圆锥曲线试题及答案

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(完整word版)圆锥曲线经典练习题及答案

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一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答大足二中 欧国绪直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄,则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3(C) I (D ) 2.设F 为抛物线 c : y 2=4x 的焦点, 曲线 ky= ( k>0)与C 交于点P , PF 丄x 轴,则k= x(B )1 3 (C)—2(D )23•双曲线 2 x C : Ta 2y_1(a 0,b 0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为'、3,贝U C的焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4D.4•已知椭圆 C :0)的左右焦点为 F i ,F 2,离心率为丄3,过F 2的直线l3交C 与A 、B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3,则C 的方程为()2 A. x_3 B. 2x 2彳 xr y 1C.2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2a 1(a 0,b 0)的一条渐近线平行于直线 I :y 2x 10,双曲 2 B — 20 2为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为( 也1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧, c 3x 21 C.— 25 占 八、、的焦点, uu uuuOA OB A 、2 (其中O 为坐标原点),则-1^/2 87.抛物线 =X 2的准线方程是4(A) y (B)2(C)) D M 辽.100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是( )x 1(D)8•已知点A( 2,3)在抛物线C:2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为A. 4B. 13C.D.9.设F为抛物线C A, B两点,贝S AB =(A)旦3 2 c:y =3x(B)10.已知抛物线C: 的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交于C于(C) 12 (D)7、、3x的焦点为F , A X o, y0是C上一点, AF 5 冲4X0,则X o ()A. 1B. 2C. 4x2 11.已知双曲线—a拆A. 2 B.- D. 82y3、5C. -D.121(a 0)的离心率为2,则a20)与C 交于点P , PF 丄x 轴,所以- 2,所以k=2 ,1选D.3.C4.A5.A••• - 2,0 2c 10, A c 5, a 2 5, b 2 20, a2 2A x- y_ 1.5206. B试卷答案 1.B试题分析:如图,在椭圆中, OF c, OB b, OD 2b -b2在 Rt OFB 中,| OF | |OB| |BF | |OD |,且 a 2 b 22c ,代入解得x2 2 a 4c ,所以椭圆的离心率为: e 1,故选B. k焦点F(1,0),又因为曲线y (k xy2= x ••• F(],0),设人(%2,%)弋(『22°2),%>0, y2<0, B=v OAOB>4OAOB= y^y^ + y』2 = 2 • (y』2+ 2)(%丫2-1) = 0,即yy = -21 1 1 1 - •…S从OF = ?- ?y1, S^A OB = ?OA?OB?sin 0= -?OAOB?tan 0= tan 0cos0=驴!. 4 22 4 2= < 222|OA||OB| W + y1 肛 + y2 2讥%+1)(y2 +1)1_______ = 1/2 2 2 2 - ,i'~2 2 - ■ y1 y2 + y1 + y2 + 1 , y1 + y2 +5i14 2 i14 2 2,— ----------- 川+4y1 +4 卩+4y1 +4 % + 2 2--tan 0= 比+ y2 + 4 = = = 一= y1 +y1 *y1 y1 + S 从OB =鲁+ %+ —= 98y1+ —8 y1 8 y17. A8. C【答SIC【解析】试題分析;由已知得,抛物柱於=2四的谁竝方程为兀=一彳,且过点故一彳=一2,则左二4,2 2-r 3-0 3戸(2卫>则直线AF的斜率肛=-- =—「选U-2-24【考点定位】1、抛物线的标准方程和简单几何性质;2、直线的斜率.9. C3设AF = 2m, BF = 2n, F(-,0).则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,43 3 3 32m=2?—+ ..3m,2n=2?—- 3n,解得m= —(2+、3),n 二(2八3), • m+n =6.4 4 2 2AB= AF + BF = 2m+ 2n = 12故选C.10. A根据抛物线的定义可知AF1 5X0 - - X0,解之得X0 1 .选A4 411.D 注??:=3.选 BS AAOF2 3由双曲线的离心率可得7a------- 2,解得a 1,选D.a。

高二数学圆锥曲线试题答案及解析

高二数学圆锥曲线试题答案及解析

高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知椭圆的离心率,右焦点为,方程的两个实根,,则点()A.必在圆内B.必在圆上C.必在圆外D.以上三种情况都有可能【答案】A【解析】本题只要判断与2的大小,时,点在圆上;时,点在圆内;时,点在圆外.由已知,,椭圆离心率为,从而,点在圆内,故选A.【考点】1.点与圆的位置关系;2.二次方程根与系数的关系.2.若抛物线y2=4x上的点A到其焦点的距离是6,则点A的横坐标是( )A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】由抛物线的方程可知抛物线的准线为,根据抛物线的定义可知点到其准线的距离也为6,即,所以。

故A正确。

【考点】抛物线的定义。

3.设一个焦点为,且离心率的椭圆上下两顶点分别为,直线交椭圆于两点,直线与直线交于点.(1)求椭圆的方程;(2)求证:三点共线.【答案】(1)(2)详见解析.【解析】(1)利用椭圆的定义和几何性质;(2)直线与圆锥曲线相交问题,可以设而不求,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理结合题目条件来证明.试题解析:(1)由题知,,∴,3分∴椭圆.4分(2) 设点,由(1)知∴直线的方程为,∴.5分∴,,8分由方程组化简得:,,.10分∴,∴三点共线.12分【考点】1.椭圆的标准方程;2.直线与圆锥曲线相交问题;3.韦达定理.4.已知双曲线的右焦点为,若过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】由渐进线的斜率.又因为过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,所以.所以.故选A.本小题关键是对比渐近线与过焦点的直线的斜率的大小.【考点】1.双曲线的渐近线.2.离心率.3.双曲线中量的关系.5.点P是抛物线y2 = 4x上一动点,则点P到点(0,-1)的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是 .【答案】【解析】抛物线y2 = 4x的焦点,点P到准线的距离与点P到点F的距离相等,本题即求点P到点的距离与到点的距离之和的最小值,画图可知最小值即为点与点间的距离,最小值为.【考点】抛物线的定义.6.准线方程为x=1的抛物线的标准方程是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可知:=1,∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为:y2=-2px,将p代入可得y2=-4x.选A.【考点】抛物线的性质点评:本题主要考查抛物线的基本性质以及计算能力.在涉及到求抛物线的标准方程问题时,一定要先判断出焦点所在位置,避免出错.7.动点到两定点,连线的斜率的乘积为(),则动点P在以下哪些曲线上()(写出所有可能的序号)①直线②椭圆③双曲线④抛物线⑤圆A.①⑤B.③④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤【答案】C【解析】由题设知直线PA与PB的斜率存在且均不为零所以kPA •kPB=,整理得,点P的轨迹方程为kx2-y2=ka2(x≠±a);①当k>0,点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A,B两点)②当k=0,点P的轨迹是x轴(除去A,B两点)③当-1<k<0时,点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去A,B两点)④当k=-1时,点P的轨迹是圆(除去A,B两点)⑤当k<-1时,点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去A,B两点).故选C.【考点】圆锥曲线的轨迹问题.点评:本题考查圆锥曲线的轨迹问题,解题时要认真审题,注意分类讨论思想的合理运用.8.已知F1,F2是椭圆 (a>b>0)的左,右焦点,点P是椭圆在y轴右侧上的点,且∠F1PF2=,记线段PF1与y轴的交点为Q,O为坐标原点,若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2,则该椭圆的离心率等于【答案】-1【解析】根据题意,由于F1,F2是椭圆 (a>b>0)的左,右焦点,点P是椭圆在y轴右侧上的点,且∠F1PF2=,且有△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2,则可知为点P到x轴的距离是Q到x轴距离的3:2倍,那么结合勾股定理可知该椭圆的离心率等于-1 ,故答案为-1 。

圆锥曲线综合测试题(含详细答案)

圆锥曲线综合测试题(含详细答案)

圆锥曲线测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.抛物线y =-14x 2的准线方程为( )A .x =116B .x =1C .y =1D .y =2解析: 抛物线的标准方程为x 2=-4y , 准线方程为y =1. 答案: C2.以x 24-y 212=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216+y 212=1 B.x 212+y 216=1 C.x 216+y 24=1 D.x 24+y 216=1 解析: 双曲线x 24-y 212=-1的焦点坐标为(0,±4),顶点坐标为(0,±23),故所求椭圆的焦点在y 轴上,a =4,c =23, ∴b 2=4,所求方程为x 24+y 216=1,故选D. 答案: D3.设P 是椭圆x 2169+y 2144=1上一点,F 1、F 2是椭圆的焦点,若|PF 1|等于4,则|PF 2|等于( )A .22B .21C .20D .13解析: 由椭圆的定义知,|PF 1|+|PF 2|=26, 又∵|PF 1|=4,∴|PF 2|=26-4=22. 答案: A4.双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22,0B.⎝⎛⎭⎫52,0C.⎝⎛⎭⎫62,0D .(3,0)解析: 将双曲线方程化为标准方程为x 2-y 212=1,∴a 2=1,b 2=12,∴c 2=a 2+b 2=32,∴c =62, 故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62,0.答案: C 5.若抛物线x 2=2py的焦点与椭圆x 23+y 24=1的下焦点重合,则p 的值为( )A .4B .2C .-4D .-2解析: 椭圆x 23+y 24=1的下焦点为(0,-1),∴p2=-1,即p =-2. 答案: D6.若k ∈R ,则k >3是方程x 2k -3-y 2k +3=1表示双曲线的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件解析: 方程x 2k -3-y 2k +3=1表示双曲线的条件是(k -3)(k +3)>0,即k >3或k <-3.故k >3是方程x 2k -3-y 2k +3=1表示双曲线的充分不必要条件.故选A. 答案: A7.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1→·MF 2→=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )A .(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0,12 C.⎝⎛⎭⎫0,22 D.⎣⎡⎭⎫22,1解析: 由MF 1→·MF 2→=0可知点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上,要使点M 总在椭圆内部,只需c <b ,即c 2<b 2,c 2<a 2-c 2,2c 2<a 2, 故离心率e =c a <22.因为0<e <1,所以0<e <22. 即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫0,22.故选C. 答案: C8.已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线y =2x -4与C 交于A ,B 两点,则cos ∠AFB =( )A.45B.35 C .-35D .-45解析 方法一:由⎩⎪⎨⎪⎧ y =2x -4,y 2=4x ,得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =-2或⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =4.令B (1,-2),A (4,4),又F (1,0),∴由两点间距离公式得|BF |=2,|AF |=5,|AB |=3 5. ∴cos ∠AFB =|BF |2+|AF |2-|AB |22|BF |·|AF |=4+25-452×2×5=-45.方法二:由方法一得A (4,4),B (1,-2),F (1,0), ∴F A →=(3,4),FB →=(0,-2), ∴|F A →|=32+42=5,|FB →|=2.∴cos ∠AFB =F A →·FB→|F A →|·|F B →|=3×0+4×(-2)5×2=-45.答案: D9.F 1、F 2是椭圆x 29+y 27=1的两个焦点,A 为椭圆上一点,且∠AF 1F 2=45°,则△AF 1F 2的面积为( )A .7 B.72 C.74D.752解析: |F 1F 2|=22,|AF 1|+|AF 2|=6,|AF 2|=6-|AF 1|.|AF 2|2=|AF 1|2+|F 1F 2|2-2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° =|AF 1|2-4|AF 1|+8(6-|AF 1|)2 =|AF 1|2-4|AF 1|+8,∴|AF 1|=72.S =12×72×22×22=72. 答案: B10.已知点M (-3,0)、N (3,0)、B (1,0),动圆C 与直线MN 切于点B ,过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ,则P 点的轨迹方程为( )A .x 2-y 28=1(x >1) B .x 2-y 28=1(x <-1) C .x 2+y 28=1(x >0) D .x 2-y 210=1(x >1) 解析: 设圆与直线PM 、PN 分别相切于E 、F , 则|PE |=|PF |,|ME |=|MB |,|NB |=|NF |. ∴|PM |-|PN |=|PE |+|ME |-(|PF |+|NF |) =|MB |-|NB |=4-2=2<|MN |.所以点P 的轨迹是以M (-3,0),N (3,0)为焦点的双曲线的一支,且a =1, ∴c =3,b 2=8, ∴所以双曲线方程是x 2-y 28=1(x >1). 答案: A11.(2009全国卷Ⅰ理)已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 (D). 3解:过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ,易知FN=1.由题意3FA FB =,故2||3BM =.又由椭圆的第二定义,得222||233BF =⋅=||2AF ∴=.故选A 12.(2009山东卷理)设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ).A.45B. 5C. 25D.5【解析】:双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得210b x x a -+=有唯一解,所以△=2()40ba-=, 所以2b a =,2221()5c a b b e a a a+===+=,故选D.答案:D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 11.若双曲线的渐近线方程为y =±13x ,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的标准方程是________.解析: 由双曲线的渐近线方程为y =±13x ,知b a =13,它的一个焦点是(10,0),知a 2+b 2=10, 因此a =3,b =1,故双曲线的方程是x 29-y 2=1.答案: x 29-y 2=112.若过椭圆x 216+y 24=1内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是________.解析: 设直线方程为y -1=k (x -2),与双曲线方程联立得(1+4k 2)x 2+(-16k 2+8k )x +16k 2-16k -12=0, 设交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=16k 2-8k 1+4k 2=4,解得k =-12, 所以直线方程为x +2y -4=0. 答案: x +2y -4=013.如图,F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的左、右焦点,点P 在椭圆上,△POF 2是面积为3的正三角形,则b 2的值是________.解析: ∵△POF 2是面积为3的正三角形, ∴12c 2sin 60°=3, ∴c 2=4, ∴P (1,3),∴⎩⎪⎨⎪⎧1a 2+3b 2=1,a 2=b 2+4,解之得b 2=2 3. 答案: 2 314.已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则y 21+y 22的最小值是________.解析: 显然x 1,x 2≥0,又y 21+y 22=4(x 1+x 2)≥8x 1x 2, 当且仅当x 1=x 2=4时取等号,所以最小值为32. 答案: 32三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在x 轴上,且经过点(2,0)和点(0,1);(2)焦点在y 轴上,与y 轴的一个交点为P (0,-10),P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解析: (1)因为椭圆的焦点在x 轴上, 所以可设它的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)∴⎩⎨⎧22a 2+0b 2=10a 2+1b 2=1,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4b 2=1,故所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上,所以可设它的标准方程为 y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0), ∵P (0,-10)在椭圆上,∴a =10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2, ∴-c -(-10)=2,故c =8,∴b 2=a 2-c 2=36. ∴所求椭圆的标准方程是y 2100+x 236=1.18.(12分)已知双曲线与椭圆x 29+y 225=1共焦点,它们的离心率之和为145,求双曲线方程.解析: 由椭圆方程可得椭圆的焦点为F (0,±4), 离心率e =45,所以双曲线的焦点为F (0,±4),离心率为2, 从而c =4,a =2,b =2 3. 所以双曲线方程为y 24-x 212=1.19.(12分)设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率e =32.已知点P ⎝⎛⎭⎫0,32 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆的方程.解析: 设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),M (x ,y )为椭圆上的点,由c a =32得a =2b .|PM |2=x 2+⎝⎛⎭⎫y -322=-3⎝⎛⎭⎫y +122+4b 2+3(-b ≤y ≤b ), 若b <12,则当y =-b 时,|PM |2最大,即⎝⎛⎭⎫b +322=7, 则b =7-32>12,故舍去.若b ≥12时,则当y =-12时,|PM |2最大,即4b 2+3=7,解得b 2=1.∴所求方程为x 24+y 2=1.20.(12分)已知椭圆的长轴长为2a ,焦点是F 1(-3,0)、F 2(3,0),点F 1到直线x =-a 23的距离为33,过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点,使得|F 2B |=3|F 2A |.(1)求椭圆的方程; (2)求直线l 的方程.解析: (1)∵F 1到直线x =-a 23的距离为33,∴-3+a 23=33.∴a 2=4. 而c =3, ∴b 2=a 2-c 2=1. ∵椭圆的焦点在x 轴上, ∴所求椭圆的方程为x 24+y 2=1.(2)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2). ∵|F 2B |=3|F 2A |,∴⎩⎪⎨⎪⎧3=x 2+3x 11+3,0=y 2+3y 11+3,⎩⎪⎨⎪⎧x 2=43-3x 1,y 2=-3y 1.∵A 、B 在椭圆x 24+y 2=1上,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214+y 21=1,(43-3x 1)24+(-3y 1)2=1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1=1033,y 1=233(取正值).∴l 的斜率为233-01033-3= 2.∴l 的方程为y =2(x -3), 即2x -y -6=0.21.(12分)已知直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点F ,且与抛物线相交于A 、B 两点.(1)若|AF |=4,求点A 的坐标; (2)求线段AB 的长的最小值. 解析: 由y 2=4x ,得p =2, 其准线方程为x =-1,焦点F (1,0). 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). (1)由抛物线的定义可知.|AF |=x 1+p2,从而x 1=4-1=3.代入y 2=4x ,解得y 1=±2 3.∴点A 的坐标为(3,23)或(3,-23). (2)当直线l 的斜率存在时, 设直线l 的方程为y =k (x -1).与抛物线方程联立,得⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1)y 2=4x,消去y ,整理得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0, 因为直线与抛物线相交于A 、B 两点, 则k ≠0,并设其两根为x 1,x 2, 则x 1+x 2=2+4k 2.由抛物线的定义可知, |AB |=x 1+x 2+p =4+4k2>4,当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =1,与抛物线交于A (1,2),B (1,-2),此时|AB |=4.所以|AB |≥4,即线段AB 的长的最小值为4.22.(12分)如图,椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,x 轴被曲线C 2:y =x 2-b截得的线段长等于C 1的长半轴长.(1)求C 1,C 2的方程.(2)设C 2与y 轴的交点为M ,过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ,B ,直线MA ,MB 分别与C 1相交于点D ,E .证明:MD ⊥ME .解析: 由题意知e =c a =32,从而a =2b .又2b =a ,所以a =2,b =1.故C 1,C 2的方程分别为x 24+y 2=1,y =x 2-1.(2)证明:由题意知,直线l 的斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为y =kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ,y =x 2-1,得x 2-kx -1=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两个实根,于是x 1+x 2=k ,x 1x 2=-1. 又点M 的坐标为(0,-1),所以k MA ·k MB =y 1+1x 1·y 2+1x 2=(kx 1+1)(kx 2+1)x 1x 2=k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1x 1x 2=-k 2+k 2+1-1=-1.故MA ⊥MB ,即MD ⊥ME .。

圆锥曲线高考真题专练(含答案)

圆锥曲线高考真题专练(含答案)

(一)数学全国1卷设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于,A B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:OMA OMB ∠=∠. 解:(1)由已知得(1,0)F ,l 的方程为x=1.由已知可得,点A 的坐标为或(1,.所以AM 的方程为y x =+y x =. (2)当l 与x 轴重合时,0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,1221(,),(,)A y x y x B ,则12x x <<MA ,MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以,21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=,故MA ,MB 的倾斜角互补,所以OMA OMB ∠=∠.综上,OMA OMB∠=∠.已知椭圆C:2222=1x ya b+(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,P4(1,C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.解:(1)由于3P,4P两点关于y轴对称,故由题设知C经过3P,4P两点.又由222211134a b a b+>+知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此222111314ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得2241ab⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C的方程为2214xy+=.(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知0t≠,且||2t<,可得A,B的坐标分别为(t,),(t,).则121k k+-=-,得2t=,不符合题设.从而可设l:y kx m=+(1m≠).将y kx m=+代入2214xy+=得222(41)8440k x kmx m+++-=由题设可知22=16(41)0k m∆-+>.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2841kmk-+,x1x2=224441mk-+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-,故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时,0∆>,欲使l :12m y x m +=-+,即11(2)2m y x ++=--,所以l 过定点(2,1-) 数学全国1卷设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E. (I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II )设点E 的轨迹为曲线C1,直线l 交C1于M,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】(I )13422=+y x (0≠y );(II ))38,12[ 【解析】试题分析:(I )利用椭圆定义求方程;(II )把面积表示为关于斜率k 的函数,再求最值。

