为y＝k1x（k1≠0）．∵O、M、N三点共线，∴x1≠0，x2≠0，且＝，∴﹣x1+＝﹣x2+，∴x1﹣x2＝﹣，∴x1x2＝﹣2，即x2＝﹣，∴点N的坐标为（﹣，﹣+2）．设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣+2）．∵点P是点O关于点A的对称点，∴OP＝2OA＝4，∴点P的坐标为（0，4）．设直线PM的解析式为y＝k2x+4，∵点M的坐标为（x1，﹣+2），∴﹣+2＝k2x1+4，∴k2＝﹣，∴直线PM的解析式为y＝﹣x+4．∵﹣•+4＝＝﹣+2，∴点N′在直线PM上，∴PA平分∠MPN．14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y 轴交于点C，连接AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．解：（1）把点A（3，0），B（4，1）代入y＝ax2+bx+3中，，解得：，所以所求函数关系式为：y＝x2﹣x+3；（2）△ABC是直角三角形，过点B作BD⊥x轴于点D，易知点C坐标为：（0，3），所以OA＝OC，所以∠OAC＝45°，又∵点B坐标为：（4，1），∴AD＝BD，∴∠DAB＝45°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△ABC是直角三角形，圆心M的坐标为：（2，2）；（3）存在取BC的中点M，过点M作ME⊥y轴于点E，∵M的坐标为：（2，2），∴MC＝＝，OM＝2，∴∠MOA＝45°，又∵∠BAD＝45°，∴OM∥AB，∴要使抛物线沿射线BA方向平移，且使⊙M1经过原点，则平移的长度为：2﹣或2+；∵∠BAD＝45°，∴抛物线的顶点向左、向下均分别平移＝个单位长度或＝个单位长度，∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣）2﹣，∴平移后抛物线的关系式为：y＝（x﹣+）2﹣﹣，即y＝（x﹣）2﹣，或y＝（x﹣+）2﹣﹣，即y＝（x﹣）2﹣．综上所述，存在一个位置，使⊙M1经过原点，此时抛物线的关系式为：y＝（x﹣）2﹣或y＝（x﹣）2﹣．15．已知抛物线C1：y＝ax2过点（2，2）（1）直接写出抛物线的解析式y＝x2；（2）如图，△ABC的三个顶点都在抛物线C1上，且边AC所在的直线解析式为y＝x+b，若AC边上的中线BD平行于y轴，求的值；（3）如图，点P的坐标为（0，2），点Q为抛物线上C1上一动点，以PQ为直径作⊙M，直线y＝t与⊙M相交于H、K两点是否存在实数t，使得HK的长度为定值？若存在，求出HK的长度；若不存在，请说明理由．解：（1）把点（2，2）坐标代入y＝ax2，解得：a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2；（2）把y＝x+b和y＝x2得：x2﹣2x﹣2b＝0，设A、C两点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2b，点D坐标为（，），即；D（1，1+b），B坐标为（1，），AC2＝[（x2﹣x1）]2＝16b+8BD＝+b，∴＝16；（3）设点Q坐标为（a，a2），点P的坐标为（0，2），由P、Q坐标得点M的坐标为（，a2+1），设圆的半径为r，由P（0，2）、M两点坐标可以求出r2＝+（a2﹣1）2＝a4﹣a2+1，设点M到直线y＝t的距离为d，则d2＝（a2+1﹣t）2＝a4+a2+1+t2﹣2t﹣a2t，则HK＝2＝2，当t﹣＝0时，HK为常数，t＝，HK＝．16．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；（2）如图1，已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，求△POA 周长的最小值；（3）如图2，已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD．若∠CPD＝120°，求a的值．解：（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，∴二次函数图象与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），∵点P（2，2），∴PA＝PB＝PC＝，∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．（2）如图1，连接PH，∵二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，∴△POA周长的最小值为6．（3）如图2，连接CD，PA，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，∵AB＝，∴AF＝BF＝，∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），∴∠PCD＝∠PDC＝30°，设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l为，∴，即，在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，∴，即，化简，得，解得，∴．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx﹣c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）当x＝5时，y＝x2﹣x﹣2＝3，故D的坐标为（5，3），令y＝0，则x＝4（舍去）或﹣1，故点A（﹣1，0），如图，连接BD，作BN⊥AD于N，∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），∴AD＝3，BD＝，AB＝5，＝＝，∵S△ABD∴BN＝，∴sin∠BDN＝＝＝，∴∠BDN＝45°，∴∠ADB＝∠BDN＝45°；（3）不变．如图，连接MQ，MB，∵过点B作⊙M的切线交1于点P，∴∠MBP＝90°，∵∠MBO＝45°，∴∠PBH＝45°，∴PH＝HB＝2.5，∵＝＝，＝＝，∵∠HMQ＝∠QMP，∴△HMQ∽△QMP，∴＝＝，∴在点Q运动过程中的值不变，其值为．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2＝x2﹣2x①；（2）①点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），当点P在x轴下方时，如图1，∵tan∠MBC＝2，故设直线BP的表达式为：y＝﹣2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s＝2，故直线BP的表达式为：y＝﹣2x+2②，联立①②并解得：x＝±2（舍去﹣2），故m＝2；当点P在x轴上方时，同理可得：m＝4±2（舍去4﹣2）；故m＝2或4+2；②存在，理由：连接BN、BD、EM，则BN是△OEM的中位线，故BN＝EM＝，而BD＝＝，在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即﹣0.5≤ND≤+0.5，故线段DN的长度最小值和最大值分别为﹣0.5和+0.5．19．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．解：（1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y ＝x 2﹣4x +3；（2）1°设直线BC 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则，解得，，∴直线BC 的解析式为：y ＝﹣x +3，设M （t ，﹣t +3）（0＜t ＜3），则N （t ，t 2﹣4t +3），∴MN ＝﹣t 2+3t ＝﹣，∴当t ＝时，MN 的值最大，其最大值为；2°∵△PMN 的外接圆圆心Q 在△PMN 的边上，∴△PMN 为直角三角形，由1°知，当MN 取最大值时，M （），N （），①当∠PMN ＝90°时，PM ∥x 轴，则P 点与M 点的纵坐标相等，∴P 点的纵坐标为，当y ＝时，y ＝x 2﹣4x +3＝，解得，x ＝，或x ＝（舍去），∴P （）；②当∠PNM ＝90°时，PN ∥x 轴，则P 点与N 点的纵坐标相等，∴P 点的纵坐标为﹣，当y ＝﹣时，y ＝x 2﹣4x +3＝﹣，解得，x ＝，或x ＝（舍去），∴P （，）；③当∠MPN ＝90°时，则MN 为△PMN 的外接圆的直径，∴△PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，∴Q（），半径为，过Q作QK∥x轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图②，令y＝，得y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝＜（舍），或x＝，∴K（，），∴QK＝＞，即K点在以MN为直径的⊙Q外，设抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为点L，则l（2，﹣1），连接LK，如图②，则L到QK的距离为，LK＝，设Q点到LK的距离为h，则，∴＝，∴直线LK下方的抛物线与⊙Q没有公共点，∵抛物线中NL部分（除N点外）在过N点与x轴平行的直线下方，∴抛物线中NL部分（除N点外）与⊙Q没有公共点，∵抛物线K点右边部分，在过K点与y轴平行的直线的右边，∴抛物线K点右边部分与⊙Q没有公共点，综上，⊙Q与MN右边的抛物线没有交点，∴在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使△PMN的外接圆圆心Q在MN边上；综上，点P的坐标为（）或（）．20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式；（2）如图1，直线y＝kx+1（k＜0）与抛物线交于P，Q两点，交抛物线的对称轴于点T，若△QMT的面积是△PMT面积的两倍，求k的值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．解：（1）根据表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），令y＝kx+1＝﹣x2+2x+3，整理得：x2+（k﹣2）x﹣2＝0，∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣2①，∵△QMT的面积是△PMT面积的两倍，∴MT•（x2﹣1）＝2×MT•（1﹣x1），∴2x1+x2＝3，即x2＝3﹣2x1②，将②代入①得：2x12﹣3x1﹣2＝0，解得：x1＝2或，∴或，∴k＝1或，∵k＜0，∴k＝﹣；（3）线段EF的长为定值1，如图，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，∵EF⊥x轴，∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，∵F（t，0），∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠DAF+∠BED＝180°，∵∠BEF+∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴，∴，∴EF＝＝＝1，∴线段EF的长为定值1．21．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴．（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）现有一个以原点O为圆心，长为半径的圆沿y轴正半轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，问几秒后⊙O与直线AC相切？解：（1）设0＝﹣x2+2x+3，解得：x＝﹣1或3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x相交于AB（点A点B左侧），∴A（﹣1，0），B（3，0），∵抛物线与y轴相交于点C，∴C（0，3），∴抛物线的对称轴是：直线x＝1．（2）①设直线BC的函数关系式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入，得，解得：k＝﹣1，b＝3∴直线BC的函数关系式为y＝﹣x+3．当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴E（1.2）．当x＝m时，y＝﹣m+3，∴P（m，﹣m+3）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝1时，y＝4，∴D（1，4）．当x＝m时，y＝﹣m2+2m+3，∴F（m，﹣m2+2m+3），∴线段DE＝4﹣2＝2，线段PF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∵PF∥DE∴当PF＝DE时，四边形PEDF为平行四边形．由﹣m2+3m＝2，解得m＝2或m＝1（不合题意，舍去）．因此，当m＝2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB＝OM+MB＝3．+S△CPF，∵S＝S△EPF即S＝PF•BM+PF•OM＝PF（BM+OM）＝PF•OB，∴S＝×3（﹣m2+3m）＝﹣m2+m（0≤m≤3）∴当m＝﹣＝时S最大值＝；。

二次函数与圆的综合压轴题

二次函数与圆的综合压轴题

二次函数与圆的综合压轴题
一、题目描述
本题是一道综合性的数学题，涉及到二次函数和圆的相关知识。

具体要求如下：
给定一个二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 和一个圆 $x^2+y^2=r^2$，其中 $a,b,c,r$ 均为已知常数，且 $a\neq0$。

请编写一个函数，判断该二次函数与圆是否有交点，并输出交点的坐标。

二、解题思路
1. 二次函数与圆的关系
首先，我们需要了解二次函数和圆之间的关系。

对于一个二次函数$y=ax^2+bx+c$ 和一个圆 $x^2+y^2=r^2$，它们之间可能存在以下三种情况：
（1）没有交点：当二次函数和圆分离时，它们没有交点。

（2）相切：当二次函数和圆相切时，它们只有一个交点。

（3）相交：当二次函数和圆相交时，它们有两个交点。

接下来，我们需要确定如何求出这些交点的坐标。

2. 求解交点坐标
对于一条直线和一个圆之间的交点坐标可以通过联立直线方程和圆方程求解。

但是对于一个二次函数而言，并不存在明确的直线方程。

因此，在本题中，我们可以通过以下步骤求解交点坐标：
（1）将二次函数和圆的方程联立，得到一个关于 $x$ 的二次方程。

（2）解出该二次方程的根，即为交点的横坐标。

（3）将横坐标代入二次函数或圆的方程中，求出相应的纵坐标。

最后，我们需要根据交点个数输出不同的结果。

如果没有交点，则输出“无交点”；如果有一个交点，则输出该交点坐标；如果有两个交点，则输出两个交点坐标。

三、代码实现
下面是本题的完整代码实现：。

常考二次函数综合题整理(全)

常考二次函数综合题整理(全)

常考二次函数综合题整理 题型一最短路径问题1、如图，抛物线y=﹣12x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．【变式】如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；题型二最大面积（线段最长）问题2、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？并求出这个最大值．3、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH△x轴于点H，与BC交于点M，连接PC，求线段PM的最大值.【变式】如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，过点P作PE△y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；题型三 存在点构成等腰三角形问题4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.5、如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A （1，0），B （3，0），交y 轴于点C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．【变式】已知二次函数y=ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）、C （0，3），与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,2C -，点A 的坐标是()2,0，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线1x =-.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在第二象限内，且14PE OD =，求PBE ∆的面积． （3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的下方，是否存在点M ，使BDM ∆是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型四 存在点构成直角三角形问题6、如图，抛物线2y ax bx 4=+-经过()A 3,0-，()B 5,4-两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．()1求抛物线的表达式；()2求证：AB 平分CAO ∠；()3抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM V 是以AB 为直角边的直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．●题型四存在点构成等腰直角三角形问题7、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE△x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．●题型四存在点构成平行四边形问题8、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．()B-，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.0,5（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．9、如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与直线AB：y=12x+12相交于点A（1，0）和B（t，52），直线AB交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．10、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．11、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使△BQC=△BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．12、如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于△ACB 的2倍时，请直接写出点M的坐标【变式】如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE△BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得△CDE 中有一个角与△CFO 相等？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型七 存在点使三角形相似问题13、如图，以D 为顶点的抛物线y=﹣x 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14、如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣12x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【变式】抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（32，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求△ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE△AC，当△DCE 与△AOC相似时，求点D的坐标．【变式】如图，抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ△PA交y轴于点Q，问：是否存在点P 使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型七二次函数与圆结合问题15、如图，△E的圆心E（3，0），半径为5，△E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与△E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．16、如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣x+与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．（1）求抛物线m的解析式；（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B （点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP△x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.。

【2021中考专题】二次函数与圆综合压轴题

【2021中考专题】二次函数与圆综合压轴题

【2021中考专题】二次函数与圆综合压轴题★初中数学研学堂★★方法揭秘★解决函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径.常见的考法有：1. 直线与圆的位置关系：平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有：(1)利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题（2)利用勾股定理解决问题（3) 利用相似列出比例式解决问题2.函数与圆的新定义题目：利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟3.函数与圆的性质综合类问题：利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素和“临界位置”.01★典例剖析★如图，抛物线y＝ax2+9/4x+c经过点A（-1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y 轴，交抛物线于点P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．010202典例剖析★在平面直角坐标系中，二次函数y=1/2x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC=15/2，求点P的坐标；（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．010203【二次函数压轴】相似三角形存在性问题的解题策略【二次函数压轴】5种解题策略带你玩转45°角【2021中考】一道综合性较强的以等边三角形为背景的几何压轴题【2021中考】一道相似压轴题解法微探【2021中考专题】二次函数压轴题之角的存在性【2021中考】分享一道相似三角形几何压轴题【2021中考】两道网研几何综合题解法探究【2021中考】一道网研几何综合题的解法探究倍半角、相似基本型破解几何压轴题【2021中考备考干货分享】最值系列之胡不归模型★公众号★。

2024中考备考重难点01 二次函数与几何的综合训练(9大题型+限时分层检测)

2024中考备考重难点01 二次函数与几何的综合训练(9大题型+限时分层检测)

重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。

所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。

中考专题：圆与二次函数结合题

中考专题：圆与二次函数结合题

中考专题： 圆与函数综合题1、如图，平面直角坐标系中，以点C （2，3）为圆心，以2为半径的圆与轴交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式．￥（2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线23y x bx c =-++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB 若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．|~3、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,0），（1a,16）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2），(1)求a,b,c 的值；~(2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交；（3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()212x ,0x x 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。

|4、如图，二次函数y =x 2+bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）.·（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.{.5、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。

原题：如图1，在⊙O 中，MN 是直径，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，∠AOC =90°，AB =3，CD =4，则BD = 。

