误差理论与平差基础-第10章 误差椭圆
第十章误差椭圆
第十章 误差椭圆知识点习题与解析10.01 从已知点A 确定点P 的坐标(如图10-1所示)，观测了角度L 、边长S ，T 为已知方向，已知AP 边边长为200m ，测角和测边的中误差分别为βσ=2″，S σ=3cm ，试求待定点P 的点位中误差。
10.02 角ψ和ψσ是怎样定义的?ψϕ、及E ϕ之间有什么关系?10.03 已知某平面控制网经平差后得出待定点P 的坐标平差值ˆˆˆTPP X X Y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的协因数阵为：22ˆ20(/())01X Q d m ⎡⎤="⎢⎥⎣⎦单位权中误差为0ˆ0.5σ="，试求该点的点位中误差。
10.04 已知某平面控制网经平差后得出待定点P 的坐标平差值ˆˆˆTPP X XY ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的协因数阵为：22ˆ20.5(/())0.53X Q d m ⎡⎤="⎢⎥⎣⎦单位权中误差为0ˆ0.5σ="，试求ϕ=30°方向上的位差。
10.05 在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即11ˆTXX Y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，平差后得到ˆX的协因数阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∧∧75.015.015.025.0XX Q ，且单位权方差220ˆ 3.0cm σ=。
(1)计算P 1点纵、横坐标中误差和点位中误差； (2)计算P 1点误差椭圆三要素E ϕ、E 、F ； (3)计算P 1点在方位角为90°方向上的位差。
10.06 在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即11ˆˆˆTXX Y ⎡⎤=⎣⎦，平差后得到x 的协因数阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∧∧25.125.025.075.1XX Q，且单位权中误差0ˆσ=cm 。
(1)计算P 1点误差椭圆三要素E ϕ、E 、F ； (2)计算P 2点在方位角为45°方向上的位差。
10.07 已知平差后待定点P 坐标的协因数和互协因数为∧∧∧∧Y X Y X 、Q、QQ 则当∧∧YX Q=0且∧∧YX＞QQ 时，P 点位差的极大值方向为 ，E ϕ= ；位差的极小值方向为 ，F ϕ= 。
第十章 误差椭圆
tan 2 0 tan(2 0 180 )
第十章——误差椭圆
90 既然 0 和 0 为极大值方向和极小值方向，那么哪
个是极大值方向？哪个又是极小值方向呢？下面来讨论 这个问题。 1 cos 2 0 1 cos 2 0 将三角公式 2 2 cos 0 , sin 0
知，该曲线关于E轴和F轴对 称。称该曲线为点位误差曲线。
第十章——误差椭圆
§10-4 误差椭圆
点位误差曲线不是标准曲线，在计算椭圆来近似表示（如图），并称此椭圆为点位误 差椭圆，简称误差椭圆。 由图知，此误差椭圆仅由 长半轴E、短半轴F、以及
即点位在任意方向上的方差为
2 2 2 2 2 x ( Q cos Q sin Q xy sin 2 ) 0 xx yy
（1）
习惯上，称点位在某方向上的方差为该方向上的位差。
习题：10.2.07
第十章——误差椭圆
点位在任意方向 上的协因数为：
Q Q xx cos2 Q yy sin 2 Q xy sin 2
P 2 x 2 y 2
x’
x
Δx
Δy ΔP Δs P
P’ Δu
y’
A
y
第十章——误差椭圆
ˆ, y ˆ ) 。且方差协方差矩阵为: 平差后待定点P 的坐标为 ( x
DX ˆX ˆ
2 Q Q xy x xy 2 xx 0 Q Q 2 xy yy xy y
2
第十章——误差椭圆
