中考数学复习考点跟踪训练7 一元二次方程
中考数学一轮复习《一元二次方程》知识要点及专题练习
中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练：一元二次方程（含答案）一、知识要点：1、定义等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0(a ≠0)。
其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
2、一元二次方程的解法直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。
(1)直接开方法。
适用形式：x 2=p 、(x +n )2=p 或(mx +n )2=p 。
(2)配方法。
套用公式a 2+2ab +b 2=(a +b )2；a 2-2ab +b 2=(a -b )2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上b 2，把左边配成x 2+2bx +b 2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。
(3)公式法。
当b 2-4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c =0的实数根可写为：a ac b b x 242-±-=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式。
这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根。
a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= ②b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根。
ab x x 221-== ③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。
定义：b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b 2-4ac 。
(4)因式分解法。
主要用提公因式法、平方差公式。
3、一元二次方程与实际问题解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。
认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。
2024年中考数学复习练习专题：一元二次方程含参考答案
2024年中考数学复习练习专题：一元二次方程一、选择题1．把x 2−5x =31配方，需在方程的两边都加上（）A．5B．25C．2.5D．2542．方程x 2−8x +16=0根的情况是（）．A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根3．若x =0是关于x 的一元二次方程(m −1)x 2+2x +m 2−1=0的解，则m 的值为（）A．m =±1B．m =0C．m =1D．m =−14．一元二次方程3x 2−mx −3=0有一根是x =1，则另一根是（）A．x =1B．x =−1C．x =2D．x =45．关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1=0有两个实根，则实数k 的取值范围是（）A．k ≤1B．k <1C．k ≤1且k ≠0D．k <1且k ≠06．在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某小组成员之间共互赠了30本图书，若设该组共有x 名同学，那么依题意可列出的方程是（）A．x(x −1)=30B．x(x +1)=30C．2x(x −1)=30D．12x(x −1)=307．若a 是方程3x 2−6x −2=10的一个解，则2a 2−4a −2031的值是（）A．2023B．－2023C．2022D．－20228．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条线，一共开了21条线，则这个航空公司共有飞机场（）A．4个B．5个C．6个D．7个二、填空题9．若关于x 的方程(m −1)⋅x 2+x +m 2−1=0，有一根为0，则m =．10．已知抛物线y =x 2+2x +k −1与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是．11．若x 1、x 2是一元二次方程x 2+2x＝3的两根，则x 1•x 2的值是．12．游行队伍有8行12列，后又增加了69人，要使得队伍增加的行数和列数相同，需要增加行。
2012年中考复习考点跟踪训练7 一元二次方程(含答案)
考点跟踪训练7 一元二次方程一、选择题1．(2011·嘉兴)一元二次方程x(x－1)＝0的解是()A. x＝0B. x＝1C. x＝0或x＝1D. x＝0或x＝－1 2．(2011·兰州)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9 C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝93．(2011·福州)一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．(2011·济宁)已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b值为A() A．－1 B．0 C．1 D．25．(2011·威海)关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是()A．0 B．8 C．4±2 2 D．0或8二、填空题6．(2011·衢州)方程x2－2x＝0的解为________________．7．(2011·鸡西)一元二次方程a2－4a－7＝0的解为____________.8．(2011·镇江)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则m＝______，另一根是______．x2－y2－4＋(3 5x－5y－10)2＝0的解是__________________．9．(2011·黄石)解方程：||10．(2011·兰州)关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是__________．三、解答题11．(2011·南京)解方程：x2－4x＋1＝0.12．(2011·聊城)解方程：x ()x －2＋x －2＝0.13．(2011·广东) 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x 2＋3y －3y 2＝4.14．(2011·苏州)已知|a －1|＋b ＋2＝0，求方程a x＋bx ＝1的解．15．(2011·芜湖)如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x 2＋17) cm ，正六边形的边长为(x 2＋2x ) cm(其中x >0)．求这两段铁丝的总长．四、选做题16．(2010·孝感)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1、x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若||x 1＋x 2＝x 1x 2－1，求k 的值．参考答案一、选择题1．(2011·嘉兴)一元二次方程x(x－1)＝0的解是()A. x＝0B. x＝1C. x＝0或x＝1D. x＝0或x＝－1答案 C解析x(x－1)＝0，x＝0或x－1＝0，∴x1＝0，x2＝1.2．(2011·兰州)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9 C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝9答案 C解析x2－2x－5＝0，x2－2x＝5，x2－2x＋1＝5＋1，(x－1)2＝6.3．(2011·福州)一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根答案 A解析x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，x1＝0，x2＝2，方程有两个不相等的实数根．4．(2011·济宁)已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b值为A() A．－1 B．0 C．1 D．2答案 A解析当x＝－a时，得a2－ab＋a＝0，a(a－b＋1)＝0，又a≠0.所以a－b＋1＝0，a－b＝－1.5．(2011·威海)关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是()A．0 B．8 C．4±2 2 D．0或8答案 D解析由题意，得b2－4ac＝0，(m－2)2－4(m＋1)＝0，m2－8m＝0，m＝0或m＝8. 二、填空题6．(2011·衢州)方程x2－2x＝0的解为________________．答案x1＝0，x2＝2解析x2－2x＝0，x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，x1＝0，x2＝2.7．(2011·鸡西)一元二次方程a2－4a－7＝0的解为____________.答案a1＝2＋11，a2＝2－11解析a2－4a－7＝0，a2－4a＝7.a2－4a＋4＝11，(a－2)2＝11，a－2＝±11，∴a＝2±11. 8．(2011·镇江)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则m＝______，另一根是______．答案 1，－3解析 当x ＝2时，4＋2m －6＝0,2m ＝2，m ＝1，∴x 2＋x －6＝0.(x －2)(x ＋3)＝0，x 1＝2，x 2＝－3，另一根是－3.9．(2011·黄石)解方程：||x 2－y 2－4＋(3 5x －5y －10)2＝0的解是__________________．答案 ⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝2 5，y ＝4解析 ⎩⎨⎧ x 2－y 2－4＝0，3 5x －5y －10＝0，代入消去x ，得y 2－5y ＋4＝0，y 1＝1，y 2＝4， 相应地x 1＝5，x 2＝2 5.10．(2011·兰州)关于x 的方程a (x ＋m )2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，则方程a (x ＋m ＋2)2＋b ＝0的解是__________．答案 x 1＝－4，x 2＝－1解析 依题意，有x ＋2＝－2或x ＋2＝1，∴x ＝－4或x ＝－1.三、解答题11．(2011·南京)解方程：x 2－4x ＋1＝0.解 解法一：移项，得x 2－4x ＝－1.配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，(x －2)2＝3，由此可得x －2＝±3，∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.解法二：a ＝1，b ＝－4，c ＝1.b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×1＝12>0，x ＝4±122＝2±3. ∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.12．(2011·聊城)解方程：x ()x －2＋x －2＝0.解 (x －2)(x ＋1)＝0，解得x －2＝0或x ＋1＝0，x 1＝2，x 2＝－1.13．(2011·广东) 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，x 2＋3y －3y 2＝4. 解 ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，①x 2＋3y －3y 2＝4，② 由①得： x ＝2y .③将③代入②，化简整理，得：y 2＋3y －4＝0.解得：y ＝1或y ＝－3.将y ＝1或y ＝－3代入①，得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－3. ∴原方程的解有两个，⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－6，y 2＝－3. 14．(2011·苏州)已知|a －1|＋b ＋2＝0，求方程a x＋bx ＝1的解． 解 由|a －1|＋b ＋2＝0，得a ＝1，b ＝－2.由方程1x－2x ＝1得2x 2＋x －1＝0. 解之，得x 1＝－1，x 2＝12. 经检验，x 1＝－1，x 2＝12是原方程的解． ∴原方程的根为x 1＝－1，x 2＝12. 15．(2011·芜湖)如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x 2＋17) cm ，正六边形的边长为(x 2＋2x ) cm(其中x >0)．求这两段铁丝的总长．解 由已知得，正五边形周长为5(x 2＋17) cm ，正六边形周长为6(x 2＋2x ) cm.因为正五边形和正六边形的周长相等，所以5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x )．整理得x 2＋12x －85＝0，配方得(x ＋6)2＝121，解得x 1＝5，x 2＝－17(舍去)．故正五边形的周长为5×(52＋17)＝210(cm)．又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm.答：这两段铁丝的总长为420 cm.四、选做题16．(2010·孝感)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1、x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若||x 1＋x 2＝x 1x 2－1，求k 的值．解 (1)依题意，b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，－8k ＋4≥0，解得k ≤12. (2)解法一：依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝k 2＝1.∵k ≤12， ∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去．②x 1＋x 2<0时，则有x 1＋x 2＝－()x 1x 2－1，即2(k －1)＝－()k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3. 综合①、②可知k ＝－3.解法二：依题意可知x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.由(1)可知k ≤12. ∴2(k －1)<0，即x 1＋x 2<0，∴－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.。
2024年中考数学二轮复习模块专练—一元二次方程(含答案)
2024年中考数学二轮复习模块专练—一元二次方程（含答案）a a【例1】试卷第2页，共8页【例1】【例1】【例1】【例1】试卷第4页，共8页试卷第6页，共8页三、解答题（2023·辽宁鞍山·校考一模）26．解下列方程：(1)22410x x +-=．(2)()263x x x -=-；（2023·湖北襄阳·统考中考真题）27．关于x 的一元二次方程2230x x k ++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且23k k αβ=+，求k 的值．（2023·浙江杭州·统考中考真题）28．设一元二次方程20x bx c ++=．在下面的四组条件中选择其中一组．．,b c 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①2,1b c ==；②3,1b c ==；③3,1b c ==-；④2,2b c ==．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．（2023·四川遂宁·统考中考真题）29．我们规定：对于任意实数a 、b 、c 、d 有[,][,]a b c d ac bd *=-，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2][5,1]352113*=⨯-⨯=．(1)求[4,3][2,6]-*-的值；(2)已知关于x 的方程[,21][1,]0x x mx m -*+=有两个实数根，求m 的取值范围．（2023·湖北·统考中考真题）30．已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若()()2220a b a b ++=，求m 的值．（2023·四川南充·统考中考真题）试卷第8页，共8页参考答案：1．B【分析】直接把2x =-代入方程，可求出m 的值，再解方程，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意，∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，把2x =-代入220x x m ++=，则2(2)2(2)0m -+⨯-+=，解得：0m =；∴220x x +=，∴(2)0x x +=，∴12x =-，0x =，∴方程的另一个根是0x =；故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．2．C【分析】利用一元二次方程根的定义，确定出m 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22390m x x m -++-=的一个根为0，∴30m -≠且290m -=，解得：3m =-．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为答案第2页，共21页231841x x =-+()23314x =-+；∵()230x -≥，∴222x y z ++的最小值是14，故答案为14．【点睛】本题考查配方法的应用．将代数式转化为只含x 的代数式，利用配方法求最值，是解题的关键．6．6【分析】根据a －b 2＝4得出24b a =-，代入代数式a 2－3b 2＋a －14中，通过计算即可得到答案．