动态规划-骑士游历问题

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骑士游历问题（C语言代码）

骑⼠游历问题（C语⾔代码）关于骑⼠游历问题，⼤家可以想到的⽅法是回溯法和贪⼼算法。

回溯法的时间复杂度⽐较⾼，贪⼼算法的时间复杂度就好多了。

骑⼠游历问题问题描述：棋盘⼤⼩是8*8，骑⼠在棋盘任⼀⽅格开始游历。

要求骑⼠游历棋盘的每⼀个⽅格且每个⽅格只游历⼀次。

输出骑⼠的游历路径。

解决思路：dir0、dir1…dir7由⼩到⼤排列，每次选择具有最少出⼝的⽅向，假设为dir0。

如果骑⼠⾛到第n步时，没有出⼝可以选择，同时，骑⼠未完全遍历棋盘，那么骑⼠回溯到上⼀位置（（n-1）步），选择dir1⽅向。

骑⼠游历依次进⾏下去。

直⾄⾛到终点或回到原点。

终点代表骑⼠游历完成，原点代表骑⼠游历失败（没有可以游历每个⽅格游历且只游历⼀次的路径）。

这⾥假设当前位置的⼋个⽅向已经按照“具有出⼝”由⼩到⼤排列。

编写程序过程要解决的问题(先考虑简单的问题)：⼀、每个位置最多有8个⽅向可以移动分别为：(-2,1) (-1,2) (1,2) (2,1) (2,-1) (1,-2) (-1,-2) (-2,-1)；主函数中骑⼠在初始位置时，对个变量进⾏初始化代码：step=1;chessboard[startx][starty]=step;step++;cur_x=startx;cur_y=starty;dir[startx][starty]=max_dir;last_dir=max_dir;考虑到解决骑⼠游历需要⽤到多个函数。

骑⼠前进、后退函数可能⽤到这⼋个⽅向移动的坐标。

故将⼋个⽅向移动的坐标定义为全局变量，“intktmove_x[max_dir],ktmove_y[max_dir];”。

⼆、判断骑⼠应该前进还是回溯：骑⼠在当前位置有可移动的⽅向则前进，反之，回溯到上⼀位置。

⼋⼋棋盘上⾯的每个⽅格最多有⼋个⽅向可以移动。

棋盘数组：“int chessboard[width][width];”，则可以定义⼀个三维数组来判断⽅格某⼀⽅向是否被访问过：“int is_visted[width][width][max_dir]={0};”，初始化为0，表⽰64个⽅格具有的出⼝⽅向（最多有⼋个）未被访问，两个数组同样是全局变量。

动态规划——01背包问题

动态规划——01背包问题⼀、最基础的动态规划之⼀01背包问题是动态规划中最基础的问题之⼀，它的解法完美地体现了动态规划的思想和性质。

01背包问题最常见的问题形式是：给定n件物品的体积和价值，将他们尽可能地放⼊⼀个体积固定的背包，最⼤的价值可以是多少。

我们可以⽤费⽤c和价值v来描述⼀件物品，再设允许的最⼤花费为w。

只要n稍⼤，我们就不可能通过搜索来遍查所有组合的可能。

运⽤动态规划的思想，我们把原来的问题拆分为⼦问题，⼦问题再进⼀步拆分直⾄不可再分（初始值），随后从初始值开始，尽可能地求取每⼀个⼦问题的最优解，最终就能求得原问题的解。

由于不同的问题可能有相同的⼦问题，⼦问题存在⼤量重叠，我们需要额外的空间来存储已经求得的⼦问题的最优解。

这样，可以⼤幅度地降低时间复杂度。

有了这样的思想，我们来看01背包问题可以怎样拆分成⼦问题：要求解的问题是：在n件物品中最⼤花费为w能得到的最⼤价值。

显然，对于0 <= i <= n,0 <= j <= w，在前i件物品中最⼤花费为j能得到的最⼤价值。

可以使⽤数组dp[n + 1][w + 1]来存储所有的⼦问题，dp[i][j]就代表从前i件物品中选出总花费不超过j时的最⼤价值。

可知dp[0][j]值⼀定为零。

那么，该怎么递推求取所有⼦问题的解呢。

显⽽易见，要考虑在前i件物品中拿取，⾸先要考虑前i - 1件物品中拿取的最优情况。

当我们从第i - 1件物品递推到第i件时，我们就要考虑这件物品是拿，还是不拿，怎样收益最⼤。

①：⾸先，如果j < c[i]，那第i件物品是⽆论如何拿不了的，dp[i][j] = dp[i - 1][j];②：如果可以拿，那就要考虑拿了之后收益是否更⼤。

拿这件物品需要花费c[i]，除去这c[i]的⼦问题应该是dp[i - 1][j - c[i]]，这时，就要⽐较dp[i - 1][j]和dp[i - 1][j - c[i]] + v[i]，得出最优⽅案。