2024年中考数学综合与实践：圆、二次函数有关重难点题型

2024年中考数学综合与实践：圆、二次函数有关重难点题型

综合与实践、圆、二次函数有关重难点题型题型一综合与实践1.综合与实践问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形”为主题开展数学活动，并提出如下问题：如题2-1图，将等腰Rt△ABC的直角边AC与等腰Rt△ADC的斜边AC 重合，∠BAC=∠ADC=90°,试判断线段BC 与CD之间的数量关系，并加以证明.(1)数学思考：请你解答老师提出的问题；(2)猜想证明：如题2-2图，点 E 是线段AD上的一个动点(不与A，D重合)，连接CE，过点 E作EF⊥CE,分别交AB,AC于F,G两点,连接FC,试判断△CEF的形状，并说明理由.2.综合与实践【阅读理解】如题1-1图，在△ABC中，AM是BC边上的高线，由勾股定理得AM²=AB²−BM²,AM²= AC²−CM²,故AB²−BM²=AC²−CM².【知识迁移】如题1-2 图,在矩形ABCD中,当点P在矩形ABCD内任意位置时,连接AP,BP,CP,DP.求证: AP²+ CP²=BP²+DP².【探索发现】如题1-3 图，若点 P在矩形ABCD 的外部时，上述结论是否仍然成立?请加以判断，并说明理由.【尝试应用】如题1-4图，在△ABC中, AB=3,AC=4,Q为平面内一点，且AQ=1,∠BQC=90°,求 BC 的最大值.3.如题1-1图,正方形ABCD的边AB上有一点E,连接DE.(1)若AD=3AE,则sin∠ADE= ;(2)如题1-2图，将边 CB绕点 C顺时针旋转，旋转角为α，使得点 B 的对应点 F 落在DE上(点F不与点D 重合),连接BF,求∠BFE的度数;(3)如题1-3图,在(2)的条件下,若E为AB的中点,DF=n,正方形ABCD的面积为S,求S关于n的函数关系式.4.小颖在学习了摩擦力的相关知识后，准备在水平面上探究滑动摩擦力与压力之间的关系，探究步骤如下：第一步：如题3-1图，在一水平放置的木板上放置一个质量为1kg的木块(压力大小=重力大小)，用弹簧测力计沿水平方向拉动木块，使木块做匀速直线运动(滑动摩擦力的大小可以由弹簧测力计读出)；第二步：在木块上增加质量不同的砝码，使木块做匀速直线运动；当在木块上增加质量不同的砝码后，设弹簧测力计所拉物体的质量为m(kg)，弹簧测力计的示数为F(N)，通过多次测量，得到如下数据：(1)把表中的图的坐标系中，描点，连线，画出弹簧测力计拉力F关于物体质量m的图象；(2)观察所画的图象，猜测F和m之间的函数关系，求出函数表达式；(3)小颖将水平拉动木块实验变成在斜面拉动木块实验，如题3-3图，用弹簧测力计拉着木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动.经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力 F(N)是高度h(m)的一次函数.当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为2N，高度h每增加0.1m，弹簧测力计的读数增加0.8N，若弹簧测力计的最大量程是8N，求装置高度h的取值范围.5.综合与实践某数学实验小组在学习了电阻的知识后，计划通过实验探究铂电阻在0∼100°C范围内的温度特性，具体过程如下：【知识背景】电阻温度计是根据导体电阻随温度而变化的规律来测量温度的温度计，铂电阻温度计是最精确的温度计.【实验过程】如题2-1图，将电阻温度计接入电路，开始使导体温度升温，控制温度在( 0°C−100°C范围内，每升温20°C记录一次指示仪表输出的电阻值(单位：Ω)，实验完毕后，关闭所有电源.【收集数据】记录的数据如下表：(1)如题2-2图，建立平面直角坐标系，横轴表示温度( (°C),纵轴表示电阻值(Ω)，描出以上表中的数据为坐标的各点，并进行连线；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，若在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出解析式，若不在同一条直线上，请说明理由；(3)当温度为50°C时，求铂电阻的电阻值.题型二圆的综合题1. 如题1图, △ABC内接于⊙O,AB是⊙O 的直径,分别过点 C 作⊙O 的切线，过点 O作AB的垂线，两线相交于点 D.(1)求证: ∠D=2∠A;(2)请用无刻度的直尺和圆规过点O 作AC 的垂线交AC 于点 E(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下,若AB=8,CD=3,求OE的长.2. 如题2图, △ABC内接于⊙O,延长BA至点D,连接DC,使DB=DC,过点A作AE⊥AB交DC于点E,连接B E,BE 与AC相交于点F，且满足∠ADE=2∠EAC.(1)求证:CA=CB;(2)若AD:AB=1:4,求tan∠ABC的值；的值.(3)在(2)的条件下,求AFFC3.如题1-1图, △ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,CD是∠ACB的平分线,交⊙O 于点D,连接OD,交AB于点E.(1)求证:OD∥AC;,求直线AF与⊙O的位关系.(2)如题1-2图,延长OD至点 F,连接AF,使得AF=BC,且tanB=12在△ABC中,AB=AC,点O是AB边上一动点,以点O为圆心,OB长为半径作圆,交BC于点 D.过点 D作DE⊥AC,垂足为E.(1)如题2-1图,若点O为AB的中点,求证:BD=CD;(2)如题2-2图,当点O为AB 上任意一点时,求证:DE 与⊙O 相切;(3)如题2-3图,若⊙O与AC相切于点F,且⊙O的半径为3,CE=1,求AF的长.如题4图,四边形ABCE内接于⊙O, AB=AC,CE⊥BC,，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点 D.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若DE=2,AE平分∠CAD,求⊙O的半径；(3)新考法探究线段数量关系若( CE=m,DE=n,⊙O的直径为d，探究m，n与d的数量关系，并说明理由.题型三二次函数综合题1. 已知抛物线y₁=ax²−4ax+c经过点(3,−2),与x轴交于点A(x₁,0),B两点.(1)若抛物线过点(−1,2),求抛物线的解析式；(2)若−1<x₁<0,点P(5,n)(n⟩0))在该抛物线上，求a的取值范围；(3)若抛物线y₁向上平移两个单位长度后得到抛物线y₂，抛物y₁与直线y₁=kx+b(k≠0)交于点(x₁,0)(x₁<2),且函数y=y₁+y₁的图象与x轴仅有一个交点.求证：k=2a.2.如题2图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x²+bx+c交x轴于A,B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),连接AC,BC.(1)求抛物线的解析式；(2)N是线段AC上一点，过点N作NN′⊥x轴于点N′,若△ABC的面积被 NN'分为1∶2的两部分，求点N 的坐标；(3)将抛物线向左平移m(m⟩0))个单位长度，与原抛物线的交点为点 D,连接 AD,BD,AC 与 BD 相交于点 E,若△ADE与△BCE的面积差为1，求m的值.3.已知抛物线y=25x2+bx+c的顶点坐标为(−2,185),与x轴交于点A,B(点A在点 B左侧),与y轴交于点C.(1)求b,c的值;(2)点M(-4，2)，N是抛物线上两点，若点N到对称轴的距离等于点M到对称轴距离的2倍，求点 N的坐标；(3)若点 P是第二象限内抛物线上一点，连接PB交AC于点D,求PDBD的最大值.x−3与x轴，y轴交于A，B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，M是射线4.如题2图,直线y=34BA上一动点，过点 M作MN∥y轴交抛物线于点 N.(1)求抛物线的解析式；(2)当M在线段BA上时,连接AN,BN,若S∆ABN=S∆ABO,求此时点M的坐标；(3)新考法与点的运动结合点M从点 B 出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，MB=MN?请直接写出所有符合条件的t值.5.如题3图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx−2(a≠0)与x轴交于点A(−1,0),B(0)，与y 轴交于点 C，点P为直线BC下方抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点P作PE⊥x轴于点 E，连接OP，是否存在点 P 使得. ∠OPE=∠ABC?若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；(3) 将抛物线沿着x轴翻折，点P 的对应点为P′,连接P'B,求△P′CB面积的最大值及此时点 P的坐标.。

2020年中考数学二轮专项特训——圆的综合应用(含详细解答)

2020年中考数学二轮专项特训——圆的综合应用(含详细解答)

