典型例题极限与连续的62个典型习题

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极限与连续的应用于极值问题练习题及解析

极限与连续的应用于极值问题练习题及解析在微积分中，极限和连续是两个核心概念。

它们不仅在理论上有重要的意义，而且在实际问题的求解过程中也发挥着重要的作用。

本文将针对极限和连续的应用于极值问题进行一些练习题的讨论和解析。

题目一：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x的单调区间。

解析：首先，我们需要求出函数的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。

对函数f(x)进行求导得到f'(x) = 3x^2 - 6x - 9，再对f'(x)进行求导得到f''(x) = 6x - 6。

接下来，我们需要找出函数f(x)的临界点。

临界点即为函数f(x)的导数f'(x)为零的点。

令f'(x) = 0，解得x = -1和x = 3。

所以函数f(x)的临界点为x = -1和x = 3。

根据一阶导数的符号可以确定函数的单调性。

当x < -1时，f'(x) < 0；当-1 < x < 3时，f'(x) > 0；当x > 3时，f'(x) < 0。

由此可得函数f(x)的单调区间为(-∞，-1)和(3，+∞)。

题目二：确定函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x的极值点及极值。

解析：根据题目一的解析，我们已经知道函数f(x)的临界点为x = -1和x = 3。

现在我们需要进一步确定这些点是否为极值点，并求出极值。

首先，我们需要求出函数f(x)的二阶导数f''(x)。

根据题目一的解析，f''(x) = 6x - 6。

接下来，我们可以对临界点进行二阶导数的带入计算。

当x = -1时，f''(-1) = 6(-1) - 6 = -12；当x = 3时，f''(3) = 6(3) - 6 = 12。

根据极值点的判定条件，当f''(x) > 0时，函数在该点处有极小值；当f''(x) < 0时，函数在该点处有极大值；当f''(x) = 0时，判定条件不成立。

极限与连续习题

习题 1．１１．证明下列集合等式：（１）A B B A ⋃=⋃；（２）A B B A ⋂=⋂；（３）()()()A B C A C A C ⋃⋂=⋂⋃⋂；（４）()()()A B C A C A C ⋂⋃=⋃⋂⋃．２．设111{1,,,,,}23A n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，求sup A 与inf A ，问上、下确界是否可以达到？ 3．设,A B R ⊂是非空有界集，证明：（1）inf inf sup sup A B B A A B ⊆⇒≤≤≤；（2）sup()max{sup ,sup },inf()inf{inf ,inf }A B A B A B A B ⋃=⋃=．４．设A R ⊂，是非空有界集，令{|}A x x A -=-∈，则： inf sup()A A =-- 和 sup inf()A A =--．５．设,a b R ∈，证明三角不等式成立：（１）||||||a b a b +≤+；（２）||||||a b a c c b -≤-+-．习题１．２１．下列说法能否作为a 是数列{}n a 的极限的定义？为什么？（１）对于无穷多个0ε>，存在N N +∈，当n N >时，不等式||n a a ε-<成立；（２）对于任给的0ε>，存在N N +∈，当n N >时，由无穷多项n a ，使不等式||n a a ε-<成立；（３）对于给定的10010ε-=，不等式 10||10n a a --<。

２．说明下列表述都可作为a 是数列{}n a 的极限的定义。

（1）对于任给的0ε>，存在N N +∈，当n N ≥时，不等式||n a a ε-<成立；（2）对于任给的0ε>，存在N N +∈，当n N >时，不等式||n a a ε-≤成立；（3）对于任给的0ε>，存在N N +∈，当n N >时，不等式||n a a k ε-<成立，其中k 是正常数；（4）对于任给的m N +∈，存在N N +∈，当n N >时，不等式1||n a a m-<成立；（5）对于任给的0ε>，存在N N +∈，不等式||n p a a ε+-<对于任意的自然数p 都成立。

函数极限与连续习题(含答案)汇编

基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。

函数的极限与连续训练题1、已知四个命题：（1）若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x x →点必有极限（2）若)(x f 在0x x →点有极限，则)(x f 在0x 点必连续（3）若)(x f 在0x x →点无极限，则)(x f 在0x x =点一定不连续（4）若)(x f 在0x x =点不连续，则)(x f 在0x x →点一定无极限。

其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若a x f x x =→)(lim 0，则下列说法正确的是（ C ）A 、)(x f 在0x x =处有意义B 、a x f =)(0C 、)(x f 在0x x =处可以无意义D 、x 可以只从一侧无限趋近于0x3、下列命题错误的是（ D ）A 、函数在点0x 处连续的充要条件是在点0x 左、右连续B 、函数)(x f 在点0x 处连续，则)lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的D 、对于函数)(x f 有)()(lim 00x f x f x x =→ 4、已知x x f 1)(=，则xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0的值是（ C ） A 、21x B 、x C 、21x - D 、x -5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、1lim 0=→x xx B 、1)1(21lim 21=--→x x x C 、111lim 1=---→x x x D 、0lim 0=→x x x 6、51lim 21=-++→xb ax x x ，则b a 、的值分别为（ A ） A 、67和- B 、67-和 C 、67--和 D 、67和7、已知,2)3(,2)3(-='=f f 则3)(32lim3--→x x f x x 的值是（ C ）A 、4-B 、0C 、8D 、不存在8、=--→33lim a x ax a x （ D ）A 、0B 、1C 、32aD 、323a9、当定义=-)1(f 2 时，xx x f +-=11)(2在1-=x 处是连续的。

(完整版)高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。

5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。

7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）．答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→xxax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（不存在），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。

近30年数学考研真题高数极限连续部分

当
时，用“
”表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是：（）
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】：D
（2013302）
函数
的可去间断点的个数为：（）
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】：C
（2014201）
当
时，若
，
均是比高阶的无穷小，则的取值范围是：
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】：B
（2014301）
f
x 的间断点,其结论为
(
)
(A) 不存在间断点
(B) 存在间断点 x 1
(C) 存在间断点 x 0
(D) 存在间断点 x 1
【答案】：B
（1999209）
“对任意给定的 e 0,1，总存在正整数 N ，当 n N 时，恒有 | xn a | 2 ”是数列 xn
收敛于 a 的（）
（A）充分条件但非必要条件（C）充分必要条件【答案】：C
()
(C) 1 x2 1
【答案】：D
(D) x tan x
（1993202）
当
x
0时，变量
1 x2
sin
1 x
是则（
）
（A）无穷小
（C）有界的，但不是无穷小
【答案】：D
（B）无穷大（D）有界的，但不是无穷大
（1994102）
设 lim x0
a tan x b(1 cos x) c ln(1 2x) d (1 ex2
【答案】：B
（2008301）
设函数在区间
上连续，则
是函数
的：（）

函数极限与连续习题(含答案)

基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。

其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若a x f x x =→)(lim 0，则下列说法正确的是（ C ） A 、)(x f 在0x x =处有意义 B 、a x f =)(0C 、)(x f 在0x x =处可以无意义D 、x 可以只从一侧无限趋近于0x3、下列命题错误的是（ D ）A 、函数在点0x 处连续的充要条件是在点0x 左、右连续B 、函数)(x f 在点0x 处连续，则)lim ()(lim 00x f x f x x x x →→= C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数)(x f 有)()(lim 00x f x f x x =→ 4、已知x x f 1)(=，则xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0的值是（ C ） A 、21x B 、x C 、21x - D 、x - 5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、1lim 0=→x xx B 、1)1(21lim 21=--→x x x C 、111lim 1=---→x x x D 、0lim 0=→x x x 6、51lim 21=-++→xb ax x x ，则b a 、的值分别为（ A ） A 、67和- B 、67-和 C 、67--和 D 、67和7、已知,2)3(,2)3(-='=f f 则3)(32lim 3--→x x f x x 的值是（ C ） A 、4- B 、0 C 、8 D 、不存在8、=--→33lim a x ax a x （ D ）A 、0B 、1C 、32aD 、323a9、当定义=-)1(f 2 时，xx x f +-=11)(2在1-=x 处是连续的。

极限练习题含答案

极限练习题含答案极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值的行为。

下面是一些极限练习题及其答案，供同学们学习和练习。

练习题1：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案1：根据洛必达法则或者直接使用三角函数的性质，我们可以知道：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]练习题2：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]答案2：分子和分母同时除以\( x^2 \)，得到：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} +\frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 3 \]练习题3：求极限\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} \]答案3：这是e的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e \]练习题4：求极限\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \]答案4：这是一个无穷小量的倒数，当\( x \)趋近于1时，\( x - 1 \)趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \text{ 不存在} \]练习题5：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} \]答案5：分子分母同时除以\( \sin x \)，得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 =\frac{2}{3} \]练习题6：求极限\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x \]答案6：使用洛必达法则或者直接利用三角函数的性质，我们可以得到：\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \]练习题7：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \]答案7：当\( x \)趋近于无穷大时，\( \sin x \)的值在-1和1之间波动，但相对于\( x \)来说，它趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]练习题8：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]答案8：这是e的导数的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]以上练习题和答案可以帮助同学们更好地理解和掌握极限的概念和求解方法。

经济数学(极限与连续习题及答案)