【题03】骑士游历问题

【题3】骑士游历问题设有一个n*m 的棋盘(2≤n ≤50，2≤m ≤50)，如下图。

在棋盘上任一点有一个中国象棋马，马走的规则为：1.马走日字2.马只能向右走。

即下图所示：当n ，m 给出之后，同时给出马起始的位置和终点的位置，试找出从起点到终点的所有路径的数目。

例如：(n=10，m=10)，(1，5)(起点)，(3，5)(终点)。

应输出2(即由(1，5)到(3，5)共有2条路径，如下图)：输入：n ，m ，x1，y1，x2，y2(分别表示n ，m ，起点坐标，终点坐标)输出：路径数目(若不存在从起点到终点的路径，输出0)分析：使用回溯法是可以计算路径数目，但问题是搜索效率太低，根本不可能在较短的时间内出解。

因为题目并不要求每一条路径的具体走法。

在这种情况下，是否非得通过枚举所有路径方案后才能得出路径数目，有没有一条简便和快效的“捷径”呢。

从(x 1，y 1)出发，按照由左而右的顺序定义阶段的方向。

位于（x ，y ）左方且可达（x ，y ）的跳马位置集合都是（x ，y ）的子问题，起点至（x ，y ）的路径数实际上等于起点至这些位置集的路径数之和（如下图）。

如此一来，状态转移关系便凸显出来。

设状态转移方程map ，其中map[i ，j]为起点（x1，y1）至（i ，j ）的路径数目。

由于棋盘规模的上限为50*50，可能导致路径数目大得惊人，因此不妨设map 数组的元素类型为extended 。

初始时，除map[x1，y1]=1外其余为０。

显然}),(],[],[{],[),),(在界内的坐标集可达（y x y x map j i map y x map y x j i ∑∈+=。

我们采用动态程序设计的方法计算起点（x1，y1）至终点（x2，y2）的路径数目map[x2，y2]：阶段j ：中国象棋马当前的列位置(y 1≤j ≤y2)；状态i ：中国象棋马在j 列的行位置（1≤i ≤n ）；决策k：中国象棋马在（i，j）的起跳方向(1≤k≤4)；计算过程如下：fillchar(map，sizeof(map)，0)；map[x1，y1] ←1； {从（x1，y1）出发} for j←y1 to y2 do {递推中国象棋马的列位置} for i←1 to n do {递推中国象棋马在j列的行位置} for k←1 to 4 do {递推中国象棋马在（i，j）的4个跳动方向} begin中国象棋马由（i，j）出发，沿着k方向跳至（x，y）；if (x∈｛１..n｝)∧(y∈{1..y2}) {计算状态转移方程}then map[x，y] ←map[i，j]+map[x，y]end；{for}writeln(map[x2，y2]：0：0)； {输出从（x1，y1）到（x2，y2）的路径数目} 上述算法的时间复杂度为O（n2），明显优于回溯法的效率。

旅行商问题的求解方法动态规划法和贪心法;算法论文

旅行商问题的求解方法摘要旅行商问题（TSP问题）时是指旅行家要旅行n个城市然后回到出发城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并要求所走的路程最短。

该问题又称为货郎担问题、邮递员问题、售货员问题，是图问题中最广为人知的问题。

本文主要介绍用蛮力法、动态规划法、贪心法和分支限界法求解TSP问题，其中重点讨论动态规划法和贪心法，并给出相应求解程序。

矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。

关键字：旅行商问题；动态规划法；贪心法；分支限界法1引言旅行商问题(TSP)是组合优化问题中典型的NP-完全问题，是许多领域内复杂工程优化问题的抽象形式。

研究TSP的求解方法对解决复杂工程优化问题具有重要的参考价值。

关于TSP的完全有效的算法目前尚未找到，这促使人们长期以来不断地探索并积累了大量的算法。

归纳起来，目前主要算法可分成传统优化算法和现代优化算法。

在传统优化算法中又可分为：最优解算法和近似方法。

最优解算法虽然可以得到精确解，但计算时间无法忍受，因此就产生了各种近似方法，这些近似算法虽然可以较快地求得接近最优解的可行解，但其接近最优解的程度不能令人满意。

但限于所学知识和时间限制，本文重点只讨论传统优化算法中的动态规划法、贪心法和分支限界法，并对蛮力法做简单介绍，用以比较。

聞創沟燴鐺險爱氇谴净。

2正文2.1蛮力法2.1.1蛮力法的设计思想蛮力法所依赖的基本技术是扫描技术，即采用一定的策略将待求解问题的所有元素一次处理一次，从而找出问题的解。

一次处理所有元素的是蛮力法的关键，为了避免陷入重复试探，应保证处理过的元素不再被处理。

在基本的数据结构中，一次处理每个元素的方法是遍历。

残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。

2.1.2算法讨论用蛮力法解决TSP问题，可以找出所有可能的旅行路线，从中选取路径长度最短的简单回路。

如对于图1，我们求解过程如下：酽锕极額閉镇桧猪訣锥。

（1）路径：1->2->3->4->1；路径长度：18；（2）路径：1->2->4->3->1；路径长度：11；（3）路径：1->3->2->4->1；路径长度：23；（4）路径：1->3->4->2->1；路径长度：11；（5）路径：1->4->2->3->1；路径长度：18；（6）路径：1->4->3->2->1；路径长度：18；从中，我们可以知道，路径（2）和（4）路径长度最短。