【详解】∵a －b 2＝4∴24b a =-将24b a =-代入a 2－3b 2＋a －14中得：()2222341423142a a a b a a a a =--+-=--－＋－()2222221313a a a a a --=-+-=--∵240b a =-≥∴4a ≥当a=4时，()213a --取得最小值为6∴222a a --的最小值为6∵22231422a a ab a --=－＋－∴22314a b a －＋－的最小值6故答案为：6．答案第4页，共21页答案第6页，共21页答案第8页，共21页【分析】由于关于x 的一元二次方程2210mx x ++=有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知0∆≥，且0m ≠，据此列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，440m -≥，且0m ≠，解得，1m £，且0m ≠.故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当0∆>时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，一元二次方程没有实数根．13．C【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上4，即可求解．【详解】解：2410x x --=移项得，241x x -=两边同时加上4，即2445x x +=-∴2(2)5x -=，故选：C ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．14．A【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出P Q -()2=110x -+>，即可求解．【详解】解：∵2P x x =-，2Q x =-∴P Q -()()222222110x x x x x x =---=-+=-+>∴P Q -的值大于0，故选：A ．【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．15．A【分析】由已知得224y x =-，注意x 的取值范围，代入222x y x ++再配方，利用非负数的性质即可求解．【详解】解：∵2240y x -+=，∴224y x =-，且240x -≥即2x ≥，∴2222422x y x x x x+=-+++2448x x +=+-()228x =+-，∵()220x +≥，2x ≥∴当2x =时，222x y x ++的最小值是8，故选：A ．【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x 的取值范围是解决问题的关键．16．B【分析】利用配方法表示出B A -，以及2B A =时，用含n 的式子表示出x ，确定x 的符号，进行判断即可．【详解】解：∵226A x x n =++，2224B x x n =++，∴()2222246B A x x n x x n -=+++-+2222246x x n x x n =--++-答案第10页，共21页解得0x =或40x y +-=，即0x =或4x y +=，①错误；由243x mxy x x +-=可得()7x my x x +=，∵无论x 取任何实数，等式243x mxy x x +-=都恒成立，∴7x my +=，②正确；2245,47x xy x y xy y +-=+-=两式相加可得：2224412x xy y x y ++--=即2()4()12x y x y +-+=令t x y =+，则24120t t --=，解得16t =，22t =-即2x y +=-或6x y +=，③错误；由22440x xy x y xy y +-+--≤可得22(2)(2)8x y -+-≤正整数解为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，总共有16个，④错误正确的个数为1，故选：A【点睛】本题主要考查了整式加减，二元一次不等式的解，完全平方公式，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则以及灵活运用完全平方公式．19．5【分析】：把1x =代入方程260x mx +-=，求出关于m 的方程的解即可．【详解】把1x =代入方程260x mx +-=，得160m +-=，解得5m =．故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一答案第12页，共21页答案第14页，共21页答案第16页，共21页答案第18页，共21页答案第20页，共21页。
2023学年九年级数学上册重要考点题精讲精练(人教版)一元二次方程(原卷版)
一元二次方程（原卷）一元二次方程的有关概念通过化简后只含有一个未知数(一元) 并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程．题型1：一元二次方程的识别1.下列方程中一元二次方程的个数为（）（1）2x2−3=0；（2）x2+y2=5；（3）x(x+3)=x2−1；（4）x2+1x2=2A．1个B．2个C．3个D．4个题型2：一元二次方程定义与字母的值2.若关于x的方程（m+2）x|m|＋2x-3＝0是一元二次方程则m＝.一元二次方程的一般形式：一般地任何一个关于x的一元二次方程都能化成形如这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项是二次项系数；bx是一次项b是一次项系数；c是常数项．注意：(1)只有当时方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时应把一元二次方程化成一般形式指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.题型3：一元二次方程的一般形式3.一元二次方程2x2+x＝3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）．A．2 0 3B．2 1 3C．2 0 －3D．2 1 －3题型4：一元二次方程的解-求字母的值4.关于x的一元二次方程x2−m=0的一个根是3 则m的值是（）A．3B．−3C．9D．−9题型5：一元二次方程的解-求代数式的值5.若关于x的一元二次方程为ax2−3bx−5=0(a≠0)有一个根为x=2那么4a−6b的值是（）A．4B．5C．8D．10一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立即若x=1是一元二次方程的一个根则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立即若x=-1是一元二次方程的一个根则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0 则c=0；反之也成立若c=0 则一元二次方程必有一根为0.题型6：必有一根问题（赋值法）6.若a−b+c=0则关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一根是（）A．1B．±1C．0D．-1列方程小技巧：用含未知数的式子分别表示求面积的必要边长再根据题意套公式列方程即可。
2024年中考数学一轮复习题型突破与专题精练—一元二次方程
2024年中考数学一轮复习题型突破与专题精练—一元二次方程题型一一元二次方程的解1．判定下列方程是否关于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．【解析】(1)经整理，得它的一般形式(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，其中，由于对任何实数a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程．(2)经整理，得它的一般形式(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，其中，当m≠1且m≠-1时，有m2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．【总结】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数m的限定条件是m≠±1．例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．题型二解一元二次方程2．（2023·新疆·统考中考真题）用配方法解一元二次方程2680x x -+=，配方后得到的方程是（）A ．()2628x +=B ．()2628x -=C ．()231x +=D ．()231x -=【答案】D【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即262-⎛⎫⎪⎝⎭计算即可．【详解】∵2680x x -+=，∴22268+6622x x --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-=，∴()22869+3x x -=--，∴()231x -=，故选：D ．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）用配方法解方程2410x x --=时，配方后正确的是（）A ．2(2)3x +=B ．2(2)17x +=C ．2(2)5x -=D ．2(2)17x -=【答案】C【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上4，即可求解．【详解】解：2410x x --=移项得，241x x -=两边同时加上4，即2445x x +=-∴2(2)5x -=，故选：C ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．4．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知方程2340x x --=的根为12,x x ，则()()1222x x +⋅+的值为____________．【答案】6【分析】解方程，将解得的12,x x 代入()()1222x x +⋅+即可解答．【详解】解：2340x x --=，对左边式子因式分解，可得()()410x x -+=解得14x =，21x =-，将14x =，21x =-代入()()1222x x +⋅+，可得原式()()42126=+⨯-+=，故答案为：6．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题的关键．5．（2022·四川凉山）解方程：x 2－2x －3＝0【答案】121,3x x =-=【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】解：2230x x --=，(1)(3)0x x +-=，10x +=或30x -=，1x =-或3x =，故方程的解为121,3x x =-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．题型三一元二次方程根的判别式6．（2023·山东滨州·统考中考真题）一元二次方程2320x x +-=根的情况为（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．不能判定【答案】A【分析】根据题意，求得2498170b ac ∆=-=+=>，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程2320x x +-=中，1,3,2a b c -==-，∴2498170b ac ∆=-=+=>，∴一元二次方程2320x x +-=有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．7．（2022·浙江温州）若关于x 的方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是（）A ．36B ．36-C ．9D ．9-【答案】C【分析】根据判别式的意义得到2640c ∆=-=，然后解关于c 的一次方程即可．【详解】解：∵方程260x x c ++=有两个相等的实数根∴26410c ∆=-⨯⨯=解得9c =故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的跟与24b ac ∆=-的关系，关键是分清楚以下三种情况：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根．8．（2023·全国·统考中考真题）一元二次方程2520x x -+=根的判别式的值是（）A ．33B ．23C ．17D【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判别式24b ac =-△求出答案．【详解】解：∵1a =，=5b -，2c =，∴()224541172b ac =-=-⨯⨯-= ．故选：C ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．9．（2023·四川·统考中考真题）关于x 的一元二次方程232302x x -+=根的情况，下列说法中正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：232302x x -+=，其中2a =，3b =-，32c =，∴()23Δ342302=--⨯⨯=-<，∴方程没有实数根．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根．10．（2023·河南·统考中考真题）关于x 的一元二次方程280x mx +-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【答案】A【分析】对于20(0)ax bx c a ++=≠，当0∆>,方程有两个不相等的实根，当Δ0=,方程有两个相等的实根，Δ0<,方程没有实根，根据原理作答即可．【详解】解：∵280x mx +-=，∴()2248320m m ∆=-⨯-=+>，所以原方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．11．（2023·上海·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程2610ax x ++=没有实数根，那么a 的取值范围是________．【答案】9a >【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2610ax x ++=没有实数根，∴243640b ac a ∆=-=-<，解得：9a >；故答案为：9a >．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．12．（2020·湖北中考真题）已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根12,x x ．（1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值．【答案】(1)2k ≥；(2)=3k 【分析】(1)根据0∆≥建立不等式即可求解；(2)先提取公因式对等式变形为2121212()224⎡⎤+-=⎣⎦x x x x x x ，再结合韦达定理求解即可．【解析】解：(1)由题意可知，2(4)41(28)0∆=--⨯⨯-+≥k ，整理得：16+8320-≥k ，解得：2k ≥，∴k 的取值范围是：2k ≥．故答案为：2k ≥．(2)由题意得：3321212121212()224⎡⎤+=+-=⎣⎦x x x x x x x x x x ，由韦达定理可知：12+=4x x ，1228=-+x x k ，故有：2(28)42(28)24⎡⎤-+--+=⎣⎦k k ，整理得：2430k k -+=，解得：12=3,1=k k ，又由(1)中可知2k ≥，∴k 的值为=3k ．故答案为：=3k ．【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；当∆＜0时，方程没有实数根．13．（2020·广西玉林·中考真题）已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a ，b ，求111a ab -++的值．【答案】（1）k>-1；（2）1【分析】（1）根据∆>0列不等式求解即可；（2）根据根与系数的关系求出a+b 、ab 的值，然后代入所给代数式计算即可.【解析】解：（1）由题意得∆=4+4k>0，∴k>-1；（2）∵a+b=-2，ab=-k ，∴111a ab -++=()()()()1111a b a a b +-+++=11ab ab a b -+++=121k k ----+=1.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根的判别式与根的关系，以及根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12b x x a +=-，12cx x a⋅=．14．（2020·湖北随州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m +++-=．（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根1x ，2x ，且121231x x x x ++=，求m 的值．【答案】（1）见解析；（2）8m =．【分析】（1）求出△的值即可证明；（2），根据根与系数的关系得到1212(21)2x x m x x m +=-+⎧⎨=-⎩，代入121231x x x x ++=，得到关于m 的方程，然后解方程即可．【解析】（1）证明：依题意可得2(21)4(2)m m ∆=+--2490m =+>故无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）由根与系数的关系可得：1212(21)2x x m x x m +=-+⎧⎨=-⎩由121231x x x x ++=，得(21)3(2)1m m -++-=，解得8m =．【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a．15．（2022·四川南充）已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．(1)求实数k 的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为12,x x ，若()()12111x x ++=-，求k 的值．【答案】(1)k 174≤；(2)k =3【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k -2）≥0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到12123,2x x x x k -+==-，将等式左侧展开代入计算即可得到k 值．