第二章函数的极限与连续习题 2－11.写出下面数列的前5项，并观察当n —>∞时，哪些数列有极限，极限为多少? 哪些数列没有极限.{}{}{}{}{}{}{}211(1) 1 (2) 21(3) (4) (1)11(1)(5) sin (6) 2n n n nn n n n n n x x n n x x nn x x n π⎧⎫-⎪⎪⎧⎫=-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭-⎧⎫==-⎨⎬+⎩⎭⎧⎫+-⎪⎪⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭解（1）3231,1615 ,87 ,43 ,21 有极限 , 极限为 1.(2)524,415 ,38 ,23 ,0 没有极限. (3)64,53 ,42 ,31 0, 有极限 , 极限为 1. (4) －1, 2, －3, 4, －5 没有极限.(5)5sin,4sin ,3sin ,2sin ,sin πππππ, 有极限 , 极限为 0 . (6) 0, 1, 0 , 1, 0 没有极限 . 2. 用极限的定义证明：(1) 若k >0，则 1lim0kn n →∞=n 212(2) lim313n n →∞+=+解 (1) 因为对任给的ε> 0，要使不等式110(0)k kk n n ε-=<>11().kn ε>即便可所以对任给的ε> 0, 取正整数 N =11[()]1kε+ , 则当n >N 时, 就恒有 10kn ε-<故由数列极限的定义知, 1lim0kn n →∞=.(2) 因为对任给的ε > 0, 不妨设10ε<3<，要使不等式2121ε31393n n n +-=<++11(3) 9εn >-即便可.所以对任给的ε> 0, 取正整数N = 11[(3)]19ε-+, 则当n > N 时, 就恒有 212313n n ε+-<+故由数列极限的定义知,3213n 12n lim=++∞>-n .3. 设 120.9,0.99,,0.999,lim .nn n n x x x x →∞===求如果要使x n 与其极限之差的绝对值小于 0.0001 , 问n 应满足什么条件?解因为0.999,lim 1, 0.0001,n n n n x x ε→∞===由则取要使110.000110000n x -<=110.999910000n x >-=只要便可.所以n > 4 .4. 设数列｛x n ｝有界，且lim 0, lim 0.n n n n n y x y →∞→∞==证明证因为数列｛x n ｝有界, 所以存在正整数M > 0, 使得nx < M,又因为0lim =∞→n n y , 则对任给的M ε> 0, 存在正整数N , 使得当n > N 时, 就恒有0n y M ε-<所以对任给的ε> 0, 存在正整数N , 使得当n >N 时, 就恒有n n n n x y x y M Mεε=<⋅=故由数列极限的定义知, .0lim =∞→n n n y x5. 设数列｛x n ｝收敛, 求证数列｛x n ｝必定有界.解由数列｛x n ｝收敛, 设Ax n n =∞→lim .因为对于任意ε > 0, 存在正整数N , 使得当n > N 时的一切x n , 就恒有 n x A ε-<即n A x A εε-<<+所以对任给的ε > 0,取正数{}12max ,,,,,,N M x x x A A εε=+-使得当n > N 时 ,就恒有 n x M <故数列｛x n ｝必定有界.习题 2－21. 用极限的定义证明：2324(1) lim(31)8 (2) lim 4223(3) lim 2 (4) lim 20x x x x x x x x x x →→-→∞→-∞--==-++==解 (1)因为对任给的ε> 0, 要使不等式|(3 x – 1) – 8| =|3(x – 3)| < ε只要取正数δ= ε3就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数δ= ε3,使得当0 < | x – 3|<δ时, 就恒有|(3x – 1) – 8| < ε故由极限定义知 3lim(31)8x x ->-=.(2)因为对任给的ε > 0, 要使不等式244242ε2x x x x -+=-+=+<+只要取正数δ= ε就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数δ= ε, 使得当0<|x + 2|<δ时, 就恒有244ε2x x -+<+ 故由极限定义知 224lim 42x x x →--=-+.(3)因为对任给的ε> 0, 要使不等式2332εx x x +-=<,则 |x |> 3ε, 只要取正数M = 3ε就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数M =3ε, 使得当| x | > M 时, 就恒有 232εx x +-<故由极限定义知 23lim 2x x x ->∞+=.(4)因为对任给的ε> 0 (不妨设0<ε<1), 要使不等式ln 202, ln 2x x x εε-=<<即 ln ln 2M ε=只要取正数就可以了.所以对任给的ε>0,取正数2ln ln ε=M , 使得当x <-M 时, 就恒有20x ε-<故由极限定义知 lim 20x x ->-∞=.2*. 当x →-2时，x 2→4. 问δ等于多少，在0<|x + 2|<δ时, 有| x 2 - 4|< 0.003 ?解因为当x→-2时，x -2 →-4, 取 ε= 0.003, 要使不等式 | x 2 - 4|=| x + 2| | x – 2 |< ε设21x +<, 即有 -3< x <-1, -5< x -2 <-3 所以当2x -< 5时，取0.0035δ==0.0006, 有240.003x ε-<=.3*. 当x —>∞ 时，102x →-. 问M 等于多少时，在|x |> M 时, 有100.012x -<-?解因为当x —>∞ 时，要使不等式100.012x -<-2100, 102.x x ->>只要便可即M = 102.4. 设函数1, 0() 0, 01, 0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩, 讨论当x —> 0时，f (x )的极限是否存在.解 00lim ()lim (1)1x x f x x --→->=-=-因为00lim ()lim (1)1lim ()lim ()lim ()x x x x x f x x f x f x f x ++-+→->→→->=+=≠即故不存在.5. 证明函数f (x ) = x | x |, 当x →0时极限为零.22, 0(), 0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩解因为--20020lim ()lim ()0lim ()lim 0lim ()0.x x x x x f x x f x x f x ++→→→→→=-====即故6* . 利用定义证明：0, 11lim , 01x x a a a →+∞>⎧=⎨+∞<<⎩. 证因为当a >1时，对任意ε> 0，不妨设0<ε<1, 要使110x x a a ε-=<1ln ln x a ε->只要取正数便可.所以对于0<ε<1，1ln 0,,ln M x M a ε->>取=当时就恒有10xa ε-<即 1limx x a →+∞=.又因为当0< a < 1时，令11b a =>时，由上述可得1 lim 0x x b →+∞=于是 1lim lim x x x x b a →+∞→+∞==+∞故由极限定义知0, 11lim, 01xx a a a →+∞>⎧=⎨+∞<<⎩. 7.设函数21, 2()2, 2x x f x x k x ⎧+≥=⎨+<⎩, 问当k 取何值时，函数f (x )在x —> 2时的极限存在. 解 2lim (), ,x f x ->因为要使存在必须左右极限存在且相等222lim (1)5lim (2)4 1.x x x x k kk ->->+==+=+=＋－即解得故 2lim () 5.x f x ->=8. 求(),()x xf x x x x ϕ==当x —> 0时的左、右极限，并说明它们在 x —> 0时的极限是否存在.解 1 , 0(), 0x f x x ≠⎧=⎨=⎩因为不存在 0lim () lim101 , 0()1, 0x x f x x x x ϕ→→==>⎧=⎨-<⎩即而习题 2－31. 1. 求下列极限：3222010203031222042412(1)(1) lim (2) lim2(2)(23)31(3) lim (4) lim()1(13)112((5) lim[ ] (6 ) limx n x x n h x x x n x x n x x x x x n x n n n→→∞→∞→→∞→-++++-+------++++222) (7) x x h x h →→-解 322200424424(1)lim lim 2.22x x x x x x x x x x →→-+-+==++22102010202030303012(1)(1)1(2) lim=lim =.2223(1)(2)(2)(23)2(3) lim lim .1(13)3(3)n n x x n n n n n x x x x x x →∞→∞→∞→∞+++------==-- 233112122222313(1)(4) lim()lim111(2)(1)lim 1.(1)(1)1212 (5) lim[]lim1(1)1lim .22 (6) lim x x x n n n h x x x x x x x x x x n nn n n n n n n →→→→∞→∞→∞-++-=---+-==-++++++++=+=⋅=222000200()2lim lim(2)2.(7)lim(1 2.(8) h h x x x x x x h x xh h x h x h h →→→→→→→→+-+==+===-=-= 4x x →→===2. 求下列数极限：n n n n n n 1(1)(1) lim111(3) lim[]1223(1)(1) 0.1(1)(2) lim 0.nnnn n n →∞→∞→∞→∞→∞+-+++⨯⨯⨯+==+-= 解111(3) (1)1n n n n =-⨯++因为111 lim[]1223(1)11111lim[(1)()()]22311lim(1) 1.1n n n n n n n n →∞→∞→∞+++⨯⨯⨯+=-+-++-+=-=+ 故2. 2. 设 22lim()51x x ax b x →∞--+=--, 求常数a, b 的值.解 222(1)()2lim ()lim 511x x x a x b a x bax b x x →∞→∞--++---+==---由1051, 6.a a b a b -=⎧⎨+=-⎩==-得故3. 3. 若常数k 使233lim 222-++++-→x x k kx x x 存在, 试求出常数k 与极限值. 解 2222233lim lim (2)02x x x kx k x x x x →-→-++++-=+-由己知存在,且 22lim (33)150 15.x x kx k k k →-+++=-==所以得22222315183(2)(3)limlim2(2)(1)3(3)lim 1.1x x x x x x x x x x x x x →-→-→-++++=+-+-+==--则5. 求下列函数的极限：12100(1)1ln(1) (1) lim(2) limln(1)nx x x x x xx x →→∞+--+++解1(1) (1) , 1,n nx t x t +==-令当0x →时, 1t →, 则 1120112221010910910(1)1111limlimlim .1(1)(1)11ln (1)ln(1)(2) lim lim11ln(1)ln (1)112ln ln(1)2 lim lim 1110ln ln(1)nn n n x t t x x x x x t t x nt t t t x x x x x x x x x xx x x x x x --→→→→∞→∞→∞→∞+---===--+++-+-+=+++++-++==+++ 91011ln(1)/ln 1110ln(1)/ln 15xx x xx x-++++=6 .求下列曲线的渐近线： 3222122(1) (2) 232(3) 2 (4) 21x x x y y x x x x xy y x --==+---==-解332(1) (3)(1)23x x y x x x x ==+-+-3321133233lim lim (3)(1)231;lim lim(3)(1)233;x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→-→-==∞+-+-===∞+-+-=- 因为所以是铅垂渐近线因为所以是铅垂渐近线 323222lim lim 1(23)23 lim[]lim 223232.x x x x y x x x x x x x xx x x x x y x →∞→∞→∞→∞==+--+-==-+-+-=- 又因为且所以是斜渐近线2222222222121102 (2) lim 121;2lim 222lim lim 221,2. (3) lim 21 lim 2x x x x x xxx x x x x y x x x x x x x x x x x -→∞→→→-→--→∞→-=--=-==∞----==∞----=-===∞因为所以是水平渐近线又因为且所以是铅垂渐近线因为且所1,0.y x ==以是水平渐近线是铅垂渐近线212(4) lim211.2x xx x →=∞-=因为所以是铅垂渐近线2221lim lim (21)22(21)11lim[]lim lim 2122(21)4241124x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x →∞→∞→∞→∞→∞==----===---=+又因为且所以是斜近渐近线.7. 已知 2200012000lim 0,,.x x x x b a b x a →+++-=≠- 求的值解 2200012000lim x x x x b x a →+++-=- 由己知存在习题 2－41. 1. 利用极限存在准则，计算下列各题:22221111 (1)lim[] (1)(2)()(2)limn n n n n n n →∞→∞+++++++解2222111111(1)4(1)(2)()n n n n n n n ≤++++≤+++ 因为222211lim lim 041111lim[]0.(1)(2)() (2)1sin 1,n n nn n n n n n n n →∞→∞→∞==++++=+++-≤≤≤且所以因为则有lim lim lim 0.n n n →∞→∞→∞===所以 2.求下列极限：0022021sin (1) lim (2) lim cot 2sin 22(3) lim (4) lim sin tan 3sin(1)(5) lim (6) li 1x x x x x kxx xxx x x x x x →→→→∞→--01cos msin sin (7) lim (8) lim 2sin 2x n nx n xx x x xx ππ→→→∞-- 解 00sin sin (1) lim lim .x x kx kxk k x kx →→==0021(2) lim cot 2lim .2tan22x x x x x x →→==0022222221112000sin 2sin 2322(3) lim lim .tan 32tan 333222(4) lim sin lim 2sin / 2.sin(1)sin(1)(5) lim lim lim(1) 2.112sin s 1cos 2(6) lim lim2lim sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→∞→∞→→→→→→=⋅⋅===--=⋅+=---==20in 22sin cos22sin 112 lim cos .2222x x x x x x x →=⋅=00sin()sin sin (7) limt lim lim = 1.(8) lim 2sin lim sin /.222x t t n n n n n n t x tx x t tx x xx x ππππ→→→→∞→∞+-=-=--== 3.求下列极限：123sec 03(1) lim (1) (2) 121 (3) lim () (4) lim ()23 (5) lim (1cos ) (6) lim x x x x xx x x x x xx x x x x π+→∞→→∞→∞→→++-++2112cot0(12sin ) (7) lim(14) (8) lim(13tan )xxxxx x x x x -→→+-+解 3133333(1) lim (1) lim (1)(1).xx x x e x x x ⋅+→∞→∞+=++=11(3)330222(2) lim(13)lim(13)].11(3) lim() lim(1) .x x x x x x x x x x x e x e x x---→→→→∞→∞=-=-=+=+=23113()2()232222133sec cos 1121132(4) lim ()lim ()lim (1)lim (1)323221213 lim (1)lim (1).22(5) lim(1cos ) lim(1cos )x x x xx x x x x x x x x x xx x x x x x x xe e e x xx x ππ-→∞→∞→∞→∞⋅⋅--⋅----→∞→∞→→--==-⋅+++=-⋅+=⋅=+=+223112sin 22sin 011(44)440132cot 233tan 022000.(6) lim(12sin)lim(12sin).(7) lim(14) lim(14).(8) lim(13tan )lim(13tan).1001 4.lim ()5xx xx xx x xx xx x x xx x x x c x e x x e x x e x x e x e x →→-⋅---→→⋅→→+→∞=+=+=-=-=+=+=+=-已知,.c 求解 220001001lim()5x x x x +→∞+-由510062200010065201210061001 lim (1)lim ()552012.x x x x x c x x x e e c -⋅-→∞→∞+=+⋅--===故习题 2－51.下列函数在什么情况下是无穷小量，什么情况下是无穷大量？3211(1) (2) 1(2) (4) ln(1)x x y y x x y e y x --==-==+解（1）因为 301lim x x →=∞,所以当0x →时，31y x =是无穷大量. 又因为 31lim 0x x →∞=，所以当x →∞时，31y x =是无穷小量. （2）因为21111lim lim 11x x x x x →-→--==∞+-，所以当1x →-时,21 1x y x -=-是无穷大量. 又因为 211lim lim 011x x x x x →∞→∞-==+-，所以当x →∞时，21 1x y x -=-是无穷小量. （3）因为lim x x e -→-∞=∞，所以当x →-∞时, xy e -=是无穷大量.又因为lim 0x x e -→+∞=，所以当x →+∞时,xy e -=是无穷小量. （4）因为1lim ln(1)lim ln(1)x x x x +→+∞→-+=∞+=∞或，所以当x →+∞,1, ln(1)x y x +→-=+时或时是无穷大量.又因为0lim ln(1)0x x →+=，所以当0 , ln(1)x y x →=+时是无穷小量.2．当0x →时，指出关于x 的同阶无穷小量、高阶的无穷小量、等价的无穷小量.22211,sin ,cos 1,(1),sin .2xx x e x ---解因为12x x →→==所以当0x +→时，与x1-；又因为 2200sin sin lim lim 0x x x x x x →→==200cos 1lim lim 02x x x x x x →→-=-= 所以当0x +→时，比x 高阶的无穷小量有2sin x ，2sin x ，cos 1x -；又因为 2001(1)122lim lim 12xx x e x x x →→-=⋅=所以当0x →时，与x 等价的无穷小量有21(1)2xe -.3.把下列函数表示为常数(极限值)与一个当x —>∞时的无穷小量之和的形式.3333(1)() (2) ()121x x f x f x x x ==-+解（1）因为33lim 11x x x →∞=-,所以3331() 111x f x x x ==+--. （2）因为 33311lim lim 0 22142x x x x x →∞→∞-==++且所以311()242f x x =-+. 4．证明：当x —>0 时，(1) e x -1 ∽ x ； (2) arcsin x ∽ x .解（1）100011lim 1lim lim 1ln(1)ln(1)x x x x x te t t e x t t →→→-=-==++令.（2）00arcsin limarcsin lim 1sin x t x tt x x t →→==令.5．