程序设计艺术与方法

程序设计艺术与方法实验一STL 的熟悉与使用1．实验目的（1）掌握C++中STL 的容器类的使用。

（2）掌握C++中STL 的算法类的使用。

2．试验设备硬件环境：PC 计算机软件环境：操作系统：Windows 2000 / Windows XP / Linux 语言环境：Dev cpp / gnu c++3．试验内容(1) 练习vector 和list 的使用。

定义一个空的vector，元素类型为int，生成10 个随机数插入到vector 中，用迭代器遍历vector 并输出其中的元素值。

在vector 头部插入一个随机数，用迭代器遍历vector 并输出其中的元素值。

用泛型算法find 查找某个随机数，如果找到便输出，否则将此数插入vector 尾部。

用泛型算法sort 将vector 排序，用迭代器遍历vector 并输出其中的元素值。

删除vector 尾部的元素，用迭代器遍历vector 并输出其中的元素值。

将vector 清空。

定义一个list，并重复上述实验，并注意观察结果。

(2) 练习泛型算法的使用。

- 149定义一个vector，元素类型为int，插入10 个随机数，使用sort 按升序排序，输出每个元素的值，再按降叙排序，输出每个元素的值。

练习用find 查找元素。

用min 和max 找出容器中的小元素个大元素，并输出。

源代码：#include <iostream>#include <vector>#include<iomanip>#include<ctime>#include <algorithm>using namespace std;vector<int> myV;bool sortup(int v1,int v2){return v1<v2;}int main(int argc, char *argv[]){srand(time(NULL));for (int i=0;i<10;i++)myV.push_back(rand());sort(myV.begin(),myV.end(),sortup);vector<int>::iterator it1;for (it1=myV.begin();it1!=myV.end();it1++){cout<<(*it1)<<setw(6);}cout<<endl;int min=myV[0];for (it1=myV.begin()+1;it1!=myV.end();it1++) if((*it1)<min)min=(*it1);cout<<"最小元素为" <<min<<endl;int max=myV[0];for (it1=myV.begin();it1!=myV.end();it1++)if((*it1)>max)max=(*it1);cout<<"最大元素为" <<max<<endl;cout<<endl;int value=rand();it1=find(myV.begin(),myV.end(),value);if((*it1)==value)cout<<"找到了这个随机数"<<endl ;elsecout<<"没有找到这个随机数"<<endl;myV.insert(myV.end(),value);cout<<"插入尾部的随机数为"<<value<<endl;for (it1=myV.begin();it1!=myV.end();it1++){cout<<(*it1)<<setw(6);}cout<<"\n"<<endl;int t=rand();myV.insert(myV.begin(),t);cout<<"插入头部的随机数为" <<t<<endl;for (it1=myV.begin();it1!=myV.end();it1++){cout<<(*it1)<<setw(6);}cout<<endl;myV.pop_back ();for (it1=myV.begin();it1!=myV.end();it1++) {cout<<(*it1)<<setw(6);}cout<<endl;myV.clear();if(myV.empty()){cout << "It's empty!" << endl;}system("PAUSE");return 0;}运行截图：2练习泛型算法的使用：源代码：#include<list>#include<iostream>//#inclued<algorithm>using namespace std;typedef list<int> lin;int value[]={1,2,3,4,5};void print(lin &l){int i;lin::iterator lit;for(lit=l.begin();lit!=l.end();lit++) cout<<(*lit)<<" ";cout<<endl;}bool sortsp(int v1,int v2){return v1>v2;}lin lin2;lin2.push_front(3);lin2.push_front(4);lin2.insert(lin2.begin(),value,value+5);cout<<"lin2内的元素为：";print(lin2);lin2.sort();cout<<"排序后的lin2: ";print(lin2);lin2.push_front(10);cout<<"在list头部插入10之后的结果："; print(lin2);lin2.remove(6);cout<<"删除一个数后的lin1:";print(lin2);system("PAUSE");return 0;}实验二搜索算法的实现1. 实验目的(1) 掌握宽度优先搜索算法。

动态规划求解TSP问题

f5(i, )=min{Cij+f6(1, )}=Ci1, d5(i, 1), i=2, 3, 4, 5 f5(i, )的值列表如下：
1
i 2
f5(i, ) 2
5 3
5 1 2 7
2
2 3 3
3
4 5
7
2 5
6
4 4
5
7

对于k=4, 有

f4(i, S4)=min{Cij+f5(j, S5)}, jS4, f4(i, S4。并且有 xn=(i, ), i=2, 3, …, n,
xn+1=(1, )
4
动态规划模型构造

决策变量：dk=(i, j), 其中i为当前所在的城市, j为下一站将要到达的城市。状态转移方程：若当前的状态为 xk=(i, Sk) 采取的决策为 dk=(i, j) 则下一步到达的状态为 xk+1=T(xk, dk)=(j , Sk\{j})
9
(i, S3) (2, {3, 4}) (2, {3, 5})
J {3} {4} {3} {5}
Cij 3 5 3 1
S4 {4} {3} {5} {3}
Cij+f4(j, S4) 3+f4(3, {4})=3+6=9* 5+f4(4, {3})=5+11=16 3+f4(3, {5})=3+11=14* 1+f4(5, {3})=1+13=14*
(1, S1) (1, {2, 3, 4, 5})
J {2} {3} {4} {5}
Cij 2 7 2 5
S2 {3, 4, 5} {2, 4, 5} {2, 3, 5} {2, 3, 4}