【解析】(1)解：∵一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．∴∆≥0，即32-4（k -2）≥0，解得k 174≤(2)∵方程的两个实数根分别为12,x x ，∴12123,2x x x x k -+==-，∵()()12111x x ++=-，∴121211x x x x +++=-，∴2311k --+=-，解得k =3．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．考向四含参问题16．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x 的一元二次方程2220x x m -+-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．32m <B ．3m >C ．3m ≤D ．3m <【答案】D【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2220x x m -+-=有两个不相等的实数根，∴()()22420m ∆=--->，∴3m <，故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根．17．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程2210mx x ++=有实数解，则m 的取值范围是（）A ．1m ≥-B ．1m £C ．1m ≥-且0m ≠D ．1m £且0m ≠【答案】D【分析】由于关于x 的一元二次方程2210mx x ++=有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知0∆≥，且0m ≠，据此列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，440m -≥，且0m ≠，解得，1m £，且0m ≠.故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当0∆>时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，一元二次方程没有实数根．18．（2023·湖南常德·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________．【答案】1k <【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式24>0b ac ∆=-，建立关于k 的不等式，解不等式即可得出答案．【详解】解：∵关于x 的方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，∴()224240b ac k ∆=-=-->，解得1k <．故答案为：1k <．【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ0=⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ0<⇔方程没有实数根．19．（2022秋·河南新乡·九年级统考期中）关于x 的一元二次方程220x x m --=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_____________．【答案】m ＞-1【分析】根据有两个不相等的实数根得到()()2Δ241m =--⨯⨯-＞0，解不等式即可．【详解】解：根据题意，得()()2Δ241m =--⨯⨯-＞0，解得m ＞-1；故答案为m ＞-1．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式，解决问题的关键是掌握判别式和方程根之间的关系：当∆＞0时，原方程有两个不相等的实数根，当∆=0时，原方程有两个相等的实数根，当∆＜0时，原方程无实数根．20．（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x 的方程()22140x m x m -+++=两根的倒数和为1，则m 的值为___________．【答案】2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：设方程的两个根分别为a ，b ，由题意得：()+2+1a b m =，4ab m =+，∴()2+111+++4m a b a bab m ==，∴()2+11+4m m =，解得：2m =，经检验：2m =是分式方程的解，检验：()()()()22Δ2144421424120m m =-+-+=⨯+-⨯+=>⎡⎤⎣⎦，∴2m =符合题意，∴2m =．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．21．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若3x =是关x 的方程26ax bx -=的解，则202362a b -+的值为___________．【答案】2019【分析】将3x =代入方程，得到32a b -=，利用整体思想代入求值即可．【详解】解：∵3x =是关x 的方程26ax bx -=的解，∴2336a b ⋅-=，即：32a b -=，∴202362a b-+()202323a b =--202322=-⨯20234=-2019=；故答案为：2019．【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．22．（2022秋·北京东城·九年级景山学校校考阶段练习）关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．【答案】k ＜1．【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=2241k 0-⨯⨯>，解得：k 1<，故答案为：k 1<.【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k 的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠中，若方程有两个不相等的实数根，则△=2b 4ac 0->”是解答本题的关键.23．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++-+=有两个不相等．．．．．的实数根，且12122x x x x ++⋅=，则实数m =_________．【答案】3【分析】利用一元二次方程22220x mx m m ++-+=有两个不相等．．．．．的实数根求出m 的取值范围，由根与系数关系得到212122,2x x m x x m m +=-=-+，代入12122x x x x ++⋅=，解得m 的值，根据求得的m 的取值范围，确定m 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++-+=有两个不相等．．．．．的实数根，∴()()22242480m m m m ∆=--+=->，解得m>2，∵212122,2x x m x x m m +=-=-+，12122x x x x ++⋅=，∴2222m m m -+-+=，解得123,0m m ==（不合题意，舍去），∴3m =故答案为：3.【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．24．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22460kx k x k -++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当1k =时，用配方法．．．解方程．【答案】(1)25k >-且0k ≠；(2)13x =23x =【分析】（1）根据题意，可得()()224460k k k +-->，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，（2）将1k =代入()22460kx k x k -++-=，利用配方法解方程即可．【详解】（1）解：依题意得：()()2Δ=244640160k k k k k ≠⎧⎪⎨+--=+>⎪⎩，解得25k >-且0k ≠；（2）解：当1k =时，原方程变为：2650x x --=，则有：26959x x -+=+，()2314x ∴-=，3x ∴-=∴方程的根为13x =，23x =．【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．题型五根与系数关系25．（2023·山东·统考中考真题）一元二次方程2310x x +-=的两根为12x x ，，则1211+x x 的值为（）A ．32B ．3-C ．3D ．32-【答案】C【分析】先求得123x x +=-，121x x ⋅=-，再将1211+x x 变形，代入12x x +与12x x ⋅的值求解即可．【详解】解：∵一元二次方程2310x x +-=的两根为12x x 、，∴123x x +=-，121x x ⋅=-∴1211+x x 1212x x x x +=31=--3=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记12b x x a+=-，12cx x a ⋅=是解决本题的关键．26．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于x 的一元二次方程22210x ax a ++-=的根的情况是（）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．实数根的个数与实数a 的取值有关【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式求出()()222224144440a a a a ∆=--=-+=>，即可得出答案．【详解】解：∵()()222224144440a a a a ∆=--=-+=>，∴关于x 的一元二次方程22210x ax a ++-=有两个不相等的实数根，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．27．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程280x x m -+=两根为12x x 、，且123x x =，则m 的值为（）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出128x x +=，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程280x x m -+=两根为12x x 、，∴128x x +=，∵123x x =，∴212,6x x ==，∴1212m x x ==，故选：C ．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．28．（2023·天津·统考中考真题）若12,x x 是方程2670x x --=的两个根，则（）A ．126x x +=B ．126x x +=-C ．127·6x x =D ．12·7x x =【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．【详解】解：方程2670x x --=中的1,6,7a b c ==-=-，12,x x 是方程2670x x --=的两个根，126b x x a ∴+=-=，12·7cx x a==-，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．29．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）已知1x 、2x 是方程22310x x -+=的两根，则代数式12121x x x x ++的值为_________．【答案】1【分析】根据1x 、2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则有1212·b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，求解即可．【详解】解：由题意得1212321·2x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，原式321112==+．故答案：1．【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．30．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若a 、b 是一元二次方程2310x x -+=的两个实数根，则代数式a b ab +-的值为_________．【答案】2【分析】根据根与系数的关系得到31a b ab +==，，由此即可得到答案．【详解】解：∵a 、b 是一元二次方程2310x x -+=的两个实数根，∴31a b ab +==，，∴31312a b ab +-=-=-=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若12x x ，是该方程的两个实数根，则1212b ca x x x x a+=-=，．31．（2023·四川内江·统考中考真题）已知a 、b 是方程2340x x +-=的两根，则243a a b ++-=___________．【答案】2-【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得23,340a b a a +=-+-=，从而得到234+=a a ，然后代入，即可求解．【详解】解：∵a ，b 是方程2340x x +-=的两根，∴23,340a b a a +=-+-=，∴234+=a a ，∴243a ab ++-233a a ab =+++-()433=+--2=-．故答案为：2-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．32．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知一元二次方程230x x k -+=的两个实数根为12,x x ，若1212221x x x x ++=，则实数k =_____________．【答案】5-【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出12123,x x x x k +==，代入已知等式，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程230x x k -+=的两个实数根为12,x x ，∴12123,x x x x k +==∵1212221x x x x ++=，∴61k +=，解得：5k =-，故答案为：5-．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．33．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m ---+=(1)求证：无论m 为何值，方程总有实数根；(2)若1x ，2x 是方程的两个实数根，且212152x x x x +=-，求m 的值．【答案】(1)见解析；(2)25或1【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定0∆≥即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到1221x x m +=-，2123x x m m =-+，整体代入得到2230m m +-=求解即可得到答案．【详解】（1）证明： 关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m ---+=，∴1a =，()21b m =--，23c m m =-+，∴()()()222242141341b ac m m m m ⎡⎤∆=-=----+=-⎣⎦⨯⨯，∵()2410m -≥，即0∆≥，∴不论m 为何值，方程总有实数根；（2）解：∵1x ，2x 是关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m ---+=的两个实数根，∴1221x x m +=-，2123x x m m =-+，∵()22121221121121222252x x x x x x x x x x x x x x +-++===-，∴()2121212x x x x +=-，∴22(21)132m m m -=--+，整理，得25207m m -+=，解得125m =，21m =，∴m 的值为25或1．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．34．（2019·湖北黄石·中考真题）已知关于x 的一元二次方程26(41)0x x m -++=有实数根.（1）求m 的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为1x 、2x ，且124x x -=，求m 的值.【答案】（1）2m ≤.（2）1m =.【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，结合|x 1-x 2|=4可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2；（2）∵方程x 2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，∴（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=42，即32-16m=16，解得：m=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x 1-x 2|=4，找出关于m 的一元一次方程．35．（2019·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为12,x x ，求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值.【答案】（1）134m ≤；（2）1.【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可；（2）将m=2代入原方程可得：x 2+3x+1=0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．