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.如图,已知椭圆,双曲线(a>0,b>0),若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A,B两点,且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分,则C2的离心率为()A.5B.C.D.【答案】C【解析】由已知,|OA|=a=设OA所在渐近线的方程为y=kx(k>0),于是A点坐标可表示为A(x0,kx)(x>0)于是,即A(),进而AB的一个三分点坐标为()该点在椭圆C1上,有,即,得k=2即=2,于是,所以离心率,选C【考点】圆的方程,椭圆的性质,双曲线的性质,双曲线的渐近线,直线与圆锥曲线的位置关系,双曲线的离心率.2.已知抛物线C:的焦点为F,准线为,P是上一点,Q是直线PF与C得一个焦点,若,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】如图所示,因为,故,过点作,垂足为M,则轴,所以,所以,由抛物线定义知,,选B.【考点】1、抛物线的定义;2、抛物线的标准方程;3、向量共线.3.已知椭圆C:()的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当最小时,求点T的坐标.【答案】(1) ;(2)【解析】(1)因为焦距为4,所以,又,由此可求出的值,从而求得椭圆的方程.(2)椭圆方程化为.设PQ的方程为,代入椭圆方程得:.(ⅰ)设PQ的中点为,求出,只要,即证得OT 平分线段PQ.(ⅱ)可用表示出PQ,TF可得:.再根据取等号的条件,可得T的坐标.试题解答:(1),又.(2)椭圆方程化为.(ⅰ)设PQ的方程为,代入椭圆方程得:.设PQ的中点为,则又TF的方程为,则得,所以,即OT过PQ的中点,即OT平分线段PQ.(ⅱ),又,所以.当时取等号,此时T的坐标为.【考点】1、椭圆的方程;2、直线与圆锥曲线;3、最值问题.4.已知的三个顶点在抛物线:上,为抛物线的焦点,点为的中点,;(1)若,求点的坐标;(2)求面积的最大值.【答案】(1)或;(2).【解析】(1)根据抛物线方程为,写出焦点为,准线方程为,设,由抛物线的定义知,,把代入求得点的坐标,再由求得点的坐标;(2)设直线的方程为,,,,联立方程组,整理得,先求出的中点的坐标,再由,得出,用弦长公式表示,构造函数,用导数法求的面积的最大值.(1)由题意知,焦点为,准线方程为,设,由抛物线的定义知,,得到,代入求得或,所以或,由得或,(2)设直线的方程为,,,,由得,于是,所以,,所以的中点的坐标,由,所以,所以,因为,所以,由,,所以,又因为,点到直线的距离为,所以,记,,令解得,,所以在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,又,所以当时,取得最大值,此时,所以的面积的最大值为.【考点】抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系,三角形的面积公式,平面向量的坐标运算.5.如图为椭圆C:的左、右焦点,D,E是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率,的面积为.若点在椭圆C上,则点称为点M的一个“椭圆”,直线与椭圆交于A,B两点,A,B两点的“椭圆”分别为P,Q.(1)求椭圆C的标准方程;(2)问是否存在过左焦点的直线,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)直线方程为或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问,利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式,解方程组,得到基本量a和b的值,从而得到椭圆的方程;第二问,直线l过左焦点,所以讨论直线的斜率是否存在,当斜率不存在时,可以直接写出直线方程,令直线与椭圆联立,得到交点坐标,验证以PQ为直径的圆不过坐标原点,当斜率存在时,直线与椭圆联立,消参,利用韦达定理,证明,解出k的值.(1)由题意,,即,,即 2分又得:∴椭圆的标准方程:. 5分(2)①当直线的斜率不存在时,直线的方程为联立,解得或,不妨令,,所以对应的“椭点”坐标,.而所以此时以为直径的圆不过坐标原点. 7分②当直线的斜率存在时,设直线的方程为消去得,设,则这两点的“椭点”坐标分别为由根与系数关系得: 9分若使得以为直径的圆过坐标原点,则而,∴即,即代入,解得:所以直线方程为或. 12分【考点】椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件.6.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设A,B是椭圆C上的两点,△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称,E为线段AB 的中点,射线OE交椭圆C于点P.如果=t,求实数t的值.【答案】(1)+y2=1(2)t=2或t=【解析】(1)设椭圆C的方程为:(a>b>0),则,解得a=,b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)由于A、B两点关于x轴对称,可设直线AB的方程为x=m(-<x<,且m≠0).将x=m代入椭圆方程得|y|=,所以S△AOB=|m| =.解得m2=或m2=.①又=t=t(+)=t(2m,0)=(mt,0),又点P在椭圆上,所以=1.②由①②得t2=4或t2=.又因为t>0,所以t=2或t=.7.双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】∵,∴焦点为,即,∵,∴,即,∴,则,即,∴.【考点】抛物线的标准方程及几何性质.8.已知双曲线=1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18,N是线段MF2的中点,O是坐标原点,则|ON|等于()A.4B.2C.1D.【答案】A【解析】设双曲线左焦点为F1,由双曲线的定义知,|MF2|-|MF1|=2a,即18-|MF1|=10,所以|MF1|=8.又ON为△MF1F2的中位线,所以|ON|=|MF1|=4,所以选A.9.已知F1、F2为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为M,且满足||=3||,则此双曲线的渐近线方程为________.【答案】y=±x【解析】由双曲线的性质可推得||=b,则||=3b,在△MF1O中,||=a,||=c,cos∠F1OM=-,由余弦定理可知=-,又c2=a2+b2,可得a2=2b2,即=,因此渐近线方程为y=±x.10.如图,已知,,,分别是椭圆的四个顶点,△是一个边长为2的等边三角形,其外接圆为圆.(1)求椭圆及圆的方程;(2)若点是圆劣弧上一动点(点异于端点,),直线分别交线段,椭圆于点,,直线与交于点.(ⅰ)求的最大值;(ⅱ)试问:,两点的横坐标之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.【答案】(1),,(2)(ⅰ),(ⅱ).【解析】(1)求椭圆标准方程,只需两个独立条件. 由题意知,,,所以,,所以椭圆的方程为,求圆的方程,有两个选择,一是求圆的标准方程,确定圆心与半径,二是求圆的一般方程,只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单,如易得圆心,,所以圆的方程为(2)(ⅰ)本题关键分析出比值暗示的解题方向,由于点在轴上,所以,因此解题方向为利用斜率分别表示出点与点的横坐标. 设直线的方程为,与直线的方程联立,解得点,联立,消去并整理得,,解得点,因此当且仅当时,取“=”,所以的最大值为.(ⅱ)求出点的横坐标,分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线的方程为,与直线的方程联立,解得点,所以、两点的横坐标之和为.试题解析:(1)由题意知,,,所以,,所以椭圆的方程为, 2分易得圆心,,所以圆的方程为.4分(2)解:设直线的方程为,与直线的方程联立,解得点, 6分联立,消去并整理得,,解得点,9分(ⅰ),当且仅当时,取“=”,所以的最大值为. 12分(ⅱ)直线的方程为,与直线的方程联立,解得点, 14分所以、两点的横坐标之和为.故、两点的横坐标之和为定值,该定值为. 16分【考点】椭圆与圆标准方程,直线与椭圆位置关系11. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆=1的左、右顶点为A 、B ,右焦点为F.设过点T(t ,m)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2),其中m>0,y 1>0,y 2<0.(1)设动点P 满足PF 2-PB 2=4,求点P 的轨迹; (2)设x 1=2,x 2=,求点T 的坐标;(3)设t =9,求证:直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关). 【答案】(1)x =(2)(3)见解析【解析】(1)解:设点P(x ,y),则F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0).由PF 2-PB 2=4,得(x -2)2+y 2-[(x -3)2+y 2]=4,化简得x =,故所求点P 的轨迹为直线x =. (2)解:将x 1=2,x 2=分别代入椭圆方程,以及y 1>0,y 2<0得M 、N.直线MTA的方程为,即y =x +1.直线NTB 的方程为,即y =x -.联立方程组,解得所以点T 的坐标为.(3)证明:点T 的坐标为(9,m),直线MTA 的方程为,即y =(x +3).直线NTB 的方程为,即y =(x -3).分别与椭圆=1联立方程组,同时考虑到x 1≠-3,x 2≠3,解得 M、N(证法1)当x 1≠x 2时,直线MN 的方程为,令y =0,解得x=1,此时必过点D(1,0);当x 1=x 2时,直线MN 的方程为x =1,与x 轴交点为D(1,0),所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1,0). (证法2)若x 1=x 2,则由及m>0,得m =2,此时直线MN 的方程为x =1,过点D(1,0).若x 1≠x 2,则m≠2.直线MD 的斜率k MD =,直线ND 的斜率k ND =,得k MD =k ND ,所以直线MN 过D 点.因此,直线MN 必过x 轴上的点D(1,0).12.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆(x-)2+y2=相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为F′,圆(x-)2+y2=的圆心为E,连接PF′、QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,∴==,∴PF′∥QE,∴=,且PF′⊥PF.又∵|QE|=(圆的半径长),∴|PF′|=b.据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,∴b2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a2-c2)+b2=2ab,∴3b2=2ab,∴b=,c==a,=,∴椭圆的离心率为.13.设抛物线的焦点为,点,线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点,且与抛物线的准线相交于点,以为直径的圆记为圆.(1)求的值;(2)试判断圆与轴的位置关系;(3)在坐标平面上是否存在定点,使得圆恒过点?若存在,求出的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)(2)见解析(3)存在【解析】(1)判断抛物线的焦点位置,得到焦点坐标,利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.(2)直线与抛物线相切,联立直线与抛物线,判别式为0即可得到k,m之间的关系,可以用k 来替代m,得到P点的坐标,抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标,利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标,通过讨论k的取值范围得到中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系.(3)由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示),根据抛物线对称性知点在轴上,设点坐标为,则M点需满足,即向量内积为0,即可得到M点的坐标,M点的坐标如果为常数(不含k),即存在这样的定点,如若不然,则不存在.试题解析:解:(1)利用抛物线的定义得,故线段的中点的坐标为,代入方程得,解得。

(完整word版)圆锥曲线压轴解答题22题(含详细答案,可直接打印)