2 令： K (Q xx Q yy ) 2 4Q xy K为算术平方根，恒大于零。 1 则有： Q Q xx Q yy K 2 用E表示位差的极大值，F表示位差的极小值，则有： 1 2 2 2 E 0 Q E E 0 Q xx Q yy K 2 （5） 1 2 2 2 F 0 Q F F 0 Q xx Q yy K 2 （5）式就是计算位差极大值与极小值的实用公式。
误差椭圆
2 E[∆x ] = E[( x− x)2 ] = E[( x − E(x)) 2 ] = σ x 2 2 E[∆y ] = E[( y− y)2 ] = E[( y − E( y)) 2 ] = σ y 2 ~
~
σ = σ +σ
p
ϕ
p′′
p′′′
∆ϕ
y
由广义误差传播律: 由广义误差传播律
Qϕϕ = Qxx cos2 ϕ + Qyy sin2 ϕ + Qxy sin 2ϕ
2 2 2 σϕ = σ 0 Qϕϕ = σ 0 (Qxx cos2 ϕ + Qyy sin2 ϕ + Qxy sin(2ϕ)
三、位差的极大值 E和极小值 F
上
E = σ QEE =
2 2 0
σ02
2
(Qxx + Qyy + K),
∆ψ = cosψ∆E + sinψ∆F Q = QEE cos2 ψ + QFF sin2 ψ + QEF sin 2 ψ ψψ
QEF = 0
Qψψ = QEE cos2 ψ + QFF sin 2 ψ
2 2 2 σψ = σ 0 Qψψ = σ 0 (QEE cos2 ψ + QFF sin 2 ψ ),
∧
Q∧ Q∧ Q∧ Q∧ Q∧ Q∧
∧
X1 X i
∧
X1Y i
∧
L Q∧ L Q∧ L
∧
X1 X u
∧
Y1 Y1
Y1 X i
Y1 Y i
Y1 X u
误差理论与平差基础_第10章_误差椭圆
一．点位中误差 二．点位误差的计算 三．误差曲线 四．误差椭圆
一、点位中误差
控制点的平面位置是用一对平 面直角坐标来确定的。坐标是 由观测值的平差值计算所得的， 因此不可避免地带有误差。
x
A
O
Dy P¢(x, y) Du
Dx DP Ds
P(x, y)
y
在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点的点位精度； 待定点的点位精度通常用点位中误差简称“点位误差”的大 小来评定； 经过平差后的坐标（坐标的平差值）是估值，而不是真值！
Qxy Qyy
c s
os in
Qxx cos2 Qyy sin 2 Qxy sin 2
Dx
j
P
P¢¢ Dj
s
2 j
=
s
2 0
éëQxx
cos2
j
+
Qyy
sin2
j
+
Qxy
sin
2jùû
坐标方位角
P¢
P¢¢¢
y
二、点位任意方向的位差
x
与 j 垂直方向的位差如何求？
Q
=
æ èç
2 0.5
0.5 3
öø÷(dm2 / ('')2 )
单位权方差 0 0.5''
待定点P点到已知点A的距离为6.45km，方位角为45°，求P 点在AP方向的纵向误差和横向误差及AP边的边长相对中误 差。
s
2 j
=
s
2 0
éëQxx
cos2
j
+
Qyy
sin2
j
10 误差椭圆
1.496 ˆ 1.496 1.22
§10-3 误差曲线
误差曲线的定义 误差曲线的特点
误差曲线的用途
§10-3 误差曲线
一、误差曲线的定义
E cos F sin
2 2 2 2 2
x
以不同的Ψ 和σΨ 为极坐标 的点的轨迹所形成的一条 闭合曲线，习惯上称为误 差曲线。
P2 (x)2 (y)2
2 2 2 P x y
§10-1 概述
3.按纵、横方差来求
x
x
y
P
P ' ( x, y )
u
P s u
2 2
2
2 P
2 s
2 u
A
s
P (~ x, ~ y)
横向方差 纵向方差
o
y
§10-1 概述
E(P ) E(x ) E(y )
2 2 2 2 x
2 y
点位方差
P点真位差平方的理论平均值，定义为P点的 点位方差。
2 p 2 x
2 y
§10-1 概述
三、点位方差的计算方法
1.按纵、横坐标来求
2 p 2 x
2 y