【解析】（1）△=2222(21)41(3)441412413m m m m m m --⨯⨯-=-+-+=-+∵原方程有实根，∴△=4130m -+≥解得134m ≤（2）当m=2时，方程为x 2+3x+1=0，∴x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，∵方程的根为x 1，x 2，∴x 12+3x 1+1=0，x 22+3x 2+1=0，∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）=（x 12+2x 1+x 1-x 1）（x 22+3x 2+x 2+2）=（-1-x 1）（-1+x 2+2）=（-1-x 1）（x 2+1）=-x 2-x 1x 2-1-x 1=-x 2-x 1-2=3-2=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a”是解题的关键．题型六一元二次方程在实际问题中的应用36．（2023·广西·统考中考真题）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x ，依题意可列方程为（）A ．23.2(1) 3.7x -=B ．23.2(1) 3.7x +=C ．23.7(1) 3.2x -=D ．23.7(1) 3.2x +=【答案】B 【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x ，根据题意列出一元二次方程即可．【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x ，根据题意得，23.2(1) 3.7x +=．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．37．（2022·新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则根据题意，可列方程为（）A ．8(12)11.52x +=B ．28(1)11.52x ⨯+=C ．28(1)11.52x +=D ．()28111.52x +=【答案】C 【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则第二个月的销售额是8(1+)x 万元，第三个月的销售额为28(1+)x 万元，即可得．【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则第二个月的销售额是8(1+)x 万元，第三个月的销售额为28(1+)x 万元，∴28(1+)=11.52x 故选C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额．38．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为100m ，宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m ，则小路的宽是（）A ．5mB ．70mC ．5m 或70mD ．10m【答案】A 【分析】设小路宽为m x ，则种植花草部分的面积等于长为()1002m x -，宽为()502m x -的矩形的面积，根据花草的种植面积为23600m ，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小路宽为m x ，则种植花草部分的面积等于长为()1002m x -，宽为()502m x -的矩形的面积，依题意得：()()1002502=3600x x --解得：15=x ，270x =（不合题意，舍去），∴小路宽为5m ．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．39．（2023·重庆·统考中考真题）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为___________．【答案】()2150111815x +=【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意得，()2150111815x +=，故答案为：()2150111815x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．40．（2023·湖南·统考中考真题）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x ，则依题意列方程为__________．【答案】()2100011440x +=【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为x ，依题意列出一元二次方程即可求解．【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为x ，则依题意列方程为()2100011440x +=，故答案为：()2100011440x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．41．如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =5cm ，BC =7cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．（1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于6cm 2？（2）在（1）中，△PQB 的面积能否等于8cm 2？说明理由．【答案】（1）2或3秒；（2）不能.【解析】（1）设经过x 秒以后△PBQ 的面积为6cm 2，则12×（5﹣x ）×2x =6，整理得：x 2﹣5x +6=0，解得：x =2或x =3．答：2或3秒后△PBQ 的面积等于6cm 2．（2）设经过x 秒以后△PBQ 面积为8cm 2，则12×（5﹣x ）×2x =8，整理得：x 2﹣5x +8=0，因为△=25﹣32=﹣7＜0，所以此方程无解，故△PQB 的面积不能等于8cm 2．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ 的面积等于6cm 2”，得出等量关系是解决问题的关键．（1）设经过x 秒钟，△PBQ 的面积等于6cm 2，根据点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，表示出BP 和BQ 的长可列方程求解．（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm 2．42．（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求20202022-年买书资金的平均增长率．【答案】20%【分析】设20202022-年买书资金的平均增长率为x ，根据2022年买书资金=2020年买书资金()21x ⨯+建立方程，解方程即可得．【详解】解：设20202022-年买书资金的平均增长率为x ，由题意得：()2500017200x +=，解得0.220%x ==或 2.20x =-<（不符合题意，舍去），答：20202022-年买书资金的平均增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．43．（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】(1)20%(2)18个【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，根据2019年投入资金2(1)x ⨯+=2021年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．【解析】(1)解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，根据题意得：21000(1)1440x +=，解这个方程得，10.2x =，2 2.2x =-，经检验，0.220%x ==符合本题要求．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．(2)设该市在2022年可以改造y 个老旧小区，由题意得：80(115%)1440(120%)y ⨯+≤⨯+，解得181823y ≤．。
一元二次方程考点基础知识过关限时训练(中考第一轮总复习)
一元二次方程考点基础知识过关限时训练（中考第一轮总复习）（建议时间60分钟）一．选择题1．一元二次方程2340x x -+=的根的情况是( )A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．有两个不相等的实数根2．下列关于x 的方程中，是一元二次方程的为( )A ．20ax bx c ++=B ．211x x -= C ．210x -= D ．2350x y +-=3．下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )A ．220x x -=B ．2210x x -+=C ．220x +=D ．2230x x -+=4．若关于x 的方程2(2)210a x x +--=是一元二次方程，则a 的取值范围是( )A ．0a ≠B ．2a ≠-C ．3a -D ．3a -且2a ≠-5．用配方法解一元二次方程26100x x +-=，此方程可变形为( )A ．2(3)19x +=B ．2(3)19x -=C ．2(2)1x +=D ．2(3)1x -=6．方程2120x x +-=的两根的情况是( )A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相同的实数根D ．不能确定 7．下列方程是一元二次方程的是( )A ．20x =B ．21y x +=C ．210x +=D ．11x x += 8．一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．1k <B ．1kC ．1k >D ．1k9．如图，长方形花圃ABCD 面积为24m ，它的一边AD 利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是5m ．EF 处开一门，宽度为1m ．设AB 的长度是xm ，根据题意，下面所列方程正确的是( )A ．(52)4x x -=B ．(512)4x x +-=C ．(521)4x x --=D ．(2.5)4x x -=10．一元二次方程2243x x +=的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根11．若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是( )A ．0m >B ．12m > C ．12m < D ．0m <12．用配方法解一元二次方程2430x x -+=时，配方正确的是( )A ．2(2)1x +=B ．2(2)7x +=C ．2(2)7x -=D ．2(2)1x -=13．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为( )A ．2(1)6x +=B ．2(1)6x -=C ．2(3)9x +=D ．2(2)9x -=14． 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两队之间都赛一场），单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x 支队伍参加比赛，则所列方程为( )A ．(1)45x x +=B ．(1)452x x +=C ．(1)45x x -=D ．(1)452x x -= 15．若关于x 的方程240x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是( )A ．4B ．4-C ．16D ．16-16．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是( )A B ．3 C ．6 D ．917．若关于x 的一元二次方程260x x a +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．9a >-B ．9a <-C ．9a -D ．9a -18．关于x 的一元二次方程22210x mx m ++-=根的情况，下列说法正确的是( )A ．有两个不相等的实数根B ．必有两个正根C ．必有两个负根D ．必有一个实数根为1x =-19．已知x m =是方程2210x x +-=的一个根，则2243(m m +-= )A ．2-B ．1-C ．1D ．220．用配方法解一元二次方程2250x x --=时，将它化为2()x a b +=的形式，则a b +的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．621．关于x 的一元二次方程2(0)ax bx c ac +=≠一个实数根为2022，则方程2cx bx a +=一定有实数根( )A ．2022B ．12022C ．2022-D ．12022- 22．如果关于x 的方程27(3)30m m x x ---+-是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为( )A ．3±B ．3C ．3-D ．都不对23．下列方程中，一元二次方程的是( )A ．23(4)x x x -=+B ．230x x -= C ．10xy x -+= D ．22310x x --=24．若关于x 的方程2(1)210a x ax -+-=是一元二次方程，则a 的取值范围为( )A ．1a ≠B ．1a >C ．1a <D ．0a ≠25．下列方程一定是一元二次方程的是( )A ．270xy -= B ．20x ++= C ．220ax x += D ．22(2)1x x +=-26．一元二次方程2410x x ++=配方后可化为( )27．关于x 的一元二次方程260x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是( )A ．8B ．9C ．10D ．1128．下列各数：4-，3-，2-，3，4，6．其中是一元二次方程2120x x +-=的解是( )A ．2-，6B ．3-，4C ．3，4D ．4-，329．已知一元二次方程240x x m --=有一个根为3，则m 值为( )A ．3-B ．2C ．2-D ．330．用配方法解方程221x x +=，变形后的结果正确的是( )A ．2(1)2x -=B ．2(1)0x -=C ．2(1)0x +=D ．2(1)2x +=31．用配方法解一元二次方程2210x x --=的过程中，配方正确的是( )A ．2(1)1x +=B ．2(1)2x -=C ．2(1)2x +=D ．2(1)4x -=32．若关于x 的一元二次方程22(1)0a x a a +--=有一个根是1x =-，则a 的值为( )A ．1-B ．0C ．1D ．1-或133．用配方法解方程2850x x -+=时，原方程应变形为( )A ．2(8)21x -=B ．2(8)11x -=C ．2(4)21x -=D ．2(4)11x -=34．关于x 的方程220ax ax c -+=的一个解为11x =-，则该方程的另一个解是()A ．23x =B ．21x =C ．22x =-D ．23x =-35．关于x 的一元二次方程2(3)20x k x k +--=的根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定 36．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为( )37．用配方法解方程2430x x -+=，下列变形正确的是( )A ．2(2)7x -=-B ．2(2)1x +=C ．2(2)1x +=-D ．2(2)1x -=38．已知关于x 的方程260x kx +-=的一个根为2x =，则实数k 的值为( )A ．1B ．1-C ．2D ．2-二．填空题39．已知1x 、2x 是一元二次方程22350x x +-=的两个根，则12x x += ，12x x = ． 40．一种型号的电脑，原来每台售价7500元，经过两次降价后，现在每台售价为4800元，如果每次降价的百分率相同，设每次降价百分率为x ，那么根据题意可列出方程： ．41．已知关于x 的一元二次方程230x mx +-=的一个根是3，则该方程的另一个根是 ．42．方程(8)7x x -=-的根是 ．43．已知4M m =-，23N m m =-．则M 与N 的大小关系为M N （填>、<或)=．44．已知2410ax x +-=是关于x 的一元二次方程，那么a 的取值范围为 ．45．若一元二次方程2560x x +-=的两个根是1x ，2x ．则12x x ⋅的值是 ．46．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近几年销售量全球第一，2018年某款新能源车销售量为15万辆，销售量逐年增加，到2020年销售量为21.6万辆，则这款新能源汽车销售量的年平均增长率是 ．47．若m 、n 是方程2310x x --=的两个实数根，则m n +的值为 ．48．已知关于x 的方程2()0(a x m p a ++=、m 、p 为常数，0)a ≠的解是11x =，23x =-．那么方程2(3)0a x m p +++=的解为 ．49．已知1x ，2x 是方程24510x x -+=的两个根．则代数式1211x x +的值是 ． 50．若关于x 的一元二次方程250x x a -+=的一个根是3．则a 的值为 ．三．解答题51．请用指定的方法解下列方程：（1）2304x x --=（配方法）；（2）3(1)2(1)x x x -=-（因式分解法）．52．解方程：（1）2420x x --= （2）(2)(3)12x x --= （3）2(1)90x +-=（4）2(2)1y y -= （5）22(3)3(3)x x +=+ （6）2310x x --=（7）2(5)2(5)0x x x -+-= （8）2210x x --= （9）23210x x +-=53．（1）解方程：21090x x -+=（配方法）．（2）关于x 的一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的a ，b 的值，并求出此时方程的根．。
青岛版初中数学九年级上册《一元二次方程》跟踪练习
青岛版初中数学 重点知识精选
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《一元二次方程》跟踪练习
一. 选择题
1. 如果(a－1)x2＋ax＋a2－1＝0 是关于 x 的一元二次方程，那么必有（ ）
A. a≠0
B. a≠1
4. C
5. C
6. a≠±1
7. 4
8. k＝±3
9. 1
k 2 1 0
10.
