2009年 福建省高考数学试卷(理科)
2009年高考福建省数学(理)试题答案
26、（14分）由Fe2O3、Fe、CuO、C、Al中的几种物质组成的混合粉末，取样品进行下列实验（部分产物略去）：（1）取少量溶液X，加入过量的NaOH溶液，有沉淀生成。
取上层清液，通入CO2，无明显、变化，说明样品中不含有的物质是（填写名称）______________。
（2）Z为一种或两种气体：①若Z只为一种气体，试剂a为饱和NaHCO3溶液，则反应I中能同时生成两种气体的化学方程式是_____________；检验该反应还原产物的实验方法是。
②若Z为两种气体的混合物，试剂a为适量水，则Z中两种气体的化学式是_________________。
（3）向Y中通入过量氯气，并不断搅拌，充分反应后，溶液中的阳离子是（填写离子符号）___________________________。
（4）取Y中的溶液，调pH约为7，加入淀粉KI溶液和H2O2，溶液呈蓝色并有红褐色沉淀生成。
当消耗2 mol I-时，共转移3 mol电子，该反应的离子方程式是_________________________。
（5）另取原样品，加入足量稀硫酸充分反应。
若溶液中一定不会产生Y中的红色固体，则原样品中所有可能存在的物质组合是（各组合中的物质用化学式表示）____________________________________。
27．（15分）（1）工业上冶炼铜的方法之一为：Cu2S（s）+2Cu2O（s）=6Cu（s）+SO2（g）△H=a已知：①2Cu（s）+1／2O2（s）=Cu2O（s）△H1=-12kJ•mol-1②2Cu（s）＋S（s）=Cu2S（s）△H2=-79.5kJ•mol-1③S（s）+O2（g）=SO2（g）△H3=-296.8kJ•mol-1 则a＝。
(2)将不同量的CO2（g）和H2（g）分别通入到体积为2L的恒容密闭容器中,进行反应2CO2（g）+6H2（g）CH3CH2OH（g）+3H2O（g）．得到如下三组数据：实验组温度℃起始量/mol 平衡量/mol 达到平衡所需时间/minCO2 H2 H2 C2H5OH1 6502 6．8 2．0 0．8 62 900 2 4．4 2．0 0．4 33 9004 8．8 c d t①实验1中以v （H2）表示的反应速率为。
2009年高考福建省数学(理)试题答案
大铁椎传学习目标：1、掌握本课生字词如“省兄”、“健啖”、“囱户”、“言讫”、“屏息”等；2、对照注释，掌握重点词语的意思，翻译句子，疏通文意；3、把握课文主要内容，分析人物形象。
学习重点：1、掌握文言词句；2、分析人物形象。
学习难点：课文中一词多义现象学习方法：读、译、析、评相结合课时安排：三课时。
学习过程：第一课时学习重点：掌握本课生字词，掌握课文重点词语的意思，翻译句子，疏通文意。
一、预习、导学1、了解作者及文体。
魏禧：字叔子，又字冰叔，号裕斋，又号勺庭，清代散文家。
文体：人物传记2、学生掌握生字省．兄健啖．拱揖．囱．户言讫．强．留屏．息鼾．睡与偕．行贼二十余骑．慎弗．声骑．马挟．矢扣．问觱篥．．辄．你认为还有哪些字音字形需要提醒大家，写在下面。
3、学生朗读课文，借助课下注释翻译本文，并指出理解有困难的句子。
（整体感知课文）二、合作探究（38分钟）1、教师范读课文，学生注意听清字音及朗读节奏；教师读后学生朗读课文。
2、在小组内采用你问我答的形式解释重点词语。
3、教师指导学生理解有困难的词。
4、教师指导学生交流探讨，归纳总结古汉语现象。
（1）、指出下列加点词语在不同语境中的意思——一词多义现象。
寝貌甚寝（形容词，丑陋。
）既同寝（动词，睡眠。
）不只一个，还有呢！快去找吧！记得按上面的格式整理啊！（2）、这一课出现了几个通假字，它们是谁？你发现了吗？写下来吧！[注意通假字的解释的步骤]（3）、指出下列句中加点词语的古今义——古今异义①故尝与过宋将军②子灿见囱户皆闭5、翻译句子。
（1）、结合预习学生提出译句中不会解释的句子，先在小组内讨论，小组内也不能解决的写在黑板上集体讨论。
（2）、指名五位同学逐段翻译课文，有问题的加以指正。
6、识记这节课所学知识。
三、当堂练习（7分钟）1、给划线的字注音椎省兄鼾睡健啖拱揖言讫屏息囱户强留寝觱篥仆股栗辄击杀之2、解释下列每组句中加点词语的意思。
⑴、故尝与过宋将军。
2009年全国高考福建省理科综合试题答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科综合试题及答案(福建卷)相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Mg 24 Zn 65第Ⅰ卷(选择题共108分)本题共18小题，每小题6分，共108分.一、选择题(本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.)1.下列对有关实验的叙述，正确的是A.在观察洋葱细胞有丝分裂实验中，将已经解离、漂洗、染色的根尖置于载玻片上，轻轻盖上盖玻片后即可镜检B.对酵母菌计数时，用吸管吸取培养液滴满血球计数板的计数室及其四周边缘，轻轻盖上盖玻片后即可镜检C.在叶绿体色素提取实验中，研磨绿叶时应加一些有机溶剂，如无水乙醇等D.检测试管中的梨汁是否有葡萄糖，可加入适量斐林试剂后，摇匀并观察颜色变化2.下列有关生态系统稳定性的叙述，不正确的是A.生态系统具有自我调节能力，这是生态系统稳定性的基础B.生态系统内部结构与功能的协调，可以提高生态系统稳定性C.生物多样性对维持生态系统稳定性具有重要作用，体现了其间接价值D.生态系统中的组成成分越多，食物网越复杂，生态系统恢复力稳定性就越强3.细胞的有丝分裂和减数分裂都可能产生可遗传的变异，其中仅发生在减数分裂过程的变异是A.染色体不分离或不能移向两极，导致染色体数目变异B.非同源染色体自由组合，导致基因重组C.染色体复制时受诱变因素影响，导致基因突变D.非同源染色体某片段移接，导致染色体结构变异4.下列关于组成细胞化合物的叙述，不正确的是A.蛋白质肽链的盘曲和折叠被解开时，其特定功能并未发生改变B.RNA与DNA的分子结构相似，由四种核苷酸组成，可以储存遗传信息C.DNA分子碱基的特定排列顺序，构成了DNA分子的特异性D.胆固醇是构成细胞膜的重要成分，在人体内参与血液中脂质的运输5.某研究小组探究避光条件下生长素浓度对燕麦胚芽鞘生长的影响.胚芽鞘去顶静置一段时间后，将含有不同浓度生长素的琼脂块分别放置在不同的去顶胚芽鞘一侧，一段时间后测量并记录弯曲度(α).左下图为实验示意图.右下图曲线中能正确表示实验结果的是A.aB.bC.cD.d6.下列类型的反应，一定发生电子转移的是A.化合反应B.分解反应C.置换反应D.复分解反应7.能实现下列物质间直接转化的元素是A.硅B.硫C.铜D.铁8.设N A为阿伏伽德罗常数，下列叙述正确的是A.24g镁的原子量最外层电子数为N AB.1L0.1mol·L-1乙酸溶液中H+数为0.1N AC.1mol甲烷分子所含质子数为10N AD.标准状况下，22.4L乙醇的分子数为N A9.下列关于常见有机物的说法不正确的是A.乙烯和苯都能与溴水反应B.乙酸和油脂都能与氢氧化钠溶液反应C.糖类和蛋白质都是人体重要的营养物质D.乙烯和甲烷可用酸性高锰酸钾溶液鉴别10.在一定条件下，Na2CO3溶液存在水解平衡：.下列说法正确的是A.稀释溶液，水解平衡常数增大B.通入CO2，平衡朝正反应方向移动C.升高温度，减小D.加入NaOH固体，溶液PH减小11.控制适合的条件，将反应设计成如右图所示的原电池.下列判断不正确的是A.反应开始时，乙中石墨电极上发生氧化反应B.反应开始时，甲中石墨电极上Fe3+被还原C.电流计读数为零时，反应达到化学平衡状态D.电流计读数为零后，在甲中溶入FeCl2固定，乙中石墨电极为负极12.某探究小组利用丙酮的溴代反应()来研究反应物浓度与反应速率的关系.反应速率v(Br2)通过测定溴的颜色消失所需的时间来确定.在一定温度下，获得如下实验数据：分析实验数据所得出的结论不正确的是A.增大c(CH3COCH3)，v(Br2)增大B.实验②和③的v(Br2)相等C.增大c(HCl)，v(Br2)增大D.增大c(Br2)，v(Br2)增大二、选择题(本题共6小题.在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部都选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.)13.光在科学技术、生产和生活中有着广泛的应用，下列说法正确的是A.用透明的标准平面样板检查光学平面的平整程度是利用光的偏振现象B.用三棱镜观察白光看到的彩色图样是利用光的衍射现象C.在光导纤维束内传送图像是利用光的色散现象D.光学镜头上的增透膜是利用光的干涉现象14.“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时A.r、v都将略为减小B.r、v都将保持不变C.r将略为减小，v将略为增大D.r将略为增大，v将略为减小15.如图所示，平行板电容器与电动势为E的直流电源 (内阻不计)连接，下极板接地.一带电油滴位于容器中的P点且恰好处于平衡状态.现将平行板电容器的上极板竖直向上移动一小段距离A.带点油滴将沿竖直方向向上运动B.P点的电势将降低C.带点油滴的电势将减少D.若电容器的电容减小，则极板带电量将增大16.一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律图象如图甲所示.已知发电机线圈内阻为5.0Ω，则外接一只电阻为95.0Ω的灯泡，如图乙所示，则A.电压表的示数为220vB.电路中的电流方向每秒钟改变50次C.灯泡实际消耗的功率为484wD.发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为24.2J17.