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圆锥曲线压轴22题及答案一.解答题(共22小题)1.已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆M :+=1(a >b >0)的右焦点,且两曲线有公共点(,).(1)求椭圆M 的方程;(2)O 为坐标原点,A ,B ,C 是椭圆M 上不同的三点,并且O 为△ABC 的重心,试探究△ABC 的面积是否为定值.若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. 2.已知直线11:ax ﹣y+1=0,直线12:x+5ay+5a=0.(1)直线11与l 2的交点为M,当a 变化时,求点M 的轨迹C 的方程:(2)已知点D (2,0),过点E (﹣2,0)的直线1与C 交于A ,B 两点,求△ABD 面积的最大值. 3.已知椭圆C:+=1(a >b >0)的四个顶点围成的菱形的面积为4,点M 与点F 分别为椭圆C 的上顶点与左焦点,且△MOF 的面积为(点O 为坐标原点).(1)求C 的方程;(2)直线l 过F 且与椭圆C 交于P ,Q 两点,点P 关于O 的对称点为P′,求△PP′Q 面积的最大值.4.如图所示,椭圆C 1:+y 2=1,抛物线C 2:y=x 2﹣1,其中C 2与y 轴的交点为M,过坐标原点O的直线l 与C 2相交于点A ,B,直线MA ,MB 分别与C 1相交于点D ,E . (Ⅰ)证明:MA ⊥MB;(Ⅱ)记△MAB ,△MDE 的面积分别是S 1,S 2.问:是否存在直线l ,使得=.若存在,求出直线l 的方程,若不存在,请说明理由.5.已知椭圆C1:的左右顶点是双曲线的顶点,且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为.(1)求椭圆C1的方程;(2)点F为椭圆的左焦点,不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点,若直线FA、FB的斜率之和为0,则动直线l是否一定经过一定点?若存在这样的定点,则求出该定点的坐标;若不存在这样的定点,请说明理由.6.椭圆的离心率是,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B 两点,当直线l与x轴平行时,直线l被椭圆C截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程;(2)在y轴上是否存在异于点P的定点Q,使得直线l变化时,总有∠PQA=∠PQB?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.7.已知椭圆,点在椭圆C上,椭圆C的四个顶点的连线构成的四边形的面积为.(1)求椭圆C的方程;(2)设点A为椭圆长轴的左端点,P、Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点,记直线AP、AQ斜率分别为k1、k2,若k1k2=2,请判断直线PQ是否过定点?若过定点,求该定点坐标,若不过定点,请说明理由.8.已知椭圆Γ:=1(0<b<2)的左右焦点分别为F1、F2,上顶点为B,O为坐标原点,且向量与的夹角为.(1)求椭圆Γ的方程;(2)设Q(1,0),点P是椭圆Γ上的动点,求的最大值和最小值;(3)设不经过点B的直线l与椭圆Γ相交于M、N两点,且直线BM、BN的斜率之和为1,证明:直线l过定点.9.椭圆E:的左、右焦点分别为、,过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2.(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;(Ⅱ)设直线与椭圆E交于A,C两点,与x轴交于点H,设AC的中点为Q,试问|AQ|2+|QH|2是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.10.椭圆E:的左、右焦点分别为、,过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2.(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;(Ⅱ)设直线与椭圆E交于A、C两点,以AC为对角线作正方形ABCD,记直线l与x 轴的交点为H,试问|BH|是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.11.设椭圆M:+=1(a>b>0)经过点P(,),F1,F2是椭圆M的左、右焦点,且△PF1F2的面积为.(1)求椭圆M的方程;(2)设O为坐标原点,过椭圆M内的一点(0,t)作斜率为k的直线l与椭圆M交于A,B两点,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,若对任意实数k,存在实m,使得k1+k2=mk,求实数m的取值范围. 12.已知椭圆经过点,离心率为,过右焦点F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ,Q 两点. ( I )求椭圆C 的方程; ( II )当直线l 的斜率为时,求△POQ 的面积;( III )在椭圆C 上是否存在点M ,使得四边形OPMQ 为平行四边形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由. 13.已知F 1、F 2是椭圆C :(a >b >0)的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A 、B两点,F 1B 与y 轴交于点D ,AD ⊥F 1B ,且|OD|=1,O 为坐标原点. (1)求C 的方程;(2)设P 为椭圆C 上任一异于顶点的点,A 1、A 2为C 的上、下顶点,直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点M 、N .若直线OT 与过点M 、N 的圆切于点T .试问:|OT|是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 14.已知椭圆C :+=1的两个焦点分别是F 1(﹣,0),F 2(,0),点E(,)在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设P 是y 轴上的一点,若椭圆C 上存在两点M ,N 使=2,求以F 1P 为直径的圆面积取值范围. 15.已知椭圆的右焦点为F ,离心率为,平行于x 轴的直线交椭圆于A ,B 两点,且.(I )求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,在x 轴上是否存在定点E ,使得是定值?若存在,请求出该点的坐标;若不存在,请说明理由. 16.已知椭圆C :(a >b >0)的离心率,抛物线E :的焦点恰好是椭圆C的一个顶点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点P (0,1)的动直线与椭圆C 交于A,B 两点,设O 为坐标原点,是否存在常数λ,使得恒成立?请说明理由.17.在平面直角坐标系中,点F 1、F 2分别为双曲线C :的左、右焦点,双曲线C 的离心率为2,点(1,)在双曲线C 上.不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称,且四边形PF 1QF 2的周长为.(1)求动点P 的轨迹方程;(2)在动点P 的轨迹上有两个不同的点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2),线段MN 的中点为G ,已知点(x 1,x 2)在圆x 2+y 2=2上,求|OG |•|MN |的最大值,并判断此时△OMN 的形状. 18.已知抛物线C :y 2=2px (p >0),其内接△ABC 中∠A=90°. (I)当点A 与原点重合时,求斜边BC 中点M 的轨迹方程;(II )当点A 的纵坐标为常数t 0(t 0∈R )时,判断BC 所在直线是否过定点?过定点求出定点坐标;不过定点,说明理由. 19.如图,已知F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点,点P (﹣2,3)是椭圆C上一点,且PF 1⊥x 轴. (1)求椭圆C 的方程;(2)设圆M :(x ﹣m )2+y 2=r 2(r >0).①设圆M 与线段PF 2交于两点A,B ,若,且AB=2,求r 的值;②设m=﹣2,过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于G ,H 两点(异于点P ).试问:是否存在这样的正数r,使得G,H 两点恰好关于坐标原点O 对称?若存在,求出r 的值;若不存在,请说明理由.20.己知椭圆在椭圆上,过C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为.(1)求椭圆C 的标准方程;.(2)过点A (﹣2,0)作两条相交直线l 1,l 2,l 1与椭圆交于P ,Q 两点(点P 在点Q 的上方),l 2与椭圆交于M ,N 两点(点M 在点N 的上方),若直线l 1的斜率为,,求直线l 2的斜率.21.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线C :x 2=2py (p >0),直线y=x 与C 交于O ,T 两点,|OT |=4.(Ⅰ)求C 的方程; (Ⅱ)斜率为k (0)的直线l 过线段OT 的中点,与C 交于A,B 两点,直线OA,OB 分别交直线y=x ﹣2于M ,N 两点,求|MN|的最大值.22.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为4,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l经过点P(0,﹣1),且与椭圆交于A,B两点,若,求直线l的方程.参考答案与试题解析一.解答题(共22小题)1.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是椭圆M:+=1(a>b>0)的右焦点,且两曲线有公共点(,).(1)求椭圆M的方程;(2)O为坐标原点,A,B,C是椭圆M上不同的三点,并且O为△ABC的重心,试探究△ABC的面积是否为定值.若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.【解答】解:(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是椭圆M:+=1(a>b>0)的右焦点,∴=c,∵两曲线有公共点(,),∴=2p•,+=1,解得p=2,∴c=1,∴c2=a2﹣b2=1,∴a2=4,b2=3,∴椭圆的方程为+=1;(2)设直线AB的方程为y=kx+m,代入椭圆方程3x2+4y2=12,可得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,x1+x2=﹣,y1+y2=k(x1+x2)+2m=,由O为△ABC的重心,可得=﹣(+)=(,﹣),由C在椭圆上,则有3()2+4(﹣)2=12,化简可得4m2=3+4k2,|AB|=•=•=•==,C到直线AB的距离d═,S△ABC=|AB|•d=••=.当直线AB的斜率不存在时,|AB|=3,d=3,S△ABC=|AB|•d=.综上可得,△ABC的面积为定值.2.已知直线11:ax﹣y+1=0,直线12:x+5ay+5a=0.(1)直线11与l2的交点为M,当a变化时,求点M的轨迹C的方程:(2)已知点D(2,0),过点E(﹣2,0)的直线1与C交于A,B两点,求△ABD面积的最大值.【解答】解:(1)由题意设M(x,y),M满足直线11、直线12:可得,消去a,可得x2+5y2=5,即点M的轨迹C的方程为:(2)设直线l的方程x=my﹣2.E(﹣2,0)在M的轨迹C内.ED=4,直线1与C交于A,B两点,A(x1,y1).B(x2,y2)∴,可得(m2+5)y2﹣4my﹣1=0.∴y1+y2=.y1y2=∴△ABD面积s=×|y1﹣y2|•|ED=×4×=2×==2×≤2×=2×=,当且仅当m=时,表达式取得最大值.△ABD面积的最大值:.3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的四个顶点围成的菱形的面积为4,点M与点F分别为椭圆C的上顶点与左焦点,且△MOF的面积为(点O为坐标原点).(1)求C的方程;(2)直线l过F且与椭圆C交于P,Q两点,点P关于O的对称点为P′,求△PP′Q面积的最大值.【解答】解:(1)∵△MOF的面积为,∴bc=,即bc=.又∵椭圆C的四个顶点围成的菱形的面积为4,∴=4,即ab=2.∴==,∴=,∴a=2,b=,∴C的方程为:=1.(2)由题意可知,点O为PP′的中点,则=2S△POQ.设直线l的方程为:x=my﹣1,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立,可得(3m2+4)y2﹣6my﹣9=0,∴y1+y2=,y1y2=,∴|y1﹣y2|===,∴S△POQ =|OF|•|y1﹣y2|=.设=t≥1,=.∵函数g(t)=在[1,+∞)上单调递减,∴当t=1时,△PP′Q面积取得最大值=3.4.如图所示,椭圆C1:+y2=1,抛物线C2:y=x2﹣1,其中C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于点D,E.(Ⅰ)证明:MA⊥MB;(Ⅱ)记△MAB,△MDE的面积分别是S1,S2.问:是否存在直线l,使得=.若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.【解答】解:(Ⅰ)证明:由题得,直线l 的斜率存在,设为k,则直线l 的方程为:y=kx, 由y=kx 和y=x 2﹣1,得x 2﹣kx ﹣1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 于是x 1+x 2=k ,x 1•x 2=﹣1,又点M 的坐标为(0,﹣1). 所以k MA •k MB =•====﹣1.故MA ⊥MB ,即MD ⊥ME;(Ⅱ)设直线MA 的斜率为k 1,则直线MA 的方程为y=k 1x ﹣1. 联立y=x 2﹣1可得或则点A 的坐标为(k 1,k 12﹣1). 又直线MB 的斜率为﹣,同理可得点B 的坐标为(﹣,﹣1).于是S 1=|MA |•|MB |=|k 1|•••|﹣|•=.由椭圆方程x 2+4y 2=4和y=k 1x ﹣1, 得(1+4k 12)x 2﹣8k 1x=0,解得,或,则点D的坐标为(,).又直线ME的斜率为﹣,同理可得点E的坐标为(﹣,).于是S2=|MD|•|ME|=.故=(4k12++17)=,解得k12=4,或k12=.又由点A,B的坐标得,k==k1﹣.所以k=±.故满足条件的直线l存在,且有两条,其方程为y=±x.5.已知椭圆C1:的左右顶点是双曲线的顶点,且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为.(1)求椭圆C1的方程;(2)点F为椭圆的左焦点,不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点,若直线FA、FB的斜率之和为0,则动直线l是否一定经过一定点?若存在这样的定点,则求出该定点的坐标;若不存在这样的定点,请说明理由.【解答】解:(1)由题意可知:a=2……………………………………1分又椭圆的上顶点为(0,b)双曲线的渐近线为:2y±x=0由点到直线的距离公式有:得……………………3分所以椭圆的方程为.……………………4分(2)设直线线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1)、B(x2,y2)联立得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0……………………5分则……………………7分由已知直线FA、FB的斜率之和为0,有,2kx1x2+(k+m)(x1+x2)+2m=0…………………9分所以化简得m=4k………………11分此时△=(8km)2﹣4×(3+4k2)(4m2﹣12)=(32k2)2﹣4×(3+4k2)(64k2﹣12)=16×64k4﹣16(4k2+3)(16k2﹣3)=16×9(1﹣4k2)显然△=16×9(1﹣4k2)>0有机会成立.所以直线l的方程为:y=kx+m=k(x+4)所以存在这样的定点(﹣4,0)符合题意.…………12分6.椭圆的离心率是,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l与x轴平行时,直线l被椭圆C截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程;(2)在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q,使得直线l 变化时,总有∠PQA=∠PQB?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 【解答】解:(1)∵,∴a 2=2c 2=b 2+c 2,b=c,a 2=2b 2,椭圆方程化为:,由题意知,椭圆过点,∴,解得b 2=4,a 2=8,所以椭圆C 的方程为:;(2)当直线l 斜率存在时,设直线l 方程:y=kx+1, 由得(2k 2+1)x 2+4kx ﹣6=0,△=16k 2+24(2k 2+1)>0,设,假设存在定点Q (0,t)符合题意,∵∠PQA=∠PQB ,∴k QA =﹣k QB , ∴=,∵上式对任意实数k 恒等于零,∴4﹣t=0,即t=4,∴Q (0,4),当直线l 斜率不存在时,A ,B 两点分别为椭圆的上下顶点(0,﹣2),(0,2), 显然此时∠PQA=∠PQB ,综上,存在定点Q (0,4)满足题意. 7.已知椭圆,点在椭圆C 上,椭圆C 的四个顶点的连线构成的四边形的面积为.(1)求椭圆C 的方程;(2)设点A 为椭圆长轴的左端点,P 、Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点,记直线AP 、AQ 斜率分别为k 1、k 2,若k 1k 2=2,请判断直线PQ 是否过定点?若过定点,求该定点坐标,若不过定点,请说明理由. 【解答】解:(1)由点在椭圆C 上可得:,整理为:9a 2+4b 2=4a 2b 2, 由椭圆C 的四个顶点的连接线构成的四边形的面积为可得:,即,可得,由a >b >0可解得:,故椭圆C 的方程为:.(2)设点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),点A 的坐标为(﹣2,0), 故,可得y 1y 2=2(x 1+2)(x 2+2),设直线PQ 的方程为y=kx+m (直线PQ 的斜率存在), 可得(kx 1+m)(kx 2+m )=2(x 1+2)(x 2+2), 整理为:,联立,消去y 得:(4k 2+3)x 2+8kmx+(4m 2﹣12)=0,由△=64k 2m 2﹣4(4k 2+3)(4m 2﹣12)=48(4k 2﹣m 2+3)>0,有4k 2+3>m 2, 有,,故有:,整理得:44k 2﹣32km+5m 2=0,解得:m=2k 或,当m=2k 时直线PQ 的方程为y=kx+2k,即y=k(x+2),过定点(﹣2,0)不合题意, 当时直线PQ 的方程为,即,过定点.8.已知椭圆Γ:=1(0<b <2)的左右焦点分别为F 1、F 2,上顶点为B ,O 为坐标原点,且向量与的夹角为.(1)求椭圆Γ的方程;(2)设Q (1,0),点P 是椭圆Γ上的动点,求的最大值和最小值;(3)设不经过点B 的直线l 与椭圆Γ相交于M 、N 两点,且直线BM 、BN 的斜率之和为1,证明:直线l 过定点. 【解答】解:(1)椭圆Γ:=1(0<b <2)的a=2,向量与的夹角为,可得|BF 1|=|BF 2|=a==2b=2,即b=1,则椭圆方程为+y 2=1;(2)设P (m ,n ),可得+n 2=1,即n 2=1﹣,•=(1﹣m ,﹣n )•(﹣m ,﹣n )=m 2﹣m+n 2=m 2﹣m+1=(m ﹣)2+,由﹣2≤m ≤2可得m=时,上式取得最小值;m=﹣2时,取得最大值6, 则•的范围是[,6];(3)证明:当直线l 的斜率不存在时,设M (x 1,y 1),N(x 2,y 2), 由k BM +k BN =+==1,x 1=x 2,y 1=﹣y 2,得x 1=﹣2,此时M ,N 重合,不符合题意;设不经过点P 的直线l 方程为:y=kx+m ,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 由得(1+4k 2)x 2+8ktx+4t 2﹣4=0,x 1+x 2=﹣,x 1x 2=,k BM +k BN =+==1,⇒(kx1﹣1+t)x2+(kx2﹣1+t)x1=x1x2⇒(2k﹣1)x1x2+(t﹣1)(x1+x2)=0⇒(t﹣1)(2k﹣t﹣1)=0,∵t≠1,∴t=2k﹣1,∴y=k(x+2)﹣1,直线l必过定点(﹣2,﹣1).9.椭圆E:的左、右焦点分别为、,过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2.(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;(Ⅱ)设直线与椭圆E交于A,C两点,与x轴交于点H,设AC的中点为Q,试问|AQ|2+|QH|2是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.【解答】(本小题满分12分)解:(Ⅰ)过且斜率为的直线方程为,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分)令,则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)由题意可得,解得a2=16,b2=4,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)所以椭圆E的标准方程.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)(Ⅱ)由可得x2+2mx+2m2﹣8=0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)设A(x1,y1),C(x2,y2)则有,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)∴,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)又,∵Q为AC的中点,∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)直线l与x轴的交点为H(﹣2m,0),所以,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)=,所以|AQ|2+|HQ|2为定值10.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)10.椭圆E:的左、右焦点分别为、,过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2.(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;(Ⅱ)设直线与椭圆E交于A、C两点,以AC为对角线作正方形ABCD,记直线l与x 轴的交点为H,试问|BH|是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.【解答】(本小题满分12分)解:(Ⅰ)过且斜率为的直线方程为,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分)令,则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)由题意可得,解得a2=16,b2=4,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)所以椭圆E的标准方程.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)(Ⅱ)由可得x2+2mx+2m2﹣8=0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)设A(x1,y1),C(x2,y2)则有,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)∴,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)又,设AC的中点为Q,则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)直线l与x轴的交点为H(﹣2m,0),所以,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)=,所以|BH|为定值.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)11.设椭圆M:+=1(a>b>0)经过点P(,),F1,F2是椭圆M的左、右焦点,且△PF1F2的面积为.(1)求椭圆M的方程;(2)设O为坐标原点,过椭圆M内的一点(0,t)作斜率为k的直线l与椭圆M交于A,B两点,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,若对任意实数k,存在实m,使得k1+k2=mk,求实数m的取值范围.【解答】解:(1)设M的焦点F1(﹣c,0),F2(c,0),∵,△PF1F2面积为,∴,∴c=1,由,得∴椭圆M的方程为.(2)设直线l的方程为y=kx+t,由•得(3+4k2)x2+8ktx+4t2﹣12=0,设A(x1•y2),B(x2•y2),则..由k1+k2=mk对任意k成立,得,∴,又(0,t)在椭圆内部,∴0≤t2<3,∴m≥2,即m∈[2,+∞).12.已知椭圆经过点,离心率为,过右焦点F且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.( I)求椭圆C的方程;( II)当直线l的斜率为时,求△POQ的面积;( III)在椭圆C上是否存在点M,使得四边形OPMQ为平行四边形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.【解答】解:(I) 根据题意,解得,故椭圆C的方程为.…(5分)( II) 根据题意,直线l的方程为.设P(x1,y1),Q(x2,y2).由得15x2﹣24x=0.解得.法一:.法二:,原点O到直线l的距离.所以…(10分)( III)设直线l的方程为y=k(x﹣1)(k≠0).设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0.由韦达定理得,.所以PQ 的中点.要使四边形OPMQ 为平行四边形,则N 为OM 的中点,所以.要使点M 在椭圆C 上,则,即12k 2+9=0,此方程无解.所以在椭圆C 上不存在点M ,使得四边形OPMQ 为平行四边形.….(14分) 13.已知F 1、F 2是椭圆C :(a >b >0)的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A 、B 两点,F 1B 与y 轴交于点D ,AD ⊥F 1B ,且|OD |=1,O 为坐标原点. (1)求C 的方程;(2)设P 为椭圆C 上任一异于顶点的点,A 1、A 2为C 的上、下顶点,直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点M 、N .若直线OT 与过点M 、N 的圆切于点T .试问:|OT |是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.【解答】解:(1)如图:AF 2⊥x 轴,|OD|=1, ∴AB ∥OD,∵O 为F 1F 2为的中点, ∴D 为BF 1的中点, ∵AD ⊥F 1B ,∴|AF 1|=|AB |=2|AF 2|=4|OD |=4, ∴2a=|AF 1|+|AF 2|=4+2=6, ∴a=3, ∴|F 1F 2|==2,∴c=,a=3,∴b2=a2﹣c2=6,∴+=1,(2)由(1)可知,A1(0,),A2(0,﹣).设点P(x0,y),直线PA1:y﹣=x,令y=0,得xM=;直线PA2:y+=x,令y=0,得xN=;|OM|•|ON|=,∵+=1,∴6﹣y02=x2,∴|OM|•|ON|=.由切割线定理得OT2=OM•ON=.∴OT=,即线段OT的长度为定值.14.已知椭圆C :+=1的两个焦点分别是F 1(﹣,0),F 2(,0),点E (,)在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设P 是y 轴上的一点,若椭圆C 上存在两点M,N 使=2,求以F 1P 为直径的圆面积取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由已知,c=, ∴2a=|EF 1|+|EF 2|=+=4,∴a=2,∴b 2=a 2﹣c 2=8﹣2=6, ∴椭圆方程为+=1,(Ⅱ)设点P 的坐标为(0,t),当直线MN 的斜率不存在时,可得M,N 分别是椭圆的两端点,可得t=±,当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为y=kx+t ,M(x 1,y 1),N (x 2,y 2), 则由=2可得x 1=﹣2x 2,①,由,消y 可得(3+4k 2)x 2+8ktx+4t 2﹣24=0,由△>0,可得64k 2t 2﹣4(3+4k 2)(4t 2﹣24)>0,整理可得t 2<8k 2+6,由韦达定理可得x 1+x 2=﹣,x 1x 2=,②,由①②,消去x 1,x 2可得k 2=,由,解得<t 2<6, 综上得≤t 2<6,又以F 1P 为直径的圆面积S=π•,∴S 的范围为[,2π).15.已知椭圆的右焦点为F ,离心率为,平行于x 轴的直线交椭圆于A,B 两点,且.(I)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,在x 轴上是否存在定点E ,使得是定值?若存在,请求出该点的坐标;若不存在,请说明理由. 【解答】解:(Ⅰ)由题意可得:,∵平行于x 轴的直线交椭圆于A ,B 两点,且.∴,a=,∴c=2,b 2=a 2=﹣c 2=2. ∴椭圆C 的方程为(Ⅱ)设直线l 的方程为y=k (x ﹣2), 代入椭圆C 的方程,得(3k 2+1)x 2﹣12k 2x+12k 2﹣6=0,设M(x3,y3),N(x4,y4),则,,x3x4=.根据题意,假设x轴上存在定点E(t,0),使得是为定值,=(x3﹣t,y3)•(x4﹣t,y4)=(x3﹣t)•(x4﹣t)+y3y4,=(x3﹣t)•(x4﹣t)+k2(x3﹣2)•(x4﹣2),=(k2+1)x3x4﹣(2k2+t)(x3+x4)+4k2+t2,=要使上式为定值,即与k无关,则应3t2﹣12t+10=3(t2﹣6),即t=,故当点E的坐标为(,0)时,使得为定值.16.已知椭圆C:(a>b>0)的离心率,抛物线E:的焦点恰好是椭圆C 的一个顶点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P(0,1)的动直线与椭圆C交于A,B两点,设O为坐标原点,是否存在常数λ,使得恒成立?请说明理由.【解答】解:(1)由抛物线E:的焦点(0,),椭圆的C的焦点在x轴,由题意可知:b=,椭圆的离心率e===,则a=2,∴椭圆的标准方程:;(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).联立,整理得(4k 2+3)x 2+8kx ﹣8=0.其判别式△>0,x 1+x 2=﹣,x 1x 2=﹣.∴•+λ•=x 1x 2+y 1y 2+λ[x 1x 2+(y 1﹣1)(y 2﹣1)],=(1+λ)(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1==﹣2λ﹣3,当λ=2时,﹣2λ﹣3=﹣7,即•+λ•=﹣7为定值. 当直线AB 斜率不存在时,直线AB 即为直线CD ,此时•+λ•=•+2•=﹣3﹣4=﹣7,故存在常数λ=2,使得•+λ•为定值﹣7.17.在平面直角坐标系中,点F 1、F 2分别为双曲线C :的左、右焦点,双曲线C 的离心率为2,点(1,)在双曲线C 上.不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称,且四边形PF 1QF 2的周长为.(1)求动点P 的轨迹方程;(2)在动点P 的轨迹上有两个不同的点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2),线段MN 的中点为G,已知点(x 1,x 2)在圆x 2+y 2=2上,求|OG |•|MN|的最大值,并判断此时△OMN 的形状. 【解答】解:(1)设F 1,F 2分别为(﹣c ,0),(c ,0) 可得,b 2=c 2﹣a 2=3a 2,又点(1,)在双曲线C 上,∴,解得,c=1.连接PQ ,∵OF 1=OF 2,OP=OQ ,∴四边形PF 1QF 2的周长为平行四边形. ∴四边形PF 1+PF 2=2>2,∴动点P 的轨迹是以点F 1、F 2分别为左右焦点的椭圆(除左右顶点),∴动点P 的轨迹方程(y ≠0);(2)∵x 12+x 22=2,,∴y 12+y 22=1.∴|OG |•|MN|=•=•=.∴当3﹣2x 1x 2﹣2y 1y 2=3+2x 1x 2+2y 1y 2⇒x 1x 2+y 1y 2=0时取最值, 此时OM ⊥ON ,△OMN 为直角三角形.18.已知抛物线C:y 2=2px (p >0),其内接△ABC 中∠A=90°. (I )当点A 与原点重合时,求斜边BC 中点M 的轨迹方程;(II)当点A 的纵坐标为常数t 0(t 0∈R )时,判断BC 所在直线是否过定点?过定点求出定点坐标;不过定点,说明理由. 【解答】解:(I )设B (,y 1),C (,y 2),∵AB ⊥AC ,∴+y 1y 2=0,∴y 1y 2=﹣4p 2.∴设BC 的中点M (x ,y ),则=x ,y 1+y 2=2y ,∵y 12+y 22=(y 1+y 2)2﹣2y 1y 2, ∴px=4y 2+8p 2,∴M 的轨迹方程为:y 2=(x ﹣8p ). (II )A (,t 0),设直线BC 的方程为y=kx+b,B (,y 1),C (,y 2),∴k AB ==,k AC ==,∵AB⊥AC,∴•=﹣1.即y1y2+t(y1+y2)+t2+4p2=0.联立方程组,消去x可得y2﹣y+=0,∴y1y2=,y1+y2=,∴+t0+t2+4p2=0.解得b=﹣t﹣﹣2pk,∴直线BC的方程为:y=kx﹣t0﹣﹣2pk=k(x﹣2p﹣)﹣t,∴直线BC过定点(2p+,﹣t).19.如图,已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P(﹣2,3)是椭圆C上一点,且PF1⊥x轴.(1)求椭圆C的方程;(2)设圆M:(x﹣m)2+y2=r2(r>0).①设圆M与线段PF2交于两点A,B,若,且AB=2,求r的值;②设m=﹣2,过点P作圆M的两条切线分别交椭圆C于G,H两点(异于点P).试问:是否存在这样的正数r,使得G,H两点恰好关于坐标原点O对称?若存在,求出r的值;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)因点P(﹣2,3)是椭圆C上一点,且PF1⊥x轴,所以椭圆的半焦距c=2,由,得,所以,……(2分)化简得a2﹣3a﹣4=0,解得a=4,所以b2=12,所以椭圆C的方程为.……(4分)(2)①因,所以,即,所以线段PF2与线段AB的中点重合(记为点Q),由(1)知,……(6分)因圆M与线段PF2交于两点A,B,所以,所以,解得,……(8分)所以,故.……(10分)②由G,H两点恰好关于原点对称,设G(x0,y),则H(﹣x,﹣y),不妨设x<0,因P(﹣2,3),m=﹣2,所以两条切线的斜率均存在,设过点P与圆M相切的直线斜率为k,则切线方程为y﹣3=k(x+2),即kx﹣y+2k+3=0,由该直线与圆M相切,得,即,……(12分)所以两条切线的斜率互为相反数,即kGP =﹣kHP,所以,化简得x0y=﹣6,即,代入,化简得,解得x=﹣2(舍),,所以,……(14分)所以,,所以,所以.故存在满足条件的,且.……(16分)20.己知椭圆在椭圆上,过C的焦点且与长轴垂直的弦的长度为.(1)求椭圆C的标准方程;.(2)过点A(﹣2,0)作两条相交直线l1,l2,l1与椭圆交于P,Q两点(点P在点Q的上方),l2与椭圆交于M,N两点(点M在点N的上方),若直线l1的斜率为,,求直线l2的斜率.【解答】解:(1)由已知得:,…………………………(2分)解得a=6,b=1.故椭圆C的方程为.………………………(4分)(2)由题设可知:l1的直线方程为x=﹣7y﹣2.联立方程组,整理得:85y2+28y﹣32=0..…………………………(6分)∴.…………………………………………(7分)∵,∴,即.…………………………………………(8分)设l2的直线方程为x=my﹣2(m≠0).将x=my﹣2代入+y2=1得(m2+36)y2﹣4my﹣32=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则.……………………………………(10分)又∵,∴.解得m2=4,∴m=±2.故直线l2的斜率为.………………………(12分)21.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:x2=2py(p>0),直线y=x与C交于O,T两点,|OT|=4.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)斜率为k(0)的直线l过线段OT的中点,与C交于A,B两点,直线OA,OB分别交直线y=x﹣2于M,N两点,求|MN|的最大值.【解答】解:(Ⅰ)由方程组得x2﹣2px=0,解得x1=0,x2=2p,所以O(0,0),T(2p,2p),则|OT|=2p,又|OT|=2p=4,所以p=2.故C的方程为x2=4y.(Ⅱ)由(Ⅰ)O(0,0),T(4,4),则线段OT的中点坐标(2,2).故直线l的方程为y﹣2=k(x﹣2).由方程组得x2﹣4kx+8k﹣8=0.设A(x1,x12),B(x2,x22),则x1+x2=4k,x1x2=8k﹣8,直线OA的方程y=x,代入y=x﹣2,解得x=,所以M(,),同理得N(,),所以|MN|=•|﹣|=||=×|=4•因为0<k≤,所以8<|MN|≤4.当k=时,|MN|取得最大值4.22.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为4,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l经过点P(0,﹣1),且与椭圆交于A,B两点,若,求直线l的方程.【解答】(本小题满分12分)解:(1)依题意可设椭圆方程为(a>b>0),由2c=4,c=2,e==,则a=2,b2=a2﹣c2=4,∴椭圆C的方程为:.(2)由题意可知直线l的斜率存在,设l的方程为:y=kx﹣1,A(x1,y1),B(x2,y2),由,整理得(2k2+1)x2﹣4kx﹣6=0,且△>0,则x1+x2=,x1x2=﹣,由,即(﹣x1,﹣1﹣y1)=2(x2,y2+1),x1=﹣2x2,,消去x2并解关于k的方程得:k=±,∴l的方程为:y=±x﹣1.。

高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4.(1)求曲线C的方程;(2)设曲线C与x轴负半轴交点为A,过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点(B在M、C之间),N为BC中点.(ⅰ)证明:k·kON为定值;(ⅱ)是否存在实数k,使得F1N⊥AC?如果存在,求直线l的方程,如果不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)(ⅰ);(ⅱ)不存在.【解析】(1)由于曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4,结合椭圆的定义可知曲线C是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆,从而可写出曲线C的方程;(2)由已知可设出过点直线l的方程,并设出直线l与曲线C所有交点的坐标;然后联立直线方程与曲线C的方程,消去y就可获得一个关于x的一元二次方程,应用韦达定理就可写出两交点模坐标的和与积;(ⅰ)应用上述结果就可以用k的代数式表示出弦的中点坐标,这样就可求出ON的斜率,再乘以k就可证明k·kON 为定值;(ⅱ)由F1N⊥AC,得kAC•kFN= -1,结合前边结果就可将此等式转化为关于k的一个方程,解此方程,若无解,则对应直线不存在,若有解,则存在且对应直线方程很易写出来.试题解析:(1)由已知可得:曲线C是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆,所以,故曲线C的方程为:. 4分(2)设过点M的直线l的方程为y=k(x+4),设B(x1, y1),C(x2, y2)(x2>y2).(ⅰ)联立方程组,得,则, 5分故,, 7分所以,所以k•kON=为定值. 8分(ⅱ)若F1N⊥AC,则kAC•kFN= -1,因为F1(-1,0),故, 10分代入y2=k(x2+4)得x2=-2-8k2,y2="2k" -8k3,而x2≥-2,故只能k=0,显然不成立,所以这样的直线不存在. 13分【考点】1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系.2.双曲线+=1的离心率,则的值为.【答案】-32【解析】由题意可得,a=2,又∵e==3,∴c=3a=6,∴b2=c2-a2=36-4=32,而k=-b2,∴k=-32【考点】双曲线离心率的计算.3.已知椭圆,直线是直线上的线段,且是椭圆上一点,求面积的最小值。

圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))

圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))

圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1,2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)已知曲线C :y =22x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B .(1)证明:直线AB 过定点: (2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.2.2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) 已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程; (2)若3AP PB =,求|AB |.3.2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅰ)已知点A (0,-2),椭圆E :22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点,直线AF ,O 为坐标原点. (1)求E 的方程;(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点.当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(Ⅰ)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若l 过点(,)3mm ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.5.2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅰ带解析)在直角坐标系xoy 中,曲线C :y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点,(Ⅰ)当k =0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM =∠OPN ?说明理由.6.2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标3) 已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线分别交于两点,交的准线于两点.(Ⅰ)若在线段上,是的中点,证明;(Ⅱ)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.7.2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷)已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为k (k > 0)的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA . (Ⅰ)当t=4,AM AN =时,求△AMN 的面积; (Ⅱ)当2AM AN =时,求k 的取值范围.设圆的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.9.2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C 22:12x y +=上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =.(1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10.2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=:交于A ,B 两点,线段AB 的中点为()()10M m m >,. (1)证明:12k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=.证明:FA ,FP ,FB 成等差数列,并求该数列的公差.已知椭圆C :2222=1x y a b +(a>b>0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(–1P 4(1中恰有三点在椭圆C 上. (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点.12.2018年全国普通高等学校招生统一考试理数(全国卷II )设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ,B 两点,||8AB =. (1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.13.2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标I 卷)设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于,A B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:OMA OMB ∠=∠.14.2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标I 卷)设抛物线22C y x =:,点()20A ,,()20B -,,过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点. (1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:ABM ABN ∠=∠.15.2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=:交于A ,B 两点.线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >.(1)证明:12k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=.证明:2FP FA FB =+.16.2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标1卷)设A 、B 为曲线C :24x y =上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM BM ⊥,求直线AB 的方程.17.2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标2卷)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C 22:12x y +=上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =.(1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18.2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标3卷)在直角坐标系xOy 中,曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ,B 两点,点C 的坐标为(0,1).当m 变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC ⊥BC 的情况?说明理由;(2)证明过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19.(2016新课标全国卷Ⅰ文科)在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C :22(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H . (Ⅰ)求OH ON;(Ⅱ)除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点?说明理由.20.2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标Ⅱ)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2,点在C 上(1)求C 的方程(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点,A B ,线段AB 的中点为M .证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21.2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)已知曲线2:,2x C y D =,为直线12y上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为,A B .(1)证明:直线AB 过定点: (2)若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求该圆的方程.22.2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(全国Ⅱ卷带解析)设1F , 2F 分别是椭圆C : 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点, M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率; (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15MN F N =,求a , b .23.2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标Ⅰ) 已知点,圆:,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为,为坐标原点.(1)求的轨迹方程;(2)当时,求的方程及的面积24.2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C :(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点. (1)求k 的取值范围;(2)若OM ON ⋅=12,其中O 为坐标原点,求|MN |.一、解答题1,2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)已知曲线C :y =22x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B .(1)证明:直线AB 过定点: (2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解;(2) 3或【分析】(1)可设11(,)A x y ,22(,)B x y ,1(,)2D t -然后求出A ,B 两点处的切线方程,比如AD :1111()2y x x t +=-,又因为BD 也有类似的形式,从而求出带参数直线AB 方程,最后求出它所过的定点.(2)由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立,再通过M 为线段AB 的中点,EM AB ⊥得出t 的值,从而求出M 坐标和EM 的值,12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离,则12d d ==,结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明:设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =. 又因为212y x =,所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x , 故1111()2y x x t +=-,整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ,同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ,而两个不同的点确定一条直线,所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=,当20,210x y =-+=时等式恒成立.所以直线AB 恒过定点1(0,)2.(2)由(1)得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,可得2210x tx --=, 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离,则12d d ==.因此,四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点,则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭, 由于EM AB ⊥,而()2,2EM t t =-,AB 与向量(1,)t 平行,所以()220t t t +-=,解得0t =或1t =±.当0t =时,3S =;当1t =±时S =因此,四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型,属于常规题型,按部就班的求解就可以.思路较为清晰,但计算量不小. 2.2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) 已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程; (2)若3AP PB =,求|AB |. 【答案】(1)12870x y --=;(2【分析】(1)设直线l :32y x m =+,()11,A x y ,()22,B x y ;根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=;联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理可构造关于m 的方程,解方程求得结果;(2)设直线l :23x y t =+;联立直线方程与抛物线方程,得到韦达定理的形式;利用3AP PB =可得123y y =-,结合韦达定理可求得12y y ;根据弦长公式可求得结果. 【详解】(1)设直线l 方程为:32y x m =+,()11,A x y ,()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知:12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得:()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=,解得:78m =-∴直线l 的方程为:3728y x =-,即:12870x y --= (2)设(),0P t ,则可设直线l 方程为:23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得:2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=,123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-,13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,通过韦达定理构造等量关系. 3.2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅰ)已知点A (0,-2),椭圆E :22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF ,O 为坐标原点.(1)求E 的方程;(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点.当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程.【答案】(1)2214x y += (2)2y x =-【解析】试题分析:设出F ,由直线AFc ,结合离心率求得a ,再由隐含条件求得b ,即可求椭圆方程;(2)点l x ⊥轴时,不合题意;当直线l 斜率存在时,设直线:2l y kx =-,联立直线方程和椭圆方程,由判别式大于零求得k 的范围,再由弦长公式求得PQ ,由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离,代入三角形面积公式,化简后换元,利用基本不等式求得最值,进一步求出k 值,则直线方程可求. 试题解析:(1)设(),0F c ,因为直线AF,()0,2A -所以23c =,c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==,所以椭圆E 的方程为2214x y +=.(2)解:设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为:2y kx =-,联立221{42,x y y kx +==-,消去y 得()221416120k x kx +-+=,当()216430k ∆=->,所以234k >,即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>,则2243k t =+,244144OPQ t S t t t∆==≤=++, 当且仅当2t =2=,解得k =时取等号, 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为:2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形最值的.4.2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅱ)已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(Ⅰ)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若l 过点(,)3mm ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)能,47-或47+. 【解析】试题分析:(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠,直线方程与椭圆方程联立,根据韦达定理求根与系数的关系,并表示直线OM 的斜率,再表示;(2)第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-.设点P 的横坐标为P x ,直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标,第二步再整理点的坐标,如果能构成平行四边形,只需,如果有值,并且满足0k >,3k ≠的条件就说明存在,否则不存在.试题解析:解:(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)M M M x y .∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=, ∴12229M x x kbx k +==-+,299M M b y kx b k =+=+. ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-,即9OM k k ⋅=-. 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-. (2)四边形OAPB 能为平行四边形. ∵直线l 过点(,)3mm ,∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >,3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-.设点P 的横坐标为P x . ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得,即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=,因此2(3)3(9)M mk k x k -=+.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+.解得147k =247k =.∵0,3i i k k >≠,1i =,2,∴当l 的斜率为47-或47+时,四边形OAPB 为平行四边形. 考点:直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦,当直线与圆锥曲线相交时,点是弦的中点,(1)知道中点坐标,求直线的斜率,或知道直线斜率求中点坐标的关系,或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时,也可以选择点差法,设,,代入椭圆方程,两式相减,化简为,两边同时除以得,而,,即得到结果,(2)对于用坐标法来解决几何性质问题,那么就要求首先看出几何关系满足什么条件,其次用坐标表示这些几何关系,本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分,即2P M x x =,分别用方程联立求两个坐标,最后求斜率.5.2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅰ带解析)在直角坐标系xoy 中,曲线C :y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点,(Ⅰ)当k =0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM =∠OPN ?说明理由. 【答案】(Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=(Ⅱ)存在 【详解】试题分析:(Ⅰ)先求出M,N 的坐标,再利用导数求出M,N.(Ⅱ)先作出判定,再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程,设出M,N 的坐标和P 点坐标,利用设而不求思想,将直线PM ,PN 的斜率之和用a 表示出来,利用直线PM ,PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系,从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析:(Ⅰ)由题设可得(2,)M a a ,(2,)N a -,或(22,)M a -,,)N a a .∵12y x '=,故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-,即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ,C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+,即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:设P (0,b )为复合题意得点,11(,)M x y ,22(,)N x y ,直线PM ,PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时,有12k k +=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN ,所以(0,)P a -符合题意.考点:抛物线的切线;直线与抛物线位置关系;探索新问题;运算求解能力 6.2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标3) 已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线分别交于两点,交的准线于两点.(Ⅰ)若在线段上,是的中点,证明;(Ⅱ)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:设的方程为.(1)由在线段上,又;(2)设与轴的交点为(舍去),.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时.当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为.试题解析:由题设,设,则,且.记过两点的直线为,则的方程为.............3分(1)由于在线段上,故,记的斜率为的斜率为,则,所以..................5分(2)设与轴的交点为,则,由题设可得,所以(舍去),.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时,由可得.而,所以.当与轴垂直时,与重合,所以,所求轨迹方程为.........12分考点:1.抛物线定义与几何性质;2.直线与抛物线位置关系;3.轨迹求法.7.2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷)已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为k (k > 0)的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA . (Ⅰ)当t=4,AM AN =时,求△AMN 的面积; (Ⅱ)当2AM AN =时,求k 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)14449;(Ⅱ))2.【解析】试题分析:(Ⅰ)先求直线AM 的方程,再求点M 的纵坐标,最后求AMN 的面积;(Ⅱ)设()11,M x y ,写出A 点坐标,并求直线AM 的方程,将其与椭圆方程组成方程组,消去y ,用,t k 表示1x ,从而表示AM ,同理用,t k 表示AN ,再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析:(Ⅰ)设()11,M x y ,则由题意知10y >,当4t =时,E 的方程为22143x y +=,()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =,所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.(Ⅱ)由题意3t >,0k >,()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+,故1AM x =+=.由题设,直线AN 的方程为(1y x k =-+,故同理可得AN ==,由2AM AN =得22233k tk k t=++,即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立,因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--, 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<,或320{20k k -<->,解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系,求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题,常把所求参数作为函数值,另一个元作为自变量求解.8.2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标1卷) 设圆的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)利用椭圆定义求方程;(Ⅱ)把面积表示为关于斜率k 的函数,再求最值。

高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案

高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案

圆锥曲线测试题一、选择题:1.已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ,则动点M 的轨迹是( ) A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对2.设P 是双曲线19222=-y a x 上一点,双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F2分别是双曲线的左、右焦点,若5||1=PF ,则=||2PF ( )A. 1或5B. 1或9C. 1D. 93、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ).A. B. C. 2 D.1-4.过点(2,-1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条A. 1B.2C. 35.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ,动点2),(y PB PA y x P =⋅满足,则点P 的轨迹是 ( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线6.如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( )A 02=-y xB 042=-+y xC 01232=-+y xD 082=-+y x7、无论θ为何值,方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是( ) A. 双曲线B.抛物线C. 椭圆D.以上都不对8.若抛物线)0(22≠=a ax y 的焦点与双曲线1322=-y x 的左焦点重合,则a 的值为 A .2-B .2C .4-D .49.已知点F 、A 分别为双曲线C :22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点、右顶点,点(0,)B b 满足0FB AB ⋅=u u u r u u u r,则双曲线的离心率为A B C .D 10.方程02=+ny mx )0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是( )B二、填空1191697=-有下列命题: ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .12. 若中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的椭圆经过两点(4,0)和(0,2),则该椭圆的离心率等于 。

全国一卷圆锥曲线高考题汇编含答案#(精选.)

全国一卷圆锥曲线高考题汇编含答案#(精选.)

高二数学专题学案圆锥曲线部分高考试题汇编(椭圆部分)1、(2016全国I卷)(20)(本小题满分12分)设圆x2 + y2 + 2x—15 = 0的圆心为4直线l过点B (1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C, D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明|EA| + |EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于PQ两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.x2 y22、(2015全国I卷)(14)一个圆经过椭圆7十一二1的三个顶点,且圆心在乂轴上,则该圆的标准方程16 4为。

3、(2014全国I卷)20.(本小题满分12分)已知点A(0,-2),椭圆E:上+ y2= 1(a > b > 0)的离心率为3,,F是椭圆a2 b2 2的焦点,直线AF的斜率为233,O为坐标原点.(I)求E的方程;(II)设过点A的直线l与E相交于P, Q两点,当A OPQ的面积最大时,求l的方程.4、(2016山东卷)(21)(本小题满分14分)平面直角坐标系g中,椭圆C::喙=1(a>b>°)的离心率是浮,抛物线E3x=2'的焦点F是C的一个顶点.(I)求椭圆C的方程;(II)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证:点M在定直线上;(ii)直线l与y轴交于点6,记^PFG的面积为S j ^PDM的面积为S2,求S-的最大值及取得最大值2时点P的坐标.八- x 2 Y 2 一,,〜5、(2015山东卷)(20)(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C :— + ) =1(a > b > 0)a 2 b2的离心率为*,左、右焦点分别是F , F ,以F 为圆心,以3为半径的圆与以F 为圆心,以1为半径的 2 1212圆相交,交点在椭圆C 上. (I )求椭圆C 的方程;x 2 y 2(H )设椭圆E :江+而二1,P 为椭圆C 上的任意一点,过点P的直线厂"m 交椭圆E 于A,B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q.圆锥曲线部分高考试题汇编(双曲线部分)1、(2016全国I 卷)(5)已知方禾m 2+n--就工=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的i )求|OQ | | OP |的值;(ii )求A ABQ 面积最大值.取值范围是(2、(2015全国I 卷)(5)已知M (x 0 丫0)是双曲线C : --W= 1上的一点,F 1、F 2是C 上的两个焦点,若西 • MF 2 <0,则y 0的取值范围是(2J3(D )(一二33、(2014全国I 卷)4.已知F 是双曲线C : x 2 - my 2 = 3m (m > 0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A . <3B .3C . <3mD . 3mx 2 y 24、(2016山东卷)(13)已知双曲线E_,: ---= 1 (a >0, b >0),若矩形ABCD 的四个顶点在E 上, 1a 2b 2AB , CD 的中点为E 的两个焦点,且21AB |=3|BC |,则E 的离心率是.x 2 y 25、(2015山东卷)(15)平面直角坐标系xOy 中,双曲线C : 一--—= 1(a > 0,b > 0)的渐近线与抛物线1a 2 b2C : x 2 = 2py (p > 0)交于点O , A , B ,若A OAB 的垂心为C 的焦点,则C 的离心率为. 2 21x 2 y 2 x 2 y 26、(2014山东卷)(10)已知a > b ,椭圆C 的方程为—+ -- = 1 ,双曲线C 的方程为——^- = 1, C1 a2 b 2 2 a 2 b 2 1与C 的离心率之积为二,则C 的渐近线方程为()222(A ) x 土 <2y = 0 (B ) J2x 土 y = 0 (C ) x 土2y = 0 (D ) 2x 土 y = 0圆锥曲线部分高考试题汇编(抛物线部分)(A )(-1,3)(B )(-1八”)(C )(0,3)(D )(0,\与)2<2 (C )(-—— 32<31、(2016全国I卷)(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A, B两点,交C的准线于D, E两点.已知| AB | = 4";2 , | DEI= 2d5,则C的焦点到准线的距离为()(A)2 (B)4 (C)6 (D)82、(2015全国I卷)(20)(本小题满分12分)x2在直角坐标系xoy中,曲线C:y =—与直线y = kx + a(a >0)交与M,N两点,(I)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(II)y轴上是否存在点R使得当k变动时,总有N OPM =Z OPN ?说明理由。