解：（1）当
k
1
0
，即 k＝1 时，原方程为一元一次方程，
（2）依据题意，有 k2－1. 由题意得：a ＝2，b＝－3 ∵ax2＋bx＋c＝0 的一个根是 1
C. a≠－1
D. a＝±－1
2. 某种产品原来每件的成本是 100 元，由于连续两次降低成本 ，现在的成
本是 81 元，设平均每次降低成本的百分率为 x，则所得方程为（ ）
A. 100(1＋x)2＝81
B. 100(1－x)2＝81
C. 81 (1－x)2＝100
D. 81(1＋x)2＝100
3. 若 a－b＋c＝0，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有一根是（ ）
∴a＋b＋c＝0 ∴c＝－(a＋b)＝－2＋3＝1
1 y2 c 0, 变变变 ∴4
1 y2 1 0
4
，解得：y1＝2，y2＝－2
12. （1）(4－x)2＋(3＋x)2＝52；
（2）设花园的宽为 xm，x(19－2x)＝24；
（3）n(n－1)＝132； （4）14400(1＋x)2＝16900
（3）有 n 支球队参加排球联赛，每队都与其余各队比赛 2 场，联赛的总场 次为 132 次，问共有多少支球队参加联赛？
2024年中考数学一轮复习考点07 一元二次方程(精讲)(解析版)31
考点07.一元二次方程（精讲）【命题趋势】一元二次方程以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右。
预计2024年各地中考还将继续考查，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了。
【知识清单】1：一元二次方程的相关概念（☆☆）1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
2）一般形式：2(0)0ax bx c a ++=≠，其中：a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
3）一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是该一元二次方程的解。
2：一元二次方程的解法（☆☆☆）1）直接开平方法：适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程。
2）配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式；（5）运用直接开平方法解方程。
3）因式分解法：基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=。
4）公式法：（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入2b x a-±=即可。
5）根的判别式：一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式。
6）一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根。
(完整版)九年级数学中考复习专题一元二次方程练习题及答案
中考数学复习专题一元二次方程一、选择题:1、若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．02、方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C．（x+3）2=4 D．（x﹣3）2=43、关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0，常数项为0，则m值等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．04、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=1965、若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＜1且k≠0 B．k≠0 C．k＜1 D．k＞16、关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是( )A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠07、已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（） A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．108、若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（）A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣39、有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x值为（） A．5 B．6 C．7 D．810、毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为（）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人11、某市2013年生产总值（GDP）比2012年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2013年增长7%．若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A.12%+7%=x%B.（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C.12%+7%=2•x%D.（1+12%）（1+7%）=（1+x%）212、设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则的值为（）二、填空题:13、方程2x2﹣1=的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．14、若关于x的方程(a＋3)x|a|－1－3x＋2＝0是一元二次方程，则a的值为________________．15、把方程（2x+1）（x—2）=5－3x整理成一般形式后，得，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是。
中考数学总复习 考点跟踪突破7 一元二次方程
一元二次方程一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2014·宜宾)若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是( B ) A ．x 2＋3x －2＝0 B ．x 2－3x ＋2＝0 C ．x 2－2x ＋3＝0 D ．x 2＋3x ＋2＝02．(2014·益阳)一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0总有实数根，则m 应满足条件是( D ) A ．m>1 B ．m ＝1 C ．m ＜1 D ．m ≤13．(2014·聊城)用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，此方程可变形为( A )A ．(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2B ．(x ＋b 2a )2＝4ac －b24a2C ．(x －b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2D ．(x －b 2a )2＝4ac －b24a24．(2014·菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( B )A ．1B ．－1C ．0D ．－25．(2014·潍坊)等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2－12x ＋k ＝0的两个根，则k 的值是( B )A ．27B ．36C ．27或36D ．18 二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·舟山)方程x 2－3x ＝0的根为7．(2013·佛山)方程x 2－2x －2＝0．8．(2014·白银)一元二次方程(a ＋1)x 2a ＝__1__．9．(2014·呼和浩特)已知m ，n 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则m 2－mn ＋3m ＋n ＝__8__．10．(2013·白银)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a★b＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x 的值是__－1或4__．三、解答题(共40分)11．(6分)(1)(2014·遂宁)解方程：x 2＋2x －3＝0；解：(1)∵x 2＋2x －3＝0，∴(x ＋3)(x －1)＝0，∴x 1＝1，x 2＝－3(2)(2012·杭州)用配方法解方程：2x 2－4x －1＝0.解：二次项系数化为1得：x 2－2x ＝12，x 2－2x ＋1＝12＋1，(x －1)2＝32，x －1＝±62，∴x 1＝62＋1，x 2＝1－6212．(8分)解方程：(1)(2012·安徽)x 2－2x ＝2x ＋1；解：x 2－4x ＝1，x 2－4x ＋4＝1＋4，(x －2)2＝5，x －2＝±5，x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5(2)(2014·自贡)3x(x －2)＝2(2－x)．解：(x －2)(3x ＋2)＝0，解得x 1＝2，x 2＝－2313．(8分)(2014·梅州)已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0. (1)当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)将x ＝1代入方程x 2＋ax ＋a －2＝0得，1＋a ＋a －2＝0，解得，a ＝12；方程为x 2＋12x －32＝0，即2x 2＋x －3＝0，设另一根为x 1，则1·x 1＝－32，x 1＝－32(2)∵△＝a 2－4(a －2)＝a 2－4a ＋8＝a 2－4a ＋4＋4＝(a －2)2＋4＞0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根14．(8分)(2012·南充)关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2.(1)求m 的取值范围；(2)若2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋10＝0，求m 的值．解：(1)∵方程有两个实数根x 1，x 2，∴Δ≥0，即9－4(m －1)≥0，解得m≤134(2)由题意可得：x 1＋x 2＝－3，x 1·x 2＝m －1，又∵2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋10＝0，∴2×(－3)＋(m －1)＋10＝0，解得m ＝－315．(10分)(2014·泸州)已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两实数根．(1)若(x 1－1)(x 2－1)＝28，求m 的值；(2)已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．解：(1)∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两实数根，∴x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1·x 2＝m 2＋5，∴(x 1－1)(x 2－1)＝x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＝m 2＋5－2(m ＋1)＋1＝28，解得：m ＝－4或m ＝6；当m ＝－4时原方程无解，∴m ＝6(2)当7为底边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根，∴△＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得：m＝2，∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得：x1＝x2＝3，∵3＋3＜7，∴不能构成三角形；当7为腰时，设x1＝7，代入方程得：49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得：m ＝10或4，当m＝10时方程为x2－22x＋105＝0，解得：x＝7或15∵7＋7＜15，不能组成三角形；当m＝4时方程变为x2－10x＋21＝0，解得：x＝3或7，此时三角形的周长为7＋7＋3＝17。
《一元二次方程》总复习、练习、中考真题【题型解析】
一元二次方程总复习考点 1 ：一元二次方程的看法一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2 ，且系数不为0 ，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋ bx+c=0(a≠ 0）注。
意：判断某方程可否为一元二次方程时，应第一将方程化为一般形式。
考点 2 ：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2 =b （b≥0）的方程两边直接开平方而转变成两个一元一次方程的方法。
x+a= b x1=-a+b x2=-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋ bx+c=0(k≠ 0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加前一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2 =b 的形式；⑤ 若是 b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；若是 b ≤ 0 ，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是经过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x b b 24ac(b2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转变成一般形2a式；②确定a，b ，c 的值；③求出b2－4ac 的值，当 b 2－ 4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论依照：若 ab=0 ，则 a=0 或 b=0 。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0 ，获取两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5 ．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，重申a≠0 ．因当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a， b ，c 的值；②若 b 2－4ac ＜ 0，则方程无解．⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能够任意约去含有未知数的代数式．如2－ 2(x ＋ 4) =3 （ x ＋ 4）中，不能够任意约去x ＋4 。
初三中考复习 一元二次方程 专题练习题 含答案
