信号检测与估计(精选)
信号检测与估计理论
平方检测算法是一种简单而有效的信 号检测算法，它通过比较输入信号的 平方和与阈值来判断是否存在信号。
信号估计理论
02
信号估计的基本概念
信号估计
利用观测数据对未知信号或系统状态进行推断或预测 的过程。
信号估计的目的
通过对信号的处理和分析，提取有用的信息，并对未 知量进行估计和预测。
信号估计的应用
在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识别等领域有 广泛应用。
阈值设置
03
在信号检测中，阈值是一个关键参数，用于区分信号和噪声。
通过调整阈值，可以控制错误判断的概率。
信号检测的算法
最大后验概率算法
最大后验概率算法是一种常用的信号 检测算法，它基于贝叶斯决策准则， 通过计算后验概率来判断是否存在信 号。
平方检测算法
多重假设检验算法
多重假设检验算法是一种处理多个假 设的信号检测算法，它通过比较不同 假设下的似然比来确定最佳假设。
医学影像信号处理
X光影像处理
通过对X光影像进行去噪、增强、分割等处理，可以提取出 病变组织和器官的形态特征，为医生提供诊断依据。
MRI影像处理
磁共振成像（MRI）是一种无创的医学影像技术，通过对MRI 影像进行三维重建、分割、特征提取等技术处理，可以更准确
地诊断疾病。
超声影像处理
超声影像是一种实时、无创的医学影像技术，通过对超声影像 进行实时采集、动态分析、目标检测等技术处理，可以为临床
03
估计的精度和效率。
深度学习在信号检测与估计中的应用
01
深度学习是人工智能领域的一种重要技术，在信号检
测与估计中信号进行高效的特征
提取和分类，提高信号检测的准确性和稳定性。
第三章信号的检测 ,信号检测与估计
作业：
1 z2 exp( )dz 1 [ (1 ) E / N0 ] 2 2
x
[ x]
1 e 2
z2 2
dz
1 同理 ＝ p(G | H1 )dG＝ [ (1 ) E / N0 ]
l0*
Pe 1 [ (1 ) E / N0 ]
• 对于通信最佳检测系统，通常用最小总错误概 率准则。即贝叶斯准则C11=C00=0,C01=C10=1
(C10 C00 )q q l0 (C01 C 11 ) p p
• 通常先验概率p及q一般都设计得近似相等，这 样可得到更小的总错误概率。
• 假设p=q=1/2 ， 此时l0=q/p=1，则
H1
2 1 T T x ( s1 s0 ) ln l0 ( s1 s1 s0 s0 ) 2
H0
T
H1
代入得
T
0
x(t ) s1 (t )dt
0
* 1 1 x(t ) s0 (t )dt l0 N 0 ln l0 ( E1 E0 ) 2 2
H0
H1
0
T
Var[G | H 0 ] E{[G E (G | H 0 )]2 } N0 = 2
T
0
[s1 (t ) s0 (t )]2 dt N 0 E (1 )
[G ( E E0 )]2 1 p(G | H 0 ) exp{ } 2 N0 E (1 ) 2 N0 E (1 )
xt s1 t nt
xt s0 t nt
0t T
3.3.2 二元信号检测系统
第五章 (1) 信号检测与估计
5.1.2 参量估计的数学模型和估计量的构造
概率映射： 建立观测矢量x的数学模型 由于存在观测噪声，所以x具有随机性；
观测矢量x中含有被估计量 的信息， x是以 为参数的随机 矢量，因此其概率密度函数为p(x | )。
由于 的值影响x的取值，因此我们可以从观测矢量x中推测 的值。
概率密度函数p(x|)完整地描述了含有被估计量 时观测矢 量x的统计特性，所以用来表示从参量空间 到观测空间R的概率
后验概率密度函数 p( | x)
条件概率密度函数为
N
p( x
|)
1
2
2 n
2
exp
N
k1
xk
2
2 n
2
先验概率密度函数为
1
p(
)
1
2
2
2
exp
2
2
2
5.2.2 贝叶斯估计量的构造
p( | x) p(x | ) p( )
p( x)
K3 exp
1