利用等价替换原理, 计算下列极限：sin 2002000sin 31(1) lim (2) limsin tan 52ln(123)(3) lim (4) limsin()arcsin 2(5)lim(6) lims (sin )xx x x x n mx x x x e x xx x x x x x x →→→→→→-+-233in 235(7) lim(8) lim42tan x n xx x x x x→+-+解（1）因为当0x →时，sin33,sin ,tan5522x xx x x x所以 00sin336limlim 5sin tan5522x x x x x x x x x x →→⋅==⋅⋅.（2）因为当sin 2sin 0,12xxx e →-时所以sin 2001sin 1limlim22x x x ex x x →→-==. （3）因为当220,ln(123)23x x x x x →+-- 时所以 22000ln(123)23lim lim lim(23)2x x x x x x x x x x →→→+--==-=. （4）因为当0,sin 22x x x → 时所以x x →→=00 4x x →→===.（5）因为当0,sin ,sin n nx x x x x → 时所以 000, sin lim lim 1, (sin ), nnm mx x n mx x n m x x n m →→>⎧⎪===⎨⎪∞<⎩.（6）因为当0,arcsin 22,sin x x x x x → 时所以 00arcsin 22limlim 2sin x x x xx x →→==. （7）因为当230,,x x x x →时都是比更高的无穷小所以 233002352lim lim 12tan 2tan x x x x x x x x x →→+-==+.(8)因为当n →∞limlim0.n n ==所以6. 设x —>0 时, 函数122(1)1cos 1kx x +--与为等价无穷小量，求常数k 的值.解因为 12220021(1)12lim lim 11cos 12x x kxkx k x x →→+-==-=--所以 k = －1.*7. 求下列函数的极限：)tan 1ln(cos sin 1lim )1(20x xx x x +-+→ 11(2)lim ()x x x x a b →+∞-)]11ln(sin )31ln([sin lim )3(x x x x +-+∞→解0x →(1)0 x →=因为222210,1cos ,ln(1tan )tan 2x x x x x x →-+当时所以201sin cos lim 2x x x x x x →→+-=2001cos sin 113limlim 24242x x x x x x →→-=+=+=.(2)111111(1)(1)lim ()limlim11x x x xx xx x x a b a b x a b x x →+∞→+∞→+∞-----==11(1)(1)limlim11xxx x a bx x →+∞→+∞--=-因为当1,0x x →+∞→时,11111ln ,1ln xxa ab bx x --11lim()ln ln lnxxx ax a b a b b →+∞-=-=所以31(3)lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x x x →∞+-+31sin ln(1)sin ln(1)limlim 11x x x x x x →∞→∞++=-因为当x →∞时,333sinln(1)ln(1)x x x ++111sin ln(1)ln(1)x x x ++31lim [sin ln(1)sin ln(1)]31lim lim 31 2.11x x x x x xx x x x →∞→∞→∞+-+=-=-=所以习题 2－61.求函数 x y +=1 在x = 3, ⊿x = -0.2时的增量⊿y . 解因为()()y f x x f x ∆=+∆-=3,0.2,2x x y =∆=-∆-= 由所以2.利用连读函数的定义，证明下列函数在 x = 0 点的连续性.21(1)()1()21arctan , 10, 0(3)() (4) () 1, 01 0, 0x f x f x x x xx x f x f x xx x x x +=+=-⎧⎧-<<≠⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-≤<=⎩⎩解 (1)因为(0)(0)1y f x f ∆=+∆-=lim lim 1)0()10.x x y f x x ∆→∆→∆===+=且所以在处连续(2)因为21(0)(0)121x y f x f x ∆+∆=+∆-=+∆-2020001lim lim (1)110211()0.210, (0)0,lim ()lim (1)1,lim ()lim 11lim ()()0x x x x x x x x y x x f x x x x f f x f x f x f x x --++∆→∆→→→→→→∆+∆=+=-+=∆-+==-===-=-===且所以在处连续 (3)因为在时且所以不存在,故在不连续.0000,(0)1,arctan lim ()lim arctan lim 1tan x x t x f x tf x t x x t ---→→→===== (4)因为在时且00lim ()lim (1)1lim ()1(0)arctan , 10() 0.1, 01x x x f x x f x f xx f x x x x x ++→→→=-===⎧-<<⎪==⎨⎪-≤<⎩所以在处连续3. 求下列函数的间断点, 并指出间断点的类型. 若是可去间断点，则补充定义，使其在该点连续.221(1)() (2) ()ln(21)(1)x x f x f x x x x -==--1, 11arctan , 0(3)()2, 10 (4) () 0, 01 sin , 02x x x f x x x f x xx x x x -⎧≤-⎪⎧⎪≠⎪=+-<≤=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪<≤⎩ 解(1)0,1,1() ,x x x f x ==-=因为在处没有定义 () 0,1,1. f x x x x ==-=所以在处间断而0000(1)lim ()lim 1(1)(1)(1)lim ()lim 1(1)(1)x x x x x x f x x x x x x f x x x x --++→→→→-==---+-==-+ 故 0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点.又因为 11(1)1lim ()lim (1)(1)2x x x x f x x x x →→-==-+所以 x = 1是()f x 的可去间断点，补充定义1(1)2f =. 又因为111(1)lim ()limlim (1)(1)(1)x x x x x x f x x x x x x →-→-→--===∞-++所以x = -1是()f x 的无穷间断点.(2) 因为1x =在处()f x 没有定义, 且111lim ()limln(21)x x f x x →→==∞-所以x = 1是()f x 的无穷间断点.(3)因为(1)1,f -=且11111 lim ()lim 1,lim ()lim (2)1x x x x f x xf x x --++→-→-→-→--===+=则1lim ()(1) 1.x f x f →-=-=所以x = 1是()f x 的连续点.(0)2, lim ()lim (2)21 lim ()lim sin0x x x x f f x x f x x x --++→→→→==+===又因为且所以 0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点.0000(4)(0)0,1lim ()lim arctan21lim ()lim arctan 2x x x x f f x x f x x ππ--++→→→→===-==因为且所以0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点.4.讨论下列函数的连续性，并作出函数图形.2211(1)()lim(0) (2) () lim11nnnn n x f x x f x xx x →∞→∞-=≥=++解 (1) 因为1, 011()lim0, 11n n x f x x x →∞≤≤⎧==⎨>+⎩ （函数图形见图2－1）且11(1)1,lim ()1,lim ()0x x f f x f x -+→→===所以x = 1是()f x 的间断点.图2－122 , 11 (2)()lim0 , 11 , 1nnn x x xf x x x x x x →∞⎧<⎪-=⋅==⎨+⎪->⎩因为（函数图形见图2－2） 1111(1)0lim ()lim ()1 lim ()lim 1x x x x f f x x f x x --++→-→-→-→-±==-===-且1111lim ()lim 1 lim ()lim ()1x x x x f x x f x x --++→→→→===-=- 图2－211lim (),lim ()x x f x f x →-→所以都不存在.因此x = 1，x = -1是()f x 的跳跃间断点.5.已知2, 01() 2, 1ln(1), 13ax b x f x x bx x ⎧+<<⎪==⎨⎪+<≤⎩,问当 a , b 为何值时,()f x 在 x =1 处连续.解因为(1)2,f =且21111lim ()lim () lim ()lim ln(1)ln(1)x x x x f x ax b a b f x bx b --++→→→→=+=+=+=+若函数()f x 在x = 1处连续，则必须 1lim ()2x f x →=.即 2ln(1)2a b b +=⎧⎨+=⎩解之，得223,1a e b e =-=-. 6.求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间,并求 )(lim ),(lim ),(lim 32x f x f x f x x x -→→→.解因为323223333()(3)(2)6x x x x x x f x x x x x +--+--==+-+-所以()(,3)(3,2)(2,),f x -∞-⋃-⋃+∞的连续区间是且3200331lim ()lim (3)(2)2x x x x x f x x x →→+--==+-322223233333lim ()lim (3)(2)(3)(1)338lim ()lim lim (3)(2)(3)(2)5x x x x x x x x f x x x x x x x x f x x x x x →→→-→-→-+--==∞+-+-+--===-+-+-7.设函数()f x 在[a , b ]上连续，且(),()f a a f b b <>,证明在(a , b )内至少存在一点ξ，使得f (ξ) = ξ.证 [][] ()(),(),,(),F x f x x f x a b F x a b =-设由已知在上连续则在上 (),(),()()0,()()0f a a f b b F a f a a F b f b b <>=-<=->连续.又因为所以故由零值定理知，在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得F （ξ）= 0，即 ()f ξξ=.8.设函数()f x 在[a , b ]上连续，12n a x x x b <+++< , 求证在(a , b )内至少有点ξ,使n x f x f x f f n )()()()(21+++=ξ证因为()f x 在[a , b ]上连续，则1()[,]n f x x x 在上也连续.由最大最小值定理知，1()[,]n f x x x 在上存在最小值m ,最大值M ，取12()()()((),1,2,,),n i f x f x f x C m f x M i n nm C M +++=≤≤=≤≤ 则由介值定理知, 在(a , b )内至少有点ξ,使12()()()()n f x f x f x f C n ξ+++==.9. 证明方程331x x -=至少有一个根介于1和2之间.证设3()31F x x x =--,由于F （x ）在[1，2]内连续，且(1)30,(2)10F F =-<=>由零值定理知，在（1，2）内至少存在一点ξ，使得F （ξ）= 0.即 331ξξ-=.故方程331x x -=在[1，2]内至少有一个根.综合习题二1.选择填空：(1) 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) .① 必要条件 ② 充分条件 ③ 充要条件 ④ 无关条件(2) 当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. ① tan2 x②x③ 1ln(12)2x + ④ x (x +2)(3) 设0, 0(), lim (), 0x x e x f x f x ax b x →⎧≤=⎨+>⎩若存在, 则必有( ) .① a = 0 , b = 0 ② a = 2 , b = －1③ a = －1 , b = 2 ④ a 为任意常数, b = 1(4)若3116x →=-,则 f (x ) = ( ) . ① x +1 ② x +5③(5) 方程 x 4 –x – 1 = 0至少有一个实根的区间是( ) .① (0,1/2) ② (1/2, 1) ③ (2, 3) ④ (1, 2)(6)函数10()ln x f x x -的连续区间是( ) .① (0, 5) ② (0, 1) ③ (1, 5) ④ (0, 1) ∪(1,5)解（1）①; （2）③; （3）④; （4）③; （5）②; （6）④. 2.计算题：03sin()3(1) lim (2)lim12cos sin (3) (4) lim 0)x x x x n x ax e e x x a αβππ+→→→∞→---->2300cot 2022tan sin (5)lim (6)sin 11(7)lim(cos ) (8) lim (1)4(9)lim 1x x x nx n xx x x xx n nx x →→→→∞→∞-++⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ (10)lim [ln ln(2)]n n n n →∞-+解 333sin()sin()sin()333(1) lim= lim lim 112cos 2(cos )2(cos cos )23x x x x x x x x x πππππππ→→→---=---33001112sin ()cos ()cos ()1232323 lim lim 11124sin ()sin ()sin ()232323(1)(1)(2) lim limsin sin 0,1,1,sin x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e x xx e x e x x x ππαβαβαβππππππαβ→→→→-⋅--===+⋅-+----=→-- 因为当时所00 lim lim .sin x x x x e e x xx xαβαβαβ→→--==-以(3)1lim2limnn nn→∞→∞====3200(4) lim lim limlimlimtan sin tan1cos(5) lim limsinx a x a x ax ax ax xx x x xxx x+++++→→→→→→→-=-=-=--=⋅22001lim.22(6) limlimtan sin1tan1cos1lim lim.2(1cos)21cos2xxxx xx xx xx x x xx x x x→→→→→=⋅==--==⋅⋅=--221cot(cos1)cot cos100(7)lim(cos) =lim(1cos1)x xx xx xx x⋅⋅--→→+-因为222001cos112lim lim2tanx xxxx x→→--==-21cot2lim(cos).xxx e-→=所以22111()11221111(8) lim(1)lim(1)nn nn n nn nn nn n⋅⋅++→∞→∞++=++因为211lim()1nnn n→∞⋅+=211lim(1).nnen n→∞++=所以2222414(9)lim=lim111xxx xx xxx→∞→∞⎛⎫-⎪⎛⎫-⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭-⎪⎝⎭2212222(1)(1)lim (1)lim (1) =lim =1111(1)(1)lim (1)lim (1) 1.(10)lim [ln ln(2)]lim ln()21 lim ln 2(1)x x x xx x x x x x xx x n n n n nx x x x x x x xe e e en n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞--→∞→∞→∞-+-+-+-+⋅==⋅-+=+==+22lim ln(1)ln 2.n n e n →∞-+=-=-2. 1. 设 10sin , 02() , , lim ()(1), 0x x x x x f x a f x ax x →⎧<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩试求使得存在.解00sin 1lim ()lim 22x x x f x x --→→==因为 10000 lim ()lim (1) lim ()lim ()1,ln 2.2a x x x x x a f x ax e f x f x e a +-+-→→→→=+====-则所以即 3. 2. 作出函数()lim 1txtx t x e f x e →+∞+=+的图形，并指出间断点.解由已知可得1, 0()lim , 01tx tx t x x e f x x x e →∞≥⎧+==⎨<+⎩ 则函数图形见图2－3.00 lim ()0lim ()1x x f x f x -+→→=≠=因为 0().x f x =所以是的跳跃间断点5. 求函数tan 32(3)x y x x =-的可去间断点. 图2－3 解因为tan 32(3)x y x x =-在x = 0，x = 3处无意义,所以x = 0，x = 3都是函数f (x )的间断点.但 00tan 331lim lim 2(3)2(3)2x x x x x x x x →→==--- 故 x = 0是f (x )的可去间断点.而 3t a n 3l i m 2(3)x x x x →=∞- 故 x = 3是f (x )的无穷间断点.6.设f (x )在点 x = x 0 处连续且 f (x 0)> 0, 试证在x 0 的某个邻域内有f (x )> 0.证由已知f (x )在点 x = x 0 处连续，则00lim ()()x x f x f x →=.取00()0,0,02f x x x εδδ=>∃><-<使得时，恒有00()(),()()f x f x f x f x εεε-<→-<-<故 0000()()()()()022f x f x f x f x f x ε>-=-=>. 7. 设本金为p 元，年利率为r, 若一年分为n 期, 存期为t 年, 则本金与利息之和是多少 ? 现某人将本金p = 1000元存入果银行, 规定年利率为 r = 0.06, t = 2, 请按季度、月、日以及连续复利计算本利和，并作出你的评价.解依题意，第一期到期后的利息为本金×利率=r p n ⨯ 第一期到期的本利和是本金＋利息=(1)r r p p p n n +⨯=+若按总利计算，第二期到期的本利和为 2(1)(1)(1)r r r r p p p n n n n+++⨯=+第n 期到期后的本利和为 (1)n r p n +存期若为t 年（事实上有t n 期），到期后的本利和为 (1)tnr p n + （*）由题设p = 1000 ，r = 0.06, t = 2,（1）（1）一年分为四季，取n = 4带入得（*）式，得2480.061000(1)1000 1.0151126.494⨯⨯+=⨯≈（2）（2）一年分为12个月，取n =12带入得（*）式，得 212240.061000(1)1000 1.0051127.1612⨯⨯+=⨯≈（3）（3）一年分为365天，取n = 365带入得（*）式，得 23657300.061000(1)1000 1.0001643841127.49365⨯⨯+=⨯≈（4）连续取息就是在（*）式中令n →+∞，得 20.120.060.120.060.06lim 1000(1)1000lim [(1)] 10001127.50n n n n n ne ⨯→+∞→+∞⨯+=⨯+=⨯≈ 结论是：用复利计算时，按季、月、日以及连续复利计算所得结果相差不大.8.证明方程sin x a x b =+（其中0,0a b >>）至少有一个正根，并且它不超过a b +. 证设()sin F x x a x b =--，显然F （x ）在[0，a b +]上连续，(0)0(0)()sin()[1sin()]0F b b F a b a b a a b b a a b =-<>+=+-+-=-+≥又则若()F a b +=0，则a b +为方程F （x ）= 0的正根;若()F a b +>0，则由零值定理，至少有一点(0,)a b ξ∈+使得F （x ）= 0，即sin a b ξξ=+.。