图甲为一列简谐横波在t=0.10s时刻的波形图，P是平衡位置为x=1 m处的质点，Q 是平衡位置为x=4 m处的质点，图乙为质点Q的振动图象，则A.t=0.15s时，质点Q的加速度达到正向最大B.t=0.15s时，质点P的运动方向沿y轴负方向C.从t=0.10s到t=0.25s，该波沿x轴正方向传播了6mD.从t=0.10s到t=0.25s，质点P通过的路程为30cm18.如图所示，固定位置在同一水平面内的两根平行长直金属导轨的间距为d，其右端接有阻值为R的电阻，整个装置处在竖直向上磁感应强度大小为B的匀强磁场中.一质量为m(质量分布均匀)的导体杆ab垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触，杆与导轨之间的动摩擦因数为u.现杆在水平向左、垂直于杆的恒力F作用下从静止开始沿导轨运动距离L时，速度恰好达到最大(运动过程中杆始终与导轨保持垂直).设杆接入电路的电阻为r，导轨电阻不计，重力加速度大小为g.则此过程A.杆的速度最大值为B.流过电阻R的电量为C.恒力F做的功与摩擦力做的功之和等于杆动能的变化量D.恒力F做的功与安倍力做的功之和大于杆动能的变化量第Ⅱ卷(非选择题共192分)必考部分第Ⅱ卷必考部分共9题，共157分.19.(18分)(1)(6分)在通用技术课上，某小组在组装潜艇模型时，需要一枚截面为外方内圆的小螺母，如图所示.现需要精确测量小螺母的内径，可选用的仪器有：A.50等分的游标卡尺B.螺旋测微器①在所提供的仪器中应选用____.②在测量过程中，某同学在小螺母中空部分360°范围内选取不同的位置进行多次测量取平均值的目的是____.(2)(12分)某研究性学习小组为了制作一种传感器，需要选用一电器元件.图为该电器元件的伏安特性曲线，有同学对其提出质疑，先需进一步验证该伏安特性曲线，实验室备有下列器材：①为提高实验结果的准确程度，电流表应选用____；电压表应选用____；滑动变阻器应选用____.(以上均填器材代号)②为达到上述目的，请在虚线框内画出正确的实验电路原理图，并标明所用器材的代号.③若发现实验测得的伏安特性曲线与图中曲线基本吻合，请说明该伏安特性曲线与小电珠的伏安特性曲线有何异同点？相同点：____________________，不同点：____________________.20.(15分)如图所示，射击枪水平放置，射击枪与目标靶中心位于离地面足够高的同一水平线上，枪口与目标靶之间的距离s=100 m，子弹射出的水平速度v=200m/s，子弹从枪口射出的瞬间目标靶由静止开始释放，不计空气阻力，取重力加速度g为10 m/s2，求：(1)从子弹由枪口射出开始计时，经多长时间子弹击中目标靶？(2)目标靶由静止开始释放到被子弹击中，下落的距离h为多少？21.(19分)如图甲，在水平地面上固定一倾角为θ的光滑绝缘斜面，斜面处于电场强度大小为E、方向沿斜面向下的匀强电场中.一劲度系数为k的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于自然状态.一质量为m、带电量为q(q>0)的滑块从距离弹簧上端为s0处静止释放，滑块在运动过程中电量保持不变，设滑块与弹簧接触过程没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g.(1)求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间t1(2)若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为v m，求滑块从静止释放到速度大小为v m过程中弹簧的弹力所做的功W；(3)从滑块静止释放瞬间开始计时，请在乙图中画出滑块在沿斜面向下运动的整个过程中速度与时间关系v-t图象.图中横坐标轴上的t1、t2及t3分别表示滑块第一次与弹簧上端接触、第一次速度达到最大值及第一次速度减为零的时刻，纵坐标轴上的v1为滑块在t1时刻的速度大小，v m是题中所指的物理量.(本小题不要求写出计算过程)22.(20分)图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力.(1)求上述粒子的比荷；(2)如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；(3)为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形.23.(15分)短周期元素Q、R、T、W在元素周期表中的位置如右图所示，期中T所处的周期序数与主族序数相等，请回答下列问题：(1)T的原子结构示意图为_______.(2)元素的非金属性为(原子的得电子能力)：Q______W(填“强于”或“弱于”).(3)W的单质与其最高价氧化物的水化物浓溶液共热能发生反应，生成两种物质，其中一种是气体，反应的化学方程式为_____.(4)原子序数比R多1的元素是一种氢化物能分解为它的另一种氢化物，此分解反应的化学方程式是__________.(5)R有多种氧化物，其中甲的相对分子质量最小.在一定条件下，2L的甲气体与0.5L 的氯气相混合，若该混合气体被足量的NaOH溶液完全吸收后没有气体残留，所生成的R的含氧酸盐的化学式是__________.(6)在298K下，Q、T的单质各1mol完全燃烧，分别放出热量aKJ和bKJ.又知一定条件下，T的单质能将Q从它的最高价氧化物中置换出来，若此置换反应生成3molQ的单质，则该反应在298K下的△H=________(注：题中所设单质均为最稳定单质)24.(13分)从铝土矿(主要成分是Al2O3，含SiO2、Fe2O3、MgO等杂质)中提取两种工艺品的流程如下：请回答下列问题：(1)流程甲加入盐酸后生成Al3+的方程式为_________.(2)流程乙加入烧碱后生成SiO32-的离子方程式为________.(3)验证滤液B含Fe3+，可取少量滤液并加入________(填试剂名称).(4)滤液E、K中溶质的主要成份是________(填化学式)，写出该溶液的一种用途________(5)已知298K时，Mg(OH)2的容度积常数K SP=5.6×10-12,取适量的滤液B,加入一定量的烧碱达到沉淀溶液平衡，测得PH=13.00，则此温度下残留在溶液中的c(Mg2+)=_______.25.(17分)某研究性小组借助A-D的仪器装置完成有关实验【实验一】收集NO气体.用装置A收集NO气体，正确的操作上____(填序号).a.从①口进气，用排水法集气b.从①口进气，用排气法集气c.从②口进气，用排水法集气d..从②口进气，用排气法集气【实验二】为了探究镀锌薄铁板上的锌的质量分数ωZn和镀层厚度，查询得知锌易溶于碱：Zn+2NaOH=Na2ZnO3+H2↑据此，截取面积为S的双面镀锌薄铁板试样，剪碎、称得质量为m1 g.用固体烧碱和水作试剂，拟出下列实验方案并进行相关实验.方案甲：通过测量试样与碱反应生成的氢气体积来实现探究木目标.(2)选用B和____(填仪器标号)两个装置进行实验.(3)测得充分反应后生成氢气的体积为VL(标准状况)，ωZ(n)=____.(4)计算镀层厚度，还需要检索的一个物理量是____.(5)若装置B中的恒压分液漏斗改为普通分液漏斗，测量结果将____(填“偏大”、“偏小”或“无影响”).方案乙：通过称量试样与碱反应前后的质量实现探究目标.选用仪器C做实验，试样经充分反应，滤出不溶物、洗涤、烘干，称得其质量为m2g.(6)ωZ(n)=____.方案丙：通过称量试样与碱反应前后仪器、试样和试剂的总质量(其差值即为H2的质量)实现探究目标.实验同样使用仪器C.(7)从实验误差角度分析，方案丙____方案乙(填“优于”、“劣于”或“等同于”).26.(25分)回答下列Ⅰ、Ⅱ题Ⅰ.右图表示的是测定保湿桶内温度变化实验装置.某研究小组以该装置探究酵母菌在不同条件下呼吸作用的情况.材料用具：保温桶(500mL)、温度计活性干酵母、质量浓度0.1g/mL的葡萄糖溶液、棉花、石蜡油.实验假设：酵母菌在有氧条件下呼吸作用比无氧条件下呼吸作用放出热量更多.(1)取A、B两装置设计实验如下，请补充下表中内容：(2)B装置葡萄糖溶液煮沸的主要目的是____，这是控制实验的____变量.(3)要测定B装置因呼吸作用引起的温度变化量，还需要增加一个装置C.请写出装置C 的实验步骤：(4)实验预期：在适宜条件下实验，30分钟后记录实验结果，若装置A、B、C温度大小关系是：____(用“＜、=、＞”表示)，则假设成立.Ⅱ.人体体温能够保持相对恒定，是由于产热量和散热量保持动态平衡的结果.请回答：(1)当身体的冷觉感受器受到寒冷刺激时，产生的兴奋由____传至下丘脑体温调节中枢，可引起____分泌增多，该激素作用于全身细胞，提高细胞代谢的速度，增加产热量；在38℃的高温环境中，人体主要通过____方式散热.(2)当体内有炎症时会出现发热现象，这有利于吞噬细胞和抗菌物质等转移炎症区，抵御病原体的攻击，此过程属于____免疫.人体注射乙型流感疫苗后，通过体液免疫和细胞免疫，产生的相应____不能识别并作用于侵入机体的甲型H1N1流感病毒.27.(15分)某种牧草体内形成氰的途径为：前体物质→产氰糖苷→氰 .基因A控制前体物质生成产氰糖苷，基因B控制产氰糖苷生成氰.表现型与基因型之间的对应关系如下表：(1)在有氰牧草(AABB)后代中出现的突变那个体(AAbb)因缺乏相应的酶而表现无氰性状，如果基因b与B的转录产物之间只有一个密码子的碱基序列不同，则翻译至mRNA的该点时发生的变化可能是：编码的氨基酸____，或者是____.(2)与氰形成有关的二对基因自由组合.若两个无氰的亲本杂交，F1均表现为氰，则F1与基因型为aabb的个体杂交，子代的表现型及比例为____.(3)高茎与矮茎分别由基因E、e控制.亲本甲(AABBEE)和亲本乙(aabbee)杂交，F1均表现为氰、高茎.假设三对等位基因自由组合，则F2中能稳定遗传的无氰、高茎个体占____.(4)以有氰、高茎与无氰、矮茎两个能稳定遗传的牧草为亲本，通过杂交育种，可能无法获得既无氰也无产氰糖苷的高茎牧草.请以遗传图解简要说明.