动态规划练习题及解答1

动态规划练习题[题1] 多米诺骨牌（DOMINO）问题描述：有一种多米诺骨牌是平面的，其正面被分成上下两部分，每一部分的表面或者为空，或者被标上1至6个点。

现有一行排列在桌面上：顶行骨牌的点数之和为6+1+1+1=9；底行骨牌点数之和为1+5+3+2=11。

顶行和底行的差值是2。

这个差值是两行点数之和的差的绝对值。

每个多米诺骨牌都可以上下倒置转换，即上部变为下部，下部变为上部。

现在的任务是，以最少的翻转次数，使得顶行和底行之间的差值最小。

对于上面这个例子，我们只需翻转最后一个骨牌，就可以使得顶行和底行的差值为0，所以例子的答案为1。

输入格式：文件的第一行是一个整数n（1〈=n〈=1000〉，表示有n个多米诺骨牌在桌面上排成一行。

接下来共有n行，每行包含两个整数a、b（0〈=a、b〈=6，中间用空格分开〉。

第I+1行的a、b分别表示第I个多米诺骨牌的上部与下部的点数（0表示空）。

输出格式：只有一个整数在文件的第一行。

这个整数表示翻动骨牌的最少次数，从而使得顶行和底行的差值最小。

[题2] Perform巡回演出题目描述:Flute市的Phlharmoniker乐团2000年准备到Harp市做一次大型演出,本着普及古典音乐的目的,乐团指挥L.Y.M准备在到达Harp市之前先在周围一些小城市作一段时间的巡回演出,此后的几天里,音乐家们将每天搭乘一个航班从一个城市飞到另一个城市,最后才到达目的地Harp市(乐团可多次在同一城市演出).由于航线的费用和班次每天都在变,城市和城市之间都有一份循环的航班表,每一时间,每一方向,航班表循环的周期都可能不同.现要求寻找一张花费费用最小的演出表.输入: 输入文件包括若干个场景.每个场景的描述由一对整数n(2<=n<=10)和k(1<=k<=1000)开始,音乐家们要在这n个城市作巡回演出,城市用1..n标号,其中1是起点Flute市,n是终点Harp市,接下来有n*(n-1)份航班表,一份航班表一行,描述每对城市之间的航线和价格,第一组n-1份航班表对应从城市1到其他城市(2,3,...n)的航班,接下的n-1行是从城市2到其他城市(1,3,4...n)的航班,如此下去.每份航班又一个整数d(1<=d<=30)开始,表示航班表循环的周期,接下来的d个非负整数表示1,2...d天对应的两个城市的航班的价格,价格为零表示那天两个城市之间没有航班.例如"3 75 0 80"表示第一天机票价格是75KOI,第二天没有航班,第三天的机票是80KOI,然后循环:第四天又是75KOI,第五天没有航班,如此循环.输入文件由n=k=0的场景结束.输出:对每个场景如果乐团可能从城市1出发,每天都要飞往另一个城市,最后(经过k天)抵达城市n,则输出这k个航班价格之和的最小值.如果不可能存在这样的巡回演出路线,输出0.样例输入: 样例输出：3 6 4602 130 150 03 75 0 807 120 110 0 100 110 120 04 60 70 60 503 0 135 1402 70 802 32 0 701 800 0[题3] 复制书稿（BOOKS）问题描述：假设有M本书（编号为1，2，…M），想将每本复制一份，M本书的页数可能不同（分别是P1，P2，…PM）。

动态规划算法--01背包问题

动态规划算法--01背包问题基本思想：动态规划算法通常⽤于求解具有某种最优性质的问题。

在这类问题中，可能会有许多可⾏解。

每⼀个解都对应于⼀个值，我们希望找到具有最优值的解。

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若⼲个⼦问题，先求解⼦问题，然后从这些⼦问题的解得到原问题的解。

与分治法不同的是，适合于⽤动态规划求解的问题，经分解得到⼦问题往往不是互相独⽴的（即下⼀个⼦阶段的求解是建⽴在上⼀个⼦阶段的解的基础上，进⾏进⼀步的求解）。

若⽤分治法来解这类问题，则分解得到的⼦问题数⽬太多，有些⼦问题被重复计算了很多次。

如果我们能够保存已解决的⼦问题的答案，⽽在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免⼤量的重复计算，节省时间。

我们可以⽤⼀个表来记录所有已解的⼦问题的答案。

不管该⼦问题以后是否被⽤到，只要它被计算过，就将其结果填⼊表中。

这就是动态规划法的基本思路。

具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

应⽤场景：适⽤动态规划的问题必须满⾜最优化原理、⽆后效性和重叠性。

1、最优化原理（最优⼦结构性质）最优化原理可这样阐述：⼀个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前⾯的决策所形成的状态⽽⾔，余下的诸决策必须构成最优策略。

简⽽⾔之，⼀个最优化策略的⼦策略总是最优的。

⼀个问题满⾜最优化原理⼜称其具有最优⼦结构性质。

2、⽆后效性将各阶段按照⼀定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态⽆法直接影响它未来的决策，⽽只能通过当前的这个状态。