2
2 m
参量空间
P(x|)
观测空间R
估计规则
ˆ( x)
5.1.2 参量估计的数学模型和估计量的构造
参量空间
信源输出一组M个参量1, 2, , M，这M个参量构成M维矢 量 = [1, 2, , M]T可由M维参量空间的一个随机点或未知点来
表示；
如果信源输出的参量只有一个单参量，那么参量空间就是 一条一维的直线， 是该直线上的一个随机点或未知点。
0
估计值趋近与参量 的统计平均值( 的统计平均值为零)，
因此先验知识比观测数据更有用。
如果2
2 n
/
N
ˆb
信号检测与估计
信号检测与估计信号检测与估计?信号检测匹配滤波器检测系统信号估计信号检测门限, 后验概率,似然函数?最大后验概率准则贝叶斯准则最小错误概率准则极大极小准则涅曼-皮尔逊准则例题1:假设H 1条件下,观测信号由一等幅信号m 和高斯噪声n 组成,高斯噪声为N(0,σ2);假设H 0条件下,观测信号仅是噪声n.当我们获得一个观测值Z 后,根据观测值Z,做出两种假设H 1/H 0的判断.观测信号模型为:H 1: Z=m+n, H 0: Z=n,解:假定先验概率相等P(H 1)=P(H 0)=1/2,采用似然比检测准则: ]2)(exp[21)/(221σπσm Z H Z f --=]2exp[21)/(220σπσZH Z f -=]22exp[)/()/()(2201σmmZ H Z f H Z f Z -==Λ因此判决规则为:)()(]22exp[)(102201H P H P m mZ Z H H <>-=Λσ两端取对数,化简得])()(ln[22102201H P H P m mZ H H <>-σ根据假定先验概率相等P(H 1)=P(H 0)=1/2,则有201m Z H H <>例题2:已知f(Z/H 0)的分布为N(y 0,σ2),f(Z/H 1)的分布为N(y 1,σ2)C i,j ,P(H i )均为已知,i,j=0,1,求贝叶斯准则检测的最佳门限Z T .解:根据已知条件,可以得到:))(())((]2)(exp[21]2)(exp[21)/()/()(110110010022022101C C H P C C H P y Z y Z H Z f H Z f Z T T T T T --=----==Λσπσσπσ例题3:假设雷达发射幅度为1伏的周期脉冲信号S(t),信号传送到接收端过程中,引入一个高斯噪声干扰信号n(t),高斯噪声为N(0,1)这样在一个周期内,接收的信号只能是下述的一种:H 1: S(t)+n(t), H 0: n(t)根据N-P 准则,在限制虚警概率P f =0.1时的发现概率解:在虚警概率一定的条件下=0 ,漏报概率P m 需要最小,由拉格朗日乘子法存在,:)(αλ-+=f m P P J α-f P 其中, λ为拉格朗日乘子))(())(()2)(exp())(exp())(())((]2)(exp[]2)(exp[))(())((]2)(exp[21]2)(exp[2111011001002202120111011001002202211101100100220221C C H P C C H P y y y y Z C C H P C C H P y Z y Z C C H P C C H P y Z y Z T T T T T --=-----=------=----σσσσσπσσπσ两边取对数:2)]))(())(([ln(011101100100012y y C C H P C C H P y y Z T ++---=σ-+-=--+=-+=-+=01)]/()/([)1(])/(1[)/(])/([)/()(010101Z Z Z Z Z f m dzH Z f H Z f dz H Z f dz H Z f dz H Z f dz H Z f P P J λαλαλαλαλ将检测门限Z T 代入,∞--+-=TZ dzH Z f H Z f J )]/()/([)1(01λαλ显然,J 是门限的函数,利用偏导数求极小值)/()/(,0/001=-=??H Z f H Z f Z J T T T λ)/(/)/(010H Z f H Z f T T =λ则有:TH H H H Z Z Z Z H Z f H Z f Z =+<>-=Λ<>=Λ5.0ln )21exp()()/()/()(00010101λλ门限Z T 可以由给定的虚警概率确定:1.0)2exp(212=-=?