2020年中考数学二轮专项特训——圆的综合应用专训1圆中常见的计算题型名师点金：与圆有关的计算主要涉及圆与其他几何图形结合，利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量，利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积等．有关角度的计算1．如图，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点．若∠DEF＝52°，则∠A的度数为()A．76°B．68°C．52°D．38°(第1题)(第2题) 2．如图，有一圆经过△ABC 的三个顶点，且弦BC 的中垂线与AC ︵相交于D点．若∠B ＝74°，∠C ＝46°，则AD ︵所对圆心角的度数为( )A ．23°B ．28°C ．30°D ．37°3．(中考·娄底)如图，在⊙O 中，AB ，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD ，BC ，BD.(1)求证：△ABD ≌△CDB ；(2)若∠DBE ＝37°，求∠ADC 的度数．(第3题)半径、弦长的计算4．(中考·南京)如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2 2 cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为________．(第4题)(第5题)5．如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD ＝OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是CF ︵的中点，弦CF 交AB 于点E.若⊙O 的半径为2，则CF ＝________.6．如图，在⊙O 中，直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，OD ＝30 cm .求直径AB 的长．(第6题)面积的计算7．(2015·丽水)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F.(1)求证：DF⊥AC；(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．(第7题)专训2圆中常用的作辅助线的方法名师点金：在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等．作半径，巧用同圆的半径相等1．如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方形的边长为4 cm，求该半圆的半径．(第1题)连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足为H，求证：AP＝BH.(第2题)作直径，巧用直径所对的圆周角是直角3．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．(第3题)证切线时辅助线作法的应用4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．(第4题)遇弦加弦心距或半径5．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为()A．3 B．4 C．3 2 D．4 2(第5题)(第6题)6．(中考·贵港)如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝23，OH＝1，则∠APB＝________.遇直径巧作直径所对的圆周角7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC 于点D，E，且点D是BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形．(2)求DE的长．(第7题)遇切线巧作过切点的半径8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA 切⊙O于点A，且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)已知PA＝3，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．(第8题)巧添辅助线计算阴影部分的面积9．(中考·自贡)如图，点B ，C ，D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 的延长线于点A ，连接CD ，且∠CDB ＝∠OBD ＝30°，DB ＝6 3 cm .(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)求由弦CD ，BD 与BC ︵所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．(第9题)专训3圆的实际应用名师点金：与圆有关的知识在实际生活中有着广泛的应用，从实际生活中抽象出数学问题，并运用圆的相关知识解决这些问题，可以达到学以致用的目的．利用垂径定理解决台风问题1．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30 km/h，受影响区域的半径为200 km，B市位于点P北偏东75°的方向上，距离P点320 km处．(1)试说明台风是否会影响B市；(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．(第1题)利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想)2．如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门．从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？(第2题)利用直线与圆的位置关系解决范围问题3．已知A，B两地相距1 km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个以C为圆心，350 m为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？(第3题)利用圆锥侧面展开图解决材料最省问题4．如图，某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为20 cm，高为40 2 cm的圆锥形漏斗，要求只能有一条接缝(接缝忽略不计)，请问：选长、宽分别为多少厘米的矩形铁皮，才能使所用材料最省？(第4题)专训4与圆有关的动态问题名师点金：对于与圆有关的运动情形下的几何问题，在探究求值问题时，通常应对运动过程中所有可能出现的不同情形进行分析，如果符合某些条件的点、线等几何图形不唯一，要注意分类讨论，在探究确定结论成立情况下的已知条件时，可以把确定结论当作已知用．利用圆探究运动中形成的特殊几何图形问题1．如图，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿AB向点B以1 cm/s的速度移动，若AB长为10 cm，点O到BC的距离为4 cm.(1)求弦BC的长；(2)经过几秒△BPC是等腰三角形？(PB不能为底边)(第1题)2．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P 是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.(1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；(2)在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(第2题)利用圆探究运动中的特殊位置关系问题3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝12 cm，AD ＝8 cm，BC＝22 cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动，P，Q分别从点A，C同时出发．当其中一动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t s．当t为何值时，PQ与⊙O相切？(第3题)利用圆探究运动中的面积问题4．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC＝4，∠OAC＝60°.(1)求∠AOC的度数；(2)如图，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO＝S△CAO时，求动点M所经过的弧长．(第4题)专训5几种常见的热门考点名师点金：圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点．本章题型广泛，主要考查圆的概念、基本性质以及圆周角定理及其推论，直线与圆的位置关系，切线的性质和判定，正多边形与圆的计算和证明等，通常以这些知识作为载体，与函数、方程等知识综合考查．垂径定理及其推论的应用1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为()A.95B.245C.185D.52(第1题)(第2题)2．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分．如果水面AB 的宽为8 cm，水的最大深度为2 cm，那么该输水管的半径为() A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm圆心角与圆周角3．如图所示，AB是⊙O的直径，AB⊥弦CD于点E，∠BOC＝70°，则∠ABD ＝()A．20°B．46°C．55°D．70°(第3题)(第4题)4．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°5．如图所示，C 为半圆上一点，AC ︵＝CE ︵，过点C 作直径AB 的垂线CP ，P 为垂足，弦AE 交PC 于点D ，交CB 于点F.求证：AD ＝CD.(第5题)点、直线与圆的位置关系6．已知⊙O的半径为4 cm，A为线段OP的中点，当OP＝7 cm时，点A 与⊙O的位置关系是()A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，r 为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为()A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm8．设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP＝m，且m使得关于x的方程2x2－22x＋m－1＝0有实数根，则直线l与⊙O()A．相离或相切B．相切或相交C．相离或相交D．无法确定切线的判定与性质(第9题)9．(中考·哈尔滨)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连结OC交⊙O于点D，连结BD，∠C＝40°，则∠ABD的度数是()A．30°B．25°C．20°D．15°10．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连结AD并延长，与BC相交于点E.(1)若BC＝3，CD＝1，求⊙O的半径；(2)取BE的中点F，连结DF，求证DF是⊙O的切线．(第10题)与圆有关的计算11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为()(第11题) A．25π－6B.252π－6C.256π－6D.258π－612．(2015·兰州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°，①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．(结果保留根号和π)(第12题)圆与其他知识的综合类型1：圆与三角形的综合13．(2015·成都)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF ＝BC.⊙O 是△BEF 的外接圆，连结BD.(1)求证：△ABC ≌△EBF ；(2)试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．(第13题)类型2：圆与四边形的综合14．(2015·天津)已知A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，四边形OABC 是平行四边形，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D.(1)如图①，求∠ADC 的大小；(2)如图②，经过点O 作CD 的平行线，与AB 交于点E ，与AB ︵交于点F ，连结AF，求∠FAB的大小．(第14题) 类型3：圆与函数的综合15．如图，直线y＝－34x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F.(1)如图①，当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；(2)如图②，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径r；(3)在⊙C的移动过程中，能否使△OEF是等边三角形？(只回答“能”或“不能”)(第15题)专训6圆与二次函数的综合名师点金：圆与二次函数的综合，一般会涉及勾股定理、相似三角形的判定、求二次函数的表达式、求直线对应的函数表达式、切线的判定与性质，综合考察的知识点较多，同学们注意培养自己解答综合题的能力，关键还是基础知识的掌握，要能将所学知识融会贯通，有的问题的解法不止一种，同学们可以积极探索其他解法．二次函数中利用全等证明圆与直线的位置关系1．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C(－2，0)，D(－8，0)两点，与y轴相切于点B(0，4)．(1)求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数表达式；(2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切．(第1题)利用直线与圆的位置关系求直线对应的函数表达式2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)以AB为直径作⊙M，一直线经过点E(－1，－5)，并且与⊙M相切，求该直线对应的函数表达式．(第2题)利用圆的有关性质求抛物线对应的函数表达式3．(2015·烟台节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为(－1，0)，(0，－2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧ED上的点F作FH⊥AD于点H，且FH＝1.5.(1)求点D的坐标及该抛物线对应的函数表达式；(2)若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标.(第3题)二次函数中利用勾股定理的逆定理证明直线与圆的位置关系4．如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C(0，4)，与x轴相交于A、B两点，且AB＝6.(1)求D点的坐标和圆D的半径；(2)求sin∠ACB的值和经过C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式；(3)设抛物线的顶点为F，证明直线AF与圆D相切．(第4题)答案专训1 1．A2．B 点拨：∵有一圆经过△ABC 的三个顶点，且弦BC 的中垂线与AC ︵相交于D 点，∴AB ︵所对的圆心角的度数＝2∠C ＝2×46°＝92°，ADC ︵所对的圆心角的度数＝2∠B ＝2×74°＝148°＝AD ︵所对的圆心角的度数＋DC ︵所对的圆心角的度数＝AD ︵所对的圆心角的度数＋BAD ︵所对的圆心角的度数＝AD ︵所对的圆心角的度数＋AB ︵所对的圆心角的度数＋AD ︵所对的圆心角的度数，∴AD ︵所对的圆心角的度数＝12(148°－92°)＝28°.故选B .3．(1)证明：∵AB ，CD 是直径，∴∠ADB ＝∠CBD ＝90°. 在Rt △ABD 和Rt △CDB 中， ⎩⎨⎧AB ＝CD ，BD ＝DB ，∴Rt △ABD ≌Rt △CDB(HL )．(2)解：∵BE 是切线，∴AB ⊥BE.∴∠ABE ＝90°. ∵∠DBE ＝37°，∴∠ABD ＝53°.∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠BAD ＝90°－53°＝37°， 即∠ADC 的度数为37°.4．2 cm 点拨：连接OB ，∵∠BCD ＝22°30′，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝45°.∵AB ⊥CD ，∴BE ＝AE ＝12AB ＝12×22＝2(cm )，△BOE 为等腰直角三角形，∴OB ＝2BE ＝2 cm ，故答案为2 cm .5．2 36．解：连接OC.∵∠A ＝30°，∴∠COD ＝60°. ∵DC 切⊙O 于C ，∴∠OCD ＝90°.∴∠D ＝30°.∵OD ＝30 cm ，∴OC ＝12OD ＝15 cm . ∴AB ＝2OC ＝30 cm .(第7题) 7．(1)证明：如图，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ODB＝∠ACB.∴OD∥AC.∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD.∴DF⊥AC.(2)解：如图，连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝45°.∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°.∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE ＝4π，S△AOE＝8.∴S阴影＝S扇形AOE－S△AOE＝4π－8.专训2(第1题)1．解：连接OA ，OF ，如图．设OA ＝OF ＝r cm ，AB ＝a cm .在Rt △OAB 中，r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2，在Rt △OEF 中，r 2＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋a 22，∴a 24＋a 2＝16＋16＋4a ＋a24，解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)．∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＋82＝80，∴r 1＝45，r 2＝－45(舍去)，即该半圆的半径为4 5 cm .点拨：在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题．2．证明：连接AD ，BD.∵∠DAC ，∠DBC 是DC ︵所对的圆周角． ∴∠DAC ＝∠DBC.∵CD 平分∠ACM ，DP ⊥AC ，DH ⊥CM ，∴DP ＝DH. 在△ADP 和△BDH 中， ⎩⎨⎧∠DAP ＝∠DBH ，∠DPA ＝∠DHB ＝90°，DP ＝DH ，∴△ADP ≌△BDH ，∴AP ＝BH.点拨：本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC ＝∠DBC ，为证两三角形全等创造了条件．3．(1)证明：过点D 作⊙O 的直径DE ，连接AE ，EC ，AC. ∵DE 是⊙O 的直径，∴∠ECD ＝∠EAD ＝90°. 又∵CD ⊥AB ，∴EC ∥AB ， ∴∠BAC ＝∠ACE. ∴BC ︵＝AE ︵.∴BC ＝AE.在Rt △AED 中，AD 2＋AE 2＝DE 2， ∴AD 2＋BC 2＝4R 2.(2)解：过点O作OF⊥AD于点F.∵弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，∴AD＝5，BC＝1.由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，∴52＋12＝4R2，∴R＝26 2.∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，∴OF∥EA.又∵O为DE的中点，∴OF＝12AE＝12BC＝12，即点O到AD的距离为12.点拨：本题作出直径DE，利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便．4．解：CD与⊙O相切，理由如下：如图，作直径CE，连接AE.∵CE是直径，∴∠EAC＝90°.∴∠E＋∠ACE＝90°.∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E，∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC.又OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．(第4题)(第7题) 5．C 6.60°7．(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC 的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形．(2)解：连接BE.∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC，∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线．∴DE＝12AB＝12×2＝1.8．(1)证明：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA，即∠PAO＝∠PBO.又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB. 又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．(2)解：连接OP，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．∴OP为线段AB的垂直平分线，又∵BC⊥AB，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°.∴∠OPA＝30°. 在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，即AO2＋3＝(2AO)2.又∵AO＞0，∴AO＝1.∴⊙O的半径为1.(第8题)(第9题) 9．(1)证明：如图，连接CO，交DB于点E，∴∠O＝2∠CDB＝60°.又∵∠OBE＝30°，∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°.∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°，即OC⊥AC.又∵点C在⊙O上，∴AC是⊙O的切线．(2)解：∵OE⊥DB，∴EB＝12DB＝3 3 cm.在Rt△EOB中，∵∠OBE＝30°，∴OE＝12OB.∵EB＝3 3 cm，∴由勾股定理可求得OB＝6 cm. 又∵∠D＝∠DBO，DE＝BE，∠CED＝∠OEB，∴△CDE≌△OBE，∴S△CDE ＝S△OBE，∴S阴影＝S扇形OCB＝60360π·62＝6π(cm2)．专训31．解：(1)如图，过B作BH⊥PQ于H，在Rt△BHP中，由条件易知：BP＝320 km，∠BPQ＝30°.∴BH＝12BP＝160 km<200 km.∴台风会影响B市．(2)如图，以B为圆心，200 km为半径作圆，交PQ于P1，P2两点，连接BP1，由垂径定理知P1P2＝2P1H.在Rt△BHP1中，BP1＝200 km，BH＝160 km，∴P1H＝2002－1602＝120(km)．∴P1P2＝2P1H＝240 km.∴台风影响B市的时间为24030＝8(h)．点拨：本题在图形中画出圆，可以非常直观地构造数学模型，然后利用垂径定理解决生活中的实际问题．(第1题)(第2题) 2．解：选择射门方式二较好，理由如下：设AQ与圆的交点为C，连接PC，如图所示．∵∠PCQ是△PAC的外角，∴∠PCQ>∠A.又∵∠PCQ＝∠B，∴∠B>∠A.∴在B点射门比在A点射门好．∴选择射门方式二较好．点拨：本题运用转化思想，将射门角度大小的问题，建模转化到圆中，根据圆周角的相关知识来解决实际问题．3．解：修建的这条水渠不会穿过公园．理由：过点C作CD⊥AB，垂足为D.∵∠CBA＝45°，∴∠BCD＝45°，CD＝BD.设CD＝x km，则BD＝x km.易知∠CAB＝30°，∴AC＝2x km，AD＝（2x）2－x2＝3x km.∴3x＋x＝1，解得x＝3－1 2，即CD＝3－12km≈0.366 km＝366 m＞350 m，也就是说，以点C为圆心，350 m为半径的圆与AB相离．即修建的这条水渠不会穿过公园．4．解：∵圆锥形漏斗的底面半径为20 cm，高为40 2 cm，∴圆锥的母线长为202＋（402）2＝60(cm)．设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，则有nπ×60180＝2π×20，解得n＝120.方案一：如图①，扇形的半径为60 cm，矩形的宽为60 cm，易求得矩形的长为60 3 cm.此时矩形的面积为60×603＝3 6003(cm2)．方案二：如图②，扇形与矩形的两边相切，有一边重合，易求得矩形的宽为60 cm，长为30＋60＝90(cm)，此时矩形的面积为90×60＝5 400(cm2)．∵3 6003>5 400，∴方案二所用材料最省，即选长为90 cm，宽为60 cm的矩形铁皮，才能使所用材料最省．(第4题)专训41．解：(1)作OD⊥BC于D.由垂径定理知，点D是BC的中点，即BD＝12BC，∵OB＝12AB＝5 cm，OD＝4 cm，由勾股定理得，BD＝OB2－OD2＝3 cm，∴BC＝2BD＝6 cm.(2)设经过t s，△BPC是等腰三角形．①当PC为底边时，有BP＝BC，即10－t＝6，解得t＝4；②当BC为底边时，有PC＝PB，此时P点与O点重合，t＝5.∴经过4 s或5 s△BPC是等腰三角形．2．解：(1)线段AB长度的最小值为4.理由如下：连接OP.∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB.取AB的中点C，则AB＝2OC，当OC＝OP时，OC最短，即AB最短，此时AB＝4.(2)存在．假设存在符合条件的点Q.如图①，设四边形APOQ为平行四边形，∵∠APO＝90°，∴四边形APOQ为矩形．又∵OP＝OQ，∴四边形APOQ为正方形，∴OQ＝QA.∴∠QOA＝45°，在Rt△OQA中，根据OQ＝2，∠AOQ＝45°，得Q点的坐标为(2，－2)．(第2题)如图②，设四边形APQO为平行四边形，连接OP，∵OQ∥PA，∠APO＝90°，∴∠POQ＝90°.又∵OP＝OQ，∴∠PQO＝45°，∵PQ∥OA，∴PQ⊥y轴．设PQ交y轴于点H，在Rt△OHQ中，根据OQ＝2，∠HQO＝45°，得Q点的坐标为(－2，2)．∴符合条件的点Q的坐标为(2，－2)或(－2，2)．3．解：如图，设PQ与⊙O相切于点H，过点P作PE⊥BC，垂足为E.(第3题)∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∴PE＝AB.由题意可知：AP＝BE＝t cm，CQ＝2t cm，∴BQ＝BC－CQ＝(22－2t) cm，EQ＝BQ－BE＝22－2t－t＝(22－3t) cm.∵AB 为⊙O 的直径，∠ABC ＝∠DAB ＝90°， ∴AD ，BC 为⊙O 的切线．∴AP ＝PH ，HQ ＝BQ. ∴PQ ＝PH ＋HQ ＝AP ＋BQ ＝t ＋22－2t ＝(22－t) cm . 在Rt △PEQ 中，PE 2＋EQ 2＝PQ 2， ∴122＋(22－3t)2＝(22－t)2，即 t 2－11t ＋18＝0，解得t 1＝2，t 2＝9.∵P 在AD 边运动的时间为AD 1＝81＝8(s )，而t ＝9>8，∴t ＝9(舍去)． ∴当t ＝2 s 时，PQ 与⊙O 相切．4．解：(1)∵在△ACO 中，∠OAC ＝60°，OC ＝OA ， ∴△ACO 是等边三角形． ∴∠AOC ＝60°. (2)如图，(第4题)①作点C 关于直径AB 的对称点M 1，连接AM 1，OM 1. 易得S △M 1AO ＝S △CAO ，∠AOM 1＝60°，∴AM 1︵＝4π180×60＝43π.∴当点M 运动到M 1时，S △MAO ＝S △CAO ，此时动点M 经过的弧长为43π.②过点M 1作M 1M 2∥AB 交⊙O 于点M 2，连接AM 2，OM 2，易得S △M 2AO ＝S △CAO ，∴∠OM 1M 2＝∠AOM 1＝60°.又∵OM 1＝OM 2，∴∠M 1OM 2＝60°，∴∠AOM 2＝120°.∴AM 2︵＝4π180×120＝83π.∴当点M 运动到M 2时，S △MAO ＝S △CAO ，此时动点M 经过的弧长为83π. ③过点C 作CM 3∥AB 交⊙O 于点M 3，连接AM 3，OM 3，易得S △M 3AO＝S △CAO ，∠AOM 3＝120°.∴AM 2M 3︵＝4π180×240＝163π.∴当点M 运动到M 3时，S △MAO ＝S △CAO ，此时动点M 经过的弧长为163π. ④当点M 运动到C 时，M 与C 重合，S △MAO ＝S △CAO ，此时动点M 经过的弧长为4π180×300＝203π.综上所述，当S △MAO ＝S △CAO 时，动点M 所经过的弧长为43π或83π或163π或203π.专训51．C 2.C 3.C 4.D(第5题)5．证明：如图，连结AC. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°. ∵CP ⊥AB 于点P ， ∴∠B ＋∠DCB ＝90°， ∴∠ACD ＝∠B.又∵AC ︵＝CE ︵，∴∠B ＝∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD. 6．A 7.B 8.B 9.B(第10题)10．(1)解：设⊙O 的半径为r ，∵AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线， ∴AB ⊥BC ，在Rt △OBC 中，∵OC 2＝OB 2＋CB 2， ∴(r ＋1)2＝r 2＋(3)2，解得r ＝1，∴⊙O 的半径为1. (2)证明：连结OF ， ∵OA ＝OB ，BF ＝EF ， ∴OF 是△BAE 的中位线， ∴OF ∥AE ，∴∠A ＝∠2，∠1＝∠ADO ， 又∵∠ADO ＝∠A ，∴∠1＝∠2，在△OBF 和△ODF 中，⎩⎨⎧OB ＝OD ，∠2＝∠1，OF ＝OF ，∴△OBF ≌△ODF ， ∴∠ODF ＝∠OBF ＝90°，即OD ⊥DF ，又OD 是⊙O 的半径， ∴FD 是⊙O 的切线． 11．D(第12题)12．解：(1)相切，理由如下： 如图，连结OD ， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3，∴OD ∥AC. 又∠C ＝90°，∴OD ⊥BC ， ∴BC 与⊙O 相切． (2)①设⊙O 的半径为r. ∵AC ＝3，∠B ＝30°，∴AB ＝6. 又OA ＝OD ＝r ，∴OB ＝2r.∴2r ＋r ＝6，解得r ＝2，即⊙O 的半径是2.②由①得OD ＝2，则OB ＝4，BD ＝23，S 阴影＝S △OBD －S 扇形ODE ＝12×23×2－60π×22360＝23－2π3.13．(1)证明：在Rt △CED 中，∠C ＋∠CED ＝90°，在Rt △BFE 中，∠EFB ＋∠BEF ＝90°.∵∠CED ＝∠BEF ，∴∠C ＝∠EFB.在Rt △ABC 和Rt △EBF 中， ⎩⎨⎧∠C ＝∠EFB ，BC ＝BF ，∠ABC ＝∠EBF ，∴△ABC ≌△EBF.(2)解：BD 与⊙O 相切，理由如下： 连结BO ，∵OB ＝OF ， ∴∠OBF ＝∠OFB.∵FD 垂直平分AC ，∴D 为AC 的中点，又∵△ABC 为直角三角形． ∴BD ＝CD ，∴∠DCB ＝∠DBC.由(1)知∠ACB ＝∠EFB ， ∴∠DBC ＝∠DFB ＝∠OBF.∵∠CBF ＝∠CBO ＋∠OBF ＝90°， ∴∠DBO ＝∠CBO ＋∠DBC ＝90°， ∴BD 为⊙O 的切线．14．解：(1)∵CD 是⊙O 的切线，C 为切点， ∴OC ⊥CD ，即∠OCD ＝90°. ∵四边形OABC 是平行四边形，(第14题)∴AB ∥OC ，即AD ∥OC. ∴∠ADC ＋∠OCD ＝180°， ∴∠ADC ＝180°－∠OCD ＝90°.(2)如图，连结OB ，则OB ＝OA ＝OC. ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ＝AB ， ∴OA ＝OB ＝AB.即△AOB 是等边三角形． 于是，∠AOB ＝60°.由OF ∥CD ，又∠ADC ＝90°，得∠AEO ＝∠ADC ＝90°.∴OF ⊥AB ，有BF ︵＝AF ︵.∴∠FOB ＝∠FOA ＝12∠AOB ＝30°.∴∠FAB ＝12∠FOB ＝15°.15．解：(1)∵直线y ＝－34x ＋3与x 轴交于点A(4，0)，与y 轴交于点B(0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3，∴AB ＝32＋42＝5.连结CF ，∵四边形OBCE 是矩形，∴CE ＝OB ＝3.设OE ＝x ，则由切线长定理知AF ＝AE ＝x ＋4，∴BF ＝x ＋4－5＝x －1.在Rt △CBF 中，∵BC ＝OE ＝x ，CF ＝CE ＝3，BF ＝x －1，BC 2＝CF 2＋BF 2，∴x 2＝32＋(x －1)2，解得x ＝5，即OE ＝5，∴点C 的坐标为(－5，3)．(2)连结CE ，CD ，易知四边形CEOD 是正方形，∴OE ＝OD ＝r.由切线长定理知BF ＝BD ＝3－r ，AE ＝AF ，又∵AE ＝AO ＋OE ＝4＋r ，AF ＝AB ＋BF ＝5＋3－r ＝8－r ，∴4＋r ＝8－r ，∴r ＝2.(3)不能．专训61．(1)解：设过点B 、C 、D 三点的抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx＋c ，则⎩⎨⎧4＝c ，0＝4a －2b ＋c ，0＝64a －8b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝52，c ＝4.∴经过B 、C 、D 三点的抛物线对应的函数表达式为y ＝14x 2＋52x ＋4. (2)证明：∵y ＝14x 2＋52x ＋4＝14(x ＋5)2－94，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－94. 设直线CE 对应的函数表达式为y ＝mx ＋n ，直线CE 与y 轴交于点G ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＝－2m ＋n ，－94＝－5m ＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝34，n ＝32，∴直线CE 对应的函数表达式为y ＝34x ＋32. 在y ＝34x ＋32中，当x ＝0时，y ＝32，∴点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.如图，连结AB 、AC 、AG ，则BG ＝OB －OG ＝4－32＝52，CG ＝OC 2＋OG 2＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝52，∴BG ＝CG.又∵AB ＝AC ，AG ＝AG ， ∴△ABG ≌△ACG ， ∴∠ACG ＝∠ABG.∵⊙A 与y 轴相切于点B(0，4)， ∴∠ABG ＝90°，。

二次函数压轴题(与圆综合问题)

二次函数压轴题(与圆综合问题)

