人教版高中数学必修三学案：1-3中国古代数学中的算法案例

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人教B版高中数学必修三《第一章算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例》_6

1.3 案例2 秦九韶算法一、基本信息教材：人教版，必修3第一章“算法初步”的第3节“算法案例”中的秦九韶算法.二、教材分析为解决一个问题而采取的方法和步骤，称为算法.算法是数学的重要组成部分，是计算机理论和技术的基础.随着现代信息技术的飞速发展，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养，新课标已将算法列为高中数学的必修内容.秦九韶算法既能体现新课程、新理念、新课标，又可以结合旧知识，调动学生的积极性，培养学生的自主探索能力及学习兴趣.三、学情分析从学生的认知基础看，学生在已经学习了程序框图、算法语句的相关知识，积累了研究算法的基本方法与初步经验.学生的基础较好，能够在一节课中掌握框图和算法语句.从学生的思维发展看，高二学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题.但是，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构秦九韶算法中的循环结构有一定的困难.四、教学目标【知识与技能】1、了解秦九韶算法的计算过程.2、理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质.【过程与方法】1、模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.2、了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用.【情感、态度与价值观】1、通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久.2、通过对秦九韶算法的广泛应用、丰富其联想的空间，懂得“来龙去脉”.3、充分认识信息技术对数学的促进.五、教学重点和难点重点：理解秦九韶算法的思想.难点：用循环结构表示算法步骤.六、教学方法学生探究、教师引导.七、教学流程八、教学过程1、逐渐渗透算法意识，为算法学习铺路【思考1】求当5=x 时，求多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 的值.学生自己提出一般的解决方案：将5=x 代入多项式进行计算即可.教师点评：上述算法一共做了10次乘法运算，5次加法运算，优点是简单，易懂.缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高.设计意图：使学生在自己操作的过程中体会求多项式值的一般思路方法.【思考2】如果让计算机来做这件事情，那么有没有更高效的算法?（这里有一个知识，就是对于计算机而言，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此，这里所说的高效，具体是指，能否减少乘法的次数？）教师引导学生分析、推理：如果有同学这样想：可以先计算2x 的值，然后依次计算x x *2，x x x **)(2，x x x x ***))((2的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果.这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.那么，老师可以不做点评，可以紧接着让学生来做：例2、求多项式54232)(2345+++++=x x x x x x f 当2=x 时的值？分析：如果还按照刚才的说法的话，有同学会很自然想到这样来处理：先计算2x ，然后再去计算24x ；接着再去计算x x ⋅2，在此基础上去计算)(22x x ⋅，……,依此进行下去，这样一共进行了8次乘法，5次加法运算；那么，对于例2，是否还有别的方法呢？引导学生继续来观察，发现，在54232)(2345+++++=x x x x x x f 中，代数式x x x x x ++++23454232中，都有x ，因此，还可以x x x x x x x x x x )14232(42322342345++++=++++，也是，依此进行下去， 54232)(2345+++++=x x x x x x f 可变形为5)1)4)2)32(((()(+++++=x x x x x x f ，这样再看这种处理，一共进行了5次乘法，5次乘法运算.很显然，比上一种方法少了3次乘法运算.这时，老师可以再次返回到开始，重新带领学生来认识问题“求当5=x 时，求多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 的值. ”，我们还可以这样来处理：1)1)1)1)1((((1)(2345+++++=+++++=x x x x x x x x x x x f 或者=+++++=155555)(2345x f15)15)15)15)15((((+++++，这样来看，一共进行了4次乘法，5次加法. 问题：同学们来比较分析一下，两种处理方式，哪一种更好？为什么？【分析】虽然也是进行的乘法与加法次数与前一种都一样. 但是，很显然，还是后面一种解法更好一些.因为它更具有通性通法. 这也是“算法”思想的体现，因为算法考虑的是这一类问题的处理方式.教师点评：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，因此第二种做法更快地得到结果.设计意图：帮助学生改进方法，感受算法思想，从而提高计算效率.【思考3】能否探索更好的方法，来解决任意多项式的求值问题？刚才提高计算效率的方法只对求多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值而言的，那么再举一例：求多项式54232)(2345+++++=x x x x x x f ，当2=x 时的值？教师引导学生解答：利用思考2总结出来的方法，每次计算利用上一次结果.想要解决这一问题，可以将原式变形如下：54232)(2345+++++=x x x x x x f5)14232(234+++++=x x x x x5)1)4232((23+++++=x x x x x5)1)4)232(((2+++++=x x x x x5)1)4)232(((2+++++=x x x x x5)1)4)2)32((((+++++=x x x x x将2=x 代入上式，从内往外依次计算73221=+⨯=v162272=+⨯=v3642163=+⨯=v7312364=+⨯=v设计意图：用具体实例练习，让学生在实例中体会上述运算方法，进一步探索具有一般意义的算法. 算法：就是按照一定规则，解决某一类问题的明确的有限的步骤.【思考4】一个n 次多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++⋅⋅⋅++=--的值？教师引导学生解答：将原式变形得0111)(a x a x a x a x f n n n n ++⋅⋅⋅++=--01211)(a x a x a x a n n n n ++⋅⋅⋅++=---……011))(((a x a x a x a n n ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=-求多项式的值时，类推练习的方法.首先计算最内层括号内的一次多项式的值，即：n a v =011-+=n n a x a v然后由内往外逐层计算一次多项式的值，即212-+=n a x v v323-+=n a x v v……01a x v v n n +=-教师点评：上述方法为秦九韶算法.这样,求n 次多项式)(x f 的值就转化为求n 个一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.同时介绍秦九韶——秦九韶（约1202--1261），中国南宋数学家，字道古，四川安岳人.先后在湖北，安徽，江苏，浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所.他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家.早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》.《数书九章》全书凡18卷，81题，分为九大类.其最重要的数学成就----“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术”(高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.设计意图：这里将问题由特殊上升到一般，得出用秦九韶算法求多项式的值的一般方法，说明秦九韶算法的通用性.同时，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献.2 、将“算法”提升到“程序框图”的层面【思考1】观察上述秦九韶算法中的n 个一次式.在秦九韶算法中反复执行的步骤是什么，应该用什么结构来实现？教师引导学生分析：观察秦九韶算法的数学模型，计算k v 时要用到1-k v 的值.若令n a v =0可以得到下面的递推公式：⎩⎨⎧⋅⋅⋅=+==--),,3,2,1(10n k a x v v a v k n k k n 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现.（《必修三》P15：对于重复操作的步骤，我们按照“确定循环体”、“初始化变量”、“设定循环控制条件”的顺序来勾走循环结构）由秦九韶的概念得出算法步骤如下：第一步：输入多项式次数n ,最高次项的系数n a 和x 的值.第二步：将v 的值初始化为n a ，将i 的值初始化为1-n .第三步：判断i 是否大于或等于0，若是，输入i 次项的系数i a ，1,-=+=i i a vx v i ；否则，输出多项式的值v .（第一步，输入多项式次数n ,最高次项的系数n a 和x 的值.第二步，将v 的值初始化为n a ，将i 的值初始化为1-n .第三步，判断i 是否大于或等于0，若是，执行第四步；否则，输出多项式的值v .第四步，输入i 次项的系数i a ，1,-=+=i i a vx v i ；返回第三步.）（说明：在处理具体算法案例时，提倡先通过“算法分析写算法步骤，再根据算法步骤画程序框图，然后根据程序框图编制程序，最后可创造条件在计算机上验证算法.”）即：通过算法分析，写算法步骤——画程序框图——编制程度——上机验证【思考2】怎样用程序框图表示秦九韶算法？教师引导学生分析：由算法步骤画出程序框(如下页图)教师点评：用程序框图表示秦九韶算法中的循环过程中，最重要的部分是找出循环体.在画框图的过程中，计数变量的初始值也要注意，这是画框图时候的小技巧.设计意图：由以上“算法”转化为“程序框图”.就是一种十分重要的数学思想.由此发现，“算法”与“程序框图”它们既是研究问题的不同方面，又是相互依存、相互联系的，在一定条件下可以由“算法”画出“程序框图”：由“程序框图”写出“算法”.3 、【思考1】由以上程序框图对应写出程序：第一步 INPUT nINPUT n aINPUT x另一种写法：INPUT “n ，n a ，x ”；n ，n a ，x评析：如果不注意输入语句的格式，则写出的程序，计算机就不会执行或输出错误的信息，这是很多学生常犯的错误.第二步 n a v =1-=n i评析：学生在写赋值语句时常常一句给出多个变量赋值，这也是错误的.第三步 WHILE 0>=iINPUT “i a ”； i aa x v v +=*1-=i iWENDPRINT vEND教师点评：根据程序框图及前面提到的循环结构，递推公式.引导学生选对循环语句写出程序，问题就会迎刃而解.设计意图：经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想.4、课堂小结知识内容：秦九韶算法的特点及其程序设计.思想方法：算法思想，化归思想.设计意图：使学生对知识有一个系统的认识，突出重点，抓住关键，培养概括能力.5、作业1）1、用秦九韶算法计算多项式5432)(245++++=x x x x x f当x=2的值时，需要做乘法和加法的次数分别是_ __,_ __课后小结把算法转化为计算机可执行程序，应用计算机解决相应的问题, 从而让学生体会到虽然有时算法过程很复杂或计算很繁杂，但在计算机上运行，很快就可以获得解决问题的结果，并且一种算法可以解决一类的问题.通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的思想，理解算法的含义；通过模仿、操作、探索、经历、设计程序框图表达解决问题的过程，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构；理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想.同时通过电脑操作，让学生自我去探索，及时验证自己的程序是否可行，及时获得成就感，激发学生学习兴趣，也符合新课程的理念.。

