核心素养导向的高中数学教材改革(选择性必修)

数学学科核心素养导向的高中数学教材改革章建跃（人民教育出版社 课程教材研究所）一、本次课程改革关注的主要问题（一）立德树人、中国学生发展核心素养、学科核心素养•为建立核心素养与课程教学的内在联系，充分挖掘各学科课程教学对全面贯彻党的教育方针、落实立德树人根本任务、发展素质教育的独特育人价值，各学科基于学科本质凝练了本学科的核心素养，明确了学生学习该学科课程后应达成的正确价值观念、必备品格和关键能力。

学科大概念、结构化、主题、情境化•精选学科内容，重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实。

•在教学活动中，教师应准确把握课程目标、课程内容、学业质量的要求，合理设计教学目标，并通过相应的教学实施，在学生掌握知识技能的同时，促进数学学科核心素养的提升及水平的达成。

明确各学科学业评价标准•各学科明确学生完成本学科学习任务后，学科核心素养应该达到的水平，各水平的关键表现构成评价学业质量的标准。

•引导教学更加关注育人目的，更加注重培养学生核心素养，更加强调提高学生综合运用知识解决实际问题的能力；•帮助教师和学生把握教与学的深度和广度，为阶段性评价、学业水平考试和升学考试命题提供重要依据，促进教、学、考有机衔接，形成育人合力。

（二）学科知识整体架构图哲学思考学科应用广泛、统摄性强一般观念能揭示学科本质，形成方法论学科视角从四基、四能通向核心素养的桥梁核心概念与思想方法形成数学知识的自我生长能力统摄性较低的发展数学学科核心素养的载体基本事实、概念、定理……（三）当前的教学不能适应这些要求•长期以来，在考试评价“唯分数”指挥棒下的数学教学，以考试分数为目标，将数学内容碎片化为知识点，采用“灌输＋记忆”的方式强加给学生，再通过刷题提高解题技巧“秒杀”考题，可以提高分数，但不利于学生获得“四基”、提升“四能”，不利于发展数学学科核心素养。

（四）教师的专业水平和教学能力还不能适应这些要求•“现在的教师缺乏两样东西，一是独立思考，二是学科知识，本领不扎实，都是‘一课一练’培养出来的。

基础教育与科学研究不是一回事，基础教育是整体的，不是分支的，它更重要的是‘基础’，基础是要整体构架的，我们的教师最缺少对自己所教学科知识的整体构架，这样他们就兜不转。

”•——余慧娟 任国平.办教育要明晰“根在哪里，走向何方”——访于漪老师[J].人民教育：2018（24），p22二、数学学科核心素养导向的教材设计关注的几个主要问题（一）明确基本套路，增强教学的整体性1.函数的基本套路•准备知识（集合、常用逻辑用语、不等式的性质）——函数的一般概念与基本性质——基本初等函数；•函数的一般概念：背景——概念——性质——应用；•基本初等函数：背景——概念——图象与性质——应用；•数列：背景——概念（定义、表示）——等差（比）数列——应用；•等差（比）数列：背景——概念——性质——前n项和公式——应用；•导数：物理背景、几何背景——概念——运算及运算法则——应用。

2.几何的基本套路•背景——概念——判定、性质——结构（联系）——应用。

3.向量的基本套路•背景——概念——运算及其性质（运算的几何性质、运算律）——联系（向量基本定理及坐标表示）——应用。

4.概率的基本路径•预备知识：样本点、样本空间，随机事件，事件的关系和运算．•随机现象——概率的定义及表示——概率的性质、运算法则——古典概型、频率的稳定性等——概率的计算、随机模拟试验……•归纳以上各条主线的研究路径，其基本要点都是：•背景（一类事物的实例）——概念（研究对象）——性质（要素、相关要素之间的关系、变化规律等）——结构（相关知识的联系）——应用。

（二）加强一般观念的指导发展理性思维•所谓一般观念，是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用。

•能自觉地运用一般观念指导数学学习与探究活动，是学生学会学习的标志，是实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”跨越的表现，也是理性思维得到良好发展的表现。

例“运算”是代数学的一般观念•“代数学的根源在于代数运算”，因此“运算”是一般观念。

数系扩充中的核心问题就是为了解决加法、乘法和乘方逆运算的需要。

“引进一种新的数，就要研究关于它的运算；定义一种运算，就要研究运算律”是代数的核心思想。

同时，运算也是解决代数问题的基本方法，我们可以通过运算发现和提出问题，通过运算发现数据中的规律，通过运算归纳出代数定理……以“运算”贯穿“数列”一章的始终（三）加强获得数学对象的过程发展数学抽象、直观想象素养•抽象研究对象是数学研究的首要任务，是把握数学对象的第一步。

抽象研究对象的过程就是学生获得数学核心概念的过程，对数学学习具有奠基性作用，也是发展学生数学抽象素养的主要契机。

•抽象过程不充分，数学对象不明确，后续研究就无法展开。

•采取“一个定义，三项注意”的“告诉式”教学，致使学生对将要研究的对象不甚了了，是导致学生数学学习困难的主因之一。

•获得研究对象的过程就是使学生经历“从事实到概念”的数学化过程，即通过数学抽象而明确概念的内涵、要素，并用数学语言予以表征（下定义），再通过分类（划分）而明确概念的外延。

