人教版高中数学选修2-2 第一章 导数及其应用章末过关检测卷
(人教版)高中数学选修2-2检测第1章 导数及其应用1.2.2(2) Word版含答案
第一章、(二)一、选择题(每小题分，共分)．下列运算中正确的是( )．(＋＋)′＝()′＋()′．( －)′＝( )′－′()′．′＝．( · )′＝( )′＋( )′解析：项中(＋＋)′＝()′＋()′，故正确．答案：．已知()＝＋′()，则′()＝( )．．－．－．解析：因为′()＝＋′()，所以′()＝＋′()．解得′()＝－，所以′()＝－，所以′()＝－.故选.答案：．曲线＝在点()处的切线方程为( )．－－＝．＋－＝．＋－＝．－－＝解析：′＝，∵点()在曲线上，∴切线的斜率＝′＝＝＝＝－，由直线的点斜式方程得切线方程是＋－＝.答案：．若函数()＝，则此函数图象在点(，())处的切线的倾斜角为( )．．．钝角．锐角解析：′()＝＋＝(＋)＝，′()＝＜，则此函数图象在点(，())处的切线的倾斜角为钝角．答案：二、填空题(每小题分，共分)．函数＝的导数是．解析：′＝′＝＝＝.答案：．(全国大纲卷改编)已知曲线＝＋＋在点(－，＋)处切线的斜率为，则＝. 解析：′＝＋，因为曲线在点(－，＋)处切线的斜率为，所以′＝－＝－－＝，解得＝－.答案：－三、解答题(每小题分，共分)．求下列函数的导数：()＝－－＋；()＝(＋)(－)；()＝；()＝－.解析：()′＝(－－＋)′＝()′－()′－()′＋′＝－－.()方法一：′＝(＋)′(－)＋(＋)(－)′＝(－)＋(＋)＝－＋.方法二∵＝(＋)(－)＝－＋－，∴′＝－＋.()方法一：′＝′＝＝＝.方法二：∵＝＝＝－，∴′＝′＝′＝－＝.()∵＝－＝－＝，∴′＝))′＝( )′＝.．求下列函数的导数：()＝；()＝；()＝(＋)；()＝·.解析：()设＝－，则＝－，∴′＝′·′＝(－)′·(－)′＝－－·(－)＝－。
人教B版选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)
第一章导数及其应用测试题一、 选择题1．设 y1 x 2（ ）．，则 y'sin xA ．2x sin x (1x 2 ) cos x2x sin x(1 x 2 ) cos xsin 2xB ．sin2x2x sin x (1x 2 )2x sin x(1 x 2 )C ．sin xD ．sin x2．设 f ( x)ln x21 ，则 f ' (2) （ ）．42C ．1 D ．3A ．B ．55553．已知 f (3)2, f ' (3)2 ，则 lim2x3 f ( x) 的值为（ ）．x3x 3A ． 4B ． 0C ． 8D ．不存在4．曲线 yx 3 在点( 2,8) 处的切线方程为（）．A ． y6x 12 B ． C ． y8x10D ． y 12x 16y2x 325．已知函数 f ( x) ax 3 bx 2cx d 的图象与 x 轴有三个不一样交点(0,0), ( x 1,0) ，(x 2 ,0) ，且 f (x) 在 x1， x 2 时获得极值，则 x 1 x 2 的值为（）A ． 4B ． 5C ． 6D ．不确立6．在 R 上的可导函数 f ( x)1 x 3 1 ax2 2bx c ，当 x (0,1) 获得极大值， 当 x (1,2)32获得极小值，则 b2的取值范围是（）．a 1A ． (1,1)B ． (1,1)C ．( 1,1)D ． ( 1,1)422 42 27．函数 f ( x)1 e x (sin x cos x) 在区间 [0, ] 的值域为（ ）．22A ．[1 , 1e 2 ]B ． (1 , 1e 2 )C ． [1, e 2 ]D ． (1, e2)2 22 2aa2x 2dx （）．8．积分aA．1a2 B．1a 2 C．a2 D ．2 a24 29．由双曲线x 2 y 21，直线 y b, y b 围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体a 2 b2积为（）A．8ab2 B．8a2b C．4a2b D．4ab2 3 3 3 310．由抛物线y2 2x 与直线 y x 4 所围成的图形的面积是（）．A ．1838 16D．16 B．C．3 311．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（）．Ａ． 3 V Ｂ．3 2V Ｃ．34V D．23V二、填空题13．曲线y x3在点 (a, a 3 )( a 0) 处的切线与 x 轴、直线 x a 所围成的三角形的面积为1，则 a _________ 。
人教高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》测试题A卷.docx
高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》测试题A 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）1．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于 ( )A ．e 2B ．e C.ln 22 D ．ln 22．已知物体的运动方程为23s t t=+（t 是时间，s s 是位移），则物体在时刻2t =时的速度为( ) A ．194B ．174C ．154D ．1343． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．04．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝05．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)6．已知函数()cos 2f x x x =⋅，则)(x f 的导函数()f x '= ( )A ．cos22sin2x x x -B ． cos2sin 2x x x -C ． cos22sin2x x x +D ． cos2sin 2x x x +7．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()8．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t 的最小值是()A．20 B．18C．3 D．09.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如下，则()A.函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B.函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C.函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D.函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点10.函数f(x)＝12e x(sinx＋cosx)在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为()A.[12，21e2π] B.(12，21e2π)C.[1，2e π] D.(1，2eπ)二、填空题（每小题6分, 共24分）11．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在12s～6 s间的运动路程为__________．12. 曲线y＝e x在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为.13. 已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．14.直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是.三、解答题（共计76分）15.（本题满分12分）已知函数322()1f x x mx m x=+-+（m为常数，且0m>），当2x=-时有极大值.(1）求m的值；(2）若曲线()y f x=有斜率为5-的切线，求此切线方程.16.（本题满分12分）已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l，根据以下条件求l的方程．(1)直线l和y＝f(x)相切且以P为切点；(2)直线l和y＝f(x)相切且切点异于P.17.（本题满分12分）已知函数f(x)＝x2－a ln x(a∈R)．(1)若a＝2，求证：f(x)在(1，＋∞)上是增函数；(2)求f(x)在[1，e]上的最小值．18.(本题满分12分）某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6<x<11)，年销售为u万件，若已知5858－u与221()4x-成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．19．（本题满分14分）定义在R上的函数f(x)＝13ax3＋bx2＋cx＋2同时满足以下条件：①f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②f′(x)是偶函数；③f (x )在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直． (1)求函数f (x )的解析式；(2)设g (x )＝31()3x x f x e ⎡⎤-⋅⎢⎥⎣⎦，求函数g (x )在[m ，m ＋1]上的最小值．20．（本题满分14分）设函数322()(0)f x x ax a x m a =+-+>(Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ）若函数()f x 在[]1,1x ∈-内没有极值点，求a 的取值范围；(Ⅲ）若对任意的[]3,6a ∈，不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立，求m 的取值范围.高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》测试题A 卷答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分） 1．【答案】 B【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2， 解得x 0＝e.2. 【答案】 D【解析】物体在时刻2t =时的速度就是路程在2t =时的导数232s t t '=-所以22313|2224t v s ='==⨯-= 3. 【答案】 B【解析】f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2 4. 【答案】A【解析】切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝430x ＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0. 5. 【答案】B【解析】∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0.∴a >6或a <－3. 6.答案 A解析：()(cos2)cos22sin 2f x x x x x x ''=⋅=- 7.【答案】 C【解析】∵f (x )在x ＝－2处取得极小值，∴当x <－2时，f (x )单调递减，即f ′(x )<0； 当x >－2时，f (x )单调递增，即f ′(x )>0.∴当x <－2时，y ＝xf ′(x )>0； 当x ＝－2时，y ＝xf ′(x )＝0；当－2<x <0时，y ＝xf ′(x )<0； 当x ＝0时，y ＝xf ′(x )＝0；当x >0时，y ＝xf ′(x )>0. 8. 【答案】 A【解析】()f x '＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令()f x '＝0，得x ＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20. 9．【答案】 A【解析】由图可知，x 1，x 2，x 3，x 4是导函数y ＝f′(x)的零点，在x 1左、右两侧，x 4左、右两侧，导函数的符号相同，∴x 1，x 4不是函数y ＝f(x)的极值点，同理易知，x 2是函数y ＝f(x)的极大值点，x 3是函数y ＝f(x)的极小值点. 10. 【答案】A【解析】f′(x)＝12e x (sinx ＋cosx)＋12e x (cosx －sinx)＝e x cosx ，当0<x<2π时，f′(x)>0，∴f(x)是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数.∴f(x)的最大值为f(2π)＝122e π，f(x)的最小值为f(0)＝12.∴f(x)的值域为[12，122e π].二、填空题 11【答案】494m 【解析】由题图可知，该物体在12s ～6 s 间运动的路程为61361113221()22(1)3s v t dt tdt dt t dt ==+++⎰⎰⎰⎰494=12 【答案】212e 【解析】∵点(2，e 2)在曲线上，∴切线的斜率k ＝y ′|x =2＝e x |x =2＝e 2，∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即e 2x －y －e 2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)， ∴S △＝12×1×e 2＝212e13. 【答案】4【解析】∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝03×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. ∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2. ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 14. 【答案】 (－2,2)【解析】令f′(x)＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2， 极小值为f(1)＝－2，画出函数图像如图所示，可得－2<a <2时，恰有三个不同公共点.三、解答题15. 【解析】（1）22()32()(3)0f x x mx m x m x m '=+-=+-= 则21240,6(), 2.m m m m =-==-=舍去6分(2）由（1）知，32()241f x x x x =+-+ 依题意知2()324=5f x x x '=+-- 1,x =-或13x =- 10分又168(1)6,()327f f -=-=,所以切线方程为65(1)y x -=-+或6815()273y x -=-+ 即510x y +-=或13527230.x y +-=12分16. 【解析】(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.4分(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 6分又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为300000(2)32,1y x x x x ---+=-8分所以32000032331x x x x -+=--，即30x －3x 0＋2＝3(20x －1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝319(1)44-=-.10分所以l 的方程为9(2)(1),4y x --=--即9410x y +-=.12分17. 【解析】(1)证明：当a ＝2时，f (x )＝x 2－2ln x ， 当x ∈(1，＋∞)时， 22(1)()0x f x x-'=>，所以f (x )在(1，＋∞)上是增函数．3分 (2) 22()(0)x af x x x-'=>，4分当x ∈[1，e]时，2x 2－a ∈[2－a ，2e 2－a ]．若a ≤2，则当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，所以f (x )在[1，e]上是增函数， 又f (1)＝1，故函数f (x )在[1，e]上的最小值为1. 6分若a ≥2e 2，则当x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0， 所以f (x )在[1，e]上是减函数，又f (e)＝e 2－a ，所以f (x )在[1，e]上的最小值为e 2－a . 8分若2<a <2e 2，则当1≤x <2a时，f ′(x )<0，此时f (x )是减函数, 当 2a<x ≤e 时，f ′(x )>0，此时f (x )是增函数． 又f (2a )＝2a -2a ln 2a ， 所以f (x )在[1，e]上的最小值为2a -2a ln 2a.10分综上可知，当a ≤2时，f (x )在[1，e]上的最小值为1； 当2<a <2e 2时，f (x )在[1，e]上的最小值为2a -2a ln 2a；当a ≥2e 2时，f (x )在[1，e]上的最小值为e 2－a . 12分18. 【解析】(1)设5858－u ＝k 221()4x -，∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5858－28＝k 221(10)4-，解得k ＝2.3分∴u ＝－2221()4x -2＋5858＝－2x 2＋21x ＋18.∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6) ＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)．6分(2)y ′＝－6x 2＋66x －108 ＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，8分 显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0； 当x ∈(9,11)时，y ′<0.9分∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，11分∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．12分19. 【解析】(1)f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，由题意知(1)0,20,(0)1,f b f '=⎧⎪=⎨⎪'=-⎩即20,0,1,a b c b c ++=⎧⎪=⎨⎪=-⎩解得1,0,1,a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩6分所以函数f (x )的解析式为f (x )＝13x 3－x ＋2.7分(2)g (x )＝31()3x x f x e ⎡⎤-⋅⎢⎥⎣⎦＝(x －2)e x .g ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x .令g ′(x )＝0，解得x ＝1.当x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0， 所以函数g (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．9分当m ≥1时，在[m ，m ＋1]上， g (x )单调递增，g (x )min ＝g (m )＝(m －2)e m ；10分当m <1<m ＋1，即0<m <1时，g (x )在[m,1)上单调递减，在(1，m ＋1]上单调递增，g (x )min ＝g (1)＝－e ；11分当m ＋1≤1，即m ≤0时，在[m ，m ＋1]上，g (x )单调递减，g (x )min ＝g (m ＋1)＝(m －1)e m ＋1.12分综上，函数g (x )在[m ，m ＋1]上的最小值g (x )min ＝1(2),1,,01,(1),0,m m m e m e m m e m +⎧-≥⎪-<<⎨⎪-≤⎩1４分20. 【解析】（Ⅰ）∵f′(x)=3x 2+2a x －a 2=3(x 3a-)(x+a ),1分又a >0，∴当x<－a 或x>3a时f′(x)>0； 当－a <x<3a时，f′(x)<0. 4分∴函数f(x)的单调递增区间为（－∞，－a ），(3a，+∞)， 单调递减区间为(－a ，3a ).6分(Ⅱ）由题设可知，方程f′(x)=3x 2+2a x －a 2=0在[－1，1]上没有实根∴⎪⎩⎪⎨⎧><'<-'00)1(0)1(a f f ，解得a >3. 10分(Ⅲ）∵a ∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知3a∈[1，2]，－a ≤－3 又x ∈[－2,2] ∴f(x)max =max{f(－2),f(2)} 而f(2)－f(－2)=16－4a 2<0 f(x)max =f(-2)= －8+4a +2a 2+m 12分又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立 ∴f(x)max ≤1即－8+4a +2a 2+m≤1即m≤9－4a －2a 2,在a ∈[3，6]上恒成立 ∵9－4a 2a -2的最小值为－87，∴m≤－87.14分。
数学人教A选修2-2第一章 导数及其应用单元检测.docx
数学人教A 选修2-2第一章 导数及其应用单元检测(时间：60分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后走过的路程为43215243s t t t =-+，那么速度为0的时刻是( )A ．1 s 末B ．0 sC ．4 sD ．0 s 末，1 s 末，4 s 末2．当x 在(－∞，＋∞)上变化时，导函数f ′(x )的符号变化如下表：x (－∞，1) 1 (1,4) 4 (4，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 －则函数f (x )的图象的大致形状为( )3．当x ＝a 时，函数y ＝ln(x ＋2)－x 取到极大值b ，则ab 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．π4π41cos 2d 3x x -⎰＝( )A ．13 B ．23C ．23D ．23-5．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)6．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m 时F (x )做的功为( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J7．已知f (x )＝(x ＋a )2，且1'32f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2C ．1D ．28．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a ＜0或a ＞21 D ．a ＝0或a ＝21 二、填空题(每小题6分，共18分)9．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________． 10．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B 1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为__________．11．若函数()241xf x x =+在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．．三、解答题(共34分)12．(10分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋4ln x 的极值点为1和2． (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在区间(0,3]上的最大值．13．(10分)甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？14．(14分)已知a ∈R ，f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求f ′(x )；(2)若f ′(1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值；(3)若f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上是单调递增的，求实数a 的取值范围．参考答案1答案：D 解析：s ′＝t 3－5t 2＋4t ，令s ′＝0得t ＝0,1,4．2答案：C 解析：从表中可知f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减．3答案：A 解析：y ′＝[ln(x ＋2)－x ]′＝112x -+．令y ′＝0，得x ＝－1，此时y ＝ln 1＋1＝1，即a ＝－1，b ＝1，故ab ＝－1．4答案：A 解析：ππ44ππ441111cos 2d sin 23323x x x--=⨯=⎰． 5答案：C 解析：f ′(x )＝2bx x -++．∵f (x )在(－1，＋∞)上是减函数，∴f ′(x )在(－1，＋∞)上小于零恒成立， 即2bx x -++≤0恒成立， ∴b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．又∵x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1＜－1，∴b ≤－1． 6答案：C 解析：依题意F (x )做的功是 W ＝105⎰F (x )d x ＝105⎰(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )105＝825(J)．7答案：B 解析：∵f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2x ＋2a ，依题意有2×12＋2a ＝－3，解得a ＝－2．8答案：A 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．故选A ．9答案：a ＜0 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x (x ＞0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，则曲线f (x )上存在导数为0的点，即3ax 2＋1x ＝0有解，313a x=-，∵x ＞0，∴3103x-<．∴a ＜0．10答案：54 解析：由题意f (x )＝110,0,211010,1,2x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩则xf (x )＝22110,0,211010, 1.2x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(－10x 2＋10x )d x ＝1323120121010533x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝101105101553834384⎛⎫⎛⎫⨯+---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．11答案：－1＜m ≤0 解析：由已知得f ′(x )＝22244(1)x x -+在(m ,2m ＋1)上有f ′(x )≥0，即1－x 2≥0，－1≤x ≤1，∴1,211,2 1.m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪<+⎩∴－1＜m ≤012答案：解：f ′(x )＝2ax ＋b ＋4x ＝224ax bx x ++，x ∈(0，＋∞)，由y ＝f (x )的极值点为1和2，∴2ax 2＋bx ＋4＝0的两根为1和2，∴240,8240,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1,6.a b =⎧⎨=-⎩答案：由(1)得f (x )＝x 2－6x ＋4ln x ，∴f ′(x )＝2x －6＋4x＝22642(1)(2)x x x x x x-+--=，x ∈(0,3]．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1,2) 2(2,3) 3 f ′(x ) ＋ 0 － 0＋f (x )单调递增 －5 单调递减 4ln 2－8 单调递增4ln 3－9∵f (3)＝4ln 3－9＞f (1)＝－5＞f (2)＝4ln 2－8， ∴f (x )max ＝f (3)＝4ln 3－9．13答案：解：设CD ＝x (km)，则CE ＝3－x (km)． 由题意得所需电线的长为l ＝AC ＋BC ＝2221 1.5(3)x x +++-(0≤x ≤3)． ∴22222(3)'212 1.5(3)x x l xx --=+++-．令l ′＝0，则222301 1.5(3)x xx x --=++-，即22231 1.5(3)x x x x -=++-，平方， 得22222(3)1 1.5(3)x x x x -=++-， 即1.52x 2＋x 2(3－x )2＝(3－x )2＋x 2(3－x )2， ∴1.52x 2＝(3－x )2，∴1.5x ＝±(3－x )，解得x ＝1.2或x ＝－6(舍去)，经检验x ＝1.2为函数的最小值点，故当CD ＝1.2 km 时所需电线最短．14答案：解：f ′(x )＝(x 2－4)′(x －a )＋(x 2－4)(x －a )′ ＝2x (x －a )＋x 2－4＝3x 2－2ax －4．答案：由f ′(1)＝0，得3－2a －4＝0，∴12a =-． 此时f (x )＝(x 2－4)12x ⎛⎫+⎪⎝⎭，f′(x)＝3x2＋x－4＝(x－1)(3x＋4)．∴x＝1和43x=-是函数f(x)的极值点．∵9(1)2f=-，450327f⎛⎫-=⎪⎝⎭，f(2)＝f(－2)＝0，∴f(x)max＝5027，f(x)min＝92-．答案：f′(x)＝3x2－2ax－4，如图，设f′(x)＞0的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，其中x1＜x2，则有'(2)0,'(2)0,22223ffa⎧⎪-≥⎪≥⎨⎪⎪-≤≤⨯⎩⇒223(2)440,32440,66aaa⎧⨯-+-≥⎪⨯--≥⎨⎪-≤≤⎩⇒2,2,66,aaa≥-⎧⎪≤⎨⎪-≤≤⎩∴－2≤a≤2，即实数a的取值范围为{a|－2≤a≤2}．。
数学人教A版选修2-2章末测试：第一章导数及其应用A Word版含解析
x2 4．函数 f(x)＝ ( )
x－1
A．在(0,2)上单调递减
B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增
C．在(0,2)上单调递增
D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减
5．已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)＝2x2，x∈(－1,1)．如果 f(x)＜f(1－x)，则实数 x 的取
值范围为( )
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在 x＝2 处取极大值
8．已知函数 f(x)的导数 f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，且 f(x)在 x＝a 处取得极大值，则实数 a
的取值范围是( )
A．a＞－1
B．－1＜a＜0
C．0＜a＜1
D．a＞1
9．如果圆柱的轴截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( )
( )1
A． －∞， 2
B．(－1,1)
( )1
C． －1， 2
( )1
D． 0， 2
1 π
6． 3
4 π
cos
2xdx＝( )
4
1 A．
3
2 B．
3
2 C．
3
2 D．－
3
7．已知函数 y＝f(x)，其导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则 y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在 x＝0 处取极小值
∴b≤－1.