2.按任意两个相互垂直的方向坐标方差来求
ˆP ˆ
0
Qxx Q yy
§10-2 点位误差
2.协因数的计算
• （1）间接平差
1 T 1 QXX N ( B PB ) ˆˆ bb
QX1 X1 QY1Y1 QX s X1 QYs X1
QX1Y1 QX1 X i QY1Y1 QY1 X i
误差椭圆
§6-1 概 论在测量中，点P 的平面位置常用平面直角坐标P P y x ,来确定。
为了确定待定点的平面直角坐标，通常由已知点与待定点构成平面控制网，并对构成控制网的元素（角度、边长等）进行一系列观测，进而通过已知点的平面直角坐标和观测值，用一定的数学方法（平差方法）求出待定点的平面直角坐标。
由于观测条件的存在，观测值总是带有观测误差，因而根据观测值通过平差计算所获得的待定点的平面直角坐P P y x ~,~面位置并不是 P 点的真位置，而是最或然点位， 记为 P '，在 P 和 P '对应的这两对坐标之间 存在着坐标真误差 x∆和 y∆。
由图6-1知⎭⎬⎫-=∆-=∆P P y P P x y y x x ˆ~ˆ~ (6-l-1) 由于x ∆和y ∆的存在而产生的距离P ∆称为 P 点的点位真误差，简称真位差。
由图6-1知222yxP∆+∆=∆222y xPσσσ+=(6-1-2)2．点位真误差的随机性P 点的最或然坐标Px ˆ和P yˆ是由一组带有观测误差的观测值通过平差所求得的结果，因此，它们是观测值的函数。
设P xˆ和P y ˆ与观测值向量L 之间的线性函数关系为 ⎭⎬⎫++=++=00ˆˆββααL y y L x xA P A P（6-1-3）设有两组不同的观测值向量1L 、2L ，分别代入式（6-1-3）可得010111ˆˆββαα++=++=L y yL x xA P A P 和020222ˆˆββαα++=++=L y yL x xA P A P对于同一控制网而言，如果观测量相同（如同样的角度、边长等），采取同样的平差方法，则式中的00βαβα、、、是不变量，但观测值向量1L 、2L 不会相等，因此21ˆˆP P x x ≠、21ˆˆP P y y ≠。
可见，随着观测值L 的不同，P x ˆ和P y ˆ也将取得不同的数值。
但P 点的真坐标P x ~和P y ~是唯一的，由式(6-l-1)、(6-l-2)知，就会出现不同的x ∆和y∆值以及P∆，所以说点位真误差随观测值不同而变化，即点位真误差具有随机性。
误差椭圆的定义
误差椭圆的定义嘿，朋友们！今天咱来聊聊误差椭圆呀！你说这误差椭圆，就好像是个调皮的小精灵，在测量的世界里蹦来蹦去。
想象一下哈，我们在测量一个东西的时候，就像是在黑暗中摸索，总会有些许偏差，而这个误差椭圆呢，就是把这些偏差给圈起来，告诉我们大致的范围。
它可不是随随便便就出现的，那是经过一番计算和琢磨才现身的呢！比如说我们要确定一个点的位置吧，实际测出来的可能就不是那么精准，会有这儿一点儿偏差，那儿一点儿偏差。
这时候误差椭圆就跳出来啦，说：“嘿，别担心，这个点大概就在我圈的这个范围里哦！”是不是很神奇？它就像是给我们测量结果加上了一个边界，让我们心里有个底。
就好比你要去一个地方，有人告诉你大概就在这一片儿，总比啥都不知道好吧！而且啊，误差椭圆还挺有个性的呢！它的大小和形状会根据不同的情况而变化。
有时候它扁扁的，有时候又圆圆的，就像个会变形的小怪物。
这可都是根据测量的数据来决定的呀！咱再打个比方，误差椭圆就像是一个神秘的领地，我们知道它的大致范围，但里面具体的情况还得我们去慢慢探索。
这探索的过程可有意思了，每一次测量都像是在给这个领地绘制更详细的地图。
你说要是没有误差椭圆，那我们测量出来的东西不就像没头苍蝇一样，不知道到底准不准确啦？它可是给我们指明了一个方向，让我们能更好地理解和处理测量的结果。
在实际应用中，误差椭圆可重要了呢！比如在建筑工地上，工程师们得靠它来确保建筑物的位置准确无误；在地图绘制中，它能帮助绘制出更精确的地图。
没有它，那可真是乱了套了呀！总之呢，误差椭圆这个小家伙虽然有时候让人有点头疼，但它确实是我们测量工作中不可或缺的好帮手呀！它让我们在面对不确定性的时候，能有个大概的把握，不至于两眼一抹黑。