圆锥曲线试题及答案

圆锥曲线试题及答案

椭圆一、选择题 1.(2021·高考大纲全国卷)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x =-4,那么该椭圆的方程为( )A.x 216+y 212=1B.x 212+y 28=1C.x 28+y 24=1D.x 212+y 24=1 解析:选C.由题意知椭圆的焦点在x 轴上,故可设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0).由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c =4,a 2c =4,∴⎩⎪⎨⎪⎧c =2,a 2=8,∴b 2=a 2-c 2=4,故所求椭圆方程为x 28+y 24=1. 2.(2021·高考浙江卷)椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2:x 2-y 24=1有公共的焦点,C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ,B 两点,假设C 1恰好将线段AB 三等分,那么( )A .a 2=132 B .a 2=13C .b 2=12D .b 2=2解析:选C.由题意知,a 2=b 2+5,因此椭圆方程为(a 2-5)x 2+a 2y 2+5a 2-a 4=0,双曲线的一条渐近线方程为y =2x ,联立方程消去y ,得(5a 2-5)x 2+5a 2-a 4=0,∴直线截椭圆的弦长d =5×2a 4-5a 25a 2-5=23a , 解得a 2=112,b 2=12.3.椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ,其右准线与x 轴的交点为A ,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ,那么椭圆离心率的取值范围是( )A .(0,22]B .(0,12]C .[2-1,1)D .[12,1)解析:选D.设P (x 0,y 0),那么|PF |=a -ex 0.又点F 在AP 的垂直平分线上,∴a -ex 0=a 2c -c ,因此x 0=a (ac -a 2+c 2)c 2.又-a ≤x 0<a ,∴-a ≤a (ac -a 2+c 2)c 2<a .∴-1≤e 2+e -1e 2<1.又0<e <1,∴12≤e <1.4.椭圆x 24+y 23=1的长轴的左、右端点分别为A 、B ,在椭圆上有一个异于点A 、B 的动点P ,假设直线P A 的斜率k P A =12,那么直线PB 的斜率k PB 为( )A.34B.32C .-34D .-32解析:选D.设点P (x 1,y 1)(x 1≠±2),那么k P A =y 1x 1+2,k PB =y 1x 1-2,∵k P A ·k PB =y 1x 1+2·y 1x 1-2=y 21x 21-4=3(1-x 214)x 21-4=-34,∴k PB =-34k P A =-34×2=-32,故应选D.5.椭圆E :x 2a 2+y2b2=1(a >b >0),以其左焦点F 1(-c,0)为圆心,以a -c 为半径作圆,过上顶点B 2(0,b )作圆F 1的两条切线,设切点分别为M ,N .假设过两个切点M ,N 的直线恰好经过下顶点B 1(0,-b ),那么椭圆E 的离心率为( )A.2-1B.3-1C.5-2D.7-3解析:选B.由题意得,圆F 1: (x +c )2+y 2=(a -c )2. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),那么切线B 2M :(x 1+c )(x +c )+y 1y =(a -c )2, 切线B 2N :(x 2+c )(x +c )+y 2y =(a -c )2. 又两条切线都过点B 2(0,b ),所以c (x 1+c )+y 1b =(a -c )2,c (x 2+c )+y 2b =(a -c )2. 所以直线c (x +c )+yb =(a -c )2就是过点M 、N 的直线. 又直线MN 过点B 1(0,-b ),代入化简得c 2-b 2=(a -c )2,所以e =3-1. 二、填空题 6.(2021·高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C的方程为__________.解析:设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1,由e =22知c a =22,故b 2a 2=12.由于△ABF 2的周长为|AB |+|BF 2|+|AF 2|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a =16,故a =4.∴b 2=8.∴椭圆C 的方程为x 216+y 28=1.答案:x 216+y 28=17.(2021·高考江西卷)假设椭圆x 2a 2+y 2b2=1的焦点在x 轴上,过点⎝⎛⎭⎫1,12作圆x 2+y 2=1的切线,切点分别为A ,B ,直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,那么椭圆方程是________.解析:由题意可得切点A (1,0).切点B (m ,n )满足⎩⎪⎨⎪⎧n -12m-1=-mn m 2+n 2=1,解得B ⎝⎛⎭⎫35,45.∴过切点A ,B 的直线方程为2x +y -2=0.令y =0得x =1,即c =1;令x =0得y =2,即b =2. ∴a 2=b 2+c 2=5,∴椭圆方程为x 25+y 24=1.答案:x 25+y 24=18.(2021·高考四川卷)椭圆x 2a 2+y 25=1(a 为定值,且a >5)的左焦点为F ,直线x =m 与椭圆相交于点A 、B ,△F AB 的周长的最大值是12,那么该椭圆的离心率是________.解析:设椭圆的右焦点为F ′,如图,由椭圆定义知,|AF |+|AF ′|=|BF |+|BF ′|=2a . 又△F AB 的周长为|AF |+|BF |+|AB |≤|AF |+|BF |+|AF ′|+|BF ′|=4a , 当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立. 此时4a =12,那么a =3.故椭圆方程为x 29+y 25=1,所以c =2,所以e =c a =23.答案:23三、解答题9.设F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左,右焦点,过F 2的直线l 与椭圆C相交于A ,B 两点,直线l 的倾斜角为60°,F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距;(2)如果AF 2→=2F 2B →,求椭圆C 的方程.解:(1)设椭圆C 的焦距为2c ,由可得F 1到直线l 的距离3c =23,故c =2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意知y 1<0,y 2>0, 直线l 的方程为y =3(x -2).联立 ⎩⎪⎨⎪⎧y =3(x -2)x 2a 2+y 2b 2=1,得(3a 2+b 2)y 2+43b 2y -3b 4=0.解得y 1=-3b 2(2+2a )3a 2+b 2,y 2=-3b 2(2-2a )3a 2+b 2.因为AF 2→=2F 2B →,所以-y 1=2y 2.即3b 2(2+2a )3a 2+b 2=2·-3b 2(2-2a )3a 2+b 2,得a =3.而a 2-b 2=4,所以b = 5.故椭圆C 的方程为x 29+y 25=1.10.(2021·高考辽宁卷)如图,椭圆C 1的中心在原点O ,长轴左、右端点M ,N 在x 轴上,椭圆C 2的短轴为MN ,且C 1,C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ,l 与C 1交于两点,与C 2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .(1)设e =12,求|BC |与|AD |的比值;(2)当e 变化时,是否存在直线l ,使得BO ∥AN ,并说明理由. 解:(1)因为C 1,C 2的离心率相同,故依题意可设C 1: x 2a 2+y 2b 2=1,C 2:b 2y 2a 4+x 2a2=1(a >b >0). 设直线l :x =t (|t |<a ),分别与C 1,C 2的方程联立,求得A ⎝⎛⎭⎫t ,a b a 2-t 2,B ⎝⎛⎭⎫t ,b a a 2-t 2. 当e =12时,b =32a ,分别用y A ,y B 表示A ,B 的纵坐标,可知|BC |∶|AD |=2|y B |2|y A |=b 2a 2=34.(2)当t =0时的l 不符合题意,当t ≠0时,BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等, 即b a a 2-t 2t =ab a 2-t 2t -a,解得t =-ab 2a 2-b2=-1-e 2e 2·a .因为|t |<a ,又0<e <1,所以1-e 2e 2<1,解得22<e <1.所以当0<e ≤22时,不存在直线l ,使得BO ∥AN ;当22<e <1时,存在直线l ,使得BO ∥AN . 11.(探究选做)椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2,其中F 2也是抛物线C 2:y 2=4x 的焦点,M 是C 1与C 2在第一象限的交点,且|MF 2|=53.(1)求椭圆C 1的方程;(2)菱形ABCD 的顶点A 、C 在椭圆C 1上,顶点B 、D 在直线7x -7y +1=0上,求直线AC 的方程.解:(1)设M (x 1,y 1),∵F 2(1,0),|MF 2|=53.由抛物线定义,x 1+1=53,∴x 1=23,∵y 21=4x 1,∴y 1=263. ∴M (23,263),∵M 在C 1上,∴49a 2+83b 2=1,又b 2=a 2-1,∴9a 4-37a 2+4=0,∴a 2=4或a 2=19<c 2舍去.∴a 2=4,b 2=3.∴椭圆C 1的方程为x 24+y 23=1.(2)∵直线BD 的方程为7x -7y +1=0,四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD ,设直线AC 的方程为y =-x +m ⎩⎪⎨⎪⎧y =-x +mx 24+y 23=1⇒7x 2-8mx +4m 2-12=0,∵A 、C 在椭圆C 1上,∴Δ>0,∴m 2<7, ∴-7<m <7.设A (x 1,y 1),C (x 2,y 2),那么x 1+x 2=8m7.y 1+y 2=(-x 1+m )+(-x 2+m )=-(x 1+x 2)+2m=-8m 7+2m =6m 7.∴AC 的中点坐标为(4m 7,3m 7),由ABCD 为菱形可知,点(4m 7,3m7)在直线BD :7x -7y+1=0上,∴7·4m 7-7·3m7+1=0,m =-1.∵m =-1∈(-7,7),∴直线AC 的方程为y =-x -1,即x +y +1=0.双曲线一、选择题1.(2021·高考湖南卷)设双曲线x 2a 2-y 29=1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y =0,那么a 的值为( )A .4B .3C .2D .1解析:选C.渐近线方程可化为y =±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上,∴9a 2=⎝⎛⎭⎫±322,解得a =±2.由题意知a >0,∴a =2. 2.(2021·高考天津卷)双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),那么双曲线的焦距为( )A .2 3B .2 5C .4 3D .4 5解析:选B.双曲线左顶点为A 1(-a,0),渐近线为y =±bax ,抛物线y 2=2px (p >0)焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2,0,准线为直线x =-p2.由题意知-p2=-2,∴p =4,由题意知2+a =4,∴a =2.∴双曲线渐近线y =±b 2x 中与准线x =-p 2交于(-2,-1)的渐近线为y =b 2x ,∴-1=b2×(-2),∴b =1.∴c 2=a 2+b 2=5,∴c =5,∴2c =2 5.3.设双曲线的左准线与两条渐近线交于A 、B 两点,左焦点在以AB 为直径的圆内,那么该双曲线的离心率的取值范围为( )A .(0,2)B .(1,2)C .(22,1) D .(2,+∞)解析:选B.法一:由⎩⎨⎧x =-a 2c ,y =-b ax ,得A ⎝⎛⎭⎫-a 2c ,ab c . 同理可得B ⎝⎛⎭⎫-a 2c ,-ab c .又左焦点F (-c,0),∴F A →=⎝⎛⎭⎫b 2c ,ab c ,FB →=⎝⎛⎭⎫b 2c ,-ab c .∵点F 在以AB 为直径的圆内,∴F A →·FB →<0,即⎝⎛⎭⎫b 2c 2-⎝⎛⎭⎫ab c 2<0,∴b 4<a 2b 2, ∴b 2<a 2,即c 2-a 2<a 2,∴c 2<2a 2, 即e 2<2,∴e < 2.又∵e >1,∴1<e < 2.法二:由⎩⎨⎧x =-a 2c,y =-ba x ,得A ⎝⎛⎭⎫-a 2c ,abc . 同理可得B ⎝⎛⎭⎫-a 2c,-abc . ∵点F (-c,0)在以AB 为直径的圆内,∴左焦点F 到圆心的距离小于半径长,即c -a 2c <abc ,∴a >b .∴e =ca=a 2+b 2a= 1+b 2a2< 2. 又∵e >1,∴1<e < 2. 4.(2021·高考大纲全国卷)F 1、F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,那么cos ∠F 1PF 2=( )A.14B.35C.34D.45解析:选C.由x 2-y 2=2知,a 2=2,b 2=2,c 2=a 2+b 2=4, ∴a =2,c =2.又∵|PF 1|-|PF 2|=2a ,|PF 1|=2|PF 2|, ∴|PF 1|=42,|PF 2|=2 2. 又∵|F 1F 2|=2c =4,∴由余弦定理得cos ∠F 1PF 2=(42)2+(22)2-422×42×22=34.5.(2021·高考山东卷)双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均和圆C :x 2+y 2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,那么该双曲线的方程为( )A.x 25-y 24=1B.x 24-y 25=1C.x 23-y 26=1D.x 26-y 23=1 解析:选A.∵双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的渐近线方程为y =±bax ,圆C 的标准方程为(x -3)2+y 2=4,∴圆心为C (3,0). 又渐近线方程与圆C 相切,即直线bx -ay =0与圆C 相切,∴3b a 2+b 2=2,∴5b 2=4a 2.①又∵x 2a 2-y 2b 2=1的右焦点F 2(a 2+b 2,0)为圆心C (3,0),∴a 2+b 2=9.②由①②得a 2=5,b 2=4.∴双曲线的标准方程为x 25-y 24=1.二、填空题6.(2021·高考四川卷)双曲线x 264-y 236=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4,那么点P到左准线的距离是__________.解析:由x 264-y 236=1可知a =8,b =6,那么c =10,设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2,由|PF 2|=4及双曲线的第一定义得|PF 1|=16+4=20.设点P 到左准线的距离为d ,由双曲线的第二定义有20d =108,即d =16.答案:167.(2021·高考重庆卷)设P 为直线y =b 3a x 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)左支的交点,F 1是左焦点,PF 1垂直于x 轴,那么双曲线的离心率e =________.解析:∵直线y =b 3a x 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1相交,由⎩⎨⎧y =b 3a x ,x 2a 2-y2b 2=1消去y 得x =32a4,又PF 1垂直于x 轴,∴32a 4=c ,即e =c a =324.答案:3248.双曲线x 2-y 2b2=1(b >0)的一条渐近线的方程为y =2x ,那么b =________.解析:∵双曲线的焦点在x 轴上,∴b a =2,∴b 2a 2=4.∵a 2=1,∴b 2=4. 又∵b >0,∴b =2.答案:2 三、解答题9.由双曲线x 29-y 24=1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成△PF 1F 2,求△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标N .解:由双曲线方程知a =3,b =2,c =13.当点P 在双曲线的右支上时,如右图,根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得|PF 1|-|PF 2|=2a .由于|NF 1|-|NF 2|=|PF 1|-|PF 2|=2a .① |NF 1|+|NF 2|=2c .②由①②得|NF 1|=2a +2c2=a +c ,∴|ON |=|NF 1|-|OF 1|=a +c -c =a =3. 故切点N 的坐标为(3,0).根据对称性,当P 在双曲线左支上时,切点N 的坐标为(-3,0).10.(2021·高考四川卷)如图,动点M 与两定点A (-1,0)、B (1,0)构成△MAB ,且直线MA 、MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程;(2)设直线y =x +m (m >0)与y 轴相交于点P ,与轨迹C 相交于点Q ,R ,且|PQ |<|PR |,求|PR ||PQ |的取值范围. 解:(1)设M 的坐标为(x ,y ),当x =-1时,直线MA 的斜率不存在;当x =1时,直线MB 的斜率不存在.于是x ≠1且x ≠-1.此时,MA 的斜率为y x +1,MB 的斜率为yx -1.由题意,有y x +1·yx -1=4.化简可得,4x 2-y 2-4=0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2-y 2-4=0(x ≠1且x ≠-1).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +m 4x 2-y 2-4=0,消去y ,可得3x 2-2mx -m 2-4=0.(*) 对于方程(*),其判别式Δ=(-2m )2-4×3(-m 2-4)=16m 2+48>0, 而当1或-1为方程(*)的根时,m 的值为-1或1. 结合题设(m >0)可知,m >0且m ≠1.设Q 、R 的坐标分别为(x Q ,y Q ),(x R ,y R ),那么x Q ,x R 为方程(*)的两根. 因为|PQ |<|PR |,所以|x Q |<|x R |, x Q =m -2m 2+33,x R =m +2m 2+33.所以|PR ||PQ |=⎪⎪⎪⎪x R x Q =21+3m 2+121+3m 2-1=1+22 1+3m2-1. 此时 1+3m 2>1,且 1+3m2≠2,所以1<1+22 1+3m 2-1<3,且1+22 1+3m2-1≠53,所以1<|PR ||PQ |=⎪⎪⎪⎪x R x Q<3,且|PR ||PQ |=⎪⎪⎪⎪x R x Q ≠53.综上所述,|PR ||PQ |的取值范围是⎝⎛⎭⎫1,53∪⎝⎛⎭⎫53,3. 11.(探究选做)双曲线C :x24-y 2=1,P 为C 上的任意一点.(1)求证:点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数; (2)设点A 的坐标为(3,0),求|P A |的最小值. 解:(1)证明:设P (x 1,y 1)是双曲线C 上任意一点, 该双曲线的两条渐近线方程分别是x -2y =0和x +2y =0, 点P (x 1,y 1)到两条渐近线的距离分别是 |x 1-2y 1|5和|x 1+2y 1|5, ∴|x 1-2y 1|5·|x 1+2y 1|5=|x 21-4y 21|5=45.故点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. (2)设点P 的坐标为(x ,y )(|x |≥2),那么|P A |2=(x -3)2+y 2=(x -3)2+x 24-1=54(x -125)2+45, ∵|x |≥2,∴当x =125时,|P A |2取到最小值45,即|P A |的最小值为255.抛物线一、选择题1.抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆x 2+y 2-6x -7=0相切,那么p 的值为( ) A.12 B .1 C .2 D .4解析:选C.由抛物线的标准方程得准线方程为x =-p2.由x 2+y 2-6x -7=0得(x -3)2+y 2=16.∵准线与圆相切,∴3+p2=4,∴p =2.2.(2021·高考四川卷)抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点M (2,y 0).假设点M 到该抛物线焦点的距离为3,那么|OM |=( )A .2 2B .2 3C .4D .2 5解析:选B.由题意设抛物线方程为y 2=2px (p >0),那么M 到焦点的距离为x M +p 2=2+p2=3,∴p =2,∴y 2=4x .∴y 20=4×2,∴y 0=±22, ∴|OM |=4+y 20=4+8=2 3. 3.(2021·四川成都模拟)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,过点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点.假设线段AB 的中点E 到y 轴的距离为3,那么弦AB 的长为( )A .5B .8C .10D .12解析:选C.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), |AB |=|AF |+|BF |=x 1+x 2+4, 又E 到y 轴距离为3,∴x 1+x 22=3.∴|AB |=10. 4.(2021·高考课标全国卷)直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=12,P 为C 的准线上一点,那么△ABP 的面积为( )A .18B .24C .36D .48解析:选C.不妨设抛物线的标准方程为y 2=2px (p >0),由于l 垂直于对称轴且过焦点,故直线l 的方程为x =p2.代入y 2=2px 得y =±p ,即|AB |=2p ,又|AB |=12,故p =6,所以抛物线的准线方程为x =-3,故S △ABP =12×6×12=36.5.(2021·高考四川卷)在抛物线y =x 2+ax -5(a ≠0)上取横坐标为x 1=-4,x 2=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2+5y 2=36相切,那么抛物线顶点的坐标为( )A .(-2,-9)B .(0,-5)C .(2,-9)D .(1,-6)解析:选A.当x 1=-4时,y 1=11-4a ;当x 2=2时,y 2=2a -1,所以割线的斜率k =11-4a -2a +1-4-2=a -2.设直线与抛物线的切点横坐标为x 0,由y ′=2x +a 得切线斜率为2x 0+a , ∴2x 0+a =a -2,∴x 0=-1.∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a -4),切线方程为y +a +4=(a -2)(x +1),即(a -2)x -y -6=0.圆5x 2+5y 2=36的圆心到切线的距离d =6(a -2)2+1 .由题意得6(a -2)2+1=65,即(a -2)2+1=5.又a ≠0,∴a =4,此时,y =x 2+4x -5=(x +2)2-9.顶点坐标为(-2,-9). 二、填空题 6.(2021·高考重庆卷)过抛物线y 2=2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,假设|AB |=2512,|AF |<|BF |,那么|AF |=__________. 解析:由于y 2=2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12,0,设AB 所在直线的方程为y =k ⎝⎛⎭⎫x -12,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),x 1<x 2,将y =k ⎝⎛⎭⎫x -12代入y 2=2x ,得k 2⎝⎛⎭⎫x -122=2x , ∴k 2x 2-(k 2+2)x +k 24=0.∴x 1x 2=14. 而x 1+x 2+p =x 1+x 2+1=2512,∴x 1+x 2=1312.∴x 1=13,x 2=34.∴|AF |=x 1+p 2=13+12=56.答案:567.抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,C 上的点M 在C 的准线上的射影为M ′,假设MM ′→·MF →=12|MM ′→|·|MF →|,那么点M 的横坐标为________.解析:如下图,∵MM ′→·MF →=|MM ′→||MF →|cos ∠M ′MF =12|MM ′→||MF →|, ∴cos ∠M ′MF =12.∴∠M ′MF =60°.又∵|M ′M |=|MF |,故△MM ′F 为正三角形. 设M (x ,y ),那么M ′(-1,y ),F (1,0), ∴|M ′F |=(-1-1)2+y 2=|MM ′|=x +1,整理得y 2=x 2+2x -3,将y 2=4x 代入y 2=x 2+2x -3得x 2-2x -3=0,即x =3或-1(舍). 答案:3 8.(2021·高考重庆卷)设圆C 位于抛物线y 2=2x 与直线x =3所围成的封闭区域(包含边界)内,那么圆C 的半径能取到的最大值为__________.解析:如下图,假设圆C 的半径取到最大值,必须为圆与抛物线及直线x =3同时相切,设圆心的坐标为(a,0)(a <3),那么圆的方程为(x -a )2+y 2=(3-a )2,与抛物线方程y 2=2x 联立得x 2+(2-2a )x +6a -9=0,由判别式Δ=(2-2a )2-4(6a -9)=0,得a =4-6,故此时半径为3-(4-6)=6-1.答案:6-1 三、解答题 9.(2021·东北三校调研)点M (5,3)到抛物线y =ax 2的准线的距离为6,试求抛物线的方程.解:当抛物线开口向上时,准线为y =-14a ,点M 到它的距离为14a +3=6,a =112,抛物线的方程为y =112x 2.当抛物线开口向下时,准线为y =-14a ,M 到它的距离为-14a -3=6,a =-136.抛物线的方程为y =-136x 2.所以,抛物线的方程为y =112x 2或y =-136x 2.10.设抛物线y 2=4ax (a >0)的焦点为A ,以B (a +4,0)点为圆心,|BA |为半径,在x 轴上方画半圆,设抛物线与半圆相交于不同两点M 、N ,点P 是MN 的中点.求|AM |+|AN |的值.解:设M 、N 、P 在抛物线的准线上射影分别为M ′、N ′、P ′, 那么由抛物线定义得|AM |+|AN |=|MM ′|+|NN ′|=x M +x N +2a . 又圆的方程为[x -(a +4)]2+y 2=16, 将y 2=4ax 代入得x 2-2(4-a )x +a 2+8a =0,∴x M +x N =2(4-a ),所以|AM |+|AN |=8.11.(探究选做)如图,设抛物线方程为x 2=2py (p >0),M为直线y =-2p 上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A ,B .(1)求证:A ,M ,B 三点的横坐标成等差数列;(2)当M 点的坐标为(2,-2p )时,|AB |=410.求此时抛物线的方程.解:(1)证明:由题意设A (x 1,x 212p ),B (x 2,x 222p ),x 1<x 2,M (x 0,-2p ).由x 2=2py 得y =x 22p ,那么y ′=x p ,所以k MA =x 1p ,k MB =x 2p.因此直线MA的方程为y +2p =x 1p(x -x 0).直线MB 的方程为y +2p =x 2p(x -x 0).所以x 212p +2p =x 1p (x 1-x 0),①x 222p +2p =x 2p(x 2-x 0),② 由①-②得x 1+x 22=x 1+x 2-x 0,因此x 0=x 1+x 22,即2x 0=x 1+x 2.所以A ,M ,B 三点的横坐标成等差数列. (2)由(1)知,当x 0=2时,将其代入①、②并整理得x 21-4x 1-4p 2=0,x 22-4x 2-4p 2=0,所以x 1、x 2是方程x 2-4x -4p 2=0的两根, 因此x 1+x 2=4,x 1x 2=-4p 2,又k AB =x 222p -x 212p x 2-x 1=x 1+x 22p =x 0p ,所以k AB =2p .由弦长公式得|AB |=1+k 2AB ·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+4p2·16+16p 2. 又|AB |=4 10, 所以p =1或p =2.因此所求抛物线方程为x 2=2y 或x 2=4y . 直线与圆锥曲线一、选择题1.(2021·福州模拟)F 1,F 2是椭圆x 216+y 29=1的两焦点,过点F 2的直线交椭圆于A ,B两点.在△AF 1B 中,假设有两边之和是10,那么第三边的长度为( )A .6B .5C .4D .3解析:选A.根据椭圆定义,知△AF 1B 的周长为4a =16,故所求的第三边的长度为16-10=6.2.(2021·高考大纲全国卷)抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线y =2x -4与C 交于A ,B 两点,那么cos ∠AFB =( )A.45B.35C .-35D .-45解析:选D.法一:由⎩⎪⎨⎪⎧ y =2x -4,y 2=4x ,得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1y =-2或⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =4.令B (1,-2),A (4,4),又F (1,0),∴由两点间距离公式得|BF |=2,|AF |=5,|AB |=3 5. ∴cos ∠AFB =|BF |2+|AF |2-|AB |22|BF |·|AF |=4+25-452×2×5=-45.法二:由法一得A (4,4),B (1,-2),F (1,0),∴F A →=(3,4),FB →=(0,-2), ∴|F A →|=32+42=5,|FB →|=2.∴cos ∠AFB =F A →·FB →|F A →|·|FB →|=3×0+4×(-2)5×2=-45.3.曲线C 1的方程为x 2-y28=1(x ≥0,y ≥0),圆C 2的方程为(x -3)2+y 2=1,斜率为k (k >0)的直线l 与圆C 2相切,切点为A ,直线l 与曲线C 1相交于点B ,|AB |=3,那么直线AB 的斜率为( )A.33B.12 C .1 D. 3解析:选A.设B (a ,b ),那么由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2-b 28=1(a -3)2+b 2=3+1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1b =0.那么直线AB 的方程为y =k (x -1),故|3k -k |1+k 2=1,∴k =33或k =-33(舍去).4.设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3+12D.5+12解析:选D.设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),如下图,双曲线的一条渐近线方程为y =b a x ,而k BF =-b c ,∴b a ·(-b c)=-1,整理得b 2=ac .∴c 2-a 2-ac =0,两边同除以a 2,得e 2-e -1=0,解得e =1+52或e =1-52(舍去),应选D.5.双曲线E 的中心为原点,F (3,0)是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且AB 的中点为N (-12,-15),那么E 的方程为( )A.x 23-y 26=1B.x 24-y 25=1C.x 26-y 23=1D.x 25-y 24=1 解析:选B.∵k AB =0+153+12=1,∴直线AB 的方程为y =x -3. 由于双曲线的焦点为F (3,0),∴c =3,c 2=9.设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),把y =x -3代入双曲线方程,那么x 2a 2-(x -3)2b 2=1.整理,得(b 2-a 2)x 2+6a 2x -9a 2-a 2b 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),那么x 1+x 2=6a 2a 2-b2=2×(-12),∴a 2=-4a 2+4b 2,∴5a 2=4b 2.又a 2+b 2=9,∴a 2=4,b 2=5.∴双曲线E 的方程为x 24-y 25=1.二、填空题6.(2021·高考江西卷)假设椭圆x 2a 2+y 2b2=1的焦点在x 轴上,过点⎝⎛⎭⎫1,12作圆x 2+y 2=1的切线,切点分别为A ,B ,直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,那么椭圆方程是________.解析:由题意可得切点A (1,0).切点B (m ,n )满足⎩⎪⎨⎪⎧n -12m -1=-mn m 2+n 2=1,,解得B ⎝⎛⎭⎫35,45.∴过切点A ,B 的直线方程为2x +y -2=0.令y =0得x =1,即c =1;令x =0得y =2,即b =2.∴a 2=b 2+c 2=5,∴椭圆方程为x 25+y 24=1.答案:x 25+y 24=17.(2021·广西梧州高三检测)设点F 为抛物线y =-14x 2的焦点,与抛物线相切于点P (-4,-4)的直线l 与x 轴的交点为Q ,那么∠PQF 的值是________.解析:∵y ′=-12x ,∴k PQ =y ′|x =-4=2,∴直线PQ 的方程为y +4=2(x +4). 令y =0,得x =-2,∴点Q (-2,0).又∵焦点F (0,-1),∴k FQ =-12,∴k PQ ·k FQ =-1,∴∠PQF =π2.答案:π28.F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且BF →=2FD →,那么C 的离心率为________.解析:法一:如图,设椭圆C 的焦点在x 轴上, B (0,b ),F (c,0),D (x D ,y D ),那么BF →=(c ,-b ),FD →=(x D -c ,y D ), ∵BF →=2FD →,∴⎩⎪⎨⎪⎧c =2(x D -c ),-b =2y D ,∴⎩⎨⎧x D =3c2,y D =-b 2.∴(3c 2)2a 2+(-b 2)2b 2=1,即e 2=13,∴ e =33. 法二:设椭圆C 的焦点在x 轴上, 如图,B (0,b ),F (c,0),D (x D ,y D ), 那么|BF |=b 2+c 2=a .作DD 1⊥y 轴于点D 1,那么由BF →=2 FD →,得|OF ||DD 1|=|BF ||BD |=23,∴|DD 1|=32|OF |=32c ,即x D =3c2.由椭圆的第二定义得|FD |=e (a 2c -3c 2)=a -3c 22a.又由|BF |=2|FD |,得a =2a -3c 2a,整理得c 2a 2=13,即e 2=13.∴e =33.答案:33三、解答题9. 抛物线C 的方程为y 2=4x ,其焦点为F ,准线为l ,过F 作直线m 交抛物线C 于M ,N 两点.求S △OMN 的最小值.解:由题意知F (1,0),l :x =-1, 设m :x =ay +1,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)那么⎩⎪⎨⎪⎧x =ay +1y 2=4x ⇒y 2-4ay -4=0,由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=4a y 1y 2=-4.S △OMN =12|OF ||y 1-y 2|=12(y 1+y 2)2-4y 1y 2=12·16a 2+16=2a 2+1≥2(a =0时取得等号). 所以S △OMN 的最小值为2.10.(2021·高考重庆卷)如下图,设椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为F 1、F 2,线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2,且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B 1作直线交椭圆于P 、Q 两点,使PB 2⊥QB 2,求△PB 2Q 的面积.解:(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),右焦点为F 2(c,0).因为△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|=|AB 2|,故∠B 1AB 2为直角,从而|OA |=|OB 2|,得b =c2.结合c 2=a 2-b 2得4b 2=a 2-b 2,故a 2=5b 2,c 2=4b 2,所以离心率e =c a =25 5.在Rt △AB 1B 2中,OA ⊥B 1B 2,故S △AB 1B 2=12·|B 1B 2|·|OA |=|OB 2|·|OA |=c2·b =b 2,由题设条件S △AB 1B 2=4得b 2=4,从而a 2=5b 2=20.因此所求椭圆的标准方程为x 220+y 24=1.(2)由(1)知B 1(-2,0),B 2(2,0).由题意知,直线PQ 的倾斜角不为0,故可设直线PQ 的方程为x =my -2.代入椭圆方程得(m 2+5)y 2-4my -16=0. (*)设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2),那么y 1,y 2是上面方程的两根, 因此y 1+y 2=4mm 2+5,y 1·y 2=-16m 2+5.又B 2P →=(x 1-2,y 1),B 2Q →=(x 2-2,y 2),所以B 2P →·B 2Q →=(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2 =(my 1-4)(my 2-4)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2-4m (y 1+y 2)+16=-16(m 2+1)m 2+5-16m 2m 2+5+16=-16m 2-64m 2+5,由PB 2⊥QB 2,知B 2P →·B 2Q →=0,即16m 2-64=0, 解得m =±2.当m =2时,方程(*)化为9y 2-8y -16=0, 故y 1=4+4109,y 2=4-4109,|y 1-y 2|=8910,△PB 2Q 的面积S =12|B 1B 2|·|y 1-y 2|=16910.当m =-2时,同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S =16910,综上所述,△PB 2Q 的面积为16910.11.(探究选做)(2021·高考上海卷)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 1:2x 2-y 2=1. (1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积;(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点.假设l 与圆x 2+y 2=1相切,求证:OP ⊥OQ ;(3)设椭圆C 2:4x 2+y 2=1.假设M 、N 分别是C 1、C 2上的动点,且OM ⊥ON ,求证:O 到直线MN 的距离是定值.解:(1)双曲线C 1:x 212-y 2=1,左顶点A ⎝⎛⎭⎫-22,0,渐近线方程:y =±2x .不妨取过点A 与渐近线y =2x 平行的直线方程为 y =2⎝⎛⎭⎫x +22,即y =2x +1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =-2x ,y =2x +1,得⎩⎨⎧x =-24,y =12.所以所求三角形的面积为S =12|OA ||y |=28.(2)证明:设直线PQ 的方程是y =x +b .因直线PQ 与圆相切,故|b |2=1,即b 2=2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +b ,2x 2-y 2=1,得x 2-2bx -b 2-1=0. 设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2),那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=2b ,x 1x 2=-1-b 2.又y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b ),所以OP →·OQ →=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2 =2(-1-b 2)+2b 2+b 2=b 2-2=0. 故OP ⊥OQ .(3)证明:当直线ON 垂直于x 轴时, |ON |=1,|OM |=22,那么O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时, 设直线ON 的方程为y =kx ⎝⎛⎭⎫显然|k |>22, 那么直线OM 的方程为y =-1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ,4x 2+y 2=1,得⎩⎪⎨⎪⎧x 2=14+k2,y 2=k24+k2,所以|ON |2=1+k 24+k 2.同理|OM |2=1+k 22k 2-1.设O 到直线MN 的距离为d , 因为(|OM |2+|ON |2)d 2=|OM |2|ON |2,所以1d 2=1|OM |2+1|ON |2=3k 2+3k 2+1=3,即d =33. 综上,O 到直线MN 的距离是定值. 圆锥曲线综合〔一〕(时间:100分钟 总分值:120分)一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的) 1.抛物线y =4x 2的焦点坐标是( ). A .(0,1) B .(1,0) C .(0,116)D .(116,0)解析 将抛物线方程变为x 2=2×18y ,知p =18,又焦点在y 轴上,且开口向上,所以它的焦点坐标为(0,116). 答案 C2.椭圆x 225+y 216=1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,那么点P 到另一焦点的距离为( ).A .2B .3C .5D .7 解析 点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为2a =10,10-3=7.选D. 答案 D3.以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ). A .x 2+y 2+2x =0 B .x 2+y 2+x =0 C .x 2+y 2-x =0D .x 2+y 2-2x =0解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0),所以所求圆的圆心为(1,0),又圆过原点,所以圆的半径r =1,故所求圆的方程为(x -1)2+y 2=1,即x 2+y 2-2x =0,应选D. 答案 D4.以椭圆x 216+y 29=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程是( ). A.x 216-y 248=1B.x 29-y 227=1C.x 216-y 248=1或y 29-x 227=1 D .以上都不对解析 当顶点为(±4,0)时,a =4,c =8,b =43,x 216-y 248=1; 当顶点为(0,±3)时,a =3,c =6,b =33,y 29 -x 227=1. 答案 C5.椭圆与双曲线x 23-y 22=1有共同的焦点,且离心率为15,那么椭圆的标准方程为( ). A.x 220+y 225=1 B.x 225+y 220=1 C.x 225+y 25=1D.x 25+y 225=1解析 双曲线x 23-y 22=1中a 21=3,b 21=2,那么c 1=a 21+b 21=5,故焦点坐标为(-5,0),(5,0),故所求椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的c =5,又椭圆的离心率e =c a =15,那么a =5,a 2=25,b 2=a 2-c 2=20,故椭圆的标准方程为x 225+y 220=1. 答案 B6.(2021·山东烟台期末)椭圆x 241+y 225=1的两个焦点为F 1,F 2,弦AB 过点F 1,那么△ABF 2的周长为( ).A .10B .20C .241D .441 解析 |AB |+|BF 2|+|AF 2|=|AF 1|+|BF 1|+|B F 2|+|AF 2|=(|AF 1|+|AF 2|)+(|BF 1|+|BF 2|)=4a =441. 答案 D7.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( ). A .2 B. 3 C. 2 D.32解析 双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的两条渐近线方程为y =±b a x ,依题意b a ·(-b a ) =-1,故b 2a 2=1,所以c 2-a 2a 2=1即e 2=2,所以双曲线的离心率e = 2.应选C. 答案 C8.椭圆x 2sin α-y 2cos α=1(0≤α<2π)的焦点在y 轴上,那么α的取值范围是( ). A .(34π,π) B .(π4,34π) C .(π2,π)D .(π2,34π)解析 椭圆方程化为x 21sin α+y 2-1cos α=1.∵椭圆焦点在y 轴上,∴-1cos α>1sin α>0. 又∵0≤α<2π,∴π2<α<3π4. 答案 D9.抛物线y =2x 2上两点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)关于直线y =x +m 对称,且x 1·x 2=-12,那么m 等于( ).A.32 B .2 C.52 D .3 解析 依题意,得k AB =y 2-y 1x 2-x 1=-1,而y 2-y 1=2(x 22-x 21),得x 2+x 1=-12,且(x 2+x 12,y 2+y 12)在直线y =x +m 上,即y 2+y 12=x 2+x 12+m , y 2+y 1=x 2+x 1+2m ,∴2(x 22+x 21)=x 2+x 1+2m ,2[(x 2+x 1)2-2x 2x 1]=x 2+x 1+2m ,2m =3,m =32. 答案 A10.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均和圆C :x 2+y 2-6x +5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,那么该双曲线的方程为( ). A.x 25-y 24=1 B.x 24-y 25=1 C.x 23-y 26=1D.x 26-y 23=1解析 圆心的坐标是(3,0),圆的半径是2,双曲线的渐近线方程是bx ±ay =0,c =3,根据得3ba 2+b 2=2,即3b3=2,解得b =2,得a 2=c 2-b 2=5,故所求的双曲线方程是x 25-y 24=1. 答案 A二、填空题(本大题共4小题,每题4分,共16分,把答案填在题中横线上.) 11.点(-2,3)与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的距离是5,那么p =________. 解析 ∵抛物线y 2=2px (p >0)的焦点坐标是(p2,0),由两点间距离公式,得〔p2+2〕2+〔-3〕2=5.解得p =4. 答案 412.假设椭圆x 2+my 2=1的离心率为32,那么它的长半轴长为________.解析 当0<m <1时,y 21m+x 21=1,e 2=a 2-b 2a 2=1-m =34, m =14,a 2=1m =4,a =2;当m >1时,x 21+y 21m =1,a =1.应填1或2.答案 1或213.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)和椭圆x 216+y 29=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,那么双曲线的方程为________.解析 由题意知,椭圆的焦点坐标是(±7,0),离心率是74.故在双曲线中c =7,e =274=c a ,故a =2,b 2=c 2-a 2=3,因此所求双曲线的方程是x 24-y 23=1. 答案 x 24-y 23=114.设椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交,其中的一个交点为P ,假设△F 1PF 2为等腰直角三角形,那么椭圆的离心率是________.解析 由题意,知PF 2⊥F 1F 2,且△F 1PF 2为等腰直角三角形,所以|PF 2|=|F 1F 2|=2c ,|PF 1|=2·2c ,从而2a =|PF 1|+|PF 2|=2c (2+1), 所以e =2c2a =12+1=2-1. 答案2-1三、解答题(本大题共5小题,共54分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)15.(10分)双曲线C 与椭圆x 28+y 24=1有相同的焦点,直线y =3x 为C 的一条渐近线.求双曲线C 的方程.解 设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0). 由椭圆x 28+y 24=1,求得两焦点为(-2,0),(2,0), ∴对于双曲线C :c =2.又y =3x 为双曲线C 的一条渐近线, ∴ba =3,解得a 2=1,b 2=3, ∴双曲线C 的方程为x 2-y 23=1.16.(10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0,-5)、F 2(0,5),点P (3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求双曲线与椭圆的方程.解 由共同的焦点F 1(0,-5)、F 2(0,5),可设椭圆方程为y 2a 2+x 2a 2-25=1;双曲线方程为y 2b 2-x 225-b 2=1,点P (3,4)在椭圆上,16a 2+9a 2-25=1,a 2=40, 双曲线的过点P (3,4)的渐近线为 y =b 25-b 2x ,即4=b 25-b 2×3,b 2=16. 所以椭圆方程为y 240+x 215=1;双曲线方程为y 216-x 29=1.17.(10分)抛物线y 2=2x ,直线l 过点(0,2)与抛物线交于M ,N 两点,以线段MN 的长为直径的圆过坐标原点O ,求直线l 的方程. 解 由题意,知直线l 的斜率存在,设为k ,那么直线l 的方程为y =k x +2(k ≠0), 解方程组⎩⎨⎧y =k x +2,y 2=2x ,消去x 得k y 2-2y +4=0,Δ=4-16k >0⇒k <14(k ≠0),设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 那么y 1+y 2=2k ,y 1·y 2=4k ,⎩⎪⎨⎪⎧x 1=12y 21x 2=12y 22⇒x 1·x 2=14(y 1·y 2)2=4k 2 OM ⊥ON ⇒k OM ·k ON =-1,∴x 1·x 2+y 1·y 2=0, ∴4k 2+4k =0,解得k =-1.所以所求直线方程为y =-x +2,即x +y -2=0.18.(12分)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1),离心率为22,过点B (0,-2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ,D 两点,右焦点设为F 2. (1)求椭圆的方程; (2)求△CDF 2的面积.解 (1)易得椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)∵F 1(-1,0),∴直线BF 1的方程为y =-2x -2, 由⎩⎪⎨⎪⎧y =-2x -2,x 22+y 2=1,得9x 2+16x +6=0.∵Δ=162-4×9×6=40>0, 所以直线与椭圆有两个公共点,设为C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=-169,x 1·x 2=23,∴|CD |=1+〔-2〕2|x 1-x 2| =5·〔x 1+x 2〕2-4x 1x 2 =5·〔-169〕2-4×23=1092,又点F 2到直线BF 1的距离d =455, 故S △CDF 2=12|CD |·d =4910.19.(12分)抛物线y 2=4x 截直线y =2x +m 所得弦长AB =35,(1)求m 的值;(2)设P 是x 轴上的一点,且△ABP 的面积为9,求P 的坐标. 解 (1)由⎩⎨⎧y 2=4x ,y =2x +m ,得4x 2+4(m -1)x +m 2=0,由根与系数的关系,得x 1+x 2=1-m ,x 1·x 2=m 24, |AB |=1+k 2〔x 1+x 2〕2-4x 1x 2 =1+22〔1-m 〕2-4·m 24=5〔1-2m 〕.由|AB |=35,即5〔1-2m 〕=35⇒m =-4. (2)设P (a ,0),P 到直线AB 的距离为d ,那么d =|2a -0-4|22+〔-1〕2=2|a -2|5,又S △ABP =12|AB |·d , 那么d =2·S △ABP|AB |,2|a -2|5=2×935⇒|a -2|=3⇒a =5或a =-1, 故点P 的坐标为(5,0)和(-1,0).圆锥曲线综合〔二〕(考试时间90分钟,总分值120分)一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)1.以x 24-y 212=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216+y 212=1 B.x 212+y 216=1 C.x 216+y 24=1 D.x 24+y 216=1 解析: 双曲线x 24-y 212=-1的焦点坐标为(0,±4),顶点坐标为(0,±23),故所求椭圆的焦点在y 轴上,a =4,c =23,∴b 2=4,所求方程为x 24+y 216=1,应选D.答案: D2.设P 是椭圆x 2169+y 2144=1上一点,F 1、F 2是椭圆的焦点,假设|PF 1|等于4,那么|PF 2|等于( )A .22B .21C .20D .13解析: 由椭圆的定义知,|PF 1|+|PF 2|=26, 又∵|PF 1|=4,∴|PF 2|=26-4=22. 答案: A3.双曲线方程为x 2-2y 2=1,那么它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22,0B.⎝⎛⎭⎫52,0C.⎝⎛⎭⎫62,0D .(3,0) 解析: 将双曲线方程化为标准方程为x 2-y 212=1, ∴a 2=1,b 2=12,∴c 2=a 2+b 2=32,∴c =62, 故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62,0.答案: C 4.假设抛物线x 2=2py的焦点与椭圆x 23+y 24=1的下焦点重合,那么p 的值为( )A .4B .2C .-4D .-2解析: 椭圆x 23+y 24=1的下焦点为(0,-1),∴p2=-1,即p =-2. 答案: D5.假设k ∈R ,那么k >3是方程x 2k -3-y 2k +3=1表示双曲线的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件解析: 方程x 2k -3-y 2k +3=1表示双曲线的条件是(k -3)(k +3)>0,即k >3或k <-3.故k >3是方程x 2k -3-y 2k +3=1表示双曲线的充分不必要条件.应选A. 答案: A6.F 1、F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1→·MF 2→=0的点M 总在椭圆内部,那么椭圆离心率的取值范围是( )A .(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0,12 C.⎝⎛⎭⎫0,22 D.⎣⎡⎭⎫22,1解析: 由MF 1→·MF 2→=0可知点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上,要使点M 总在椭圆内部,只需c <b ,即c 2<b 2,c 2<a 2-c 2,2c 2<a 2, 故离心率e =c a <22.因为0<e <1,所以0<e <22. 即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫0,22.应选C. 答案: C7.抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线y =2x -4与C 交于A ,B 两点,那么cos ∠AFB =( )A.45B.35 C .-35D .-45解析 方法一:由⎩⎪⎨⎪⎧ y =2x -4,y 2=4x ,得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =-2或⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =4.令B (1,-2),A (4,4),又F (1,0),∴由两点间距离公式得|BF |=2,|AF |=5,|AB |=3 5.。