选考部分第II卷选考部分共5题，共35分.其中第28、29题为物理题，第30、31题为化学题，考生从两道物理题、两道化学题中各任选一题作答，若第28题、29题都作答，则按第28题计分，若第30、31题都作答，则按第30题计分，第32题为生物题，是必答题.请将答案都填写在答题卡选答区域的指定位置上.28.[物理——选修3-3](本题共有两小题，每小题6分，共12分.每小题只有一个选项符合题意.)(1)现代科学技术的发展与材料科学、能源的开发密切相关，下列关于材料、能源的说法正确的是____.(填选项前的编号)①化石能源为清洁能源②纳米材料的粒度在1-100μm之间③半导体材料的导电性能介于金属导体和绝缘体之间④液晶既有液体的流动性，又有光学性质的各向同性(2)一定质量的理想气体在某一过程中，外界对气体做功7.0×104J,气体内能减少1.3×105J，则此过程____.(填选项前的编号)①气体从外界吸收热量2.0×105J②气体向外界放出热量2.0×105J③气体从外界吸收热量2.0×104J ④气体向外界放出热量6.0×104J29.[物理——选修3-5](本题共有两个小题，每小题6分，共12分.每小题只有一个选项符合题意.)(1)随着现代科学的发展，大量的科学发展促进了人们对原子、原子核的认识，下列有关原子、原子核的叙述正确的是____.(填选项前的编号)①卢瑟福α粒子散射实验说明原子核内部具有复杂的结构②天然放射现象标明原子核内部有电子③轻核骤变反应方程有：④氢原子从n=3能级跃迁到n=1能级和从n=2能级跃迁到n=1能级，前者跃迁辐射出的光子波长比后者的长(2)一炮艇总质量为M，以速度v0匀速行驶，从船上以相对海岸的水平速度v沿前进方向射出一质量为m的炮弹，发射炮弹后艇的速度为v′，若不计水的阻力，则下列各关系式中正确的是.(填选项前的编号)①Mv0=(M-m)v′+mv ②Mv0=(M-m)v′+m(v+v0)③Mv0=(M-m)v′+m(v+v′) ④Mv0=Mv′+mv30.[化学——物质结构与性质](13分)Q、R、X、Y、Z五种元素的原子序数依次递增.已知：①Z的原子序数为29，其余的均为短周期主族元素；②Y原子价电子(外围电子)排布ms n mp n③R原子核外L层电子数为奇数；④Q、X原子p轨道的电子数分别为2和4.请回答下列问题：(1)Z2+ 的核外电子排布式是____.(2)在[Z(NH3)4]2+离子中，Z2+的空间轨道受NH3分子提供的形成配位键.(3)Q与Y形成的最简单气态氢化物分别为甲、乙，下列判断正确的是____.a.稳定性：甲＞乙，沸点：甲＞乙b.稳定性：甲＞乙，沸点：甲＞乙c.稳定性：甲＜乙，沸点：甲＜乙d.稳定性：甲＜乙，沸点：甲＞乙(4)Q、R、Y三种元素的第一电离能数值由小到大的顺序为____(用元素符号作答)(5)Q的一种氢化物相对分子质量为26，其中分子中的σ键与π键的键数之比为____.(6)五种元素中，电负性最大与最小的两种非金属元素形成的晶体属于____.31.[化学——有机化学基础](13分)有机物A是最常用的食用油氧化剂，分子式为C10H12O5，可发生如下转化：已知B的相对分子质量为60，分子中只含一个甲基.C的结构可表示为：请回答下列问题：(1)根据系统命名法，B的名称为____.(2)官能团-X的名称为____，高聚物E的链节为____.(3)A的结构简式为____.(4)反应⑤的化学方程式为____.(5)C有多种同分异构体，写出期中2种符合下列要求的同分异构体的结构简式____.i.含有苯环 ii.能发生银镜反应 iii.不能发生水解反应(6)从分子结构上看，A具有抗氧化作用的主要原因是____(填序号).a.含有苯环b.含有羰基c.含有酚羟基32.(10分)转基因抗病香蕉的培育过程如图所示.质粒上有PstⅠ、SmaⅠ、EcoRⅠ、ApaⅠ等四种限制酶切割位点.请回答：(1)构建含抗病基因的表达载体A时，应选用限制酶____，对____进行切割.(2)培养板中的卡那霉素会抑制香蕉愈伤组织细胞的生长，欲利用该培养筛选已导入抗病基因的香蕉细胞，应使基因表达载体A中含有____，作为标记基因.(3)香蕉组织细胞具有，因此，可以利用组织培养技术将导入抗病基因的香蕉组织细胞培育成植株.图中、依次表示组织培养过程中香蕉组织细胞的____.理科综合能力测试试题参考答案第Ⅰ卷，共18小题，每小题6分，共108分.一、选择题1.C2.D3.B4.A5.B6.C7.B8.C9.A 10.B 11.D 12.D二、选择题13.D 14.C 15.B 16.D 17.AB 18.BD第Ⅱ卷必考部分共9题，共157分.19.(18分)(1①)A ②较小实验的偶然误差(2)①A2 V1 R1②如图③相同点：通过该元件的电流与电压的变化关系和通过小电珠的电流与电压的变化关系都是非线性关系而减小，而笑电珠的电阻值随电压的升高而增大.20.(15分)(1)子弹做平抛运动，它在水平方向的分运动是匀速直线运动，设子弹经t时间集中目标靶，则t=代入数据得t=0.5s(2)目标靶做自由落体运动，则代入数据得 h=1.25m21.(19分)(1)滑块从静止释放到与弹簧刚接触的过程中作初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为a，则有qE+mgsinθ=ma联立可得(2)滑块速度最大时受力平衡，设此时弹簧压缩量为x0，则有mgsinθ+qE=kx0从静止释放到速度达到最大的过程中，由动能定理得联立可得s(3)如图22.(20分)(1)设粒子在磁场中的运动半径为r.如图甲，依题意M、P连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径，由几何关系得①由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得②联立①②并代入数据得③(2)设所加电场的场强大小为E.如图乙，当例子经过Q点时，速度沿y轴正方向，依题意，在此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有qE=qvB ④代入数据得E=70N/C ⑤所加电场的长枪方向沿x轴正方向.由几何关系可知，圆弧PQ所对应的圆心角为45°，设带点粒子做匀速圆周运动的周期为T，所求时间为t，则有⑥⑦联立并代入数据得t=7.9×10-6s ⑧(3)如图丙，所求的最小矩形是MM1P1P，该区域面积S=2r2⑨联立并代入数据得S=0.25m2矩形如图丙中MM1P1P(虚线)23.(15分)(1) (2)弱于(3)S(4)(或其他合理答案)(5)NaxO2(6)(3a-4b)kJ·mol-124.(13分)(1)Al2O3+6H+=2AJ3-+3H2O(2)(3)硫氰化钾(或硫氖酸钾、苯酚溶液等合理答案)(4)NaHCO3制纯碱或做发酵粉等合理答案(5)5.6×10-10mol·l-125.(17分)(1)C(2)D(3)(或等其他合理答案)(4)金腐锌的密度(或其他合理答案)(5)偏大(6)(或其他合理答案)(7)劣于26.(25分)I.(1)①不加入石蜡油②加入10g活性干酵母(2)去除氧气自(3)③加入240ml煮沸后冷却的葡萄糖溶液④不加入活性干酵母(4)A＞B＞CII.(1)传入神经甲状腺激素(或肾上腺素) 干液蒸发(2)非特异性抗体和效应T细胞27.(15分)(1)(种类)不同合成终止(或翻译终止)(2)有氰：无氰=1：3(或有氰：有产氰糖苷、无氰：无产氰糖苷：无氰=1：1：2)(3)3/64(4)第II卷选考部分共5题，共35分.其中第28、29题为物理题，第30、31题为化学题.考生从两道物理题、两道化学题中各任选一题作答，若第28、29题都作答，则按第28题计分，若第30、31题都作答，则按第30题计分，第32题为生物题，是必答题.28.(12分)(1)③(2)②29.(12分)(1)③(2)①30.(13分)(1)1s22s22P43s2P43d4(2)孤对电子(孤电子对) (3)b (4)Si＜C＜N (5)3：2 (6)原子晶体31.(13分)(1)1-丙醇(2)羧基：(3)(4)(5)(6)e32.(10分)(1)P5E I、EooR I 含抗病基因的DNA、质粒(2)抗卡那霉素基因(3)全能性脱分化、再分化。
2009年全国高考理科数学试题及答案-全国1
（D） 6
解：设切点 P ( x0 , y0 ) ，则切线的斜率为 y
|x x0 2 x0 .由题意有
y0 2 x0 又 y0 x0 2 1 x0
解得: x0 1,
2
b b 2, e 1 ( ) 2 5 . a a
(5) 甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中 各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( （A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 (D)345 种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 C5 C3 C6 225 种选法
o
，动点 P、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为 3 ，
Q 到α的距离为 2 3 ，则 P、Q 两点之间距离的最小值为 （ C ） (A) (B)2 (C) 2 3
Q
(D)4
解:如图分别作 QA 于A, AC l于C , PB 于B,
B C A
PD l于D ，连 CQ, BD则ACQ PBD 60, AQ 2 3, BP 3 ， AC PD 2
。
解:在 ABC 中 AB AC 2 , BAC 120 ,可得 BC 2 3 ,由正弦定理,可得 ABC
外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O ，球心为 O ，在 RT OBO 中，易得球半径 R 故此球的表面积为 4 R 20 .