答案：C
( ) 二、11．解析：由已知面积 S＝
1 0
(ex＋x)dx＝
1 ex＋ x2
2
|10
1
1
＝e＋ －1＝e－ .
2
2
1 答案：e－
2 12．解析：∵y′＝3x2－10＝2，∴x＝±2.
高中数学人教A选修2-2导数及其应用一测试题(可编辑修改word版)
⎩ ⎭ 《数学选修 2-2》导数及其应用(一)第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的.)1、若函数 y = f (x ) 在区间 (a , b ) 内可导,且 x ∈(a , b ) 则 lim f (x 0 + h ) - f (x 0 - h )的值为( )A. f '( x 0 )B. 2 f '( x 0 )C. -2 f '( x 0 )D. 0h →0 h 2、一个物体的运动方程为 s = 1 - t + t 2 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在3 秒末的瞬时速度是( )A. 7 米/秒B. 6 米/秒C. 5 米/秒D. 8 米/秒 3、曲线 y = x 3 - 4x 在点(1, -3) 处的切线倾斜角为()3πππA. πB.C.D.42 4 64、曲线 f (x ) = () x 3 + x - 2 在 p 0 处的切线平行于直线 y = 4x - 1,则 p 0 点的坐标为A. (1, 0)B. (2,8)C. (2,8) 和(-1, -4)D. (1, 0) 和(-1, -4)5、若 f (x ) = sin- cos x ,则 f '() 等于()A. cosB. sinC. sin+ c os D. 2 s in 6、若曲线 y = x 4 的一条切线l 与直线 x + 4 y - 8 = 0 垂直,则l 的方程为( ) A. 4x - y - 3 = 0 B. x + 4 y - 5 = 0 C. 4x - y + 3 = 0 D. x + 4 y + 3 = 07、对正整数 n ,设曲线 y = x n(1 - x ) 在 x = 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则 数列⎧ a n ⎫ 的前 n 项和的公式是( )⎨ n +1⎬ A. 2nB. 2n - 2C. 2n +1D. 2n +1 - 28、已知 f (x ) = ax 3 + 9x 2 + 6x - 7, 若 f '(-1) = 4 ,则 a 的值等于()19 16 10 13 A.B.C.D.33339、二次函数 y = f (x ) 的图象过原点,且它的导函数 y = f '(x ) 的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数 y = f (x ) 的图象的顶点所在象限是()A. 第一B.第二C.第三D.第四10、已知函数 y = f (x ) 的图象在点 M (1,f (1))处的切线方程是 y = 1x +2,则 f (1) + f '(1) 的2 值等于()⎪ 5 A.1 B.C.3D.0211、下列式子不正确的是()2'⎛1 ⎫' 12A. (3x + x c os x )= 6x + cos x - x sin xB. ln x - 2 ⎪ =-⎝x ⎭ x x '⎛ sin x ⎫'cos x - sin xC. (sin 2x ) = 2 cos 2xD. x = x 212、设 a ∈ R ,函数 ⎝ ⎭ f (x ) = e x + a ⋅ e -x 的导函数是 f '(x ) ,且 f '(x ) 是奇函数.若曲线y = f (x ) 的一条切线的斜率是 3,则切点的横坐标为( ) 2A. ln 2B. -ln 2ln 2 C. D. 2ln 2 2第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上.)13、已知函数 f (x ) = -x 2 + x 的图象上的一点 A (-1, - 2) 及临近一点B (-1 + ∆x , - 2 + ∆y ) 则 ∆y= .∆x14、曲线 y = x 3 - 2x 2 - 4x + 2 在点(1,一3)处的切线方程是15、在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线C : y = x 3 -10x + 3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为.16、已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) = 0 , 等式 f ( x ) > 0 的解集是.xf '(x ) - f (x )x 2> 0 ( x > 0) ,则不三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12 分)已知函数 f (x ) = ax 2 + 2 ln(2 - x )(a ∈ R ) ,设曲线 y = l ,若l 与圆C : x 2 + y 2 = 1相切,求 a 的值.4f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线为-318、(12 分)设函数f (x) = cos( 3x +)(0 <<),且f (x) +f '(x) 为奇函数. (1)求的值;(2)求f ( x) +f '( x) 的最值.19、(12 分)已知a ∈R ,函数 f (x) =x2 (x -a) ,若 f '(1) = 1 .(1)求a 的值并求曲线 y =f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程 y =g( x) ;(2)设h( x) =f '( x) +g( x) ,求h( x) 在[0,1] 上的最大值与最小值.20、(12 分)设函数 f (x) =ax3+bx +c (a ≠ 0) 为奇函数,其图象在点(1, f (1)) 处的切线与直线x + 18 y - 7 = 0 垂直,导函数f '(x) 的最小值为12 .(1)求a , b , c 的值;f ( x)(2)设g( x)x2,当x > 0 时,求g( x) 的最小值.21、(12 分)设函数 f (x) =ax -bx,曲线 y =f (x) 在点(2, f (2)) 处的切线方程为7x - 4 y -12 = 0 .(1)求f (x) 的解析式;(2)证明:曲线y =f (x) 上任一点处的切线与直线x = 0 和直线y =x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.=0 x =2 ( ) ⎩ ⎭22、(14 分) 已知关于 x 的方程大依次为 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 .sin x = k (k ∈(0,1)) 在(-3π, 0) (0, 3π) 内有且仅有 4 个根,从小到x(1) 求证: x 4 = tan x 4 ;(2) 是否存在常数 k ,使得 x 2 , x 3 , x 4 成等差数列?若存在求出 k 的值,否则说明理由.1.Blimf (x 0 + h ) - f (x 0 - h ) 参考答案= lim 2[ f (x 0 + h ) - f (x 0 - h )]h →0hh →0 2h= 2 lim f ( x 0 + h ) - f ( x 0 - h ) = 2 f '( x ) .h →0 2h2.C s '(t ) = 2t - 1, s '(3) = 2 ⨯ 3 - 1 = 5 .3.A y ' = 3x 2- 4, k = y ' | = -1, tan = -1,= 3π . 44.D 设切点为 P (a , b ) , f '( x ) = 3x 2+1, k = f '(a ) = 3a 2 + 1 = 4, a = ±1,把 a = -1 ,代 入 到 f (x ) = x 3 + x - 2 得 b = -4 ;把 a = 1 ,代 入 到 f (x ) = x 3 + x - 2 得 b = 0 ,所 以P 0 (1, 0) 和(-1, -4) .5.Bf '( x ) = sin x , f '() = sin .6.A 与直线 x + 4 y - 8 = 0 垂直的直线l 为4x - y + m = 0 ,即 y = x 4 在某一点的导数为4 ,而y ' = 4x 3 ,所以 y = x 4 在(1,1) 处导数为4 ,此点的切线为4x - y - 3 = 0 .7.Dy ' = -2n -1 (n + 2),切线方程为: y + 2n = -2n -1 (n + 2)( x - 2) ,令 x = 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y = (n +1)2n ,所以 a n= 2n ,则数列⎧ a n ⎫的前 n 项和 S n 02 1- 2n == 2n +1 - 2 1- 2n +1⎨n +1⎬x =12a ⎝ ⎭x =1 x =1 8.B f '(x ) = 3ax 2 +18x + 6 ,由 f '(-1) = 4, 得3a - 18 + 6 = 4 ,即a =16 .39.C 设 f (x ) = ax 2 + bx , f '(x ) = 2ax + b , f '(x ) 的图象是过第一、二、三象限的一条直线,⎛b ⎫2b 2 ⎛ b b 2 ⎫ 故2a > 0, b > 0 ,又 f (x ) = a x + ⎪ ⎝ ⎭ - 4a ,即项点 - 2a , - 4a ⎪ 在第三象限.10.C 由已知切点在切线上,所以 f (1)= 1 + 2 = 5 ,切点处的导数为切线斜率,所以 f '(1)＝ 1,所以 f (1) + f '(1)＝⎛ sin x ⎫' 2 2 2 3x cos x - sin x11.D x ⎪ = x 2⎝ ⎭12.Af '( x ) = e x - ae -x , f '(x ) 是奇函数 f '(0) = 1 - a = 0 ,∴ a = 1 ,有 f '( x ) = e x - e -x ,x - x 3 x x 1 设切点为( x 0 , y 0 ) ,则 f '( x 0 ) = e 0 - e 0 = ,得e 0 = 2 或e 0= - 2 2(舍去),∴ x 0 = ln 2 .13. 3 - ∆x -2 + ∆y = -(-1+ ∆x )2 + (-1+ ∆x )∴ ∆y = ∆x - (-1 + ∆x )2 + (-1 + ∆x ) - 2 ∆x= 3 - ∆x 14. 5x + y - 2 = 0易 判 断 点 (1,-3)在 曲 线 y = x 3 - 2x 2 - 4x + 2 上 ,故 切 线 的 斜 率k = y ' | = (3x 2 - 4x - 4) | = -5,∴切线方程为 y + 3 = -5( x -1) ,即5x + y - 2 = 015.( - 2,15) y ' = 3x 2 -10 = 2 ⇒ x = ±2 ,又点 P 在第二象限内,∴ x = -2 ,得点 P 的坐标为(- 2,15)f ( x ) 16. (-1,0) (1,+∞) 可得 f '( x ) >,由导数的定义得,当0 < x < 1 时,xf ( x ) - f (1) >x - 1 ,又 f (1) = 0 , xf ( x ) < ( x - 1) f ( x ) ,∴ f ( x ) < 0 ;当 x > 1时,x同理得 f ( x ) < 0 .又 f (x ) 是奇函数,画出它的图象得 f ( x ) > 0 ⇒ x ∈(-1, 0) (1, +∞) .17.解:依题意有: f (1) = a , f '(x ) = 2ax +∴ l 的方程为2(a - 1)x - y + 2 - a = 02x - 2(x < 2) ,| 2 - a |l 与圆相切,∴= 4(a - 1)2 + 1 1 ⇒ a =11 28 ∴ a 的值为11 .818.解:(1) f ( x ) + f '( x ) = cos( 3x +) -3 sin( 3x +)f ( x )6 6 ) 1 13 ⎨ 3 3= 2 sin( 3x ++5 ,6又0 << π , f ( x ) + f '( x ) 是奇函数,∴= . 6(2)由(1)得 f ( x ) + f '( x ) = 2 sin( 3x + π) = -2 sin 3x .∴ f ( x ) + f '( x ) 的最大值为 2,最小值为-2 .19、解:(1) f '(x ) = 3x 2 - 2ax ,由 f '(1) = 1 得3 - 2a = 1 ,所以a = 1 ;当a = 1 时, f ( x ) = x 3 - x 2 , f (1) = 0 ,又 f '(1) = 1 ,所以曲线 y = f (x ) 在(1, f (1)) 处的切线方程为 y - 0 = 1⨯ ( x - 1) ,即 g ( x ) = x - 1 ;(2)由(1)得h ( x ) = 3x 2 - x - 1 = 3( x - 1)2 -13,6 12又h (0) = -1 , h (1) = 1, h ( ) = -, 6 1213∴ h ( x ) 在[0,1] 上有最大值 1,有最小值.1220.解:(1)∵ f (x ) 为奇函数,∴ f (-x ) = - f (x ) ,即-ax 3 - bx + c = -ax 3 - bx - c ,∴ c = 0 ,又∵ f '(x ) = 3ax 2 + b 的最小值为12 ,∴ b = 12 ;1又直线 x + 18 y - 7 = 0 的斜率为- 18∴ a = 2 , b = 12 , c = 0 为所求.,因此, f '(1) = 3a + b = 18 , ∴ a = 2 ,(2)由(1)得 f ( x ) = 2x 3 + 12x ,∴当 x > 0 时, g ( x ) =f ( x ) = 2( x + 6) ≥ 2 ⋅ 2 = 4 ,x 2 x∴ g ( x ) 的最小值为4 .721.解:(1)方程7x - 4 y -12 = 0 可化为 y = x - 3 .4当 x = 2 时, y = 1 . 又 f '(x ) = a + b,2 x 2⎧2a - b = 1 ⎪ 于是⎨ ⎧a = 1 解得 b 7 b = 3 , 故 f (x ) = x - . x ⎪a + = ， ⎩ ⎩⎪ 4 4(2)设 P ( x 0 , y 0 ) 为曲线上任一点,由 y ' = 1+x 2知曲线在点 P (x 0，y 0 ) 处的切线方程为 x ⋅ 6 x2 21 2 3 3 y - y = ⎛1+ 3 ⎫ (x - x ) ,即 y - ⎛x- 3 ⎫ = ⎛1+3 ⎫(x - x ) .0 x 2 ⎪ 0 0 x ⎪ x 2 ⎪ 0 ⎝ 0 ⎭6 ⎝ 0 ⎭ ⎝ 0 ⎭⎛ 6 ⎫ 令 x = 0 得 y = - x ,从而得切线与直线 x = 0 的交点坐标为 0，- x ⎪ . 0 ⎝ 0 ⎭令 y = x 得 y = x = 2x 0 ,从而得切线与直线 y = x 的交点坐标为(2x 0，2x 0 ) .所以点 P ( x 0 , y 0 ) 处的切线与直线 x = 0 , y = x 所围成的三角形面积为 -2x 0 = 6 .故曲线 y = 此定值为6 .f (x ) 上任一点处的切线与直线 x = 0 , y = x 所围成的三角形的面积为定值,22.解:(1)由原方程得sin x = kx (x ≠ 0) ,设函数 f (x ) = sin x , g (x ) = kx (x ≠ 0) ,它们的图象如图所示:方程得sin x = kx (x ≠ 0) 在(-3π, 0) (0, 3π) 内有且仅有 4 个根, x 4 必是函数 g (x ) = kx 与 f (x ) = sin x 在(2π,5π) 内相切时切点的横坐标,即切点为(x , sin x ) , g (x ) = kx 是 f (x ) = sin x 的切线.24 4由 f '( x ) = cos x ,∴ k = cos x 4 ,又∵ sin x 4 = kx 4 ,于是 x 4 = tan x 4 .1(2)由题设知 x 2 = -x 3 ,又 x 2 , x 3 , x 4 成等差数列,得2x 3 = x 2 + x 4 ,∴ x 3 = 3x 4 .1 1 1由sin x 3 = kx 3 ,得sin 3 x 4 = 3 kx 4 ,即sin x 4 = 3sin 3 x 4 .由题设 x ∈(2π, 5π) ,得 x 4 ∈( 2π , 5π) ,42 ∴ sin x 4 ∈ 13 3 6x 4 3 3( , ) ,有3sin 3 ∈( , ) ,即sin x 4 ∈( , ) ,与sin x 4 < 1 矛盾!故不存在常数 k 使得 x 2 , x 3 , x 4 成等差数列yxO2 36x3 3 3 2 2 3 2 2 2 2。
人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用综合检测
【成才之路】 2015-2016学年高中数学 第一章 导数及其应用综合检测 新人教 A 版选修 2-2时间 120 分钟，满分 150 分。
一、选择题 (本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中只有一个是切合题目要求的)1． (2014 ～2015 ·福建龙海市程溪中学高二期末)以正弦曲线 y ＝ sinx 上一点 P 为切点的切线为直线 l ，则直线 l 的倾斜角的范围是 ()π 3πB ． [0， π)A ．[0， 4]∪[ ， π)4π 3ππ π 3π C ．[ ，4 ]D ．[0，]∪( ，4]442[答案 ]A[剖析 ]先求导数，再依照弦函数性质获得导函数的值域，即切线斜率的取值范围，最后求直线的倾斜角的取值范围．[分析 ]y ′＝ cosx ，∵ cosx ∈ [－ 1,1] ，∴切线的斜率范围是 [－ 1,1] ，∴倾斜角的范围是π 3π [0， ]∪[， π)．442．(2015 青·岛市胶州高二期中)若 a>0，b>0，且函数 f( x)＝ 4x 3－ ax 2 － 2bx ＋ 2 在 x ＝ 1 处有极值，则 ab 的最大值等于 ()A ． 2B ． 3C ．6D ． 9[答案] D[分析 ]∵ f ′(x)＝ 12x 2－2ax － 2b ，又因为在 x ＝ 1 处有极值，∴ a ＋ b ＝ 6，∵ a>0 ，b>0，a ＋b 2 ∴ ab ≤() ＝ 9，2 当且仅当a ＝b ＝ 3 时取等号，所以ab 的最大值等于9.应选D.3． (2014·博市临淄区学分认定考试淄)以下函数中，x ＝0 是其极值点的函数是( )A ． f(x)＝－ x 3B ． f( x)＝－ cosxC．f(x)＝ sinx－ x1 D． f(x)＝ x[答案 ]B[分析 ]对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单一递减，没有极值点；对于B，f ′(x)＝s inx，当 x∈ (－π， 0)时， f ′(x)<0 ，当 x∈ (0，π)时， f ′(x)>0 ，故 f(x)＝－ cosx 在 x＝0 的左边区间 (－π， 0)内单一递减，在其右边区间 (0，π)内单一递加，所以 x＝ 0 是 f(x)的一个极小值点；对于 C，f ′(x)＝ cosx－ 1≤0恒成立，在R上单一递减，没有极值点；对于 D，f(x)＝1x在x＝0 没有定义，所以 x＝ 0 不行能成为极值点，综上可知，答案选 B.4．已知函数 f(x)＝－ x3＋ ax2－ x－ 1在 (－∞，＋∞)上是单一函数，则实数 a 的取值范围是()A ． (－∞，－ 3)，∪ (3，＋∞)B． (－ 3， 3)C．( －∞，－ 3] ∪[ 3，＋∞ )D．[－ 3， 3][答案 ]D[分析 ] f ′(x)＝－ 3x2＋ 2ax－ 1，∵ f(x)在 (－∞，＋∞)上是单一函数，且 f ′(x)的图象是开口向下的抛物线，∴ f ′(x)≤0恒成立，∴＝ 4a2－ 12≤0，∴－3≤a≤ 3，应选 D.5．设函数 f( x)在定义域内可导， y＝ f(x)的图象以以下图所示，则导函数y＝ f ′(x)的图象可能是 ()[答案 ]A[分析 ]f( x)在 (－∞， 0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→ 增→减，所以 f ′(x)的图象在 (－∞， 0)上， f ′(x)>0 ，在 (0，＋∞)上 f ′(x)的符号变化规律是负→正→ 负，应选 A.6．已知函数f(x)的导函数的图象以下图，若△ABC为锐角三角形，则必定成立的是()A ． f(sinA)>f(cosB)B ． f(sinA)<f(cosB)C ．f(sinA)>f(sinB)D ． f(cosA)<f(cosB)[答案 ] A[分析 ]由导函数图象可知， x>0 时， f ′(x)>0，即 f(x)单一递加，又△ ABC 为锐角三角π π π π ，故 f(sinA)>f(cosB) ，形，则 A ＋B> ，即 >A> － B>0，故 sinA>sin( － B)>0 ，即 sinA>cosB>02222选 A.7．(2014 ～ 2015 ·祁东县模拟 )函数 f(x)＝1ax 3＋ 1ax 2－ 2ax ＋ 1 的图象经过四个象限， 则实3 2数 a 的取值范围是 ()3 6 8 3A ．－ 10<a<7B ．－ 5<a<－ 168 13或 a>6C ．－ 3<a<－16D ． a<－ 107[答案 ] D[分析 ]f ′(x)＝ ax 2＋ ax －2a ＝ a(x ＋ 2)(x － 1)，要使函数 f(x)的图象经过四个象限，则f( －2)f(1)<0 ，即 (10 7 ，解得 a<－3 63a ＋ 1)(－ a ＋ 1)<010或 a> .67应选 D.8．定义域为 R 的函数 f(x)知足 f(1) ＝ 1，且 f(x)的导函数 f ′(x)> 1，则知足 2f(x)<x ＋ 1 的 x2 的会合为 ()A ． { x|－ 1<x<1}B ． { x|x<1}C ．{ x|x<－ 1 或 x>1}D ． { x|x>1}[答案 ] B[分析 ]令 g(x)＝ 2f(x)－ x － 1，∵ f ′(x)> 1，2∴ g ′(x)＝ 2f ′(x)－ 1>0 ，∴ g( x)为单一增函数， ∵ f(1) ＝ 1，∴ g(1)＝ 2f(1) － 1－ 1＝0，∴当 x<1 时， g(x)<0 ，即 2f(x)<x ＋ 1，应选 B.9．(2013 ·池一中高二期中华 )若对于 x 的方程 x 3－ 3x ＋ m ＝ 0 在 [0,2] 上有根， 则实数 m 的取值范围是 ()A ． [－ 2,2]B ． [0,2]C ．[ －2,0]D ． (－ ∞，－ 2)∪(2，＋ ∞)[答案 ] A[分析 ]令 f(x)＝ x 3 －3x ＋ m ，则 f ′(x)＝ 3x 2－ 3＝ 3(x ＋ 1)(x － 1)，明显当 x<－ 1 或 x>1 时，f ′(x)>0 ， f(x)单一递加，当－ 1<x<1 时， f ′(x)<0， f(x)单一递减，∴在 x ＝－ 1 时， f(x)取极大值 f(－ 1)＝ m ＋ 2，在 x ＝ 1 时， f(x)取极小值 f(1) ＝m －2.f ， ∵ f(x)＝0 在 [0,2] 上有解，∴f，∴m － 2≤0， ∴－ 2≤m ≤2.2＋ m ≥0，10．(2014 ～2015 ·天门市调研 )已知函数 f(x)的导函数 f ′(x)＝ a(x － b)2＋ c 的图象以下图，则函数 f(x) 的图象可能是 ()[答案 ] D[分析 ]由导函数图象可知， 当 x<0 时，函数 f(x)递减，清除 A ，B ；当 0< x<x 1 时，f ′(x)>0 ，函数 f( x)递加．所以，当 x ＝ 0 时， f(x)获得极小值，应选 D.a3211．(2015 河·南八市质量监测 )已知函数 f(x)＝ x ＋xln x ，g(x)＝ x － x － 5，若对随意的 x 1，x 2∈1， 2 ，都有 f(x 1)－ g(x 2) ≥2成立，则 a 的取值范围是 ()2A ． (0，＋ ∞)B ． [1，＋ ∞)C ．( －∞，0)D ． (－ ∞，－ 1][答案 ] B[分析 ]因为 g(x)＝ x 3－x 2－ 5? g ′(x)＝ 3x 2－ 2x ＝x(3x － 2)，∴函数 g( x)在 1， 2上单一递2 321 1 1 41减，在3， 2 上单一递加， g 2＝ 8－ 4－ 5＝－ 8 ， g(2)＝ 8 － 4－ 5＝－ 1.