∞dz ZP TZ f π查表得, Z T =1.29, 因此2.2)21exp(0=-=T Z λ此时的发现概率为386.0)2)1(exp(212=--=?∞dz Z P TZ d π在雷达应用中,虚警概率是很小的.虚警概率P f 与系统带宽B,系统平均虚警时间T f 存在下面关系ff T B P *1=令:系统带宽B=1MHz,系统平均虚警时间T f=100秒, 则虚警概率P f =10-8, 这样小的虚警概率可由误差函数近似展开,求得门限Z T nnn x TZ f R x n x x x e x erf Z erf dz Z P T+---+-==-=-∞])2()12...(*3*1)1......()2(3*1211[221)()()2exp(212222222πσσσπ当x>3时,近似有:222)(x ex x erf -?π当x=3, P f =8.206*10-6, Z T =3*σ当x=3.929, P f =1.003*10-8, Z T =3.929*σ当x=4.4625, P f =1.004*10-10, Z T =4.4625*σ雷达恒虚警检测技术(CFAR)雷达系统通常要求能够在比热噪声更为复杂和不确知的背景环境中检测目标测存在并保持给定的虚警概率,为此必须采用自适应门限检测电路.在没有目标存在时,利用自动检测电路来估计接收机的输出,以保持一个恒虚警率的系统变称为恒虚警系统(CFAR)恒虚警率处理器的组成及处理方法自从恒虚警率(CFAR)处理概念提出以来,针对不同的杂波环境和性能要求,目前已有很多CFAR处理方案.随着数字技术的发展,CFAR已经从原始的噪声电平慢门限发展到多种参量和非参量自适应的综合应用.1. 瑞利分布的参量型CFAR检测电路2. 非瑞利分布的参量型CFAR检测电路3. 非参量型CFAR检测电路1. 瑞利分布的参量型CFAR 检测电路若杂波干扰的概率密度分布已知,只需估计某些未知参量的情况,属于参量型处理方法.(a) 噪声电平恒定电路: 这是一种对接收机内部噪声电平进行恒虚警处理的电路.内部噪声由于温度,电源等因素而改变,它的变化是缓慢的,因此这种处理是慢门限恒虚警处理.中频放大器平滑滤波器取样检波器信号输入信号输出取样脉冲(b)对数单元平均恒虚警电路瑞利分布的密度函数为:如果引入新的变量y=x/σ,则通过归一化处理达到恒虚警的目的.由于瑞利分布的均值为故可以利用均值估计杂波强度σ]2exp[)(22σσxxx p -=]2exp[)(2yy y p -=σπ2=a∑=Ni ixN11检波及对数运算N/2N/2反对数输出+_+x 0对数单元平均CFAR 处理2. 非瑞利分布的参量型CFAR 检测电路(a) 对数-正态分布杂波CFAR 处理: 对于对数-正态分布和韦伯尔分布杂波进行恒虚警处理的原理与瑞利分布杂波处理方法相同,就是要对杂波分布进行归一化处理,使归一化后的新分布和输入杂波的强度无关.对数-正态分布的概率密度函数为:式中, 为的方差.采用对数接收机,令y=lnx,则]2)ln (ln exp[2)(22_____m mn x x xx p σσπ--=x ln m σ]2)(exp[2)(22__m mn y y xy p σσπ--=变量y 服从正态分布,下一步进行归一化处理,引入新变量:myy u σ__则得归一化正态函数为:]2exp[21)(2uu p n -=π(b)有序统计CFAR检测器: 又称为(OS-CFAR)检测器.在非均匀杂波背景下有良好得检测性能检波器N/2N/2参考单元排序x1>x2>…>xn 计较器输入输出x0OS-CFAR处理取出x(k)作为杂波功率估计Tk。