2
5，
16. 若
4
x
4 ，0 中心对称 3
2
4 13 k k (k Z ) 由此易得 | |min .故选 A 6 3 2 6
高考福建数学(理科)试题及详细答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试·福建数学卷评价报告一、试卷评价（一）总体评价“2009年普通高等学校招生全国统一考试·福建数学卷”的命题坚持以《普通高中数学课程标准（实验）》、《2009年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》、《福建省普通高中新课程教学要求（数学）》为指导，以《2009年普通高等学校招生全国统一考试·福建省数学考试说明》（以下简称为《考试说明》）为依据，结合福建省普通高中课标课程的教学实际，试卷在结构、题型及其赋分比例等方面均与《考试说明》保持一致。
命题本着“平稳过渡、适度创新”的原则，较好地处理课标课程新增内容及创新性试题的占分比例，适度地体现了课标课程的理念，关注对“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的考查。
命题立足学科本质，坚持从学科的整体意义上选材立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，在充分考查数学基础知识、基本技能和基本思想方法的前提下，突出考查考生的数学能力和数学素养，着力回避“旧题、成题”，遏制“题海战术”蔓延，较好地发挥了高考“有利于中学实施素质教育”的导向功能，实现“让改革者受益”的诺言。
命题关注高考的目的与性质，关注试题选材的合理性，试题背景公平，大多数试题设问科学；问题设置坚持能力立意，以知识为载体，多层次、多角度地考查各种能力，注意发挥开放性、探索性试题的评价功能，凸显对数学本质的考查，倡导“多想少算”；不同专题的选考题，难度基本等值。
命题充分关注试卷的信度、效度和区分度，较好地实现了“有利于高校科学公正地选拔人才”的目的。
实测表明，文、理科平均分分别为82.09 分和88.03分，难度系数分别为0.55和0.59.（二）试卷特点1．立足基础，突出主干试卷突出高中数学课程中最基础、最核心的内容，充分关注考生在学习数学和应用数学解决问题的过程中最为基础、必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能，重点考查中学数学的核心内容和基本能力，较为全面地考查了高中数学的主干知识。
2009年高考数学试卷(福建卷)评析
命 题关注高考 的 目的和性质 ，关注试题 选材 的合理性 ，试 同时 ，命题坚 持从 学科 整体意 义的高度 考虑 问题 ，许多试题都 题 背 景 公 平 ， 大 多 数 试 题 设 问 科 学 ； 问 题 设 置 坚 持 能 力 立 意 ， 强 调知识 间的交叉 、渗 透和综合 ， 币 检删考 生是否具备一个
文 标准 （ 实验） 以下 简称 《 准》 、（０ ９年普通高 等学校招生 学 的 主 干知 识 ． 科 卷 的 ６道 解 答 题 分 别 取 材 于数 列 、统计 与 概 》（ 标 ） （ ０ ２
全国统一考试大纲 （ 课程标准实验 版） 》、《 建省普通高 中新课 率 、三 角 函数 、空 间几何 、函数 与导 数 、直线 与圆锥 曲线 等 ， 福
目的 ．
（） ３ 适度创新 ，关注过程．
创 新 性 问题 是 考 查 考 生 自主 地 灵 活 应 用 相 关 知识 分 析 问题
试 卷突 出高中数学 课程 中最 基础 、最 核心 的 内容 ，充分关 和解决 问题 的思维过程 的最好素材 ． 试卷配置了适量的 、没有现
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程教学要求 （ 数学） 为指导 ，以 （０ ９年普通高等学校招生全 理 科 卷 必 考 部 分 的 ５道 解 答 题 分 别 取 材 于 统 计 与 概 率 、空 间 几 》 （０ ２ 国统一 考试 ・ 福建 省数学考试说 明》 （ 以下 简称 《 试说 明》 为 何 、三角 函数 、直线 与圆锥 曲线 、函数 与导数等 ，主干知识 在 考 ） 依据 ，结 合福 建省普 通高 中新课 程 的教学 实 际 ，试 卷在 结构 、 文科 卷 中 的 占分 比例 约为 ８ ％，在理 科 卷 中 的 占分 比例 约 为 ８ 题型及其赋分 比例等方面均与 《 考试说 明》 保持一致． 命 题本着 “ 平稳过 渡 、适度 创新 ”的原则 ，较好地处 理新
2009年高考试题(全国新课标)数学(理科)试卷及答案
（新课标）2009年高考理科数学试题一、选择题（1）已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则N A C B =I （ ）(A) }{1,5,7 (B) }{3,5,7 (C) }{1,3,9 (D) }{1,2,3 (2) 复数32322323i ii i+--=-+（ ） （A ）0 （B ）2 （C ）-2i (D)2（3）对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关（4）双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（ ）（A）（B ）2 （C（D ）1 （5）有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ∀x ∈[]0,π4p : sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是（ ）（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，4p（6）设x,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则（ ）（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值（7）等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。
若1a =1，则4s =（ ） （A ）7 （B ）8 （3）15 （4）16（8） 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（ ） （A ）AC BE ⊥ （B ）//EF ABCD 平面（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值 （D ）异面直线,AE BF 所成的角为定值（9）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且P A P B P B P C P C P A ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（ ）（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心 （C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于（ ） （A ）3 （B ） 3.5 （C ） 4 （D ）4.5（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）（12）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值，设f （x ）=min{2x, x+2,10-x} (x ≥ 0), 则f （x ）的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 二、填空题（13）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。
2009年福建省理科数学高考答案
2009年福建省理科数学高考答案参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分． 1．D ． 2．C ． 3．D ． 4．A ． 5．A ． 6．B ． 7．D ． 8．A ． 9．B ． 10．C ．二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．11． 12．31． 13．2ln 2． 14．2n n 62-+．15．O 为平面ABC 外一点,则点P 在平面ABC 上的充要条件是: 存在实数x,y,z 满足OP x OA y OB z OC=⋅+⋅+⋅，且x y z 1++=”． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．本题主要考查闭区间上二次函数的最值，三角函数的性质，二倍角公式，配方法，换元法等基础知识，考查运算求解能力及分类与整合思想.满分13分． 解：（Ⅰ）当m 0=时，f (x)cos 2x =-，令2k 2x 2k π≤≤π+π(k Z)∈，得k x k 2ππ≤≤π+(k Z)∈．因此f (x)cos 2x =-的单调递增区间为[k ,k ]2πππ+(k Z)∈．（Ⅱ）2f (x)4msin x cos2x 2sin x 4msin x 1=-=+-222(sin x m)(2m 1)=+-+令t sin x =，则22g(t)2(t m)(2m 1) (1t 1)=+-+-≤≤. ①若m 0-≤，则在t 1=时，g(t)取最大值14m +. 由14m 3,m 0,+=⎧⎨-≤⎩得1m 2=；②若m 0->，则在t 1=-时，g(t)取最大值14m -.由14m 3,m 0,-=⎧⎨->⎩得1m 2=-．综上,1m .2=±17. 本题主要考查概率与统计的基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，以及应用意识．满分13分． 解法一：(Ⅰ)甲运动员击中10环的概率是：1一0.1—0.1—0.45=0.35.设事件A 表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)”， 则P(A)=0.35+0.45=0.8.事件“甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上”包含三种情况： 恰有1次击中9环以上，概率为p 1=C 13·0.81·(1-0.8)2=0.096； 恰有2次击中9环以上，概率为p 2=C 23·0.82·(1-0.8)1=0.384；恰有3次击中9环以上，概率为p 3=C 33·0.83·(1-0.8)0=0.512． 因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率 p= p 1+ p 2+ p 3=0.992． (Ⅱ)记“乙运动员射击1次，击中9环以上”为事件B ， 则P(B)=1—0.1—0.15=0.75．因为ξ表示2次射击击中9环以上的次数，所以ξ的可能取值是0，1，2. 因为P(ξ=2)=0.8·0.75=0.6；P(ξ=1)=0.8·(1-0.75)+(1-0.8)·0.75=0.35； P(ξ=0)=(1-0.8)·(1-0.75)=0.05． 所以ξ的分布列是解法二： (Ⅰ)设事件A 表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上”(含9环，下同)， 则P(A)=１－0.1－0.1=0.8．甲运动员射击3次，均未击中9环以上的概率为P 0=C 03·0.80·(1-0.8)3=0.008．所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率P=1-P 0=0.992． (Ⅱ)同解法一．18. 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想像能力、推理论证能力和探索问题、解决问题的能力．满分13分．解法一：如图分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，由已知得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、 C(0，2，0)、B 1(2，2，2)、D 1(0，0，2)、 E(1，0，2 )、F(0，2，1)． (Ⅰ)取AD 1中点G ，则G （1，0，1），CG -→=（1，-2，1），又EF -→=（-1，2，-1），由EF -→=CG -→-，∴EF -→与CG -→共线．从而ＥＦ∥ＣＧ，∵CG⊂平面ACD 1，EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1.(Ⅱ) ∵AB=(0,2，0)，cos<EF ,AB>=EF AB |EF ||AB |⋅==⋅，∴异面直线EF 与AB (Ⅲ)假设满足条件的点P 存在，可设点P(2，2，t)(0<t≤2)，平面ACP 的一个法向量为n=(x ，y ，z)，则n AC 0,n AP 0.⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∵AP =(0，2，t), AC =(-2，2，0)， ∴2x 2y 0,2y tz 0,-+=⎧⎨+=⎩取2n (1,1,)t =- .易知平面ABC 的一个法向量1BB (0,0,2)=，依题意知，<1BB ，n >=30°或<1BB ，n>=150°，∴|cos<1BB ，n4||-=，即22434(2)4t=+，解得t = (0,2]，∴在棱BB 1上存在一点P ，当BP二面角P-AC-B 的大小为30°.解法二：(Ⅰ)同解法一知EF =(-1,2，-1) ，1AD=(-2,0，2)，AC = (-2,2，0)，∴EF =AC -121AD ，∴EF 、AC 、1AD共面.又∵EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1. (Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一． 解法三：易知平面ACD 1的一个法向量是1DB=(2，2，2).又∵EF =(-1,2，-1)，由EF ·1DB = -2+4-2=0， ∴EF ⊥1DB，而EF ⊄平面ACD 1， ∴EF ∥平面ACD 1. (Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．19．本题主要考查函数与导数等基础知识，考查分析问题、解决问题能力，考查应用意识.满分13分.解：以O 为原点，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系如图，依题意可设抛物线方程为 2y 2px(p 0),C(4,2).=>且因为2122p 4,p 2=⋅=，故曲线段OC 的方程为y x 4).≤≤设2P(y ,y)(0y 2)≤<是曲线段OC 上的任意一点， 则在矩形PQBN 中，2|PQ|2y,|PN |4y ,=+=-∴工业区面积232S |PQ ||PN |(2y)(4y )y 2y 4y 8,=⋅=+-=--++2122S 3y 4y 4,S 0y ,y 23''=--+===-令得.20y 2,y .3<<∴=当2y (0,)S 0,S y 3'∈>时是的增函数；当2y (,2)3∈时，S 0,S y '<是的减函数，2y 3∴=时，S 取到极大值，此时8|PQ |2y 3=+=，232832256|PN |4y .S 9.5.93927=-==⨯=≈2max y 0,S 8,S 9.5(km ).==∴≈ 时答：把工业园区规划成长为328km,km 93宽为的矩形时，工业园区的面积最大，最大面积约为29.5km .20．本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力．满分14分．解法一：(Ⅰ)设椭圆方程为2222y x 1a b+=(a>b>0)，由已知c=1，又2a==所以2=a 2-c 2=1，椭圆C 的方程是x 2+ 2y 2=1.(Ⅱ)若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是x 2+y 2=1,若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是(x+13)2+y 2=169．由2222x y 1,116(x )y ,39⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得x 1,y 0.=⎧⎨=⎩即两圆相切于点(1，０)． 因此所求的点T 如果存在，只能是(1，0)． 事实上，点T(1，０)就是所求的点．证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T(1，0)．若直线l 不垂直于x 轴，可设直线l ：y=k(x+13)．由221y k(x ),3y x 1.2⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即(k 2+2)x 2+23k 2x+19k 2-2=0. 