一元二次方程专题练习题1．下列方程中，一定是一元二次方程的是( )A ．3x 2＋2x－1＝0 B ．5x 2－6y －3＝0 C ．ax 2－x ＋2＝0 D ．3x 2－2x －1＝0 2．若关于x 的方程(a －2)x 2－2ax ＋a ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值是( )A ．2B ．－2C ．0D ．不等于2的任意实数3．将一元二次方程3x 2＝－2x ＋5化为一般形式，其一次项系数与常数项的和为____．4．将一元二次方程y(2y －3)＝(y ＋2)(y －2)化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．2x 2＋x ＝2的解是( )x ＝－1和x ＝06．已知关于x 的方程x 2＋x ＋2a －1＝0的一个根是0，则a ＝______．7．若关于x 的一元二次方程ax 2－bx －2018＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝______．8．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m ，若将短边增长到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m 2，设扩大后的正方形绿地边长为x m ，下面所列方程正确的是( )A ．x(x －60)＝1600B ．x(x ＋60)＝1600C ．60(x ＋60)＝1600D ．60(x －60)＝16009. 有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )A .12x(x －1)＝45 B. 12x(x ＋1)＝45 C ．x(x －1)＝45 D ．x(x ＋1)＝45 10．如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______________________．11．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x2＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0 C ．(x －1)(x ＋2)＝1 D ．x(x －1)＝x 2＋2x12．若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或113．已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝______．14．若方程(m－2)x2＋m x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是______________________．15．小明用30厘米的铁丝围成一个斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一条直角边长为x厘米，则另一条直角边长为__________厘米，可列出方程：___________________________．16．根据下列问题列出一元二次方程，并将其化成一般形式．(1)某市2015年平均房价为每平方米8000元，2017年平均房价降到每平方米7000元，求这两年平均房价年平均降低率；(2)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，求道路的宽；(3)某种服装平均每天可销售20件，每件盈利30元，若单价每件降价1元，则每天可多销售5件，如果每天要盈利1445元，求每件服装应降价多少元．17．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是1，且a，b满足等式b＝a－1＋1－a＋2，求这个一元二次方程．18．已知关于x的方程(k2－9)x2＋(k＋3)x＝0.(1)当k为何值时，此方程是一元一次方程？(2)当k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．19．若x 2a ＋b －3x a －b ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，求a ，b 的值．下面是两位同学的解法．甲：根据题意，得⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0.乙：根据题意，得⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1或⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，a －b ＝2， 解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1. 你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？如果都不正确，请给出正确的解法．答案：1. D2. D3. －34. 解：一般形式为y2－3y＋4＝0，二次项系数是1，一次项系数是－3，常数项是45. C6. 127. 20188. A9. A10. (x＋1)2－1＝2411. C12. A13. 614. m≥0且m≠215. (17－x) x2＋(17－x)2＝13216. 解：(1)设这两年平均房价年平均降低率为x，根据题意得8000(1－x)2＝7000，化成一般形式为8x2－16x＋1＝0(2)设道路的宽为x米，则(22－x)(17－x)＝300，化成一般形式为x2－39x＋74＝0(3)设每件应降价x元，则(20＋5x)(30－x)＝1445，化成一般形式为x2－26x＋169＝017. 解：a＝1，b＝2，c＝－3，此方程为x2＋2x－3＝018. (1) 解：由题意得k2－9＝0，k＋3≠0，解得k＝3，∴k＝3时，此方程是一元一次方程(2) 解：由题意得k2－9≠0，则k≠±3，∴k≠±3时，此方程是一元二次方程，二次项系数、一次项系数和常数项分别为k2－9，k＋3，019. 解：都不正确，均考虑不全面．正确解法如下：要使x2a＋b－3xa－b＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则2a＋b＝2，a－b＝2或2a＋b＝2，a－b＝1或2a＋b＝2，a－b＝0或2a ＋b＝1，a－b＝2或2a＋b＝0，a－b＝2，解得a＝43，b＝－23或a＝1，b＝0或a＝23，b ＝23或a＝1，b＝－1或a＝23，b＝－43。
初三中考复习 一元二次方程 专题练习题 含答案
一元二次方程专题练习题1．下列方程中，一定是一元二次方程的是( )A ．3x 2＋2x－1＝0 B ．5x 2－6y －3＝0 C ．ax 2－x ＋2＝0 D ．3x 2－2x －1＝0 2．若关于x 的方程(a －2)x 2－2ax ＋a ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值是( )A ．2B ．－2C ．0D ．不等于2的任意实数3．将一元二次方程3x 2＝－2x ＋5化为一般形式，其一次项系数与常数项的和为____．4．将一元二次方程y(2y －3)＝(y ＋2)(y －2)化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．2x 2＋x ＝2的解是( )x ＝－1和x ＝06．已知关于x 的方程x 2＋x ＋2a －1＝0的一个根是0，则a ＝______．7．若关于x 的一元二次方程ax 2－bx －2018＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝______．8．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m ，若将短边增长到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m 2，设扩大后的正方形绿地边长为x m ，下面所列方程正确的是( )A ．x(x －60)＝1600B ．x(x ＋60)＝1600C ．60(x ＋60)＝1600D ．60(x －60)＝16009. 有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )A .12x(x －1)＝45 B. 12x(x ＋1)＝45 C ．x(x －1)＝45 D ．x(x ＋1)＝45 10．如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______________________．11．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x2＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0 C ．(x －1)(x ＋2)＝1 D ．x(x －1)＝x 2＋2x12．若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或113．已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝______．14．若方程(m－2)x2＋m x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是______________________．15．小明用30厘米的铁丝围成一个斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一条直角边长为x厘米，则另一条直角边长为__________厘米，可列出方程：___________________________．16．根据下列问题列出一元二次方程，并将其化成一般形式．(1)某市2015年平均房价为每平方米8000元，2017年平均房价降到每平方米7000元，求这两年平均房价年平均降低率；(2)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，求道路的宽；(3)某种服装平均每天可销售20件，每件盈利30元，若单价每件降价1元，则每天可多销售5件，如果每天要盈利1445元，求每件服装应降价多少元．17．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是1，且a，b满足等式b＝a－1＋1－a＋2，求这个一元二次方程．18．已知关于x的方程(k2－9)x2＋(k＋3)x＝0.(1)当k为何值时，此方程是一元一次方程？(2)当k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．19．若x 2a ＋b －3x a －b ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，求a ，b 的值．下面是两位同学的解法．甲：根据题意，得⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0.乙：根据题意，得⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1或⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，a －b ＝2， 解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1. 你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？如果都不正确，请给出正确的解法．答案：1. D2. D3. －34. 解：一般形式为y2－3y＋4＝0，二次项系数是1，一次项系数是－3，常数项是45. C6. 127. 20188. A9. A10. (x＋1)2－1＝2411. C12. A13. 614. m≥0且m≠215. (17－x) x2＋(17－x)2＝13216. 解：(1)设这两年平均房价年平均降低率为x，根据题意得8000(1－x)2＝7000，化成一般形式为8x2－16x＋1＝0(2)设道路的宽为x米，则(22－x)(17－x)＝300，化成一般形式为x2－39x＋74＝0(3)设每件应降价x元，则(20＋5x)(30－x)＝1445，化成一般形式为x2－26x＋169＝017. 解：a＝1，b＝2，c＝－3，此方程为x2＋2x－3＝018. (1) 解：由题意得k2－9＝0，k＋3≠0，解得k＝3，∴k＝3时，此方程是一元一次方程(2) 解：由题意得k2－9≠0，则k≠±3，∴k≠±3时，此方程是一元二次方程，二次项系数、一次项系数和常数项分别为k2－9，k＋3，019. 解：都不正确，均考虑不全面．正确解法如下：要使x2a＋b－3xa－b＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则2a＋b＝2，a－b＝2或2a＋b＝2，a－b＝1或2a＋b＝2，a－b＝0或2a ＋b＝1，a－b＝2或2a＋b＝0，a－b＝2，解得a＝43，b＝－23或a＝1，b＝0或a＝23，b ＝23或a＝1，b＝－1或a＝23，b＝－43。
2024年中考数学一轮复习考点07 一元二次方程(精练)(解析版)32
考点07.一元二次方程（精练）限时检测1：最新各地模拟试题（40分钟）1．（2023·辽宁抚顺·统考一模）若1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则24a b +的值等于()A ．－2B ．－3C ．－1D ．－6【答案】A【分析】将x =1代入原方程即可求出答案．【详解】解：将x =1代入原方程可得：1+a +2b =0，∴a +2b =-1，∴24a b +=2(a +2b )=2×(-1)=-2，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属基础题型．2．（2023·湖北鄂州市·校考模拟预测）关于x 的一元二次方程240x x m -+=的两实数根分别为1x 、2x ，且1235x x +=，则m 的值为（）A ．74B ．75C ．76D ．04．（2023·湖北·校联考一模）如果方程()2(1)2+=0x x x m --的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A ．01m B ．34m C ．314m D ．3<14m4．（2023·安徽·校考模拟预测）若方程20(a 0)++=≠ax bx c 中，,,a b c 满足0a b c ++=和420a b c -+=，则方程的根是（）A ．1,2-B ．1,0-C ．1,0D ．无法确定【答案】A【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．【详解】解：∵20(a 0)++=≠ax bx c ，把1x =代入得：0a b c ++=，即方程的一个解是1x =，把2x =-代入得：420a b c -+=，即方程的一个解是2x =-；故选：A ．【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．5．（2023·浙江杭州·校联考一模）若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（）A ．方程x 2－3x ＋2＝0是2倍根方程B ．若关于x 的方程(x －2)(mx ＋n )＝0是2倍根方程，则m ＋n ＝0C ．若m ＋n ＝0且m ≠0，则关于x 的方程(x －2)(mx ＋n )＝0是2倍根方程D ．若2m ＋n ＝0且m ≠0，则关于x 的方程x 2＋(m －n )x －mn ＝0是2倍根方程6.（2023春·江苏南京·九年级专题练习）设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程2x x n mx ++=的两个实数根．若120x x <<，则（）A ．1,0m n >⎧⎨>⎩B ．1,0m n >⎧⎨<⎩C ．1,0m n <⎧⎨>⎩D ．1,0m n <⎧⎨<⎩【详解】解：依题意得：()23201405x +=，故选：B ．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．8．（2023·山东·统考三模）新定义：关于x 的一元二次方程a 1(x ﹣m )2+k ＝0与a 2(x ﹣m )2+k ＝0称为“同族二次方程”．如2(x ﹣3)2+4＝0与3(x ﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程2(x ﹣1)2+1＝0与(a +2)x 2+(b ﹣4)x +8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax 2+bx +2026能取的最小值是（）A ．2020B ．2021C ．2023D ．201810．（2023·广东·校考模拟预测）关于x 的方程263x x k x -++=-有两个解，则k 的取值范围是（）A ．k ＞﹣9B ．k ≤3C ．﹣9＜k ＜6D ．k 384-＞∵原方程有两个解，∴方程290t t k +--=有一正根和负根，∴1290,t t k =--< 解得k ＞﹣9，∴k 的取值范围是k ＞﹣9．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由原方程有两个解得到方程290t t k +--=有一个正根与一个负根是解本题的关键．11．（2023·四川绵阳·二模）已知实数,m n 满足22220,220m am n an -+=-+=．若m n ≠，且4m n +≥，则()()2211m n -+-的最小值是（）A ．6B ．3-C ．3D ．0【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出2,2m n a mn +==，将代数式化简，然后整体代入求解即可【详解】解：∵实数,m n 满足22220,220m am n an -+=-+=，∴m 、n 是方程2220x ax -+=的两个根，∴2,2m n a mn +==，∴()()2211m n -+-222121m m n n =-++-+()()2222m n mn m n =+--++24442a a =--+()2213a =--∵m n ≠，且4m n +≥，∴()()2211m n -+-的最小值是()2413936--=-=，故选：A ．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．12．（2023·浙江台州·统考二模）已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，且0a ≠），此方程的解为12x =，23x =．则关于x 的一元二次方程2930ax bx c -+=的解为______．【答案】23-或1-##1-或23-13.（2023·浙江·校考模拟预测）已知实数m ，n 满足21m n -=，则代数式22242m n m ++-的最小值等于_____．【答案】13-【分析】由21m n -=可得21,n m =-再代入22242m n m ++-，再利用配方法配方，从而可得答案.【详解】解： 21m n -=，21,n m \=-()222242=2142m n m m m m ∴++-+-+-264m m =+-()231313,m =+-³-所以22242m n m ++-的最小值是13,-故答案为：13-【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用，熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题关键.14．