第九章 拉普拉斯变换教案
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（项目）
10.1 行列式的概念课时 2
授课地点东阶1——2
授课
时间
20XX年4月23日，第11周，第5～6节
教学目标方法手段教学目标：1、了解二、三阶行列式的定义及其相关概念，掌握利用对角线法则计算简单行列式的方法。会用行列式法求解二、三元一次线性方程组。
2、理解余子式、代数余子式的概念，能求行列式中任意元素的余子式和代数余子式。
3、理解n阶行列式的定义、掌握几种特殊行列式，能利用行列式的定义计算行列式的数值。
4、培养学生计算能力、抽象概括、类比的能力核学习方法。
教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。
教学手段：多媒体、板书演示。
重点难点重点：行列式的概念余子式和代数余子式的概念行列式的计算难点：行列式的概念利用行列式的定义计算行列式值
教学过程与内容
（一）引入（行列式的起源）
1、二、三阶行列式的定义及计算法：
考虑二元一次线性方程组
1111221
2112222
a x a x b
a x a x b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
(1)
利用消元法，当
11221221
a a a a
-≠时，得到上述方程组的解为
122122112121
12
1122122111221221
,
b a a b a b a b
x x
a a a a a a a a
--
==
--
。(2)
可以看出：方程组解的分子分母均是两个数的乘积减去另两个数的乘积．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源。
（二）新课讲授
定义1我们称4个数组成的符号
1112
11222122
2122
a a
a a a a
a a
=-为二阶行列式。
其中的数(,1,2)
ij
a i j=称为该行列式的第i行、第j列元素。(横排称为行列式的行, 竖排列称为行列式的列)。为了便于记忆，我们用下述对角线法则来记二阶行列式：
这里的实线是主对角线，记正号，虚线是次对角线，记负号；而且在形式上，只是在原行列式的右边重新加上了第一列和第二列，且顺序不变。
三阶行列式的特点：1、共有6项，三项正，三项负；2、 每项由三个元素相乘，每个元素取自不同行，不同列；如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排列，则每一项元素的列标排列分别为123, 231, 312以及321, 213, 132, 恰好是1、2、3这三个数的所有可能的排列，即有3！＝6种排法。
设有三元一次线性方程组
111122133121122223323113223333
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ （1）
记11
121321
2223313233a a a D a a a a a a =，11213122223332
33b a a D b a a b a a =，111132212
23313
33
a b a D a b a a b a =，11
121
321
22231
32
3
a a
b D a a b a a b =，则当0D ≠时，可以证明方程（1）的唯一解为：
312123,,D D D
x x x D D D
=
==。 练习2 ：利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组
123123123
2330
46132x x x x x x x x x --=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩ 解 系数行列式233
1
4
631
1
D --=-，按照对角线法则得 ，
,)n 排成 （10.9）⎭
⎬⎫31,2,
,)n ，则称为对角行列式，即22000
nn
a
主要特征是：主对角线以外的元素全为零． 0(,,1,2,,)i j i j n >=，则称为
12220
n n nn
a a a
主对角线下方．．的元素全为零． 0(,,1,2,
,)i j i j n <=，则称为下三角行列式，即21
22
12
000n n nn
a a a
主对角线上方．．
的元素全为零． 2122
12
000n n nn
a a a 2211nn a a a =列
式
定2122
12
00n n nn a a a 21
3332
22
11
00
nn n n a a a a a a a
==说明：下三角行列式的值等于其主对角线上的元素之积。
12122212
n n n n nn
a a a a a ,则11222212n n T n
n
nn
a a D a a a =
。
行列式与它的转置行列式的值相等，即T
D D =。
这个性质说明了：行列式中行与列的地位是等同的．因而，凡是对行成立的性质，对列也成立；反之亦然。
互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。
)(j i c c ↔表示交换行列式的j 两行（列）