极限与连续的62个典型习题

极限与连续的62个典型习题习题1 设m i a i ,,2,1,0 ，求 nn m nnn a a a 121)(lim. 解记},,,m ax {21m a a a a ，则有a a a a a nn n nm n n 1121)()( ，a a nlim .另一方面nn nn nm n n m a ma a a a 11121)()()( .因为 1)lim (lim 11 n n n n m m ，故 a m a nn 1lim .利用两边夹定理，知 a a a a nnm nnn121)(lim ，其中 },,m ax {21m a a a a .例如 9)9531(lim 1nnnnn . 习题2 求 )2211(lim 222nn n nn n n n n.解n n n n n n n n n n n n 2222221121 1212n n n, 即n n n n n n n n n n n n 22222211)2(2)1( )1(2)1(2n n n n 214211lim 421lim )2(2)1(lim 2nn n n n n n n n n n . 2122211lim )1(2)1(lim 22nn n n n n n n n . 利用两边夹定理知21)2211(lim 222nn n n n n n n n .习题3 求n n n n ))1(1321211(lim . 解 n n n n ))1(1321211(limnn n n ))111()3121()211((lim 1)1()111(lim )111(limn n n n n n 11)111()111(lim n n n n 11)1()111(lim ]))1(11([limn n n n n 111 e e 习题4 求 ),(11lim 1N n m xxm nx .解（变量替换法）令mn x t ，则当1 x 时，.1 t 于是,原式nm t t t t t t t t t t n m t n m t )1)(1()1)(1(lim 11lim121211 . 习题5 求xx x x )1(lim.解（变量替换法）令 t x t x ,,，原式t t t t t t t t t t )11(lim )1(lim22 t t tt ])11()11[(lim 11 t t t t t )11()11(lim 101 e e e . 习题6 求 xx x xe sin 10)23(lim( 1型)。

高等数学函数的极限与连续习题及答案

欲使上式成立，令
上式化简为
1a2
0，∴a1，
2
1b
12ab12abx1b212ablimlimlim
xxx1a∴1
a1，12ab0，b2
10、函数fx
的间断点是（x0,x1）．
11
xx2x2
11、fx2的连续区间是（,1,1,3,3,）．
x4x3ax2sinx
2，则a（2）12、若lim．
xx∴aax2sinxsinxlimlima2a0a02limxxxxx
a
xx21
logaxx21fx
3、当x0时，ex1是x的（c）
a．高阶无穷小b．低阶无穷小c．等价无穷小
4、如果函数fx在x0点的某个邻域b．连续c．有界
5、函数fx1
1x在（c）条件下趋于.
a．x1 b．x10 c．x10
6、设函数fxsinx
x，则limx0fx（c）
a．１b．－１c．不存在∵sinx
6、如果～，则o．
1，是
∴limlim10，即是的同阶无穷小．
2xx2sin2sin1cosx11limlim2正确∵limx0x0x04x2x2x2
2正确∵lim
11limxlimsin0．x0xx0x0x
1错误∵limsin不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。x0x8、limxsin
高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
第一章函数与极限复习题
1、函数fxx2x31x1与函数gxx1相同．
错误∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴fxx2x31x1与gx函数关系相同，但定义域不同，所以fx与gxx1
是不同的函数。
2、如果fxM（M为一个常数），则fx为无穷大．

极限与连续基础练习题含解答定稿版

极限与连续基础练习题含解答HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】第二章极限与连续基础练习题（作业）§2.1 数列的极限一、观察并写出下列数列的极限：1．4682,,,357极限为12．11111,,,,,2345--极限为03．212212⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩n n n n nn a n 为奇数为偶数极限为1 §2.2 函数的极限一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限：1．lim →-∞x x e 极限为零2．2lim tan x x π→无极限3．lim arctan →-∞x x 极限为2π-4．0lim ln x x +→ 无极限，趋于-∞二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +⎧⎪=-+<⎨⎪->⎩，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？211lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11lim ()lim(21)3x x f x x --→→=+= 222lim ()lim(1)3x x f x x ++→→=-=；222lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2lim ()x f x →∴不存在。

三、设()111x f x e =+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在．lim ()x f x →∴不存在。

四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在．1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零2．取整函数()[]=f x x 不存在3．符号函数()sgn =f x x 不存在§2.3 无穷小量与无穷大量一、判断对错并说明理由：1．1sin x x是无穷小量．错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。

第二章-极限与连续--基础练习题(含解答)

第二章-极限与连续--基础练习题（含解答）第二章极限与连续基础练习题（作业）§2.1数列的极限一、观察并写出下列数列的极限：468,,极限为135711112．1,,,,,极限为023451．2,2n1n为奇数2n3．an极限为1n21n为偶数2n§2.2函数的极限一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限：某1．lime某极限为零2．limtan某某2无极限3．limarctan某某极限为2ln某4．lim某0无极限，趋于某12某1,2二、设f(某)某某3,1某2，问当某1，某2时，f(某)的极限是否存在？某21,某2某12f(某)lim(2某1)3limf(某)lim(某某3)3；lim某1某1某1limf(某)3.某1某222limf(某)lim(某某3)53limf(某)lim(某1)3；某2某2某2limf(某)不存在。

某2三、设f某11e1某，求某0时的左、右极限，并说明某0时极限是否存在．某0limf某lim某011e11某1某0某0limf某lim某011elimf(某)不存在。

某0四、试讨论下列函数在某0时极限是否存在．1．绝对值函数f 某|某|，存在极限为零2．取整函数f某[某]不存在3．符号函数f某gn 某不存在§2.3无穷小量与无穷大量一、判断对错并说明理由：1．某in1是无穷小量．某110；当某1时，某inin1不是无穷小量。

某某错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。

当某0时，某in2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量．对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。

3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量．对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。