记点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则212221222k 3x x ,k 21k 29x x .k 2⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪⎩+又因为TA =(x 1-1, y 1), TB=(x 2-1, y 2), TA ·TB =(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=(x 1-1)(x 2-1)+k 2(x 1+13)(x 2+13)=(k 2+1)x 1x 2+(13k 2-1)(x 1+x 2)+19k 2+1=(k 2+1) 221k 29k 2-++(13k 2-1) 222k 3k 2-++ 21k 9+1=0，所以TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T(1，0)． 所以在坐标平面上存在一个定点T(1，0)满足条件．解法二：(Ⅰ)由已知c=1，设椭圆C 的方程是2222y x 1a a 1+=-(a>1)．因为点P 在椭圆C 上，所以221121a a 1+=-,解得a 2=2，所以椭圆C 的方程是：22y x 12+=.(Ⅱ)假设存在定点T(u ，v)满足条件．同解法一得(k 2+2)x 2+23k 2x+19k 2-2=0.记点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),则212221222k 3x x ,k 21k 29x x .k 2⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪⎩+又因为TA =(x 1-u, y 1-v), TB =(x 2-u, y 2-v),及y 1=k(x 1+13),y 2=k(x 2+13)．所以TA ·TB=(x 1-u)(x 2-u)+(y 1-v)(y 2-v) =(k 2+1)x 1x 2+(13k 2-u-kv)(x 1+x 2)+19k 2-2k 3v+u 2+v 2=(k 2+1) 221k 29k 2-++(13k 2-u-kv)·222k 3k 2-++ 21k 9-2k 3v + u 2+v 2，=222222(3u 2u 3v 5)k 4vk 6u 6v 63(k 2)++--++-+.当且仅当TA ·TB=０恒成立时，以AB 为直径的圆恒过点T. TA ·TB =０恒成立等价于22223u 2u 3v 50,4v 0,6u 6v 60.⎧++-=⎪-=⎨⎪+-=⎩解得u=1,v=0.此时，以AB 为直径的圆恒过定点T(1，０)．当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆22116(x )y 39++=亦过点T(1，０)．所以在坐标平面上存在一个定点T(1，O)满足条件． 解法三：(Ⅰ)同解法一或解法二． (Ⅱ)设坐标平面上存在一个定点T 满足条件，根据直线过x 轴上的定点S 及椭圆的对称性，所求的点T 如果存在，只能在x 轴上，设T(t ，O)．同解法一得212221222k 3x x ,k 21k 29x x .k 2⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪⎩+又因为TA =(x 1-t, y 1), TB=(x 2-t, y 2),所以 TA ·TB =(x 1-t)(x 2-t)+y 1y 2=(x 1-t)(x 2-t)+k 2(x 1+13)(x 2+13)=(k 2+1)x 1x 2+(13k 2-t)(x 1+x 2)+19k 2+t 2=(k 2+1) 221k 29k 2-++(13k 2-t)222k 3k 2-++21k 9+t 2= 2222(3t 2t 5)k 6t 63(k 2)+-+-+.当且仅当TA ·TB=O 恒成立时，以AB 为直径的圆恒过点T. TA ·TB =O 恒成立等价于223t 2t 50,6t 60.⎧+-=⎨-=⎩解得t=1.所以当t=1时,以AB 为直径的圆恒过点T.当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆22116(x )y 39++=亦过点T(1，O)．所以在坐标平面上存在一个定点T(1，O)满足条件． 21．（1）本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想.满分7分．解：111 0 0 0MN 220 20 10 2⎛⎛⎫⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎭ ⎝⎭⎭⎝⎝，设P (x ,y )是所求曲线C 上的任意一点，它是曲线y sin x =上点000P (x ,y )在矩阵MN 变换下的对应点，则有001x x 02y y 0 2⎛⎫⎛⎛⎫⎫ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎭⎭ ⎝⎝⎭⎝，即001x x ,2y 2y .⎧=⎪⎨⎪=⎩所以00x 2x,1y y.2=⎧⎪⎨=⎪⎩又点00P(x ,y )在曲线y sin x =上，故00y sin x =，从而1y sin 2x 2=，所求曲线C 的方程为y 2sin 2x =．（2）本题主要考查直线和圆的极坐标与参数方程，考查运算求解能力及化归与转化思想.满分7分． 解：曲线C 的极坐标方程4cos ρ=θ化为直角坐标方程为22x y 4x 0+-=，即22(x 2)y 4-+=.直线l的参数方程x 1,y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化为普通方程为x y 10--=. 曲线C 的圆心（2，0）到直线l= 所以直线l 与曲线C相交所成的弦的弦长为= （3）本题主要考查利用常见不等式求条件最值，考查化归与转化思想.满分7分． 解法一：注意到x,y,z R ∈，且x y z 3++=为定值，利用柯西不等式得到222222(x y z )(111)++++2(x 1y 1z 1)9≥⋅+⋅+⋅=， 从而222x y z ++3≥，当且仅当x y z 1===时取“＝”号， 所以222x y z ++的最小值为3．解法二：可考虑利用基本不等式“22a b 2ab +≥”进行求解，由222x y z ++＝2(x y z)(2xy 2xz 2yz)++-++2222229(x y x z y z )≥-+++++， 从而求得222x y z ++3≥，当且仅当x y z 1===时取“＝”号，所以222x y z ++的最小值为3．。
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(福建.理)含详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
函数()sin cosf x x x=最小值是A．-1 B.12-C.12 D.11．【答案】：B[解析]∵1()sin22f x x=∴min1()2f x=-.故选B2.已知全集U=R，集合2{|20}A x x x=->，则U Að等于A．{ x ∣0≤x≤2} B { x ∣0<x<2} C．{ x ∣x<0或x>2} D { x ∣x≤0或x≤2} 2．【答案】：A[解析]∵计算可得{0A x x=<或}2x>∴}{02CuA x x=≤≤.故选A3.等差数列{}na的前n项和为nS，且3S=6，1a=4，则公差d等于A．1 B 53 C.- 2 D 33．【答案】：C[解析]∵31336()2S a a==+且3112=4 d=2a a d a=+∴.故选C4.22(1cos)x dxππ-+⎰等于A．π B. 2 C. π-2 D. π+2 4．【答案】：D[解析]∵2sin(sin)[sin()]222222xx xxπππππ=+=+--+-=+-原式.故选D5.下列函数()f x中，满足“对任意1x，2x∈（0，+∞），当1x<2x时，都有1()f x>2()f x的是A ．()f x =1x B. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D()ln(1)f x x =+ 5．【答案】：A[解析]依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减，故由选项可得A 正确。
6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA ．2B .4 C. 8 D .166．【答案】：C[解析]由算法程序图可知，在n =4前均执行”否”命令，故n=2×4=8. 故选C7.设m ，n 是平面α 内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β 内的两条相交直线，则α// β的一个充分而不必要条件是w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.m // β 且l // αB. m // l 且n // l 2C. m // β 且n // βD. m // β且n // l 27．【答案】：B[解析]若1212//,//,.,.m l n l m n αλλβ⊂⊂，则可得//αβ.若//αβ则存在1221,//,//m l n l λλ⋂8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)(1)
2009 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分） A ．﹣2+4i=（ ）B ．﹣2﹣4iC ．2+4iD ．2﹣4i2．（5 分）设集合 A={x ||x |＞3}，B={x | A ．φB ．（3，4）3．（5 分）已知△ABC 中，cotA=﹣ ，则 cosA=（ ） ＜0}，则 A ∩B=（ ）C ．（﹣2，1）D ．（4，+∞）D ．A ．B ．在点（1，1）处的切线方程为（ ） B ．x +y ﹣2=0C ．x +4y ﹣5=0D ．x ﹣4y +3=0C ．4．（5 分）函数 A ．x ﹣y ﹣2=05．（5 分）已知正四棱柱 ABCD ﹣A B C D 中，AA =2AB ，E 为 AA 中点，则异面 1 1 1 1 1 1 直线 BE 与 CD 所形成角的余弦值为（ ） 1 A ．B ．C ．D ．6．（5 分）已知向量 =（2，1）， =10，| + |= ，则| |=（ ）D ．25A ．B ．C ．57．（5 分）设 a=log π，b=log ，c=log 3，则（ ） C ．b ＞a ＞c3 2A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a8．（5 分）若将函数 y=tan （ωx + ）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度 后，与函数 y=tan （ωx + ）的图象重合，则 ω 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．（5 分）已知直线 y=k （x +2）（k ＞0）与抛物线 C ：y 2=8x 相交于 A 、B 两点， F 为 C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则 k=（ ） A ．B ．C ．D ．10．（5 分）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有1 门相同的选法有（）A．6 种B．12 种C．24 种D．30 种11．（5 分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C 于A、B 两点，若=4 ，则C 的离心率为（）A．B．C．D．12．（5 分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5 分）（x ﹣y ）4 的展开式中x3y3 的系数为．14．（5 分）设等差数列{a }的前n 项和为S ，若a =5a ，则=．n n 5 315．（5 分）设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C．若圆C 的面积等于，则球O 的表面积等于．16．（5 分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10 分）设△ABC 的内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB= ，b2=ac，求B．18．（12 分）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，AB⊥AC，D、E 分别为AA 、B C1 1 1 1 1的中点，DE⊥平面BCC ．1（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C 为60°，求B C 与平面BCD 所成的角的大小．119．（12 分）设数列{a }的前n 项和为S ，已知a =1，S =4a +2（n∈N*）．n n 1 n+1 n（1）设b =a ﹣2a ，证明数列{b }是等比数列；n n+1 n n（2）求数列{a }的通项公式．n20．（12 分）某车间甲组有10 名工人，其中有4 名女工人；乙组有5 名工人，其中有3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3 名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1 名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3 名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12 分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A、B 两点，当l 的斜率为1 时，坐标原点O 到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b 的值；成立？若（Ⅱ）C 上是否存在点P，使得当l 绕F 转到某一位置时，有存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．22．（12 分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x 、x ，且x ＜x ，1 2 1 2 （Ⅰ）求a 的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x ）＞．22009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5 分）A．﹣2+4i =（）B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=故选：A．，【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．2．（5 分）设集合A={x||x|＞3}，B={x| A．φB．（3，4）＜0}，则A∩B=（）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A 和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3 或x＜﹣3}，B={x| ＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选：B．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5 分）已知△ABC 中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA 转化成正弦和余弦，求得sinA 和cosA 的关系式，进而与sin2A+cos2A=1 联立方程求得cosA 的值．【解答】解：∵cotA=∴A 为钝角，cosA＜0 排除A 和B，再由cotA=故选：D．= ，和sin2A+cos2A=1 求得cosA= ，【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．4．（5 分）函数A．x﹣y﹣2=0在点（1，1）处的切线方程为（）B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5 分）已知正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AA =2AB，E 为AA 中点，则异面1 1 1 1 1 1直线BE 与CD 所形成角的余弦值为（）1A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA ∥CD ，知∠A BE 是异面直线BE 与CD 所形成角，由此能求出异1 1 1 1面直线BE 与CD 所形成角的余弦值．1【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AA =2AB，E 为AA 中点，1 1 1 1 1 1∴BA ∥CD ，∴∠A BE 是异面直线BE 与CD 所形成角，1 1 1 1设AA =2AB=2，1则A E=1，BE= = ，1= ，A B=1∴cos∠A BE=1== ．∴异面直线BE 与CD 所形成角的余弦值为．1故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真 审题，注意空间思维能力的培养．6．（5 分）已知向量 =（2，1）， A ．B ．=10，| + |= C ．5，则| |=（ ）D ．