换句话说，每个状态都是过去历史的⼀个完整总结。

这就是⽆后向性，⼜称为⽆后效性。

3、⼦问题的重叠性动态规划将原来具有指数级时间复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。

其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本⽬的。

动态规划实质上是⼀种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产⽣过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要⼤于其它的算法。

简单的骑士周游问题的解法

"骑士周游问题"是一个经典的图论问题，它要求在一个国际象棋棋盘上，骑士（可以按照L形走动：每次移动两格横向或纵向，再一格横向或纵向）从某一格出发，访问每一格恰好一次后回到起始格子。

解决此问题没有固定的简单算法，但对于较小的棋盘尺寸，比如8x8的棋盘，可以通过穷举搜索的方式来求解。

然而，对于较大的棋盘，由于可能的路径数量呈指数级增长，穷举搜索并不实际。

一种更高效的启发式方法是采用回溯算法或A*搜索等高级搜索算法。

基本思路是设定一个状态空间树，每个节点代表骑士的一种位置状态，然后通过向前探索所有可能的移动方向，并在过程中检查是否重复访问过某个格子，以及是否已经遍历完所有格子。

另外，对于8x8的棋盘，实际上是有解决方案的，并且不止一种，具体的行走路线可以通过计算得出。

这个问题也可以转换成Hamilton回路问题来考虑，但是Hamilton回路问题是NP 完全问题，在一般图上没有多项式时间的确定性算法可以解决，但是对于棋盘这种特殊的图结构，可能存在特定的构造方法或搜索策略来找到解。

动态规划习题

动态规划专题分类视图数轴动规题： (1)较复杂的数轴动规 (4)线性动规 (7)区域动规： (14)未知的动规： (20)数轴动规题：题1.2001年普及组第4题--装箱问题【问题描述】有一个箱子容量为V(正整数,0≤V≤20000),同时有n个物品(0<n≤30),每个物品有一个体积（正整数）。

要求从n个物品中,任取若干个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。

【输入格式】输入文件box.in有若干行。

第一行：一个整数，表示箱子容量V；第二行：一个整数，表示物品个数n；接下来n行，分别表示这n个物品的各自体积。

【输出格式】输出文件box.out只有一行数据，该行只有一个数，表示最小的箱子剩余空间。

【输入样例】2468312797【输出样例】题2.1996年提高组第4题--砝码秤重__数据加强版【问题描述】设有n种砝码,第k种砝码有C k个,每个重量均为W k,求：用这些砝码能秤出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况。

【输入格式】输入文件weight.in的第一行只有一个数n,表示不同的砝码的种类数.第2行至第n+1行,每行有两个整数.第k+1行的两个数分别表示第k种砝码的个数和重量.【输出格式】输出文件weight.out中只有一行数据:Total=N。

表示用这些砝码能秤出的不同重量数。

【输入样例】22 22 3【输出样例】Total=8【样例说明】重量2,3,4,5,6,7,8,10都能秤得【数据限制】对于100%的数据,砝码的种类n满足:1≤n≤100;对于30%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤20;对于100%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤100;对于所有的数据,砝码的总重量W满足:1≤W≤400000;题3.石子归并-szgb.pas【问题描述】有一堆石头质量分别为W1,W2,…,Wn.(Wi≤10000),将石头合并为两堆,使两堆质量的差最小。

【输入】输入文件szgb.in的第一行只有一个整数n(1≤n≤50),表示有n堆石子。

旅行者问题

设s, s1, s2,…, sp, s是从s出发的一条路径长度最短的简单回路，假设从s到下一个城市s1已经求出，则问题转化为求从s1到s的最短路径，显然s1, s2,…, sp, s一定构成一条从s1到s的最短路径，所以TSP问题是构成最优子结构性质的，用动态规划来求解也是合理的。
3.推导动态规划方程
V_2_count++;
else
V_3_count++;
}
if((array_0_count == V_0_count) && (array_1_count == V_1_count)
&& (array_2_count == V_2_count) && (array_3_count == V_3_count))
现在对问题定义中的例子来说明TSP的求解过程。(假设出发城市是0城市)
①我们要求的最终结果是d(0,{1,2,3}),它表示，从城市0开始，经过{1,2,3}之中的城市并且只有一次，求出最短路径.
②d(0,{1,2,3})是不能一下子求出来的，那么他的值是怎么得出的呢？看上图的第二层，第二层表明了d(0,{1,2,3})所需依赖的值。那么得出：
5,0,2,3,
6,4,0,2,
3,7,5,0
};
int d[4][8]={0},i=0,j=0;
for(i=0; i<4; i++)
for(j=0; j<8; j++)
d[i][j]=1000; //假设1000为无穷大
TSP(d,c,V,4);
printf("The least road is:%d/n",d[0][7]);