数学人教B版必修3导学案：§1.3中国古代数学中的算法案例

三维目标1．理解算法案例的算法步骤和程序框图.2．引导学生得出自己设计的算法程序.3. 体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.重点难点教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.案例1 辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果；否则转向第二步继续循环执行.如此循环，直到得到结果为止.这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.案例2更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术.《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.应用示例例1 用辗转相除法求288与123的最大公约数例2 用更相减损术求98与63的最大公约数点评：更相减损术与辗转相除法的比较：尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著，但是二者的算理却是相似的，有异曲同工之妙．主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但是实质都是一个不断的递归过程．拓展思考（选做）：用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.例3 （1）用辗转相除法求123和48的最大公约数.（2）用更相减损术求80和36的最大公约数.点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等.案例3割圆术阅读教材28页-----30页案例4 秦九韶算法提出问题（1）求多项式f(x)=4x3+3x2+2x+1当x=2时的值有哪些方法？比较它们的特点.（2）什么是秦九韶算法？（3）怎样评价一个算法的好坏？讨论结果：上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法：把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式：f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0=（a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1）x+ a0=（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2）x+a1)x+a0=…=（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1=a n x+a n-1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+a n-2，v3=v2x+a n-3，…v n=v n-1x+a0，这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.应用示例例1 已知一个5次多项式为f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：v0=5；v1=5×5+2=27;v2=27×5+3.5=138.5;v3=138.5×5-2.6=689.9;v4=689.9×5+1.7=3 451.2;v5=3 415.2×5-0.8=17 255.2;所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2.点评：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例.结论：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达2)1(nn，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次.例2 已知多项式函数f(x)=2x5－5x4+3x2－6x+7，求当x=2时的函数的值.点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算.拓展提升用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值..小结：（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题；（2）解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应该选择高效的算法；（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等.。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修3 1.3 中国古代数学中的算法案例》81

（２）学会借助实例分析，探究数学问题。
情感态度
和价值观
（１）通过学生的主动参与，师生，生生的合作交流，提高学生兴趣，激发其求知欲，培养探索精神；
（２）体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。
教学重点
理解等值算法与秦九韶算法。
教学难点
理解等值算法的计算原理与秦九韶算法的递推公式的推导过程。
学生朗读。了解。
学生总结，教师补充。
让学生了解古代数学的特点，以及与现代数学的联系。
让学生回忆以往知识。
通过展示几个同学的框图让学生回忆框图知识并增强合作学习意识。
通过执行程序来学习体会算法。
并鼓励学生自主编写程序。
通过具体例子介绍秦九韶算法的思想，及其优越性和递推关系。
这个内容比较抽象，学生理解起来有点困难，要循序渐进。是本节课的难点。
教学方法
启发引导，小组合作探究
教学程序
师生互动
设计意图
一创设情景
中国有着五千年悠久的历史文化，中国古代数学的发展也有自己的特点“寓理于算”，也就是现在所说的把所要解决的问题”算法化”。本节课就来学习几个中国古代数学中的算法案例。
二课堂教学
1求两个正整数的最大公约数的算法
活动1：什么是约数？公约数？最大公约数？
以16,12）（4,12）,（4,8）（4,4）
做对应练习题。
并解释其原理。
活动2：讨论并画出等值算法的程序框图。
活动3：演示等值算法的ciab程序。
活动4：辗转相除法
（16,12）（4,12）
2，秦九韶算法
活动5：计算多项式
当=2的值
直接求和法
逐项求和法
两种算法中各用了几次乘法和加法运算？

人教版高中数学必修三学案：1-3中国古代数学中的算法案例(1)

§1.3《中国古代数学中的算法案例》【学习目标】①知识目标：理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法。