所以啊，咱可得好好认识它、了解它，让它为我们的工作和生活发挥更大的作用呀！你们说是不是这个理儿呢？。
测量平差---误差椭圆
( )
2 1
tan 2ϕ0 =
2Qxy ˆˆ Qx −Qy ˆ ˆ
=
2×0.36 = 0.81818 3.81−2.93
13 /40
2 ϕ0 =39°17′或219°17′, ° 或 ° ϕ0=19°39′或109°39′ ° 或 °
主页
误差椭圆
ˆˆ 因为 Qxy > 0 故 ，
黑龙江工程学院
1 2 3 4 5 6 7 8 9
tan 2ϕ0 =
2Qxy Qx −Qy
2 2 σϕ =σ0 (Qx cos2 ϕ0 +Qy sin 2 ϕ0 +Qxy sin 2ϕ0 )
2 =σ0 (Qx cos2 ϕ0 +Qy sin 2 ϕ0 +Qxy ⋅
极值方向的判别方法: 极值方向的判别方法 Qxy ＞0，极大值在第Ⅰ、Ⅲ象限 ，极小值方向在第Ⅱ、 极小值方向在第Ⅱ ，极大值在第Ⅰ 8 /40 Qxy，极大值在第Ⅱ 象限， 象限； ＜0，极大值在第Ⅱ、Ⅳ象限，极小值方向在 Ⅳ象限； 象限。 第Ⅰ、Ⅲ象限。
______
= cosϕ∆x + sin ϕ∆y
∆x ∆x = [cosϕ sin ϕ] ∆y
由协方差传播律得: 由协方差传播律得 或
2 2 2 σϕ =σx cos2 ϕ +σy sin 2 ϕ +σxy sin 2ϕ 2 2 σϕ =σ0 Q ϕ
7 /40
2 =σ0 Qx cos2 ϕ +Qy sin 2 ϕ +Qxy sin 2ϕ
主页
2 2 2 2 2 σP =σx +σ y =σs +σu ―点位方差计算式
误差椭圆
黑龙江工程学院
测量平差 第十章习题与答案
测量平差第十章思考题10.1 在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即[]11ˆT X X Y =，平差后得到ˆX 的协因数阵为ˆˆ0.250.150.150.75XX Q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且单位权方差220ˆ 3.0cm σ=， （1）计算P 1点纵、横坐标中误差和点位中误差；（2）计算P 1点误差椭圆三要素E E F ϕ、、；（3）计算P 1点在方位角为90方向上的位差。
10.2如何在P 点的误差椭圆图上，图解出P 点在任意方向ψ上的位差ψσ？10.3 某平面控制网经平差后求得P 1、P 2两待定点间坐标差的协因数阵为：()()2ˆˆˆˆ2ˆˆˆˆ32/"23X X X Y Y XY Y Q Q cm Q Q ∆∆∆∆∆∆∆∆-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 单位权中误差为"0ˆ1σ=，试求两点间相对误差椭圆的三个参数。
10.4 已知某三角网中P 点坐标的协因数阵为：()()22ˆˆ 2.100.25/"0.25 1.60XX Q cm -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 单位权方差估计值()22"0ˆ 1.0σ=，求 （1）位差的极值方向E F ϕϕ和；（2）位差的极大值E 和极小值F ；（3）P 点的点位方差（4）30ψ=方向上的位差（5）若待定点P 点到已知点A 的距离为9.55km ，方位角为217.5，则AP 边的边长相对中误差为多少？10.5 由A 、B 、C 三点确定P 1点坐标ˆˆˆT P P X X Y ⎡⎤=⎣⎦，同精度观测了6个角度，观测精度为βσ，平差后得到ˆX 的协因数阵为()()22ˆˆ 1.50/"0 2.0XX Q cm ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且单位权中误差为0ˆ 1.0cm σ=，已知BP 边边长约为300m ，AP 边边长为220m ，方位角90AB α=，平差后角度13000'00"L =，试求测角中误差βσ。
误差椭圆
测绘通报. 1989,(4):9-13.