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A ：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a +b |=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方 程，解方程即可． 【解答】解：∵| + |= ∴（ + ）2= 2+ 2+2 ，| |= =50，得| |=5 故选：C ．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模 的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注 意对于变量的应用．7．（5 分）设 a=log π，b=log ，c=log 3，则（ ） C ．b ＞a ＞c3 2A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数y=log x 的单调性进行求解．当a＞1 时函数为增函数当0a＜a＜1 时函数为减函数，如果底a 不相同时可利用1 做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1 做为中介值．8．（5 分）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣]=tan（ωx+ω+kπ=）+ ）∴﹣∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin= ．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．9．（5 分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x 相交于A、B 两点，F 为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B 分别作AM⊥l 于M，BN ⊥l 于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B 为AP 的中点、连接OB ，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B 的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x 的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B 分别作AM⊥l 于M，BN⊥l 于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B 为AP 的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．10．（5 分）甲、乙两人从4 门课程中各选修2 门，则甲、乙所选的课程中恰有1 门相同的选法有（）A．6 种B．12 种C．24 种D．30 种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2 门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2 门的种数C 2C 2=36，4 4②两人所选两门都相同的有为C 2=6 种，都不同的种数为C 2=6，4 4故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5 分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C 于A、B 两点，若=4 ，则C 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KA ：双曲线的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设双曲线的有准线为 l ，过 A 、B 分别作 AM ⊥l 于 M ，BN ⊥l 于 N ，BD ⊥ AM 于 D ，由直线 AB 的斜率可知直线 AB 的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM |﹣|BN |=|AD |，进而根据【解答】解：设双曲线的右准线为 l ， ，求得离心率． 过 A 、B 分别作 AM ⊥l 于 M ，BN ⊥l 于 N ，BD ⊥AM 于 D ，由直线 AB 的斜率为， 知直线 AB 的倾斜角为 60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有： =∴，∴故选：A ．【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．12．（5 分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5 分）（x ﹣y ）4 的展开式中x3y3 的系数为6．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1 项，令x，y 的指数都为1 求出x3y3 的系数【解答】解：只需求， 展开式中的含 xy 项的系数． 的展开式的通项为 得 r=2∵令 ∴展开式中 x 3y 3 的系数为 C 2=6 4故答案为 6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工 具．14．（5 分）设等差数列{a }的前 n 项和为 S ，若 a =5a ，则 = 9 ．n n 5 3 【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知 S =9a ，S =5a ，根据 a =5a ，进 9 5 5 3 5 3 而可得则 的值．【解答】解：∵{a }为等差数列，n S =a +a +…+a =9a ，S =a +a +…+a =5a ，9 1 2 9 5 5 1 2 5 3 ∴故答案为 9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．15．（5 分）设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45°角的 平面截球 O 的表面得到圆 C ．若圆 C 的面积等于8π ． ，则球 O 的表面积等于【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C 的半径为r，．因为由．得R2=2故球O 的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．16．（5 分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O，菱形ABCD 各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ= AB ，得到M、N、P、Q 四点在以O 为圆心OM 为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O．求证：菱形ABCD 各边中点M、N、P、Q 在以O 为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q 分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，∴OM=ON=OP=OQ= AB，∴M、N、P、Q 四点在以O 为圆心OM 为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10 分）设△ABC 的内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB= ，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB= （负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB= 及B=π﹣（A+C）得cos（A﹣C）﹣cos（A+C）= ，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）= ，∴sinAsinC= ．又由b2=ac 及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故∴，或（舍去），于是B= 或B= ．又由b2=ac知b≤a 或b≤c所以B= ．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．18．（12 分）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，AB⊥AC，D、E 分别为AA 、B C1 1 1 1 1的中点，DE⊥平面BCC ．1（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C 为60°，求B C 与平面BCD 所成的角的大小．1【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点B 到面BDC 的距离即可，作AG1 1⊥BD 于G，连GC，∠AGC 为二面角A﹣BD﹣C 的平面角，在三角形AGC 中求出GC 即可．【解答】解：如图（I ）连接 BE ，∵ABC ﹣A B C 为直三棱柱，1 1 1 ∴∠B BC=90°， 1∵E 为 B C 的中点，∴BE=EC ．1 又 DE ⊥平面 BCC ， 1∴BD=DC （射影相等的两条斜线段相等）而 DA ⊥平面 ABC ，∴AB=AC （相等的斜线段的射影相等）．（II ）求 B C 与平面 BCD 所成的线面角，1 只需求点 B 到面 BDC 的距离即可．1 作 AG ⊥BD 于 G ，连 GC ，∵AB ⊥AC ，∴GC ⊥BD ，∠AGC 为二面角 A ﹣BD ﹣C 的平面角，∠AGC=60°不妨设 ，则 AG=2，GC=4在 RT △ABD 中，由 AD•AB=BD•AG ，易得设点 B 到面 BDC 的距离为 h ，B C 与平面 BCD 所成的角为 α．1 1 利用可求得 h= 即 B C 与平面 BCD 所成的角为 30°． ， ，又可求得 ，∴α=30°．1 【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运 算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12 分）设数列{a }的前 n 项和为 S ，已知 a =1，S =4a +2（n ∈N *）．n n 1 n +1 n （1）设 b =a ﹣2a ，证明数列{b }是等比数列；n n +1 n n（2）求数列{a }的通项公式．n【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由题设条件知b =a ﹣2a =3．由S =4a +2 和S =4a n﹣1+2 相减得1 2 1 n+1 n na =4a ﹣4a ，即a ﹣2a =2（a ﹣2a ），所以b =2b ，由此可知{b }n+1 n n﹣1 n+1 n n n﹣1 n n﹣1 n是以b =3 为首项、以2 为公比的等比数列．1（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a }的通项公式．n【解答】解：（1）由a =1，及S =4a +2，1 n+1 n得a +a =4a +2，a =3a +2=5，所以b =a ﹣2a =3．1 2 1 2 1 1 2 1由S =4a +2，①n+1 n则当n≥2 时，有S =4a n﹣1+2，②n①﹣②得a =4a ﹣4a ，所以a ﹣2a =2（a ﹣2a n﹣1），n+1 n n﹣1 n+1 n n又b =a ﹣2a ，所以b =2b （b ≠0），所以{b }是以b =3 为首项、以2 为n n+1 n n n﹣1 n n 1公比的等比数列．（6 分）（2）由（I）可得b =a ﹣2a =3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得n n+1 n．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a =（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13 分）n【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（12 分）某车间甲组有10 名工人，其中有4 名女工人；乙组有5 名工人，其中有3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3 名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1 名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3 名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；48：分析法．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2 人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10 名工人，乙组有5 名工人，从甲、乙两组中共抽取3 名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2 名，乙中抽取1 名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2 名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1 名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，ξ0 1 2 3P故Eξ== ．【点评】本题较常规，比08 年的概率统计题要容易．在计算P（ξ=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．21．（12 分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A、B 两点，当l 的斜率为1 时，坐标原点O 到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b 的值；成立？若（Ⅱ）C 上是否存在点P，使得当l 绕F 转到某一位置时，有存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l 的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O 到l 的距离求得c，进而根据离心率求得a 和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x ，y ）、B（x ，y ），l：x=my+1 代入1 12 2椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y +y 和y y 的表达式，1 2 1 2假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P 的坐标为（x +x ，1 2y +y ），代入椭圆方程；把A，B 两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，1 2进而求得P 点坐标，求出m 的值得出直线l 的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O 到l 的距离为则又，解得c=1 ，∴（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x ，y ）、B（x ，y ）1 12 2由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P 的坐标为（x +x ，y +y ），1 2 1 2点P 在椭圆上，即．整理得2x 2+3y 2+2x 2+3y 2+4x x +6y y =6．1 12 2 1 2 1 2又A、B 在椭圆上，即2x 2+3y 2=6，2x 2+3y 2=6、1 12 2故2x x +3y y +3=0②1 2 1 2将x x =（my +1）（my +1）=m2y y +m（y +y ）+1 及①代入②解得1 2 1 2 1 2 1 2∴，x +x = ，即1 2当当；【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．22．（12 分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x 、x ，且x ＜x ，1 2 1 2 （Ⅰ）求a 的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x ）＞．2【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x 、x 是方程g（x）=0 的两个均大于﹣1 的不相等的实根，建立不1 2等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0 和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x 是方程g（x）=0 的根，将a 用x 表示，消去a 得到关于x 的函数，研2 2 2究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I）令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为．由题意知x 、x 是方程g（x）=0 的两个均大于﹣1 的不相等的实根，1 2其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x ）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x ）内为增函数；1 1（2）当x∈（x ，x ）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x ，x ）内为减函数；1 2 1 2（3）当x∈（x ，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x ，+∞）内为增函数；2 2（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x2 +2x ）2 2∴f（x ）=x 2+aln（1+x ）=x 2﹣（2x2 +2x ）ln（1+x ）2 2 2 2 2 2 2设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）当故时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增，．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．。