②能力目标：通过算法的Scilab程序，使学生初步具备编程能力的思想。

③情感目标：通过阅读教材和了解算法思想，体验中国古代数学的伟大，培养学生的爱国之情。

【自主学习】1、求两个数的最大公约数的方法有两种，分别是_________________和_______________。

2、所谓“割圆术”，是用____________________去无限逼近圆周并以此求___________的方法。

3、阅读教材p36页《我国古代数学家秦九韶》，理解秦九韶算法的步骤。

【典例分析】例1 求132与143的最大公约数。

跟踪练习求下列两个数的最大公约数：（1）8251，6105 （2）1480，480例2 用秦九韶算法求多项式在x=2时的函数值。

【快乐体验】一、选择题1.用秦九韶算法求多项式在=－1.3的值时，令；；…；时，的值为（）A.－9.8205B.14.25C.－22.445D.30.97852.数4557、1953、5115的最大公约数是（）A.31B.93C.217D.651二、解答题3.用等值算法求下列各数的最大公约数.（1）63，84；（2）351，513.4.用辗转相除法求下列各数的最大公约数.（1）5207，8323；（2）5671， 10759.5.求三个数779，209，589的最大公约数.6.用秦九韶算法求多项式在时的值.【反思回顾】总结今天这节课的内容，你收获了哪些思想方法？。

人教版高中必修3(B版)1.3中国古代数学中的算法案例课程设计

人教版高中必修3(B版)1.3 中国古代数学中的算法案例课程设计课程简介本课程将介绍中国古代数学中的算法案例，包括“过鸡抵毁”、“商功开方”、“勾股定理”等，旨在通过了解这些古代算法的实际运用，提高学生的数学思维和解决问题的能力。

课时安排本课程设计共设置4个课时，每个课时约45分钟。

课时主题内容第一课时介绍介绍中国古代数学中的算法案例第二课时过鸡抵毁讲解过鸡抵毁算法及其应用第三课时商功开方讲解商功开方算法及其应用第四课时勾股定理讲解勾股定理及其应用课程内容第一课时：介绍在第一课时中，将向学生介绍中国古代数学中的算法案例，包括各算法的基本概念、历史渊源以及现实应用。

同时，也会引导学生认识到古代数学在如今应用的广泛性。

通过讲解，让学生建立对古代数学的基本认知和认识。

第二课时：过鸡抵毁第二课时主要讲解“过鸡抵毁”算法。

这是一种古代算法，其可以用来解决一些几何问题，例如“如何用一块固定面积的木板去切割另一块面积未知的木板，使得两块木板面积相等”。

在讲解的同时，需要与学生一起做一些实际操作，例如让学生进行拼图操作，以加深学生对算法的理解。

同时也要阐述“过鸡抵毁”算法在现实生活中的应用，例如灭蚊草的研发过程中应用了该算法。

第三课时：商功开方第三课时主要讲解“商功开方”算法。

该算法可用来求解二次方程的解。

讲解中需要引导学生深入理解算法原理，例如如何将二次方程转换成商功差式再求解。

同时需要和学生一起进行实际操作，例如用解二次方程，以加深学生对算法的理解。

在讲解过程中，也需要提及“商功开方”算法在现实生活中的应用，例如在导弹制导和卫星轨道计算中的应用。

第四课时：勾股定理第四课时主要讲解“勾股定理”。

在讲解中，需要引导学生对勾股定理的几何意义进行深入理解，例如如何用直角三角形三边长度来计算直角三角形的面积。

同时需要和学生一起进行实际操作，例如用勾股定理计算直角三角形的梯形面积，以加深学生对算法的理解。

在讲解过程中，还需要提及勾股定理在现实生活中的应用，例如在建筑工程、电路设计、地图测量等方面广泛应用。

人教版高中数学必修三(教案)1.3 算法案例(4课时)

第一课时 1.3。

1 算法案例-——辗转相除法与更相减损术教学要求:理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析; 基本能根据算法语句与程序框图的知识设计出辗转相除法与更相减损术完整的程序框图并写出它们的算法程序。

教学重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。

教学难点:把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.教学过程：一、复习准备：1. 回顾算法的三种表述:自然语言、程序框图（三种逻辑结构）、程序语言（五种基本语句）。

2. 提问：①小学学过的求两个数最大公约数的方法？(先用两个公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.）口算出36和64的最大公约数. ②除了用这种方法外还有没有其它方法?6436128∴和28的最大公约数就是64和=⨯+，3636的最大公约数，反复进行这个步骤,直至842=⨯,得出4即是36和64的最大公约数.二、讲授新课:1. 教学辗转相除法:例1:求两个正数1424和801的最大公约数.分析：可以利用除法将大数化小，然后逐步找出两数的最大公约数。

（适用于两数较大时）①以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法,它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。

利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1)用较大的数m除以较小的数n得到一个商S和一个余数R;（2）若0R＝0，则n为m，n的最大公约数;若0R≠0，则0用除数n除以余数R得到一个商1S和一个余数1R；(3）若1R＝0，则1R为m，n的最大公约数；若R≠0，则用除数0R除以余数1R得到一个商2S和1一个余数R;……依次计算直至n R＝0，此时所得到的1n R 即为所求的最2大公约数。

②由上述步骤可以看出，辗转相除法中的除法是一个反复执行的步骤，且执行次数由余数是否等于0来决定，所以我们可以把它看成一个循环体,它的程序框图如右图：（师生共析,写出辗转相除法完整的程序框图和程序语言)练习:求两个正数8251和2146的最大公约数。