④ 许才军, 刘大杰. 广义相对误差椭球（圆）[J]. 武汉测绘科技大学学报. 1990,15(2):19-27.
谢谢
误差椭圆
ERROR ELLIPSE
0 引言
① 水平面内沿中线方向的长度偏差 ② 水平面内垂直于中线的左右偏差 ③ 垂直面内垂直于腰线的上下偏差
目录（INDEX）
点位误差
误差曲线
误差椭圆
相对误差椭圆
1 点位误差
点位误差的表示 坐标真误差： 点位真误差： 由平差结果的无偏性可知：
根据方差的定义：
两边取期望：
4 相对误差椭圆
设两点间的坐标差：
写成矩阵形式：
按权逆阵传播定律：
4 相对误差椭圆
4 相对误差椭圆
导线测量网相对误差椭圆
Байду номын сангаас
小结
• 点位误差
坐标轴方向 径向方向 任意方向 存在极值
• 误差曲线
反映点位误差在 各个方向的位差 形象、直观 不规则、麻烦
• 误差椭圆
误差曲线的近似 规则化形状 能够直接量取任 意方向的位差
1 点位误差
点位误差的表示
用中误差表示：
1 点位误差
点位误差的方向与极值
展开得
1 点位误差
点位误差的方向与极值
（1）大小取决于权倒数和旋转角的大小
（3）上式有极值存在
1 点位误差
点位误差的方向与极值
2 误差曲线
0
330 2.5 2 30
0 2.00
30 2.34
60 2.23
第十章 误差椭圆讲解
E2
cos2 E
F 2 sin 2 E
1 2
2 0
Qxx
Qyy
Qxx
Qyy
（x2 7）
若分别以 sin2E 和 cos2E 乘以（5）式的第一、第二
式，并求和，经与以上同样的推导，得：
E2
sin2 E
F2
cos2 E
1 2
2 0
Qxx
Qyy
Qx j y j
Q y j y j
第十章——误差椭圆
这两个待定点的相对位置可通过平差后两点的坐标差来
表示，即
xi
xij yij
1 0
0 1
1 0
0 1
yi xj
y j
应用协因数传播律，得：
Qxx Qxy
误差椭圆除了在长轴
E、短轴F上能精确表
示位差外,其它任何 方向都不能直接从误 差椭圆上量取位差的 大小。 要通过误差椭圆得到 任意方向位差的大小， 其方法是：
垂直任意方向 作
误差椭圆的切线PD， 则垂足D至O的长度就
是任意方向 上的 _____
位差，即 OD
GPS
第十章——误差椭圆
第十章——误差椭圆
第十章 误差椭圆
§10-1 概述 §10-2 点位误差 §10-3 误差曲线 §10-4 误差椭圆 §10-5 相对误差椭圆
第十章——误差椭圆
§10-1 概述
待定点P的真实位置和平差位置之间存在差值： x ~x xˆ y ~y yˆ
由此而产生的距离P 称为P点的点位真误差，简称真位差:
误差椭圆
✓秩亏自由网平差（12章） 2
10-1 概述
✓ 在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点 的点位精度；
✓ 待定点的点位精度通常用点位中误差简称“点位 误差”的大小来评定；
✓ 经过平差后的坐标（坐标的平差值）是估值，而 不是真值！
3
1）点位真误差的定义
✓ 待定点的估值位置偏离其真实位置的距离P， 简 称为“真位差”。
可代替误差曲线！ 34
1）误差椭圆作图的方法
➢ 椭圆方程、参数方程： ➢ 图解作图方法：
( X )2 E2
(Y )2 F2
1
X
Y
E
F
cos sin
,
(为参数）
P
P’
P‘’
τ
O
F ❖可见，P点的轨迹就是误差椭圆！ ❖思考：向径OP是不是OP方向的位差？
P（X’，Y’） X’=Ecosτ Y’=Fsinτ
• OD=Ecosτcosψ+Fsinτsinψ • 两边平方，得：
OD2 E2 cos2 cos2 F2 sin2 sin2 2EF cos cos sin sin E2 cos2 （1 sin2） F2 sin2 （1 cos2） 2EF cos cos sin sin E2 cos2 F2 sin2 （E2 cos2 sin2 F2 sin2 cos2 2EF cos cos sin sin E2 cos2 F2 sin2 （E cos sin F sin cos）2