信号检测与估计知识点
信号检测与估计知识点一、知识概述《信号检测与估计知识点》①基本定义：信号检测与估计呢，简单说就是从一堆有干扰的数据里找到真正的信号，还得把这个信号的一些特征估摸出来。
就好比在很嘈杂的菜市场找朋友的声音（信号），还得判断朋友声音的大小之类的特征（估计）。
②重要程度：在通信、雷达、图像处理这些学科里超级重要。
就拿雷达来说，如果不能准确检测和估计信号，那根本就不知道飞机在哪呢，整个防空系统都得乱套。
③前置知识：得先知道概率论、随机过程这些基础知识。
不然，信号检测与估计里那些关于概率、随机变量啥的根本理解不了。
④应用价值：在通信领域，可以提升信号传输准确性；在医学上，检测病人的生理信号，像心电图啥的，估计其参数有助于诊断病情；在工业自动化里，对检测到的信号进行估计，能更好控制生产流程。
二、知识体系①知识图谱：信号检测与估计在信号处理这个大的学科里面是很核心的部分，就像心脏在人体里的位置一样重要。
②关联知识：和信号处理里的滤波、调制解调关系密切。
比如说滤波后的信号可能才更有利于检测和估计，而检测估计的结果可以反馈给调制解调改变参数。
③重难点分析：- 掌握难度：这个知识点有点难，难点在于要同时考虑到噪声和信号的混合情况，还得建立合适的模型。
按我的经验，很多时候分不清哪些是噪声干扰带来的变化，哪些是信号本身的特征。
- 关键点：把握好概率统计的方法，准确地建立信号模型是关键。
④考点分析：- 在考试中很重要，如果是在电子通信等相关专业的考试里，经常考。
- 考查方式可能是给一些含噪声的信号数据，让你进行检测和估计参数，也可能是叫你设计一个简单的信号检测方案。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：- 信号检测就是判断信号是否存在。
咱们看谍战片里的电台接收情报，接收员得判断接收到的微弱声音（可能包含信号和噪声）里是不是有真正要接收的情报信号，这就是信号检测。
- 信号估计是对信号的各种参数，像幅度、相位等进行估计。
好比知道有信号了，还得估摸这个信号是多强、频率是多少之类的。
第4章信号检测与估计
pn( y | H1)
1
2
exp(
( y b)2
2 2
)
(4.14)
pn( y | H 0)
1
2
exp(
(
y b)2
2 2
)
(4.15)
图4.1 显示了概率密度函数, 门限
MAP 0 4 1
(4.16)
似然比
L( y)
( y b)2
exp[ 2 2
( y b)2
2 2
]
2 yb
(4.23)
类似, 在假设 H1, k的概率密度函数以 a1(> a0)表征
Pp(k | H1) ea1 a1k , k 0,1, 2... (4.24) k!
似然比
L(k ) e(a0 a1 ) ( a1 )k a0
(4.25)
如果两假设的先验概率相等, 则门限为
MAP ML 1
若
令 P(H0) 0 和 P(H1) 1 先验概率
如果 p( y / H0)0 p( y / H1)1 (4.9)
则判H0为真,否则判H1为真
组合以上两个不等式
D01
p( y | H 0) 0
p( y | H1) 1
(4.10)
DD01
D0: 对应H0为真，D1: 对应H1为真
上式改写为
p( y
P00 0.985
P11 0.966
例 4.7
承接 例4.2 例 4.4
设置代价
C00 C11 , 0 C10 1, C01 2
先验概率
0
1
1 2
则Bayes 门限
B 1
2
使用对数似然比, 如果
信号检测与估计理论
•信源
n~
图3.1 二元信号统计检测理论模型
信源
H0 : 信源输出为0， x(t) s0(t) n(t) H1：信源输出为1， x(t) s1(t) n(t)
信源的输出称为假设
•概率转移机构
n~
图3.1 二元信号统计检测理论模型
作用:概率转移机构的作用是在信源输出的一个假 设为真的基础之上,把噪声干扰背景中的假设 Hj( j=0,1)为真的信号，按照一定的概率关系映射 到观测空间中.