高等数学-极限与连续(习题)Word版

第二章极限与连续习题2-11、观察下列数列的变化趋势,判别哪些数列有极限,如有极限,写出它们的极限. (1)nn a x 1= )1(>a ；有. 0lim =∞→n n x .(2) nx n n 1)1(1--=；有. 0lim =∞→n n x .(3) n x n n 1)1(--=；无.(4) 2sin πn x n =；无. (5) 11+-=n n x n ；有. 1lim =∞→n n x . (6) nn x )1(2-=；无.(7) nx n 1cos =；有. 1lim =∞→n n x .(8) nx n1ln =. 无.2、设9.01=u ,99.02=u ,个n n u 999.0,=,问 (1) ?lim =∞→n n u(2) n 应为何值时,才能使n u 与其极限之差的绝对值小于0001.0？解：(1) 显然,n n u 1011-=,可见1lim =∞→n n u ；(2) 欲使41010001.0101|1|=<=-n n u ,只需5≥n 即可.3、对于数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=1}{n n x n ,),2,1( =n ,给定(1)1.0=ε;(2)01.0=ε;(3)001.0=ε时,分别取怎样的N ,才能使当N n >时,不等式ε<-|1|n x 成立,并利用极限定义证明此数列的极限为1.解：欲使ε=<+=-+=-k n n n n x 1011111|1|,只需110->k n .(1)若给定1.0=ε,此时1=k ,取91101=-=N 即可;(2)若给定01.0=ε,此时2=k ,取991102=-=N 即可; (3)若给定001.0=ε,此时3=k ,取9991103=-=N 即可; 下面证明1lim =∞→n n x . 欲使ε<<+=-n n x n 111|1|,只需ε1>n .0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有ε<-|1|n x ,所以 1lim 1lim==+∞→∞→n n n x n n.4、用极限定义考查下列结论是否正确,为什么？(1)设数列}{n x ,当n 越来越大时,||a x n -越来越小,则a x n n =∞→lim .解：结论错误.例如取nx n 11+=,0=a ,显然n a x n 11||+=-越来越小,但a x n n =≠=∞→01lim .(2)设数列}{n x ,当n 越来越大时,||a x n -越来越接近于0,则a x n n =∞→lim .解：结论错误.例如取nx n 11+=,0=a ,显然n a x n 11||+=-越来越接近于0,但a x n n =≠=∞→01lim .(3)设数列}{n x ,0>∀ε,N ∃,当N n >时,有无穷多个n x 满足ε<-||a x n ,则a x n n =∞→lim .解：结论错误.例如取nn x )1(-=,1=a ,显然0||2=-a x k ,),2,1( =k ,那么0>∀ε,1=∃N ,当N n >时,有无穷多个n x ,满足ε<-||a x n , 但显然n n x ∞→lim 不存在.(4)设数列}{n x ,若对0>∀ε,}{n x 中仅有有限个n x 不满足ε<-||a x n ,则a x n n =∞→lim .解：结论正确.0>∀ε,假设仅有k n n n x x x ,,,21 不满足ε<-||a x n ,于是取+∈=N },,,max {21k n n n N ,那么当N n >时,ε<-||a x n ,所以a x n n =∞→lim .5、用极限性质判别下列结论是否正确,为什么？ (1)若}{n x 收敛,则k n n n n x x +∞→∞→=lim lim (k 为正整数)；解：结论正确.显然}{k n x +是}{n x 的子数列,故n n k n n x x ∞→+∞→=lim lim .(2)有界数列}{n x 必收敛；解：结论错误.例如取nn x )1(-=,虽然}{n x 有界,但显然}{n x 发散.(3)无界数列}{n x 必发散；解：结论正确. 因收敛数列必有界,那么无界数列必发散.(4)发散数列}{n x 必无界.解：结论错误.例如取nn x )1(-=,虽然}{n x 发散,但显然}{n x 有界.6、利用数列的“N -ε”分析定义证明下列极限： (1) 01lim2=∞→n n ；分析：0>∀ε,欲使ε<≤=-nn x n 11|0|2,只需ε1>n 或1]1[+>εn 即可.证明：0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有ε<≤=-nn x n 11|0|2,所以 0lim 1lim 2==∞→∞→n n n x n .(2) 321312lim=++∞→n n n ；分析：0>∀ε,欲使ε<<+=-++=-n n n n x n 1)13(3132131232, 只需ε1>n 或1]1[+>εn 即可.证明：0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有 ε<<+=-n n x n 1)13(3132,所以 32lim 1312lim ==++∞→∞→n n n x n n .(3) 1)311(lim =-∞→nn ；分析：0>∀ε,欲使ε<≤=-nn x n 131|1|,只需ε1>n 或1]1[+>εn 即可.证明：0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有ε<≤=-n n x n 131|1|,所以 1lim )311(lim ==-∞→∞→n n n x n .(4) 0sin lim=∞→nnn .分析：0>∀ε,欲使ε<≤=-n n n x n 1sin |0|,只需ε1>n 或1]1[+>εn 即可. 证明：0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有ε<≤=-n n n x n 1sin |0|,所以 0lim sin lim ==∞→∞→n n n x nn.7、若0lim =∞→n n u ,证明0||lim =∞→n n u ,并举例说明,如果数列|}{|n u 有极限,但数列}{n u 未必有极限.证明：因0lim =∞→n n u ,有0>∀ε,+∈∃N N ..t s N n >时,ε<-|0|n u ,于是 ε<-=-|0|0||n n u u , 所以0||lim =∞→n n u .而若取nn u )1(-=,显然1||lim =∞→n n u ,但显然}{n u 没有极限.8、对于数列}{n x ,若a x k →-12,)(∞→k ,a x k →2,)(∞→k ,证明a x n →,)(∞→n .证明：因0lim 12=-∞→k k x ,有0>∀ε,+∈∃N1N ..t s 1N k >时,ε<--||12a x k ,又因0lim 2=∞→k k x ,对0>ε,+∈∃N 2N ..t s 2N k >时,ε<-||2a x k ,取+∈=N }2,2m ax {21N N N ,当N n >时,若12-=k n ,有1122221N N N n k =≥>+=,ε<-=--||||12a x a x k n , 若k n 2=,有222222N N N n k =≥>=,ε<-=-||||2a x a x k n ,总之,当N n >时,ε<-||a x n ,所以a x n →,)(∞→n .习题2-21、用极限定义证明： (1) 12)25(lim 2=+→x x ；分析：0>∀ε,欲使ε<-=-|2|5|12)(|x x f ,只需5|2|ε<-x 即可.证明：0>∀ε,取05>=εδ,当δ<-<|2|0x 时,恒有ε<-=-|2|5|12)(|x x f , 所以 12)(lim )25(lim 22==+→→x f x x x .(2) 424lim22-=+--→x x x ；分析：0>∀ε,欲使ε<+=--|2||)4()(|x x f ,只需ε<+<|2|0x 即可. 证明：0>∀ε,取0>=εδ,当δ<--<|)2(|0x 时,恒有ε<+=+-=--+-=--|2||4)2(|)4(24|)4()(|2x x x x x f ,所以 4)(lim 24lim222-==+--→-→x f x x x x .(3) 8)13(lim 3=-→x x .分析：0>∀ε,欲使ε<-=-|3|3|8)(|x x f ,只需3|3|ε<-x 即可.证明：0>∀ε,取03>=εδ,当δ<-<|3|0x 时,恒有ε<-=-|3|3|12)(|x x f , 所以 8)(lim )13(lim 33==-→→x f x x x .2、用极限定义证明： (1) 656lim=+∞→xx x ；分析：0>∀ε,欲使ε<=-x x f 5|6)(|,只需ε5||>x 即可. 证明：0>∀ε,取05>=εK ,当ε5||>x 时,恒有ε<=-x x f 5|6)(|,所以 6)(lim 56lim ==+∞→∞→x f xx x x .(2) 0sin lim=+∞→xxx .分析：0>∀ε,欲使ε<≤=-xx x x f 1sin |0)(|,只需21ε>x 即可.证明：0>∀ε,取012>=εK ,当K x >时,恒有ε<≤-x x f 1|0)(|,所以 0)(lim sin lim ==∞→+∞→x f xxx x .3、当2→x 时,42→=x y ,问δ等于多少,则当δ<-<|2|0x 时,001.0|4|<-y ？(提示：因为2→x ,所以不妨设31<<x ).解：欲使|2||4)2(||2||2||4||4|2-⋅+-=-⋅+=-=-x x x x x y3101001.0|2|5|2|)4|2(|=<-≤-+-≤x x x ,只需0002.01051|2|3=⋅<-x 即可.因此,取0002.0=δ,当δ<-<|2|0x 时,有001.0|4|<-y .4、设⎩⎨⎧≥-<=.3 ,13,3,)(x x x x x f 作)(x f 的图形,并讨论3→x 时, )(x f 的左右极限(利用第1题(3)的结果).解：(1) )(x f 的图形.(2) 令x x g =)(,13)(-=x x h ,已知3lim )(lim 33==→→x x g x x ,8)13(lim )(lim 33=-=→→x x h x x ,于是3)(lim 3=-→x g x ,8)(lim 3=+→x h x .显然,当3<x 时,)()(x g x f =,于是3)(lim )(lim 33==--→→x g x f x x ；当3>x 时,)()(x h x f =,于是8)(lim )(lim 33==++→→x h x f x x .5、证明||)(x x f =,当0→x 时的极限为零. 证明：0>∀ε,取0>=εδ,当δ<<||0x 时,恒有ε<=-=-||0|||0)(|x x x f , 所以 0)(lim ||lim 0==→→x f x x x .6、函数xx x f ||)(=,回答下列问题： (1)函数)(x f 在0=x 处的左右极限是否存在？答：)(x f 在0=x 处的左右极限是均存在.这是因为：1)1(lim lim )(lim 000-=-=-=---→→→x x x xxx f ；11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x xx f .(2)函数)(x f 在0=x 处是否有极限？答：)(x f 在0=x 处是没有极限.这是因为：)(lim 11)(lim 0x f x f x x +-→→=≠-=.(3)函数)(x f 在1=x 处是否有极限？答：)(x f 在1=x 处有极限.这是因为：11lim lim )(lim 111===---→→→x x x x xx f ；11lim lim )(lim 111===+++→→→x x x x xx f . 由于1)(lim )(lim 11==+-→→x f x f x x ,故1)(lim 1=→x f x .7、证明A x f x x =→)(lim 0的充要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0.证明:“必要性”A x f x x =→)(lim 0⇒0>∀ε,0>∃δ..t s δ<-<||00x x 时,ε<-|)(|A x f ,从而,当 δ<-<00x x 时, ε<-|)(|A x f ；也有,当 δ<-<x x 00时, ε<-|)(|A x f , 所以 A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0.“充分性” A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0⇒ 0>∀ε,0,21>∃δδ ..t s当 100δ<-<x x 时, ε<-|)(|A x f ；当 200δ<-<x x 时, ε<-|)(|A x f ,取0},m in{21>=δδδ,当δ<-<||00x x 时,有ε<-|)(|A x f , 所以 A x f x x =→)(lim 0.8、设)0()(lim ≠=+∞→A A x f x ,证明当x 充分大时2|||)(|A x f >. 证明:因)0()(lim ≠=+∞→A A x f x ,对于02||0>=A ε,0>∃K , 当K x >时, 2|||)(|0A A x f =<-ε. 所以2||2|||||)(||||))((||)(|A A A A x f A A x f A x f =->--≥-+=.习题2-31、根据定义证明：(1) 1-=x y 为当1→x 时的无穷小；证明：0>∀ε,取0>=εδ,当δ<-<|1|0x 时,恒有ε<-=|1|||x y ,所以1-=x y 为当1→x 时的无穷小.(2) xx y 1cos =为当0→x 时的无穷小. 证明：0>∀ε,取0>=εδ,当δ<-<|0|0x 时,恒有ε<≤||||x y ,所以xx y 1cos =为当0→x 时的无穷小.2、根据定义证明：函数xxy 21+=为当0→x 时的无穷大,问x 应满足什么条件,能使410||>y ？(1)分析：0>∀K ,欲使K x x x y >-≥+=2||121||,只需21||0+<<K x 即可. 证明：0>∀K ,取021>+=K δ,当δ<<||0x 时,恒有 K x x x x y >-≥+=+=2||12121||,所以 ∞==+→→y xxx x 00lim 21lim .(2) 欲使K y =>410||,取10002121014=+=δ,则x 满足100021||0<<x 即可.3、利用有界量乘无穷小依然是无穷小求下列极限： (1) xx x 1sinlim 20→. 解：因0lim 0=→x x ,11sin≤x)0(≠x ,有)1(o x =(无穷小),)1(1sin O x=(有界), )0(→x ,则)1()1()1()1(1sin 2o O o o x x ==,)0(→x , 所以01sin lim 20=→xx x .(2) xxx arctan lim∞→.解：因01lim =∞→x x ,2arctan π≤,有)1(1o x=(无穷小),)1(arctan O x =(有界), )(∞→x ,则)1()1()1(arctan o O o x x ==,)(∞→x , 所以0arctan lim =∞→xxx .4、函数x x y sin =在区间),0(+∞内是否有界?又当+∞→x 时,这个函数是否为无穷大?为什么?解：(1)取22ππ+=k x ,则22)22sin()22(ππππππ+=++=k k k y , ,2,1=k ,可见, 函数x x y sin =在区间),0(+∞内无界.(2)取πk x =,则0)sin(==ππk k y , ,2,1=k ,可见,当+∞→x 时,函数x x y sin =不是无穷大.4’、函数xx y 1sin =在区间),0(+∞内是否有界?又当+∞→x 时,这个函数是否为无穷大?为什么?解：(1)当0>x 时,11||1sin ||1sin=≤≤x x x x x x , 可见, 函数x x y 1sin =在区间),0(+∞内有界.(2)因函数xx y 1sin =在区间),0(+∞内有界,可见,当+∞→x 时,函数x x y sin =不是无穷大.习题2-41、填空题：(1)已知b a ,为常数,3122lim2=-++∞→n bn an n ,则=a 0 ,=b 6 ;解：由于2122lim 1221lim 30022a n n nb a n bn an n n n =-++=-++=⨯=∞→∞→,有0=a . 而2122lim 122lim 122lim 32b nn b n bn n bn an n n n =-+=-+=-++=∞→∞→∞→,有6=b .(2)已知b a ,为常数,1)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ,则=a 1 ,=b -1 ; 解：由于a xba xb ax x x x x x x x -=--+=--+==∞→∞→∞→1)11(lim )1(1lim 1lim 022, 有1=a .而b b x b x x x b ax x x x x x -=-=--+=--+=∞→∞→∞→)1(lim )1(lim )1(lim 12 有1-=b .(3)已知b a ,为常数,21lim 1=-+→x bax x ,则=a 2 ,=b -2 .解：由于0201)1(lim )(lim 11=⋅=-+-=+=+→→x bax x b ax b a x x ,有a b -=.而21lim 1lim 11=-+=--=→→x bax x a ax a x x ,有2-=b2、求下列极限：(1) 4304031413lim 143lim 222=++=++=++∞→∞→nn n n n n n .(2) 510)2(501)52)(2(5)52(1lim )2(5)2(5lim 11=⨯-++=--+-+=-+-+∞→++∞→n nn n n nnn . (3) 340131121101311311211211lim 31313112121211lim1122=--⋅--=--⋅--=++++++++++∞→∞→n n n n n n . (4) )1221(1lim )1231(lim 222nn n n n n n n n n n -+++=-+++∞→∞→1)221(lim )121(211lim =⨯=-+⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n . (5) ))1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→n n n1)111(lim )]111()3121()2111[(lim =+-=+-++-+-=∞→∞→n n n n n .(6)2110111111lim1lim)1(lim =++=++=++=-+∞→∞→∞→nn n nn n n n n n . 3、求下列极限：(1) 443lim 222---→x x x x .解：由于0423242434lim 22222=-⨯--=---→x x x x ,所以∞=---→443lim 222x x x x .(2) )33(lim 33lim )(lim2203220330h xh x h h xh h x h h h x h h h ++=++=-+→→→ 22230033x x x =+⋅+=.(3) 3001003431153lim 43153lim 2222=++++=++++=++++∞→∞→xx x x x x x x x x . (4)503020503020503020532)15()23()32(lim )15()23()32(lim =++-=++-∞→∞→xx x x x x x x (5) 221)12)(11(lim 2=⋅=-+∞→xx x .(6) 0004000724132lim724132lim 5454253=++++=++++=++++∞→∞→xx x x x x x x x x x . (7) )13)(1)(1()1()3(lim 113lim121x x x x x x x x x x x ++-+-+--=-+--→→ 42)1113)(11(2)13)(1(2lim1-=++-+-=++-+-=→x x x x .(8) 22121311211lim )131(11lim )1311(lim x x x x x x x x x x x x x ++-+⋅-=++--=---→→→ 1111)21(1)2(lim 221-=+++-=+++-=→x x x x .(9) 11lim )1/()1()1/()1(lim 11lim 2121111++++++=----=------→→→ n n m m x n m x n m x x x x x x x x x x xnm n n m m =++++++=----1111112121 .(n m ,是自然数).(10) )1)(1)(1()1)(1)(1(lim11lim3323323131+++-+++-=--→→x x x x x x x x x x x x 321111111lim)1)(1()1)(1(lim33233213322331=+++=+++=++-+-=→→x x x x x x x x x x .(11) x x x x x x x x x x 1)651)(1(lim 1)31)(21)(1(lim 200-+++=-+++→→6060116)6116(lim 220=⨯+⨯+=++=→x x x .(12) xx x x x x x x x x x +-+--+=--++∞→+∞→)1)(2()1)(2(lim ))1)(2((lim 21)11)(21(21lim )1)(2(2lim +-+-=+-+-=+∞→+∞→xx x x x x x x x211)01)(01(01=+-+-=.4、求下列极限：(1) 223)3(3lim -+→x xx x ;解：由于0333)33(3)3(lim 22223=⨯+-=+-=→x x x x ,所以∞=-+→223)3(3lim x x x x .(2)432lim 3++∞→x x x ;解：由于001002143lim 243lim 243lim 33233=++=++=++=++∞→∞→∞→xx xx x x x x x x , 所以∞=++∞→432lim3x x x .(3))325(lim 2+-∞→x x x ;解：由于000503251lim 3251lim 222=+-=+-=+-∞→∞→xx x x x x x ,所以∞=+-∞→)325(lim 2x x x .5、设A x f x x =→)(lim 0,)(lim 0x g x x →不存在,证明)]()([lim 0x g x f x x +→不存在.证明：反证.假设B x g x f x x =+→)]()([lim 0,则)(lim )]()([lim )]()()([lim )(lim 0x f x g x f x f x g x f x g x x x x x x x x →→→→-+=-+=A B -=,可见)(lim 0x g x x →存在,这与条件)(lim 0x g x x →不存在冲突,所以)]()([lim 0x g x f x x +→不存在.