高一数学人教b版必修3学案：1.3 中国古代数学中的

§1.3中国古代数学中的算法案例自主学习学习目标通过三种算法案例：更相减损术、秦九韶算法、割圆术，进一步体会算法的思想，提高逻辑思维能力和算法设计水平．自学导引1．求两个正整数最大公约数的算法(1)更相减损之术(等值算法)用两个数中较大的数减去较小的数，再用____和____________构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生____________，这个数就是最大公约数．(2)用“等值算法”求最大公约数的程序2．割圆术割圆术就是用________________________________的算法来计算圆周率π的一种方法．3．秦九韶算法把n次多项式P(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写为P(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0令v k＝________________________________，则递推公式为其中k＝1,2，…，n.对点讲练知识点一更相减损术例1用更相减损术求下列两数的最大公约数．(1)261,319；(2)1 734,816.点评通过上例可以发现用更相减损术求最大公约数，运算简单，程序易编．变式迁移1用更相减损术求63和98的最大公约数．知识点二秦九韶算法例2已知多项式f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x－1，试求当x＝3时的值．点评利用秦九韶算法计算多项式的值关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算，由于下一次的计算用到上一次计算的结果，只有细心，认真，保证中间的结果正确才能保证计算准确．变式迁移2用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．1．更相减损术求两个数的最大公约数时，一定要弄清每一次减法中的被减数、减数，同时要掌握减法应在何种情况下停止运算，得出结果．2．秦九韶算法的特点是通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n 次多项式，只需做n 次乘法和n 次加法即可．3．割圆术以直代曲、无限趋近，主要利用了“内外去留”的思想.课时作业一、选择题1．自然数8 251和6 105的最大公约数为( )A ．37B ．23C ．47D ．1112．五次多项式f (x )＝4x 5＋3x 4＋2x 3－x 2－x －12，用秦九韶算法求f (－2)等于( ) A ．－1972 B.1972 C.1832 D ．－18323．下列哪组的最大公约数与1 855,1 120的公约数不同( )A ．1 120,735B ．385,350C ．385,735D ．1 855,3254．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ＋3在x ＝2时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )A ．6,6B ．5,6C ．5,5D ．6,55．我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是( )A ．准确值B ．近似值C ．循环小数D ．有理数二、填空题6．228与1 995的最大公约数是________．7．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6，x ＝－4时，v 3的值为________．8．已知多项式P n (x )＝a 0x n ＋a 1x n －1＋…＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k 0 (k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1 (k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要________次运算．三、解答题9．求2 007与180的最大公约数．10．用秦九韶算法求多项式f (x )＝2x 4－2x 2－5x ＋10在x ＝10的值．§1.3中国古代数学中的算法案例自学导引1．(1)差较小的数一对相等的数(2)while a＝a－b b＝b－a end2．正多边形面积逐渐逼近圆面积3．(…(a n x＋a n－1)x＋…＋a n－(k－1))x＋a n－k v0＝a n v k＝v k－1x＋a n－k对点讲练例1解(1)(261,319)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29)，∴319与261的最大公约数是29.(2)因为两数皆为偶数，首先除以2得到867,408，再求867与408的最大公约数．(867,408)→(459,408)→(51,408)→(51,357)→(51,306)→(51,255)→(51,204)→(51,153)→(5 1,102)→(51,51)，∴1 734与816的最大公约数是51×2＝102.变式迁移1解由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减．(63,98)→(63,35)→(28,35)→(28,7)→(21,7)→(14,7)→(7,7)，所以98和63的最大公约数是7.例2解根据秦九韶算法多项式可改写为f(x)＝((((2x－5)x－4)x＋3)x－6)x－1，按照由内向外的顺序，依次计算为：v0＝2，v1＝2×3－5＝1，v2＝1×3－4＝－1，v3＝(－1)×3＋3＝0，v4＝0×3－6＝－6，v5＝(－6)×3－1＝－19.故当x＝3时，多项式的值为－19.变式迁移2解f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2 369；v6＝2 369×3＋1＝7 108；v7＝7 108×3＝21 324，故x ＝3时，多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值为21 324.课时作业1．A [利用更相减损术可得它们的最大公约数为37.]2．A [∵f (x )＝((((4x ＋3)x ＋2)x －1)x －1)x －12， ∴f (－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－12＝－1972] 3．D [∵(1 855,1 120)→(735,1 120)→(735,385)→(350,385)→(350,35)，∴1 855与1 120的公约数是35，由以上计算过程可知选D.]4．C5．B6．577．－578.12n (n ＋3) 2n 9．解 2 007－180＝1 827 1 827－180＝1 6471 647－180＝1 467 1 467－180＝1 2871 287－180＝1 107 1 107－180＝927927－180＝747 747－180＝567567－180＝387 387－180＝207207－180＝27 180－27＝153153－27＝126 126－27＝9999－27＝72 72－27＝4545－27＝18 27－18＝918－9＝9所以2 007与180的最大公约数为9.10．解把多项式改写成以下形式：f (x )＝2x 4＋0·x 3－2x 2－5x ＋10＝(((2x ＋0)x －2)x －5)x ＋10.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式在x ＝10的值．a 4＝2 v 0＝a 4＝2a 3＝0 v 1＝v 0x ＋a 3＝20a 2＝－2 v 2＝v 1x ＋a 2＝198a 1＝－5 v 3＝v 2x ＋a 1＝1 975a 0＝10 v 4＝v 3x ＋a 0＝19 760故f (10)＝19 760.。

新人教B版高中数学(必修3)1.3《中国古代数学中的算法案例》word学案

中国古代算法案例（1）介绍中国古代算法的案例－韩信点兵－孙子问题；（2）用三种方法熟练的表示一个算法（3）让学生感受算法的意义和价值．教学重点、难点:不定方程解法的算法．教学过程一、问题情境(韩信点兵-孙子问题)：韩信是秦末汉初的著名军事家。

据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个报数，就能知道场上的士兵的人数。

韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2个人多余；接着立即下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人无法成整行。

在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出准确的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士兵2333人。

众人听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结果的。

同学们，你知道吗？背景说明:1．类似的问题最早出现在我国的《算经十书》之一的《孙子算经》中原文是：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？答曰：「二十三」”2．孙子算经的作者及确切的年代均不可考，不过根据考证，确切的年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位；3．该问题的完整的表述，后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。

在中国还流传着这么一首歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。

它的意思是说：将某数（正整数）除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止。

所得结果就是某数的最小正整数值。

用上面的歌诀来算《孙子算经》中的问题，便得到算式：2×70+3×21+2×15=233，233－105×2=23，即所求物品最少是23件。

2022年高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修3 1.3 中国古代数学中的算法案例》1

中国古代数学中的算法案例
教学目标：
１．知识与技能目标：
〔１〕了解中国古代数学中求两个正整数最大公约数的算法以及割圆术的算法；〔２〕通过对“更相减损之术〞及“割圆术〞的学习，更好的理解将要解决的问题“算法化〞
的思维方法，并注意理解推导“割圆术〞的操作步骤。

２．过程与方法目标：
〔１〕改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高逻
辑思维能力；
〔２〕学会借助实例分析，探究数学问题。

３．情感与价值目标：
〔１〕通过学生的主动参与，师生，生生的合作交流，提高学生兴趣，激发其求知欲，培养探索精神；
〔２〕体会中国古代数学对世界数学开展的奉献，增强爱国主义情怀。

教学重点与难点：
重点：了解“更相减损之术〞及“割圆术〞的算法。

难点：体会算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题。

教学方法：
通过典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些根本逻辑
结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。