二元信数字通信系统 0 s0(t)=sin(0t) 0 t T 1 s1(t)=sin(1t) 0 t T
n~
图1.3 二进制数字通信系统原理框图
n~
图1.4 连续相位移频键控信号 (CPFM)
在[0,T],加性噪声为n(t),接收到信号x(t),
x(t) s0 (t) n(t), 0 t T x(t) s1(t) n(t), 0 t T
➢ 实际上不知道发射的是s0还是s1,因此，需要合理检测 准则，进行判断获得信号。
➢ 在某些情况下在对信号转台作出判断之后，还需要对 信号的参数进行估计，如振幅、相位、频率等;
➢ 如有必要，需要进一步恢复出信号的波形或者图形。
3.2.1 二元信号统计检测的信号模型
n~
图3.1 二元信号统计检测理论模型
所以, R1域中的积分可以表示为
这样平均代价C的分析式最后表示为
现在根据以上平均代价C的分析表示式,来 求使平均代价最小的贝叶斯准则的判决表示式.
3.3.3 最佳判决式 平均代价的分析表示式中,第一项、第二
项是固定代价，不影响 C 的极小化；
第三项是与 PH j ，cij，判决域 R0有关的可变项。当PH j
第三章 信号检测与估计(1)
本章主要内容
① 信号统计检测理论的基本概念； ② 二元信号的最佳检测准则,信号的状态判决方 法和检测性能的分析；
③ M元信号的最佳检测；
④ 参量信号的统计检测； ⑤ 信号Байду номын сангаас序列检测.
第3 章
3.1 引言
信号的统计检测理论
信号的统计检测理论是随机信号统计处理的理论基础之一。
判决H0假设成立
判决H1假设成立
判决H0假设成立
判决H1假设成立 贝 叶 斯 判 决 准 则
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
贝叶斯准则基本思路:
根据给定的代价计算平均代价 按照平均代价最小划分观察空间,得到判决准则 对判决表达式进行化简
2 贝叶斯检测的进一步说明
贝叶斯判决准则
1 p x H1 H PH 0 c10 c00 px H 0 H 0 PH1 c01 c11
问题： 代价因子如何定义？ 平均代价如何计算？
如何获得最小的平均代价？
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
1. 代价因子的定义 对于二元信号统计检测，共有四种事件发生，即
H
0
H0
H
1
H0
H
1
H1
H
0
H1
c00
c10
c11
c01
cij 表示假设Hj为真时，判决假设Hi成立所付出的代价
将观察空间进行合理划分,使每个观测量 对应一个假设判断的方法
1 二元信号检测模型
概率转移机构的作用是在信源输出的一个假设为真的基础
之上，把噪声干扰背景中的假设为真的信号Hj(j=0,1),按照一 定的概率关系映射到观测空间中.