二次函数压轴题（与圆综合问题）【典例分析】例1 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C 三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）；①求此抛物线的函数解析式；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，c=-4，求证：无论b取何值，点D的坐标均不改变．思路点拨（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，可得C（0，-4），OC=4．设点A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，根据根与系数的关系可得OA•OB=4．由A、D、B、C四点共圆可得∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，从而可得△ADO∽∽△CBO，根据相似三角形的性质可得OC•OD=OA•OB=4，从而可得OD=1，即可得到D（0，1），因而无论b 取何值，点D的坐标均不改变．满分解答（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴42064804a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得14324abc⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩．学#科网∴抛物线的解析式为y=14x2-32x-4；②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．∴D（0，4）．设直线BD的解析式为y=mx+n．∵B（8，0），D（0，4），∴804m nn+=⎧⎨=⎩，学&科网解得124mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，则C（0，-4），OC=4．设点A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，∴OA•OB=-x1•x2=-（-4）=4．考点：圆的综合题例2已知抛物线经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB 于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．思路点拨(1)用待定系数法求解;(2) 假设存在，分两种情况讨论(3)根据面积公式,列出二次函数,求函数的最值.满分解答（1）将A(3,0),B(4,1)代人得∴∴∴C(0,3) 学科@网②当∠ABP=90O时,过B作BP∥AC,BP交抛物线于点P. ∵A(3,0),C(0,3)∴直线AC的函数关系式为将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合.则直线BP的函数关系式为由,得又B(4,1),∴P2(-1,6).综上所述,存在两点P1(0,3), P2(-1,6).(3)∵∠OAE=∠OAF=45O,而∠OEF=∠OAF=45O, ∠OFE=∠OAE=45O,∴∠OEF=∠OFE=45O,∴OE=OF,∠EOF=90O∵点E在线段AC上,∴设E∴=∴===∴当时,取最小值,此时,∴例3如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C(0，4)，与x轴相交于A、B两点，且AB＝6.(1)求D点的坐标和圆D的半径；(2)求sin∠ACB的值和经过C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式；(3)设抛物线的顶点为F，证明直线AF与圆D相切．思路点拨（1）连接CD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接AD．依据垂径定理可知AE=3，然后依据切线的性质可知CD⊥y轴，然后可证明四边形OCDE为矩形，则DE=4，然后依据勾股定理可求得AD的长，故此可求得⊙D的半径和点D的坐标；学科.网（2）先求得A（2，0）、B（8，0）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），将点C的坐标代入可求得a 的值．根据三角形面积公式得：S△ABC=BC×AC sin∠ACB=AB×CO，代入计算即可；（3）求得抛物线的顶点F的坐标，然后求得DF和AF的长，依据勾股定理的逆定理可证明△DAF为直角三角形，则∠DAF=90°，故此AF是⊙D的切线．满分解答（2）如图1所示：∵D（5，4），∴E（5，0），∴A（2，0）、B（8，0）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），将点C的坐标代入得：16a=4，解得：a，∴抛物线的解析式为y x 2x +4．∵S △ABC =BC ×AC sin ∠ACB =AB ×CO ，∴sin ∠ACB ==．例4如图，已知二次函数()22y x m 4m =--（m ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点．（1）写出A 、B 两点的坐标（坐标用m 表示）；（2）若二次函数图象的顶点P 在以AB 为直径的圆上，求二次函数的解析式； （3）设以AB 为直径的⊙M 与y 轴交于C 、D 两点，求CD 的长． 思路点拨（1）解关于x 的一元二次方程()22x m 4m 0--=，求出x 的值，即可得到A 、B 两点的坐标。

二次函数背景下的与圆有关的问题(解析版)

二次函数背景下的与圆有关的问题(解析版)