因为对 ? x 1， x 2∈1， 2 ， f(x 1)－ g( x 2) ≥2恒成立，∴ f(x) ≥[g(x)＋ 2]max ，即 x ∈ 1， 2 时， f(x) ≥1恒成立，即a＋22xxlnx ≥1，在1， 2 上恒成立， a ≥x － x 2lnx 在1，2 上恒成立，令h(x)＝ x － x 2ln x ，则 h ′(x)＝ 122－ 2xlnx －x ，1而 h ″(x)＝－ 3－ 2ln x ， x ∈ 2， 2 时， h ″(x)<0，所以 h ′(x)＝ 1－ 2xlnx － x 在12， 2 单一递减，1因为 h ′(1)＝ 0，∴ x ∈ 2， 1 时，h ′(x)>0 ，x ∈ [1,2] 时， h ′(x)<0 ，所以 h(x) ≤h(1) －1，∴ a ≥1.12．(2014～ 2015 ·黑龙江龙东南四校高二期末 3＋ 2bx 2＋cx ＋ 1 有两个极)已知函数 f(x) ＝ x 值点 x 1、 x 2，且 x 1∈ [ － 2，－ 1]， x 2∈ [1,2] ，则 f(－ 1)的取值范围是 ()A ．[－3， 3]B ．[3，6]22C ．[3,12]D ． [－ 3，12]2[答案 ] C[剖析 ]依据极值的意义可知，极值点x 1、 x 2 是导函数等于零的两个根，依据根的散布成立不等关系，画出知足条件的地区．利用参数表示出 f(－ 1)的值域，设 z ＝ x ＋ 3y ，再利用z 的几何意义求最值．[分析 ]f ′(x)＝ 3x 2＋ 4bx ＋c ，依题意知，方程 f ′(x)＝ 0 有两个根 x 1、 x 2，且 x 1∈ [－ 2，－ 1]， x 2∈ [1,2] ，等价于 f ′(－2) ≥0， f ′(－1) ≤0， f ′(1) ≤0，f ′(2) ≥0.12－ 8b ＋ c ≥0，3－ 4b ＋ c ≤0， 由此得 b ， c 知足的拘束条件为3＋ 4b ＋ c ≤0， 12＋8b ＋ c ≥ 0.知足这些条件的点 (b ， c)的地区为图中暗影部分．由题设知 f(－ 1)＝2b－ c，令 z＝ 2b－ c，当直线 z＝ 2b－ c 经过点 (0，－ 3)时， z 最小，最小值为 3.当直线 z＝ 2b－ c 经过点 C(0 ，－ 12)时， z 最大，最大值为 12.应选 C.二、填空题 (本大题共 4 个小题，每题 4 分，共 16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知 f(x)＝x3＋ 3x2＋ a(a 为常数 )，在 [－ 3,3] 上有最小值 3，那么在 [－ 3,3]上 f(x)的最大值是 ________________ ．[答案 ]57[分析 ] f ′(x)＝ 3x2＋ 6x＝3x(x＋ 2)，当 x∈ [ － 3，－ 2)和 x∈ (0,3] 时， f ′(x)>0， f(x)单一递增，当 x∈ (－ 2,0)时， f ′(x)<0 ， f(x)单一递减，∴极大值为f( － 2)＝ a＋ 4，极小值为 f(0)＝ a，又 f(－ 3)＝ a， f(3)＝ 54＋ a，由条件知 a＝3，∴最大值为f(3) ＝54＋ 3＝57.1214．如图暗影部分是由曲线y＝x、 y ＝ x 与直线 x＝ 2、 y＝ 0 围成，则其面积为 ______．[答案 ]2＋ ln2 3y 2 ＝x ， [分析 ]由1 ，得交点 A(1,1)y ＝ xx ＝ 2得交点 B 2，1由1.y ＝ x21 32212故所求面积 S ＝ 1xdx ＋ 2x dx ＝3x 2|0 ＋ lnx |1＝3＋ ln2.115．函数 f(x)＝ ax 3－ 3x 在区间 (－ 1,1)上为单一减函数，则 a 的取值范围是 __________．[答案 ]a ≤1[分析 ]f ′(x)＝ 3ax 2－ 3，∵ f( x)在 (－ 1,1)上为单一减函数，∴ f ′(x)≤0在 (－ 1,1)上恒成立，即 3ax 2－ 3≤0在 (－ 1,1)上恒成立，1∴ a ≤x 2，∵ x ∈ [－ 1,1)，∴ a ≤ 1.[警告 ]此题常因混杂 f(x)在区间 A 上单一递减与f(x)的单一递减区间为 A 致误， f( x)在区间 A 上单一递减时， A 可能是 f(x)的单一减区间的一个真子集．若 f(x) 的单一减区间为 [m ，n]，则在 x ＝m(x ＝ n)双侧函数值异号，f ′(m)＝ 0(f′(n)＝ 0)；若 f(x)在区间 [m ， n]上单一递减，则f ′(x)≤0在 [m ， n]上恒成立．16． (2015·南高考适应性测试河)已知函数f(x) 的图象在[ a ， b] 上连续不停，定义：f 1( x)＝ min{ f(t)|a ≤t ≤x}( x ∈ [a ， b]) ， f 2(x)＝ max{ f(t)|a ≤t ≤x}( x ∈ [a ， b])，此中， min{ f(x)|x ∈ D} 表示函数 f(x)在区间 D 上的最小值， max{ f(x)|x ∈D } 表示函数 f(x)在区间 D 上的最大值．若存在最小正整数 k ，使得 f 2( x)－ f 1(x) ≤k(x － a)对随意的 x ∈ [a ，b]成立，则称函数为区间 [a ，b]上的“k 阶缩短函数 ”．有以下三个命题， 此中正确的命题为 ________________ ．(请把正确命题序号填在横线上 )．①若 f(x)＝ cosx ， x ∈ [0， π]，则 f 1(x)＝ cosx ， x ∈ [0， π]，f 2(x)＝ 1， x ∈ [0， π]；32③若函数 f(x)＝ x 2， x ∈ [－1,4] 是 [ － 1,4] 上的 “k 阶缩短函数 ”，则 k ＝ 4.[答案 ] ①②③[分析 ]对于①，因为 f(x) ＝cosx 在 [0， π]上单一递减，由已知可得 f 1(x)＝cosx ， f 2(x)＝f(0)＝ 1，故①正确；对于②，f ′(x)＝－ 3x 2 ＋6x ，当 x ∈ [0,1] 时， f ′(x)>0 ， f( x)在 [0,1] 上单一递增，故 f 1(x)＝ f(0) ＝ 0，f 2(x)＝－ x 3＋ 3x 2，f 2(x)－f 1(x)＝－ x 3＋ 3x 2≤kx 对? x ∈ [0,1] 成立，当 x ≠0－ x 3＋ 3x 2x ＝1 时，－ x 2＋ 3x 获得最大值 2，∴ k ≥2，即②正时， k ≥＝－ x 2＋ 3x 恒成立，又当xx 2， x ∈ [ － 1， 1， x ∈[ － 1， 确；③中， f 1(x)＝，f 2(x)＝，0， x ∈ [0， 4]x 2， x ∈ [1 ，4]1－ x 2， x ∈ [－ 1，∴ f(x 2)－ f(x 1) ＝ 1，x ∈ [0，.2x ， x ∈ [1， 4]当 x ∈ [－ 1,0]时， 1－ x 2≤k(x ＋ 1)，∴ k ≥1－x ， k ≥ 2.1当 x ∈ (0,1)时， 1≤k(x ＋ 1)，∴ k ≥，∴ k ≥1.2x 216 当 x ∈ [1,4] 时， x ≤k(x ＋ 1) ，∴ k ≥，∴ k ≥ .x ＋ 15即 f(x) ＝x 2 ， x ∈ [ － 1,4] 是 [－ 1,4] 上的 “k 阶缩短函数 ”，则 k ＝ 4.三、解答题 (本大题共 6 个大题， 共 74 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 )17． (此题满分 12 分)设函数 f(x)＝ lnx ＋ln(2 － x)＋ax(a>0) ． (1) 当 a ＝ 1 时，求 f(x)的单一区间；(2)1，求 a 的值．若 f(x)在 (0,1] 上 的最大值为 2[分析 ] 函数 f(x)的定义域为 (0,2)， f ′(x)＝ 1－ 1＋ a ，x 2－x－ x 2 ＋2(1)当 a ＝ 1 时，f ′(x)＝，∴当 x ∈ (0， 2)时，f ′(x)>0，当 x ∈( 2，2)时，f ′(x)<0 ，x － x所以 f( x)的单一递加区间为 (0，2)，单一递减区间为 ( 2，2)；(2)当 x ∈ (0,1] 时， f ′(x)＝ 2－ 2x ＋a>0，－ xx即 f(x) 在(0,1] 上单一递加，故 f(x) 在(0,1] 上的最大值为 f(1)＝ a ，所以 a ＝1.218．(此题满分 12 分 )(2014 韶·关市曲江一中月考 )已知函数 f(x)＝ ax 3＋cx ＋ d(a ≠0)是 R 上的奇函数，当 x ＝ 1 时， f(x)获得极值－ 2.(1)求函数 f(x)的分析式；(2)求函数 f(x)的单一区间和极大值；(3)证明：对随意 x 1、 x 2∈ (－ 1,1)，不等式 |f(x 1 )－ f(x 2)|<4 恒成立．[分析 ] (1)∵ f(x)是 R 上的奇函数，∴ f(－ x)＝－ f( x)，即－ ax 3－ cx ＋ d ＝－ ax 3－ cx － d ，∴ d ＝－ d ，∴ d ＝ 0(或由 f(0) ＝ 0 得 d ＝ 0)．∴ f(x)＝ax 3＋cx ， f ′(x)＝ 3ax 2＋ c ，又当 x ＝1 时， f(x) 获得极值－ 2，f ＝－ 2， a ＋ c ＝－ 2， a ＝ 1，∴＝0，即解得f3a ＋ c ＝ 0，c ＝－ 3.∴ f(x)＝x 3－ 3x.(2) f ′(x)＝3x 2 －3＝ 3(x ＋ 1)(x － 1)，令 f ′(x)＝0，得 x ＝ ±1， 当－ 1<x<1 时， f ′(x)<0 ，函数 f(x)单一递减； 当 x<－ 1 或 x>1 时， f ′(x)>0，函数 f(x)单一递加；∴函数 f(x)的递加区间是 (－ ∞，－ 1)和 (1，＋ ∞)；递减区间为 (－ 1,1)．所以， f(x)在 x ＝－ 1 处获得极大值，且极大值为 f(－ 1)＝ 2.(3)由 (2) 知，函数 f(x) 在区间 [ － 1,1] 上单一递减，且 f( x)在区间 [－ 1,1]上的最大值为 M ＝f(－ 1)＝ 2.最小值为 m ＝ f(1) ＝－ 2.∴对随意 x 1、 x 2∈ (－ 1,1)，|f( x 1)－ f(x 2 )|<M － m ＝4 成立．即对随意 x 1、 x 2∈ (－ 1,1)，不等式 |f(x 1)－ f(x 2)|<4 恒成立．19． (此题满分 12 分)(2014 北·京海淀期中 )已知函数 f(x)＝ x 2－ 2(a ＋ 1)x ＋ 2aln x(a>0)．(1)当 a ＝ 1 时，求曲线 y ＝ f(x)在点 (1 ， f(1)) 处的切线方程； (2)求 f(x)的单一区间；(3)若 f(x) ≤0在区间 [1， e]上恒成立，务实数 a 的取值范围． [分析 ] (1)∵ a ＝ 1，∴ f( x)＝ x 2－ 4x ＋2ln x ， ∴ f ′(x)＝ 2x 2－ 4x ＋ 2x(x>0) ，f(1) ＝－ 3， f ′ (1)＝ 0， 所以切线方程为 y ＝－ 3.2x ＋ 2ax －x － a2x －a ＋＝(2)f ′(x)＝xx(x>0) ，令 f ′(x)＝ 0 得 x 1 ＝a ， x 2＝ 1，当 0<a<1 时，在 x ∈ (0，a)或 x ∈(1 ，＋ ∞)时， f ′(x)>0，在 x ∈ (a,1)时， f ′(x)<0 ，∴ f( x)x － 2的单一递加区间为 (0， a) 和(1，＋ ∞)，单一递减区间为 (a,1)；当 a ＝1 时， f ′(x)＝x≥0，∴ f(x)的单一增区间为 (0，＋ ∞)；当 a>1 时，在 x ∈ (0,1)或 x ∈ (a ，＋ ∞)时， f ′(x)>0，在x ∈(1 ，a)时， f ′(x)<0 ，∴ f(x)的单一增区间为 (0,1)和 (a ，＋ ∞)，单一递减区间为 (1， a)．(3) 由 (2)可知， f(x)在区间 [1， e]上只可能有极小值点，∴f(x)在区间 [1， e]上的最大值必在区间端点取到，e 2－ 2e∴ f(1) ＝ 1－ 2(a ＋ 1) ≤0且 f(e)＝ e 2－ 2(a ＋1)e ＋ 2a ≤0，解得 a ≥2e － 2.lnx ，x ≥120．(此题满分 12 分 )(2015 河·南六市联考 )已知函数 f(x)＝ 1x ＋(ae x －a ， x<1为常数，e 为自然对数的底数)的图象在点A(e,1)处的切线与该函数的图象恰巧有三个公共点，务实数 a 的取值范围．[分析 ]因为 f ′ (e)＝1，得 f(x)在点 A 处的切线方程为：y－ 1＝1(x－ e)，即1x－ y＝ 0 e e e1由题意知切线与y＝e(x＋ 2)(x－ a)(x<1) 有两个交点，112＋(1－ a)x－ 2a＝ 0 有两个小于 1 的根，设即 x＝ (x＋ 2)(c－ a) 有两个小于 1 的根，即xe e两根为 x1， x2，则>0－ a2＋ 8a>0x1＋ x2<2即a－ 1<2x1－x2－－ 2a－a－＋ 1>0解得： a<－ 3－ 22或－ 3＋ 222<a< .322x y21．(此题满分 12 分 )(2015 重·庆文， 21)如图，椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F2的直线交椭圆于P， Q 两点，且 PQ⊥PF1.(1)若 |PF 1|＝ 2＋2，|PF 2|＝ 2－ 2，求椭圆的标准方程；34，试确立椭圆离心率 e 的取值范围．(2)若 |PQ|＝λ|PF1 |，且4≤λ<3[分析 ](1)由椭圆的定义，2a＝ |PF 1|＋ |PF2|＝ (2＋2)＋ (2－2) ＝4，故 a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知 PF 1⊥ PF 2，所以 2c＝ |F1F2|＝|PF 1|2＋ |PF 2|2＝＋ 22＋－ 22＝ 2 3，即 c＝ 3.从而 b＝a2－c2＝ 1.故所求椭圆的标准方程为x2＋y2＝ 1. 4(2)如图，由PF 1⊥ PQ， |PQ|＝λ|PF 1|得，|QF1 |＝222|PF 1|＋|PQ| ＝1＋λ|PF 1|，由椭圆的定义， |PF 1|＋ |PF2|＝ 2a，|QF 1|＋ |QF2|＝ 2a，从而 |PF 1|＋|PQ|＋ |QF 1|＝ 4a.2于是 (1＋λ＋1＋λ)|PF 1|＝ 4a.4a2a2解得 |PF 1|＝λ＋ 1＋ λ－.2，故 |PF 2|＝ 2a － |PF 1|＝21＋ λ＋ 1＋ λ1＋ λ＋ 1＋ λ由勾股定理得 |PF 1|2＋ |PF 2|2＝ |F 1F 2|2＝ (2c)2＝ 4c 2， 从而4a2＋2aλ＋2－2＝ 4c 2，21＋λ 2 1＋ λ＋ 1＋ λ1＋ λ＋ 1＋ λ两边除以 4a 2，得4＋λ＋2－ 2 ＝ e 2，21＋ λ 2＋ λ＋2＋ λ＋21＋ λ1＋λ若记 t ＝ 1＋λ＋21＋ λ，则上式变为2 4＋ t －211 2 1＝ 8 －e ＝2t 4 ＋ .t23 4，并注意到 1＋λ＋2由 ≤λ<3 1＋ λ对于 λ的单一性，4得 3≤t<4，即1 1 1 12 5 2<e<54 < ≤ ，从而 <e ≤ ，即23 .t32922． (此题满分 14 分)(2015 洛·阳市期末 )已知函数 f(x)＝ ln x － ax 2－ (1－ 2a)x(a>0) ．(1)若 ? x>0，使得不等式 f(x)>6 a 2－ 4a 成立，务实数 a 的取值范围； (2)设函数 y ＝ f(x)图象上随意不一样的两点为 A(x 1 ，y 1)，B(x 2，y 2 )，线段 AB 的中点为 C(x 0，y 0)，记直线 AB 的斜率为 k ，证明： k>f ′(x 0)．[分析 ](1)∵ f(x)＝ ln x － ax 2－(1 － 2a)x ，其定义域为 (0，＋ ∞)，1x －ax ＋∴ f ′(x)＝ x － 2ax － (1－ 2a)＝－x，∵ a>0 ，x>0，∴ 2ax ＋ 1>0，所以当 0< x<1 时， f ′(x)>0 ， f( x)在 (0,1)上单一递加；当 x>1 时， f ′(x)<0， f(x)在(1，＋ ∞)上单一递减；从而当 x ＝ 1 时， f(x)获得最大值 f(1) ＝ ln 1－ a － (1－ 2a)＝ a － 1，2 11a 的取值范围1 1.由题意得 a － 1>6a － 4a ，解得<a< ，即实数，2323(2)∵ f ′(x)＝ 1－ 2ax － (1－2a)，x∴ f ′(x1－ 2ax － (1－ 2a)＝ 2 － a(x ＋ x2)－ (1－ 2a)，0)＝x 0x 1＋ x 21f x 2 － f x 1＝ 又 k ＝x 2－x 1[ln x 2－ ax 22 －－ 2a x 2 ]－ [ln x 1－ ax 12－ － 2ax 1]x 2－ x 1[ln x 2－ln x 1] － a x 22 － x 12－－ 2ax 2－ x 1＝x 2－ x 1ln x 2＝ x － a(x 2＋ x 1)－(1－ 2a)．x 2－ x 1 不如设 x 2>x 1>0，要证明 k>f ′(x 0)，x 2lnx 12即证明 x 2－x 1－ a(x 2＋ x 1)－ (1－ 2a)>x 1 ＋x 2－ a( x 1＋ x 2)－ (1－ 2a)，x 2 只要证明 lnx 1 > 2，－ x x 1 ＋ x x 2 1 2x 2即证明 lnx 2>x 2－ x 1 ＝ 2 x 1－ 1 ， x 2＋ x 1x 2x 1＋ 1x 1结构函数 g(x)＝ ln x －x －，x ＋ 1则 g ′(x)＝1－ 4x － 2＝ 2≥0，x x ＋ 2x x ＋所以 g(x)在 [1，＋ ∞)上是增函数，当x>1 时， g(x)> g(1) ＝0，x 2又 x 2x 2 2 x 1－ 1 ，从而 k>f ′(x >1，所以 ln>x 2 0)成立．x 1x 1 ＋ 1x 1 1一、选择题1． (2015 锦·州一中高二期中 )曲线 y ＝ x 3－ 3x 2＋ 1 在点 (1 ，－ 1)处的切线方程为 ()A ． y ＝ 3x － 4B ． y ＝－ 3x ＋ 2C ．y ＝－ 4x ＋ 3D ． y ＝ 4x － 5[答案 ]B[分析 ]2∵点 (1，－ 1)在曲线上， y ′＝ 3x － 6x ， ∴ y ′|＝＝－ 3，即切线斜率为－ 3.x 1∴利用点斜式得，切线方程为y ＋ 1＝－ 3(x － 1)，即 y ＝－ 3x ＋ 2.应选 B.2． (2014 ·江杜桥中学期中浙)已知函数 f(x)＝ x 3＋ ax 2＋3x － 9 在 x ＝－ 3 时获得极值，则a ＝ ()A ． 2B ． 3C ．4D ． 5[答案 ] D[分析 ]2＋ 2ax ＋3，由条件知， x ＝－ 3 是方程 f ′(x)＝ 0 的实数根，∴ a ＝ 5.f ′(x)＝ 3x3．函数 y＝2x3－ 3x2－ 12x＋ 5 在 [0,3] 上的最大值，最小值分别是 ()A．5，－ 15B． 5，－ 4C．－ 4，－15D． 5，－ 16[答案 ]A[分析 ]∵ y′＝ 6x2－ 6x－12＝ 0，得 x＝－ 1(舍去 )或 x＝ 2，故函数 y＝ f(x) ＝2x3－ 3x2－ 12x ＋5 在 [0,3] 上的最值可能是 x 取 0,2,3 时的函数值，而f(0) ＝ 5， f(2)＝－ 15，f(3)＝－ 4，故最大值为5，最小值为－ 15，应选 A.4.41) dx 等于 (2xA ．－ 2ln2B． 2ln2 C．－ ln2D． ln2 [答案 ]D[分析 ]1，因为 (ln x) ＝′x所以14＝ ln2.4 dx＝ lnx|2＝ ln4－ ln2x25．已知定义在R 上的函数f(x)的导函数 f ′(x)的大概图象以下图，则以下结论必定正确的是()A ． f(b)>f(c)> f(d) C．f(c)>f(b)>f(a)B． f( b)>f(a)>f(e) D． f(c)>f(e)>f(d)[答案 ]C[分析 ]由图可知 f ′(x)在 (－∞，c)和 (e，＋∞)上取正当，在(c，e)上取负值，故f(x)在 (－∞， c)和 (e，＋∞)上单一递加，在(c， e)上单一递减，∵a<b<c，∴ f( a)<f(b)<f(c)，应选 C.6．已知函数的取值范围为 (f(x)＝ 4x＋ 3sinx， x∈ (－ 1， 1)，假如)f(1－a)＋f(1－ a2 )<0成立，则实数aA ． (0,1)B． (1，2)C．( －2，－2)D． (－∞，－ 2)∪(1，＋∞)[答案]B[分析 ]∵ f(x)＝4x＋3sinx，x∈ (－1,1)，∴f ′(x)＝ 4＋3cosx>0 在 x∈(－ 1,1)上恒成立，∴f(x)在( － 1,1)上是增函数，又 f(x) ＝4x＋ 3sinx， x∈ (－ 1,1)是奇函数，∴不等式 f(1－ a)＋f(1－ a2)<0 可化为 f(1－ a)<f(a2－ 1)，－ 1<1－ a<1，从而可知， a 须知足－ 1< a2－ 1<1，解得 1<a< 2.1－ a<a2－1.7．设 f ′(x)是函数 f(x)的导函数，将y＝ f( x)和 y＝ f ′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不行能正确的选项是()[答案 ]D[分析 ] A 中，当 f( x)为二次函数时， f ′(x)为一次函数，由单一性和导数值的符号关系知 A 能够是正确的，同理 B 、C 都能够是正确的，但 D 中 f(x)的单一性为增、减、增，故 f ′(x)的值应为正负正，所以 D 必定是错误的．8．函数y＝ f(x)的图象以下图，则y＝ f′(x)的图象可能是()[答案 ]D[分析 ]由 f(x)的图象知， f(x)在 (－∞，0)上单一递加，在 (0，＋∞)上单一递减，∴在(0，＋∞)上 f ′(x)≤0，在 (－∞， 0)上 f ′(x)≥0，应选 D.9．假如 1N 能拉长弹簧 1cm，为了将弹簧拉长 6cm，所耗资的功为 ()A ． 0.18J B． 0.26JC．0.12J D． 0.28J[答案 ]A[分析 ]设 F(x)＝kx ，当 F(x)＝0.06 2 0.061 时， x ＝ 0.01m ，则 k ＝ 100，∴ W ＝ ∫0 100xdx ＝ 50x |0＝0.18.10．已知函数 f(x)＝ ln x ，则函数 g( x)＝ f(x)－ f ′(x)的零点所在的区间是 ()A ． (0,1)B ． (1,2)C ．(2,3)D ． (3,4)[答案 ] B[分析 ]由题可知 g(x)＝ lnx － 1，∵ g(1) ＝－ 1<0 ， g(2) ＝ln2 －1＝ ln2－ lne>0，∴选 B.x21322在 R上是增函数，则 m11．已知三次函数 f(x)＝ x － (4m －1)x ＋ (15m－ 2m － 7)x ＋ 23的取值范围是 ()A ． m<2 或 m>4B ．－ 4<m<－2C ．2< m<4D ．以上皆不正确[答案 ]D[分析 ]f ′(x)＝ x 2－ 2(4m － 1)x ＋ 15m 2－ 2m － 7，由题意得 x 2－ 2(4m －1)x ＋ 15m 2－ 2m － 7≥0恒成立，∴ ＝ 4(4m －1)2－4(15m 2－ 2m － 7)＝ 64m 2－ 32m ＋ 4－ 60m 2＋ 8m ＋ 28＝ 4(m 2－6m ＋ 8) ≤0，∴ 2≤m ≤4，应选 D.1 312m ＋ nx 的两个极值点分别为 x 1、12． (2014 浙·江省五校联考 )已知函数 f(x)＝x ＋ mx ＋2 32x 2，且 0<x 1<1< x 2，点 P(m ，n)表示的平面地区内存在点 (x 0，y 0)知足 y 0＝ log a (x 0＋4) ，则实数a 的取值范围是 ()1A ．(0， 2)∪ (1,3)B ． (0,1)∪ (1,3)C ．( 1， 1)∪ (1,3]D ． (0,1)∪ [3，＋ ∞)2 [答案 ] B[分析 ]f ′(x)＝ x 2＋ mx ＋m ＋ n，由条件知， 方程 f ′(x)＝ 0 的两实根为 x 1、x 2 且 0<x 1<1<x 2，2m ＋ n>0，f ， 2m ＋n>0，∴∴m ＋ n∴f，3m ＋ n<－ 2，1＋m ＋ 2 <0 ，m ＋ n ＝0， m ＝－ 1， x 0<－ 1， 由得n ＝ 1，∴3m ＋ n ＝－ 2，y 0>1.由 y 0＝ log a (x 0＋ 4)知，当 a>1 时，1<y 0<log a 3，∴1<a<3；当 0<a<1 时，y 0＝ log a (x 0＋ 4)>log a 3，因为 y 0>1， log a 3<0 ，∴对 ? a ∈ (0,1)，此式都成立，从而 0<a<1，综上知 0<a<1 或 1<a<3 ，应选 B.二、填空题13． (2014 杭·州七校联考 )若函数 f(x)＝ x 3－ 3bx ＋ b 在区间 (0,1)内有极值，则实数 b 的取值范围是 ________________ ．[答案 ](0,1)[分析 ]f ′(x)＝ 3x 2－ 3b ，∵ f( x)在 (0,1)内有极值，∴ f ′(x)＝ 0 在(0,1) 内有解，∴ 0<b<1.14． (2015 陕·西文， 15)函数 y ＝ xe x 在其极值点处的切线方程为____________________ ．1[答案 ] y ＝－ e[分析 ]xxx ＝－ 1，此时 f(－ 1)＝－ 1，y ＝ f(x)＝ xe ? f ′(x)＝ (1 ＋ x)e ，令 f ′(x)＝ 0?e 函数 y ＝xe x在其极值点处的切线方程为y ＝－ 1.e15．对正整数 n ，设曲线 y ＝x n (1－ x)在 x ＝ 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ，则数a n列 n ＋ 1 的前 n 项和是 ________________ ．