第五章 (2) 信号检测与估计
2 n
的独立同分布高斯随机噪声；被
估计量 是未知非随机参量。求 函数 exp 的最大似
然估计量ˆml 。
5.3.3 最大似然估计的不变性
解：根据观测方程与假设条件，似然函数为
p( x
|)
1
2
2 n
N /2
exp
N
k 1
xk
2
2 n
2
该函数中含有，因为在函数=exp()中， 是的一对一变
0
ˆml
解的，该方程称为最大似然方程。
最大似然估计也适用于概率密度函数未知的随机参量 的
估计，这时可假设 服从均匀分布。
最大后验估计方程
为均匀分布，p()为常数
ln
p(x | )
ln p( )
ˆmap
0
最大后验估计转化为最大似然估计
由于最大似然估计没有或不能利用被估计量的先验知识，其性能一般 比贝叶斯估计差。
将上式对求偏导
( -ˆ)p(x | )dx
-
=
p(x | )dx+
p(x | ) ( -ˆ)dx=0
-
-
p(x | )dx=1 -
p(x | ) = ln p(x | ) p(x | )
非随机参量情况
( -ˆ)p(x | )dx
-
=
p(x | )dx+
p(x | ) ( -ˆ)dx=0
利用先验概率的贝叶斯估计量的均方误差为（例5.2.1求得）
E
ˆb
2
2
2 n
N
2
2 n
N
1
2 n
/
2
2 n
由于
2 n
信号检测与估计知识点总结
第二章 检测理论1．二元检测：① 感兴趣的信号在观测样本中受噪声干扰，根据接收到的测量值样本判决信号的有无。
② 感兴趣的信号只有两种可能的取值，根据观测样本判决是哪一个。
2．二元检测的数学模型：感兴趣的信号s ，有两种可能状态：s0、s1。
在接收信号的观测样本y 中受到噪声n 的污染，根据测量值y 作出判决：是否存在信号s ，或者处于哪个状态。
即：y(t)=si(t)+n(t) i=0,1假设：H 0：对应s0状态或无信号，H 1：对应s1状态或有信号。
检测：根据y 及某些先验知识，判断哪个假设成立。
3. 基本概念与术语✧ 先验概率：不依赖于测量值或观测样本的条件下，某事件（假设）发生或 成立的概率。
p(H 0),p(H 1)。
✧ 后验概率：在已掌握观测样本或测量值y 的前提下，某事件（假设）发生或成立的概率。
p(H 0/y),p(H 1/y) 。
✧ 似然函数：在某假设H0或H1成立的条件下，观测样本y 出现的概率。
✧ 似然比：✧ 虚警概率 ：无判定为有；✧ 漏报概率 ：有判定为无；✧ （正确）检测概率 ：有判定为有。
✧ 平均风险： 4.1 最大后验概率准则（MAP ）在二元检测的情况下，有两种可能状态：s0、s1，根据测量值y 作出判决：是否存在信号s ，或者处于哪个状态。
即： y(t)=si(t)+n(t) i=0,1假设：H 0：对应s0状态或无信号，H 1：对应s1状态或有信号。
)|()|()(01H y p H y p y L =f P m P d P )(][)(][111110101010100000H P C P C P H P C P C P r ∙++∙+=如果 成立，判定为H0成立；否则 成立，判定为H1成立。
利用贝叶斯定理： 可以得到： 如果 成立，判定为H0成立； 如果 成立，判定为H1成立；定义似然比为：得到判决准则： 如果 成立，判定为H0成立； 如果 成立，判定为H1成立；这就是最大后验准则。
信号检测与估计理论 第一章 概论
信号的随机性及其统计处理方法
1. 信号的随机性 信号的分类：
确知信号 随机（未知）参量信号
信号的随机性及其统计处理方法
确知信号与随机（未知）参量信号 举例
确知与“未确知”的转换：排水管网/污水流量……
信号的随机性及其统计处理方法
2. 信号的统计处理方法
对信号的随机特性进行统计描述；
P A B
P A P B A P B
0.001 0.95 0.0868 0.01094
检查结果为阳性，患病概率仅为8.68%。
示例3
Number 0： s0 t sin 0t , 0 t T Number1： s1 t sin 1t , 0 t T
连续相位移频键控（CPFM）信号
信号检测与估计理论概述
示例4
3 Times
片段
数字“0”和“1”的语言波形
本课程的主要内容
第一部分
信号检测与估计理论的研究对象