备战2020年中考数学压轴题之二次函数专题10 二次函数背景下的与圆有关的问题【方法综述】圆和二次函数都是初中数学重点知识，是压轴题中的常见题目。

而二次函数与圆的结合则常常是高难度的压轴题。

以二次函数为背景的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内容。

解答要点是结合相关知识，对于已知条件进行数形结合。

【典例示范】类型一 圆的基本性质应用例1：如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +m 的图象经过点P （4，5），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，且S △P AB ＝10．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点Q 使得△P AQ 和△PBQ 的面积相等？若存在，求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过A 、P 、C 三点的圆与抛物线交于另一点D ，求出D 点坐标及四边形P ACD 的周长．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）点Q 的坐标为：（﹣2，5）或（﹣13，﹣209）；（3）． 【思路引导】（1）因为抛物线y ＝ax 2﹣2ax +m ，函数的对称轴为：x ＝1，S △P AB ＝10＝12×AB ×y P ＝12AB ×5，解得AB=4，即可求解；（2）分A 、B 在点Q （Q′）的同侧；点A 、B 在点Q 的两侧两种情况，分别求解即可；（3）过点P 作PO′⊥x 轴于点O′，则点O′（4，0），则AO′＝PO′＝5，而CO′＝5，故圆O′是过A 、P 、C 三点的圆，即可求解．【详解】解：（1）y＝ax2﹣2ax+m，函数的对称轴为：x＝1，S△P AB＝10＝12×AB×y P＝12AB×5，解得：AB＝4，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点P的坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）①当A、B在点Q（Q′）的同侧时，如图1，△P AQ′和△PBQ′的面积相等，则点P、Q′关于对称轴对称，故点Q′（﹣2，5）；②当A、B在点Q的两侧时，如图1，设PQ交x轴于点E，分别过点A、B作PQ的垂线交于点M、N，△P AQ和△PBQ的面积相等，则AM＝BN，而∠BEN＝∠AEM，∠AME＝∠BNE＝90°，∴△AME≌△BNE（AAS），∴AE＝BE，即点E是AB的中点，则点E（1，0），将点P、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PQ的表达式为：y＝53x﹣53…②，联立①②并解得：x＝﹣13或4（舍去4），故点Q（﹣13，﹣209），综上，点Q的坐标为：（﹣2，5）或（﹣13，﹣209）；（3）过点P作PO′⊥x轴于点O′，则点O′（4，0），则AO′＝PO′＝5，而CO′＝5，故圆O′是过A、P、C三点的圆，设点D（m，m2﹣2m﹣3），点O′（4，0），则DO′＝5，即（m﹣4）2+（m2﹣2m﹣3）2＝25，化简得：m（m+1）（m﹣1）（m﹣4）＝0，解得：m＝0或﹣1或1或4（舍去0，﹣1，4），故：m＝1，故点D（1，﹣4）；四边形P ACD的周长＝P A+AC+CD+PD＝【方法总结】本题考查了二次函数与三角形面积、三点共圆、四边形的周长、长度公式，综合性较强，灵活运用二次函数的知识是解题的关键.针对训练1．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=kx(k＞0)的图象交于A、B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点（1）若k的值；（2）若OQ长的最大值为32，求k的值；（3）若过点C的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值．【答案】（1）2；（2）3225；（3）a的值为-3或2或-4或1．【解析】（1）设A(m，n)，∵∴m2+n2=5，∵一次函数y=2x的图象经过A点，∴n=2m，∴m2+(2m)2=5，解得m=±1，∵A在第一象限，∴m=1，∴A(1，2)，∵点A在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，∴k=1×2=2；（2）如图，连接BP，由对称性得：OA=OB，∵Q是AP的中点，∴OQ=12 BP，∵OQ长的最大值为32，∴BP长的最大值为32×2=3，如图2，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，∵CP=1，∴BC=2，∵B在直线y=2x上，设B(t，2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，∴22=(t+2)2+(-2t)2，t=0(舍)或-45，∴B(-45，-85)，∵点B在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，∴k=-45×(-85)=3225；（3）∵抛物线经过点C(-2，0)，∴4a-2b+c=0，又∵a+b+c=0，∴b=a，c=-2a，∴y=ax2+ax-2a=a(x+12)2-94a，∵-12＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜-12，当x=a时，取得最大值4a，则a•a2+a•a-2a=4a，解得a=-3或2，当x=a+1时，取得最大值4a，则a(a+1)2+a(a+1)-2a=4a，解得a=-4或1，综上所述所求a的值为-3或2或-4或1．2．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q和图形G，给出如下定义：点P，Q都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标互换后得到点Q，则称点P，Q是图形G的一对“关联点”．例如，点P（1，2）和点Q（2，1）是直线y＝﹣x+3的一对关联点．（1）请写出反比例函数y＝6的图象上的一对关联点的坐标：；x（2）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，﹣1）．点A，B是抛物线y＝x2+bx+c 的一对关联点，直线AB与x轴交于点D（1，0）．求A，B两点坐标．（3）⊙T的半径为3，点M，N是⊙T的一对关联点，且点M的坐标为（1，m）（m＞1），请直接写出m的取值范围．【答案】（1）（2，3），（3，2）．（2）A，B两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）1＜m≤1+3√2．【解析】解：（1）∵2×3＝3×2＝6，∴点（2，3），（3，2）是反比例函数y＝6的图象上的一对关联点．x故答案为：（2，3），（3，2）．（2）∵抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，＝1，∴﹣b2解得：b＝﹣2．∵抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点C（0，﹣1），∴c＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．由关联点定义，可知：点A，B关于直线y＝x对称．又∵直线AB与x轴交于点D（1，0），∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x ＋1．联立直线AB 及抛物线解析式成方程组，得：{y ＝﹣x ＋1y ＝x 2﹣2x ﹣1， 解得：{x 1=−1y 1=2 ，{x 2=−1y 2=2， ∴A ，B 两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）由关联点定义，可知：点M ，N 关于直线y ＝x 对称，∴⊙T 的圆心在直线y ＝x 上．∵⊙T 的半径为3，∴M 1M 2＝√22×2×3＝3√2，∴m 的取值范围为1＜m≤1＋3√2． .3．已知：直线y=-x -4分别交x 、y 轴于A 、C 两点，点B 为线段AC 的中点，抛物线y=ax 2+bx 经过A 、B 两点，（1）求该抛物线的函数关系式；（2）以点B 关于x 轴的对称点D 为圆心，以OD 为半径作⊙D ，连结AD 、CD ，问在抛物线上是否存在点P ，使S △ACP =2S △ACD ？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若E 为⊙D 上一动点(不与A 、O 重合)，连结AE 、OE ，问在x 轴上是否存在点Q ，使∠ACQ ：∠AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12x2+2x；（2）P坐标为(-3)或(-3+，7)；（3）Q坐标为8，0)、(--8，0)、(4，0)．【解析】解：（1）∵直线y=-x-4中，y=0时，x=-4；x=0时，y=-4，∴A(-4，0)，C(0，-4)，∵点B为AC中点，∴B(-2，-2)，∵抛物线y=ax2+bx经过A、B两点，∴1640 422a ba b-=⎧⎨-=-⎩，解得：122ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的函数关系式为y=12x2+2x．（2）在抛物线上存在点P使S△ACP=2S△ACD．如图1，连接AD并延长交y轴于点F，∵y=12x2+2x=12(x-2)2-2，∴点B为抛物线的顶点，∵点D为点B关于x轴的对称点，∴D(-2，2)在抛物线的对称轴上，∴DA=DO，∠DAO=∠DOA=45°，∵OA=OC=4，∠AOC=90°，∴∠OAC=45°，∴∠DAC=∠DAO+∠OAC=90°，∴S △ACD =12AC•AD ， ∵∠AOF=90°，∴AF 为⊙D 直径，即点F 在⊙D 上，∴AF=2AD ，OF=OA=4即F(0，4)，∵S △ACP =2S △ACD =2•12AC•AD=12AC•2AD=12AC•AF ， ∴点P 在过点F 且平行于直线y=-x -4的直线上，∴直线PF 解析式为y=-x+4， ∵24122y x y x x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：1137x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩；2237x y ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩∴点P 坐标为(-3)或(-7；（3）在x 轴上存在点Q 使∠ACQ ：∠AEO=2：3． ∵∠OAD=∠ODA=45°，∴∠ADO=90°，∵点E 在⊙D 上且不与A 、O 重合，∠ACQ ：∠AEO=2：3． ①如图2，当点E 在优弧AO 上时，∠AEO=12∠ADO=45°， ∴∠ACQ=23∠AEO=30°，过点Q作QG垂直直线AC于点G，设QG=t，∴Rt△CQG中，CQ=2QG=2t，．∴∠GAQ=∠OAC=45°，∴Rt△AGQ中，AG=QG=t，t．i)若点Q在线段AO上时，如图2：则，解得：-，∴(4=，∴x Q=-8；ii)若点Q在线段OA延长上时，如图3：则AC=CG-t-t=4，解得：t=，∴(4=，∴x Q=-4--8，②当点E在劣弧AO上时，∠AEO=12(360°-∠ADO)=135°，∴∠ACQ=23∠AEO=90°．∵∠CAO=45°，△ACO是等腰直角三角形，∴Q点与A点对称，A (-4，0)∴x Q=4．综上所述：满足条件的点Q有三个，坐标分别为8，0)、(--8，0)、(4，0)4．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x=−m的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P2的值．的半径记为r，求lr【答案】（1）证明见解析；（2）①定点F的坐标为（0，1）；②10+6√5．5【解析】（1）令y＝0，则x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16，∵m＞0，∴△＞0，∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）令y＝0，则x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0，∴x＝2或x＝﹣（m+2），∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），∴OA＝2，OB＝m+2，令x＝0，则y＝﹣2（m+2），∴C（0，﹣2（m+2）），∴OC＝2（m+2），①通过定点（0，1）理由：如图，∵点A，B，C在⊙P上，∴∠OCB＝∠OAF，在Rt△BOC中，tan∠OCB=OBOC =m+22（m+2）=12，在Rt△AOF中，tan∠OAF=OFOA =OF2=12，∴OF＝1，∴点F的坐标为（0，1）；②如图1，由①知，点F（0，1）．∵D（0，1），∴点D在⊙P上，∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，∴∠DCE＝90°，∴DE是⊙P的直径，∴∠DBE＝90°，∵∠BED ＝∠OCB ，∴tan ∠BED =12， 设BD ＝n ，在Rt △BDE 中，tan ∠BED =BD BE =n BE =12， ∴BE ＝2n ，根据勾股定理得：DE =√BD 2+BE 2=√5n ，∴l ＝BD+BE+DE ＝（3+√5）n ，r =12DE =√52n ， ∴l r =√5）√52n =10+6√55． 5．．如图①，已知抛物线2139424y x x =-+的顶点为点P ，与y 轴交于点B ．点A 坐标为（3，2）．点M 为抛物线上一动点，以点M 为圆心，MA 为半径的圆交x 轴于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）．（1）如图②，当点M 与点B 重合时，求CD 的长；（2）当点M 在抛物线上运动时，CD 的长度是否发生变化？若变化，求出CD 关于点M 横坐标x 的函数关系式；若不发生变化，求出CD 的长；（3）当△ACP 与△ADP 相似时，求出点C 的坐标．【答案】（1） CD=4；（2）不发生变化，CD=4；（3）点C 坐标为：（1,0），()1-，()1+ 【解析】（1）如图：连结BC ，BD ，由题意得：904B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，（3，2），∴AB =∴2OC ==，∴CD=2OC=4；（2）如图：作MH ⊥x 轴，连结MA ，MC ，设()M x y ，，则半径AM =∴CH ====2=， ∵MH ⊥CD ，∴CD=2CH=4，（3）①当△APC ∽△APD ，即全等时，∴PC=PD ，P 与M 重合，∵P （3，0），CD=4，∴C （1，0）②如图，点M 在点P 的左侧，△APC ∽△DPA ，2PA PD PC =⨯，设PC=x ，x （x -4）=4，解得2x =±，∴()1C -， ③如图，点M 在点P 的右侧△APC ∽△DPA ，2PA PD PC =⨯，设PC=x ，x （x+4）=4，解得2x =-±，∴()C ，综上所述，点C 坐标为：C （1，0）；()1C -；()C ； 6．已知抛物线 C 1：y ＝ax 2 过点（2，2）(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图，△ABC 的三个顶点都在抛物线C 1 上，且边 AC 所在的直线解析式为y ＝x +b ，若 AC 边上的中线 BD 平行于 y 轴，求AC 2BD 的值；(3)如图，点 P 的坐标为（0，2），点 Q 为抛物线上C 1 上一动点，以 PQ 为直径作⊙M ，直线 y ＝t 与⊙M 相交于 H 、K 两点是否存在实数 t ，使得 HK 的长度为定值？若存在，求出 HK 的长度；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=12x 2 ;(2)16;(3)见解析.【解析】（1）把点（2，2）坐标代入y ＝ax2，解得：a ＝12，∴抛物线的解析式为y ＝x2；（2）把y ＝x+b 和y ＝12x2得：x2﹣2x ﹣2b ＝0，设A 、C 两点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2b ，点D 坐标为（x 1+x 22，y 1+y 22），即D （1，﹣b ），B 坐标为（1，12）， AC2＝[√2（x2﹣x1）]2＝16b+8，BD ＝12+b ， ∴AC 2BD ＝16；(3)设点Q 坐标为（a ，12a2），点P 的坐标为（0，2），由 P 、Q 坐标得点M 的坐标为（a 2，14a2+1）， 设圆的半径为 r ，由P （0，2）、M 两点坐标可得r2＝a 24+（14a2﹣1）2＝116a4﹣14a2+1，设点M 到直线y ＝t 的距离为d ，则d2＝（a2+1﹣t ）＝116a4+12a2+1+t2﹣2t ﹣12a2t ，则 HK ＝2√r 2−d 2＝2√(12t −34)a 2+2t −t 2，当12t −34＝0 时，HK 为常数，t ＝32， HK ＝√3．7．（浙江省湖州市南浔区2017-2018学年九年级上学期期末）已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，如图1，直角三角板△MON 中，OM=ON=√3，OQ=1，直线l 过点N 和点N ，抛物线y=ax 2+2√33x+c 过点Q 和点N ．（1）求出该抛物线的解析式；（2）已知点P 是抛物线y=ax 2+2√33x+c 上的一个动点．①初步尝试若点P 在y 轴右侧的该抛物线上，如图2，过点P 作PA ⊥y 轴于点A ，问：是否存在点P ，使得以N 、P 、A 为顶点的三角形与△ONQ 相似．若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；②深入探究若点P 在第一象限的该抛物线上，如图3，连结PQ ，与直线MN 交于点G ，以QG 为直径的圆交QN 于点H ，交x 轴于点R ，连结HR ，求线段HR 的最小值．【答案】（1）y=﹣√33x2+2√33x+√3（2）①（1，4√33）、（3，0）、（5，﹣4√3）②3√2+64【解析】 （1）由题意可知，Q （﹣1，0），N （0，√3），∴c=√3，即y=ax2+2√33x+√3， 将Q （﹣1，0）代入解析式得0=a ﹣2√33+√3，解得a=﹣√33， ∴抛物线解析式是y=﹣√33x2+2√33x+√3； （2）①分三种情况，如图2，情况一：点P 在第一象限时，△APN ∽△ONQ ，设AN=m ，则AP=√3m ，则P 的坐标（√3m ，m+√3），而点P 在抛物线上，代入可得m+√3=﹣√33（√3m ）2++2√33（√3m ）+√3， 解得m=√33，∴P1（1，4√33）； 情况二：点P 恰好在x 轴上，P2（3，0），情况三：P 在第四象限内，同情况一方法可解得P3（5，﹣4√3），②连结CH 和CR ，如图3，∵∠NQ0=60°，∴∠HCR=120°，∵CH=CR ，∴HR=√3CH ，∴HR 最小时，只需要半径最小，即直径最小即可，∴过Q作NM的垂线，垂直时，QG最小，∴用面积法求出，QG=√6+√22，HR最小值=3√2+64．8．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A点坐标为(−8, 0)，B点坐标为(2, 0)，以AB为直径的圆P与y轴的负半轴交于点C．（1）求图象经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）设M点为所求抛物线的顶点，试判断直线MC与⊙P的关系，并说明理由．【答案】（1）14x2+32x−4；（2）直线MC与⊙P相切，理由见解析【解析】解：（1）连接AC、BC；∵AB是⊙P的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，∵∠BCO+∠CBO=90°，∴∠CBO=∠ACO，∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB，∴AOOC =OC OB，∴OC2=OA·OB=16，∴OC=4，故C(0，﹣4)，设抛物线的解析式为：y=a(x+8)(x ﹣2)，代入C 点坐标得：a(0+8)(0﹣2)=﹣4，a=14，故抛物线的解析式为：y=14(x+8)(x ﹣2)=14x 2+32x ﹣4；(2)由(1)知：y=14x 2+32x ﹣4=14(x +3)2﹣254；则M(﹣3，﹣254)， 又∵C(0， ﹣4)，P(﹣3， 0)，∴MP=254，PC=5，MC=154，∴MP 2=MC 2+PC 2，即△MPC 是直角三角形，且∠PCM=90°，故直线MC 与⊙P 相切．9．已知抛物线y=ax 2+bx 过点A （1，4）、B （﹣3，0），过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，在x 轴上有一点D （4，0），连接CD ．（1）求抛物线的表达式；（2）若在抛物线上存在点Q ，使得CD 平分∠ACQ ，请求出点Q 的坐标；（3）在直线CD 的下方的抛物线上取一点N ，过点N 作NG ∥y 轴交CD 于点G ，以NG 为直径画圆在直线CD 上截得弦GH ，问弦GH 的最大值是多少？（4）一动点P 从C 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿C ﹣A ﹣D 运动，在线段CD 上还有一动点M ，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）直线CE 的表达式为y=﹣43x ﹣43；（2）点Q 的坐标为（﹣13，﹣89）；（3）弦GH 的最大值81√580；（4）存在，t 的值为3或7【解析】解：（1）∵抛物线y=a x 2+bx 过点A （1，4）、B （﹣3，0），∴{a +b ＝49a −3b ＝0，解得：a=1,b=3, ∴抛物线的表达式为y=x 2+3x ．（2）当y=4时，有x 2+3x=4，解得：x 1=﹣4，x 2=1，∴点C 的坐标为（﹣4，4），∴AC=1﹣（﹣4）=5．∵A （1，4），D （4，0），∴AD=5．取点E （﹣1，0），连接CE 交抛物线于点Q ，如图1所示．∵AC=5，DE=4﹣（﹣1）=5，AC ∥DE ，∴四边形ACED 为平行四边形，∵AC=AD ，∴四边形ACED 为菱形，∴CD 平分∠ACQ ．设直线CE 的表达式为y=mx+n （m≠0），将C （﹣4，4）、E （﹣1，0）代入y=mx+n ，得：{−4m +n ＝4−m +n ＝0 ，解得：{m =−43n =−43， ∴直线CE 的表达式为y=﹣43x ﹣43．联立直线CE 与抛物线表达式成方程组，得：{y =−43x −43y =x 2+3x， 解得：{x 1=−4y 1=4 ,{x 2=−13y 2=−89 ， ∴点Q 的坐标为（﹣13，﹣89）．（3）设直线CD 的表达式为y=kx+c （k≠0），将C （﹣4，4）、D （4，0）代入y=kx+c ，得：{−4k +c ＝44k +c ＝0 ，解得：{k =−12c =2 ， ∴直线CD 的表达式为y=﹣12x+2．设点N 的坐标为（x ，x2+3x ），则点G 的坐标为（x ，﹣12x+2），∴NG=﹣12x+2﹣（x2+3x ）=﹣x2﹣72x+2=﹣（x+74）2+8116，∵﹣1＜0，∴当x=﹣74时，NG 取最大值，最大值为8116． 以NG 为直径画⊙O′，取GH 的中点F ，连接O′F ，则O′F ⊥BC ，如图2所示．∵直线CD 的表达式为y=﹣12x+2，NG ∥y 轴，O′F ⊥BC ， ∴tan ∠GO′F=GF O′F =12， ∴GF O′G =√12+22=√55， ∴GH=2GF=2√55 O′G=√55NG ，∴弦GH 的最大值为√55×8116=81√580．（4）取点E（﹣1，0），连接CE、AE，过点E作EP1⊥AC于点P1，交CD于点M1，过点E作EP2⊥AD 于点P2，交CD于点M2，如图3所示．∵四边形ACED为菱形，∴点A、E关于CD对称，∴AM=EM．∵AC∥x轴，点A的坐标为（1，4），∴EP1=4．由菱形的对称性可知EP2=4．∵点E的坐标为（﹣1，0），∴点P1的坐标为（﹣1，4），∴CP1=DP2=﹣1﹣（﹣4）=3，又∵AC=AD=5，∴t的值为3或7．10．如图，在平面直角坐标系中，点A(10, 0)，以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB 并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．(1)∠OBA=________°．(2)求抛物线的函数表达式．(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？【答案】(1)90;(2)y=−18x2+54x;(3) 以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．【解析】解：(1)90；(2)连接OC，如图1所示，∵由(1)知OB⊥AC，又AB=BC，∴OB是AC的垂直平分线，∴OC=OA=10，在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6，∴C(6, 8)，B(8, 4)∴OB所在直线的函数关系为y=12x，又∵E点的横坐标为6，∴E点纵坐标为3，即E(6, 3)，抛物线过O(0, 0)，E(6, 3)，A(10, 0)，∴设此抛物线的函数关系式为y=ax(x−10)，把E点坐标代入得：3=6a(6−10)，解得a=−18．∴此抛物线的函数关系式为y=−18x(x−10)，即y=−18x2+54x；(3)设点P(p, −18p2+54p)，①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图2，OP 所在直线函数关系式为：y =(−18p +54)x∴当x =6时，y =−34p +152，即Q 点纵坐标为−34p +152， ∴QE =−34p +152−3=−34p +92，S 四边形POAE =S △OAE +S △OPE =S △OAE +S △OQE −S △PQE =12⋅OA ⋅DE +12QE ⋅OD −12⋅QE ⋅P x •=12×10×3+12×(−34p +92)×6−12•(−34p +92)⋅(6−p )， =−38p 2+94p +15， ②若点P 在CD 的右侧，延长AP 交CD 于Q ，如右图3，P(p, −18p 2+54p)，A(10, 0) ∴设AP 所在直线方程为：y =kx +b ，把P 和A 坐标代入得，{10k +b =0pk +b =−18p 2+54p， 解得{k =−18p b =54p． ∴AP 所在直线方程为：y =−18px +54p ，∴当x =6时，y =−18p ⋅6+54p =12P ，即Q 点纵坐标为12P ，∴QE =12P −3，∴S 四边形POAE=S △OAE +S △APE =S △OAE +S △AQE −S △PQE =12⋅OA ⋅DE +12⋅QE ⋅DA −12⋅QE •(P x −6)=12×10×3+12⋅QE •(DA −P x +6)=15+12•(12p −3)⋅(10−p) =−14p 2+4p =−14(p −8)2+16，∴当P 在CD 右侧时，四边形POAE 的面积最大值为16，此时点P 的位置就一个，令−38p 2+94p +15=16，解得，p =3±√573， ∴当P 在CD 左侧时，四边形POAE 的面积等于16的对应P 的位置有两个，综上所知，以P 、O 、A 、E 为顶点的四边形面积S 等于16时，相应的点P 有且只有3个．