教学过程：。

高中数学 1_3 中国古代数学中的算法案例教案新人教B版必修三

高中数学 1.3 中国古代数学中的算法案例教案新人教B版必修3整体设计教学分析在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力．三维目标1．理解算法案例的算法步骤和程序框图，进一步体会算法的思想．2．引导学生得出自己设计的算法程序，提高分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点：引导学生得出自己设计案例的算法步骤、程序框图和算法程序．教学难点：编写算法案例的程序．课时安排2课时教学过程第1课时求两个正整数最大公约数的算法导入新课思路1(情境导入)．大家喜欢打乒乓球吧，由于东、西方文化及身体条件的不同，西方人喜欢横握拍打球，东方人喜欢直握拍打球，对于同一个问题，东、西方人处理问题方式是有所不同的．在小学，我们学过求两个正整数的最大公约数的方法：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大时(如8 251与6 105)，使用上述方法求最大公约数就比较困难．教师点出课题．思路2(直接导入)．前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句．今天我们将通过“更相减损之术”来进一步体会算法的思想．推进新课新知探究提出问题什么叫约数？什么叫最大公约数？阅读教材写出更相减损之术的算法步骤和程序.讨论结果：(1)如果整数a能被整数b整除，则b称为a的一个约数．(2)两个整数m与n的公约数中的最大值称为m与n的最大公约数．(3)求两个整数a与b的最大公约数，“更相减损之术”的算法步骤：对于给定的两个数，以两数中较大数减去较小的数，然后将差和较小数构成一对新数，再用较大数减去较小的数，反复执行此步骤，直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原两数的最大公约数．程序如下：a＝；b＝；while a<>bif a>ba＝a－b；elseb＝b－a；endend，a，；应用示例思路1例求78和36的最大公约数．分析：用(a，b)形写出求解过程．解：(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6)．即78和36的最大公约数是6.点评：这种算法，只做简单的减法，操作方便、易懂，也完全符合算法的要求，它完全思路2求294与84的最大公约数．分析：由于这两个数都是偶数，同除以2后再用“更相减损之术”．解：∵294÷2＝147,84÷2＝42，∴取147与42的最大公约数后再乘2.(147,42)→(105,42)→(63,42)→(21,42)→(21,21)．∴294与84的最大公约数为21×2＝42.知能训练求1 734与816的最大公约数．解：1 734÷2＝867,816÷2＝408，(867,408)→(459,408)→(51,408)→(51,357)→(51,306)→(51,255)→(51,204)→(51 ,153)→(51,102)→(51,51)．∴1 734与816的最大公约数是51×2＝102.拓展提升求319,377,116的最大公约数．分析：先求319与377的最大公约数m，再求m与116的最大公约数n，则n为所求．解：(319,377)→(319,58)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29)，∴319与377的最大公约数是29.(116,29)→(87,29)→(58,29)→(29,29)，∴116与29的最大公约数为29.∴319,377,116的最大公约数为29.课堂小结本节学习了用“更相减损之术”求最大公约数．作业习题1—3A 1.设计感想数学不仅是一门科学，也是一种文化，本节从知识方面学习求两个正整数的最大公约数，从思想方法方面，主要学习递归思想．本节设置精彩例题，不仅让学生学到知识，而且让学生进一步体会算法的思想，培养学生的爱国主义情操．备课资料求最大公约数的方法：辗转相除法．就是对于给定两数，用较大数除以较小数，若余数不为空，则将余数和较小数构成一对新数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小数是原来两个数的最大公约数．算法步骤(以求两个正整数a、b的最大公约数为例)：S1 输入两个正整数a，b(a>b)；S2 把a÷b的余数赋值给r；S3 如果r≠0，那么把b赋给a，把r赋给b，转到S2；否则转到S4；S4 输出最大公约数b.第2课时割圆术与秦九韶算术导入新课思路1(情境导入)．大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口地吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口地吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样. 怎样求多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1当x＝5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习割圆术和秦九韶算法．思路2(直接导入)．前面我们学习了更相减损之术，今天我们开始学习割圆术和秦九韶算法．推进新课新知探究提出问题阅读教材，说说割圆术的过程.讨论结果：我们先对单位圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形……的面积之间的关系进行分析，找出它们之间的递增规律．如下图所示，假设圆的半径为1，面积为S，圆内接正n边形面积为S n，边长为x n，边心距为h n.根据勾股定理，h n＝1－x n22.正2n 边形的面积为正n 边形的面积S n 再加上n 个等腰三角形(ADB)的面积和，即S 2n ＝S n ＋n·12·x n (1－h n )．① 正2n 边形的边长为x 2n ＝x n 22＋－h n 2.刘徽割圆术还注意到，如果在内接n 边形的每一边上，作一高为CD 的矩形，就可得到 S 2n <S<S 2n ＋(S 2n －S n )．②这样，我们就不仅可计算出圆周率的不足近似值，还可计算出圆周率的过剩近似值．从正六边形的面积开始计算，即n ＝6，则正六边形的面积S 6＝6×34.用上面的公式①重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形……的面积．因为圆的半径为1，所以随着n 的增大，S 2n 的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值．下面我们根据刘徽割圆术的算法思想，用Scilab 语言写出求π的不足近似值的程序：n ＝6；x ＝1；s ＝6 * sqrt(3)/4；for i ＝1：1：5①h ＝sqrt(1－(x/2)^2)；s ＝s ＋n *x * (1－h)/2；n ＝2 *n ；x ＝sqrt(x/2)^2＋(1－h)^2)；endprint(%io(2)，n ，s)；注：①此处i 的终值为5.当i 的终值为1,2，…时，程序分别算出正十二边形、正二十四边形……的面积．运行程序，当边数为192时，就可以得到刘徽求得的圆周率的近似值3.14，当边数为 24 576 时，就得到了祖冲之计算的结果 3.141 592 6.由于是用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是小于π的实际值．作为练习，请同学编出程序求S 2n ＋(S 2n －S n )(n ＝6,12，…)作为π的过剩近似值．提出问题错误!讨论结果：(1)怎样求多项式f(x)＝x 5＋x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1当x ＝5时的值呢？一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1＋2＋3＋4＝10次乘法运算，5次加法运算．另一种做法是先计算x 2的值，然后依次计算x 2·x，(x 2·x)·x，((x 2·x)·x)·x 的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算．第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果．(2)上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202～1261)在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法：把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…v n＝v n－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．上述方法称为秦九韶算法．直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法．(3)计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数．如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法．应用示例思路1例用秦九韶方法求多项式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.166 67x3＋0.041 67x4＋0.008 33x5在x＝－0.2时的值．解：x＝－0.2，a5＝0.008 33 v0＝a5＝0.008 33a4＝0.041 67 v1＝v0x＋a4＝0.04a3＝0.166 67 v2＝v1x＋a3＝0.158 67a2＝0.5 v3＝v2x＋a2＝0.468 27a1＝1 v4＝v3x＋a1＝0.906 35a0＝1 v5＝v4x＋a0＝0.818 73所以 f(－0.2)＝0.818 73.点评：秦九韶用上述多项式求值的算法，并通过减根变换，给出了求高次代数方程根的完整算法．这一成就要比西方同样的算法早五六百年．这样的算法很容易在计算器或计算机上实现．思路2已知一个5次多项式为f(x)＝5x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值．解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝((((5x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝5时的值：v 0＝5；v 1＝5×5＋2＝27；v 2＝27×5＋3.5＝138.5；v 3＝138.5×5－2.6＝689.9；v 4＝689.9×5＋1.7＝3 451.2；v 5＝3 415.2×5－0.8＝17 255.2；所以，当x ＝5时，多项式的值等于17 255.2.点评：观察上述秦九韶算法中的n 个一次式，可见v k 的计算要用到v k －1的值，若令v 0＝a n ，我们可以得到下面的公式：⎩⎪⎨⎪⎧ v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k ＝1，2，…，这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现．算法步骤如下：S1 输入多项式次数n 、最高次的系数a n 和x 的值；S2 将v 的值初始化为a n ，将i 的值初始化为n －1；S3 输入i 次项的系数a i ；S4 v ＝vx ＋a i ，i ＝i －1；S5 判断i 是否大于或等于0.若是，则返回S3；否则，输出多项式的值v. 乘法运算的次数最多可到达＋，加法最多n 次．秦九韶算法通过转化把乘法运算的知能训练当x ＝2时，用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x 5＋8x 4－3x 3＋5x 2＋12x －6的值．解法一：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝((((3x ＋8)x －3)x ＋5)x ＋12)x －6.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x ＝2时的值．v 0＝3；v 1＝v 0×2＋8＝3×2＋8＝14；v 2＝v 1×2－3＝14×2－3＝25；v 3＝v 2×2＋5＝25×2＋5＝55；v 4＝v 3×2＋12＝55×2＋12＝122；v 5＝v 4×2－6＝122×2－6＝238.∴当x ＝2时，多项式的值为238.解法二：f(x)＝((((3x ＋8)x －3)x ＋5)x ＋12)x －6，则f(2)＝((((3×2＋8)×2－3)×2＋5)×2＋12)×2－6＝238.拓展提升用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．解：f(x)＝((((((7x＋6)＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)xv0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2 369；v6＝2 369×3＋1＝7 108；v7＝7 108×3＋0＝21 324.∴f(3)＝21 324.课堂小结本节学习了割圆术和秦九韶算法．作业习题1—3A 4.设计感想古老的算法散发浓郁的现代气息，这是一节充满智慧的课．本节主要介绍了秦九韶算法．通过对秦九韶算法的学习，对算法本身有哪些进一步的认识？教师引导学生思考、讨论、概括，小结时要关注如下几点：(1)算法具有通用的特点，可以解决一类问题；(2)解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应该选择高效的算法；(3)算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等．备课资料进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定满二进一，就是二进制，约定满十进一，就是十进制．即满几进一就是几进制．一般来说，以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：a n a n－1…a1a0(k)(0<a n<k)，0≤a i＜k(i＝0,1，…，n－1)．将k进制数用十进制表示，应等于：a n a n－1…a1a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.将十进制数用k进制表示，可以采用除k取余法．。