习题2-51、求下列极限：(1)52151255sin 522sin 2lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=⋅⋅=→→xx x xx x x x .(2)2112122sin 22cos lim2cot lim 00=⨯=⋅=→→xx x x x x x .(3)212)sin 2(lim sin sin 2lim sin 2cos 1lim0200=⨯=⋅=⋅=-→→→xxx x x x x x x x x .(4)x x txtxx x n t n nn n=⋅===∞→=∞→1)sin (lim 2sin2lim 21,(x 为不等于零的常数).(5)01111sin 1sin 1lim sin sin lim 00=+-=+-=+-→→xx x xx x x x x x . (6)xx xx xx x x x x x x x x cos 2sin 2sin limcos )cos 1(sin lim sin tan lim3203030⋅=-=-→→→2112111122sin 21cos 1sin lim 220=⨯⨯⨯=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅=→x x x x x x .(7)tta t t a t a a x a x t t ax t a x 22cos2sin 2lim sin )(sin lim sin sin lim 00+=-+====--→→-=→ a t a t t t t cos )2cos(lim 22sinlim 00=+=→→.(8))3cos(21sin limcos 21)3sin(lim 033ππππ+-====--→-=→t t x x t x t x t t tt t t t t sin 3cos 1sin lim)3sin sin 3cos (cos 21sin lim 00+-=--=→→ππ 3313101sin 3)2(2sin 2sin lim sin 3cos 1sin lim 2200=⨯+⨯=+⋅=+-=→→tt t t t t tt t t t t .(9))22tan(lim 2)1(tanlim 2tan)1(lim 0011tt t t xx t t xt x ππππ-=-====-→→-=→πππππ2sin cos 2limcot 2lim2cotlim 002=⋅======→→=→uu u u u tt u u tu t .2、求下列极限：(1)ee t t t xtt tt x t xx 1)01(1)1()1(lim 1)1(lim )21(lim 10110212=+=++=+===-→--→-=-∞→.(2)et t xtt t t xt xx 1)1(lim 1)1(lim )22(lim 1010220=+=+===-→-→-=→.(3)211)11()11(lim )11(lim e e e xx x x x xx x x ==+-=+-∞→∞→.(4)11])11()11[(lim )11(lim )11(lim 2=⋅=+-=-===-+∞→+∞→=+∞→e et t t xt t t t t xt xx .(5)111])11()11[(lim 1)11(1lim )1(lim 222=⋅=+-=-=-∞→∞→∞→eex x x x x x x x x x x x .(6)33103tan 3cot 2])1(lim [)1(lim )tan 31(lim 22e t t x t t t t xt xx =+=+=====+→→=→.(7)3213ln 233sin lim3)21ln(lim 233sin 3)21ln(2lim3sin )21ln(lim 02102100=⨯=+=⋅+=+→→→→e xx x xx x x x x x x xx xx x .(8)2ln 2)21ln(2lim )21ln(lim ]ln )2[ln(lim 2==+=+=-+∞→∞→∞→e nn n n n n nn n n .3、利用极限存在准则证明：(1) 1)1211(lim 222=++++++∞→πππn n n n n . 证明：由于πππππ+≤++++++≤+2222222)1211(n n n n n n n n n n ，而111lim lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n ππ, 111lim lim 222=+=+∞→∞→nn n n n ππ, 所以1)1211(lim 222=++++++∞→πππn n n n n .(2)设},,,m ax {21m a a a A =,),,2,1,0(m i a i =>,则有 A a a a n nm n n n =+++∞→ 21lim.证明：由于n n n n n m n n nn m A mA a a a A A =≤+++≤=21，而A A m A m A n n n n =⋅==∞→∞→1lim lim , 所以A a a a n n m n n n =+++∞→ 21lim .(3)设21=x ,12-+=n n x x , ,3,2=n ,证明数列}{n x 存在极限并求之.证明：①显然221<=x ,假设21<-n x ,有22221=+<+=-n n x x , 因此,20<<n x , ,3,2,1=n ；②由于11222x x x =>+=,假设1->n n x x ,有n n n n x x x x =+>+=-+1122因此,}{n x 为单调递增数列；③由①②知, 数列}{n x 必存在极限. ④假设a x n n =∞→lim ，显然有20≤≤a ，且a x x a n n n n +=+==-∞→∞→22lim lim 1，即022=--a a ，得2=a (1-=a 舍去), 所以2lim =∞→n n x .(4)数列21=x ,)1(211nn n x x x +=+的极限存在. 证明：①显然121≥=x ,而11221)1(211=⋅⋅⋅≥+=+nn n n n x x x x x , ②由于0121121221)1(21221=⋅-≤-=-=-+=-+n n n n n n n n n x x x x x x x x x , 即n n x x ≤+1,因此,}{n x 为单调递减数列；③由①②知,21≤≤n x , ,3,2,1=n ,因此数列}{n x 的极限必存在.4、某企业计划发行公司债券,规定以年利率6.5%的连续复利计算利息,10年后每份债券一次偿还本息1000元,问发行时每份债券的价格应定为多少元？解：设0A 为发行时每份债券的价格,年利率为%5.6=r ,10=k 年后每份债券一次偿还本息1000=k A 元,若以连续复利计算利息,则krk e A A 0=,即065.01001000⨯=eA ,得05.5521000065.0100==⨯-eA (元).习题2-61、当0→x 时,下列各函数都是无穷小,试确定哪些是x 观的高阶无穷小？同阶无穷小？等价无穷小？ (1) x x +2；解：因为1)1(lim lim020=+=+→→x x xx x x , 所以x x x ~2+,)0(→x .(等价无穷小)(2) x x sin +；解：因为211)sin 1(lim sin lim00=+=+=+→→x xx x x x x ,所以)(2x O x x =+,)0(→x . (同阶无穷小)(3) x x sin -；解：因为011)sin 1(lim sin lim00=-=-=-→→x xx x x x x ,所以)(2x o x x =+,)0(→x . (高阶无穷小)(4) x 2cos 1-；解：因为0102)sin sin 2(lim sin 2lim 2cos 1lim0200=⋅⋅===-→→→x xx x x x x x x x , 所以)(2x o x x =+,)0(→x . (高阶无穷小)(5) x tan ；解：因为111)cos 1sin (lim tan lim00=⋅=⋅=→→xx x x x x x ,所以x x ~tan ,)0(→x .(等价无穷小)(6) x 2tan . 解：因为221)2cos 222sin (lim 2tan lim00=⋅=⋅=→→xx x x x x x ,所以)(2tan x O x =,)0(→x . (同阶无穷小)2、证明当0→x 时,有： (1) x x ~arctan ；证明：因为111sin cos lim tan lim arctan lim 00arctan 0========→→=→tt t t t x x t t x t x ,所以x x ~arctan ,)0(→x .(2) 221~1sec x x -；证明：因为1)2(2sin lim 2sin 22limcos )cos 1(2lim 211sec lim2202202020==⋅=-=-→→→→xxx x x x x xx x x x x ,所以221~1sec x x -,)0(→x .(3) 221~1sin 1x x x -+；证明：因为1101121sin 1sin 2lim 211sin 1lim 020=++⋅=++⋅=-+→→x x x xxx x x x , 所以221~1sin 1x x x -+,)0(→x .(4) 222~11x x x --+.证明：因为101012112lim 11lim2202220=-++=-++=--+→→xx x x x x x , 所以222~11x x x --+,)0(→x .3、利用等价无穷小的性质,求下列极限：(1) 11lim 2121lim cos 11sin 1lim 02200===--+→→→x x x xxx x x . 其中：221~1sin 1x x x -+,221~cos 1x x -,)0(→x .(2) 22lim 2lim tan )1(2sin lim 02020==⋅=-⋅→→→x x x x x x x x e x . 其中：x x 2~2sin ,x e x ~1-,22~tan x x )0(→x .(3) 52)52(lim 52lim 5sin )21ln(lim000-=-=-=-→→→x x x x x x x .其中：x x 2~)21ln(--,x x 5~5sin ,)0(→x .(4) 21cos 21lim cos 21lim cos sin cos 1lim sin sin tan lim 02202030===-=-→→→→x x x xx x x x x x x x x x . 其中：221~cos 1x x -,x x ~sin )0(→x .(5) 2121lim 21lim sin cos 1lim )tan 1sin 1(1lim 022000===-=-→→→→x x x x x xx x x x x x . 其中：221~cos 1x x -,x x ~sin )0(→x .(6) 22lim )(21lim cos 1lim 22022020m m x mx x mx x x x ===-→→→. 其中：0≠m 时,2)(21~cos 1mx mx -,)0(→x ,而0=m 时,0)(21cos 12==-mx mx .4、证明无穷小的等价关系具有下列性质： (1) αα~(自反性)；证明：因11lim lim==αα,所以αα~.(2) 若βα~,则αβ~(对称性)；证明：已知βα~,因1111lim lim===βααβ,所以αβ~.(3) 若βα~,γβ~,则γα~(传递性). 证明：已知βα~,γβ~,因111lim lim )lim(lim=⋅=⋅=⋅=γββαγββαγα, 所以γα~习题2-71、研究下列函数的连续性,并画出函数图形：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=.1 ,1,11 ,,1 ,1)(2x x x x x f 解：显然,函数)(x f 在)1,(--∞,)1,1(-以及),1(+∞连续.由于)(lim 11lim )(lim 1211x f x x f x x x -++-→-→-→=-≠==,则)(x f 在1-=x 间断；由于)(lim 1)1(lim )(lim 1211x f f x x f x x x +--→→→====,则)(x f 在1=x 连续.总之,函数)(x f 在)1,(--∞,),1(+∞-连续,在1-=x 间断.(2) ⎩⎨⎧≤<-≤≤=.21,2,10 , )(2x x x x x f 解：显然,函数)(x f 在)1,0[,]2,1(连续. 由于1lim )(lim 211==--→→x x f x x ,有)(lim )1(112)2(lim )(lim 111x f f x x f x x x -++→→→===-=-=,则)(x f 在1=x 连续.总之,函数)(x f 在]2,0[连续.2、确定常数b a ,使下列函数连续：(1) ⎩⎨⎧>+≤=.0 ,,0 , )(x a x x e x f x解：显然,函数)(x f 在)0,(-∞,),0(+∞连续.由于1lim )(lim 00===--→→e e x f x x x ,a a a x x f x x =+=+=++→→0)(lim )(lim 00,欲使)(x f 在0=x 连续,只需)0(1)(lim )(lim 0f x f x f x x ===-+→→,即1=a . 因此,仅当1=a 时,函数)(x f 在),(+∞-∞连续.(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=.0 ,sin ,0 ,2 ,0 ,)31ln()(x xax x x bxx x f 解：显然,函数)(x f 在)0,(-∞,),0(+∞连续.由于bb bx x bx x x f x x x x 33lim 3lim )31ln(lim )(lim 0000-=-=-=-=----→→→→,)0(≠b ,⎪⎩⎪⎨⎧==≠=⋅==+++→→→.0 ,0,0 ,)sin (lim sin lim )(lim 000a a a a axax a x ax x f x x x , 欲使)(x f 在0=x 连续,只需)0(2)(lim )(lim 0f x f x f x x ===+-→→,有 23==-a b , 即2=a , 23-=b . 因此,仅当2=a ,23-=b 时,函数)(x f 在),(+∞-∞连续.3、下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类型,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续.(1) 65422+--=x x x y , 2=x ,3=x ；解：32)3)(2()2)(2()(-+=--+-==x x x x x x x f y , 2≠x .①由于4322232lim )(lim 22-=-+=-+=--→→x x x f x x ,)(lim 4322232lim )(lim 222x f x x x f x x x -++→→→=-=-+=-+=, 可见, 2=x 是函数)(x f y =的可去间断点,属第一类间断点. 欲使)(x f 在2=x 连续,只需定义4)2(-=f 即可.②由于∞=-+=→→32lim )(lim 33x x x f x x ,可见, 3=x 是函数)(x f y =的无穷间断点,属第二类间断点.(2) xxy sin =, πk x =,),2,1,0( ±±=k ；解：xxx f y sin )(==, πk x ≠,),2,1,0( ±±=k .①由于1sin lim )(lim 00==--→→xxx f x x ,)(lim 1sin lim )(lim 000x f x xx f x x x -++→→→===, 可见, 0=x 是函数)(x f y =的可去间断点,属第一类间断点. 欲使)(x f 在0=x 连续,只需定义1)0(=f 即可.②由于∞==-→→xxx f k x k x sin lim )(lim ππ,),2,1( ±±=k可见,πk x =,),2,1( ±±=k 是函数)(x f y =的无穷间断点,属第二类间断点.(3) xy 1cos3=, 0=x ；解：xx f y 1cos )(3==, 0≠x .显然函数)(x f y =有界, 由于xx f x x 1cos lim )(lim 300→→=不存在,可见, 0=x 是函数)(x f y =的振荡间断点,属第二类间断点.(4) ⎩⎨⎧>-≤-=.1 ,54,1 ,12x x x x y 1=x .解：⎩⎨⎧>-≤-==.1 ,54,1 ,12)(x x x x x f y由于1)12(lim )(lim 01=-=--→→x x f x x , )(lim 13)52(lim )(lim 111x f x x f x x x -++→→→=≠-=-=,可见,1=x 是函数)(x f y =的跳跃间断点,属第一类间断点.4、求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间,并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解：21)3)(2()3)(1(633)(22223--=+-+-=-+--+=x x x x x x x x x x x x f ,3-≠x .显然,函数)(x f 在)3,(--∞,)2,3(-以及),2(+∞连续.5821lim )(lim 233-=--=-→-→x x x f x x ,∞=--=→→21lim )(lim 222x x x f x x , 2121lim )(lim 200=--=→→x x x f x x .5、求下列极限： (1) 33020)32(lim 32lim22020=+⋅-=+-=+-→→x x x x x x . (2) 00)2(cos )]42[cos()2cos lim ()2(cos lim 3333434===⋅==→→ππππx x x x . (3) 2)1(2211111lim e e t e t t -=--=--⨯---→. (4) ππππ222sin sin lim 2==→x x x .6、求下列极限： (1) 1lim lim 0011=====→=∞→e e e t t xt x x . (2) )]21cos[ln(lim )]121cos[ln(lim 2012t t x x t x t x -+===-+→=∞→ 10cos )]0021cos[ln()]}21(lim cos{ln[220==-⨯+=-+=→t t t .(3) )1ln(lim 1lim )1(lim lim 010020t t xe x e e x e e t e t x x x x x x x x x +-====-=-=-→-=→→→ 1ln 1)1ln(1lim 10-=-=+-=→e t tt .(4) 202022)1(cos 4lim )]1(cos 1ln[4lim cos ln 4040lim )(cos lim x x x x x x x x x x x e e e x --+→→→→=== 2)2(lim 24lim 0220--⋅-===→→e e e x x x x .7、讨论函数x nx n n e ex x x f ++=∞→1lim )(2的连续性,若有间断点,判别其类型.解：①当0<x 时,x x x e ex x x f x nxnn =+⋅+=++=∞→0101lim )(22；当0>x 时,2221001lim )(x x x ex xe x f x nxnn =++⋅=++=--∞→, 所以⎩⎨⎧>>=.0 ,,0 ,)(2x x x x x f ②显然,函数)(x f 在)0,(-∞,),0(+∞连续,在0=x 点间断点.③由于0lim )(lim 00==--→→x x f x x , )(lim 0lim )(lim 0200x f x x f x x x -++→→→===, 可见,0=x 是函数)(x f y =的可去间断点,属第一类间断点.习题2-81、试证下列方程在指定区间内至少有一个实根：(1) 0135=--x x ,在区间)2,1(；证明：显然]2,1[13)(5C x x x f ∈--=,由于03)0(<-=f ,025)2(>=f ,由零点定理知,)2,1(∈ξ..t s 0)(=ξf ,即01325=--ξξ,所以方程 0135=--x x 在)2,1(内至少有一个根ξ.图形> plot(x^5-3*x^2-1,x=1..2);(2) 2-=x e x ,在区间)2,0(.证明：显然]2,0[2)(C x e x f x∈--=,由于01)0(<-=f ,03)2(2>-=e f , 由零点定理知,)2,0(∈ξ..t s 0)(=ξf ,即02=--ξξe ,所以方程 2-=x e x 在)2,0(内至少有一个根ξ.图形> plot(exp(x)-x-2,x=0..2);2、设)(x f 在],[b a 上连续,且b d c a <<<,证明在],[b a 内必存在一点ξ使)()()()(ξf n m d nf c mf +=+,其中n m ,为自然数.证明：若n m ,全为零,则结论显然成立；若n m ,不全为零,因],[)(b a C x f ∈,知)(x f 在],[b a 上存在最小值和最大值βα,, 令)()(d f nm n c f n m m +++=λ,由于 ββαα=++≤+++≤++=nm m m d f n m n c f n m m n m m m )()( 即βλα≤≤,又因],[)(b a C x f ∈,则必],[b a ∈∃ξ..t s λξ=)(f ,即)()()()(ξf n m d nf c mf +=+.3、设函数)(x f 在]2,0[a 上连续,且)2()0(a f f =,证明在],0[a 内至少存在一点ξ,使)()(a f f +=ξξ.证明：若)()0(a f f =,则结论显然成立；若)()0(a f f ≠,已知]2,0[)(a C x f ∈,显然],0[)()()(a C a x f x f x F ∈+-=,由于)]2()()][()0([)()0(a f a f a f f a F F --=0)]()0([)]0()()][()0([2<--=--=a f f f a f a f f ,由零点定理知,),0(a ∈ξ..t s 0)(=ξF ,即)()(a f f +=ξξ.4、一个登山运动员从早晨7:00开始攀登某座山峰,在下午7:00到达山顶,第二天早晨7:00再从山顶沿着原路下山,下午7:00到达山脚,试利用介值定理说明,这个运动员必在这两天的某一相同时刻经过登山路线的同一地点.证明：用)(x f 和)(x g 表示第一天和第二天运动员在时刻x )197(≤≤x 时距山脚的距离,显然]19,7[)(),(C x g x f ∈,假设山顶距山脚的距离为0>s ,那么,有0)19()7(==g f ,而s g f ==)0()19(,显然]19,7[)()()(C x g x f x F ∈-=,由于0)]19()19()][7()7([)19()7(2<-=--=s g f g f F F ,由零点定理知,)19,7(∈ξ..t s 0)(=ξF ,即)()(ξξg f =,说明运动员必在这两天的相同时刻ξ经过登山路线的同一地点,此时距山脚的距离为)(ξf .友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！。