类型二 与圆有关的位置关系例2．如图1，二次函数y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ．（1）求顶点D 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）若以AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的函数关系式；②如图2，点E 是y 轴负半轴上一点，连接BE ，将△OBE 绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN （点P 、M 、N 分别和点O 、B 、E 对应），并且点M 、N 都在抛物线上，作MF ⊥x 轴于点F ，若线段MF ：BF ＝1：2，求点M 、N 的坐标；③点Q 在抛物线的对称轴上，以Q 为圆心的圆过A 、B 两点，并且和直线CD 相切，如图3，求点Q 的坐标．【答案】（1）（1，﹣4a ）；（2）①y=﹣x 2+2x+3；②M （52，74）、N （32，154）；③点Q 的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣）．【思路引导】 （1）将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D 的坐标．（2）①以AD为直径的圆经过点C，即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出△ACD 是个直角三角形，且∠ACD＝90°，A点坐标可得，而C、D的坐标可由a表达出来，在得出AC、CD、AD 的长度表达式后，依据勾股定理列等式即可求出a的值．②将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，说明了PM正好和x轴平行，且PM＝OB＝1，所以求M、N的坐标关键是求出点M的坐标；首先根据①的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：BF＝2MF作为等量关系进行解答即可．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，由C、D两点的坐标不难判断出∠CDQ＝45°，那么△QGD为等腰直角三角形，即QD ²＝2QG ²＝2QB ²，设出点Q的坐标，然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长，根据上面的等式列方程即可求出点Q的坐标．【解析】（1）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，∴D（1，﹣4a）．（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；由y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），则：AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，化简，得：a2=1，由a＜0，得：a=﹣1，②∵a=﹣1，∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3，D（1，4）．∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，∴PM∥x轴，且PM=OB=1；设M（x，﹣x2+2x+3），则OF=x，MF=﹣x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；∵BF=2MF，∴x+1=2（﹣x2+2x+3），化简，得：2x2﹣3x﹣5=0解得：x1=﹣1（舍去）、x2=5 2 .∴M（52，74）、N（32，154）．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如下图：∵C （0，3）、D （1，4），∴CH =DH =1，即△CHD 是等腰直角三角形，∴△QGD 也是等腰直角三角形，即：QD 2=2QG 2；设Q （1，b ），则QD =4﹣b ，QG 2=QB 2=b 2+4；得：（4﹣b ）2=2（b 2+4），化简，得：b 2+8b ﹣8=0，解得：b =﹣；即点Q 的坐标为（1，4-+）或（1，4--．【方法总结】此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点；后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD 和⊙Q 半径间的数量关系是解题题目的关键．针对训练1．抛物线y ＝﹣23x 2+73x ﹣1与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为D ．将抛物线位于直线l ：y ＝t (t ＜2524)上方的部分沿直线l 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M ”形的新图象．(1)点A ，B ，D 的坐标分别为 ， ， ；(2)如图①，抛物线翻折后，点D 落在点E 处．当点E 在△ABC 内(含边界)时，求t 的取值范围；(3)如图②，当t ＝0时，若Q 是“M ”形新图象上一动点，是否存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （12，0）；B （3，0）；D （74，2524）；（2）1548≤t≤2548；（3）存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ，点P的坐标为（75-0）、（311，0）、（1，0）或（75+，0）． 【解析】解：（1）当y=0时，﹣23x 2+73x ﹣1=0， 解得x 1=12,x 2=3, ∴点A 的坐标为（12，0），点B 的坐标为（3,0）， ∵y=﹣23x 2+73x ﹣1=﹣23（x -74）2+2524, ∴点D 的坐标为（74，2524）； （2）∵点E 、点D 关于直线y=t 对称，∴点E 的坐标为（74，2t ﹣2524）． 当x=0时，y=﹣23x 2+73x ﹣1=﹣1， ∴点C 的坐标为（0，﹣1）．设线段BC 所在直线的解析式为y=kx+b ，将B （3，0）、C （0，﹣1）代入y=kx+b ，301k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：131k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴线段BC 所在直线的解析式为y=13x ﹣1． ∵点E 在△ABC 内（含边界），∴2520242517212434tt⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⨯-⎪⎩，解得：1548≤t≤2548．（3）当x＜12或x＞3时，y=﹣23x2+73x﹣1；当12≤x≤3时，y=﹣23x2+73x﹣1．假设存在，设点P的坐标为（12m，0），则点Q的横坐标为m．①当m＜12或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣23x2+73x﹣1）（如图1），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣23m2+73m）2=14m2+1+14m2+（﹣23m2+73m﹣1）2，整理，得：m1，m2，∴点P 0，0）； ②当12≤m≤3时，点Q 的坐标为（m,23x 2-73x +1）（如图2）， ∵以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ， ∴CP ⊥PQ ，∴CQ 2=CP 2+PQ 2，即m 2+（23m 2﹣73m+2）2=14m 2+1+14m 2+（23m 2﹣73m+1）2， 整理，得：11m 2﹣28m+12=0，解得：m 3=611，m 4=2， ∴点P 的坐标为（311，0）或（1，0）．综上所述：存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ，点P 0）、（311，0）、（1，0）或（75+，0）． 2．如图1，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点（0，5），且过点（﹣3，114），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：（应用）问题1，如图2，线段AB ＝d （定值），将其弯折成互相垂直的两段AC 、CB 后，设A 、B 两点的距离为x ，由A 、B 、C 三点组成图形面积为S ，且S 与x 的函数关系如图所示（抛物线y ＝ax 2+bx+c 上MN 之间的部分，M 在x 轴上）：（1）填空：线段AB 的长度d ＝ ；弯折后A 、B 两点的距离x 的取值范围是 ；若S ＝3，则是否存在点C ，将AB 分成两段（填“能”或“不能”） ；若面积S ＝1.5时，点C 将线段AB 分成两段的长分别是 ；（2）填空：在如图1中，以原点O 为圆心，A 、B 两点的距离x 为半径的⊙O ；画出点C 分AB 所得两段AC 与CB 的函数图象（线段）；设圆心O 到该函数图象的距离为h ，则h ＝ ，该函数图象与⊙O 的位置关系是 ．（提升）问题2，一个直角三角形斜边长为c （定值），设其面积为S ，周长为x ，证明S 是x 的二次函数，求该函数关系式，并求x 的取值范围和相应S 的取值范围．【答案】抛物线的解析式为：y ＝﹣14x 2+5；（1）＜x ＜；（2，相离或相切或相交；（3）相应S 的取值范围为S ＞14c 2．【解析】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点（0，5）， ∴y ＝ax 2+5， 将点（﹣3，114）代入， 得114＝a×（﹣3）2+5， ∴a ＝14﹣ ， ∴抛物线的解析式为：y ＝2154x +﹣ ；（1）∵S 与x 的函数关系如图所示（抛物线y ＝ax 2+bx+c 上MN 之间的部分，M 在x 轴上），在y ＝2154x +﹣，当y ＝0时，x 1＝x 2＝﹣∴M （0），即当x ＝S ＝0，∴d 的值为∴弯折后A 、B 两点的距离x 的取值范围是0＜x ＜当S ＝3 时，设AC ＝a ，则BC ＝a ，∴12a （a ）＝3，整理，得a 2﹣＝0， ∵△＝b 2﹣4ac ＝﹣4＜0， ∴方程无实数根；当S ＝1.5时，设AC ＝a ，则BC ＝a ，∴12a （a ）＝1.5，整理，得a 2﹣＝0，解得1a 2a∴当a +a当a a +∴若面积S ＝1.5时，点C 将线段AB +故答案为：0＜x ＜+（2）设AC ＝y ，CB ＝x ，则y ＝﹣1所示的线段PM ，则P （0，，M （0）， ∴△OPM 为等腰直角三角形，∴PM OP ＝， 过点O 作OH ⊥PM 于点H ，则OH ＝12PM ，∴当0＜x 时，AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相离；当x 时，AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相切；＜x ＜AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相交；，相离或相切或相交； （3）设直角三角形的两直角边长分别为a ，b ， 则222-a b c a b x c ++＝，＝ ， ∵（a+b ）2＝a 2+b 2+2ab ， ∴（x ﹣c ）2＝c 2+2ab ，∴2111242ab x cx =-， 即S ＝()22211114244x cx x c c -=-+，∴x 的取值范围为：x ＞c ， 则相应S 的取值范围为S ＞214c ．3．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值； （3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213y x x 222=+-；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：422316420a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则抛物线的解析式为：213y x x 222=+-； ()2过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'=+得：04'''2k b b =-+⎧⎨=-⎩，解得：1'2'2k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，则直线BC 的表达式为：1y x 22=--， 设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 22BMC1113SMK OB 2x 2x x 2x 4x 2222⎛⎫=⋅⋅=----+=-- ⎪⎝⎭， a 10=-<，BMC S∴有最大值，当bx 22a=-=-时， BMCS最大值为4，点M 的坐标为()2,3--；()3如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ，过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -， 点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1tan OCA OC 2∠==， QH //y 轴，QHN OCA ∠∠∴=，1tan QHN2∠∴=，则sin QHN ∠=，将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：02m n n +=⎧⎨=-⎩，则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-， 则点()H 2,6--，在Rt QNH 中，QH m 6=+，QN OQ ===QN sin QHNQHm 6∠===+， 解得：m 4=或1-，即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--．4．如图1，对于平面内的点P 和两条曲线L 1、L 2给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与L 1、L 2交于Q 1、Q 2，总有PQ 1PQ 2是定值，我们称曲线L 1与L 2“曲似”，定值PQ1PQ 2为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O ′为圆心，半径分别为r 1、r 2(都是常数)的两个同心圆C 1、C 2，从点O ′任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有O ′MO ′N =r 1r 是定值，所以同心圆C 1与C 2曲似，曲似比为r1r 2，“曲心”为O ′．(1)在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与抛物线y=x2、y=12x2分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；(2)在(1)的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使⊙O 与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；(3)在(1)、(2)的条件下，若将“y=12x2”改为“y=1mx2”，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．【答案】（1）两抛物线曲似，理由详见解析；（2）存在k值，使⊙O与直线BC相切，k=±√3；（3）m>1，k2=m2−1．【解析】(1)是，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C，依题意可得A(k,k2)、B(2k,2k2)，因此D(k,0)、C(2k,0)，∵AD ⊥x 轴、BC ⊥x 轴， ∴AD//BC ， ∴OA OB=OD OC=k 2k=12，∴两抛物线曲似，曲似比为12；(2)假设存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切， 则OA =OC =2k ，又∵OD =k 、AD =k 2，并且OD 2+AD 2=OA 2， ∴k 2+(k 2)2=(2k)2， 解得：k =√3(负值舍去)， 由对称性可取k =−√3， 综上，k =±√3；(3)根据题意得A(k,k 2)、B(mk,mk 2)， 因此D(k,0)、C(mk,0)， ∵⊙O 与直线BC 相切， ∴OA =OC =mk ， 由OA >OD 可得mk >k ， 则m >1，由OD =k 、AD =k 2，并且OD 2+AD 2=OA 2， ∴k 2+(k 2)2=(mk)2， 整理，得：k 2=m 2−1．5．已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与二次函数的图象交于A B ，两点（A 在B 的左侧），且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 t 个单位（t ＞0），二次函数的图象与x 轴交于 M ，N 两点，一次函数图象交y 轴于 F 点．当 t 为何值时，过 F ，M ，N 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？【答案】（1）一次函数的解析式为314y x =-+；二次函数解析式为214y x =． （2）相切，证明见解析（3）当3t =时，过F M N ，，三点的圆面积最小，最小面积为4π． 【解析】()1把()4,4A -代入1y kx =+得34k =-∴一次函数的解析式为314y x =-+ ∴二次函数图象的顶点在原点,对称轴为y 轴，∴二次函数的解析式为2y ax =,将()4,4A -代入解析式得14a =-∴二次函数的解析式为214y x =-()2由231414y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得44x y =-⎧⎨=⎩或114x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，11,4B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，取,A B 的中点317,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 过P 作直线l 的垂线,垂足为N ,则3,12N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1725188PN ∴=+=，而直径254AB ∴==12PN AB ∴=，即圓心到直线l 的距离等于半径， 以AB 为直径的圆与直线l 相切.()3平移后二次函数的解析式为()2124y x t =--,令0,y =得()212120,224x t x x --==-=过,,F M N 三点的國的圆心C 一定在平移后抛物线的对称轴.上,要使圓面积最小,圆半径应等于点F 到直线2x =2的距离,点C 坐标为()2,1. 此时,半径为2,面积为4π设圆心为,C MN 的中点为E ,连接,CE CM ,则1CE =，在三角形CEM 中，ME =MN ∴=2134MN x x t =-=∴= ∴当3t 4=时，过,,F M N 三点的圓面积最小,最小面积为4π. 6．如图，在平面角坐标系中，抛物线C 1：y=ax 2+bx ﹣1经过点A （﹣2，1）和点B （﹣1，﹣1），抛物线C 2：y=2x 2+x+1，动直线x=t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ． （1）求抛物线C 1的表达式；（2）直接用含t 的代数式表示线段MN 的长；（3）当△AMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C 1与y 轴交于点P ，点M 在y 轴右侧的抛物线C 2上，连接AM 交y 轴于点k ，连接KN ，在平面内有一点Q ，连接KQ 和QN ，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP 时，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）抛物线C1：解析式为y=x 2+x ﹣1；（2）MN=t 2+2；（3）t 的值为1或0；（4）满足条件的Q 点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（35，195）、（45，125）【解析】（1）∵抛物线C1：y=ax 2+bx ﹣1经过点A （﹣2，1）和点B （﹣1，﹣1），∴{1=4a −2b −1−1=a −b −1，解得：{a =1b =1 ， ∴抛物线C1：解析式为y=x 2+x ﹣1；（2）∵动直线x=t 与抛物线C1交于点N ，与抛物线C2交于点M ，∴点N 的纵坐标为t 2+t ﹣1，点M 的纵坐标为2t 2+t+1，∴MN=（2t 2+t+1）﹣（t 2+t ﹣1）=t 2+2；（3）共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN 时，由已知N （t ，t 2+t ﹣1），A （﹣2，1），∴AN=t ﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t 2+2，∴t 2+2=t+2，∴t1=0（舍去），t2=1，∴t=1；②当∠AMN=90°，AN=MN 时，由已知M （t ，2t 2+t+1），A （﹣2，1），∴AM=t ﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t 2+2，∴t 2+2=t+2，∴t 1=0，t 2=1（舍去），∴t=0，故t 的值为1或0；（4）由（3）可知t=1时M 位于y 轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K （0，3），B 、O 、N 三点共线，∵A （﹣2，1），N （1，1），P （0，﹣1），∴点K 、P 关于直线AN 对称，设⊙K 与y 轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2），∴Q2与点O 关于直线AN 对称，∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP ，则NQ2延长线与⊙K 交点Q1，Q1、Q2关于KN 的对称点Q3、Q4也满足∠KNQ=∠BNP ，由图形易得Q1（﹣1，3），设点Q3坐标为（a ，b ），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2√2，由∵⊙K 半径为1，∴{(a −1)2+(b −1)2=(2√2)2a 2+(b −3)2=12，解得：{a 1=35b 1=195 ，{a 2=−1b 2=3 ， 同理，设点Q4坐标为（a ，b ），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=√2，∴{(a −1)2+(b −1)2=(√2)2a 2+(b −3)2=12 ，解得：{a 3=45b 3=125 ，{a 4=0b 4=2 ， ∴满足条件的Q 点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（35，195）、（45，125）.7．如图，直线2y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ．（1）当四边形CODM 是菱形时，求点D 的坐标；（2）若点P 为直线OD 上一动点，求APB ∆的面积；（3）作点B 关于直线MD 的对称点B '，以点M 为圆心，MD 为半径作M ，点Q 是M上一动点，求2QB '+的最小值． 【答案】（1）；（2）3；（3【解析】(1) (,)D m m，OD =， 菱形CODM2OD OC ∴===m ∴= (2)①2y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于,A B 两点，∴联立，222y x mx m m =-++，2y x =+解得1111x m y m =-⎧⎨=+⎩，2224x m y m =+⎧⎨=+⎩ ∵点A 在点B 的左侧(1,1)A m m ∴-+，(2,4)B m m ++AB ∴==∴直线OD 的解析式为y x =，直线AB 的解析式为2y x =+//AB OD ∴，两直线,AB OD 之间距离22h =⨯=11322APBS AB h ∴=⋅=⨯=(3) (1,1)A m m -+，(2,4)B m m ++1AM ∴==2BM ==由M 点坐标(,2)m m +，D 点坐标(,)m m 可知以MD 为半径的圆的半径为(2)2m m +-=取MB 的中点N ，连接,,QB QN QB '，则12MN BM ==⨯=MN QMMN QM QM BM ==QMN BMQ ∠=∠， ~MNQ MQB ∴，2QN MN OB OM ∴==，QN ∴=由三角形三边关系，当,,Q N B '三点共线时QB '+最小， ∵直线AB 的解析式为2y x =+，∴直线AB 与对称轴夹角为45°，∵点,B B '关于对称轴对称， 90BMB '︒∴∠=，由勾股定理得，2QB '+最小值===.8．如图，已知以E(3，0)为圆心，5为半径的☉E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)经过A ，B ，C 三点，顶点为F.(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点F 的坐标；(3)已知M 为抛物线上的一动点(不与C 点重合)，试探究：①若以A ，B ，M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等，求所有符合条件的点M 的坐标；②若探究①中的M 点位于第四象限，连接M 点与抛物线顶点F ，试判断直线MF 与☉E 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）A(-2，0)，B(8，0)，C(0，-4)；（2）抛物线的解析式为y=14x 2-32x -4，F (3，−254)；(3)①所点M 的坐标为(6，-4)，(√41+3，4)，(-√41+3，4)；②若M 点位于第四象限，则M 点即为M1点，此时直线MF 和☉E 相切，理由见解析.【解析】(1)由题图可得点A 的横坐标为3-5=-2，点B 的横坐标为3+5=8，连接CE ，则CE=5，又OE=3，。