理科数学高考样卷及答案(福建卷)
2009年理科数学高考样卷及答案（福建卷）广东博文学校 吴绪友 第Ⅰ卷 （选择题共40分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1．命题“对任意的32x R x x 10∈-+，≤”的否定是 A ．不存在32x R x x 10∈-+，≤ B ． 存在32x R x x 10∈-+，≤ C ．存在32x R x x 10∈-+>， D ． 对任意的32x R x x 10∈-+>，2．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体 的表面积是（ ） A ．9π B ．10π C ．11π D ．12π3．右边面的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中 最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A ．c x > B ．x c > C ．c b > D ．b c >4．若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面， 则以下命题正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ⊂β，α∩β=n ，则m ∥nC ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若α∩β =m ，m ⊥n ，则n ⊥α5．已知等比数列()n a 中2a 1=，则其前3项的和3S 的取值范围是A ．(],1-∞- Ｂ．()(),01,-∞+∞U Ｃ．[)3,+∞ Ｄ．(][),13,-∞-+∞U6．为得到函数πy cos 2x 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数y sin 2x =的图象A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位7．已知实数x y ，满足y 1y 2x 1x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．38．已知函数x 21f (x)()log x 3=-，0a b c <<<，f (a)f (b)f (c)0<，实数d 是函数f (x)的一个零点．给出下列四个判断：①d a <；②d b >；③d c <；④d c >． 其中可能成立的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷 （非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．第13至15题，从3题中选答2题，把答案填在答题卡相应位置．9．x=2，曲线1y x=及x 轴所围图形的面积为 ．10、全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … …按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．11．在平面有如下命题：“O 为直线AB 外的一点，则点P 在直线AB 上的充要条件是：存在实数x,y 满足OP x OA y OB =⋅+⋅u u u r u u u r u u u r，且x y 1+=”，类比此命题，给出在空间相应的一个正确命题是 ．12．若55432543210(x 2)a x a x a x a x a x a -=+++++，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=__________．（用数字作答） □13. 设Ｍ、Ｎ分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()4in πρθ+=上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是□14. 如图，圆O是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD =，3AB BC ==。
2009年福建高考理科数学试卷及答案解析(文字版)
2009年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（福建卷及详解）一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 函数()sin cos f x x x =最小值是A ．-1 B.12-C. 12D.12.已知全集U=R ，集合2{|20}A x x x =->，则C U A 等于A ． { x ∣0≤x ≤2}B { x ∣0<x<2}C ． { x ∣x<0或x>2}D { x ∣x ≤0或x ≤2} 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于A ．1 B53C.- 2 D 3 4.22(1cos )x dx ππ-+⎰等于A ．π B. 2 C. π-2 D. π+25.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x的是 A ．()f x =1xB.()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A ．2B .4 C. 8 D .167.设m ，n 是平面α 内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β 内的两条相交直线，则α// β的一个充分而不必要条件是 A.m // β 且l // α B. m // l 且n // l 2 C. m //β 且n // βD. m //β且n // l 28.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。
现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。
经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A ．0.35B 0.25C 0.20D 0.159.设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线， 若a ⊥c 且∣a ∣=∣c ∣,则∣b • c ∣的值一定等于A ． 以a ，b 为两边的三角形面积B 以b ，c 为两边的三角形面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D 以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 10.函数()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。
2009年全国高考理科数学试题(含答案)
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ） 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ∙=∙球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u A B I中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,A B = ，{4,7,9}()U A B C A B =∴= 故选A 。
也可用摩根律：()()(U U UC A B C A C B=（2）已知1iZ＋=2+i,则复数z=（B ） （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
(3) 不等式11X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈 解：验x=-1即可。
(4)设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于( C )（A （B ）2 （C （D 解：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'0|2x x yx ==.由题意有002y x x =又2001y x =+解得: 201,2,b x e a =∴===(5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)(附详细答案)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合?U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则?的最小值为（）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= ．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合?U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴?U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：?U（A∩B）=（?U A）∪（?U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51?C31?C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52?C61?C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！6．（5分）设、、是单位向量，且，则?的最小值为（）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】16：压轴题．【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）?+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴?=﹣（）?+=0﹣（）?+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选：D．【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ＝∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ＝=．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数．【专题】16：压轴题．【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选：D．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240 ．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++Cn n a0b n，各项的通项公式为：Tr+1=C nr a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= 27 ．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πＲ2=20π故答案为：20π【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】（1）由已知得=+，即b n+1=b n+，由此能够推导出所求的通项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n+1=b n+，从而b2=b1+，b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=?（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．。
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(福建卷)
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（福建卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．()sin cos f x x x =最小值是 ( )A ．-1B ．12-C ．12D ．12．22(1cos )x dx ππ-+⎰等于( )A ．πB ．2C ．π-2D ．π+2 3．等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ，且316,4S a ==，则公差d 等于（ ） A ．1B ．53C ．﹣2D ．34．设,m n 是平面α内的两条不同直线；12,l l 是平面β内的两条相交直线，则//αβ的一个充分而不必要条件是( )A ．1////m l βα且B ．12////m l l 且nC ．////m n ββ且D ．2////m n l β且 5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16二、解答题6．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，，且MD=NB=1，E为BC的中点1. 求异面直线NE与AM所成角的余弦值2. 在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由三、填空题7．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________．参考答案1．B【解析】试题分析：∵()sin cos f x x x =1sin 22x =，∴当sin2x=-1即x=()4k k Z ππ-∈时，函数()sin cos f x x x =有最小值是12-，故选B 考点：本题考查了三角函数的有界性点评：熟练掌握二倍角公式及三角函数的值域是解决此类问题的关键，属基础题2．D【解析】 ∵2sin |(sin )[sin()]222222x x x x πππππ=+=+--+-=+-原式.故选D3．C【分析】首先根据等差数列的求和公式，得到31336S a d =+=，将14a =代入，求得2d =-，得到结果.【详解】由题意得31336S a d =+=，因为14a =，解得2d =-，故选C.【点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式的应用的问题，涉及到的知识点是等差数列的求和公式，正确应用公式是解题的关键.4．B【解析】要得到,//βα必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0} 4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选A2．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴故选B3．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选D4．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选择C．5．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选D6．