平面向量知识点+例题+练习+答案

五、平面向量

1．向量的概念

①向量 既有大小又有方向的量。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝

0 ⇔｜a ｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）

③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。(与AB 共线

的单位向量是||

AB AB ±)；

④平行向量（共线向量）

方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相

反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。由于向量可以进行任

意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条

直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、

共线；

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2

121y y x x 。

⑥相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。

如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5））

2．向量的运算

（1）向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法。设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC 。

规定：

（1）a a a =+=+00；

（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”

a

b a

b a+b b

a a+

b (1)平行四边形法则三角形法则

C B D

C

B

A A

①用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

②三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR +++

++=，

但这时必须“首尾相连”。

（2）向量的减法 ①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。

记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii)

a +(a -)=(a -)+a =0 ；(iii)若a 、

b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。

②向量减法 向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-求两个向

量差的运算，叫做向量的减法。

③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）。

如（1）化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____

（答：①AD ；②CB ；③0）；

（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____（答：22）；

（3）实数与向量的积

①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）a a

⋅=λλ；

（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；

当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。