圆与二次函数的综合题

圆与二次函数的综合题

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圆与二次函数的综合题
例1.如图，抛物线
c x ax y +-=32交x 轴的正方向于A 、B 亮点，交y 轴的正方向于C 点。

经过A 、B 、C
三点作圆O.若圆O 与y 轴相切 (1).求a 、c 满足的关系式 (2).设∠ACB=α,求αtan
(3).设抛物线顶点为P 判断直线PA 与圆O 的位置关系
例2.如图，直线y=-
3
3
x+1与两轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边长在第一象限内作正三角形ABC.圆O '为∆ABC 的外接圆与x 轴交于另一点E
(1).求C 点坐标
(2).求过C 点与AB 中点的直线的解析式 (3).求过点E 、O '、A 三点的二次函数的解析式
例3.如图，在平面直角坐标系中，圆D 与y 轴相切于点C(0,4).与x 轴相交于A 、B 两点，且AB=6 (1).求sin ∠ACB 的值
(2)求经过C 、A 、B 三点的抛物线的解析式 (3)设抛物线的顶点为F,判断直线FA 与圆D 的关系。

圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC ＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE ＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB ＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH (2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0) (3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3 (2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt △BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。

初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题5(附答案)

初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题5(附答案)

初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题5（附答案）1．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC +BD =16，则四边形ABCD 的面积最大值是( )A ．64B ．16C ．24D ．322．将抛物线y ＝x 2﹣4x +1向左平移至顶点落在y 轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y ＝﹣3和x 轴围成的图形的面积S （图中阴影部分）是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．如图，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且010x <≤，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y 轴对称．AB ∥x 轴，AB=4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH=1cm ，BD=2cm ．则右轮廓线DFE 所在抛物线的函数解析式为（ ）A ．y=（x+3）2B ．y=（x+3）2 C ．y=（x ﹣3）2 D ．y=（x ﹣3）25．在半径为4cm 的圆面上，从中挖去一个半径为x 的同心圆面，剩下一个圆环的面积为y ，则y 关于x 的函数关系为（ ）A ．y=πx 2－4B ．y=π(2－x)2C ．y=－π(x 2+4)D ．y=－πx 2+16π 6．小强用一根长为16cm 的铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）A ．216cmB ．232cmC ．264cmD ．28cm7．中国贵州省内的射电望远镜(FAST )是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜，根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈现抛物线状，口径AB 为500米，最低点O 到口径面AB 的距离是100米，若按如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )A ．21100625y x =- B ．21100625y x =-- C ．21625y x = D ．21625y x =- 8．周长是4m 的矩形，它的面积S(m 2)与一边长x(m)的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．9．已知两个正方形的面积和y 与其中一个正方形边长x 之间的函数解析式21236y ax x =-+的图象如图所示，（3，18）是该图象的顶点，当4x =时，这两个正方形的面积和为（ ）A ．19 B ．20 C ．22 D ．2410．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m,则所围成矩形ABCD 最大面积是（ ）A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 211．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y 1＝12（x +3）2﹣92，将抛物线C 1 向右平移3个单位、再向上平移4.5个单位得抛物线C 2，则图中阴影部分的面积为________．12．如图，已知抛物线 ()221y x =-- 与 x 轴交于A 、C 两点，与 y 轴交于点B ，在抛物线的对称轴上找一点Q ，使△ABQ 成为等腰三角形，则Q 点的坐标是____.13．一养鸡专业户计划用116m 长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN 宽2m ，门PQ 和RS 的宽都是1m ，围成的鸡舍面积最大是_平方米．14．如图，抛物线2y ax c =+的顶点为B ，O 为坐标原点，四边形ABCO 为正方形，则ac =______.15．如图，两条抛物线21112y x =-+，22112y x =--与分别经过点()2,0-，()2,0且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为______ ．16．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x ＝1，y ＝3，y ＝x +2，y ＝﹣x +4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A ，C 分别在x 轴和y 轴上，抛物线y ＝18（x ﹣a ）2+b 经过B ，C 两点，顶点D 在正方形内部．若点D 有一条特征线是y ＝x +2，则此抛物线的表达式是_____．17．用12m 长的木材做窗框（如图所示），要使透过窗户的光线最多，窗框的长为_____m ，此时最大面积为_____m 2．18．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD ，改建的绿地是矩形AEFG ，其中点E 在AB 上，点G 在AD 的延长线上，且DG = 2BE. 如果设BE 的长为x （单位：m ），绿地AEFG 的面积为y （单位：m 2），那么y 与x 的函数的表达式为__________________；当BE =______m 时，绿地AEFG 的面积最大.19．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地.如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD ，改建的绿地为矩形AEFG ，其中点E 在AB 上，点G 在AD 的延长线上，且DG ＝2BE.那么当BE ＝_____m 时，绿地AEFG 的面积最大．20．长方体底面周长为50cm ，高为10cm .则长方体体积()3y cm 关于底面的一条边长()x cm 的函数解析式是____________.（不要求写自变量的取值范围）21．如图所示，为了改造小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙的最大可使用长度12m ）的空地上建造一个矩形绿化带．除靠墙一边（AD ）外，用长为32m 的栅栏围成矩形ABCD ．设绿化带宽AB 为x m ，面积为S m 2，（1）求S 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）绿化带的面积能达到128m 2吗？若能，请求出AB 的长度；若不能，请说明理由；（3）当x 为何值时，满足条件的绿化带面积最大．22．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5与x 轴交于A (﹣1，0)．B (5，0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求此物线的解析式；(2)在此物线的对称轴上找一点M ．使得MA +MC 最小，请求出点M 的坐标；(3)在直线BC 下方抛物线上是否存在点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在．请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A B 、两点,与y 轴交于点,C OB OC =.点D 在函数图象上，//CD x 轴，且2CD =，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点.(1)求b c 、的值;(2)如图①，连接BE ， 线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F'恰好在线段BE 上，求点F 的坐标;(3)如图②,动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M ，与抛物线交于点N .试问:直线PN 右侧的抛物线上是否存在点Q ,使得PQN V 与APM ∆的面积相等，且线段NQ 的长度最小?如果存在，求出点Q 的坐标;如果不存在，说明理由. 24．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成．已知墙长14米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x 的值；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积S 有最大值吗？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点()30A -，、()20B ，、()04，C ． （1）求抛物线的解析式；（2）若AC 与抛物线的对称轴交于点E ，以A 为圆心，AE 长为半径作圆，A e 与y 轴的位置关系如何？请说明理由．（3）过点E 作A e 的切线EG ，交x 轴于点G ，请求出直线EG 的解析式及G 点坐标．26．如图，用长为6m 的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为xm ，窗户的透光面积为ym 2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．27．已知，抛物线22y ax ax c =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧.点B 的坐标为(1,0)，3OC OB =.（1）求抛物线的解析式；（2）当0a >时，如图所示，若点D 是第三象限抛物线上方的动点，设点D 的横坐标为m ，三角形ADC 的面积为S ，求出S 与m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围；请问当m 为何值时，S 有最大值？最大值是多少.28．已知抛物线y=-x 2-mx+2m 2（m ＜0）与x 轴交于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧． （1）求证：OB=2OA ；（2）若直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点，求m 的值．（3）若点C 与点O 关于点A 对称，且以点C 为圆心，CO 为半径的圆交抛物线于点D ，求证：DO 平分∠ADB ．29．如图，有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大长a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为xm ，面积为2Sm ．（1）求S 与x 的函数解析式并求出x 的取值范围．（2）当x 为多少时，矩形花圃面积S 最大，并求出最大值．30．如图1，抛物线213222y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为线段AC 的中点，直线BD 与抛物线交于另一点E ，与y 轴交于点F ．(1)如图1，点P 是直线BE 上方抛物线上一动点，连接PD ，PF ，当△PDF 的面积最大时，在线段BE 上找一点G ，使得PG ﹣10EG 的值最小，求出PG ﹣10EG 的最小值；(2)如图2，点M 为抛物线上一点，点N 在抛物线的对称轴上，点K 为平面内一点，当以点A 、M 、N 、K 为顶点的四边形是正方形时，直接写出点N 的坐标．参考答案1．D【解析】设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=16-x，则：S=12AC•BD=12x（16-x）=-12（x-8）2+32，当x=8时，S最大=32；所以AC=BD=8时，四边形ABCD的面积最大，故选D．【点睛】二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．2．B【解析】【分析】B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积.【详解】抛物线y＝x2﹣4x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y轴上,此时顶点B(0,-3)，点A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=2×3=6；故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．3．D【解析】根据题意和图形可知：y=x2，0＜x≤10，所以y与x之间函数关系的大致图象是，故选D．【点睛】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．4．C【解析】试题分析：利用B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．解：∵高CH=1cm，BD=2cm，而B、D关于y轴对称，∴D点坐标为（1，1），∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），∴右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2，把D（1，1）代入得1=a×（1﹣3）2，解得a=，故右边抛物线的解析式为y=（x﹣3）2．故选C．考点：二次函数的应用．5．D【解析】【分析】剩下面积=半径为4的圆的面积-半径为x的圆的面积，据此列式即可求得答案.【详解】半径为4的圆的面积16π，半径为x 的圆的面积πx 2，因而函数解析式是：y=-πx 2+16π，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 6．A【解析】【分析】设矩形长为x cm （0＜x ＜8），则宽为（8-x ）cm ，面积S =x （8-x ），利用二次函数求最值即可求得矩形的最大面积．【详解】解：设矩形长为x cm （0＜x ＜8），则宽为（8-x ）cm ， 面积S =x （8-x ）．S =-x 2+8x ,=-(x -4)2+16,由于-1<0,S 有最大值，当x =4时，S 最大是16.所以矩形的最大面积是16cm 2． 故答案为：16．【点睛】本题主要考查二次函数解决实际问题,解决本题的关键是要根据题意列出函数关系式,再求二次函数最值.7．A【解析】【分析】观察图像可知，抛物线的顶点坐标为（0，-100），开口向上，a>0，只有选项A 满足条件【详解】观察图象可知，抛物线的顶点坐标为(0,100)-，开口向上，0a >，只有选项A 满足条件. 故选：A【点睛】本题考查了抛物线的解析式，掌握a 与开口方向的关系是解题的关键.8．D【解析】【分析】首先根据矩形的周长，求出两个边长，然后列出面积的关系式，即可判定.【详解】根据题意，矩形的周长为4m ，一边长为x ，则另一边长为2-x ，∵S ＝x(2﹣x)＝﹣(x ﹣1)2+1(0＜x ＜2)．∴函数图像是顶点坐标(1，1)开口向下的抛物线．故选：D ．【点睛】此题主要考查二次函数图像的判定，熟练掌握，即可解题.9．B【解析】【分析】由题知解析式为21236y ax x =-+，将点（3,18）代入可求出a ，然后当x=4时，求出y 即可【详解】由题知解析式为21236y ax x =-+，将点（3,18）代入得：a=2∴解析式为221236y x x =-+当x=4时，y=20；故选B【点睛】本题主要考察二次函数解析式的求解，难度不大，仔细运算即可10．C【解析】试题分析：设BC=xm ，表示出AB ，矩形面积为ym 2，表示出y 与x 的关系式为y=（16﹣x ）x=﹣x 2+16x=﹣（x ﹣8）2+64，，利用二次函数性质即可求出求当x=8m 时，y max =64m 2，即所围成矩形ABCD 的最大面积是64m 2．故答案选C ．考点：二次函数的应用．11．27 2【解析】【分析】根据上→加，下→减，左→加，右→减的原则表示抛物线C2的解析式，由对称性可知：S阴影部分=S△OPQ，先计算Q的坐标，表示PQ的长，可得面积．【详解】由平移可得：抛物线C2的解析式：y2=12（x+3-3）2-92+92，即抛物线C2的解析式：y2=12x2，由抛物线C2的解析式：y2=12x2，可知，抛物线C2过原点O，当x=-3时，y2=12×（-3）2=92，∴Q（-3，92），∵抛物线C1：y1＝12（x+3）2﹣92，∴P（-3，-92），∴PQ=92+92=9，P与Q关于x轴对称，∴OQ=OP，∴S阴影部分=S△OPQ =12×3×PQ=12×3×9=272．故答案为：272．【点睛】本题考查二次函数的平移规律、抛物线与x轴的交点、对称性、三角形面积以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的平移原则是关键．12．Q 1()236+，，Q 2()236-，，Q 3（2，2），Q 4（2，3）【解析】【分析】先求得点A 和点B 的坐标，由顶点式知抛物线的对称轴为直线x=2，设抛物线的对称轴上的点Q 的坐标为()2m ，，分别求得AB ，并用含m 的代数式表示BQ AQ 、的长，分AB BQ BQ AQ AB AQ ===，，三种情况构造方程求得m 的值.【详解】如图，抛物线的对称轴为直线x=2当y=0时，（x-2）2-1=0解之：x 1=3，x 2=1∴点A 的坐标为（1，0）当x=0时，y=3∴点B （0，3）设点Q 的坐标为（2，m ）.∴AB 2=32+1=10，BQ 2=（m-3）2+22=（m-3）2+4，AQ 2=m 2+1，要使△ABQ 为等腰三角形，当AB 2=BQ 2时，则（m-3）2+4=10,解之：m 1=36 ， m 2=36 ，∴点Q 1(236， ， Q 2(236，.当BQ 2=AQ 2时，则（m-3）2+4=m 2+1,解之：m=2所以点Q 2（2，2）；当AB 2=AQ 2时，则10=m 2+1,解之：m=±3若m=-3，则点B 、A ，Q 在同一直线上，∴m=-3舍去，∴点Q 4（2，3）故答案为：(23+，，Q 2(23，，（2，2），（2，3）【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需要分类讨论．13．450【解析】【分析】设鸡舍面积为y 平方米，AB xm =，用含x 的式子表示出AD ，根据矩形面积公式得出关于x 的二次函数，由二次函数的性质，可求得围成的鸡舍面积的最大值．【详解】解：设鸡舍面积为y 平方米，AB xm =，则116421(602)2x AD x m -+=+=- 由题意得：2(602)260y x x x x =-=-+ ∴当152b x a=-=时，围成的鸡舍面积最大，最大值为：22156015450-⨯+⨯=（平方米） 故答案为450．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确分析图中的数量关系列出函数关系式，是解题的关键．14．-2【解析】【分析】 抛物线y=ax 2+c 的顶点B 点坐标为（0，c ），由四边形ABCO 是正方形，则C 点坐标为标为（2c -，2c ），代入抛物线即可解答． 【详解】解：∵抛物线y=ax 2+c 的顶点B 点坐标为（0，c ），四边形ABCO 是正方形，∴∠COB=90°，CO=BC ，∴△COB 是等腰直角三角形，∴C 点横纵坐标绝对值相等，且等于BO 长度一半，∴C 点坐标为（2c -，2c ）， 将点C 代入抛物线方程中得：2·()22cc a c -+= 解得：ac=-2．故答案为：-2．【点睛】 本题将几何图形与抛物线结合了起来，同学们要找出线段之间的关系，进而求得问题的答案．15．8【解析】【分析】两函数差的绝对值乘以两条直线的距离即可得到所求的阴影部分的面积．【详解】如图，∵两解析式的二次项系数相同，∴两抛物线的形状完全相同，∴两条抛物线是上下平移得到，∴y1-y2=-12x2+1-（-12x2-1）=2；∴S阴影=（y1-y2）×|2-（-2）|=2×4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查能否正确的判断出阴影部分面积，而解答此题．16．y＝18（x-4）2+6【解析】【分析】由特征线确定a与b的关系为b＝a+2，再有D点横坐标，确定正方形边长为2a，进而得到C（0，2a），将C点坐标代入函数解析式即可求得a．【详解】由题意可知D（a，b）在y＝x+2上，∴b＝a+2，∴正方形的边长为2a，∴C（0，2a），将点C代入y＝18（x﹣a）2+b得到，18（﹣a）2+a+2＝2a，∴a1=a2＝4∴y＝18（x-4）2+6；故答案为y＝18（x-4）2+6．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，新定义问题，弄清新定义的实质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.17．3 6【解析】【分析】设窗框的长为xm，根据木材的总长度是12m表示出宽，然后根据窗框的面积列式整理，再根据二次函数的最值解答．【详解】解：设窗框的长为xm ，则窗框的宽为()13122x -， 所以，窗框的面积()()2122361233x x x =-=--+， ∵230a =-<， ∴当x ＝3时，窗框的面积最大，透过窗户的光线最多，此时最大面积为6m 2．故答案为：3，6．【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，用长表示出宽并根据矩形的面积公式列式整理成顶点式形式是解题的关键，难点在于要注意窗框有三条宽．18．22864(08)y x x x =-++<< 2【解析】由题意可知：AE=AB-BE=8-x ，DG=2BE=2x ，所以AG=AD+DG=8+2x ，∴y=AE·AG=（8-x ）(8+2x)=-2x 2+8x+64(0<x<8)；y= -2x 2+8x+64=-2（x-2）2+72，∴当x=2时，y 有最大值，故答案为：y =-2x 2+8x+64(0<x<8)， 2.19．2【解析】【分析】设BE 的长为x ，绿地AEFG 的面积为y ，根据题意得出函数解析式进行解答即可．【详解】设BE 的长为x ，绿地AEFG 的面积为y ，S 矩形AEFG ＝AE•AG ＝（8−x ）（8＋2x ）＝−2x 2＋8x ＋64（0＜x ＜8）；解析式变形为：y ＝−2（x−2）2＋72，所以当x ＝2时，y 有最大值72，故填：2.【点睛】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式．20．210250=-+y x x【解析】【分析】由长方体底面周长50cm 和底面一条边长x 可表示出另一条边长，然后可得到底面积，最后用底面积乘高得到体积y 的解析式.【详解】∵长方体底面周长为50cm ，底面的一条边长x cm∴底面的另一条边长为()150252⨯-=-x x cm ∴()22510=10250=-⋅⋅-+y x x x x故答案为：210250=-+y x x .【点睛】本题考查根据实际问题写函数关系式，解题的关键是正确表示出长方体体积.21．（1）S ＝﹣2x 2+32x （10≤x ＜16）；（2）绿化带的面积不能达到128m 2，理由详见解析；（3）当x ＝10时，绿化带面积最大．【解析】【分析】（1）依题意易可得BC =32-2x ，根据矩形的面积公式可得出S 与x 的函数关系式，再由0＜32-2x≤12可求出x 的取值范围；（2）先将S =128代入（1）中的解析式，求出x ，再根据x 的取值范围判断即可；（3）将（1）中的函数关系式化为顶点式，再结合x 的取值范围利用二次函数的性质可求得结果．【详解】解：（1）由题意得，BC =32-2x ，∴S ＝x （32﹣2x ）＝﹣2x 2+32x ，又0＜32-2x ≤12，解得10≤x ＜16，故S 与x 的函数关系式为S =﹣2x 2+32x (10≤x ＜16)；（2）根据题意得，当S =128时，有﹣2x 2+32x ＝128，解得：x ＝8，又由（1）知10≤x ＜16，∴x =8不符合题意，故绿化带的面积不能达到128m 2；（3）∵S ＝﹣2x 2+32x ＝﹣2（x ﹣8）2+128，当10≤x ＜16，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝10时，绿化带面积最大．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数表达式和一元二次方程．22．（1）y ＝x 2﹣4x ﹣5；（2）M (2，﹣3)；（3）存在，点P 的坐标为(52，354-) 【解析】【分析】(1)把A (﹣1，0)、B (5，0)代入抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5求出a 、b 的值即可确定抛物线的关系式；(2)由对称可得，直线BC 与对称轴的交点就是所求的点M ，求出直线BC 的关系式和对称轴方程，求出交点坐标即可；(3)向下平移直线BC 与抛物线有唯一公共点时，这个公共点就是要求的点M ，于是利用平移后的直线关系式与抛物线关系式联立，使其只有一个解时即可．【详解】解：(1)把A (﹣1，0)、B (5，0)代入抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5得， 5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得，a ＝1，b ＝﹣4，∴抛物线的关系式为y ＝x 2﹣4x ﹣5，故答案为：y ＝x 2﹣4x ﹣5；(2)当x ＝0时，y ＝﹣5，∴点C (0，﹣5)设直线BC 的关系式为y ＝kx +b ，把点B 、C 坐标代入得，505k b b +=⎧⎨=-⎩ ， 解得，15k b ==-⎧⎨⎩， ∴直线BC 的关系式为y ＝x ﹣5，∵抛物线的关系式为y ＝x 2﹣4x ﹣5＝(x ﹣2)2﹣9， ∴对称轴为直线x ＝2，由对称可得，直线BC 与对称轴x ＝2交点就是所求的点M ，当x ＝2时，y ＝2﹣5＝﹣3，∴点M (2，﹣3)时，MA +MC 最小，故答案为：M (2，﹣3)；(3)向下平移直线BC ，使平移后的直线与抛物线有唯一公共点P 时，此时点P 到BC 的距离最大，因此△PBC 的面积最大，设将直线BC 向下平移后的直线的关系式为y ＝x ﹣5﹣m ，则方程x 2﹣4x ﹣5＝x ﹣5﹣m ，有两个相等的实数根，即x 2﹣5x +m ＝0有两个相等的实数根，∴m ＝254， 当m ＝254时，方程x 2﹣5x +m ＝0的解为x ＝52，把x ＝52代入抛物线的关系式得，y ＝254﹣4×52﹣5＝﹣354， ∴P (52，﹣354) 答：在直线BC 下方抛物线上存在点P ，使得△PBC 的面积最大，此时点P 的坐标为(52，﹣354)， 故答案为：P (52，﹣354)．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、轴对称和最短路径问题，待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，三角形的面积以及二次函数和一次函数的交点问题，掌握待定系数法求一次函数和二次函数解析式，以及交点问题是解题的关键．23．（1）2b =-，3c =-；（2）02（，）F -；（3）315,24Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b 的值；由OB OC =，可用c 表示出B 点坐标，代入抛物线解析式可求得c 的值；（2）可设(0,)F t ，则可表示出2F t '（，）的坐标，由B 、E 的坐标可求得直线BE 的解析式，把F '坐标代入直线BE 解析式可得到关于t 的方程，可求得F 点的坐标；（3）设点P 坐标为(,0)n ，可表示出PA 、PB 、PN 的长，作QR PN ⊥，垂足为R ，则可求得QR 的长，用n 可表示出Q 、R 、N 的坐标，在Rt QRN ∆中，由勾股定理可得到关于n 的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n 的值，则可求得Q 点的坐标，【详解】解：（1）2CD =Q 且//CD x 轴，∴抛物线的对称轴为直线1x = 即2b a -=-12b =， 2b ∴=-，() ,0,OB OC C c =Q ，,0B c ∴-（）代入：220c c c ++=，解得123,0c c =-= (舍去），3c ∴=-.（2）由（1）可知222314y x x x =--=--（） 则143,0EB -（，）（） 由待定系数法可得直线BE 的解析式为：26y x =-设由0F t （，），点F 关于直线1x =的对称点F 的坐标为2Ft '（，） 则有：2262t =⨯-=-02F ∴-（，）（3）存在点Q 满足题意．设点P 坐标为(,0)n ，则1PA n =+，3PB PM n ==-，223PN n n =-++．作QR PN ⊥，垂足为R ，S Q △PQN APM S ∆=， ∴211(1)(3)(23)?22n n n n QR +-=-++， 1QR ∴=．点Q 在直线PN 的右侧时，Q 点的坐标为2(1,4)n n +-，R 点的坐标为2(,4)n n n -，N 点的坐标为2(,23)n n n --．∴在Rt QRN ∆中， 221(21)NQ n =+-，∴12n =时，NQ 取最小值1．此时Q 点的坐标为315(,)24-． 综上可知存在满足题意的点Q ，其坐标为315(,)24-． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F 点的坐标表示出F '的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR 的长，用勾股定理得到关于n 的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．24．（1）12x =；（2）有，S 的最大值为112平方米．【解析】【分析】（1）根据题意可以得到关于x 的一元二次方程，从而可以解答本题，注意平行于墙的一般长不能超过14米；（2）根据题意可以得到S 关于x 的二次函数，然后利用配方法及函数性质求得其最值，从而可以解答本题．【详解】解：（1）由题意得：(302)72x x -=，整理得：215360x x -+=，解得13x =，212x =．当3x =时，3022414x -=>，不符合题意，故舍去，当12x =时，302614x -=<，则当苗圃园的面积为72平方米时，12x =．（2）∵平行于墙的一边长不小于8米∴830214x ≤-≤，即811x ≤≤．215225(302)222S x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭Q ， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线152x =， ∴当152x >时，S 随x 的增大而减小， ∴当8x =时，S 取得最大值，S 的最大值为112平方米．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25．（1）y ＝﹣23x 2﹣23x +4；（2）⊙A 与y 轴的位置关系是相交，理由见解析；（3）直线GE 的表达式为：y ＝﹣34x +7124，G （7118，0）． 【解析】【分析】 （1）根据待定系数法，即可求解；（2）根据待定系数法，求出直线AC 的表达式为：y ＝43x +4，进而求出点E 的坐标，可得AE 的长，比较AE 与AO 的大小关系，即可得到结论；（3）由直线AC 的表达式为：y ＝43x +4，结合AC ⊥EG ，可得直线EG 的表达式为：y ＝﹣34x +m ，结合点E 的坐标，可得直线GE 的表达式，进而即可求解． 【详解】（1）∵抛物线经过点()30A -，、()20B ，， ∴设二次函数的表达式为：y ＝a （x +3）（x ﹣2）＝a （x 2+x ﹣6），把C(0，4)代入得：﹣6a ＝4，解得：a ＝﹣23， ∴抛物线的表达式为：y ＝﹣23x 2﹣23x +4； （2）⊙A 与y 轴的位置关系是相交，理由如下：设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：034k b b =-+⎧⎨=⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的表达式为：y ＝43x +4， ∵抛物线的对称轴为：直线x ＝﹣12， ∴当x ＝﹣12时，y ＝103∴点E(﹣12，103)，∴AE＝221103023⎛⎫⎛⎫-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝256＞AO，∴⊙A与y轴的位置关系是相交；（3）直线AC的表达式为：y＝43x+4，∵EG是Ae的切线，切点是点E，∴AC⊥EG，∴设直线EG的表达式为：y＝﹣34x+m，将点E的坐标代入上式，得103＝﹣34×(﹣12)+m，解得：m＝7124，∴直线GE的表达式为：y＝﹣34x+7124，∵当y＝0时，x＝71 18，∴点G(7118，0)．【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与圆的综合，掌握待定系数法，切线的性质定理，直线与圆的位置关系的判定方法，是解题的关键．26．（1）y=-32x2+3x（0＜x＜2），(2) 窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m2．【解析】试题分析：（1）由窗框的宽为x m ，则长为(63)2x -m ，从而根据矩形面积公式得出函数关系式即可； （2）根据二次函数解析式，用配方法求其最大值即可．试题解析：（1）根据题意,得2(63)3322x y x x x -=⋅=-+（0＜x ＜2）. （2）∵()2233331222y x x x =-+=--+,∴当x=1时，32y =最大. ∴当窗框的长为32m 和宽为1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为32m 2. 考点：二次函数的应用．27．（1）223y x x =--+或223y x x =+-;（2）当12m =-时，S 取最大值，最大值为38 【解析】【分析】（1）根据点B 的坐标及OC=3OB 可得出点C 的坐标，再根据点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点D 作DE ⊥x 轴，交AC 于点E ，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、C 的坐标，进而即可得出线段AC 所在直线的解析式，由点D 的横坐标可找出点D 、E 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出S 与m 的函数关系式，利用配方法可找出S 的最大值．【详解】解：（1）∵点B 的坐标为(1,0)，3OC OB =，∴点C 的坐标为(0,3)或(0,3)-，将点(1,0)B ，(0,3)C 或(0,3)-代入22y ax ax c =++， 203a a c c ++=⎧⎨=⎩或203a a c c ++=⎧⎨=-⎩， 解得：13a c =-⎧⎨=⎩或13a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：223y x x =--+或223y x x =+-；（2）过点D 作DE x ⊥轴，交AC 于点E ，如图所示，，∵0a >，∴抛物线的解析式为223y x x =+-，∴点C 的坐标为(0,3)-.当0y =时，有2230x x +-=，解得：13x =-，21x =，∴点A 的坐标为(3,0)-，利用待定系数法可求出线段AC 所在直线的解析式为：3y x =--.∵点D 的横坐标为m ，∴点D 的坐标为2(,23)m m m +-，点E 的坐标为(,3)m m --，∴223(23)3DE m m m m m =---+-=--， ∴21330()22S DE m m =⨯--=-+（30m -<<）， ∵302-<，且223313()()2228S m m m =-+=-++， ∴当12m =-时，S 取最大值，最大值为38. 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用三角形的面积公式找出S 与m 的函数关系式．28．（1）见解析；（2）当79m =-时，直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点；（3）见解析. 【解析】【分析】（1）令y=0，代入y=-x2-mx+2m2，求出A(m，0)，B(-2m，0)，进而得OB=2OA；（2）联立2222y x mx my x⎧=--+⎨=-+⎩，得x2+（m-1）x+（2-2m2）=0，结合直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点，得△=0，进而即可求解；（3）以点C为圆心，CO为半径的圆交抛物线于点D，交点有两个，分两种情况：①当D 在x轴上方时，②当D在x轴下方时，分别求证，即可．【详解】（1）∵抛物线y=-x2-mx+2m2（m＜0）与x轴交于A、B两点，∴关于x的方程-x2-mx+2m2=0有两个不相等的实数根x1和x2，解得：x1=m，x2=-2m，∵点A在点B的左边，且m＜0，∴A(m，0)，B(-2m，0)，∴OA=-m，OB=-2m，∴OB=2OA；（2）∵直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点，∴2222y x mx my x⎧=--+⎨=-+⎩只有一组实数解，消y得：x2+（m-1）x+（2-2m2）=0，∴△=0，即（m-1）2-4×1×（2-2m2）=0，整理得：9m2-2m-7=0，解得：m1=1（不合题意舍去），27 9m=-．∴当79m=-时，直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点；（3）以点C为圆心，CO为半径的圆交抛物线于点D，交点有两个，∴CO=CD，①当D在x轴上方时，如图1，连接CD，∵点C与点O关于点A对称，∴OC=2OA=2AC，又由（1）得OB=2OA，∴BC=2OC，∴CA CD CD BC ==12， ∵∠DCA=∠BCD ，∴△DCA ∽△BCD ，∴BD=2AD ， ∵OB=2OA ，∴S △BOD =2S △AOD ，过O 点分别作△BOD 、△AOD 的高ON ，OM ，∴S △BOD=12BD ON ⋅，S △AOD=12AD OM ⋅ ∴BD •ON=2AD•OM ，∴ON=OM ，∴OD 是∠ADB 的平分线，即DO 平分∠ADB ；②当D 在x 轴下方时，如图2，同理①，可得DO 平分∠ADB ．【点睛】本题主要考查二次函数，相似三角形以及圆的综合，掌握二次函数的图象和性质，三角形相似的判定定理和性质定理，是解题的关键．29．（1）2330S x x =-+(20103x <…)；（2）当203x =时，矩形花圃面积S 最大，S 最大值=22003m 【解析】。