F
cos E sin F 25
✓由：
cos E sin F
cos
sin
E F
Q QEE cos2 QFF sin2 QEF sin 2
误差理论与测量平差基础
(K/n)/d△ 0.630 0.560 0.460 0.320 0.235 0.180 0.085 0.055 0
个数K 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
+△ 频率K/n 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
0.630
频数/d
0.475
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
提示：观测值定了其 分布也就确定了，因 此一组观测值对应相 同的分布。不同的观 测序列，分布不同。 但其极限分布均是正 态分布。
闭合差 图1
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
频数/d
f ()
闭合差 图2
0 0.495
(K/n)/d△ 0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
19
直方图
2.1偶然误差的规律性
(K/n)/d△
面积= [(K/n)/d△]* d△= K/n
概率密度函数曲线
-0.8 -0.6 -0.4
0 0.4 0.6 0.8
所有面积之和=k1/n+k2/n+…..=1
0
个数K 46 41 33 21 16 13 …… 2 0 211
+△ 频率K/n 0.088 0.085 0.069 0.064 0.043 0.040
…… 0.005
0 0.501
(K/n)/d△ 0.440 0.425 0.345 0.320 0.215 0.200 …… 0.0025 0
频数/d
1
e
2 2 2
《误差理论与测量平差基础》第十章
2Q xy (Q xx Q yy ) 2 4Q 2 xy
1 ctg 2 2 0
1 sin2 2 0
Q Q
1 (Q xx Q yy ) 2(ctg 2 2 0 1)Q xy sin 2 0 2 1 (Q xx Q yy ) (Q xx Q yy ) 2 4Q 2 xy 2 1 2 2 ˆ 0 (Qxx Qyy K ) E 2 1 2 ˆ 0 (Qxx Qyy K ) F2 2
两个根：
2 0
2 0 180
两个极值方向： 0
0 90
E 在一、三象限； 当Q xy 0 ： F 在二、四象限。 E 在二、四象限； 当Q xy 0 ： F 在一、三象限。
§10.2 点位任意方向的位差
2.极大值 E 和极小值 F 的计算
1 sin 2 0 1 ctg 2 2 0
知
代入
Q QEE cos2 QFF sin2 QEF sin2 Q QEE cos2 QFF sin2
K (Qxx Qyy ) 2 4Q 2 xy
§10.2 点位任意方向的位差
[例10-1]已知
方法一：tg2
2Qxy (Qxx Q yy )
QX ˆX ˆ
E F E F 求：
0
1.236 0.314 0.314 1.192
ˆ 0 1
有时需要了解点位在哪一个方向上的位差最大
在哪一个方向上的位差最小；或需要直观形象的表
达任意方向上位差的大小和分布情况：
—— 点位误差椭圆可以做到！
§10.1 点位中误差
二、点位误差的计算 1.计算公式
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二、点位任意方向的位差
例2：已知某平面控制网平差后得到未知点P的坐标平差值及其 协因数阵
é 0.25 0.15 ù QX ú ˆX ˆ =ê ë 0.15 0.75 û 2 ˆ0 3.0cm2 单位权方差 1) 计算P点纵、横坐标中误差和点位中误 差 2) 计算P点在方位角为90°方向上的位 差
(
)
T