经典的动态规划入门练习题

动态规划入门练习题1.石子合并在一个圆形操场的四周摆放着N堆石子(N<= 100),现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选取相邻的两堆合并成新的一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分.编一程序,由文件读入堆栈数N及每堆栈的石子数(<=20).(1)选择一种合并石子的方案,使用权得做N－1次合并,得分的总和最小;(2)选择一种合并石子的方案,使用权得做N－1次合并,得分的总和最大;输入数据:第一行为石子堆数N;第二行为每堆的石子数,每两个数之间用一个空格分隔.输出数据:从第一至第N行为得分最小的合并方案.第N+1行是空行.从第N+2行到第2N+1行是得分最大合并方案.每种合并方案用N行表示,其中第i行(1<=i<=N)表示第i次合并前各堆的石子数(依顺时针次序输出,哪一堆先输出均可).要求将待合并的两堆石子数以相应的负数表示.输入输出范例:输入:44 5 9 4输出:－４５９－４－８－５９－１３－９２２４－５－９４４－１４－４－４－１８２２最小代价子母树设有一排数，共ｎ个，例如：22 14 7 13 26 15 11.任意2个相邻的数可以进行归并,归并的代价为该两个数的和,经过不断的归并,最后归为一堆,而全部归并代价的和称为总代价,给出一种归并算法,使总代价为最小.输入、输出数据格式与“石子合并”相同。

输入样例：412 5 16 4输出样例：－１２－５１６４１７－１６－４－１７－２０３７2.背包问题设有ｎ种物品，每种物品有一个重量及一个价值。

但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为ＸＫ，今从ｎ种物品中选取若干件（同一种物品可以多次选取），使其重量的和小于等于ＸＫ，而价值的和为最大。

输入数据：第一行两个数：物品总数Ｎ，背包载重量ＸＫ；两个数用空格分隔；第二行N个数,为Ｎ种物品重量；两个数用空格分隔；第三行N个数,为N种物品价值; 两个数用空格分隔；输出数据：第一行总价值；以下N行，每行两个数，分别为选取物品的编号及数量；输入样例：4 102 3 4 71 3 5 9输出样例：122 14 13.商店购物某商店中每种商品都有一个价格。

(完整word版)TSP问题的动态规划解法

TSP问题的动态规划解法第十七组：3103038028 郑少斌3103038029 王瑞锋3103038035 江飞鸿3103038043 韩鑫3103055004 唐万强1．TSP问题简介旅行商问题（Traveling Salesman Problem,简称TSP, 亦称为货单郎问题）可以描述为：对于N 个城市，它们之间的距离已知，有一旅行商要从某一城市走遍所有的城市，且每一城市只能经过一次，最后回到出发的城市，问如何选择路线可使他走过的路径最短。

这是一个典型的组合优化问题。

它有很强的现实意义，可以应用于交通运输，物资调配，旅游线路设置。

对于了解某个国家地理分布也有一定的现实意义。

这个问题的解法有很多种，在这里我们尝试使用最优控制中的动态规划的相关知识来进行求解。

2．TSP问题分析对于这个问题，我们首先想到的是应用穷举法进行解答，但是这个方法时间和空间的复杂度很高。

从表面上看，TSP 问题很简单，其实则不然。

对于N 个城市的TSP,存在的可能路径为（N-1）!/2条，当N较大时，其数量是惊人的。

计算每条路经都需求出N 个距离之和，这样各种路径及其距离之和的计算量正比与N!/2.用搜索法要求就规模大的TSP是不现实的。

例如使用1GFLOPs 次的计算机搜索TSP 所需的时间如下表所示城市数7152050100200加法量 3105.2⨯ 11105.6⨯ 18102.1⨯ 64105.1⨯ 157105⨯ 37410搜索时间s 5105.2-⨯1.8h350yy 48105⨯ y 14210y 35810由上可知，对于这个问题采用穷举法进行解答是不现实的，这就要求我们采用其他的方法进行解答。

3．其他求解TSP 问题的方法*贪心法a. 所谓贪心法，就是在组合算法中，将每一步都取局部最优的求解方法。

b. 下表表示用贪心法求解TSP 的过程。

先将各城市间的距离用行列式形式表示，主对角线上用∞表示。

回溯与分支限界算法设计

算法设计与分析实验报告1.骑士游历问题（采用回溯法）：在国际象棋的棋盘（8行×8列）上放置一个马，按照“马走日字”的规则，马要遍历棋盘，即到达棋盘上的每一格，并且每格只到达一次。

若给定起始位置（x0,y0）,编程探索出一条路径，沿着这条路径马能遍历棋盘上的所有单元格。

2. 行列变换问题（采用分支限界法）：给定两个m n方格阵列组成的图形A和图形B，每个方格的颜色为黑色或白色，如下图所示。

行列变换问题的每一步变换可以交换任意2行或2列方格的颜色，或者将某行或某列颠倒。

上述每次变换算作一步。

试设计一个算法，计算最少需要多少步，才能将图形A变换为图形B。

图形A图形B2. 行列变换问题的程序：package .t8;import java.util.LinkedList;import java.util.Scanner;class graph{static int sour, dest;//sour是图形的初始整数，dest是图形的目的整数static int ans[]=new int[1<<16];//静态变量（即全局变量），用于存放图形变换的路径int m=4,n=4,x;int row[]=new int[4];int col[]=new int[4];void setx(int x){this.x=x;}int getx(){return this.x;}void rowx(){//将一个整数划分成四行二进制int y;for(int i=0;i<m;i++){y=1;row[i]=0;for(int j=0;j<n;j++){if((x&1)!=0) //如果x的最低位是1row[i]|=y;y<<=1;x>>=1;}}}}实例：总结实验心得体会：掌握回溯法解决问题的一般步骤。