极限和连续的62个典型习题

极限与连续的62个典型习题习题1 设m i a i ,,2,1,0 =>，求 nn m nnn a a a 121)(lim +++∞→ . 解记},,,m ax {21m a a a a =，则有a a a a a nn n nm n n =≥+++1121)()( ，a a n =∞→lim .另一方面nn nn nm n n m a ma a a a 11121)()()(⋅=≤+++ .因为 1)lim (lim 11==∞→∞→n n n n m m ，故 a m a nn =⋅∞→1lim .利用两边夹定理，知 a a a a nnm nnn =+++∞→121)(lim ，其中 },,m ax {21m a a a a =.例如 9)9531(lim 1=+++∞→nnnnn . 习题2 求 )2211(lim 222nn n nn n n n n +++++++++∞→ .解n n n n n n n n n n n n +++++++++<+++++2222221121 1212+++++<n n n, 即n n n n n n n n n n n n +++++++++<++22222211)2(2)1( )1(2)1(2+++<n n n n214211lim 421lim )2(2)1(lim 2=++=++=++∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . 2122211lim )1(2)1(lim 22=+++=+++∞→∞→nn n n n n n n n . 利用两边夹定理知21)2211(lim 222=+++++++++∞→nn n n n n n n n .习题3 求n n n n ))1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→ . 解 n n n n ))1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→ nn n n ))111()3121()211((lim +-++-+-=∞→ 1)1()111(lim )111(lim -+∞→∞→+-=+-=n n n n n n 11)111()111(lim -+∞→+-⋅+-=n n n n 11)1()111(lim ]))1(11([lim -∞→-+-∞→+-⋅+-+=n n n n n 111--=⋅=e e 习题4 求 ),(11lim 1N n m xxm nx ∈--→.解（变量替换法）令mn x t =，则当1→x 时，.1→t 于是,原式nm t t t t t t t t t t n m t n m t =++++-++++-=--=--→→)1)(1()1)(1(lim 11lim121211 . 习题5 求xx x x )1(lim -+∞→.解（变量替换法）令+∞→+∞→=t x t x ,,，原式t t t t t t t t t t )11(lim )1(lim22+⋅-=-=∞→∞→t t tt ])11()11[(lim 11--∞→-⋅+= t t t t t --∞→-⋅+=)11()11(lim 101==⋅=-e e e . 习题6 求 xx x xe sin 10)23(lim+-→ (∞1型)。

练习一极限与连续

练习一极限与连续1、一、填空：列n x 与n y 的极限分别为A 与B ，且A ≠B ，则数列1x ,1y ,2x ,2y ,…, n x ,n y ,… 的极限为_______。

2、 ()=-+⋅⋅⋅+⋅+⋅∞→]11321211[lim n n n _____________。

3、 ()=+→21||limx x x x _________。

4、 ()=++∞→nnn n n 1321lim ________。

5、设()xex f 111+=，则=+-+→→]lim []lim [0）（）（x f x f x x __________。

6、 ______2sin _______,2sin lim4==∞→→xxlin x x x x π。

7、()_________sin sin 0=→x x linx 。

8、 ________sin 1sin 1lim=--+→xxx x 。

9、 __________1sin 1315lim 2=-+∞→xx x x 。

10、若，021lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++∞→k k k n n n n n 则k 的取值范围是___________。

11、________,2cos 2lim 2==+∞→a xx ax x 则。

12、若_________________,,23lim 22===-+-→b a b x a x x x 则。

13、__________1lim 1=++∞→x x x x x ）（。

14、()_______,11112的取值范围是则高阶的无穷小是比时若m x x x x m---→。

15、()x a x 2cos 1,0-→时若～_________2=a x 则。

16、x x ,0时已知→～()_______,1ln =+k kx 则。

17、__________sin cos 1lim=-→xxx 。

18、变量y=1132++x x x 在______________→→x x 或的过程中是无穷小量。

函数、极限和连续试题及答案-写写帮文库

••••••••••现在位置: > > 正文函数、极限和连续试题及答案时间：2019-05-14 作者：会员上传简介：写写帮文库小编为你整理了多篇相关的《函数、极限和连续试题及答案》，但愿对你工作学习有帮助，当然你在写写帮文库还可以找到更多《函数、极限和连续试题及答案》。