一、点位中误差
2 x 2 0
——点位中误差的计算
1 2 0 Qxx px
1 2 0 Q yy py
2 y 2 0
(Qxx Qyy )
2 P 2 0
QX ˆX ˆ
æ ç ç = ( BT PB)-1 = ç ç ç ç è
Qx1x1 Qx1y1 Qx1xs Qx1ys ö ÷ Qy1x1 Qy1y1 Qy1xs Qy1ys ÷ ÷ ÷ Qxn x1 Qxn y1 Qxn xs Qxn ys ÷ Qyn x1 Qyn y1 Qyn xs Qyn ys ÷ ø
= QFF 对应的
l1 = QEE
é Q -Q EE ê xx ê Qyx ë
Qxy Qyy - QEE
ùé ù úê x ú = 0 úê y ú û ûë
Qxy y QEE - Qxx tan j E = = = x Qxy QEE - Qyy
Qxy y QFF - Qxx tan j F = = = x Qxy QFF - Qyy
y
P2 x'2 y'2
2 2 2 p x ' y'
A
O
y¢
点位方差总是等于两个相互垂直的方向的坐标方差的平方和
与坐标系无关
一、点位中误差
x
Dx
Dy P¢( x, y) Du DP
s s 纵向误差 s u 横向误差
O
Ds
, y ) P( x
A
y
纵向、横向误差与角度距离的关系？
2 2
B
b
P
K = (Qxx - Qyy ) + 4(Qxy ) = 35.369
1 QEE = (Qxx + Qyy + K ) = 135.384 2 1 QFF = (Qxx + Qyy - K ) = 100.015 2
A x A = 4578.67 yA = 3956.74 a AB = 345°18¢12¢¢
第十章 误差椭圆
一．点位中误差
二．点位误差的计算 三．误差曲线
四．误差椭圆
一、点位中误差
控制点的平面位置是用一对平 面直角坐标来确定的。坐标是 由观测值的平差值计算所得的，
x
Dx
Dy P¢( x, y) Du DP
Ds
, y ) P( x
因此不可避免地带有误差。
A
O y
在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点的点位精度；
E = s 0 QEE = 1.24 F = s 0 QFF = 0.95
QEE - Qxx j = 137 / 317 tan j E = = -0.932 E Qxy QFF - Qxx j = 47 / 227 tan j F = = 1.037 E Qxy
二、点位任意方向的位差
二、点位任意方向的位差
Dj = pp¢¢ + p¢¢p¢¢¢ = Dx cosj + Dy sin j
Q Qxx Qxy cos cos sin Q Q sin yx yy Qxx cos2 Q yy sin 2 Qxy sin 2
二、点位任意方向的位差 ——极大值E与极小值F
不同的 j 角，有不同的协因数， 即有不同的位差。 求解协因数的极值，即可求位差 的极值。 设极大值、极小值的权倒数分别为QEE , QFF
Qxx - l Qxy 解特征方程 QX =0 ˆX ˆ - lI = Qyx Qyy - l
1 l1 = QEE = (Qxx + Qyy + K ) 2
待定点的点位精度通常用点位中误差简称“点位误差”的大
小来评定； 经过平差后的坐标（坐标的平差值）是估值，而不是真值！
一、点位中误差
A 已知点 P 待定点的真位置 P’ 最或然点位(平差值)
x
Dx
Dy P¢( x, y) Du DP
Ds
, y ) P( x
- xü Dx = x ý - yþ Dy = y
——基于极值E、F为坐标系的任意方向 Ψ 上的位差
x
2 2 2 sY =s0 QYY = s 0 (QEE cos2 Y + QFF sin2 Y )
jE
E
Y
j
2 sY = E 2 cos2 Y + F 2 sin2 Y
360° - j E
三、误差曲线
x
2 sY = E 2 cos2 Y + F 2 sin2 Y