[答案 ]2n ＋1－2nnnn －1n[分析 ] ∵ y ＝ x (1－ x)，∴ y ′＝＝ n ·x(1 － x)－ x .(x ) ′－(1x) ＋(1 －x) ′·xn － 1nn － 1f ′ (2)＝－ n ·2－ 2 ＝ (－ n － 2) ·2.n在点 x ＝2 处点的纵坐标为 y ＝－ 2 .∴切线方程为 y ＋2n ＝ (－ n － 2) ·2n －1(x － 2)．令 x ＝ 0 得， y ＝ (n ＋ 1) ·2n ，∴ a n ＝ (n ＋ 1) ·2n ，a n 的前 n 项和为n －n ＋1－ 2.∴数列2－ 1＝ 2n ＋ 116．(2014 ·六中期中哈 )已知函数 f ( x ＋2) 是偶函数， x>2 时 f ′(x)>0 恒成立 ( 此中 f ′(x)是函数 f(x)的导函数 )，且 f(4) ＝0，则不等式 (x ＋ 2)f(x ＋ 3)<0 的解集为 ________________ ．[答案 ](－ ∞，－ 3)∪ (－ 2,1)[分析 ]∵函数 y ＝ f( x ＋ 2)是偶函数，∴其图象对于 y 轴对称，∵ y ＝ f(x ＋ 2)的图象向右平移两个单位获得 y ＝f(x)的图象，∴函数y ＝ f(x)的图象对于直线 x ＝ 2 对称，∵ x>2时， f ′(x)>0，∴ f(x)在 (2，＋ ∞)上单一递加，在(－ ∞， 2)上单一递减，又f(4) ＝0，x ＋ 2<0， ∴f(0)＝ 0，∴ 0<x<4 时，f( x)<0，x<0 或x>4 时，f(x)>0 ，由 ( x ＋2)f(x ＋ 3)<0得fx ＋，(1)x＋2>0 ，或(2)f x＋x<－2，由 (1)得∴ x<－3；x＋3<0 或 x＋ 3>4，x>－2，由 (2)得∴－2<x<1，0<x＋ 3<4.综上知，不等式的解集为(－∞，－ 3)∪ (－ 2,1)三、解答题17．已知函数f(x)＝ x3＋ ax2－ 3bx＋ c(b>0) ，且 g(x)＝ f(x)－ 2 是奇函数．(1)求 a、 c 的值；(2)若函数 f(x)有三个零点，求 b 的取值范围．[分析 ](1)∵ g(x)＝ f(x)－ 2 是奇函数，∴g(－ x)＝－ g(x)对 x∈R成立，∴f(－ x)－ 2＝－ f(x)＋2 对 x∈R成立，∴ax2＋ c－ 2＝ 0 对 x∈R成立，∴a＝0 且 c＝ 2.(2)由 (1) 知 f(x)＝ x3－ 3bx＋2(b>0) ，∴f ′(x)＝ 3x2－ 3b＝3(x－ b)( x＋ b)，令 f ′(x)＝ 0 得 x＝± b，x(－∞，－ b)－ b( － b， b)b(b，＋∞) f ′(x)＋0－0＋f(x)增极大值减极小值增依题意有f－ b，∴ b>1，f b，故正数 b 的取值范围是 (1，＋∞)．18． (2015 ·原市三模太)已知函数 f(x)＝ (x2－ax＋ a)e x－ x2， a∈R .(1)若函数 f(x)在 (0，＋∞)内单一递加，求 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)在 x＝ 0处获得最小值，求 a 的取值范围．[分析 ]x x 2(1)由题意得 f′(x)＝ x[( x＋ 2－ a)e－ 2]＝ xe x＋ 2－ x－a，x∈R，e∵ f(x)在(0 ，＋∞)内单一递加，∴f′(x)≥0在(0 ，＋∞)内恒成立．2∴x＋2－e x≥a在(0，＋∞)内恒成立，2又函数 g(x)＝ x＋ 2－e x在 (0，＋∞)上单一递加，∴ a ≤g(0) ＝0，∴ a 的取值范围是 ( －∞，0]；x2(2)由 (1) 得 f ′(x)＝ xex ＋ 2－e x － a ， x ∈ R ，2令 f ′(x)＝ 0，则 x ＝ 0 或 x ＋ 2－ e x － a ＝ 0，即 x ＝ 0 或 g(x)＝ a ，2∵ g(x)＝ x ＋ 2－e x ，在 (－ ∞，＋ ∞)上单一递加，其值域为 R .∴存在独一 x 0∈ R ，使得 g(x 0)＝ a ，①若 x 0>0，当 x ∈( －∞，0)时， g(x)<a ，f ′(x)>0 ；当 x ∈(0 ，x 0)时， g( x)<a ，f ′(x)<0 ；∴ f( x)在 x ＝ 0 处获得极大值，这与题设矛盾；②若 x 0＝ 0，当 x ∈ (－ ∞， 0) 时， g(x)<a ， f ′(x)>0 ；当 x ∈(0，＋ ∞)时， g(x)>a ， f(x)>0 ；∴f(x)在 x ＝ 0 处不取极值，这与题设矛盾；③若 x 0<0，当 x ∈ (x 0,0)时， g(x)>a ， f ′(x)<0 ；当 x ∈ (0，＋ ∞)时， g(x)>a ，f ′(x)>0 ；∴ f( x)在 x ＝ 0 处获得极小值；综上所述， x 0<0，∴ a ＝ g(x 0)< g(0) ＝ 0.∴ a 的取值范围是 ( －∞，0)．19． (2014 福·建安溪一中、养正中学联考)已知函数 f(x)＝ x 3＋ ax 2＋ bx ＋5，若曲线 f(x)在点 (1， f(1)) 处的切线斜率为 3，且 x ＝2时， y ＝ f(x)有极值．3(1) 求函数 f(x)的分析式；(2) 求函数 f(x)在 [ －4,1] 上的最大值和最小值． [分析 ] f ′(x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋b ，f2 ＝2 2 233＋ 2a × ＋ b ＝ 0，(1) 由题意得，3＝ 3×12＋ 2a ×1＋ b ＝ 3.fa ＝ 2， 解得b ＝－ 4.2经查验得 x ＝ 时， y ＝ f(x)有极小值，所以 f(x)＝ x 3＋ 2x 2－ 4x ＋ 5.(2)由 (1) 知， f ′(x)＝ 3x 2＋ 4x － 4＝ (x ＋ 2)(3x － 2)．令 f ′(x)＝ 0，得 x 1＝－ 2， x 2＝2， 3f ′(x)， f(x)的值随 x 的变化状况以下表：x－ 4(－4，－ 2)－2( －2， 2 )2 ( 2，1)13 33f ′(x)＋0－0＋f(x)单一递加极大值单一递减极小值单一递加函数值－1113954 27∵f(23)＝9527， f( －2)＝ 13， f(－ 4)＝－ 11， f(1)＝ 4，∴ f(x)在[ － 4,1]上的最大值为13，最小值为－ 11.2a3220．已知函数f(x)＝x － 2ax ＋ bx，此中 a、 b∈R，且曲线y＝f(x)在点 (0， f(0))处的切线斜率为 3.(1)求 b 的值；(2)若函数 f(x)在 x＝ 1 处获得极大值，求 a 的值．[分析 ] (1)f ′(x)＝ a2x2－4ax＋ b，由题意 f ′(0)＝ b＝ 3.(2)∵函数 f(x)在 x＝ 1 处获得极大值，∴f ′(1)＝ a2－ 4a＋ 3＝ 0，解得 a＝1 或 a＝ 3.2①当 a＝ 1 时， f ′(x)＝x － 4x＋ 3＝ (x－ 1)(x－ 3)，x(－∞， 1)1(1,3)3(3，＋∞)f ′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由上表知，函数f(x)在 x＝ 1 处获得极大值，切合题意．②当 a＝ 3 时， f ′(x)＝9x2－12x＋ 3＝ 3(3x－ 1)(x－1) ，x、 f ′(x)、 f(x)的变化状况以下表：x(－∞，1)1(1， 1)1(1，＋∞)333f ′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由上表知，函数f(x)在x＝ 1 处获得极小值，不切合题意．综上所述，若函数 f(x)在 x＝1 处获得极大值， a 的值为 1.21．设 f(x)＝ lnx， g(x)＝ f(x)＋ f ′(x)．(1)求 g(x)的单一区间和最小值；1(2)议论 g(x)与 g(x)的大小关系；1(3)求 a 的取值范围，使得g(a)－ g(x)<a对随意x>0成立．[分析 ](1)由 知1，g(x) ＝lnx ＋ x ∴ g ′(x)＝ x － 12 ，令 g ′(x)＝ 0，得 x ＝ 1.x当 x ∈ (0,1) ， g ′(x)<0 ，故 (0,1) 是 g(x)的 减区 ．当 x ∈ (1，＋ ∞) ， g ′(x)>0 ，故 (1，＋ ∞)是 g(x)的 增区 ，所以， x ＝ 1 是 g(x)的独一极 点，且 极小 点，从而是最小 点，所以最小g(1)＝ 1.1(2)g( x ) ＝－ ln x ＋ x ，h(x)＝ g(x)－ g(1)＝ 2ln x － x ＋ 1，xxx －2h ′(x)＝－x 2.当 x ＝ 1 ， h(1) ＝ 0，即 g(x)＝ g(1x )．当 x ∈ (0,1)∪ (1，＋ ∞) ， h ′(x)<0 ，h ′(1)＝ 0，所以， h(x)在 (0，＋ ∞)内 减．1当 0<x<1 ， h(x)>h(1)＝ 0，即 g(x)>g(x )，当 x>1 ， h(x)<h(1) ＝0，即 g(x)<g(1x )．(3)由 (1) 知 g( x)的最小1，所以 g(a)－g(x)<1随意 x>0 成立 ? g(a)－ 1<1，aa即 lna<1 ，从而得 0<a<e ，即 a 的取 范 (0， e)．x － 222． (2015 江·西教课 量)已知函数 f(x)＝ ln(ax ＋ 1)(x ≥0，a>0) ， g(x)＝ x ＋ 2.(1) 函数 y ＝ f(x)－ g(x)的 性；(2)若不等式 f(x) ≥g(x)＋ 1 在 x ∈[0，＋ ∞) 恒成立，求 数a 的取 范 ；1 1 111*(3)当 a ＝ 1 ， 明： 3＋ 5＋7＋⋯ ＋ 2n ＋ 1<2f(n)(n ∈ N ) ．x － 2，[分析 ](1)∵ y ＝ f(x) －g(x)＝ ln(ax ＋ 1)－x ＋ 2y ′＝ a －4 2＝ax 2＋ 4a － 42，x ＋ax ＋x ＋ax ＋ 1当 a ≥1 ， y ′≥0，所以函数 y ＝ f(x)－ g(x)是 [0，＋ ∞)上的增函数；当 0<a<1 ，由 y ′>0得 x>21－ 1，所以函数 y ＝ f(x) －g( x)在 21－ 1，＋ ∞ 上是aa增函数，函数y ＝f(x)－ g(x)在 0， 21－ 1 上是 减函数；a(2)当 a ≥1 ，函数y ＝ f(x)－ g(x)是 [0，＋ ∞)上的增函数．所以 f(x)－ g(x) ≥f(0)－ g(0)＝ 1，即不等式 f(x) ≥g(x)＋ 1 在 x ∈ [0，＋ ∞) 恒成立，当0<a<1，函数y ＝ f(x)－ g(x)是0， 21－ 1 a上的减函数， 存在x 0∈0， 21－ 1 a，使得 f( x 0)－ g(x 0)<f(0) － g(0) ＝ 1，即不等式 f(x 0) ≥g(x 0 )＋ 1 不行立，上， 数a 的取 范 是 [1，＋ ∞)．(3)当 a ＝ 1 ，由 (2) 得不等式 f(x)>g(x)＋ 1 在 x ∈(0，＋ ∞) 恒成立，即 ln(x ＋ 1)>2x，所以 ln1＋1 >2*) ，x ＋ 2 k1＋ 2k(k ∈ N即 112k ＋ < [ln( k ＋ 1)－ lnk]．1 21 1 (ln2 －ln1) ，所以 <23 1 15<2(ln3 － ln2) ，1 17<2(ln4 － ln3) ， ⋯ ，112n ＋ 1<2[ln( n ＋ 1)－ lnn]．1 1 111将上边各式相加获得， 3＋ 5＋7＋⋯ ＋ 2n ＋ 1<2[(ln2 － ln1) ＋ (ln3 － ln2) ＋ (ln4 － ln3)＋ ⋯＋ (ln( n ＋ 1)－ lnn)] ＝ 1ln(n ＋ 1)＝ 1f(n)．22∴原不等式成立．。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章导数及其应用章末检测卷Word版含解析
2
3
23 3
6．已知曲线 y＝x2＋2x－ 2 在点 M处的切线与 x 轴平行，则点 M的坐标是 ( )
A． ( －1,3)
B．( － 1，－ 3)
C． ( －2，－ 3)
D．( － 2,3)
答案 B
解析 ∵ f ′（x) ＝ 2x＋ 2＝ 0，∴ x＝－ 1. f ( － 1) ＝ ( － 1) 2＋2×( － 1) － 2＝－ 3.
C． ( －1,1)
D．( －∞，－ 1) 和 (1 ，＋∞）
答案 A
解析
y′＝ 4x3 －4x＝ 4x( x2－ 1) ，令 y′<0 得 x 的范围为 ( －∞，－ 1) ∪(0,1) ，故选 A.
3．函数 f ( x) ＝ x3＋ ax2＋ 3x－ 9，在 x＝－ 3 时取得极值，则 a 等于 ( )
综上所述， 当 2≤a≤4，每件产品的售价为 35 元时，该产品一年的利润最大， 最大利润为 500(5 － a)e 5 万元；当 4<a≤5，每件产品的售价为 (31 ＋ a) 元时，该产品一年的利润最大，最大利润 为 500e9 －a 万元． 21． (12 分 ) 设 f ( x) ＝ a( x－ 5) 2＋ 6ln x，其中 a∈ R，曲线 y＝ f ( x) 在点 (1 ， f (1)) 处的切线与
1 ＝，
2 所以 f (1) ＋ f ′(1) ＝ 3.
9．曲线 y＝ sin
x， y＝ cos
x 与直线
x＝
0，x＝
π 2
所围成的平面区域的面积为
(
)
π
A．
2 0
(sin
x－ cos x)d x
π
B．2
4 0
2021年高中数学 第一章 导数及其应用章末检测 新人教版选修2-2
2021年高中数学第一章导数及其应用章末检测新人教版选修2-2一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)在x＝1处的导数为1，则f1－x－f1＋x3x的值为( )A．3 B．－3 2C.13D．－232．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式可以为( ) A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4＋1C．f(x)＝x4－2 D．f(x)＝－x43．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )A．4 B．－1 4C．2 D．－1 24．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积为( )A.13B.12C.23D．15．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( ) A．y＝2－3x2B．y＝ln xC．y＝1x－2D．y＝si n x6．如图，抛物线的方程是y＝x2－1，则阴影部分的面积是( )A.⎠⎛2(x2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x －⎠⎛12(x 2－1)d x7．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，则f (x )的极值情况为( )A ．极大值427，极小值0B ．极大值0，极小值427C ．极大值0，极小值－427D ．极大值－427，极小值08．已知曲线方程f (x )＝sin 2x ＋2ax (a ∈R )，若对任意实数m ，直线l ：x ＋y ＋m ＝0都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,0)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．a ∈R 且a ≠0，a ≠－19．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，g (x )恒不为0，当x ＜0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＞0，且f (3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)10. 函数f (x )＝ax m (1－x )n在区间[0,1]上的图象如图所示，则m ，n 的值可能是( )A ．m ＝1，n ＝1B ．m ＝1，n ＝2C ．m ＝2，n ＝1D ．m ＝3，n ＝1∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34上单调递增，不符合题意． 二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)11．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为________．12.⎠⎛121x x ＋1d x ＝________. 13．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)＞0，对于任意实数x都有f (x )≥0，则f 1f ′0的最小值为________．14. 如图所示，A 1，A 2，…，A m －1(m ≥2)将区间[0,1]m 等分，直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝e x所围成的区域为Ω1，图中m 个矩形构成的阴影区域为Ω2.在Ω1中任取一点，则该点取自Ω2的概率等于________．15．若以曲线y ＝f (x )任意一点M (x ，y )为切点作切线l ，曲线上总存在异于M 的点N (x 1，y 1)，以点N 为切点作切线l 1，且l ∥l 1，则称曲线y ＝f (x )具有“可平行性”．下列曲线具有可平行性的编号为________．(写出所有满足条件的函数的编号)①y ＝x 3－x ②y ＝x ＋1x③y ＝si n x ④y ＝(x －2)2＋ln x三、解答题(本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．17．已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．18．设曲线f (x )＝x 2＋1和g (x )＝x 3＋x 在其交点处两切线的夹角为θ，求c os θ.19．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．20．设函数f (x )＝a e x＋1a ex ＋b (a ＞0)．(1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．参考答案 1、解析：选D.由题意知f ′(1)＝ f 1＋x －f 1x＝1，∴f 1－x －f 1＋x3x＝13 f 1－x －f 1－[f 1＋x －f 1]x＝13[－f ′(1)－f ′(1)]＝－23. 2、解析：选C.由f ′(x )＝4x 3，可设f (x )＝x 4＋c (c 为常数)，由f (1)＝－1得－1＝1＋c ，∴c ＝－2.3、解析：选A .由已知g ′(1)＝2，而f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， 所以f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝4，故选A .4、解析：选A.y ′＝－2e －2x，y ′|x ＝0＝－2， 点(0,2)处的切线方程为y －2＝－2x . 令y ＝0得x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝－2x y ＝x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝23，∴S＝12×23×1＝13.5、解析：选C.对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1x －22＜0， 且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求．6、解析：选C.由图形可知阴影部分的面积为：⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x .而⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x .故选C.7、解析：选 A.f ′(x )＝3x 2－2px －q .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝0，f ′1＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧1－p －q ＝0，3－2p －q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1.通过分析得，当x ＝13时，y 取极大值427；当x ＝1时，y 取极小值0.8、解析：选B.若存在实数m ，使直线l 是曲线y ＝f (x )的切线，∵f ′(x )＝2sin xc os x ＋2a ＝sin 2x ＋2a ，∴方程sin 2x ＋2a ＝－1有解，∴－1≤a ≤0，故所求a 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)，选B.9、解析：选D.令F (x )＝f xg x，则F (x )为奇函数，F ′(x )＝f ′x g x －f x g ′xg 2x.∵当x ＜0时，F ′(x )＞0.∴F (x )在区间(－∞，0)上为增函数．又F (3)＝f 3g 3＝0，∴F (－3)＝0.∴当x ＜－3时，F (x )＜0； 当－3＜x ＜0时，F (x )＞0. 又F (x )为奇函数，∴当0＜x ＜3时，F (x )＜0； 当x ＞3时，F (x )＞0.而不等式f (x )g (x )＜0和f xg x＜0为同解不等式(g (x )恒不为0)，∴不等式f (x )g (x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．10、解析：选 B.观察图象易知，a >0，f (x )在[0,1]上先增后减，但在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上有增有减且不对称．对于选项A ，m ＝1，n ＝1时，f (x )＝ax (1－x )是二次函数，图象应关于直线x ＝12对称，不符合题意．对于选项B ，m ＝1，n ＝2时，f (x )＝ax (1－x )2＝a (x 3－2x 2＋x )，f ′(x )＝a (3x 2－4x ＋1)＝a (x －1)(3x －1)，令f ′(x )≥0，得x ≥1或x ≤13，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13上单调递增，符合题意，选B. 对于选项C ，m ＝2，n ＝1时，f (x )＝ax 2(1－x )＝a (x 2－x 3)，f ′(x )＝a (2x －3x 2)＝ax (2－3x )，令f ′(x )≥0，得0≤x ≤23，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递增，不符合题意． 对于选项D ，m ＝3，n ＝1时，f (x )＝ax 3(1－x )＝a (x 3－x 4)，f ′(x )＝a (3x 2－4x 3)＝ax 2(3－4x )，令f ′(x )≥0，得0≤x ≤34，11、解析：f (x )＝f (－x )⇒f ′(x )＝－f ′(－x )⇒y ＝f ′(x )为奇函数，故f ′(0)＝0.又f (x )＝f (x ＋5)⇒f ′(x )＝f ′(x ＋5)⇒y ＝f ′(x )为周期函数，周期为5.由于f ′(0)＝0，从而f ′(5)＝0. 答案：012、解析：f (x )＝1x x ＋1＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln xx ＋1，则F ′(x )＝1x －1x ＋1，所以⎠⎛121x x ＋1d x＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1d x ＝＝ln 43.答案：ln 4313、解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，有f ′(0)＞0⇒b ＞0.由于对于任意实数x 都有f (x )≥0，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ≤0，得c ＞0，从而f 1f ′0＝a ＋b ＋c b ＝1＋a ＋c b ≥1＋a ＋c 2ac ≥1＋2ac2ac＝2，当且仅当a ＝c 时取等号．答案：214、解析：依题意，阴影区域Ω2的面积为S Ω2＝1m (1＋e 1m ＋e 2m ＋…＋e m －1m )＝1m·；区域Ω1的面积为：S Ω1＝⎠⎛01e x d x ＝e －1，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率答案： 15、解析：由题意可知，对于函数定义域内的任意一个x 值，总存在x 1(x 1≠x )使得f ′(x 1)＝f ′(x )．