显然，这对发展学生的数学素养意义重大。

例：圆锥曲线的定义•数学对象的本质特征可以有多种等价表现形式，所以数学对象的定义是不唯一的。

数学定义是选择的结果。

•如何选择才更有利于对数学对象的研究？——没有统一标准。

•数学定义是一代代数学家不断研究、改进的结果，特别是一些处于基础地位的概念；有时，不同的定义反映了认识的不同抽象层次。

•因为要考虑学生的可接受性，所以对于教科书的编写而言，不一定是越严谨的定义越好。

•原始的圆锥曲线的定义基于平面截圆锥，由平面与圆锥的轴所成角的不同范围，将截线区分为三类，由此推出“椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为2a”、“椭圆上任意一点到焦点的距离与到准线的距离之比为大于0小于1的常数”等性质。

•由这个定义可以容易地区分截线的类型，但每一种截线的几何特征却不明显。

由此出发推导圆锥曲线的方程，需要用到较多的几何知识，推理过程比较复杂，对大多数学生而言难度太大，显然不合适。

“个性定义”的好处•几何特征非常明确；•可以与圆的定义相衔接（当两个定点的位置逐渐接近时，椭圆的形状就逐渐接近圆）；•容易作图；•其基本几何性质（对称性）易于直观想象，便于合理地建立直角坐标系求出椭圆的方程；•由“距离的和等于常数”联想到“距离的差等于常数”非常自然；等等。

“个性定义”的缺点•与抛物线的定义无法衔接。

•弥补的办法：在椭圆、双曲线的内容设置中做好铺垫。

•在“抛物线”的节引言中先进行引导：“在前面的学习中我们发现：设动点M到定点F的距离与动点M到定直线l的距离的比为常数k，当0＜k＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当k＞1时，动点M的轨迹是双曲线。

一个自然的想法是，如果k=1，即动点M到定点F 的距离与到定直线l的距离相等，那么动点M的轨迹是什么形状？”再通过“探究”栏目，让学生用信息技术画出动点的轨迹，在此基础上再给出抛物线的定义。

加强椭圆的概念与标准方程的过程性•通过“观察”、“思考”、“探究”等栏目，根据知识的发生发展需要提出层层递进的问题，从而形成环环相扣的系列化数学活动。

（四）在探究数学对象性质的过程中发展逻辑推理、数学运算素养1.数学性质指什么•探究一个数学对象的性质，一方面是为了更深入地认识这个对象，另一方面是为了能更好地解决与其相关的数学与现实问题。

这里，首先要清楚数学性质的表现方式，明确“性质”所要研究的问题是什么，这样才能使探究活动有的放矢、富有成效，使性质的发现成为必然而不是“撞大运”。

函数性质•“变化中的规律性”、“变化中的不变性”是它们的共性，这是函数性质的基本表现形式。

•函数性质的研究，更加关键的是对刻画变量关系、变化规律的数学方法的研究，即通过直角坐标系建立函数的不同表示之间的联系，通过数形结合（代数运算和图像直观相结合）的方法展开研究，最终结果是用精确的代数语言、微积分的语言表达。

事实上，要实现对函数性质的精确研究，必须使用导数工具，通过极限运算才能完成。

几何性质•几何学是研究几何图形的形状、大小和位置关系的科学。

由此，图形的形状特征、大小度量及位置关系就是几何性质的基本问题。

•几何性质所研究的主题是与相应的几何对象相关的几何元素之间的相互关系——位置关系、（定性或定量的）大小关系。

•高中阶段的几何，重点在以向量、直角坐标系为工具，用代数方法研究几何图形的性质。

例如，在直角坐标系中，我们利用确定椭圆的几何要素（焦距和长轴），建立椭圆的方程，再通过方程研究其性质。

因此，熟悉代数工具的性质又是前提。

例：如何引导学生研究斜率公式？•传统上，人们用“坡度”作为斜率的形式原型，这是合理的。

但在倾斜角到斜率中间插入“坡度”，在数学内容的连续性上稍有逊色。

•从数学知识的发生发展过程看，这里有两个想法：（1）在几何角度引入倾斜角概念后，接着的任务是“代数化”，斜率是倾斜角的代数化；（2）“一个点和一个方向”、“两个点”都唯一确定了一条直线，因此它们有内在联系。

内在联系的表达就是斜率公式。

教科书的新处理（1）以“由两点确定一条直线可知，直线l由点P1，P2唯一确定．所以，可以推断，直线l的倾斜角一定与P1，P2两点的坐标有内在联系．”提出问题。

（2）安排“探究”栏目，引导学生利用向量展开有层次的探索：•上述过程的逻辑性很强，在思维上是自然而然的，不过对学生的能力要求比较高。

具体体现是：•以联系的观点，发现和提出问题——确定一个数学对象的两种方式一定有内在联系，并且可以互化；•发现联系的方法——调动向量、三角函数等相关知识，分类讨论的意识等等。

斜率与方向向量的坐标表示具有内在的一致性。

•直线的倾斜角和斜率是解析几何的开端，其难点在于学生不熟悉“方向的代数化”中的数学方法，根子还在对直角坐标系、角等最基本概念内涵的理解。

“方向的代数化”是理解解析几何方法的重要契机。

椭圆的性质：先用几何眼光观察，再用坐标法解决•导入语：代数性质•代数性质比几何性质要庞杂得多。

我们知道，代数的研究对象是数量关系。

“代数学的根源在于代数运算，也即加、减、乘、除、乘方、开方等等”，因此代数性质也是与运算紧密关联的。

•代数性质总是与运算相关，通过归纳发现和证明“运算中的规律性，运算中的不变性”是代数性质的研究主题。

概率的性质（五）加强综合实践活动提升数学建模、数据分析素养•新课程特别强调了学生综合实践能力的培养，由此来推动整个育人模式的改革。