学会使用回溯法解决实际问题。

掌握分支限界法解决问题的基本思想。

(完整word版)TSP问题的动态规划解法

这是一个典型的组合优化问题。

它有很强的现实意义，可以应用于交通运输，物资调配，旅游线路设置。

对于了解某个国家地理分布也有一定的现实意义。

这个问题的解法有很多种，在这里我们尝试使用最优控制中的动态规划的相关知识来进行求解。

2．TSP问题分析对于这个问题，我们首先想到的是应用穷举法进行解答，但是这个方法时间和空间的复杂度很高。

从表面上看，TSP 问题很简单，其实则不然。

对于N 个城市的TSP,存在的可能路径为（N-1）!/2条，当N较大时，其数量是惊人的。

计算每条路经都需求出N 个距离之和，这样各种路径及其距离之和的计算量正比与N!/2.用搜索法要求就规模大的TSP是不现实的。

3．其他求解TSP 问题的方法*贪心法a. 所谓贪心法，就是在组合算法中，将每一步都取局部最优的求解方法。

b. 下表表示用贪心法求解TSP 的过程。

先将各城市间的距离用行列式形式表示，主对角线上用∞表示。

动态规划讲解大全(含例题及答案)

动态规划算法的应用
一、动态规划的概念
近年来，涉及动态规划的各种竞赛题越来越多，每一年的 NOI 几乎都至少有一道题目需要用动态规划的方法来解决；而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高，已经不再停留于简单的递推和建模上了。
要了解动态规划的概念，首先要知道什么是多阶段决策问题。 1. 多阶段决策问题如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策(采取措施)，一个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线，则称它为多阶段决策问题。各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可以用数量来确定。策略不同，效果也不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策略中间，选取一个最优策略，使在预定的标准下达到最好的效果. 2．动态规划问题中的术语阶段：把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。在多数情况下，阶段变量是离散的，用 k 表示。此外，也有阶段变量是连续的情形。如果过程可以在任何时刻作出决策，且在任意两个不同的时刻之间允许有无穷多个决策时，阶段变量就是连续的。
解决方法：
我们尝试从正面的思路去分析问题，如上例，不难得出一个非常简单的递归过程 : f1:=f(i-1,j+1); f2:=f(i-1,j); if f1>f2 then f:=f1+a[i,j] else f:=f2+a[i,j]; 显而易见，这个算法就是最简单的搜索算法。时间复杂度为 2n，明显是会超时的。分析一下搜索的过程，实际上，很多调用都是不必要的，也就是把产生过的最优状态，又产生了一次。为了避免浪费，很显然，我们存放一个 opt 数组：Opt[i, j] - 每产生一个 f(i, j)，将 f(i, j)的值放入 opt 中，以后再次调用到 f(i, j)的时候，直接从 opt[i, j]来取就可以了。于是动态规划的状态转移方程被直观地表示出来了，这样节省了思维的难度，减少了编程的技巧，而运行时间只是相差常数的复杂度，避免了动态规划状态转移先后的问题，而且在相当多的情况下，递归算法能更好地避免浪费，在比赛中是非常实用的.

动态规划套路详解

动态规划套路详解读完本⽂，你可以去⼒扣拿下如下题⽬：-----------这篇⽂章是我们号半年前⼀篇 200 多赞赏的成名之作「动态规划详解」的进阶版。

由于账号迁移的原因，旧⽂⽆法被搜索到，所以我润⾊了本⽂，并添加了更多⼲货内容，希望本⽂成为解决动态规划的⼀部「指导⽅针」。

动态规划问题（Dynamic Programming）应该是很多读者头疼的，不过这类问题也是最具有技巧性，最有意思的。

本书使⽤了整整⼀个章节专门来写这个算法，动态规划的重要性也可见⼀斑。

刷题刷多了就会发现，算法技巧就那⼏个套路，我们后续的动态规划系列章节，都在使⽤本⽂的解题框架思维，如果你⼼⾥有数，就会轻松很多。

所以本⽂放在第⼀章，来扒⼀扒动态规划的裤⼦，形成⼀套解决这类问题的思维框架，希望能够成为解决动态规划问题的⼀部指导⽅针。

本⽂就来讲解该算法的基本套路框架，下⾯上⼲货。

⾸先，动态规划问题的⼀般形式就是求最值。

动态规划其实是运筹学的⼀种最优化⽅法，只不过在计算机问题上应⽤⽐较多，⽐如说让你求最长递增⼦序列呀，最⼩编辑距离呀等等。

既然是要求最值，核⼼问题是什么呢？求解动态规划的核⼼问题是穷举。

因为要求最值，肯定要把所有可⾏的答案穷举出来，然后在其中找最值呗。

动态规划这么简单，就是穷举就完事了？我看到的动态规划问题都很难啊！⾸先，动态规划的穷举有点特别，因为这类问题存在「重叠⼦问题」，如果暴⼒穷举的话效率会极其低下，所以需要「备忘录」或者「DP table」来优化穷举过程，避免不必要的计算。