高中数学1.3中国古代中的算法案例教案新课标人教A版必修3

1.3中国古代数学中的算法案例【学习目标】1、通过辗转相除法、更相减损之术、秦九韶算法的学习，进一步体会算法的基本思想。

2、理解掌握辗转相除法与更相减损之术算法的含义；了解辗转相除、更相减损之术、秦九韶计算过程；【教学重点】理解辗转相除法与更相减损之术求最大公约数的方法和秦九韶算法的方法【教学难点】理解辗转相除法与更相减损之术的方法；理解并学会应用秦九韶算法。

【自主探究】阅读课本27页至31页，完成下列问题：1．用两数中较大的数减去较小的数，再用和构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生，这个数就是最大公约数。

2．古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是：用较大的数除以较小的数所得的和构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数。

3．把一个n 次多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 改写成如下形式：0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ＝＝＝… ＝。

求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即1v ＝。

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即2v ＝。

3v ＝。

…=n v 。

这样，求n 次多项式f(x)的值就转化为。

上述方法称为秦九韶算法：观察上述秦九韶算法中的n 个一次式，可见k v 的计算要用到1-k v 的值，若令a v =0，我们可以得到下面的公式：这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用来实现。

【预习检测】1．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：（16，12）→（4,12）→（4，8）→（4，4），由此可以看出12和16的最大公约数是（） A.4 B.12C.16D.82．用等值算法求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数是（）A.2B.3C.4D.53．我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π，这种算法称为（）A.弧田法B.逼近法C.割圆法D.割图法【典例解析】例用秦九韶算法求多项式12358)(467++++=x x x x x f 当x ＝2时的值。

人教版数学高一B版必修3学案 1.3中国古代数学中的算法案例

1.3中国古代数学中的算法案例学习目标：1.了解割圆术中无限逼近的数学思想．(重点)2.理解更相减损之术的含义，了解其执行过程．(重点)3.掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质．(重点)4.利用秦九韶算法计算多项式的值．(难点)[自主预习·探新知]一、更相减损之术(等值算法)1．更相减损之术(等值算法)：用两数中较大的数减去较小的数，再用差数和较小数构成新的一对数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数．2．用“等值算法”求最大公约数的程序：二、割圆术用圆内接正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法是计算圆周率的近似值．三、秦九韶算法1．把一元n次多项式P(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写为P(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.令v k＝(…(a n x＋a n－1)x＋…＋a n－(k－1))x＋a n－k，则递推公式为：⎩⎨⎧ v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k ，其中k ＝1,2，…，n . 2．计算P (x 0)的方法：先计算最内层的括号，然后由内向外逐层计算，直到最外层的一个括号，然后加上常数项．[基础自测]1．思考辨析(1)用更相减损术可以求两个正整数的最大公约数．(√)(2)使用秦九韶算法计算高次多项式的值比常规逐项计算省时的原因是减少了运算次数．(√)(3)秦九韶算法的实质是把高次式的和转化为一次式的积．(√)2．我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是( )A ．准确值B ．近似值C ．循环小数D ．有理数[答案] B3．用秦九韶算法求多项式f (x )＝x 3－3x 2＋2x －11当x ＝x 0时的值时，应把f (x )变形为( )A ．x 3－(3x ＋2)x －11B ．(x －3)x 2＋(2x －11)C ．(x －1)(x －2)x －11D ．((x －3)x ＋2)x －11D [f (x )＝x 3－3x 2＋2x －11＝(x 2－3x ＋2)x －11＝((x －3)x ＋2)x －11.]4．用“等值算法”可求得98与280的最大公约数为________．14 [(98,280)→(98,182)→(98,84)→(14,84)→(14,70)→(14,56)→(14,42)→(14,28)→(14,14)，∴最大公约数为14.][合作探究·攻重难]求最大公约数用“等值算法”(更相减损之术)求78和36的最大公约数．[思路探究]按等值算法的步骤执行即可．[解]操作如下：(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6)，所以最大公约数为6.[规律方法]用更相减损之术求两数最大公约数时，是大数减小数恰好等于小数时停止减法，这时的小数就是要求的两数的最大公约数.用“等值算法”(更相减损之术)求98与63的最大公约数．[解]操作如下：(98,63)→(35,63)→(28,35)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7)，所以98与63的最大公约数为7.秦九韶算法的应用[探究问题]1．怎样计算多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1当x＝5时的值呢？统计所做的计算的种类及计算次数分别是什么？[提示]f(5)＝55＋54＋53＋52＋5＋1＝3 906.根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算．2．我们把多项式变形为f(x)＝x2(1＋x(1＋x(1＋x)))＋x＋1，再统计一下计算当x ＝5时的计算的种类及计算次数分别是什么？[提示]从里往外计算仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果．3．怎样利用秦九韶算法把求n次多项式f(x)的值转化为求n个一次多项式的值？[提示]f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋a n－2x n－2＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋a n－2x n－3＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝……＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…，v n＝v n－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．[思路探究]改写多项式，确定v0，再依次计算v i，i＝1,2,3,4,5,6,7，最后求得f(3)．[解]根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，由内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值：由v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2 369；v6＝2 369×3＋1＝7 108；v7＝7 108×3＝21 324，故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.[当堂达标·固双基]1．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为()A．5,4B．5,5C．4,4D．4,5D[n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为5－1＝4.故选D.]2．用更相减损之术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是() A．2 B．3 C．4 D．5C[∵(294,84)→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42)，∴需做4次减法．] 3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v4的值为()A．－57 B．220 C．－845 D．3 392B[v0＝3，v1＝v0x＋5，v2＝v1x＋6，v3＝v2x＋79，v4＝v3x－8，∴v4＝220.] 4．用更相减损之术求36,24的最大公约数是________．12[36－24＝12,24－12＝12，因此36,24的最大公约数是12.]5．用更相减损之术求80和36的最大公约数．[解](80,36)→(44,36)→(8,36)→(8,28)→(8,20)→(8,12)→(8,4)→(4,4)，所以80与36的最大公约数为4.。