（2023·广东九年级课时练习）将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如()32x x x x px q =⋅=-= ，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且x ＞0，则4323x x x -+的值为______．15.（2023·浙江·校考模拟预测）小丽在解一个三次方程x 3－2x ＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．1【分析】由(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0变形为()()321=0x b x c b x c +-+--，根据一一对应的原则求得b 、c 的值，然后运用因式分解和公式法求解即可．【详解】解：∵(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0，∴()()321=0x b x c b x c +-+--，又由题意得：()()33221=1x x x b x c b x c -++-+--，∴1021b c b c -=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩解得：11b c =⎧⎨=-⎩∴()()2110x x x -+-=，∴1=0x -，210x x +-=，∴由求根公式得：11=22x --=，则原方程所有的解为：12-或1，故答案为：12-或1．【点睛】本题主要考查了方程的解的定义和公式法求解一元二次方程，解题关键是根据一一对应的关系求出b 、c 的值．16．（2023·四川泸州·校考一模）喜迎2022年10月16日“二十大”的召开，某公司为了贯彻“发展低碳经济，建设美丽中国”的理念，对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司七月份的产值为200万元，第三季度的产值为720万元，设公司每月产值的平均增长率相同且为x ，则根据题意列出的方程是______．【答案】()()220020012001720x x ++++=【分析】可先表示出八月份的营业额，那么八月份的营业额×（1+增长率）=九月份的营业额，等量关系为：七月份的营业额+八月份的营业额+九月份的营业额=900，把相应数值代入即可求解．【详解】解：∵七月份的营业额为200万元，平均每月的增长率为x ，∴八月份的营业额为()2001x +万元，∴九月份营业额为()22001x +万元，∴可列方程为()()220020012001720x x ++++=，故答案为：()()220020012001720x x ++++=．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键．注意本题的等量关系为3个月的营业额之和．17．（2023·四川成都·二模）已知m 、n 是方程x 2+2019x ﹣2＝0的两个根，则（m 2+2018m ﹣3）（n 2+2020n ﹣1）＝__．【答案】2020【分析】由于m 、n 是方程x 2+2019x ﹣2＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m +n ＝﹣2019，mn ＝﹣2，并且m 2+2019m ﹣2＝0，n 2+2019n ﹣2＝0，将所求的代数式变形后代入即可求出结果．【详解】解：∵m 、n 是方程x 2+2019x ﹣2＝0的两个实数根，【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．19．（2023·福建·校考一模）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=．(1)判断这个一元二次方程的根的情况．(2)若等腰三角形的一边长为3，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【答案】(1)一元二次方程有两个不相等的实数根(2)8或10【分析】（1）求出判别式的符号，进行判断即可；（2）根据方程有两个不相等的实数根，得到3是等腰三角形的腰长，是方程的一个根，进行求解即可．【详解】（1）解：()()2224214b ac m m m ∆=-=-+-+⎡⎤⎣⎦2244144m m m m =++--10=>；∴一元二次方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴3是腰长，3x =是方程22(21)0x m x m m -+++=的一个根，∴2233(21)0m m m -+++=，整理，得：2560m m -+=，解得：2m =或3m =，当2m =时，2560x x -+=，解得122,3x x ==，此时等腰三角形的三边长：3,3,2，周长3328=++=；当3m =时，27120x x -+=，解得124,3x x ==，此时等腰三角形的三边长：3,3,4，周长33410=++=．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程与几何的综合应用．熟练掌握一元二次方程的判别式与根的个数的关系，一元二次方程的解的定义，是解题的关键．20．（2023.广西九年级期中）某超市经营款新电动玩具进货单价是15元．在1个月的试销阶段，售价是20元，销售量是200件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出5件．（1）若商店在1个月获得了2250元销售利润，求这款玩具销售单价定为多少元时，顾客更容易接受？（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，设销售单价为y （y 为正整数）元，求该超市销售这款玩具有哪几种方案？哪一种方案利润最高？【答案】（1）30元；（2）有三种销售方案：方案一：销售价为22元；方案二：销售价为23元；方案三，销售价为24元，第三种方案利润最大．【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元二次方程，再根据考虑顾客更容易接受的价格，即可得到这款玩具的销售单价；（2）根据题意可以得到利润与销售单价的函数关系，再根据玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，可以得到单价的取值范围，再根据销售单价为整数，计算每种方案的实际利润，选取其中利润最大的方案即可．【详解】解：（1）设销售单价为x 元（20x >），(15)[2005(20)]2250x x ---=，解得，130x =，245x =，3045<，∴销售单价定为30元时，顾客更容易接受；（2）由题意得，222005(20)180y y ≥⎧⎨--≥⎩解得：2224y ≤≤，因为y 取正整数，所以y 取22或23或24，所以有三种销售方案：方案一：销售价为22元，销售利润为(2215)(300522)1330--=⨯⨯（元），方案二：销售价为23元，销售利润为()23153005231480()-⨯-⨯=（元），方案三，销售价为24元，销售利润为()24153005241620()-⨯-⨯=（元），162014801330>>，第三种方案利润最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答可以是解答变得简捷．【答案】(1)1米；(2)①21251682a a -++；②14a =．【分析】（1）设小道进出口的宽度为x 米，然后利用其种植花草的面积为（2）①先用a 表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；22．（2023·湖南长沙·校考三模）已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，且0a ≠），我们规定：若该方程的两根满足122x x =-，则称该方程为“灵粹二次方程”，其中，1x 、2x 称为该“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”．(1)判断：下列方程中，为“灵粹二次方程”的是________（仅填序号）①23530x x -+=②2280x x +-=③12x x+=-(2)已知关于x 的一元二次方程()22210x t x t t -+++=为“灵粹二次方程”，求：当12x -≤≤时，函数22391y x tx t =+++的最大值．(3)直线3y x =+与直线1y x =-+相交于点A ，并分别与x 轴相交于B 、C 两点，若m 、n 是某“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”，设D 点坐标为（m ，n ），当点D 位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部时．①试求出m 的取值范围．②若m 为整数，且“灵粹二次方程”的二次项系数为1，是否存在满足此情况的“灵粹二次方程”？若存在，请直接写出该“灵粹二次方程”；若不存在，请说明理由．限时检测2：最新各地中考真题（40分钟）1．（2022·湖南怀化·中考真题）下列一元二次方程有实数解的是（）A．2x2﹣x+1＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+3x﹣2＝0D．x2+2＝0【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则第一轮传染了x 个人，第二轮作为传染源的是(1)x +人，则传染(1)x x +人，依题意列方程：1(1)36x x x +++=．【详解】由题意得：1(1)36x x x +++=，故选：C ．【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．4．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x ，那么可列出方程是（）A ．()201231.2x +=B ．()20122031.2x +-=C ．()220131.2x +=D ．()22012031.2x +-=【答案】D【分析】设年平均增长率为x ，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了31.2万辆列方程即可．【详解】解：设年平均增长率为x ，由题意得()22012031.2x +-=，故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．5．（2022·山东临沂·中考真题）方程22240x x --=的根是（）A ．16x =，24x =B ．16x =，24x =-C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-【答案】B【分析】先把方程的左边分解因式化为()()460,x x +-=从而可得答案．【详解】解：22240x x --=，()()460,x x \+-=40x ∴+=或60,x -=解得：126, 4.x x ==-故选B【点睛】本题考查利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．7．（2022·宜宾·中考真题）已知m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则22m mn m ++的值为（）A ．0B ．－10C ．3D ．10【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn =－5，把x =m 代入方程得m 2+2m -5=0，即m 2+2m =5，代入即可求解．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，∴mn =－5，m 2+2m -5=0，∴m2+2m =5，∴22m mn m ++=5－5=10，故选：A ．【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn =-5，m 2+2m =5是解题的关键．8．（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x 2-2x =2时，配方后正确的是（）A ．()213x +=B ．()216x +=C ．()213x -=D ．()216x -=10．（2022·广西贵港·中考真题）若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（）A ．0，2-B ．0，0C ．2-，2-D ．2-，0【答案】B【分析】直接把2x =-代入方程，可求出m 的值，再解方程，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意，∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，把2x =-代入220x x m ++=，则2(2)2(2)0m -+⨯-+=，解得：0m =；∴220x x +=，∴(2)0x x +=，∴12x =-，0x =，∴方程的另一个根是0x =；故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．11．（2020·上海中考真题）用换元法解方程21x x ++21x x +=2时，若设21x x +=y ，则原方程可化为关于y 的方程是()A ．y 2﹣2y +1=0B ．y 2+2y +1=0C ．y 2+y +2=0D ．y 2+y ﹣2=0【答案】A【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设21x x+=y ，则原方程化为y+1y =2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．【详解】把21x x+=y 代入原方程得：y +1y =2，转化为整式方程为y 2﹣2y +1=0．故选：A ．【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得23,340a b a a +=-+-=，从而得到234+=a a ，然后代入，即可求解．【详解】解：∵a ，b 是方程2340x x +-=的两根，∴23,340a b a a +=-+-=，∴234+=a a ，∴243a a b ++-233a a a b =+++-()433=+--2=-．故答案为：2-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．13.（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程2430x x -+=配方为()22x k -=，则k 的值是______．【答案】1【分析】将原方程2430x x -+=变形成与()22x k -=相同的形式，即可求解．【详解】解：2430x x -+=；243101x x -++=+；2441x x -+=；()221x -=∴1k =故答案为：1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．14.（2022·云南·中考真题）方程2x 2+1=3x 的解为________．【答案】1211,2x x ==【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：移项得：22310x x -+=，∴()()2110x x --=，∴210x -=或10x -=，解得：1211,2x x ==，故答案为：1211,2x x ==．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．+/426+【答案】6642【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可．（2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可．【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为(2)羊圈的面积能达到6502m【详解】（1）解：设矩形ABCD 的边m AB x =，则边()7022722BC x x =-+=-m ．根据题意，得()722640x x -=．化简，得2363200x x -+=．解得116x =，220x =．当16x =时，722723240x -=-=；当20x =时，722724032x -=-=．答：当羊圈的长为40m ，宽为16m 或长为32m ，宽为20m 时，能围成一个面积为6402m 的羊圈．（2）解：不能，理由如下：由题意，得()722650x x -=．化简，得2363250x x -+=．∵()236432540⨯=--=-<∆，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到6502m ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．19.（2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨(2)m 的值20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元【分析】（1）设3月份再生纸产量为x 吨，则4月份的再生纸产量为()2100x -吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；【解析】(1)解：设3月份再生纸产量为x 吨，则4月份的再生纸产量为()2100x -吨，由题意得：()2100800x x +-=，解得：300x =，∴2100500x -=，答：4月份再生纸的产量为500吨；(2)解：由题意得：500(1%)10001%6600002m m ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭，解得：%20%m =或% 3.2m =-（不合题意，舍去）∴20m =，∴m 的值20；(3)解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨，21200(1)(1)(125%)1200(1)y a y y a +⋅+=+⨯+⋅∴()2120011500y +=答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．20．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：材料1：为了解方程()22213360x x -+=，如果我们把2x 看作一个整体，然后设2y x =，则原方程可化为213360y y -+=，经过运算，原方程的解为1,22x =±，3,43x =±．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2：已知实数m ，n 满足210m m --=，210n n --=，且m n ≠，显然m ，n 是方程210x x --=的两个不相等的实数根，由韦达定理可知1m n +=，1mn =-．根据上述材料，解决以下问题：(1)直接应用：方程42560x x -+=的解为_______________________；(2)间接应用：已知实数a ，b 满足：422710a a -+=，422710b b -+=且a b ¹，求44a b +的值；(3)拓展应用：已知实数x ，y 满足：42117m m +=，27n n -=且0n >，求241n m+的值．。