高二数学圆锥曲线试题答案及解析

高二数学圆锥曲线试题答案及解析

高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知点,,直线上有两个动点,始终使,三角形的外心轨迹为曲线为曲线在一象限内的动点,设,,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】依题意设,的外心为,则有即,又由得即,将代入化简得即,在中,由余弦定理可得即展开整理得即也就是,将、代入可得,整理可得,即的外心轨迹方程为设,则即,而又,所以所以,故选C.【考点】1.动点的轨迹;2.直线的斜率;3.两角和的正切公式.2.若点P到点的距离与它到直线y+3=0的距离相等,则P的轨迹方程为 () A.B.C.D.【答案】C【解析】根据抛物线的定义可知,条件为以为焦点的抛物线,所以轨迹为.【考点】抛物线的定义.3.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,且在直线上的射影分别是,则的大小为 .【答案】.【解析】如图,由抛物线的定义可知:,∴;根据内错角相等知;同理可证而,∴.【考点】抛物线的定义.4.已知椭圆的一个焦点为,过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为;为椭圆上的四个点。

(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若,且,求四边形的面积的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) 2,【解析】(Ⅰ)依题意可得椭圆C的一个焦点为知,在代入点即可得得到一个关于的等式从而可求出的值,即可得椭圆的标准方程.(Ⅱ) 由于,所以直线都过F点,从而又因为所以直线与直线相互垂直.所以四边形的面积为.故关键是求出线段的长度.首先要分类存在垂直于轴的情况,和不垂直于轴的情况两种.前者好求.后者通过假设一条直线联立椭圆方程写出弦长的式子,类似地写出另一条所得到的弦长.通过利用基本不等式即可求得面积的范围.从而再结合垂直于轴的情况,求出最大值与最小值.试题解析:(Ⅰ)由题椭圆C的一个焦点为知故可设椭圆方程为,过焦点且与长轴垂直的直线方程为,设此直线与椭圆交于A,B两点则,又,所以,又,联立求得,,故椭圆方程为.(Ⅱ)由,知,点共线,点共线,即直线经过椭圆焦点。

又知,(i)当斜率为零或不存在时,(ii)当直线存在且不为零时,可设斜率为,则由知,的斜率为所以:直线方程为:。

最新高考经典圆锥曲线习题(含答案)

最新高考经典圆锥曲线习题(含答案)
(Ⅱ)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于 两点, 且A、B关于点M对称,求直线l的方程..
16.(2005重庆文)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为
(1)求双曲线C的方程;(2)若直线 与双曲线C恒有两个不同的
交点A和B,且 (其中O为原点).求k的取值范围.
(Ⅱ)设直线 与C交于A,B两点.k为何值时 ?此时 的值是多少?
19.(2002广东、河南、江苏)A、B是双曲线x2- =1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程;
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?
20.(2007福建理)如图,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且 = 。(1)求动点P的轨迹C的方程;
18.解:(Ⅰ)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以 为焦点,
长半轴为2的椭圆.它的短半轴 ,故曲线C的方程为 .
(Ⅱ)设 ,其坐标满足
消去y并整理得 ,故 .
,即 .而 ,
于是 .
所以 时, ,故 .
当 时, , .

而 ,
所以 .
19.解:(1)依题意,可设直线方程为y=k(x-1)+2
高考圆锥曲线试题精选
一、选择题:(每小题5分,计50分)
1、(2008海南、宁夏文)双曲线 的焦距为()
A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
2.(2004全国卷Ⅰ文、理)椭圆 的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的
直线与椭圆相交,一个交点为P,则 =()
A. B. C. D.4

高三数学圆锥曲线试题答案及解析

高三数学圆锥曲线试题答案及解析

高三数学圆锥曲线试题答案及解析1.设、是定点,且均不在平面上,动点在平面上,且,则点的轨迹为()A.圆或椭圆B.抛物线或双曲线C.椭圆或双曲线D.以上均有可能【答案】D【解析】以为高线,为顶点作顶角为的圆锥面,则点就在这个圆锥面上,用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹,它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线,因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.2.已知点是双曲线右支上一点,是双曲线的左焦点,且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线,则该双曲线的离心率是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】设直线:求直线与渐近线的交点,解得:是的中点,利用中点坐标公式,得,在双曲线上,所以代入双曲线方程得:,整理得,解得.故选D.【考点】1.双曲线的几何性质;2.双曲线的方程.3.已知椭圆的焦点重合,则该椭圆的离心率是.【答案】【解析】抛物线的焦点为,椭圆的方程为:,所以离心率.【考点】1、椭圆与抛物线的焦点;2、圆的离心率.4.已知双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则此双曲线的方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由条件得:,即,而,渐近线为,在上,所以,得,所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法;2.双曲线的渐近线.5.已知动点到定点和的距离之和为.(Ⅰ)求动点轨迹的方程;(Ⅱ)设,过点作直线,交椭圆异于的两点,直线的斜率分别为,证明:为定值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明过程详见解析.【解析】本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系,比较简单;第二问是直线与椭圆相交于两点,先设出两点坐标,本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积,整理斜率的表达式,但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在,此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析:(Ⅰ)由椭圆定义,可知点的轨迹是以为焦点,以为长轴长的椭圆.由,得.故曲线的方程为. 5分(Ⅱ)当直线的斜率存在时,设其方程为,由,得. 7分设,,,.从而.11分当直线的斜率不存在时,得,得.综上,恒有. 12分【考点】1.三角形面积公式;2.余弦定理;3.韦达定理;4.椭圆的定义.6.已知双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则此双曲线的方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由条件得:,即,而,渐近线为,在上,所以,得,所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法;2.双曲线的渐近线.7.已知椭圆的中心在坐标原点,右准线为,离心率为.若直线与椭圆交于不同的两点、,以线段为直径作圆.(1)求椭圆的标准方程;(2)若圆与轴相切,求圆被直线截得的线段长.【答案】(1);(2).【解析】(1)先根据题中的条件确定、的值,然后利用求出的值,从而确定椭圆的方程;(2)先确定点的坐标,求出圆的方程,然后利用点(圆心)到直线的距离求出弦心距,最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析:(1)设椭圆的方程为,由题意知,,解得,则,,故椭圆的标准方程为 5分(2)由题意可知,点为线段的中点,且位于轴正半轴,又圆与轴相切,故点的坐标为,不妨设点位于第一象限,因为,所以, 7分代入椭圆的方程,可得,因为,解得, 10分所以圆的圆心为,半径为,其方程为 12分因为圆心到直线的距离 14分故圆被直线截得的线段长为 16分【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理8.已知为抛物线的焦点,抛物线上点满足(Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ)点的坐标为(,),过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点,、两点的横坐标均不为,连结、并延长交抛物线于、两点,设直线的斜率为,问是否为定值,若是求出该定值,若不是说明理由.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)利用抛物线的定义得到,再得到方程;(Ⅱ)利用点的坐标表示直线的斜率,设直线的方程,通过联立方程,利用韦达定理计算的值.试题解析:(Ⅰ)由题根据抛物线定义,所以,所以为所求. 2分(Ⅱ)设则,同理 4分设AC所在直线方程为,联立得所以, 6分同理 (8分)所以 9分设AB所在直线方程为联立得, 10分所以所以 12分【考点】抛物线标准方程,直线与抛物线位置关系的应用.9.极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点,极轴为轴非负半轴,建立平面直角坐标系,且两坐标系取相同的单位长度. (Ⅰ)求该椭圆的直角标方程;若椭圆上任一点坐标为,求的取值范围;(Ⅱ)若椭圆的两条弦交于点,且直线与的倾斜角互补,求证:.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析【解析】将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程,再利用换元法求范围,利用参数方程代入,计算得到结果.试题解析:(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为, 2分设,所以的取值范围是 4分(Ⅱ)设直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,则直线的参数方程为(为参数),(5分)代入得:即 7分同理 9分所以(10分)【考点】极坐标、参数方程,换元法应用.10.已知直线,,过的直线与分别交于,若是线段的中点,则等于()A.12B.C.D.【答案】B【解析】设、,所以、.所以.故选B.【考点】两点之间的距离点评:主要是考查了两点之间的距离的运用,属于基础题。

圆锥曲线综合测试题附答案

圆锥曲线综合测试题附答案

圆锥曲线综合测试题班级________ 姓名________ 学号_______成绩________一、选择题(本题每小题5分,共60分)1.双曲线19422=-y x 的渐近线方程是( )A .x y 23±= B .x y 32±= C .x y 49±= D .x y 94±= 2.已知F 是抛物线241x y =的焦点,P 是该抛物线上的动点,则线段PF 中点的轨迹方程是( )A .122-=y xB .16122-=y x C .212-=y x D .222-=y x3.已知A(-1,0),B(1,0),点C(x,y)12=,则=+BC AC ( )A .6B .4C .2D .不能确定4.抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为(1,2),设抛物线的焦点为F ,则|FA|+|FB|等于( )A .7 B .53 C .6 D .5 5.双曲线)0,(12222>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2,过焦点F 2且垂直于x 轴的弦为AB ,若︒=∠901B AF ,则双曲线的离心率为 ( )A .)22(21- B .12- C .12+D .)22(21+6.若椭圆)0(122>>=+b a by ax 和双曲线)0,(122>=-n m ny mx 有相同的焦点F 1、F 2,P 是两曲线的交点,则21PF PF ⋅的值是( ) A .n b -B .m a -C . n b -D . m a -7.直线l 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右准线,以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆,被直线l 分成弧长为2 : 1的两段圆弧,则该双曲线的离心率是 ( )A .2B .2C .26D .58.直线143x y+=与椭圆221169x y +=相交于A 、B 两点,该椭圆上点P ,使得△APB 的面积等于3,这样的点P 共有( )A .1个B .2个C .3个D .4个9.曲线)1(42≤--=x x y 的长度是 ( )A .34πB .32πC .38πD .π3 10.方程22)1()1(-+-=+y x y x 所表示的曲线是( )A . 双曲线B . 抛物线C . 椭圆D .不能确定11.已知曲线ax y =2与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A 和B ,如果过这两个交点的直线的倾斜角是︒45,则实数a 的值是 ( )A .1B .23C .2D .312.给出下列结论,其中正确的是 ( )A .渐近线方程为()0,0>>±=b a x a by 的双曲线的标准方程一定是12222=-by a xB .抛物线221x y -=的准线方程是21=x C .等轴双曲线的离心率是2 D .椭圆()0,012222>>=+n m ny m x 的焦点坐标是()(),,0,222221n mF n m F ---二、填空题(本题每小题4分,共16分) 13.如果正△ABC 中,D ∈AB,E ∈AC,向量12DE BC =,那么以B,C 为焦点且过点D,E 的双曲线的离心率是 .14.已知椭圆()x m y n x p y qm n p q R 22221+=-∈+与双曲线,,,有共同的焦点F 1、F 2,P 是椭圆和双曲线的一个交点,则12PF PF ⋅=.15.有一系列椭圆,满足条件:①中心在原点;②以直线x=2为准线;③离心率)()(*21N n e nn ∈=,则所有这些椭圆的长轴长之和为 .16.沿向量a =(m, n)平移椭圆1522=+y x ,使它的左准线为平移后的右准线,且新椭圆中心在直线2x -y+6=0上, 则m= 、n= .三、解答题(本大题共6小题,共74分。