高中数学教案：中国古代数学中的算法案例

高中数学教案：中国古代数学中的算法案例一、教学目标1. 知识与技能：（1）了解中国古代数学中的算法案例，如《九章算术》和《周髀算经》等；（2）掌握算法的基本步骤和思想，能够运用算法解决问题。

2. 过程与方法：（1）通过阅读古代数学文献，培养学生的文献阅读能力；（2）通过分析、讨论，提高学生的逻辑思维和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）感受数学在古代社会生活中的重要作用，增强对数学的兴趣和信心；（2）培养学生热爱祖国文化，继承和弘扬中华优秀传统文化的意识。

二、教学内容1. 中国古代数学简介：介绍《九章算术》和《周髀算经》等古代数学著作，让学生了解中国古代数学的发展历程和成就。

2. 算法案例分析：选取《九章算术》中的“方程求解”和《周髀算经》中的“勾股定理”等案例，引导学生分析、讨论，理解算法的基本步骤和思想。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）了解中国古代数学中的算法案例；（2）掌握算法的基本步骤和思想。

2. 教学难点：（1）古代数学文献的阅读和理解；（2）算法在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 讲授法：讲解中国古代数学的发展历程和成就；2. 案例分析法：分析《九章算术》和《周髀算经》中的算法案例；3. 讨论法：引导学生分组讨论，提高学生的逻辑思维和解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入新课：简要介绍中国古代数学的发展历程，引出本节课的主题。

2. 讲解与演示：讲解《九章算术》和《周髀算经》中的算法案例，让学生直观地感受算法的过程和思想。

3. 案例分析：学生分组讨论，分析算法案例中的步骤和思想，教师巡回指导。

4. 练习与拓展：布置相关的练习题，让学生运用所学算法解决问题，并进行拓展训练。

6. 布置作业：布置适量的作业，巩固所学知识。

六、教学评价1. 评价目标：（1）了解学生对古代数学文献的阅读能力；（2）评价学生对算法的基本步骤和思想的掌握程度；（3）考察学生运用算法解决实际问题的能力。

人教B版高中数学必修三《第一章算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例》_2

1.3 中国古代数学中的算法案例第二课时割圆术一、教学内容的本质、地位、作用分析“割圆术”是出自人教B版教科书数学必修三第一章第三节第二课时的内容，是对本章所学知识的具体应用。

“割圆术”是中国古代的数学家刘徽提出的，是当时计算圆周率的比较先进的算法，至今仍有一定的实际应用价值。

它体现了“以直代曲”、“无限逼近”、“两面夹”的数学思想，这些思想是人们在解决数学问题时最基本、最朴素的思想，在其他领域也有广泛的应用。

“割圆术”这个算法本身很有趣，操作性强，“算理”明确，能被翻译成计算机程序上机运行，体现了中国古代数学的算法特征。

同时，围绕圆周率的计算这个问题有很多有趣的故事，从而激发了学生的民族自豪感和爱国精神，培养了学生追求科学真理，为科学而献身的精神。

二、教学目标分析（一）知识与技能目标1．了解中国古代数学中“割圆术”的算法，理解推导“割圆术”的操作步骤；2．通过对“割圆术”的学习，理解“割圆术”中蕴含的数学思想；3．会编写“割圆术”算法的程序框图，用Scilab语言编写求π的不足近似值的程序。

（二）过程与方法目标1．通过了解“割圆术”的算法步骤，使学生理解由特殊到一般的归纳推理思维；2．让学生自主探究利用计算机计算圆周率的过程中，培养学生的逻辑思维能力。

（三）情感态度与价值观目标1．了解求解圆周率的历史，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀；2．体会算法知识与计算机科学结合带来的影响，激发学生学习数学的热情，培养学生勇于探索的创新精神。

三、教学重难点分析教学重点：“割圆术”蕴含的数学思想。

教学难点：用Scilab语言编写求π的不足近似值的程序。

四、学情分析理解“割圆术”的算法步骤对于学生来讲并不难，学生已经具备了由具体问题抽象概括、总结归纳的能力。

但写出这一算法所对应的程序框图，尤其是循环结构的程序框图对学生来说难度较大。

因此这一部分的教学由教师引导、小组交流相结合突破难点。

五、教学策略分析根据《普通高中数学课程标准》的要求，高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究学习，让学生体验数学发现和创造的历程。