以概率论与数理统计为工具，为通信、雷达、声纳、自动控制等技术 领域提供理论基础。此外，它在模式识别、射电天文学、雷达天文学、 地震学、生物物理学以及医学等领域里，也获得了广泛的应用。 通信、雷达、自动控制系统等都是当代重要的信息传输和处理系统， 对它们的性能要求，总的说来有两个方面。 一是要求系统能高效率地传输信息，——系统的有效性； 二是要求系统能可靠地传输\处理信息，——系统的可靠性或抗干扰性。 使系统信息传输可靠性降低的主要原因有：
2 N 1 N 2 1 1 2 2 ( x )] E[( ˆ( x )) 2 ] E E[ ( nk ) E nk n N k 1 N k 1 N
信号检测与估计(1)
1
xx
(
s)
[
S xs ( S xx
s)e s (s)
]
22
g(t) 1
2
1 Sxx (s)
[
S xs (s)et S xx (s)
] ds
g(t) 0 (t 0)
(t 0)
I E[e2 ]min
{Sss (s)
Sxx (s) S xx (s)
[
S xs ( S xx
s)et (s)
x(t) s(t) n(t) (0 t T )
1) =0，则为滤波。 2) >0，则为预测（外推）。 3) <0，则为平滑（内插）。
2
例1: 设信号为S(t)为均值为零的平稳随机过程。
求 S(t ), 0的估计
S(t ), 0
解: 采用线性最小均方误差估计
Sˆ(t ) aS(t)
Rs (0)
E{[S (t
)
Rs ( ) ]S (t
Rs (0)
)}
Rs
(0)
Rs 2 ( )
Rs (0)
4
例2: 设信号为S(t)为均值为零的平稳随机过程。
用 S(t) 及其导数 S / (t) 对 S(t ), 进0 行预测。
解:
Sˆ(t ) aS(t) bS / (t)
由线性最小均方误差估计和正交原理
S y ( j)
R
y
()e
j
d
1
S y () 2
S
y
(
j)e
j
d
21
如
S
y
(s)
Sy
(s)S
y
(s)
则 G(s)Sxx (s)Sxx (s) Sxs (s)es A(s)
信号检测与估计第一章
1.2.5 极小极大准则
• 贝叶斯准则要求已知先验概率和各种代价函数；极小极大
准则应用于仅仅知道代价函数 Cij i, j 0 ,1 ,而先验概率 P H i i 0 ,1 未知的情况。
• 极小极大准则：把使最小平均代价（贝叶斯代价）取得最 大值所对应的概率当作先验概率使用。
Hi
Cii
i0
P
x i j 0, j i
Hj
Cij C jj
f x H j dx
定义
M 1
Ii x P H j Cij C jj f x H j
j0, ji
则
i x : Ii x I j x , j 0,1, , M 1, j i
• 记 x x1, x2 , , xN T 。贝叶斯判决的目标是将N维观测空间
划分为互斥的
N 0
,
N 两个区域，使平均代价
1
C
达到最小。
• 相应的判决规则为
x f
x H1
f
x1, x2 ,
f x H0 f x1, x2 ,
xN H1 H1 P H 0 C10 C00 th xN H 0 P H0 H1 C01 C11
设先验概率 P H 0 p ，则贝叶斯判决规则为
f x H1 H1
p C10 C00
f x H 0 H0 1 p C01 C11
贝叶斯代价为
Cmin p p C00 1 p C10 p 1 p C01 p C11 1 p
• M 元假设检验 • 连续信号的检测 • 离散信号的检测
信号检测与估计
先验概率:
P0 = P( H 0 )
P1 = P( H 1 ) = 1 − P0
2.2
二元假设检验及判决准则
R = [C00 P( H 0 / H 0 ) + C10 P( H1 / H 0 )]P0 + [C01 P( H 0 / H1 ) + C11 P( H1 / H1 )]P 1
PF = P( H1 / H 0 )
λ0 =
判决准则为
P0 =1 P1
2.2
二元假设检验及判决准则
• 2.2.4 最大后验概率准则 在已经得到观测矢量的前提下，比较假设 H 0 和 H1 出现的概率。
P ( H1 / x )
H1 H0
P( H 0 / x )
称为最大后验概率准则。 根据概率乘法公式