æ 132.874 -9.082 ö =ç ÷ 9.082 102.525 è ø
A x A = 4578.67 yA = 3956.74 a AB = 345°18¢12¢¢
b = 89°15¢42¢¢ ± 4.0¢¢ S = 600.150 m ± 10 mm
例5：求P点位差极大值及其方向
æ s2 s ç x xy ç s yx s y2 è ö æ ÷ = ç 132.874 -9.082 ö ÷ è -9.082 102.525 ÷ ø ø
y
A
O
y¢
K (Qxx Q yy ) 2 4(Qxy ) 2
二、点位任意方向的位差 ——极大值E与极小值F
jF 求位差极大值、极小值对应的j 角j E 、 j F 分别是 QXˆXˆ 的特征值 l1 = QEE jE 、
特征向量的方位角
满足特征向量方程 (Q ˆ ˆ - l I ) X = 0 XX 、l2
二、点位任意方向的位差 ——极大值E与极小值F
æ 1.236 -0.314 ö 例3：已知某平面控制网中点 P 的协因数 QXˆXˆ = ç ÷ è -0.314 1.192 ø
ˆ0 = 1 s
，试求 E、F 和 jE
K = (Qxx - Qyy )2 + 4(Qxy )2 = 0.6295
1 l1 = QEE = (Qxx + Qyy + K ) = 1.528 2 1 l2 = QFF = (Qxx + Qyy - K ) = 0.899 2
2 QFF
1 (Q xx Q yy K ) 2
2 s 2 E2 = s 0 QEE = 0 (Qxx + Qyy + K ) 2
2 s0 F = s QFF = (Qxx + Qyy - K ) 2 2 2 0
x
x¢
Dx
Dy P¢( x, y) Du DP
Ds
, y ) P( x
P 2 (s) 2 (u) 2
2 2 p s2 u s s 纵向误差 s u 横向误差
~
一、点位中误差
将坐标系O - xy 旋转一个角度j , 得另一个新坐标系O - x¢y¢ ,在新坐标 系中 P 点的点位真误差：
x
x¢
Dx
Dy P¢( x, y) Du DP
Ds , y ) P( x
tan j E =
QEE - Qxx = -0.276 j E = 164°33¢ / 344°33¢ Qxy
b = 89°15¢42¢¢ ± 4.0¢¢ S = 600.150 m ± 10 mm
QFF - Qxx tan j F = = 3.618 j F = 74°33¢ / 254°33¢ Qxy
一、点位中误差
2 x 2 0
——点位中误差的计算
1 2 0 Qxx px
1 2 0 Q yy py
2 y 2 0
(Qxx Qyy )
2 P 2 0
在间接平差中，设点的坐标为未知参数：
ˆ= X ˆ Y ˆ X ˆ Y ˆ X ˆ Y ˆ X 1 1 2 2 u u
DP 2 = Dx 2 + Dy2
2 x 2 y 2
A
点位真位差
~
O
y
E[(x E ( x)) ] E[(x x) 2 ] E[x 2 ] E[( y E ( y)) ] E[( y y) ] E[y ]
2 2 2
2 2 2 P E(P2 ) E((x)2 ) E((y)2 ) x y
æ dx ö æ cosa -1000Dy / r öæ dS ö P AB AP ç ÷ ç ÷ = ç dy ÷ ç sin a ÷ç d b ÷ 1000 D x / r ø AB AP è P ø è øè æ 0.266 -2.804 öæ dS ö =ç ÷ç d b ÷ 0.964 0.774 è øè ø æ s2 s ö æ æ 100 0 öæ 0.266 0.964 ö ç x xy ÷ = ç 0.266 -2.804 ö ÷ç ÷ç ÷ 2 ÷ ç s yx s y 0.964 0.774 0 16 2.804 0.774 è øè øè ø è ø
E
Y
P
y
F
四、误差椭圆
x
2 sY = E 2 cos2 Y + F 2 sin2 Y
E
Y
P D
o
y
F