对于①，由f ′(x 1)＝f ′(x )可得x 21＝x 2，但当x ＝0时不符合题意，故不具有可平行性；对于②，由f ′(x 1)＝f ′(x )可得1x 21＝1x2，此时对于定义域内的任意一个x 值，总存在x 1＝－x ，使得f ′(x 1)＝f ′(x )；对于③，由f ′(x 1)＝f ′(x )可得c os x 1＝c os x ，∃x 1＝x ＋2k π(k ∈Z )，使得f ′(x 1)＝f ′(x )；对于④，由f ′(x 1)＝f ′(x )可得2(x 1－2)＋1x 1＝2(x －2)＋1x ，整理得x 1x ＝12，但当x ＝22时不符合题意，综上，答案为②③. 答案：②③ 三、解答题：16、解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13y ＝3，故A (13，3)；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1y ＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1(舍去)，故B(1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝3，故C(3,3)．17、解：∵f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，∴f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数； ∴f (x )在x ＝－1时取得极小值． ∴a ＝2，b ＝9.18、解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y ＝x 3＋x ，得x 3－x 2＋x －1＝0，即(x －1)(x 2＋1)＝0，∴x ＝1，∴交点为(1,2)．又f ′(x )＝2x ， ∴f ′(1)＝2，∴曲线y ＝f (x )在交点处的切线l 1的方程为 y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，又g ′(x )＝3x 2＋1. ∴g ′(1)＝4.∴曲线y ＝g (x )在交点处的切线l 2的方程为 y －2＝4(x －1)，即y ＝4x －2.取切线l 1的方向向量为a ＝(1,2)，切线l 2的方向向量为b ＝(1,4)，则c os θ＝a·b |a|·|b|＝95×17＝98585.19.、解：(1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a 2x ＋ax.由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈(1，e)恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a －1≥e－1，f e ＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e.解：(1)f ′(x )＝a e x－1a ex ，当f ′(x )>0，即x >－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增； 当f ′(x )<0，即x <－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0<a <1时，－ln a >0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b .(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)， 所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12，故a ＝2e 2，b ＝12.7 z25741 648D 撍40114 9CB2 鲲35564 8AEC 諬35118 892E 褮k33863 8447 葇36457 8E69 蹩x25379 6323 挣38158 950E 锎。
高考理科数学(选修2-2) 第一章导数及其应用 本章达标测评【含答案】
第一章本章达标测评一、单选题1．一个物体的运动方程为s(t)= 1-t+t ²，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是 ( ) A ．5米／秒 B.6米／秒 C ．7米／秒 D ．8米／秒 2．下列求导运算正确的是 ( ) A ．B ．C ．(χ²cos χ)’=-2χsin χD ．3．已知函数f(χ)=2In 3χ+8χ+1，则值为 ( )A.10 B ．-10 C.-20 D ．20 4．若，则实数a 等于 ( )A.-1B.1 C ． D ． 5．已知函数,χ∈R ，若f(χ)+9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．B ． C.D ．6．已知函数为偶函数，若曲线y=f(χ)的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于 ( )χχ=)'n 11(1)'e (+=x e x x 211)'1(x x x -=+xf x f oim∆-∆-→∆)1()21(l χ⎰=+2π02)cos (sin dx x a x 3-3mx x x f 332421)(+-=23≥m 23>m 23≤m 23<m x ae x e x f -+=)(23A ．In 2B ．21n 2C ．2D ． 7．已知函数是函数的导函数，则的图象大致是 ( )8．若曲线y=In （χ+a ）的一条切线为y=e χ+b ，其中a ，b 为正实数，则的取值范围是 ( )A ．B ． C. D ．[2，e)9．若函数χ在(1，+∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞ ,1)D.(-∞,1] 10.若a>2，则方程在(0，2)上恰好有 ( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根2xf x x x f ',cos 241)(+=)(x f )('x f 2++b ea ),22(+∞+ee [)+∞,e [)+∞,2na x x f 1221)(-=012331=+-ax x11.若函数，且0<χ₁<χ₂<1，设，，则a,b 的大小关系是( )A ．a>bB ．a<bC ．a=bD ．a 、b 的大小不能确定12．设函数f ’(χ)是函数f(χ)(χ∈ R)的导函数，若f(χ)-f( -χ)= 2χ³，且当x>0时，f ’(χ)>3χ²，则不等式f(χ)-f(χ-1)>3χ²-3χ+1的解集为 ( )A ．(-∞,2)B ．C ．D ．（2，+∞）二．填空题13．若曲线y=a χ²-1n(x+1)在点(1，b)处的切线平行于x 轴，则a=____． 14.定义1：若函数f(χ)在区间D 上可导，即f ’(χ)存在，且导函数f ’(χ)在区间D 上也可导，则称函数f(χ)在区间D 上存在二阶导数，记作f ’(χ)，即f ’(χ)=[f ’(χ)]’．定义2：若函数f(χ)在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ’(χ)>0恒成立，则称函数f(χ)在区间D 上为凹函数． 已知函数f(χ)=χ³-+1在区间D 上为凹函数，则χ的取值范围是_________ ．15.要数一个圆锥形漏斗，其母线的长为20 cm ，要使体积最大，则高为____． 16.函数y=χ²(χ>0)的图象在点（，a ）处的切线与χ轴的交点的横坐标为，其中k ∈N*，若a ₁=16，则a ₁+a ₃+a ₅，的值是_______三．解答题x x x f sin )(=11sin xx a =22sin x x b =),21(+∞)21,(-∞223x k a2k1+k a17．已知函数．(1)求函数在区间[1，e]上的最大值、最小值；(2)求证：在区间[1，+∞）上，函数的图象在函数的图象的下方.18.设函数=(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在区间（-1，1）内单调递增，求k 的取值范围．19.已知函数=χIn χ，g （χ）=（-χ²+a χ-3）(a 为实数)． (1)当a=5时，求函数y=g （χ）的图象在χ=1处的切线方程；(2)若关于x 的方程g(χ)=在上有两个不相等的实数根，求实数anxx x f 1221)(+=)(x f )(x f 332)(x x g =)(x f )0(≠k kx xe )(x f )(x f )(x f xe )(2xf x e ⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1的取值范围．20.设=xIn χ-a χ²+（2a-1）χ，a ∈R ． (1)令g （χ）=，讨论g(χ)的单调性；(2)已知在χ=1处取得极大值，求实数a 的取值范围.21.经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经成为整个电商行业的大型集体促销盛宴，为庆祝“双十一”网购狂欢节，某厂商决定对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P （万件）与促销费用菇（万元）满足（其中0<χ≤a ，a 为正常数）．已知生产该批产品P 万件还需投入成本( 10+2P)万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元／件，假定厂)(x f )('x f )(x f 123+-=x p )204(p+家的生产能力完全能满足市场的销售需求．(1)将该产品的利润，y （万元）表示为关于促销费用χ（万元）的函数; (2)促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？22.已知函数=χ³+（1-a ）χ²-a(a+2)x+b ，a ，b ∈R. (1)若函数在区间（-1，1）上不单调，求a 的取值范围； (2)令，若对任意χ₁∈[-1,1]，存在χ₂∈[0，2]，使得f ’(χ₁) +2aχ₁=g(χ₂)成立，求a 的取值范围．第一章本章达标测评 一、选择题1．C 由题知s ’(t)= - 1+2t ’s ’(4)=7，故选C ．2．DA 项，;)(x f )(x f 31619)(-=x x g 2)1(1)'11(nx x nx -=B 项，C 项，D 正确，故选D ． 3．C，,故选C ．4.B ,=0-（-1）+a=2，a=1，故选B ．5.A,f ’(χ)=2χ³-6χ²，令，f ’(χ)=0，得χ=0或χ=3． 易知χ=3是函数的最小值点，所以函数f(χ)的最小值为f( 3)= 3m-．因为不等式f(χ)+9≥0恒成立，即f(χ)≥-9恒成立，所以3m-≥-9，解得m ≥，故选A ．6．A 因为f(χ)是偶函数，所以f(χ)=f(-x ），即 ，解得a=1．所以f(χ)=，所以f ’(χ)=，设切点的横坐标为χₒ，则.设t=，则，解得t=2，即，所以χₒ=In 2，故选A ．x xe x e x xe +=)'(x x x x x x sin 2cos 2)'cos 2(-=836)('+=x x f 20)1('22)1()21(0lim 2)1()21(0lim-=-∆--∆-→∆-=∆-∆-→∆f x f x f x x f x f x ⎰=+202)cos (sin πdx x a x 2020sin 2020)cos (cos sin ππππ⎰⎰+-=+xa x xds a xdx 22722723)(x ae x ae x e --+-+x e x e -+x e x e --230)0('0=--=x e x e x f )0(0>t x e 231==t t 20=x e7．A 由于f(χ)=，f ’(χ)= ,f ’(-χ)=-f ’(χ),故f ’(χ)为奇函数，其图象关于原点对称， 排除B 和D ，又当时，排除C ．故选A ．8.C 由题意得，设切点为（χₒ，y ₒ），则有解得b=ae-2，b>0,,，当且仅当a=1时，等号成立，故选C ．9．D 由题意知f ’(χ)=。
人教A版选修2-2第一章导数及其应用单元测试试卷(导数的应用,定积分,微积分基本定理)含答案
高二数学第一章单元测试试题（满分150分 时间 120分钟） （导数的应用，定积分，微积分基本定理）一、选择题(每小题5分)1．()220310x k dx +=⎰，则k =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知()60cos 1x t dx π-=⎰，则常数t 的值为（）A ．3π-B ．1π-C ．32π-D ．52π-3．下列关于积分的结论中不正确的是（ ） A ．11cos d 0x x x -=⎰B ．111sin d 2sin d x x x x x x -=⎰⎰C ．若()f x 在区间[],a b 上恒正，则()d 0ba f x x >⎰D ．若()d 0ba f x x >⎰，则()f x 在区间[],ab 上恒正4．若220a x dx =⎰，230b x dx =⎰，2sin c xdx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<5．设[](]2,0,1,(){1,1,e x x f x x x∈=∈（其中为自然对数的底数），则0()ef x dx ⎰的值为（ ）A ．43B ．54C ．65D ．6．函数()3234f x x x =+-的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量()0390x x ≤≤的关系是()3400900x R x x =-+，0390x ≤≤，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是（ ）A ．150B ．200C ．250D ．3008．已知,由抛物线2y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域的面积为S.如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S.所谓“分之弥细,所失弥少”,这就是高中课本中的数列极限的思想.由此可以求出S 的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．259．用S 表示图中阴影部分的面积，若有6个对面积S 的表示，如图所示，()caS f x dx =⎰①；()caS f x dx =⎰②；()c a S f x dx =⎰③；()()b ca bS f x dx f x dx =-⎰⎰④；()()c b baS f x dx f x dx =-⎰⎰⑤；()()b cabS f x dx f x dx =-⎰⎰⑥.则其中对面积S 的表示正确序号的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．函数f （x ）1lnxx =+的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．11．已知函数()22f x ax x a =-+，对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞B ．4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．[]1,0-12．设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题(每小题5分)13．1||-1x e dx ⎰值为______．14．已知实数x ，y 满足不等式组2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，且z =2x -y 的最大值为a ，则1e a dxx⎰=______．15．已知函数()()32,f x x ax bx a b R =++∈的图象如图所示，它与直线0y =在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为274，则a 的值为_________16．若()f x 在R 上可导, 2()2(2)3f x x f x ='++,则3()=f x dx ⎰____________.三、解答题(17题10分，其他每小题12分)17．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()12f -=，()00f '=，10()2f x dx =-⎰，求a 、b 、c 的值．18．设()x f 连续，且()x f =⎰+10)(2dt t f x ,求)(x f .19.设函数f(x)=a x 3+bx+c(a>0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值是-12,求a,b,c 的值.20．已知函数()32f x x ax bx c =+++在1x =处有极值,其导函数()f x ¢的图象关于直线13x =对称.（1）说明()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象与()22g x x x =-的图象有且仅有三个公共点,求c 的取值范围．21.已知函数f (x )=x 3-ax 2+bx+c(a,b,c ∈R),(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,试求a,b 的值;(2)在(1)的条件下,当x ∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求c 的取值范围. 22.已知函数f(x)=ln x −ax .(1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性; (2)若f(x)在区间[1,e]上的最小值为32,求a 的值;(3)设g(x)=ln x-a,若g(x)<x 2在区间(0,e]上恒成立,求a 的取值范围.参考答案1．∵()223x k dx +⎰()332|220x kx k =+=+． 由题意得：32210k +=， ∵1k =．2．因为()60cos 1x t dx π-=⎰，所以()60sin |1x tx π-=，所以3t π=-3．对于A ，函数cos y x x =是R 上的奇函数,11cos d 0x x x -=⎰正确；对于B ，因为函数sin y x x =是R 上的偶函数，所以1110sin d 2sin d x x x x x x -=⎰⎰正确；对于C ，因为()f x 在区间[],a b 上恒正，所以()f x 图象都在x 轴上方，故()d 0ba f x x >⎰正确； 对于D ，若()d 0ba f x x >⎰，可知()f x 的图象在区间[],ab 上，在x 轴上方的面积大于下方的面积，故选项D 不正确.4．由题得22320018|33a x dx x ===⎰，2342001|44b x dx x ===⎰，2200sin cos |cos 21c xdx x ==-=-+⎰，则23,3,12a b c <<<，所以c a b <<，故A ．5．0()ef x dx⎰.6．由()()32234'36f x x x f x x x =+-⇒=+，令()'0f x =得0x =或2x =-，当()(),2,0,x ∈-∞-+∞时，()f x 单调递增，当()2,0x ∈-时，函数单调递减，()()20,04f f -==-，画出函数图像，如图所示：故函数图像有两个零点,故C7．设总利润为334001002000030020000900900()x x x x x P x -+--=-+-=（0390x ≤≤） ，2'()300300x P x =-+（0390x ≤≤），令'()0P x =，可得300x =， 当0300x ≤≤时，'()0P x >,当300390x <≤时，'()0P x <，当300x =时，()P x 取得最大值.8．由题意有2311111=(10)00333S x dx x ⎰==⨯-=，即由抛物线2y x =、x 轴、直线1x =所围成的曲边区域的面积为13，故B. 9．由定积分的几何意义知，区域内的面积为：()+()cbbaf x dx f x dx ⎰⎰，又当[],x a b ∈时，()0f x ≤，当[],x b c ∈时，()0f x ≥， 所以()+()=()()()()cb c bbbabaacbf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，或者()()()()|()||()|=|()|cb c b c b cbababaaf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以∵，∵，∵是正确的.故B.10．由f (x )1lnxx =+,得f ′(x )211(0)(1)lnx x x x +-=>+, 令g (x )＝11lnx x +-,则g ′(x )22111xx x x+=--=-＜0,所以g (x )在(0,+∞)上单调递减,又g (e )1e=＞0,g (e 2)2221111lne e e =+-=-＜0,∴存在x 0∵(e ,e 2),使得g (x 0)＝0,∴当x ∵(0,x 0)时,g (x )＞0,f ′(x )＞0; 当x ∵(x 0,+∞)时,g (x )＜0,f ′(x )＜0,∴f (x )在(0,x 0)上单调递增,在(x 0,+∞)上单调递减.故C .11．函数()22f x ax x a =-+,对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤,当[]1,2x ∈时,()0f x ≤即220ax x a -+≤,即为()221a x x +≤,可化为()212x a x ≤+ 令()22()1x g x x +=,则()()22'22221)22((12(212))x x x x g x x x -++-++== 当[]1,2x ∈时,'()0g x <,单调递减. ∴()min 2224()(2)152g x g ⨯==+=∴min 4()5a g x ≤=故实数a 的取值范围是4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故B12设()()e 21x g x x =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当21x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.∴函数()y g x =的最小值为11222g e ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ，故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故D.13．22e -.因为||x y e =是偶函数，11||110-122|2()2(1)x x x e dx e dx e e e e ∴===-=-⎰⎰， 14．6作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z =2x -y 得y =2x -z ，平移直线y =2x -z ，由图象可知当直线y =2x -z 经过点B 时，直线y =2x -z 的截距最小，此时z 最大．由220y x y =⎧⎨--=⎩，得(4,2)B ，即a =z max =2×4-2=6，则1e a dx x ⎰=16e dx x ⎰=6lnx 1|e =6．15．-3．2'()32f x x ax b =++，由题意'(0)0f b ==，32()f x x ax =+，()00f x x x a =⇒==-或，易知0a <，3243401127()()|043124aa a x ax dx x x a --+=+=-=-⎰，所以3a =-．16．-18()()'22'2f x x f =+，令2x =，则()'24f =-，∴()283f x x x =-+，()()3320083f x dx x x dx =-+⎰⎰323043|183x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，故填18-.17． ∵()12f -=，∵2a b c -+=．