圆锥曲线专题复习试题和答案

圆锥曲线专题复习试题和答案

题型一:求曲线轨迹方程1.如图,从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线,垂足为N 。

求线段QN 的中点P 的轨迹方程。

解:设动点P 的坐标为(x,y ),点Q 的坐标为(x 1,y 1)则N ( 2x-x 1,2y-y 1)代入x+y=2,得2x-x 1+2y-y 1=2 ① 又PQ 垂直于直线x+y=2,故111=--x x y y ,即x-y+y 1-x 1=0 ② 由①②解方程组得12321,1212311-+=-+=y x y y x x , 代入双曲线方程即可得P 点的轨迹方程是2x 2-2y 2-2x+2y-1=02.抛物线)0(42>=p px y 的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB ,求抛物线的顶点O 在直线AB 上的射影M 的轨迹。

解1(交轨法):点A 、B 在抛物线)0(42>=p px y 上,设A (),42A Ay py ,B (),42B B y p y 所以k OA =A y p 4 k OB =By p4,由OA 垂直OB 得k OA k OB = -1,得y A y B = -16p 2 ,又AB 方程可求得)4(44222p y x py p y y y y y ABA B A A ---=-,即(y A +y B )y--4px--y A y B =0,把 y A y B = -16p 2代入得AB 方程(y A +y B )y--4px+16p 2 =0 ① 又OM 的方程为 x Py y y BA 4-+=②由①②消去得y A +y B 即得0422=-+px y x , 即得2224)2(p y p x =+-。

所以点M 的轨迹方程为2224)2(p y p x =+-,其轨迹是以)0,2(p 为圆心,半径为p 2的圆,除去点(0,0)。

解2(几何法):由解1中AB 方程(y A +y B )y--4px+16p 2 =0 可得AB 过定点(4p,0)而OM 垂直AB ,所以由圆的几法性质可知:M 点的轨迹是以)0,2(p 为圆心,半径为p 2的圆。

圆锥曲线测试题(含答案)

圆锥曲线测试题(含答案)

圆锥曲线综合测试班级 姓名 成绩一、选择题1.方程x =( )(A )双曲线 (B )椭圆(C )双曲线的一部分 (D )椭圆的一部分2.椭圆14222=+ay x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点,则a 的值是 ( ) (A )12(B )1或–2(C )1或12(D )13.双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是 ( )(A )2 (B )3 (C )2 (D )234、已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切,则p 为 ( )A 、1B 、2C 、3D 、45、过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线 ( ) A 、有且仅有一条 B 、有且仅有两条 C 、有无穷多条 D 、不存在6、一个椭圆中心在原点,焦点12F F 、在x 轴上,P (21122||||||PF F F PF 、、成等差数列,则椭圆方程为()A 、22186x y +=B 、221166x y += C 、22184x y += D 、221164x y +=7.设0<k <a 2, 那么双曲线x 2a 2–k– y 2b 2 + k = 1与双曲线 x 2a 2 – y 2b 2 = 1 有 ( )(A )相同的虚轴 (B )相同的实轴 (C )相同的渐近线 (D )相同的焦点 8.若抛物线y 2= 2p x (p >0)上一点P 到准线及对称轴的距离分别为10和6, 则p 的值等于( )(A )2或18(B )4或18(C )2或16(D )4或169、设12F F 、是双曲线2214x y -=的两个焦点,点P 在双曲线上,且120PF PF ⋅=,则12||||PF PF ⋅的值等于( )A 、2B 、C 、4D 、810.若点A 的坐标为(3,2),F 是抛物线x y 22=的焦点,点M 在抛物线上移动时,使MA MF +取得最小值的M 的坐标为( ) A .()0,0 B .⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C .()2,1 D .()2,211、已知椭圆2222by a x +=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF ⊥x 轴,直线AB 交y 轴于点P ,若2AP PB =,则离心率为 ( ) A 、23 B 、22C 、31D 、21 12.抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称,且2121-=⋅x x ,则m 等于( )A .23B .2C .25D .3二、填空题:13.若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点,则线段AB 的中点坐标是______。

圆锥曲线综合测试题(含答案)

圆锥曲线综合测试题(含答案)

圆锥曲线综合测试题一、选择题(每题5分)1、双曲线x 2-5y 2=0的焦距为( ) A.6 B.26 C.23 D.432、顶点在原点,且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是( )A.y 2=-4xB.x 2=4yC. y 2=-4x 或x 2=4yD.y 2=4x 或x 2=-4y3、若椭圆19222=+m y x (m>0)的一个焦点坐标为(1,0),则m 的值为( ) A.5 B.3 C.23 D.224、已知方程11122=--+ky k x 表示双曲线,则k 的取值范围是( ) A.-1<k<1 B.k>0 C.k ≥0 D.k>1或k<-15、已知双曲线15222=-y a x 的右焦点为(3,0)则该双曲线的离心率为( ) A.14143 B.423 C.23 D.34 6、如果点P (2,y 0)在以点F 为焦点的抛物线y 2=4x 上,则PF=( )A.1B.2C.3D.47、双曲线12222=-b y a x 与椭圆12222=+by m x (a >0,m>b>0)的离心率互为倒数,那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形8、已知椭圆E 的中心在坐标原点,离心率为21,E 的右焦点与抛物线C :y 2=8x 的焦点重合,A ,B 是C 的准线与E 的两个交点,则AB=( )A.3B.6C.9D.129、已知双曲线12222=-by a x (a >0,b>0)的两条渐近线与抛物线y 2=2px (p >0)的准线分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若双曲线的离心率为2,∆AOB 的面积为3,则p=( )A.1B.23 C.2 D.3 10、已知F 1,F 2为椭圆191622=+y x 的两个焦点,过点F 2的直线交椭圆与A ,B 两点,在∆A F 1B 中,若有两边之和等于10,则第三边的长度为( )A.6B.5C.4D.311、已知动圆P 过定点A (-3,0),并且与定圆B :(x -3)2+y 2=64内切,则动圆的圆心P 的轨迹是( )A.线段B.直线C.圆D.椭圆12、若直线mx +ny=4与圆O: x 2+y 2=4没有交点,则过点P(m ,n)的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为( )A.至多一个B.2C.1D.0二、填空题(每题5分)13、抛物线x 2=4y 上一点P 到焦点的距离为3,则点P 到y 轴的距离为 。