2024中考数学一轮复习专题精练专题07 一元二次方程解法与应用(学生版)
知识点01：解一元二次方程【高频考点精讲】1．用“配方法”解一元二次方程（1）把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；（2）方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；（5）如果右边是非负数，可以通过直接开平方法求解；如果右边是负数，则判定此方程无实数解。
2．用“因式分解法”解一元二次方程（1）移项，使方程的右边化为零；（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
3．用“换元法”解一元二次方程（1）把方程中某个含有未知数的式子看成一个整体，用另一个未知数去替换它，从而将原方程转化成关于新未知数的方程，这种方法叫做“换元法”。
（2）“换元法”关键是构造元和设元，目的是变换研究对象，将问题转移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化。
知识点02：高次方程和无理方程【高频考点精讲】1．高次方程（1）一般地，最高次项的次数高于2次的方程，叫做高次方程。
（2）高次方程的解法通过适当方法把高次方程转化为次数较低的方程求解。
所以，解高次方程一般要降次，将高次方程转化成二次方程或一次方程。
2．无理方程（1）方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程。
（2）解无理方程关键是去根号，将其转化为整式方程。
（3）常用方法：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法。
注意：用乘方法解无理方程，通常会产生增根，应当注意验根。
知识点03：根的判别式及根与次数关系 【高频考点精讲】 1．根的判别式一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与根的判别式（△＝b 2﹣4ac ）有如下关系：（1）当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；反过来，当方程有两个不相等的两个实数根时，△＞0。
九年级数学 考点跟踪训练 一元二次方程 试题
九年级数学考点跟踪训练一元二次方程〔无答案〕新人教版
一、选择题
1．1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，那么m的值是 ( ) A．1 B．－1 C．0 D．无法确定
2．假设x1、x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，那么x1＋x2的值是( ) A．－2 B．2 C．3 D．1
3．一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根
4．关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，那么a－b值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2
5．关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，那么m的值是( )
A．0 B．8 C．4±2 2 D．0或者8
二、填空题
6．一元二次方程x2－2x＝0的解是____ ____．7．一元二次方程x2－2x－3＝0的解
是 _______．
8．关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，那么m＝____ ____，另一根是_ _______．
9．x＝－1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，那么m2－2mn＋n2 的值是________．
10．观察下面的图形，它们是按一定规律排列的，按照此规律，第________个图形一共有
120 个．
三、解答题
11．(1) 解方程：x2－2x＝2x＋1
(2)用配方法解方程：2x2－4x－1＝0
12．解方程：(1) x2－4x＋2＝0 (2) (x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8
13．关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0. (1)当m＝3时，判断方程的根的情况；(2)当m
＝－3时，求方程的根．。
一元二次方程中考数学一轮考点复习训练
中考数学一轮考点复习训练一元二次方程一、选择题1.下列命题：①若b=2a+21c,则一元二次方程a 2x +bx+c=O 必有一根为-2； ②若ac<0, 则方程 c 2x +bx+a=O 有两个不等实数根；③若2b -4ac=0, 则方程 c 2x +bx+a=O 有两个相等实数根；其中正确的个数是（ ）A.O 个B.l 个C.2个 D 。
3 个2．下列关于x 的方程一定有实数解的是 （ ）（Ａ）210x ax ++=； （Ｂ）1111x x x +=--；m =； （Ｄ）210x ax +-=．3.【原创】在俄罗斯民间流着这样一道数学趣题：甲、乙两人合养了若干头羊，而每头羊的卖价又恰与羊的头数相等，全部卖完后，两人按下面的方法分钱：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。
为了平均分配，甲应该找补给乙多少元？（ ）A 、1元B 、2元C 、3元D 、4元4.已知一元二次方程 x 2+ x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ ▲ ）A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定5.用配方法把代数式245x x -+变形，所得结果是A ．2(2)1x -+B ．2(2)9x --C ．2(2)1x +-D ．2(2)5x +- 6.已知关于x 的方程x k x =+12有一个正的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＜0B ．k ＞0C ．k ≤0D ．k ≥0二填空题1.在数据1,-1,4,-4中任选两个数据，均是一元二次方程x 2-3x-4=0的根的概率是2．如图，是一个简单的数值运算程序. 则输入x 的值为(3.如果关于x 的方程02=+-k x x (k 为常数)有两个相等的实数根，则k=_______.4. 方程062=++k x x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ______5．方程x x -=2的解是 ▲ ．6.方程方程2230x x --=的两个根是__________________ .7.已知x=1是方程x 2－4x ＋m 2=0的一个根，则m 的值是______. 8.如果1x 、2x 是一元二次方程0562=--x x 的两个实根，那么21x x +＝ ．9、已知n m ,是方程0122=--x x 的两根，且22(24)(367)8m m a n n -+--=，则a 的 值等于答案：选择题1、【答案】C2、【答案】D ；3、【答案】B4、答案：B5、答案：A6、 答案：B填空题1、【答案】612、【答案】1,或1,（写出一个得2分）3、41； 4、答案：9<k5、0或 -16、答案：x=-1 或x=37、答案：m=68、69、答案：－4。
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考点跟踪训练7 一元二次方程
一、选择题
1．(·嘉兴)一元二次方程x(x －1)＝0的解是( )
A. x ＝0
B. x ＝1
C. x ＝0或x ＝1
D. x ＝0或x ＝－1
答案 C
解析 x (x －1)＝0，x ＝0或x －1＝0，∴x 1＝0，x 2＝1.
2．(2011·兰州)用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( )
A ．(x ＋1)2＝6
B ．(x ＋2)2＝9
C ．(x －1)2＝6
D ．(x －2)2＝9
答案 C
解析 x 2－2x －5＝0，x 2－2x ＝5，x 2－2x ＋1＝5＋1，(x －1)2＝6.
3．(2011·福州)一元二次方程x (x －2)＝0根的情况是( )
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根
D ．没有实数根
答案 A
解析 x (x －2)＝0，x ＝0或x －2＝0，x 1＝0，x 2＝2，方程有两个不相等的实数根．
4．(2011·济宁)已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的一个根是－a (a ≠0)，则a －b 值为A ( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
答案 A
解析 当x ＝－a 时，得a 2－ab ＋a ＝0，a (a －b ＋1)＝0，又a ≠0.所以a －b ＋1＝0，a －b ＝－1.
5．(2011·威海)关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是( )
A ．0
B ．8
C ．4±2 2
D ．0或8
答案 D
解析 由题意，得b 2－4ac ＝0，(m －2)2－4(m ＋1)＝0，m 2－8m ＝0，m ＝0或m ＝8.
二、填空题
6．(2011·衢州)方程x 2－2x ＝0的解为________________．
答案 x 1＝0，x 2＝2
解析 x 2－2x ＝0，x (x －2)＝0，x ＝0或x －2＝0，x 1＝0，x 2＝2.
7．(2011·鸡西)一元二次方程a 2－4a －7＝0的解为 ____________.
答案 a 1＝2＋11，a 2＝2－11
解析 a 2－4a －7＝0，a 2－4a ＝7.a 2－4a ＋4＝11，(a －2)2＝11，a －2＝±11，∴a ＝2±11.
8．(2011·镇江)已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根为2，则m ＝______，另一根
是______．
答案 1，－3
解析 当x ＝2时，4＋2m －6＝0,2m ＝2，m ＝1，∴x 2＋x －6＝0.(x －2)(x ＋3)＝0，x 1＝2，x 2＝－3，另一根是－3.
9．(2011·黄石)解方程：||x 2－y 2－4＋(3 5x －5y －10)2＝0的解是
__________________．
答案 ⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝2 5，y ＝4
解析 ⎩⎨⎧
x 2－y 2－4＝0，3 5x －5y －10＝0，
代入消去x ，得y 2－5y ＋4＝0，y 1＝1，y 2＝4，相应地x 1
＝5，x 2＝2 5.
10．(2011·兰州)关于x 的方程a (x ＋m )2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，则方程a (x ＋m ＋2)2＋b ＝0的解是__________．
答案 x 1＝－4，x 2＝－1
解析 依题意，有x ＋2＝－2或x ＋2＝1，∴x ＝－4或x ＝－1.
三、解答题
11．(2011·南京)解方程：x 2－4x ＋1＝0.
解 解法一：移项，得x 2－4x ＝－1.
配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，(x －2)2＝3，
由此可得x －2＝±3，
∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.
解法二：a ＝1，b ＝－4，c ＝1.
b 2－4a
c ＝(－4)2－4×1×1＝12>0，
x ＝4±122
＝2± 3. ∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.
12．(2011·聊城)解方程：x ()x －2＋x －2＝0.
解 (x －2)(x ＋1)＝0，解得x －2＝0或x ＋1＝0，x 1＝2，x 2＝－1.
13．(2011·广东) 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＝0，x 2＋3y －3y 2＝4. 解 ⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＝0，①x 2＋3y －3y 2＝4，② 由①得： x ＝2y .③
将③代入②，化简整理，得：y 2＋3y －4＝0.
解得：y ＝1或y ＝－4.
将y ＝1或y ＝－3代入①，得：
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，或⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y ＝－3. ∴原方程的解有两个，
⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝－6，y 2＝－3. 14．(2011·苏州)已知|a －1|＋b ＋2＝0，求方程a x
＋bx ＝1的解． 解 由|a －1|＋b ＋2＝0，得a ＝1，b ＝－2.
由方程1x
－2x ＝1得2x 2＋x －1＝0. 解之，得x 1＝－1，x 2＝12
. 经检验，x 1＝－1，x 2＝12
是原方程的解． ∴原方程的根为x 1＝－1，x 2＝12
. 15．(2011·芜湖)如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x 2＋17) cm ，正六边形的边长为(x 2＋2x ) cm(其中x >0)．求这两段铁丝的总长．
解 由已知得，正五边形周长为5(x 2＋17) cm ，正六边形周长为6(x 2＋2x ) cm.
因为正五边形和正六边形的周长相等，
所以5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x )．
整理得x 2＋12x －85＝0，配方得(x ＋6)2＝121，
解得x 1＝5，x 2＝－17(舍去)．
故正五边形的周长为5×(52＋17)＝210(cm)．
又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm.
答：这两段铁丝的总长为420 cm.
四、选做题
16．(2010·孝感)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1、x 2.
(1)求k 的取值范围；
(2)若||x 1＋x 2＝x 1x 2－1，求k 的值．
解 (1)依题意，b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，－8k ＋4≥0，解得k ≤12
. (2)解法一：依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.
以下分两种情况讨论：
①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝k 2＝1.
∵k ≤12
， ∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去．
②x 1＋x 2<0时，则有x 1＋x 2＝－()x 1x 2－1，即2(k －1)＝－()k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.
∵k ≤12
，∴k ＝－3. 综合①、②可知k ＝－3.
解法二：依题意可知x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.
由(1)可知k ≤12
. ∴2(k －1)<0，即x 1＋x 2<0，
∴－2(k －1)＝k 2－1，
解得k 1＝1，k 2＝－3.
∵k ≤12
，∴k ＝－3.。