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二次函数、圆、三角形综合复习
1、已知AB 2，AD 4，DAB 90o，AD ∥ BC （如图13）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M 是线段DE 的中点．
（1）设BE x，△ABM 的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义
域；
（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE的长；
（3）联结BD ，交线段AM 于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长．
2、如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连结BP并延长交⊙ P于C，过点C的
直线y 2x b交x轴于D ，且⊙ P的半径为5，AB 4．（1）求点B，P，C 的坐标；
（2）求证：CD 是⊙P的切线；
3、如图①，在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌Rt△ CDA，且 A（－1，0）、B（0，2），抛物线
y
2
＝ ax ＋ ax－ 2 经过点 C。

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点 P、Q，使四边形 ABPQ是正方形？若存在，求点 P、 Q的坐标，若不存在，请说明理由；
4、已知抛物线y x2 4x m （m为常数）经过点（0，4）
⑴求m的值；
⑵将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线。

已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l 2）与平移前的抛物线的对称轴（设为l 1）关于y 轴对称；它所对应的函数的最小值为－8.
①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式；
②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P，使得以 3 为半径的⊙ P既与x 轴相切，又与直线l 2相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l 2被⊙ P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由。

5、如图，在平面直角坐标系中，以点C（0，4）为圆心，半径为 4 的圆交y 轴正半轴于点A，
AB是⊙C的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O 点开始沿x 轴正方向以每秒 4 个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点 A 和点O同时出发，设运动时间为t（秒）．
（1）当t ＝1 时，得到P1、Q1两点，求经过A、P1、Q1 三点的抛物线解析式及对称轴l ；
（2）当t 为何值时，直线PQ与⊙ C相切？并写出此时点P和点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N，使NP＋NQ最小，求出点N 的坐标并说明理由．
（3）如图②，E为BC延长线上一
动点，过有一点F，且AF＝AE，
AF交BC于点② BF BG，其中有且只有
一个成立
AF AG 结
A、B、E三点作⊙ O'，连结AE，在⊙ O'上
另G，连结BF。

下列结论：① BE＋BF的值
不变；
请你判断哪一个结论成立，并证明成立的
2
6. 如图，已知抛物线y = ax 2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、
B、 C 三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙ M的半径为5．设⊙ M与
y 轴交于D，抛物线的顶点为E．
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）设∠ DBC = ，∠ CBE = ，求sin （－）的值；
7. 如图，点 M （ 4， 0），以点 M 为圆心、 2 为半径的圆与 x 轴交于点 A 、 B ．已知抛物线
12
y x 2 bx c 过点 A 和 B ，与 y 轴交于点 C ．
6
（1）求点 C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．
12
（2）点 Q （8， m ）在抛物线 y
x 2 bx c 上，点 P 为此抛物线对称轴上一个动点，求 6
PQ ＋ PB 的最小值．
（3）CE 是过点 C 的⊙ M 的切线，点 E 是切点，求 OE 所在直线的解析式．
8．如图，已知 A （1,0）, B （
1
, 5
2）为直角坐标系内两点，点 C 在 x 轴上，且 OC
2OA ，
3 12
以 A 点为圆心， OA 为半径作⊙ A 。

直线 CD 切⊙ O 于 D 点，连结 OD 。

1）求点 D 的坐标；
2）求经过 O 、B 、 D 三点的抛物线的解析式；
3）判断在（ 2）中所得的抛物线上是否存在一点 求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

P ，使 DCP ∽ OCD ？若存在，
(1) . 求 C 点坐标
(2) .求过 C 点与 AB 中点的直线的解析式
(3) .求过点 E 、 O 、A 三点的二次函数的解析式
2
9. 如图，抛物线 y ax 2 3x c 交 x 轴的正方向于 A 、B 亮点，交 y 轴的正方向于 C 点。

经过 A 、B 、C 三点作圆 O.若圆 O 与 y 轴相切
(1) .求 a 、c 满足的关系式 (2) .设 ACB= ,求 tan
(3) .设抛物线顶点为 P 判断直线 PA 与圆 O 的位置关
系
10. 如图， 直线 y=-
3 x+1 与两轴分别交于 3
A 、
B 两点，以AB 为边长在第一象限内作正三
角形 ABC.圆 O 为 ABC 的外接圆与 x 轴交于另一点 E
11. 如图，在平面直角坐标系中，圆 D 与y 轴相切于点C(0,4).与x 轴相交于A、 B 两点，且AB=6
(1) .求sin ACB 的值
(2) 求经过C、A、 B 三点的抛物线的解析式
(3) 设抛物线的顶点为F,判断直线FA与圆 D 的关系
12. 如图，AB 是弦，CD 是直径，AB CD 于H,点P 在DC 延长线上，且PAH= POA,OH:HC=1:2,PC=6
(1) .求证:PA是圆O的切线
(2) .求圆O 的半径的长
(3) .试在弧ACB 上取一点E(E与A、B不重合).并延长PE与弧ADB 交于F,设FH=x,PF=y,求y与x之间的
解析式，并指出x 的取值范围。

14. 如图，在平面直角坐标系中，点 A （ 10，0），以 OA 为直径在第一象限内作半圆 C ，点 B 是该半圆周上一动点， 连结 OB 、AB ，并延长 AB 至点 D ，使DB=AB ，过点 D 作 x 轴垂线， 分别交 x 轴、直线 OB 于点 E 、F ，点 E 为垂足，连结 CF ．
1）当∠ AOB =30°时，求弧 AB 的长度； （2）当 DE=8 时，求线段 EF 的长；
（3）在点 B 运动过程中，是否存在以点 E 、C 、 为顶点的三角形与△ AOB 相似，若存在，请求出此 时点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
13.
第 14 题图
15. 如图，直角坐标系中，已知两点O（0,0） A（2,0），点B在第一象限且△ OAB为正三角形，△OAB的外接圆交y 轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交X 轴于点D．
1）求B，C 两点的坐标；（2）求直线CD的函数解析式；
（3）设E，F 分别是线段AB，AD 上的两个动点，且
试探究：△AEF 的最大面积？
16. 如图，在平面直角坐标系中，△ ABC的边AB在x轴上，且OA OB，以AB为直径的圆过点C．若点C的坐标为（0，2），AB 5，A、B 两点的横坐标x A，x B是关于x的方
程x2 (m 2)x n 1 0 的两根．
1）求m 、n 的值；
2）若ACB平分线所在的直线l交x轴于点D ，试求直线l对应的一次函数解析式；1
3）过点D 任作一直线l 分别交射线CA 、CB（点C除外）于点M 、N ．则 1 CM 的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
1
CN
C (0，2)
17. 在△ABC中，E，F是BC边上的两个三等分点，BM是AC边上的中线，AE，AF分别与BM交于D，G．求：BD∶DG∶GM．
18. 如图所示，AB＝AC，∠BAC＝90 ，M 是AC 中点，AE⊥BM
求证：∠ AMB ＝∠CMD
19. 已知P 是正方形ABCD 内的一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3，则APB 的度数
为（）
20. 已知P 是等边△ ABC 内的一点，PA 5,PB 4,PC 3,则BPC 的度数为
21. 设G为△ ABC 的重心，且AG 6,BG 8,CG 10,则△ ABC 的面积为（）。

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