极限和连续试题（A卷）1.选择题（正确答案可能不止一个）。

（1）下列数列收敛的是（）。

A.xnn-1n=(-1)nB.xn1n=(-1)nC.xnπn=sinD.xn=2n（2）下列极限存在的有（）。

A.lim1x→∞sinxB.xlim→∞xsinxC.lim11x→02x-D.limn→∞2n2+1（3）下列极限不正确的是（）。

A.lim(x+1)=2B.lim1x→1-x→0x+1=1 12C.lim4x-2xx→2=∞D.xlim→0+e=+∞（4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（）。

A.2-x-1(x→0)B.sinxx(x→0)2C.e-x(x→+∞)D.xx+1(2-sin1x)(x→0)⎧⎪1（5）如果函数f(x)=xsinx,⎪x<0;⎨a,x=0;在x=0处连续，则a、b的值为（⎪⎪⎩xsin1x+b,x>0.A.a=0,b=0B.a=1,b=1C.a=1,b=0D.a=0,b=1 2.求下列极限：（1）lim(x322x→1-3x+1)；（2）xlim→-2(3x+2x-5)；（3）lim1x(1+x-3)；（4）limx-3→0x→2x2+x；x2-8x2（5）limx→3x-3；（6）lim-16x→4x-4；（7）limx2-1x-2x→12x2-x-1；（8）lim；x→2x-2。

）（9）limx→0cosx1+x-1；（10）lim；x→∞xxx3+3x-1x4+3x-1（11）lim；（12）lim；x→∞3x3-xx→∞5x4-x3x3+3x-19x3+3x-1（13）lim；（14）lim；42x→∞x→∞x-xx-1x3.（15）limx→03xsin⎧2-x，x<0⎪23.设f(x)=⎨2x+1，0≤x<1，求limf(x)，limf(x)，limf(x)，limf(x)。

函数的极限及函数的连续性典型例题

函数的极限及函数的连续性典型例题第一篇：函数的极限及函数的连续性典型例题函数的极限及函数的连续性典型例题一、重点难点分析：①此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。

② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。

③ 函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。

④ 计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则⑤ 若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。

二、典型例题例1．求下列极限①②③④解析：①。

②。

③。

④。

例2．已知，求m,n。

解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴ m=3代入求得n=-1。

例3．讨论函数的连续性。

解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又∴由从而f(x)在点x=-1处不连续。

∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。

，∴ f(x)在x=1处连续。

，例4．已知函数试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。

,(a,b为常数)。

解析：∵且，∴，∴ a=1, b=0。

例5．求下列函数极限①②解析：①。

②。

例6．设解析：∵要使存在，只需，问常数k为何值时，有存在？。

，∴ 2k=1，故时，存在。

例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？解析：由∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。

，三、训练题：1．已知，则2．的值是_______。

3.已知，则=______。

4．已知5．已知，2a+b=0，求a与b的值。

，求a的值。

参考答案：1.32.3.4.a=2, b=-45.a=0第二篇：函数的极限和函数的连续性（本站推荐）第一部分高等数学第一节函数的极限和函数的连续性考点梳理一、函数及其性质1、初等函数幂函数：y=xa(a∈R)指数函数y=ax(a>1且a≠1)对数函数：y=logax(a>0且a≠1)三角函数：sin x , cos x , tan x , cot x反三角函数：arcsin x , arcos x , arctan x , arccot x2、性质（定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、有界性）【注】奇偶性、单调性相对考察的可能性打，但一般不会单独出题，常与其他知识点结合起来考察（比如与积分、导数结合）二、函数极限1．数列极限定义（略）收敛性质：极限的唯一性、极限的有界性、极限的保号性。

复习：函数极限连续

= lim 1 + ( sin x − x )
x →0

1 sin x − x

sin x − x x2
＝e
x →0
lim
sin x − x x2
0 1; = = e=
1
例题．计算 lim(1 − 3 x) x 的值。
x →0
1 − 解： I = lim[1 + (−3 x)] 3 x x →0

1− x − ex 1+ = lim x →0 x+2
1− x −e x
x+2
x → 0 sin
lim
1− x − e x x(x+2)
1 = ； e
5
1
例题、计算 lim(1 − 3 x) x 的值。
x →0 1
x x
(
) (
−x
)
解： f (− x ) = 2 + 3
(
) + (2 − 3 )
−x
=(
1 2+ 3
)x + (
1 2− 3
)x
= 2− 3 + 2+ 3
(
) (
x
)
x
= f (x ) ，
故 f ( x ) 是偶函数。
题型二：求极限（肯定式、未定式；次序： ,
0 ∞ ,0 ⋅ ∞, ∞ − ∞,1∞ ,00 , ∞ 0 ；特殊极限） 0 ∞
x2
因此
1 x2 a + x2 = lim ⋅ = 1 ，求得 a=4； 1 2 1 cos − x x →0 x →0 2 a+x x 2 lim

《高等数学一》极限与连续历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析)

第二章极限与连续[单选题]1、若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（）A、0B、C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有.[单选题]2、与都存在是函数在点处有极限的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题]3、（）.A、B、1C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]4、如果则（）.A、0B、1C、2D、5【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】根据重要极限,[单选题]5、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】分子分母同除以，即[单选题]6、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、设，则（）.A、B、2C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、当时，与等价的无穷小量是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】由于故与等价,推广，当时，[单选题]9、时，与等价的无穷小量是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】由于，故与等价,推广，当时，[单选题]10、函数的间断点是（）.A、x=6、x=-1B、x=0、x=6C、x=0、x=6、x=-1D、x=-1、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由于, 所以的间断点是x=0，x=6，x=-1.[单选题]11、设,则是的（）.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题]12、计算（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]13、计算（）.A、B、C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、（）.A、1B、﹣1C、2D、﹣2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、下列各式中正确的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】A，当时，极限为，错误；B，，错误；C，，错误，D正确. [单选题]16、函数的间断点个数为（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在x=0和x=1处，无定义，故间断点为2个. [单选题]17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）A、B、C、D、arctan x【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，.[单选题]18、（）A、0B、1C、不存在，但不是∞D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数，则x=0是f(x)的( )A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】故为可去间断点.[单选题]20、（）.A、-1B、2C、1D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】为有界函数，故原式=.[单选题]21、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]22、下列极限存在的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】当x趋近于0时，为有界函数，故极限存在. [单选题]23、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，，，不存在,[单选题]24、极限=()A、0B、2/3C、3/2D、9/2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]25、函数f(x)=的所有间断点是()A、x=0B、x=1C、x=0，x=-1D、x=0，x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】 x=1时，分母为0，无意义。

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.
习题14求 .
解原式
.
习题15求 .
解 ∵ ，，原式 = 0.
习题16证明（为常数）。
证（令）
.
习题17求 .
解原式 .
习题18求 .解(连续性法)
原式
.
习题19试证方程（其中）至少有一个正根，并且它不大于 .
证设，此初等函数在数轴上连续，在上必连续。∵ 而
若，则就是方程的一个正根。
极限与连续的62个典型习题
习题1设，求 .
解记，则有
， .另一方面
.
因为，故 .利用两边夹定理，知
，其中 .
例如 .
习题2求 .
解
,
即
.
.
利用两边夹定理知
.
习题3求 .
解
习题4求 .
解（变量替换法）令，则当时，于是,
原式 .
习题5求 .
解（变量替换法）令，
原式
.
习题6求 ( 型)。
为了利用重要极限，对原式变形
习题26设数列由下式给出求
解不是单调的，但单增，并以3为上界，故有极限。设单减，并以2为下界，设在等式两边按奇偶取极限，得两个关系，解出由于的奇数列与偶数列的极限存在且相等，因此的极限存在，记于是故有解出（舍去负值）
习题27设试证收敛，并求极限。
证显然假设则由，可解出（舍去）。下面证明收敛于由于
，
递推可得
由两边夹可得故
习题28设试证
（1）存在；（2）当时，当时，
证显然有又
单减有下界。收敛。令在原式两边取极限得由此可解出或当时，归纳假设则而，有因此时即时）。
当时，由的单减性便知即当时，即
（当时）。
习题29
习题30若收敛，则
证收敛，设故必有界。设
因此而
习题31求
变量替换求极限法
（为求有时可令而）
习题32求（为自然数）
解令则因此
习题33求
解令且当时故原式
习题34求
解先求令则上式
故原式
用等价无穷小替换求极限
习题35求
解记
原式=
=
习题36设与是等价无穷小，求证
（1）（2）
证即
其中故
（2）
习题37设为自然数，试证使
证∵ ，而
.由两边夹定理知，原式成立.
习题24设任取记
试证存在，并求极限值。
证
故
由题设
由于
故单调有下界，故有极限。设
由解出（舍去）。
习题25设求
解显然有上界，有下界
当时
即假设则
故单增。
存在。设则由得即
（舍去负值）。当时，有
用完全类似的方法可证单减有下界，同理可证
习题57设函数且试证
证因为连续，所以在上有界。又因为所以
当时，恒有取则存在自然数使得 .记，则且于是
下面估计上式右边三项的绝对值。
（1）
若，则由零点存在定理可知在内至少存在一点，使 .即
故方程至少有一正根，且不大于 .
习题21求 .
解原式 .
习题20设满足且试证
证取使得当时有
即亦即于是递推得
从而由两边夹准则有
习题22用定义研究函数的连续性。
证首先，当是连续的。同理，当
也是连续的。而在分段点处
故
习题23求证 .
（解：先改写为分段函数，结论为：
习题45求为何值时，函数，在上处处连续。
只需讨论分段点处的连续性：
要在处连续，必有
习题46设，定义求
解有下界即有又，即单减有下界，故有极限。设且有有
（舍去负根）（注意：先证明极限的存在是必要的。）
习题47
（解：单增有上界，可解出极限）
习题50证明方程至少有一个正根，且不超过
证设而
如果则即为的零点.如果则由介值定理知使即为所求,故原命题成立.
习题51若函数可以达到最大值和最小值，求证
证设则对任意有或有由的任意性，可知
习题52设且恒大于零，证明在上连续.
证任取由于在处连续且大于使当时（若为左端点，则应为类似处理有
亦即是的第一类（可去）间断点.
习题56求函数的间断点并判定其类型。
解的分段点为
是的第一类（跳跃）间断点。当时，在点
处，无意义，故是的间断点。因为
是第一类（可去）间断点。显然都是极限为的第二类间断点。当时，在点时，没定义，故是的间断点。又不存在，故为第二类间断点。
习题48设且证明使
证若则取若则可取则令必有且由零点定理知使即
习题49(选择题)设在内有定义，连续且有间断点，则
(A) 必有间断点，(B) 必有间断点，
(C) 必有间断点，(D) 必有间断点.
解选[D]（(A) 因的值域可能很小。
(B)反例而无间断点。
(C) 总有定义。
习题7求 .解原式
.
习题8求 .解由于
.
而
.故不存在。
习题9研究下列极限（1） .
∵ 原式，其中， . ∴ 上式极限等于0，即 .（2） .
因为， , 所以 .
（3） . 原式 .
习题10计算 .
解原式
.
习题11
.
习题12已知，求的值。
解首先，∴
原式，
∴ ，而 .
习题13下列演算是否正确？
可找到使当时有
取则当时，有
故知在处连续。由的任意性，知在上连续.
习题53设试讨论在处的连续性.
解
时，在处连续，
时，为的跳跃间断点（第一类间断点).当时为第二间断点。
习题54设函数问当在处连续。解
即时，在处连续。
习题55求函数的间断点，并判定其类型.
解因当（为任一整数）时，是的间断点。再细分，当时，不存在，故除处的任何整数都是的第二类间断点。因
证（分析：要证使即要证有根）令，显然在上连续，于是记则
又对函数应用介值定理，知使即存在使
习题38设证明
使
证（分析：将结果变形）
记则
于是
或
由介值定理知
即
习题39设且证使
证反证法。若不存在点使即均有连续，不妨设恒有于是此与矛盾。故使
习题40设且又证明至少有一点使
证故在上有最大值和最小值 ,使于是由介值定理，知使
习题41证明方程至少有一个小于1的正根。
证设显然但
使即方程至少有一个小于1的正根存在。
习题42设连续，求
解
故由于在=1，-1处连续，所以
习题43试证方程至少有一个实根。
证做函数显然
使即在内必有实根。
习题44求的连续区间。