∵ 又∵()2f x ax b '=+，∵()00f b '==．∵ 而()1120()f x dx ax bx c dx =++⎰⎰，取3211()32F x ax bx cx =++，则()2F x ax bx c '=++，∵1011()(1)(0)232f x dx F F a b c =-=++=-⎰.∵ 解∵∵∵得6a =，0b =，4c =-． 18．记10()a f t dt =⎰,则()2f x x a =+两端积分得111()(2)22f x dx x a dx a =+=+⎰⎰, 122a a =+,12a =-. ∴()1f x x =-19.解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即-ax 3-bx+c=-ax 3-bx-c,∴c=0. ∵f'(x)=3ax 2+b 的最小值为-12,且a>0,∴b=-12.又f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直. ∴f'(1)=3a+b=-6,∴a=2. 综上可得,a=2,b=-12,c=0.20． （1）()232f x x ax b '=++,由已知得()10133f a ⎧=⎪⎨-='⎪⎩，即3201a b a ++=⎧⎨=-⎩，解得:11a b =-⎧⎨=-⎩，()()()2321311x x x x f x --=+'-= 由()0f x ¢>，得()1,31,x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝∞⎭+U ， 由()0f x ¢<，得1,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴()f x 在区间1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+?上单调递增，1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； （2）由（1）知()32f x x x x c =--+,()()322f x g x x x x c -=-++, 设()322F x x x x c -=++,则()()()2341311F x x x x x '=-+=--,令()0F x '=,得1x =或1x =,列表：两个图象有且仅有三个公共点,只需()12703410F c F c ⎧⎛⎫=+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=<⎩,解得4027c -<<.∵c 的取值范围是4,027⎛⎫- ⎪⎝⎭. 21解:(1)f'(x)=3x 2-2ax+b.∵函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值, ∴-1,3是方程3x 2-2ax+b=0的两根.∴{-1+3=2a3,-1×3=b3,∴{a =3,b =-9. (2)由(1)知f(x)=x 3-3x 2-9x+c, f'(x)=3x 2-6x-9.∴当x ∈[-2,6]时,f(x)的最大值为c+54, 要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|即可, 当c≥0时,c+54<2c,∴c>54; 当c<0时,c+54<-2c,∴c<-18, ∴c ∈(-∞,-18)∪(54,+∞).故c 的取值范围为(-∞,-18)∪(54,+∞).22.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x )=1x +ax =x+a x .因为a>0,x>0,所以f'(x)>0,因此f(x)在区间(0,+∞)内是增函数. (2)由(1)知f'(x )=x+a x .①若a≥-1,则x+a≥0,从而f'(x)≥0(只有当a=-1,x=1时,f'(x)=0),即f'(x)≥0在区间[1,e]上恒成立,此时f(x)在区间[1,e]上为增函数.所以f(x)的最小值为f(1)=-a =32,即a=−32,不符合题意,舍去. ②若a≤-e,则x+a≤0,从而f'(x)≤0(只有当a=-e,x=e 时,f'(x)=0),即f'(x)≤0在区间[1,e]上恒成立,此时f(x)在区间[1,e]上为减函数.所以f(x)的最小值为f(e)=1−ae =32,即a=−e2,不符合题意,舍去. ③若-e<a<-1,由f'(x)=0,得x=-a,当1<x<-a 时,f'(x)<0,即f(x)在区间(1,-a)内为减函数;当-a<x<e 时,f'(x)>0,即f(x)在区间(-a,e)内为增函数,所以x=-a 是函数f(x)在区间(1,e)内的极小值点,也就是它的最小值点,因此f(x)的最小值为f(-a)=ln(-a)+1=32,即a=−√e.综上,a=−√e.(3)g(x)<x2即ln x-a<x2,所以a>ln x-x2,故g(x)<x2在区间(0,e]上恒成立,也就是a>ln x-x2在(0,e]上恒成立.令h(x)=ln x-x2,则h'(x)=1x −2x=1-2x2x,由h'(x)=0及0<x≤e,得x=√22.当0<x<√22时,h'(x)>0;当√22<x≤e时,h'(x)<0,即h(x)在区间(0,√22)内为增函数,在区间(√22,e]上为减函数,所以当x=√22时,h(x)取得最大值为ℎ(√22)=ln√22−12.所以当g(x)<x2在区间(0,e]上恒成立时,a的取值范围为(ln√22-12,+∞).。
选修2-2人教版第一章--导数与应用测试(含答案)
第一章 导数与应用姓名：__________班级：__________一、选择题1.函数)22(9323<<---=x x x x y 有 （ ）A.极大值5，极小值－27；B. 极大值5，极小值－11； C .极大值5，无极小值； D .极小值－27，无极大值. 2.直线y x =与曲线y 围成的平面图形的面积是. （ ）A ．14 B ．2 C ．1 D ．123.设,35,3)21,0(4)(24最小值为的最大值为≤≤>+-=x a b ax ax x f 则a 、b 值依次为 （ ）A ．31 , 3 B ．3 , 31 C ．—31, 3 D ．—31, —3 4.曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．29e 2Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e 5.若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞-6.函数x x x x f cos sin cos )(23-+=上最大值等于 （ ）A ．274 B ．278 C ．2716 D ．27327.函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 （ ）A.)3,3(-B.)11,4(-C. )3,3(-或)11,4(-D.不存在8.函数1,(10)()cos ,(0)2x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．32 B ． 1 C ． 2 D ．12 9.在1[,2]2x ∈上，函数2()f x x Px q =++与33()22x g x x=+在同一点取得相同的最小值，那么()f x 在1[,2]2x ∈上的最大值是（ ）A ．134B ．4C ．8D ．5410.函数=)(x f 12+-x x 的最大值为（ ）A ．2-B ．22-C ．3-D ．33- 11.函数f(x)=)(sin 2R x x x ∈-π的部分图象是 （ ）A. B. C. D.12.已知函数2()f x x bx =+的图像在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()n N *∈的前n 项和为n S ，则2009S 的值为（ ） A ．20072008 B ．20082009 C ．20092010 D ．20102011 13.设c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 时取得极大值，当)2,1(∈x 时取得极小值，则12--a b 的取值范围为（ ）A ．)4,1(B ．)1,21(C ．)21,41(D ．)1,41(14.设定义域为R 的函数x x x f 2)(2-=，则关于x 的方程2)()(31)(23+-=x f x f x g ，能让)(x g 取极大值的x 个数为（ ） A.2 B.3 C.５ D.７ 二、填空题15.30|2|x dx -⎰=_____________16.已知某质点的位移s 与移动时间t 满足224t s t e-=⋅，则质点在2=t 的瞬时速度是 ；17.设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则ϕ=__________ 18.已知函数f （x ）是以2为周期的偶函数，且当)10(log ,12)(,)1,0(2f x f x x则时-=∈的值为19.已知x x x f cos sin )(1+=，记'21()()f x f x =,'32()()f x f x =,…,)()('1x f x f n n -=)2*,(≥∈n N n ,则122009()()()444f f f πππ+++= ．三、解答题20.已知()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两相等实根，若)('x f 为)(x f 的导函数，且()22f x x '=+ （1）求()f x 的解析式．（2）求函数()y f x =与函数241y x x =--+所围成的图形的面积．21.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥 面工程费用为(2x 万元。
人教版选修2-2第一章导数及(含定积分)其应用测试题
人教版高二数学选修2-2第一章导数及其应用（含定积分）测试题（时间120分钟，分值150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上) 1．已知32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 2、()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定3、y = ） A ．23xB ．213x C ．12- D 4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭6、关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ D ）A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数D ．在区间()(),02,-∞⋃+∞内，)(x f 为增函数 7、曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(1,4)--D.(1,0)和(1,4)--8、已知函数)(x f y =的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是x y 21=+2,则(1)(1)f f '+等于( ）A.1B.52C.3D.09、函数())0f x x =>的导数是（ ） AB C D10．下列结论中正确的是（ ）A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值C ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值D ．如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值 11、积分=-⎰-a adx x a 22（ ）． A ．241a π B ．221a π C ．2a π D ．22a π12、由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． A ．18B ．338C ．316 D ．16二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知a 为实数，()()()24f x x x a =--，且()10f '-=，则a =___________． 14、函数x y x e =-上某点的切线平行于x 轴，则这点的坐标为__________． 15、在曲线323610y x x x =++-的切线中，斜率最小的切线方程是____________． 16、已知='+=)0(,cos sin )(f x x xe x f x 则__________ 三、解答题（共70分） 17、（10分）、求曲线y =在点18,4⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程．18、（12分）求定积分 =-+-⎰dx x x 40|)3||1(| ____________。
人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用评估验收卷(一)
评估查收卷 (一 )(时间： 120 分钟 满分： 150 分 )一、选择题 (本大题共 12 小题，每题5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求 )1．若 f(x)＝ sin α－ cos x ，则 f ′(x)等于 ( )A ． cos α＋ sin xB ． 2sin α＋ cos xC ． sin xD ． cos x分析：函数是对于 x 的函数，所以 sin α是一个常数．答案： C2．函数 f(x)＝ sin x ＋ cos x 在点 (0， f(0)) 处的切线方程为 ( )A ． x － y ＋ 1＝ 0B ． x － y － 1＝ 0C ． x ＋ y － 1＝ 0D ． x ＋ y ＋ 1＝ 0分析： f ′(x)＝ cos x － sin x ， f ′ (0) ＝ cos 0－ sin 0＝ 1，又 f(0) ＝ sin 0＋ cos 0＝ 1，所以 f(x)在点 (0， f(0)) 处的切线方程为 y － 1＝ x － 0，即 x － y ＋ 1＝ 0.答案： A3．一辆汽车按规律s ＝ at 2＋ 1 做直线运动， 若汽车在t ＝ 2 时的刹时速度为12，则 a ＝ ()1 1A.2B.3C ． 2D ．3分析：由 s ＝ at 2＋ 1 得 v(t)＝ s ′＝ 2at ，依题意 v(2) ＝ 12，所以 2a ·2＝12，得 a ＝ 3. 答案： D4．函数 f(x)＝ x 2－ ln 2x 的单一递减区间是 ( )A. － ∞，－ 2 ，， 220 2B. － 2，0 ， 0， 22 22C. 0， 2D.2，＋ ∞2分析：由于 f ′(x)＝ 2x － 1＝ 2x 2－ 1，当 0＜ x ≤ 2时，x x2f ′ (x) ≤ 0. 答案： C5．函数 f(x)＝ 3x － 4x 3(x ∈ )的最大值是 ()1A ． 1 B.2C ．0D ．－12，令 f ′(x)＝ 0，则 x ＝－1 1，由于 f(0) ＝ 0， f(1)＝－ 1，分析： f ′(x)＝ 3－ 12x(舍去 )或 x ＝221 ＝ 3－ 1＝ 1，所以 f(x)在上的最大值为 1. f 22 2答案： A6．函数 f(x)＝ x 3＋ ax 2＋3x － 9，已知 f(x)在 x ＝－ 3 处获得极值，则 a ＝ ()A ．2B ．3C ．4D ．5分析： f ′(x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋ 3，由于 f ′(－3)＝ 0.所以 3×(－ 3)2＋ 2a ·(－ 3)＋ 3＝ 0，所以 a ＝ 5.答案： D7．做直线运动的质点在随意地点地方受的力F(x)＝ 1＋ e x ，则质点沿着与 F (x)同样的方向，从点 x 1＝ 0 处运动到点 x 2＝ 1 处，力 F (x)所做的功是 ()1A ． 1＋ eB ． e C.e D ． e － 1分析： W ＝ ∫ 10F (x)dx ＝ ∫10(1＋ e x )dx ＝ (x ＋ e x )|10＝ (1＋ e)－ 1＝ e.答案： B8．设函数在定义域内可导， y ＝ f(x)的图象以下图，则导函数的图象可能是 ( )分析： f(x)在 (－ ∞， 0)上为增函数，在 (0，＋ ∞)上变化规律是减 → 增 → 减，所以 f ′(x)的图象在 (－ ∞， 0)上， f ′ (x)＞ 0，在 (0，＋ ∞)上 f ′(x)的符号变化规律是负 → 正→ 负，应选项A 正确．答案： A9． (2014 山·东卷 )直线 y ＝ 4x 与曲线 y ＝ x 3 在第一象限内围成的关闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．432 3分析：直线 y ＝ 4x 与曲线 y ＝ x 交点坐标为 (0， 0)和 (2， 8)，依题意得 ∫S ＝ 0(4x － x )dx ＝ 2x 2－ 1x 4 |02＝ 4.4 答案： D10．定义域为1，则知足 2f(x)＜ x ＋ 1R 的函数 f(x)知足 f(1) ＝ 1，且 f(x)的导函数 f ′(x)＞ 2的 x 的会合为 ( )A ． {x|－1＜ x ＜ 1}B ． {x|x ＜－ 1 或 x ＞ 1}C ． {x|x ＜ 1}D ． {x|x ＞ 1}分析：令 g( x) ＝ 2f(x)－ x － 1，由于 f ′(x)＞ 1，所以 g ′ (x)＝ 2f ′(x)－ 1＞ 0，所以 g(x)为单一2增函数，由于 f(1) ＝1，所以 g(1)＝ 2f(1) － 1－ 1＝ 0，所以当 x ＜ 1 时， g(x)＜ 0，即 2f(x)＜ x ＋1.答案： C1在 (－ ∞，－ 1)上单一递加，则实数 a 的取值范围是 ()11．函数 f( x)＝ x ＋ axA ．C ． (0， 1]D ．(－ ∞，0)∪上为单一减函数，则a 的取值范围是________．分析： f ′(x)＝ 3ax 2－ 3， 由于 f(x)在上为单一减函数，所以 f ′(x)≤0在上恒建立，即 3ax 2－ 3≤0在上恒建立， 所以 a ≤12，由于 x ∈，所以 a ≤ 1.x答案： (－∞， 1]三．解答题 (本大题共 6 小题， 共 70 分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )e x17． (本小题满分 10 分 )设函数 f(x)＝ x ，求函数 f(x)的单一区间．解： f ′(x)＝－1 x1x＝ x － 1 x，2e＋ e x 2 exx 由 f ′(x)＝ 0，得 x ＝ 1.由于当 x ＜ 0 时， f ′ (x)＜ 0；当 0＜x ＜ 1 时， f ′ (x)＜ 0；当 x ＞1 时， f ′ (x)＞ 0.所以 f(x)的单一递加区间是．18． (本小题满分 12 分 )曲线 f(x)＝ x 3 在点 A 处的切线的斜率为3，求该曲线在点 A 处的切线方程．解：可由导数定义求得f ′(x)＝ 3x 2.令 3x 2＝ 3，则 x ＝ ±1.当 x＝1 时，切点为 (1， 1)，所以该曲线在(1， 1)处的切线方程为y－ 1＝ 3(x－ 1)，即 3x－ y－ 2＝ 0；当 x＝－ 1 时，切点坐标为 (－ 1，－ 1)，所以该曲线在 (－ 1，－ 1)处的切线方程为y＋ 1＝ 3(x＋ 1)，即 3x－ y＋ 2＝ 0.综上知，曲线 f(x)＝ x3在点 A 处的切线方程为3x－ y－ 2＝ 0 或 3x－ y＋ 2＝ 0.13219． (本小题满分 12 分 )已知函数 f(x)＝ x － x ＋ ax＋ b 的图象在点 P(0， f(0))处的切线方3程是 3x－ y－ 2＝ 0.(1)求a、 b 的值；(2)设t∈，函数g(x)＝ f(x)＋ (m－ 3)x 在上 (t，＋∞)为增函数，求m 的取值范围．解：(1)f′(x)＝ x2－ 2x＋ a，所以切线的斜率k＝ f ′(0)＝ a，又切线方程为3x－ y－ 2＝ 0，故 a＝ 3.而点 P(0， b)在切线上，则b＝－ 2.(2)由于f(x)＝ 13x3－ x2＋ 3x－ 2，所以132132f(x)＝ 3x － x ＋ 3x－ 2＋ (m－ 3)x＝ 3x － x ＋ mx－ 2，所以 g′(x)＝ x2－ 2x＋m，又 g(x)是 (t，＋∞)上的增函数，所以 g′(x)≥0在 t∈上恒建立，即 t2－ 2t＋ m≥0在 t∈上恒建立，又函数 h(t)＝ t2－ 2t＋ m 在 t∈是减函数，则 h( x)min＝ h(－ 1)＝ m＋ 3≥0，所以 m≥－ 3.20．(本小题满分 12 分 )某个体户计划经销 A，B 两种商品，据检查统计，当投资额为 x(x≥ 0)万元时，在经销 A， B 商品中所获取的利润分别为f(x)万元与 g(x)万元，此中f(x)＝ a(x－ 1)＋2， g(x)＝ 6ln(x＋ b)(a＞ 0， b＞0)．已知投资额为零时利润为零．(1)求 a， b 的值；(2)假如该个体户准备投入 5 万元经销这两种商品，请你帮他拟订一个资本投入方案，使他能获取最大利润．解： (1) 由投资额为零时利润为零，可知 f(0)＝－ a＋ 2＝ 0， g(0) ＝ 6ln b＝ 0，解得 a＝ 2， b＝ 1.(2)由 (1)可得 f(x)＝2x， g(x)＝ 6ln (x＋ 1)．设投入经销 B 商品的资本为x 万元 (0＜ x≤5)，则投入经销 A 商品的资本为 (5－ x)万元，设所获取的利润为S(x)万元，则 S(x)＝ 2(5－x)＋6ln (x ＋ 1)＝ 6ln (x ＋ 1)－ 2x ＋ 10(0 ＜ x ≤ 5)．6S ′ (x)＝－ 2，令 S ′(x)＝ 0，得 x ＝ 2.当 0＜x ＜ 2 时， S ′ (x)＞ 0，函数 S( x)单一递加；当 2＜x ≤5时， S ′ (x)＜ 0，函数 S(x)单一递减．所以，当 x ＝ 2 时，函数 S(x)获得最大值， S(x)max ＝S(2)＝ 6ln 3 ＋ 6≈ 12.6万元．所以，当投入经销A 商品 3 万元，B 商品 2 万元时，他可获取最大利润，利润的最大值约为 12.6 万元．21． (本小题满分 12 分 )设函数 f(x)＝ x(e x － 1)－ ax 2.(1)若 a ＝ 1，求 f(x)的单一区间；2(2)若当 x ≥0时， f(x) ≥0，求 a 的取值范围．解： (1)a ＝12时， f(x)＝ x(ex－ 1)－ 12x 2，xxxf ′ (x)＝ e － 1＋ xe － x ＝ (e － 1)(x ＋ 1)．当 x ∈(－ ∞，－ 1)时， f ′ (x)＞ 0；当 x ∈(－ 1， 0)时， f ′ (x)＜ 0；当 x ∈(0，＋ ∞)时， f ′ (x)＞ 0.故 f(x)在 (－ ∞，－ 1)， (0，＋ ∞)上单一递加，在 (－ 1，0)上单一递减．(2)f(x)＝ x(e x － 1－ ax) ，令 g(x)＝ e x － 1－ ax ，则 g ′(x)＝ e x －a.若 a ≤1，则当 x ∈ (0，＋∞)时，g ′ (x)＞ 0，g(x)为增函数， 而 g(0) ＝ 0，进而当 x ≥0时 g(x) ≥0，即 f(x) ≥0.若 a ＞1，则当 x ∈ (0， ln a)时， g ′ (x)＜ 0，g( x)为减函数，而 g(0)＝ 0，进而当 x ∈(0， lna)时 g(x ＜ 0)， f(x)＜ 0.综上，得 a 的取值范围为 (－ ∞， 1]．22． (本小题满分 312 分 )已知函数 f(x)＝ x － x ，假如过点 (2， m)可作曲线 y ＝ f(x)的三条切线，求 m 的取值范围．解： f ′(x)＝ 3x 2－ 1 ，曲线 y ＝ f (x)在点 M (t ， f(t))处的切线方程为 y － f(t)＝ f ′(t)(x － t)，即 y ＝ (3t 2－ 1)x － 2t 3.假如有一条切线过点 (2， m) ，则存在 t ，使 m＝－ 2t3＋ 6t2－ 2.若过点 (2，m)可作曲线y＝ f(x)的三条切线，则方程 2t3－ 6t2＋ m＋ 2＝ 0 有三个相异的实数根．记 g(t)＝ 2t3－ 6t2＋ m＋ 2，则 g′(t)＝6t2－ 12t＝6t(t－ 2)．令 g′(t)＝ 0，得 t＝ 0 或 t＝ 2.当 t 变化时， g′ (t)， g(t)的变化状况以下表所示：t(－∞， 0)0(0，2)2(2，＋∞) g′(t)＋0－0＋极大值极小值g(t)增函数2＋m 减函数m－ 6增函数由 g(t)的单一性，当极大值2＋ m＜ 0 或极小值m－ 6＞ 0 时，方程 g(t)＝ 0 最多有一个实数根；当 2＋m＝0 或 m－ 6＝ 0 时，方程g(t) ＝0 只有两个相异的实数根；2＋ m＞ 0当时，方程g(t)＝ 0 有三个相异的实数根，m－ 6＜ 0解得－ 2＜ m＜ 6.即假如过 (2， m)可作曲线y＝ f(x)的三条切线，则 m∈ (－ 2， 6)．。