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椭圆一、选择题1.(2012·高考大纲全国卷)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x =-4,则该椭圆的方程为( )A.x 216+y 212=1 B.x 212+y 28=1 C.x 28+y 24=1 D.x 212+y 24=1 解析:选C.由题意知椭圆的焦点在x 轴上,故可设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0).由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c =4,a2c=4,∴⎩⎪⎨⎪⎧c =2,a 2=8,∴b 2=a 2-c 2=4,故所求椭圆方程为x 28+y 24=1.2.(2011·高考浙江卷)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2:x 2-y 24=1有公共的焦点,C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ,B 两点,若C 1恰好将线段AB三等分,则( )A .a 2=132B .a 2=13C .b 2=12D .b 2=2解析:选C.由题意知,a 2=b 2+5,因此椭圆方程为(a 2-5)x 2+a 2y 2+5a 2-a 4=0,双曲线的一条渐近线方程为y =2x ,联立方程消去y ,得(5a 2-5)x 2+5a 2-a 4=0,∴直线截椭圆的弦长d =5×2a 4-5a 25a 2-5=23a , 解得a 2=112,b 2=12.3.椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ,其右准线与x 轴的交点为A ,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ,则椭圆离心率的取值范围是( )A .(0,22] B .(0,12]C .[2-1,1)D .[12,1)解析:选D.设P (x 0,y 0),则|PF |=a -ex 0.又点F 在AP 的垂直平分线上,∴a -ex 0=a 2c-c ,因此x 0=a ac -a 2+c 2c 2.又-a ≤x 0<a ,∴-a ≤a ac -a 2+c 2c 2<a .∴-1≤e 2+e -1e 2<1.又0<e <1,∴12≤e <1.4.已知椭圆x 24+y 23=1的长轴的左、右端点分别为A 、B ,在椭圆上有一个异于点A 、B的动点P ,若直线PA 的斜率k PA =12,则直线PB 的斜率k PB 为( )A.34B.32 C .-34 D .-32解析:选D.设点P (x 1,y 1)(x 1≠±2),则k PA =y 1x 1+2,k PB =y 1x 1-2, ∵k PA ·k PB =y 1x 1+2·y 1x 1-2=y 21x 21-4=31-x 214x 21-4=-34,∴k PB =-34k PA =-34×2=-32,故应选D.5.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),以其左焦点F 1(-c,0)为圆心,以a -c 为半径作圆,过上顶点B 2(0,b )作圆F 1的两条切线,设切点分别为M ,N .若过两个切点M ,N 的直线恰好经过下顶点B 1(0,-b ),则椭圆E 的离心率为( )A.2-1B.3-1C.5-2D.7-3解析:选B.由题意得,圆F 1: (x +c )2+y 2=(a -c )2. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则切线B 2M :(x 1+c )(x +c )+y 1y =(a -c )2,切线B 2N :(x 2+c )(x +c )+y 2y =(a -c )2. 又两条切线都过点B 2(0,b ),所以c (x 1+c )+y 1b =(a -c )2,c (x 2+c )+y 2b =(a -c )2.所以直线c (x +c )+yb =(a -c )2就是过点M 、N 的直线.又直线MN 过点B 1(0,-b ),代入化简得c 2-b 2=(a -c )2, 所以e =3-1. 二、填空题6.(2011·高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C的方程为__________.解析:设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1,由e =22知c a =22,故b 2a 2=12.由于△ABF 2的周长为|AB |+|BF 2|+|AF 2|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a =16,故a =4.∴b 2=8.∴椭圆C 的方程为x 216+y 28=1.答案:x 216+y 28=17.(2011·高考江西卷)若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的焦点在x 轴上,过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12作圆x 2+y 2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.解析:由题意可得切点A(1,0).切点B(m ,n)满足⎩⎪⎨⎪⎧n-12m-1=-mnm2+n2=1,解得B⎝⎛⎭⎪⎫35,45.∴过切点A,B的直线方程为2x+y-2=0.令y=0得x=1,即c=1;令x=0得y=2,即b=2.∴a2=b2+c2=5,∴椭圆方程为x25+y24=1.答案:x25+y24=18.(2012·高考四川卷)椭圆x2a2+y25=1(a为定值,且a>5)的左焦点为F,直线x=m 与椭圆相交于点A、B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是________.解析:设椭圆的右焦点为F′,如图,由椭圆定义知,|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a.又△FAB的周长为|AF|+|BF|+|AB|≤|AF|+|BF|+|AF′|+|BF′|=4a,当且仅当AB过右焦点F′时等号成立.此时4a=12,则a=3.故椭圆方程为x29+y25=1,所以c=2,所以e=ca=23.答案:23三、解答题9.设F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为2 3.(1)求椭圆C的焦距;(2)如果AF2→=2F2B→,求椭圆C的方程.解:(1)设椭圆C的焦距为2c,由已知可得F1到直线l的距离3c=23,故c=2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1<0,y2>0,直线l的方程为y=3(x-2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y=3x-2x2a2+y2b2=1,得(3a2+b2)y2+43b2y-3b4=0.解得y1=-3b22+2a3a2+b2,y2=-3b22-2a3a2+b2.因为AF2→=2F2B→,所以-y1=2y2.即3b22+2a3a2+b2=2·-3b22-2a3a2+b2,得a=3.而a2-b2=4,所以b= 5.故椭圆C的方程为x29+y25=1.10.(2011·高考辽宁卷)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x 轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e.直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.(1)设e=12,求|BC|与|AD|的比值;(2)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由.解:(1)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设C1:x2a2+y2b2=1,C2:b2y2a4+x2a2=1(a>b>0).设直线l:x=t(|t|<a),分别与C1,C2的方程联立,求得A⎝⎛⎭⎪⎫t,aba2-t2,B⎝⎛⎭⎪⎫t,baa2-t2.当e=12时,b=32a,分别用y A,y B表示A,B的纵坐标,可知|BC|∶|AD|=2|y B|2|y A|=b2a2=34.(2)当t=0时的l不符合题意,当t≠0时,BO∥AN当且仅当BO的斜率k BO与AN的斜率k AN相等,即baa2-t2t=aba2-t2t-a,解得t=-ab2a2-b2=-1-e2e2·a.因为|t|<a,又0<e<1,所以1-e2e2<1,解得22<e<1.所以当0<e≤22时,不存在直线l,使得BO∥AN;当22<e<1时,存在直线l,使得BO∥AN.11.(探究选做)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2,其中F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点,M是C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=53.(1)求椭圆C1的方程;(2)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上,顶点B、D在直线7x-7y+1=0上,求直线AC的方程.解:(1)设M (x 1,y 1),∵F 2(1,0),|MF 2|=53.由抛物线定义,x 1+1=53,∴x 1=23,∵y 21=4x 1,∴y 1=263.∴M (23,263),∵M 在C 1上,∴49a 2+83b2=1,又b 2=a 2-1,∴9a 4-37a 2+4=0,∴a 2=4或a 2=19<c 2舍去.∴a 2=4,b 2=3.∴椭圆C 1的方程为x 24+y 23=1.(2)∵直线BD 的方程为7x -7y +1=0,四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD ,设直线AC 的方程为y =-x +m ⎩⎪⎨⎪⎧y =-x +m x 24+y23=1⇒7x 2-8mx +4m 2-12=0,∵A 、C 在椭圆C 1上,∴Δ>0,∴m 2<7,∴-7<m <7.设A (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则x 1+x 2=8m7.y 1+y 2=(-x 1+m )+(-x 2+m )=-(x 1+x 2)+2m=-8m 7+2m =6m 7.∴AC 的中点坐标为(4m 7,3m 7),由ABCD 为菱形可知,点(4m 7,3m7)在直线BD :7x -7y +1=0上,∴7·4m 7-7·3m7+1=0,m =-1.∵m =-1∈(-7,7),∴直线AC 的方程为y =-x -1,即x +y +1=0.双曲线一、选择题1.(2011·高考湖南卷)设双曲线x 2a 2-y 29=1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y =0,则a 的值为( )A .4B .3C .2D .1解析:选C.渐近线方程可化为y =±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上, ∴9a 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫±322,解得a =±2.由题意知a >0,∴a =2. 2.(2011·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( )A .2 3B .25C .4 3D .45 解析:选B.双曲线左顶点为A 1(-a,0),渐近线为y =±b ax ,抛物线y 2=2px (p >0)焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2,0,准线为直线x =-p2.由题意知-p2=-2,∴p =4,由题意知2+a =4,∴a =2.∴双曲线渐近线y =±b 2x 中与准线x =-p 2交于(-2,-1)的渐近线为y =b 2x ,∴-1=b2×(-2),∴b =1.∴c 2=a 2+b 2=5,∴c =5,∴2c =2 5.3.设双曲线的左准线与两条渐近线交于A 、B 两点,左焦点在以AB 为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为( )A .(0,2)B .(1,2)C .(22,1) D .(2,+∞)解析:选B.法一:由⎩⎪⎨⎪⎧x =-a 2c,y =-ba x ,得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2c ,ab c . 同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a2c,-ab c .又左焦点F (-c,0),∴FA →=⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c ,ab c ,FB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫b2c ,-ab c .∵点F 在以AB 为直径的圆内,∴FA →·FB →<0,即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫ab c 2<0,∴b 4<a 2b 2,∴b 2<a 2,即c 2-a 2<a 2,∴c 2<2a 2,即e 2<2,∴e < 2.又∵e >1,∴1<e < 2.法二:由⎩⎪⎨⎪⎧x =-a 2c,y =-ba x ,得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2c ,ab c .同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a2c,-ab c .∵点F (-c,0)在以AB 为直径的圆内,∴左焦点F 到圆心的距离小于半径长,即c -a 2c <abc,∴a >b .∴e =c a =a 2+b 2a = 1+b 2a2< 2.又∵e >1,∴1<e < 2.4.(2012·高考大纲全国卷)已知F 1、F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=( )A.14B.35C.34D.45解析:选C.由x 2-y 2=2知,a 2=2,b 2=2,c 2=a 2+b 2=4, ∴a =2,c =2.又∵|PF 1|-|PF 2|=2a ,|PF 1|=2|PF 2|, ∴|PF 1|=42,|PF 2|=2 2.又∵|F 1F 2|=2c =4,∴由余弦定理得cos ∠F 1PF 2=422+222-422×42×22=34.5.(2011·高考山东卷)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均和圆C :x 2+y2-6x +5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为( )A.x 25-y 24=1B.x 24-y 25=1 C.x 23-y 26=1 D.x 26-y 23=1 解析:选A.∵双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的渐近线方程为y =±bax ,圆C 的标准方程为(x -3)2+y 2=4,∴圆心为C (3,0).又渐近线方程与圆C 相切,即直线bx -ay =0与圆C 相切,∴3ba 2+b2=2,∴5b 2=4a 2.①又∵x 2a 2-y 2b 2=1的右焦点F 2(a 2+b 2,0)为圆心C (3,0),∴a 2+b 2=9.②由①②得a 2=5,b 2=4.∴双曲线的标准方程为x 25-y 24=1.二、填空题6.(2011·高考四川卷)双曲线x 264-y 236=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4,那么点P 到左准线的距离是__________.解析:由x 264-y 236=1可知a =8,b =6,则c =10,设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2,由|PF 2|=4及双曲线的第一定义得|PF 1|=16+4=20.设点P 到左准线的距离为d ,由双曲线的第二定义有20d =108,即d =16.答案:167.(2012·高考重庆卷)设P 为直线y =b 3a x 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)左支的交点,F 1是左焦点,PF 1垂直于x 轴,则双曲线的离心率e =________.解析:∵直线y =b 3a x 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1相交,由⎩⎪⎨⎪⎧y =b3a x ,x 2a 2-y 2b 2=1消去y 得x =32a4,又PF 1垂直于x 轴,∴32a 4=c ,即e =c a =324.答案:3248.已知双曲线x 2-y 2b2=1(b >0)的一条渐近线的方程为y =2x ,则b =________.解析:∵双曲线的焦点在x 轴上,∴b a =2,∴b 2a2=4.∵a 2=1,∴b 2=4. 又∵b >0,∴b =2.答案:2 三、解答题9.由双曲线x29-y24=1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成△PF 1F 2,求△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标N .解:由双曲线方程知a =3,b =2,c =13.当点P 在双曲线的右支上时,如右图,根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得|PF 1|-|PF 2|=2a .由于|NF 1|-|NF 2|=|PF 1|-|PF 2|=2a .① |NF 1|+|NF 2|=2c .②由①②得|NF 1|=2a +2c2=a +c ,∴|ON |=|NF 1|-|OF 1|=a +c -c =a =3. 故切点N 的坐标为(3,0).根据对称性,当P 在双曲线左支上时,切点N 的坐标为(-3,0).10.(2012·高考四川卷)如图,动点M 与两定点A (-1,0)、B (1,0)构成△MAB ,且直线MA 、MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程;(2)设直线y =x +m (m >0)与y 轴相交于点P ,与轨迹C 相交于点Q ,R ,且|PQ |<|PR |,求|PR ||PQ |的取值范围. 解:(1)设M 的坐标为(x ,y ),当x =-1时,直线MA 的斜率不存在;当x =1时,直线MB 的斜率不存在.于是x ≠1且x ≠-1.此时,MA 的斜率为y x +1,MB 的斜率为yx -1. 由题意,有y x +1·yx -1=4.化简可得,4x 2-y 2-4=0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2-y 2-4=0(x ≠1且x ≠-1).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +m 4x 2-y 2-4=0,消去y ,可得3x 2-2mx -m 2-4=0.(*) 对于方程(*),其判别式Δ=(-2m )2-4×3(-m 2-4)=16m 2+48>0,而当1或-1为方程(*)的根时,m 的值为-1或1. 结合题设(m >0)可知,m >0且m ≠1.设Q 、R 的坐标分别为(x Q ,y Q ),(x R ,y R ),则x Q ,x R 为方程(*)的两根. 因为|PQ |<|PR |,所以|x Q |<|x R |,x Q =m -2m 2+33,x R =m +2m 2+33.所以|PR ||PQ |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q =2 1+3m 2+12 1+3m2-1=1+221+3m2-1.此时1+3m2>1,且1+3m2≠2,所以1<1+22 1+3m2-1<3,且1+221+3m2-1≠53, 所以1<|PR ||PQ |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q <3,且|PR ||PQ |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ≠53.综上所述,|PR ||PQ |的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1,53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53,3. 11.(探究选做)已知双曲线C :x 24-y 2=1,P 为C 上的任意一点.(1)求证:点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数; (2)设点A 的坐标为(3,0),求|PA |的最小值.解:(1)证明:设P (x 1,y 1)是双曲线C 上任意一点,该双曲线的两条渐近线方程分别是x -2y =0和x +2y =0, 点P (x 1,y 1)到两条渐近线的距离分别是 |x 1-2y 1|5和|x 1+2y 1|5, ∴|x 1-2y 1|5·|x 1+2y 1|5=|x 21-4y 21|5=45.故点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.(2)设点P 的坐标为(x ,y )(|x |≥2),则|PA |2=(x -3)2+y 2=(x -3)2+x 24-1=54(x -125)2+45, ∵|x |≥2,∴当x =125时,|PA |2取到最小值45,即|PA |的最小值为255.抛物线一、选择题1.已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆x 2+y 2-6x -7=0相切,则p 的值为( ) A.12 B .1 C .2 D .4 解析:选C.由抛物线的标准方程得准线方程为x =-p2.由x 2+y 2-6x -7=0得(x -3)2+y 2=16.∵准线与圆相切,∴3+p2=4,∴p =2.2.(2012·高考四川卷)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点M (2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM |=( )A .2 2B .23C .4D .25解析:选B.由题意设抛物线方程为y 2=2px (p >0),则M 到焦点的距离为x M +p 2=2+p2=3,∴p =2,∴y 2=4x .∴y 20=4×2,∴y 0=±22,∴|OM |=4+y 20=4+8=2 3.3.(2013·四川成都模拟)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,过点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点.若线段AB 的中点E 到y 轴的距离为3,则弦AB 的长为( )A .5B .8C .10D .12 解析:选C.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), |AB |=|AF |+|BF |=x 1+x 2+4,又E 到y 轴距离为3,∴x 1+x 22=3.∴|AB |=10.4.(2011·高考课标全国卷)已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=12,P 为C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( )A .18B .24C .36D .48解析:选C.不妨设抛物线的标准方程为y 2=2px (p >0),由于l 垂直于对称轴且过焦点,故直线l 的方程为x =p2.代入y 2=2px 得y =±p ,即|AB |=2p ,又|AB |=12,故p =6,所以抛物线的准线方程为x =-3,故S △ABP =12×6×12=36.5.(2011·高考四川卷)在抛物线y =x 2+ax -5(a ≠0)上取横坐标为x 1=-4,x 2=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2+5y 2=36相切,则抛物线顶点的坐标为( )A .(-2,-9)B .(0,-5)C .(2,-9)D .(1,-6)解析:选A.当x 1=-4时,y 1=11-4a ;当x 2=2时,y 2=2a -1,所以割线的斜率k =11-4a -2a +1-4-2=a -2.设直线与抛物线的切点横坐标为x 0,由y ′=2x +a 得切线斜率为2x 0+a , ∴2x 0+a =a -2,∴x 0=-1.∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a -4),切线方程为y +a +4=(a -2)(x +1),即(a -2)x -y -6=0.圆5x 2+5y 2=36的圆心到切线的距离d =6a -22+1 .由题意得6a -22+1=65,即(a -2)2+1=5.又a ≠0, ∴a =4,此时,y =x 2+4x -5=(x +2)2-9. 顶点坐标为(-2,-9). 二、填空题6.(2012·高考重庆卷)过抛物线y 2=2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,若|AB |=2512,|AF |<|BF |,则|AF |=__________. 解析:由于y 2=2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,设AB 所在直线的方程为y =k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),x 1<x 2,将y =k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12代入y 2=2x ,得k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122=2x ,∴k 2x 2-(k 2+2)x +k 24=0.∴x 1x 2=14.而x 1+x 2+p =x 1+x 2+1=2512,∴x 1+x 2=1312.∴x 1=13,x 2=34.∴|AF |=x 1+p 2=13+12=56.答案:567.已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,C 上的点M 在C 的准线上的射影为M ′,若MM ′→·MF →=12|MM ′→|·|MF →|,则点M 的横坐标为________.解析:如图所示, ∵MM ′→·MF →=|MM ′→||MF →|cos ∠M ′MF=12|MM ′→||MF →|, ∴cos ∠M ′MF =12.∴∠M ′MF =60°.又∵|M ′M |=|MF |,故△MM ′F 为正三角形. 设M (x ,y ),则M ′(-1,y ),F (1,0),∴|M ′F |=-1-12+y 2=|MM ′|=x +1,整理得y 2=x 2+2x -3,将y 2=4x 代入y 2=x 2+2x -3得x 2-2x -3=0, 即x =3或-1(舍). 答案:38.(2011·高考重庆卷)设圆C 位于抛物线y 2=2x 与直线x =3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C 的半径能取到的最大值为__________.解析:如图所示,若圆C 的半径取到最大值,必须为圆与抛物线及直线x =3同时相切,设圆心的坐标为(a,0)(a <3),则圆的方程为(x -a )2+y 2=(3-a )2,与抛物线方程y 2=2x 联立得x 2+(2-2a )x +6a -9=0,由判别式Δ=(2-2a )2-4(6a -9)=0,得a =4-6,故此时半径为3-(4-6)=6-1. 答案:6-1 三、解答题9.(2013·东北三校调研)点M (5,3)到抛物线y =ax 2的准线的距离为6,试求抛物线的方程.解:当抛物线开口向上时,准线为y =-14a ,点M 到它的距离为14a +3=6,a =112,抛物线的方程为y =112x 2.当抛物线开口向下时,准线为y =-14a ,M 到它的距离为-14a -3=6,a =-136.抛物线的方程为y =-136x 2.所以,抛物线的方程为y =112x 2或y =-136x 2.10.设抛物线y 2=4ax (a >0)的焦点为A ,以B (a +4,0)点为圆心,|BA |为半径,在x 轴上方画半圆,设抛物线与半圆相交于不同两点M 、N ,点P 是MN 的中点.求|AM |+|AN |的值.解:设M 、N 、P 在抛物线的准线上射影分别为M ′、N ′、P ′, 则由抛物线定义得|AM |+|AN |=|MM ′|+|NN ′|=x M +x N +2a .又圆的方程为[x -(a +4)]2+y 2=16,将y 2=4ax 代入得x 2-2(4-a )x +a 2+8a =0, ∴x M +x N =2(4-a ),所以|AM |+|AN |=8.11.(探究选做)如图,设抛物线方程为x 2=2py (p >0),M 为直线y =-2p 上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A ,B .(1)求证:A ,M ,B 三点的横坐标成等差数列;(2)已知当M 点的坐标为(2,-2p )时,|AB |=410.求此时抛物线的方程.解:(1)证明:由题意设A (x 1,x 212p ),B (x 2,x 222p ),x 1<x 2,M (x 0,-2p ).由x 2=2py 得y =x 22p ,则y ′=x p ,所以k MA =x 1p ,k MB =x 2p.因此直线MA 的方程为y +2p =x 1p(x -x 0).直线MB 的方程为y +2p =x 2p(x -x 0).所以x 212p +2p =x 1p (x 1-x 0),①x 222p +2p =x 2p(x 2-x 0),② 由①-②得x 1+x 22=x 1+x 2-x 0,因此x 0=x 1+x 22,即2x 0=x 1+x 2.所以A ,M ,B 三点的横坐标成等差数列.(2)由(1)知,当x 0=2时,将其代入①、②并整理得x 21-4x 1-4p 2=0,x 22-4x 2-4p 2=0,所以x 1、x 2是方程x 2-4x -4p 2=0的两根,因此x 1+x 2=4,x 1x 2=-4p 2,又k AB =x 222p -x 212p x 2-x 1=x 1+x 22p =x 0p ,所以k AB =2p.由弦长公式得|AB |=1+k 2AB · x 1+x 22-4x 1x 2=1+4p2·16+16p 2.又|AB |=4 10, 所以p =1或p =2.因此所求抛物线方程为x 2=2y 或x 2=4y . 直线与圆锥曲线一、选择题1.(2013·福州模拟)已知F 1,F 2是椭圆x 216+y 29=1的两焦点,过点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点.在△AF 1B 中,若有两边之和是10,则第三边的长度为( )A .6B .5C .4D .3解析:选A.根据椭圆定义,知△AF 1B 的周长为4a =16,故所求的第三边的长度为16-10=6.2.(2011·高考大纲全国卷)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线y =2x -4与C 交于A ,B 两点,则cos ∠AFB =( )A.45B.35 C .-35 D .-45解析:选D.法一:由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x -4,y 2=4x ,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1y =-2或⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =4.令B (1,-2),A (4,4),又F (1,0),∴由两点间距离公式得|BF |=2,|AF |=5,|AB |=3 5.∴cos ∠AFB =|BF |2+|AF |2-|AB |22|BF |·|AF |=4+25-452×2×5=-45.法二:由法一得A (4,4),B (1,-2),F (1,0), ∴FA →=(3,4),FB →=(0,-2),∴|FA →|=32+42=5,|FB →|=2.∴cos ∠AFB =FA →·FB →|FA →|·|FB →|=3×0+4×-25×2=-45.3.已知曲线C 1的方程为x 2-y28=1(x ≥0,y ≥0),圆C 2的方程为(x -3)2+y 2=1,斜率为k (k >0)的直线l 与圆C 2相切,切点为A ,直线l 与曲线C 1相交于点B ,|AB |=3,则直线AB 的斜率为( )A.33B.12C .1D.3解析:选A.设B (a ,b ),则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2-b 28=1a -32+b 2=3+1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1b =0.则直线AB 的方程为y =k (x -1),故|3k -k |1+k2=1,∴k =33或k =-33(舍去). 4.设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )A. 2B.3C.3+12D.5+12解析:选 D.设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),如图所示,双曲线的一条渐近线方程为y=bax,而k BF=-bc,∴ba·(-bc)=-1,整理得b2=ac.∴c2-a2-ac=0,两边同除以a2,得e2-e-1=0,解得e=1+52或e=1-52(舍去),故选D.5.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B 两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )A.x23-y26=1 B.x24-y25=1C.x26-y23=1 D.x25-y24=1解析:选B.∵k AB=0+153+12=1,∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),把y=x-3代入双曲线方程,则x2a2-x-32b2=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6a2a2-b2=2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为x24-y25=1.二、填空题6.(2011·高考江西卷)若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,过点⎝⎛⎭⎪⎫1,12作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.解析:由题意可得切点A(1,0).切点B(m,n)满足⎩⎪⎨⎪⎧n-12m-1=-mnm2+n2=1,,解得B⎝⎛⎭⎪⎫35,45.∴过切点A,B的直线方程为2x+y-2=0.令y=0得x=1,即c=1;令x=0得y=2,即b=2.∴a2=b2+c2=5,∴椭圆方程为x25+y24=1.答案:x25+y24=17.(2013·广西梧州高三检测)设点F为抛物线y=-14x2的焦点,与抛物线相切于点P(-4,-4)的直线l与x轴的交点为Q,则∠PQF的值是________.解析:∵y′=-12x,∴k PQ=y′|x=-4=2,∴直线PQ的方程为y+4=2(x+4).令y=0,得x=-2,∴点Q(-2,0).又∵焦点F(0,-1),∴k FQ=-12,∴k PQ·k FQ=-1,∴∠PQF=π2.答案:π28.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且BF→=2FD→,则C的离心率为________.解析:法一:如图,设椭圆C的焦点在x轴上,B(0,b),F(c,0),D(x D,y D),则BF→=(c,-b),FD→=(x D-c,y D),∵BF→=2FD→,∴⎩⎪⎨⎪⎧c=2x D-c,-b=2y D,∴⎩⎪⎨⎪⎧x D=3c2,y D=-b2.∴3c22a2+-b22b2=1,即e2=13,∴e=33.法二:设椭圆C的焦点在x轴上,如图,B(0,b),F(c,0),D(x D,y D),则|BF|=b2+c2=a.作DD1⊥y轴于点D1,则由BF→=2 FD→,得|OF||DD1|=|BF||BD|=23,∴|DD1|=32|OF|=32c,即x D=3c2.由椭圆的第二定义得|FD|=e(a2c-3c2)=a-3c22a.又由|BF |=2|FD |,得a =2a -3c2a,整理得c 2a 2=13,即e 2=13.∴e =33.答案:33三、解答题9. 已知抛物线C 的方程为y 2=4x ,其焦点为F ,准线为l ,过F 作直线m 交抛物线C 于M ,N 两点.求S △OMN 的最小值.解:由题意知F (1,0),l :x =-1, 设m :x =ay +1,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧x =ay +1y 2=4x ⇒y 2-4ay -4=0,由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=4a y 1y 2=-4.S △OMN =12|OF ||y 1-y 2|=12y 1+y 22-4y 1y 2=12·16a 2+16=2a 2+1≥2(a =0时取得等号). 所以S △OMN 的最小值为2.10.(2012·高考重庆卷)如图所示,设椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为F 1、F 2,线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2,且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B 1作直线交椭圆于P 、Q 两点,使PB 2⊥QB 2,求△PB 2Q 的面积.解:(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),右焦点为F 2(c,0).因为△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|=|AB 2|,故∠B 1AB 2为直角,从而|OA |=|OB 2|,得b =c2.结合c 2=a 2-b 2得4b 2=a 2-b 2,故a 2=5b 2,c 2=4b 2,所以离心率e =c a =25 5.在Rt △AB 1B 2中,OA ⊥B 1B 2,故S △AB 1B 2=12·|B 1B 2|·|OA |=|OB 2|·|OA |=c2·b =b 2,由题设条件S △AB 1B 2=4得b 2=4,从而a 2=5b 2=20.因此所求椭圆的标准方程为x 220+y 24=1. (2)由(1)知B 1(-2,0),B 2(2,0).由题意知,直线PQ 的倾斜角不为0,故可设直线PQ的方程为x =my -2.代入椭圆方程得(m 2+5)y 2-4my -16=0. (*)设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2),则y 1,y 2是上面方程的两根,因此y 1+y 2=4m m 2+5,y 1·y 2=-16m 2+5.又B 2P →=(x 1-2,y 1),B 2Q →=(x 2-2,y 2),所以B 2P →·B 2Q →=(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2 =(my 1-4)(my 2-4)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2-4m (y 1+y 2)+16=-16m 2+1m 2+5-16m 2m 2+5+16=-16m 2-64m 2+5,由PB 2⊥QB 2,知B 2P →·B 2Q →=0,即16m 2-64=0, 解得m =±2.当m =2时,方程(*)化为9y 2-8y -16=0,故y 1=4+4109,y 2=4-4109,|y 1-y 2|=8910,△PB 2Q 的面积S =12|B 1B 2|·|y 1-y 2|=16910.当m =-2时,同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S =16910,综上所述,△PB 2Q 的面积为16910.11.(探究选做)(2012·高考上海卷)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 1:2x 2-y 2=1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积;(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点.若l 与圆x 2+y 2=1相切,求证:OP ⊥OQ ;(3)设椭圆C 2:4x 2+y 2=1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点,且OM ⊥ON ,求证:O 到直线MN 的距离是定值.解:(1)双曲线C 1:x 212-y 2=1,左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,0,渐近线方程:y =±2x .不妨取过点A 与渐近线y =2x 平行的直线方程为y =2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +22,即y =2x +1.解方程组⎩⎨⎧y =-2x ,y =2x +1,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-24,y =12.所以所求三角形的面积为S =12|OA ||y |=28.(2)证明:设直线PQ 的方程是y =x +b .因直线PQ 与已知圆相切,故|b |2=1,即b 2=2.由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +b ,2x 2-y 2=1,得x 2-2bx -b 2-1=0.设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=2b ,x 1x 2=-1-b 2.又y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b ),所以 OP →·OQ →=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2=2(-1-b 2)+2b 2+b 2=b 2-2=0. 故OP ⊥OQ .(3)证明:当直线ON 垂直于x 轴时,|ON |=1,|OM |=22,则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时,设直线ON 的方程为y =kx ⎝⎛⎭⎪⎫显然|k |>22,则直线OM 的方程为y =-1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ,4x 2+y 2=1,得⎩⎪⎨⎪⎧x 2=14+k 2,y 2=k24+k 2,所以|ON |2=1+k24+k2.同理|OM |2=1+k22k 2-1.设O 到直线MN 的距离为d ,因为(|OM |2+|ON |2)d 2=|OM |2|ON |2,所以1d 2=1|OM |2+1|ON |2=3k 2+3k 2+1=3,即d =33. 综上,O 到直线MN 的距离是定值.圆锥曲线综合(一)(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.抛物线y =4x 2的焦点坐标是( ). A .(0,1) B .(1,0) C .(0,116) D .(116,0) 解析 将抛物线方程变为x 2=2×18y ,知p =18,又焦点在y 轴上,且开口向上,所以它的焦点坐标为(0,116 ).答案C2.已知椭圆x225+y216=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则点P到另一焦点的距离为( ).A.2 B.3 C.5 D.7解析点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a=10,10-3=7.选D.答案D3.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ).A.x2+y2+2x=0 B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0 D.x2+y2-2x=0解析因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0),所以所求圆的圆心为(1,0),又圆过原点,所以圆的半径r=1,故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0,故选D.答案D4.以椭圆x216+y29=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程是( ).A.x216-y248=1B.x29-y227=1C.x216-y248=1或y29-x227=1D.以上都不对解析当顶点为(±4,0)时,a=4,c=8,b=43,x216-y248=1;当顶点为(0,±3)时,a=3,c=6,b=33,y29-x227=1.答案C5.已知椭圆与双曲线x23-y22=1有共同的焦点,且离心率为15,则椭圆的标准方程为( ).A.x220+y225=1 B.x225+y220=1C.x225+y25=1 D.x25+y225=1解析双曲线x23-y22=1中a21=3,b21=2,则c1=a21+b21=5,故焦点坐标为(-5,0),(5,0),故所求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的c=5,又椭圆的离心率e=ca=15,则a=5,a2=25,b2=a2-c2=20,故椭圆的标准方程为x225+y220=1.答案B6.(2011·山东烟台期末)已知椭圆x241+y225=1的两个焦点为F1,F2,弦AB过点F1,则△ABF2的周长为( ).A.10 B.20 C.241 D.441解析|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|B F2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=441.答案D7.双曲线x2a2-y2b2=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( ).A.2 B. 3 C. 2 D.3 2解析双曲线x2a2-y2b2=1的两条渐近线方程为y=±bax,依题意ba·(-ba) =-1,故b2a2=1,所以c2-a2a2=1即e2=2,所以双曲线的离心率e= 2.故选C.答案C8.已知椭圆x2sin α-y2cos α=1(0≤α<2π)的焦点在y轴上,则α的取值范围是( ).A.(34π,π) B.(π4,34π)C.(π2,π) D.(π2,34π)解析椭圆方程化为x21sin α+y2-1cos α=1.∵椭圆焦点在y轴上,∴-1cos α>1sin α>0.又∵0≤α<2π,∴π2<α<3π4.答案D9.抛物线y=2x2上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x 1·x2=-12,则m等于( ).A.32B.2 C.52D.3解析依题意,得k AB=y2-y1x2-x1=-1,而y2-y1=2(x22-x21),得x2+x1=-12,且(x2+x12,y2+y12)在直线y=x+m上,即y2+y12=x2+x12+m,y2+y1=x2+x1+2m,∴2(x22+x21)=x2+x1+2m,2[(x2+x1)2-2x2x1]=x2+x1+2m,2m=3,m=32.答案A10.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( ).A.x25-y24=1 B.x24-y25=1C.x23-y26=1 D.x26-y23=1解析圆心的坐标是(3,0),圆的半径是2,双曲线的渐近线方程是bx±ay=0,c=3,根据已知得3ba2+b2=2,即3b3=2,解得b=2,得a2=c2-b2=5,故所求的双曲线方程是x25-y24=1.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.)11.已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则p=________.解析∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(p2,0),由两点间距离公式,得(p2+2)2+(-3)2=5.解得p=4.答案412.若椭圆x2+my2=1的离心率为32,则它的长半轴长为________.解析当0<m<1时,y2 1 m +x21=1,e2=a2-b2a2=1-m=34,m=14,a2=1m=4,a=2;当m>1时,x21+y21m=1,a=1.应填1或2.答案1或213.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)和椭圆x216+y29=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________.解析 由题意知,椭圆的焦点坐标是(±7,0),离心率是74.故在双曲线中c =7,e =274=c a ,故a =2,b 2=c 2-a 2=3,因此所求双曲线的方程是x 24-y 23=1.答案x 24-y 23=1 14.设椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交,其中的一个交点为P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________.解析 由题意,知PF 2⊥F 1F 2,且△F 1PF 2为等腰直角三角形,所以|PF 2|=|F 1F 2|=2c ,|PF 1|=2·2c ,从而2a =|PF 1|+|PF 2|=2c (2+1), 所以e =2c 2a =12+1=2-1.答案2-1三、解答题(本大题共5小题,共54分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)15.(10分)双曲线C 与椭圆x 28+y 24=1有相同的焦点,直线y =3x 为C 的一条渐近线.求双曲线C 的方程.解 设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0).由椭圆x 28+y 24=1,求得两焦点为(-2,0),(2,0),∴对于双曲线C :c =2.又y =3x 为双曲线C 的一条渐近线, ∴b a=3,解得a 2=1,b 2=3, ∴双曲线C 的方程为x 2-y 23=1.16.(10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0,-5)、F 2(0,5),点P (3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求双曲线与椭圆的方程.解 由共同的焦点F 1(0,-5)、F 2(0,5),可设椭圆方程为y 2a 2+x 2a 2-25=1;双曲线方程为y 2b 2-x 225-b 2=1,点P (3,4)在椭圆上,16a2+9a 2-25=1,a 2=40, 双曲线的过点P (3,4)的渐近线为y =b 25-b2x ,即4=b 25-b2×3,b 2=16.所以椭圆方程为y 240+x 215=1;双曲线方程为y 216-x 29=1.17.(10分)已知抛物线y 2=2x ,直线l 过点(0,2)与抛物线交于M ,N 两点,以线段MN 的长为直径的圆过坐标原点O ,求直线l 的方程.解 由题意,知直线l 的斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为y =kx +2(k ≠0), 解方程组⎩⎨⎧y =kx +2,y 2=2x ,消去x 得ky 2-2y +4=0,Δ=4-16k >0⇒k <14(k ≠0),设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则y 1+y 2=2k ,y 1·y 2=4k,⎩⎪⎨⎪⎧x 1=12y 21x 2=12y22⇒x 1·x 2=14(y 1·y 2)2=4k 2OM ⊥ON ⇒k OM ·k ON =-1,∴x 1·x 2+y 1·y 2=0, ∴4k 2+4k=0,解得k =-1.所以所求直线方程为y =-x +2,即x +y -2=0.18.(12分)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1),离心率为22,过点B (0,-2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ,D 两点,右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程;(2)求△CDF 2的面积.解 (1)易得椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)∵F 1(-1,0),∴直线BF 1的方程为y =-2x -2,由⎩⎨⎧y =-2x -2,x 22+y 2=1,得9x 2+16x +6=0.∵Δ=162-4×9×6=40>0, 所以直线与椭圆有两个公共点,设为C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=-169,x 1·x 2=23,∴|CD |=1+(-2)2|x 1-x 2| =5·(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =5·(-169)2-4×23=1092, 又点F 2到直线BF 1的距离d =455,故S △CDF 2=12|CD |·d =4910.19.(12分)已知抛物线y 2=4x 截直线y =2x +m 所得弦长AB =35, (1)求m 的值;(2)设P 是x 轴上的一点,且△ABP 的面积为9,求P 的坐标. 解 (1)由⎩⎨⎧y 2=4x ,y =2x +m ,得4x 2+4(m -1)x +m 2=0,由根与系数的关系,得x 1+x 2=1-m ,x 1·x 2=m 24,|AB |=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =1+22(1-m )2-4·m 24=5(1-2m ).由|AB |=35,即5(1-2m )=35⇒m =-4.。

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