复合梯形公式及复合辛普森公式对比

SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY

题目名称：复合梯形公式与复合辛普森公式对比学生:

学生学号:

班级:

学院(系):

目录

1.概述 (3)

2.问题提出 (3)

3.算法推导 (3)

4.算法框图 (3)

4.1复合梯形公式算法流程图 (3)

4.2 复合辛普森公式算法流程图 (3)

5.MATLAB源程序 (3)

6.结论与展望 (3)

图表目录

图4-1 复合梯形公式算法流程图 (1)

图4-2 复合辛普森公式算法流程图 (1)

图6-1 MATLAB计算结果 (3)

表2-1函数计算结果表 (3)

1.概述

梯形求积公式和辛普森求积公式分别是牛顿-科斯特公式中n=1和n=2时的情形。其中梯形求积公式可表示为

由于牛顿-科斯特公式在n≥8时不具有稳定性，故不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间上用低阶求积公式。这种方法称为复合求积法。

本文主要讨论复合梯形公式和复合辛普森公式在同一数学问题中的应用。首先给出了复合梯形公式和复合辛普森公式的推导过程以及其余项的表达形式，然

后用流程图的形式介绍算法思路，再运用MATLAB编写代码计算结果，最后对结果进行对比讨论。

希望通过两个算法在同一个算例中的应用对比，更好的理解和掌握复合梯形公式和复合辛普森公式的适用围和适用条件。并且能够熟悉MATLAB编程求解问题的流程，掌握编程化的思想方法。同时对两种方法的计算结果对比分析，讨论两种求积方法的计算精度。

2.问题提出

对于函数给出的函数表如下，试用复合梯形公式和复合辛普森公

式计算积分。

表2-1函数计算结果表

x f(x)

0 1

1/8 0.997397867081822

1/4 0.989615837018092

3.算法推导3.1复合梯形公式

根据梯形公式，

()(()())2b

a

b a

f x dx f a f b -=

+⎰

将区间划分为n 等份，分点,,，在每个子区

间

上采用梯形公式，则得：

1

1

100

()()[(()()]()

2n n b

k k n a

k k h I f x dx f x dx f x f x R f --+=====++∑

∑⎰

记

11

101[()()][()2()()]

22n n n k k k k k h h

T f x f x f a f x f b --+===+=++∑∑

则为复合梯形公式。

另外，复合梯形公式的余项可表示为

2

()()12

n b a R f h f η-''=-

3.2 复合辛普森公式

根据辛普森公式

[()4()()]62b a a b

S f a f f b -+=

++

将区间划分为n 等份，在每个子区间上采用辛普森公

式。 若记

则得

1

1

1

1/210

()()[()4()()]()

6k k

b

n n x k k k n x k k a

h I f x dx f x dx f x f x f x R f +--++=====+++∑∑⎰⎰

记

11

1/201[()4()2()()]

6n n n k k k k h

S f a f x f x f b --+===+++∑∑

该公式即为复合辛普森公式。 复合辛普森公式的余项可表示为

4(4)

()()()1802

n b a h R f f η-=-

4. 算法框图

4.1复合梯形公式算法流程图

开始

求出步长h ，各节点

及相应的

各节点函数值

求和sum,

k=1,2,..n-1

输入区间断点a,b

及等分数n

4.2 复合辛普森公式算法流程图

结束

输出积分值

开始

输入区间断点a, b

及等分数n

求出步长h，各节点，相邻节点中点及相应的函数值,k=1,2,..n-1

各节点函数值求和sum1,

各相邻节点中心点函数值求和sum2

k=1,2,..n-1

输出积分值

结束

图 4-1 复合梯形公式算法流程图

图 4-2 复合辛普森公式算法流程图

5.MATLAB源程序

%复合梯形公式及复合辛普森积分公式

clear all;

format long;

a=0;

b=1;

n=8;

h=(b-a)/n;%步长

for i=1:n+1

x(i)=a+(i-1)*h;

if isnan(sin(x(i))/x(i))

syms t;

tmp=limit(sin(t)./t,t,x(i));%当被积函数在某点值不存在时，求其极限y(i)=eval(tmp);

else

y(i)=sin(x(i))/x(i);%被积函数求节点的值

end

end