第一章 导数及其应用测试卷 人教A版数学选修2-2 全册测评
第一章 导数及其应用测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( )A ．(cos x )′＝sin xB ．(2πx 2)′＝4π2xC ．(e x )′＝x e x －1 D ．(lg x )′＝1x ln 10解析：∵(cos x )′＝－sin x ，(2πx 2)′＝4πx ，(e x )′＝e x ，(lg x )′＝1x ln 10，∴A 、B 、C选项均不正确，D 选项正确，故选D.答案：D2．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒解析：s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)＝t (t －4)(t －8)，可得t ＝0，或t ＝4，或t ＝8，故选D.答案：D3．曲线y ＝(x －1)e x (e 为自然对数的底数)在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝x －1C ．y ＝e x ＋eD ．y ＝e x －e解析：由y ＝(x －1)e x ，得y ′＝x e x ，∴曲线在点(1,0)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝e ，∴切线方程为y ＝e(x －1)，即y ＝e x －e ，故选D.答案：D4．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成的图形面积是23，则c ＝( )A ．1 B.12C.32D ．2 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝cx 3，得两曲线交于点O (0,0)和点A ⎝⎛⎭⎫1c ，1c 2，∴两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成的图形面积S ＝ (x 2－cx 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14cx 4＝13·1c 3－14·c·1c 4＝112c 3＝23，解得c ＝12，故选B .答案：B5．函数f(x)＝x ＋3x ＋2ln x 的单调递减区间是( )A ．(－3,1)B ．(0,1)C ．(－1,3)D ．(0,3)解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1－3x 2＋2x ＝x 2＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2.由f ′(x)<0，得0<x<1，∴函数f(x)的单调递减区间是(0,1)．故选B . 答案：B6．函数f(x)的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点解析：由导函数f′(x)的图象知，f′(x)＝0有四个根，设这四个根从左到右依次为a，b，c，d，又x∈(－∞，a)时，f(x)单调递增；x∈(a，b)时，f(x)单调递减；x∈(b，c)时，f(x)单调递增；x∈(c，d)时，f(x)单调递减；当c∈(d，＋∞)时，f(x)单调递增，∴a，c为函数的极大值点，b，d为函数f(x)的极小值点，故选C.答案：C7．已知函数f(x)＝x2＋2x－2的图象在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是() A．(－1,3) B．(－1，－3)C．(－2，－3) D．(－2,3)解析：由f(x)＝x2＋2x－2，得f′(x)＝2x＋2，∵函数f(x)在点M处的切线平行于x轴，∴f′(x)＝0，即x＝－1，∴f(－1)＝1－2－2＝－3，∴点M的坐标为(－1，－3)，故选B.答案：B8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是()A．(0,2] B．(0,2)C．[3，2) D．(3，2)解析：由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1,1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2a )2－4×3×1>0－1<－2a 6<1f ′(－1)＝3－2a ＋1>0f ′(1)＝3＋2a ＋1>0，又a >0，解得3<a <2.故选D.答案：D9．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b )解析：令h (x )＝f (x )－g (x )，x ∈[a ，b ]，∴f ′(x )>g ′(x )，∴h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )>0，∴h (x )在区间[a ，b ]上单调递增，当a <x 时，h (a )<h (x )，即f (a )－g (a )<f (x )－g (x )，∴f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )，故选C.答案：C10．已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13B.43 C ．2 D.83解析：由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2，设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0， 所以f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或x ＝－2. 故所求面积.答案：B11．若函数f(x)＝e x (sin x ＋a)在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－2，＋∞)解析：f ′(x)＝e x (sin x ＋a)＋e x ·cos x ＝e x (sin x ＋cos x ＋a)， ∵函数f(x)＝e x (sin x ＋a)在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，且e x >0， ∴sin x ＋cos x ＋a ≥0，即a ≥－(sin x ＋cos x)＝ －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上恒成立． ∵当－π2<x<π2时，－π4<x ＋π4<3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1，∴－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ∈[－2，1)．∴a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)，故选C . 答案：C12．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值范围为( )A ．(－1,2) B.⎝⎛⎭⎫－1，12C.⎝⎛⎭⎫12，2 D ．(－2,1)解析：因为f (x )是奇函数，所以不等式xf ′(x )<f (－x )等价于xf ′(x )<－f (x )，即xf ′(x )＋f (x )<0，即F ′(x )<0.当x ∈(－∞，0]时，函数F (x )单调递减；由于F (x )＝xf (x )为偶函数，所以F (x )在[0，＋∞)上单调递增．所以F (3)>F (2x －1)等价于F (3)>F (|2x －1|)， 即3>|2x －1|，解得－1<x <2. 答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________.解析：由f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，令x ＝2，则f ′(2)＝4＋3f ′(2)，解得f ′(2)＝－2.答案：－214．已知某矩形广场面积为40 000 m 2，则其周长至少为________米．解析：设广场的长为x m ，则宽为40 000x m ，于是其周长为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋40 000x (x >0)，所以y ′＝2⎝⎛⎭⎫1－40 000x 2，令y ′＝0，解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0<x <200时，y ′<0；当x >200时，y ′>0，所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800 m.答案：80015．由曲线y 2＝x ，直线y ＝x －2所围成的封闭图形的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x y ＝x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝2，根据定积分的几何定义可知所求封闭图形的面积.答案：9216．若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是________． 解析：令f(x)＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．显然，当x<－1或x>1时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当－1<x<1时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．所以当x ＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝m ＋2；当x ＝1时，f(x)取极小值f(1)＝m －2.而f(0)＝m ，f(2)＝m ＋2，f(0)<f(2) 因为f(x)＝0在[0,2]上有解，所以⎩⎨⎧f (1)≤0f (2)≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤02＋m ≥0，所以－2≤m ≤2. 答案：[－2,2]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤) 17．(10分)已知函数f(x)＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程． 解析：(1)∵f ′(x)＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝3×22－8×2＋5＝1， 又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5.∴切线方程为y －(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －x 0)又切线过点A(2，－2)，∴－2－(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(2－x 0)，整理，得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或1.∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为 x －y －4＝0或y ＋2＝0.18．(12分)已知函数f(x)＝ln (ax ＋1)＋1－x 1＋x ，x ≥0，其中a>0.(1)若f(x)在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a 的取值范围． 解析：(1)f ′(x)＝a ax ＋1－2(1＋x )2＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2，因为f(x)在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0， 即a ＋a －24(a ＋1)＝0，解得a ＝1. (2)由(1)知f ′(x)＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2，因为x ≥0，a>0，所以ax ＋1>0.①当a ≥2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x)>0，所以f(x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当0<a<2时，由f ′(x)>0解得x>2－aa， 由f ′(x)<0解得x<2－aa， 所以f(x)的单调减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2－a a ，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2－aa ，＋∞. 综上可知，当a ≥2时，f(x)的单调增区间为[0，＋∞)；当0<a<2时，f(x)的单调减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2－a a ，单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－aa ，＋∞. (3)当a ≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1，当0<a<2时，由(2)②知，f(x)在x ＝2－a a 处取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a a <f(0)＝1，综上可知，若f(x)的最小值为1，则a 的取值范围是[2，＋∞)．19．(12分)苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p(万件)与广告费用x(万元)满足p ＝3－2x ＋1(其中0≤x ≤a ，a 为正常数)．已知生产该批产品p 万件还需投入成本(10＋2p)万元(不含广告费用)，产品的销售价格为⎝⎛⎭⎫4＋20p 元/件，假定厂商生产的产品恰好能够售完．(1)将该产品的利润y(万元)表示为广告费用x(万元)的函数； (2)问广告投入多少万元时，厂商的利润最大？ 解析：(1)由题意知，y ＝⎝⎛⎭⎫4＋20p p －x －(10＋2p)， 将p ＝3－2x ＋1代入化简得y ＝16－4x ＋1－x(0≤x ≤a ，a 为正常数)．(2)由(1)知y ′＝－1－－4(x ＋1)2＝－(x ＋1)2＋4(x ＋1)2＝－(x ＋3)(x －1)(x ＋1)2(0≤x ≤a ，a 为正常数)． ①当a>1时，在区间(0,1)上，y ′>0，函数在(0,1)上单调递增； 在区间(1，a)上，y ′<0，函数在(1，a)上单调递减． 则广告费用投入1万元时，厂商的利润最大． ②当a ≤1时，函数在[0，a]上单调递增，所以x ＝a 时，函数有最大值，即广告费用投入a 万元时，厂商的利润最大． 综上所述，当a>1时，广告费用投入1万元，厂商的利润最大；当a ≤1时，广告费用投入a 万元，厂商的利润最大．20．(12分)已知F(x)＝⎠⎛x －1t(t －4)d t ，x ∈(－1，＋∞)．(1)求F(x)的单调区间； (2)求函数F(x)在[1,5]上的最值．解析：F(x)＝＝13x 3－2x 2－⎝⎛⎭⎫－13－2＝13x 3－2x 2＋73(x>－1)． (1)F ′(x)＝⎝⎛⎭⎫13x 3－2x 2＋73′＝x 2－4x ， 由F ′(x)>0，即x 2－4x>0，得－1<x<0或x>4； 由F ′(x)<0，即x 2－4x<0，得0<x<4，所以F(x)的单调递增区间为(－1,0)和(4，＋∞)，单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F(x)在[1,4]上递减，在[4,5]上递增．因为F(1)＝13－2＋73＝23，F(4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F(5)＝13×53－2×52＋73＝－6， 所以F(x)在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253. 21．(12分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )(1)若函数f (x )在x ＝1处有极值为10，求b 的值；(2)对任意a ∈[－1，＋∞)，f (x )在区间(0,2)单调递增，求b 的最小值；(3)若a ＝1，且过点(－2,0)能作f (x )的三条切线，求b 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意：f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0①，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10②由①②解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝3； 经检验当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3时无极值点，当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11时函数f (x )在x ＝1处有极小值， 故b ＝－11.(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对∀a ∈[－1，＋∞)，当x ∈(0,2)恒成立记h (a )＝3x 2＋2ax ＋b ＝(2x )a ＋3x 2＋b ，∴h (a )min ＝h (－1)＝3x 2－2x ＋b ≥0又设H (x )＝3x 2－2x ＋b ，当x ∈(0,2)时H (x )min ＝H ⎝⎛⎭⎫13＝－13＋b ≥0， b ≥13，∴b 的最小值为13. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 3＋x 2＋bx ＋1，设切点为P (x 0，y 0)，则切线斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋2x 0＋b ＝f (x 0)x 0＋2， ∴2x 30＋7x 20＋4x 0＋2b －1＝0，设F (x 0)＝2x 30＋7x 20＋4x 0＋2b －1，过点(－2,0)能作f (x )三条切线等价于F (x 0)有三个零点F ′(x 0)＝6x 20＋14x 0＋4＝2(3x 0＋1)(x 0＋2)令⎩⎪⎨⎪⎧F (－2)>0F ⎝⎛⎭⎫－13<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋3>02b －4427<0， ∴b ∈⎝⎛⎭⎫－32，2227. 22．(12分)已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a >0，证明：当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )；(3)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>0. 解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由已知，得f ′(x )＝x ＋1－a －a x ＝x 2＋(1－a )x －a x ＝(x ＋1)(x －a )x. 若a ≤0，则f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则令f ′(x )＝0，得x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.此时f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(2)令g (x )＝f (a ＋x )－f (a －x )，则g (x )＝12(a ＋x )2＋(1－a )(a ＋x )－a ln(a ＋x )－⎣⎡⎦⎤12(a －x )2＋(1－a )(a －x )－a ln (a －x )＝2x －a ln(a ＋x )＋a ln(a －x )． 所以g ′(x )＝2－a a ＋x －a a －x ＝2x 2x 2－a 2. 当0<x <a 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，a )上是减函数． 而g (0)＝0，所以g (x )<g (0)＝0.故当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )．(3)由(1)可知，当a ≤0时，函数f (x )至多有一个零点， 故a >0，从而f (x )的最小值为f (a )，且f (a )<0. 不妨设0<x 1<x 2，则0<x 1<a <x 2，所以0<a －x 1<a . 由(2)得f (2a －x 1)<f (x 1)＝0＝f (x 2)，从而x 2>2a －x 1，于是x 1＋x 22>a . 由(1)知，f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.。
最新人教A版高中数学选修2-2 第一章 导数及其应用 综合检测习题(含答案解析)