P ( x / H1 ) P ( H1 ) P ( H1 / x ) = P( x )
对于多次试验，代价的统计平均值(也称为风险函数)为 R = E (C ) = C00 P ( H 0 为真，判为H 0 ) + C10 P ( H 0 为真，判为H1 )
+C01 P ( H1为真，判为H 0 ) + C11 P ( H1为真，判为H1 )
P( H i为真，判为H j ) = P( H i为真) P(判为H j / H i为真) = P( H i ) P( H j / H i )
= C 00 P0 + C 01 P1 + (C10 − C 00 ) P ( H 1 / H 0 ) P0 − (C 01 − C11 ) P ( H 1 / H 1 ) P1
R = C00 P0 + C01 P + ∫ [(C10 − C00 ) ⋅ P0 ⋅ p ( x / H 0 ) − (C01 − C11 ) ⋅ P ⋅ p ( x / H1 )]dx 1 1
第五章 (3) 信号检测与估计
ˆ b
若对所有的 ，估计的偏矢量 b 的每一个分量都为零，则称为
无偏估计矢量。
非随机矢量情况
克拉美-罗界
如果ˆi 是被估计的M维非随机矢量 的第i个参量 i的任意无偏估计 量，则估计量的均方误差为
E
ˆi
2
2 ˆi
Var
ˆi
2 ˆi
,
i 1, 2,..., M
该估计量的均方误差满足
Mθˆ
ˆ
ˆ
T
克拉美-罗界
如果ˆ 是 的任意无偏估计矢量，利用柯西-施瓦兹不等式，估计
矢量的均方误差阵满足
Mˆ JT1
式中，信息矩阵 JT JD JP ，其元素分别为
2 ln p( x | )
J Dij
E
i j
, i, j 1, 2,..., M
2 ln p( )
随机矢量情况
如果被估计矢量 是M维随机矢量，则构造的估计矢量 ˆ是观
测矢量 x 的函数。x 和 的联合概率密度函数 p x,
无偏性
根据随机矢量估计无偏性的定义，如果满足：
E ˆ = E
就称 ˆ是 的无偏估计矢量。
估计量的误差矢量：
ˆ
1 2
ˆ1 ˆ2
M ˆM
估计量的均方误差阵
如果 p( | x) 最大值的解存在，则 ˆmap 可以由最大后验方程组解得，
该最大后验方程组为
ln p( | x)
0,
j
θ = θˆmap
M个方程组成的联立方程
j = 1,2,...,M
ln p( | x)
0
θ =θˆmap
其中
5.5.1非随机矢量的最大似然估计
如果被估计矢量 是非随机矢量，则应采用最大似然估计，求出 使似然函数 p(x | )为最大的 ，将它作为最大似然估计量 ˆml。 如果最大值的解存在，则ˆml 可以由最大似然方程组解得，该最大 似然程组为
信号检测和估计
Q
d 2
Q d 2
d 2 NA2
2
3.4.2 最大后验概率准则 (Maximum a posteriori prob. criterion)
➢应用范围 c10 c00 c01 c11
贝叶斯判决准则
p x H1 p x H0
H1
H0
PH0 c10 PH1 c01
c00 c11
def
def
PF p x H0 dx PF P1g PM p x H1 dx PM P1g
R1
R0
C P1, P1g c00 c10 c00 PF P1g
P1 c11 c00 c01 c11 PM P1g c10 c00 PF P1g
3.4.1 最小平均错误概率准则
C c10P H0 c11P H1 R0 PH1 c01 c11 p x H1 PH0 c10 c00 p x H0 dx
c00c11 0
c01c10 1
C PH0 R0 PH1px H1 PH0 px H0 dx
把使被积函数取负值旳观察值x值划分给R0区域，而把其他旳观察值x值划分给R1， 即可确保平均代价最小。
极小化极大准则
奈曼皮尔逊准则
3.4.3 极小化极大准则(Minimax criterion)
➢应用范围
假设旳先验概率未知，判决代价因子给定
➢目旳
尽量防止产生过分大旳代价，使极大可能代价最小化。
3.4.3 极小化极大准则 (Minimax criterion)
➢在先验概率未知旳情况下,最小平均代价是先验概率旳函数.
H0
环节3：化简成最简形式 lx
H1
环节4：利用极小化极大准则，拟定最终判决门限。