2020版数学人教B版必修3学案：第一章 1.3 中国古代数学中的算法案例 Word版含解析

1.3　中国古代数学中的算法案例学习目标　1.理解更相减损之术中的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.2.理解割圆术中蕴含的数学原理.3.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质.4.对简单的案例能设计程序框图并写出算法．知识点一　更相减损之术更相减损之术的运算步骤第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．知识点二　割圆术1．割圆术的算法S1　假设圆的半径为1，面积为S ，圆内接正n 边形面积为S n ，边长为x n ，边心距为h n ，先从圆内接正六边形的面积开始算起，即n ＝6，则正六边形的面积S 6＝6×；34S2　利用公式S 2n ＝S n ＋n ··x n (1－h n )重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形…的面12积．因为圆的半径为1，所以随着n 的增大，S 2n 的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值．2．割圆术的算法思想刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值．用刘徽自己的话概括就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”知识点三　秦九韶算法思考　衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度．把多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1变形为f(x)＝((((x＋1)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，然后求当x＝5时的值，为什么比常规逐项计算省时？答案　从里往外计算，充分利用已有成果，可减少重复计算．梳理　秦九韶算法的一般步骤：把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…v n＝v n－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．1．辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数．(　√　)2．求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法．(　×　)3．编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．(　√　)题型一　更相减损之术例1　试用更相减损之术求612,396的最大公约数．解　方法一　612÷2＝306,396÷2＝198,306÷2＝153,198÷2＝99，∴153－99＝54,99－54＝45,54－45＝9,45－9＝36,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9.所以612,396的最大公约数为9×22＝36.方法二　612－396＝216,396－216＝180,216－180＝36,180－36＝144,144－36＝108,108－36＝72,72－36＝36.故36为612,396的最大公约数．反思与感悟　用更相减损之术的算法步骤：第一步，给定两个正整数m，n，不妨设m＞n.第二步，若m，n都是偶数，则不断用2约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记为m，n.第三步，d＝m－n.第四步，判断“d≠n”是否成立，若是，则将n，d中的较大者记为m，较小者记为n，返回第三步；否则，2k d(k是约简整数2的个数)为所求的最大公约数．跟踪训练1　用更相减损之术求261和319的最大公约数．解　∵319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，∴319与261的最大公约数为29.题型二　秦九韶算法的基本思想例2　已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值．解　将f(x)改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，由内向外依次计算一次多项式当x＝5时的值：v0＝4；v1＝4×5＋2＝22；v2＝22×5＋3.5＝113.5；v3＝113.5×5－2.6＝564.9；v4＝564.9×5＋1.7＝2 826.2；v5＝2 826.2×5－0.8＝14 130.2.∴当x＝5时，多项式的值为14 130.2.反思与感悟　秦九韶算法之所以优秀，一是其对所有多项式求值都适用，二是充分利用已有计算成果，效率更高．跟踪训练2　用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．解　f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以有v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2 369，v6＝2 369×3＋1＝7 108，v7＝7 108×3＝21 324.故当x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.1．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为( )A．10 B．9 C．12 D．8解析　f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，∴做加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C.2．已知f(x)＝2x3＋x－3，用秦九韶算法求当x＝3时v2的值．解　f(x)＝2x3＋x－3＝2x3＋0·x2＋x－3＝((2x＋0)x＋1)x－3，v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3＋1＝19.3．用更相减损之术求1 734和816的最大公约数．解　因为1 734和816都是偶数，所以分别除以2得867和408.867－408＝459,459－408＝51,408－51＝357，357－51＝306,306－51＝255,255－51＝204，204－51＝153,153－51＝102,102－51＝51.所以867和408的最大公约数是51，故1 734和816的最大公约数是51×2＝102.1．更相减损之术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数．2．用秦九韶算法求多项式f(x)当x＝x0的值的思路为(1)改写；(2)计算Error!(3)结论f(x0)＝v n.1．1 037和425的最大公约数是( )A．51 B．17 C．9 D．3答案　B2．利用秦九韶算法求当x＝2时，f(x)＝1＋2x＋3x2＋4x3＋5x4＋6x5的值，下列说法正确的是( )A．先求1＋2×2B．先求6×2＋5，第二步求2×(6×2＋5)＋4C．用f(2)＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋5×24＋6×25直接运算求解D．以上都不正确答案　B3．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是( )A．5,150 B．15,450C．450,15 D．15,150答案　B4．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为( )A．5,4 B．5,5 C．4,4 D．4,5答案　D解析　n次多项式，当最高次项的系数不为1时，需进行n次乘法；若各项均不为0，则需进行n次加法(或减法)，缺一项就减少一次加法(或减法)运算，而这个5次多项式的5次项系数不为1，缺常数项，因而乘法次数为5，加法(或减法)次数为5－1＝4.故选D.5．下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损之术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a等于( )A．0 B．2 C．4 D．14答案　B解析　开始：a＝14，b＝18，第一次循环：a＝14，b＝4；第二次循环：a＝10，b＝4；第三次循环：a＝6，b＝4；第四次循环：a＝2，b＝4；第五次循环：a＝2，b＝2.此时，a＝b，退出循环，输出a＝2.6．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4当x＝－1时的值时，v2的结果是( ) A．－4 B．－1 C．5 D．6答案　D解析　此题的n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式Error!得v1＝v0x＋a3＝2×(－1)－3＝－5，v2＝v1x＋a2＝－5×(－1)＋1＝6，故选D.7．三个数4 557,1 953,5 115的最大公约数是( )A．31 B．93 C．217 D．651答案　B8．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算当x＝3时的值时，v3的值为( )A．27 B．11 C．109 D．36答案　D解析　将函数式化成如下形式，f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1.由内向外依次计算：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36，v4＝36×3＋1＝109，v5＝109×3＋1＝328.二、填空题9．自然数8 251和6 105的最大公约数为________．答案　37解析　利用更相减损之术可得它们的最大公约数为37.10．用秦九韶算法求多项式6x3＋5x2＋4x＋3的值时，应先将此多项式变形为________．答案　((6x＋5)x＋4)x＋3解析　6x3＋5x2＋4x＋3＝(6x2＋5x＋4)x＋3＝((6x＋5)x＋4)x＋3.11．用更相减损之术求459和357的最大公约数，需进行减法的次数为________．答案　5解析　利用更相减损之术，有459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，共进行了5次减法．12．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3.66x3＋6x4－5.2x5＋x6在x＝－1.3时的值时，令v0＝a6，v1＝v0x＋a5，…，v6＝v5x＋a0时，v3的值为________．答案　－22.445三、解答题13．求三个数72,120,168的最大公约数．解　(更相减损之术)：先求120,168的最大公约数．168－120＝48,120－48＝72,72－48＝24,48－24＝24，所以120,168的最大公约数为24.再求72,24的最大公约数．72－24＝48,48－24＝24，所以72,24的最大公约数为24，即72,120,168的最大公约数为24.14．用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5＋3x4＋5x3＋x2＋x当x＝2时的值．解　因为f(x)＝((((4x＋3)x＋5)x＋1)x＋1)x，所以v0＝4，v1＝4×2＋3＝11，v2＝11×2＋5＝27，v3＝27×2＋1＝55，v4＝55×2＋1＝111，v5＝111×2＝222.所以当x＝2时，多项式f(x)＝4x5＋3x4＋5x3＋x2＋x的值为222.四、探究与拓展15．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为( )A．9 B．18C．20 D．35答案　B解析　初始值n＝3，x＝2，程序运行过程如下：v＝1i＝2 v＝1×2＋2＝4i＝1 v＝4×2＋1＝9i＝0 v＝9×2＋0＝18i＝－1　跳出循环，输出v＝18，故选B.16．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x－0.04当x＝0.3时的值．解　将f(x)写为f(x)＝((((x＋0)·x＋0.11)x＋0)x－0.15)x－0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值：v0＝1，v1＝1×0.3＋0＝0.3，v2＝0.3×0.3＋0.11＝0.2，v3＝0.2×0.3＋0＝0.06，v4＝0.06×0.3－0.15＝－0.132，v5＝－0.132×0.3－0.04＝－0.079 6.∴当x＝0.3时，f(x)的值为－0.079 6.。

人教版高中数学数学必修三1.3+古代算法案例+教案1

第一学期高一教案主备人：使用人：时间：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。