⽽且，动态规划问题⼀定会具备「最优⼦结构」，才能通过⼦问题的最值得到原问题的最值。

另外，虽然动态规划的核⼼思想就是穷举求最值，但是问题可以千变万化，穷举所有可⾏解其实并不是⼀件容易的事，只有列出正确的「状态转移⽅程」才能正确地穷举。

以上提到的重叠⼦问题、最优⼦结构、状态转移⽅程就是动态规划三要素。

具体什么意思等会会举例详解，但是在实际的算法问题中，写出状态转移⽅程是最困难的，这也就是为什么很多朋友觉得动态规划问题困难的原因，我来提供我研究出来的⼀个思维框架，辅助你思考状态转移⽅程：明确 base case -> 明确「状态」-> 明确「选择」 -> 定义 dp 数组/函数的含义。

动态规划专题01背包问题详解【转】

动态规划专题01背包问题详解【转】对于动态规划，每个刚接触的⼈都需要⼀段时间来理解，特别是第⼀次接触的时候总是想不通为什么这种⽅法可⾏，这篇⽂章就是为了帮助⼤家理解动态规划，并通过讲解基本的01背包问题来引导读者如何去思考动态规划。

本⽂⼒求通俗易懂，⽆异性，不让读者感到迷惑，引导读者去思考，所以如果你在阅读中发现有不通顺的地⽅，让你产⽣错误理解的地⽅，让你难得读懂的地⽅，请跟贴指出，谢谢！初识动态规划经典的01背包问题是这样的：有⼀个包和n个物品，包的容量为m，每个物品都有各⾃的体积和价值，问当从这n个物品中选择多个物品放在包⾥⽽物品体积总数不超过包的容量m时，能够得到的最⼤价值是多少？[对于每个物品不可以取多次，最多只能取⼀次，之所以叫做01背包，0表⽰不取，1表⽰取]为了⽤⼀种⽣动⼜更形象的⽅式来讲解此题，我把此题⽤另⼀种⽅式来描述，如下：有⼀个国家，所有的国民都⾮常⽼实憨厚，某天他们在⾃⼰的国家发现了⼗座⾦矿，并且这⼗座⾦矿在地图上排成⼀条直线，国王知道这个消息后⾮常⾼兴，他希望能够把这些⾦⼦都挖出来造福国民，⾸先他把这些⾦矿按照在地图上的位置从西⾄东进⾏编号，依次为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，然后他命令他的⼿下去对每⼀座⾦矿进⾏勘测，以便知道挖取每⼀座⾦矿需要多少⼈⼒以及每座⾦矿能够挖出多少⾦⼦，然后动员国民都来挖⾦⼦。

题⽬补充1：挖每⼀座⾦矿需要的⼈数是固定的，多⼀个⼈少⼀个⼈都不⾏。

国王知道每个⾦矿各需要多少⼈⼿，⾦矿i需要的⼈数为peopleNeeded[i]。

题⽬补充2：每⼀座⾦矿所挖出来的⾦⼦数是固定的，当第i座⾦矿有peopleNeeded[i]⼈去挖的话，就⼀定能恰好挖出gold[i]个⾦⼦。

否则⼀个⾦⼦都挖不出来。

题⽬补充3：开采⼀座⾦矿的⼈完成开采⼯作后，他们不会再次去开采其它⾦矿，因此⼀个⼈最多只能使⽤⼀次。

题⽬补充4：国王在全国范围内仅招募到了10000名愿意为了国家去挖⾦⼦的⼈，因此这些⼈可能不够把所有的⾦⼦都挖出来，但是国王希望挖到的⾦⼦越多越好。

骑士游历问题

for(k=0;k<n;k++)
{
p->childptr[k]=(CTree *)malloc(sizeof(CTree));
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<m;j++)
p->childptr[k]->a[i][j]=p->a[i][j];
p->childptr[k]->tag=1;
else
/*上一列下了棋子且该列为第m列*/
for(k=0;k<n;k++)
{
p->childptr[k]=(CTree *)malloc(sizeof(CTree));
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<m;j++)
p->childptr[k]->a[i][j]=p->a[i][j];
p->childptr[k]->tag=1;
p->childptr[k]->a[k][y]=1;
if(k==x-3||k==x+1)
Trial(p->childptr[k],k+1,y+1);
else free(p->childptr[k]);
}
}
}
else if(p->tag==0)
/*上一列没有下棋子*/
☆ 依照分析，建立状态树如下：
棋盘状态树
正确路径
说明：
1. 状态树中每一个结点除了图中表示出的二维表外，还包含n 个指向孩子结点的指针域和一个整型标志变量tag，当树的i层结点的tag为1时，表示该结点在第y1＋i－1列不下棋子，tag为0 时则表示在该列某行下一个棋子。 2.在m－1列时，要继续前进时，只有一种走法，就是在第m列寻找正确路径，不能在m列不下棋子，因此，m层的结点tag必须等于1。 3.如果在某列下了棋子，在下一列可以有两种选择，下棋子和不下棋子，在树中表现为分配n＋1个结点，其中一个为不下棋子即tag＝0，其它n个表示分别在下列不同的行放入棋子；如果在该列不下棋子，则下一行必须下棋子，否则会遗漏可能路径，即有n个孩子，且孩子的tag均为1。