第一章导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为( )A．v＝2sin t＋2t cos t＋1B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin tD．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )A．4B．5C．6D．7[答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x ＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D.4．函数y＝x|x(x－3)|＋1( )A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3[答案] B[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3) ∴y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3)x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋＋－＋f (x )无极值极大值5极小值1极大极小故应选B.5．(2009·安徽理，9)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3 [答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式． ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴f (2－x )＝2f (x )－x 2－4x ＋4， ∴f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1. 6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， ∵f (x )在x ＝－3时取得极值， ∴x ＝－3是方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根， ∴a ＝5，故选D.7．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2010·湖南理，5)⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 [答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎛241xdx ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图 过A ⎝⎛⎭⎪⎫－6，－32得z 最大， 最大值为b ＋c ＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) [答案] C [解析] 令F (x )＝f (x )g (x )则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数∴F (x )在R 上为递减函数， 当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13.⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝________.[答案]772[解析] 取F (x )＝－110(5x ＋11)2，从而F ′(x )＝1(11＋5x )3则⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝F (－1)－F (－2) ＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772.14．若函数f (x )＝ax 2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，x ＝n n ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1， ∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x .因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3′＝2x －x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2′＝2x 2－4x ，所以S ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2⎪⎪⎪2＝4.19．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点． 当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值；(2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．[分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上递减，求a 的值； (2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由．[解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ·23＝0，即a ＝1.(2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. ①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23，f (x )min ＝f ′(0)＝0.此时0≤tan θ≤a 23. ②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a －3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，arctan a 23， 当a >3时，θ∈[0，arctan(2a －3)]．(3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0，显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点．。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：第一章导数及其应用章末复习Word版含答案
1．对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和
Δx→ 0 的方式，导数是函数的增量
Δy
Δy
f x0＋ Δx － f x0
Δy 与自变量的增量
Δx 的比 Δx的极限，即
lim
Δx →0
Δx
＝
lim
Δx→ 0
Δx
.
函数 y＝ f(x)在点 x0 处的导数的几何意义， 就是曲线 y＝ f(x)在点 P(x0，f(x0)) 处的切线的斜率．
＋
0
－
0
＋
极大值
此时 f( x)在
a－ 0，
a2－ 8 上单调递增， 2
在 a－
a2 － 8 a＋ ，
a2－ 8 上单调递减，
2
2
在
a＋
a2 － 8
2
，＋ ∞
上单调递增．
极小值
跟踪演练 2 求下列函数的单调区间： (1) f(x)＝ (x－ 3)ex， x∈ (0，＋∞ ) ； (2) f(x)＝ x(x－ a)2. 解 (1)f ′ (x)＝ (x－ 3)′ ex＋ (x－ 3)(ex)′ ＝ (x－ 2)ex，令 f′ (x)＞ 0，解得 x＞ 2，又 x∈ (0，＋ ∞)，
即 l 1 的方程为 x＋y－ 1＝ 0.
(2) 直线 l 2 过原点，则
k＝
y0 x0(
x0≠
0)
，
由点 (x0 ， y0)在曲线 C 上，得 y0＝ x30－ 3x20＋2x0，
∴ yx00＝ x20－ 3 x0＋ 2. ∵y′ ＝ 3x2－ 6x＋2，∴ k＝ 3x20－6x0＋ 2.
又
k＝ y0，∴ x0
值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，
高中数学第一章导数及其应用章末检测试卷新人教A版选修2-2(2021年整理)
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第一章导数及其应用章末检测试卷（一)(时间：120分钟满分:150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．由曲线y＝x2，直线y＝0和x＝1所围成的图形的面积是（）A。
错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案C解析由题意知,其围成的图形的面积为ʃ10x2d x＝错误!错误!＝错误!。
2．函数f（x）的定义域为开区间(a,b），导函数f′（x）在(a，b）内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间（a，b)内极小值点的个数为（）A．1 B．2C．3 D．0考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用答案A解析设极值点依次为x1，x2，x3且a<x1〈x2<x3〈b，则f(x）在（a，x1)，(x2，x3）上单调递增，在（x1，x2)，(x3，b）上单调递减,因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点．3．已知某物体运动的路程与时间的关系为s＝错误!t3＋ln t,则该物体在t＝4时的速度为（)A。
错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!考点求瞬时速度题点用极限的思想求瞬时速度答案D解析s′(t)＝t2＋错误!，则该物体在t＝4时的速度为s′｜t＝4＝42＋错误!＝错误!。
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【金版学案】2015-2016高中数学 第一章 导数及其应用章末过关检测卷 新人教A 版选修2-2(本部分在学生用书单独成册) (测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝(B) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 分析：本题考查函数与导数．解析：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，则此函数为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.2. 一辆汽车按规律s ＝at 2＋1作直线运动，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，则a ＝(D) A.12 B.13C ．2D ．3 解析：由s ＝at 2＋1得v (t )＝s ′＝2at ，依题意v (2)＝12，所以2a ×2＝12，得a ＝3.故选D.3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝(D)A ．0B ．1C ．2D ．3解析：因为y ′＝a －1x ＋1，所以a －1＝2，解得a ＝3.故选D.4．(2015·郑州二模改编)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，若g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝(B)A ．－1B ．0C ．2D ．3解析：由题意直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，由图像可知其切点为(3，1)代入直线方程得k ＝－13，所以f ′(x )＝－13，g ′(x )＝(xf (x ))′＝x ′f (x )＋xf ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.故选B.5．(2014·泰安高二检测)函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是(C)A ．2B ．1C ．0D ．由a 确定解析：f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立，所以f (x )在R 上单调递增，故f (x )无极值点，选C.6．(2015·四川南充市第三次适应性考试)若函数f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′（－1）f （－1）＝(D)A ．－34 B.34 C ．－56 D ．－65解析：因为f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，所以f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，得f ′(1)＝－2，所以f (x )＝－4x ＋x 2，则f (－1)＝5，而f ′(x )＝－4＋2x ，所以f ′(－1)＝－6，即f ′（－1）f （－1）＝－65.故选D.7．(2014·山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(D) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4 解析：由已知得，S ＝20(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4|20＝4，故选D. 8．函数y ＝f (x )在定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如下图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为(A)A.⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2，3]B.⎣⎡⎦⎤－1，12∪⎣⎡⎦⎤43，83 C.⎣⎡⎦⎤－32，12∪[1，2] D.⎝⎛⎦⎤－32，－1∪⎣⎡⎦⎤12，43∪⎣⎡⎭⎫83，3 解析：依题意，当f ′(x )≤0时，函数y ＝f (x )是减函数，由图象知，x ∈⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2，3]，选择A.9．在函数y ＝x 3－8x 的图象上，其切线的倾斜角小于π4的点中，坐标为整数的点的个数是(D)A ．3B ．2C ．1D ．0解析：由于y ′＝(x 3－8x )′＝3x 2－8，由题意，得0<3x 2－8<1，83<x 2<3，解得－3<x <－236，236<x <3，所以整数x 不存在，故不等式的整数解有0个．故选D.10．(2015·深圳第一次调研)函数f (x )＝x ＋1ax 在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值范围是(D)A ．[1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，1]C ．(0，1]D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)解析：f ′(x )＝1－1ax 2，依题意，f ′(x )>0在(－∞，1)上恒成立，即1－1ax 2>0在(－∞，－1)上恒成立．当a <0时，1－1ax 2>0在(－∞，－1)上恒成立，排除选项A 、C ；取a ＝2，因为x <－1，所以x 2>1，所以0<1x 2<1，所以0<12x 2<12，所以1－1ax 2>0在(－∞，－1)上成立．所以a ＝2符合条件．故选D.11．(2015·江苏启东中学调研测试改编)函数f (x )＝x 2e x 在区间(a ，a ＋1)上存在极值点，则实数a 的取值范围是(B)A ．(－3，－1)∪(0，2)B ．(－3，－2)∪(－1，0)C ．(－2，－1)∪(0，3)D ．(－3，－2)∪(0，1)解析：函数f (x )＝x 2e x 的导数为y ′＝2xe x ＋x 2e x ＝xe x (x ＋2)，令y ′＝0，则x ＝0或x ＝－2，当x ∈(－2，0)时f (x )单调递减，当x ∈(－∞，－2)和x ∈(0，＋∞)时f (x )单调递增，所以0和2是函数的极值点，因为函数f (x )＝x 2e x 在区间(a ，a ＋1)上存在极值点，所以a <－2<a ＋1或a <0<a ＋1⇒－3<a <－2或－1<a <0.故选B.12．(2015·新课标Ⅱ卷)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(A)A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)解析：记函数g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，因为当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，故当x ＞0时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减；又因为函数f (x )(x ∈R)是奇函数，故函数g (x )是偶函数，所以g (x )在(－∞，0)单调递减，且g (－1)＝g (1)＝0.当0＜x ＜1时，g (x )＞0，则f (x )＞0；当x ＜－1时，g (x )＜0，则f (x )＞0，综上所述，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)13.(e x －2x )d x ＝________．解析：(e x －2x )d x ＝(e x －x 2)|10＝e －2.答案：e －214．(2014·广东省百所高中11月联考)曲线y ＝x ＋1x 2(x >0)在点(1，2)处的切线方程为____________．解析：y ′＝x 2－2（x ＋1）x x 4＝－x 2－2x x 4＝－x －2x 3，所以过点(1，2)的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝－3，所以切线方程为y －2＝－3(x －1)，即3x －y －5＝0.答案：3x －y －5＝015．(2014·南京高二检测)直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有三个相异的公共点，则a 的取值范围是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f (x )的极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图所示，－2<a <2时，恰有三个不同公共点．答案：(－2，2)16．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ________．解析：所以＝a 12＝23，所以a ＝49.答案：49三、解答题(本大题共6小题，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分11分)设函数f (x )＝e xx ，求函数f (x )的单调区间．解析：f ′(x )＝－1x 2e x ＋1x e x ＝x －1x2e x ，由f ′(x )＝0，得x ＝1.因为当x ＜0时，f ′(x )＜0；当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，(0，1]．18．(本小题满分11分)曲线f (x )＝x 3在点A 处的切线的斜率为3，求该曲线在点A 处的切线方程．解析：可由导数定义求得f ′(x )＝3x 2. 令3x 2＝3，则x ＝±1.当x ＝1时，切点为(1，1)，所以该曲线在(1，1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0；当x ＝－1时，切点坐标为(－1，－1)，所以该曲线在(－1，－1)处的切线方程为y ＋1＝3(x ＋1)，即3x －y ＋2＝0.19．(本小题满分12分)一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为10 km/h 的燃料费是6元/时，而其他与速度无关的费用是96元/时，问轮船以何种速度航行时，能使行使路程的费用总和最小？解析：设船的行使速度为x (x >0)km/h 时，燃料费用为Q 元/时，则Q ＝kx 3. 则6＝k ·103，所以k ＝3500，从而Q ＝3x 3500.设总费用为y 元，行驶路程为a ，则 y ＝(3x 3500＋96)·a x ＝(3x 2500＋96x )a ，所以y ′＝(6x 500－96x2)a ，令y ′＝0，得6（x 3－800）500x 2＝0，得x ＝20，且x ∈(0，20)时，y ′<0；x ∈(20，＋∞)时，y ′>0，所以当x ＝20时，y 最小．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两根分别为1，4.(1)当a ＝3，且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．解析：由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根分别为1，4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*) (1)当a ＝3时，由(*)得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12.又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0. 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”，等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)，解⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9（a －1）（a －9）≤0，得a ∈[1，9]， 即a 的取值范围是[1，9]．21．(本小题满分12分)(2015·深圳第一次调研改编)已知a ，b ∈R ，函数f (x )＝(ax ＋2)ln x ，g (x )＝bx 2＋4x －5，且曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处有相同的切线．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ≠1时，曲线y ＝f (x )恒在曲线y ＝g (x )的下方． 解析：(1)因为f ′(x )＝a (ln x ＋1)＋2x ，g ′(x )＝2bx ＋4，所以f ′(1)＝a ＋2，g ′(1)＝2b ＋4，又因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在点(1，0)处有相同的切线， 所以f (1)＝0＝g (1)＝b ＋4－5，f ′(1)＝g ′(1)， 即b ＝1，a ＋2＝2＋4， 解得a ＝4，b ＝1.(2)要使得当x ≠1时，曲线y ＝f (x )恒在曲线y ＝g (x )的下方， 即需证f (x )<g (x )(x ≠1)，不妨设F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )＝(4x ＋2)ln x －x 2－4x ＋5， 求导得F ′(x )＝4ln x ＋4x ＋2x －2x －4＝4ln x ＋2x －2x ，令G (x )＝F ′(x )，所以G ′(x )＝4x －2x 2－2＝－2（x －1）2x 2≤0恒成立，所以F ′(x )在(0，＋∞)上单调递减． 又因为F ′(1)＝0，所以当x ∈(0，1)，F ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)，F ′(x )<0， 所以F (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 即当x ＝1时，F (x )取得最大值F (1)＝0， 当x ≠1时，F (x )<F (1)＝0，即f (x )<g (x )，所以当x ≠1时，曲线y ＝f (x )恒在曲线y ＝g (x )的下方．22．(本小题满分12分)(2015·高考北京卷改编)已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围． 解析：(1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3. 令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22. 因为f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎫－22＝2，f ⎝⎛⎭⎫22＝－2，f (1)＝－1， 所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)， 因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)．整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0.设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”． g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)． g (x )与g ′(x )的情况如下：当g (0)＝t ＋3≤0，即t ≤－3时，此时g (x )在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点．当g (1)＝t ＋1≥0，即t ≥－1时，此时g (x )在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(0)>0且g(1)<0，即－3<t<－1时，因为g(－1)＝t－7<0，g(2)＝t＋11>0，所以g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有个零点．由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，－∞)上恰有1个零点．综上可知，当过点P(1，t)存在条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．。