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）•+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴•=﹣（）•+=0﹣（）•+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选项为D7．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选D．8．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选A9．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选项为B10．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．4【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，∴AC=PD=2又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故答案选C．11．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选D12．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．14．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=27．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是2715．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π16．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2009•全国卷Ⅰ）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．18．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．20．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）由已知得=+，即b n=b n+，由此能够推导出所求的通+1项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n=b n+，从而b2=b1+，+1b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．21．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．22．（12分）（2009•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．。
2009年福建理科高考数学word版带答案解析
2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
函数()sin cosf x x x=最小值是A．-1 B.12-C.12 D.11．【答案】：B[解析]∵1()sin22f x x=∴min1()2f x=-.故选B2.已知全集U=R，集合2{|20}A x x x=->，则U Að等于A．{ x ∣0≤x≤2} B { x ∣0<x<2} C．{ x ∣x<0或x>2} D { x ∣x≤0或x≤2} 2．【答案】：A[解析]∵计算可得{0A x x=<或}2x>∴}{02CuA x x=≤≤.故选A3.等差数列{}na的前n项和为nS，且3S=6，1a=4，则公差d等于A．1 B 53 C.- 2 D 33．【答案】：C[解析]∵31336()2S a a==+且3112=4 d=2a a d a=+∴.故选C4.22(1cos)x dxππ-+⎰等于A．π B. 2 C. π-2 D. π+2 4．【答案】：D[解析]∵2sin(sin)[sin()]222222xx xxπππππ=+=+--+-=+-原式.故选D5.下列函数()f x中，满足“对任意1x，2x∈（0，+∞），当1x<2x时，都有1()f x>2()f x的是A ．()f x =1x B. ()f x =2(1)x - C .()f x =x eD ()ln(1)f x x =+ 5．【答案】：A[解析]依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减，故由选项可得A 正确。
6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A ．2B .4 C. 8 D .16 6．【答案】：C[解析]由算法程序图可知，在n =4前均执行”否”命令，故n=2×4=8. 故选C7.设m ，n 是平面α 内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β 内的两条相交直线，则α// β的一个充分而不必要条件是 A.m // β 且l //α B. m // l 且n // l 2C. m // β 且n // βD. m // β且n // l 2 7．【答案】：B [解析]若1212//,//,.,.m l n l m n αλλβ⊂⊂，则可得//αβ.若//αβ则存在122,//,//m l n l λλ⋂ 8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。
2009年福建省普通高中毕业班质量检查数学(理科)试题(二)-推荐下载
A．−6
B．−2
1．C (1−2i) (x +i) = x + 2− (2x−1) i，x + 2 = 4．
C．2
2．设向量 a = (4sinα , 3)， b = (2 , 3cosα)，且 a // b 则锐角 α 为 （ ）
A．
6
2．B
a
B．
4
// b
4
C．
3
sinα·3cosα
6
a2 1
|a|
开始
输入 x
x < −1 ? 是
x>2? 是
②
输出 y
结束
= | a | + ≥2
1
|a|
2
否 ③
2009 年福建省普通高中毕业班质量检查数学试题（理科）
砝码各一个）中选出若干个，使其总重量为 8 克的方法总数的选项是（ ）
A．(1 + x) (1 +x2) (1 +x3) … (1 +x10)
B．y = −x , y = x2, y = 0； C．y = 0 , y = x2 ,y = −x；
D．y = 0 , y = −x , y = x2 7．B
3
6
8．已知直线 a2x + y + 2 = 0 与直线 bx− (a2+1)y−1 = 0 互相垂直，则| ab |的最小值为（
）
A．5
3．“k = 1”是“直线 x−y + k = 0 与圆 x2 + y2 = 1 相交”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
福建省(理科)数学高考样卷.12
2009年福建省理科数学高考样卷及答案第Ⅰ卷 （选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的. 1．复数i(i 1)-等于A ．1i +B ．1i -C ．－1+iD ．－1－i 2．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是A ． 不存在3210x x x ∈-+R ，≤ B ． 存在3210x x x ∈-+R ，≤ C ． 存在3210x x x ∈-+>R ，D ． 对任意的3210x x x ∈-+>R ，3．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π4．如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点， 则该点落到圆内的概率是A ．4πB ．4πC ．44π- D ．π5．右边面的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 A ．c x > B ．x c > C ．c b > D ．b c >6．若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ⊂β，α∩β=n ，则m ∥nC ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若α∩β =m ，m ⊥n ，则n ⊥α 7．已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是A ．(],1-∞- Ｂ．()(),01,-∞+∞Ｃ．[)3,+∞ Ｄ．(][),13,-∞-+∞8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于A ．7B ．5C ．4D ．310．已知函数x x f x2log )31()(-=，0a b c <<<，0)()()(<c f b f a f ，实数d 是函数()f x 的一个零点．给出下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >． 其中可能成立的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷 （非选择题共100分）本卷包括必考题和选考题两部分．第11题－第2０题为必考题，每个试题考生都必须作答；第21题为选考题，请考生根据要求选答．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．双曲线221102x y -=的焦距为 ． 12．若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=__________．（用 数字作答） 13．由直线12x =，x =2，曲线1y x=及x 轴所围图形的面积为 ． 14．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … …按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．15．在平面有如下命题：“O 为直线AB 外的一点，则点P 在直线AB 上的充要条件是：存在实数,x y满足OP x OA y OB =⋅+⋅，且1x y +=”，类比此命题，给出在空间相应的一个正确命题是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）()4sin cos2().f x m x x x =-∈R 已知（Ⅰ）若0m =，求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）() 3, f x m 若的最大值为求实数的值． 17．(本小题满分13分)甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题．(Ⅰ)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；(Ⅱ)若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及Eξ． 18．(本小题满分13分)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 1和CC 1 的中点． (I)求证：EF ∥平面ACD 1；(Ⅱ)求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值；(Ⅲ)在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P-AC-B 的大小为30°?若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分13分）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.已知AB ⊥BC ，OA//BC ，且AB=BC=2AO=4km ，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向右的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB 、BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km 2）. 20．(本小题满分14分)以F 1(0，-1)，F 2(0，1)为焦点的椭圆C 过点P(1)． (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)过点S (13-，0)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ? 若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换已知矩阵 1 00 2M ⎛⎫= ⎪⎭⎝，1 020 1N ⎛⎫ ⎪= ⎪⎭⎝，矩阵MN 对应的变换把曲线sin y x =变为曲线C ，求Ｃ的方程．（2）(本小题满分7分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是1,2,x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩求直线l 与曲线C 相交所成弦的弦长．（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲已知,,x y z ∈R ，且3x y z ++=，求222x y z ++的最小值．参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分． 1．D ． 2．C ． 3．D ． 4．A ． 5．A ． 6．B ． 7．D ． 8．A ． 9．B ． 10．C ．二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．11．． 12．31． 13．22ln ． 14．262n n -+．15．O 为平面ABC 外一点,则点P 在平面ABC 上的充要条件是: 存在实数,,x y z 满足OP x OA y OB z OC=⋅+⋅+⋅，且1x y z ++=”． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．本题主要考查闭区间上二次函数的最值，三角函数的性质，二倍角公式，配方法，换元法等基础知识，考查运算求解能力及分类与整合思想.满分13分． 解：（Ⅰ）当0m =时，()cos 2f x x =-，令222k x k πππ≤≤+()k Z ∈，得2k x k πππ≤≤+()k Z ∈．因此()cos 2f x x =-的单调递增区间为[,]2k k πππ+()k Z ∈．（Ⅱ）2()4sin cos22sin 4sin 1f x m x x x m x =-=+- 222(sin )(21)x m m =+-+令sin t x =，则22()2()(21) (11)g t t m m t =+-+-≤≤. ①若0m -≤，则在1t =时，()g t 取最大值14m +.由143,0,m m +=⎧⎨-≤⎩得12m =；②若0m ->，则在1t =-时，()g t 取最大值14m -.由143,0,m m -=⎧⎨->⎩得12m =-．综上,.21±=m 17. 本题主要考查概率与统计的基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，以及应用意识．满分13分．解法一：(Ⅰ)甲运动员击中10环的概率是：1一0.1—0.1—0.45=0.35.设事件A表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)”，则P(A)=0.35+0.45=0.8.事件“甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上”包含三种情况：·0.81·(1-0.8)2=0.096；恰有1次击中9环以上，概率为p1=C13·0.82·(1-0.8)1=0.384；恰有2次击中9环以上，概率为p2=C23恰有3次击中9环以上，概率为p3=C3·0.83·(1-0.8)0=0.512．3因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率p= p1+ p2+ p3=0.992．(Ⅱ)记“乙运动员射击1次，击中9环以上”为事件B，则P(B)=1—0.1—0.15=0.75．因为ξ表示2次射击击中9环以上的次数，所以ξ的可能取值是0，1，2.因为P(ξ=2)=0.8·0.75=0.6；P(ξ=1)=0.8·(1-0.75)+(1-0.8)·0.75=0.35；P(ξ=0)=(1-0.8)·(1-0.75)=0.05．所以ξ的分布列是所以Eξ=0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55．解法二：(Ⅰ)设事件A表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上”(含9环，下同)，则P(A)=１－0.1－0.1=0.8．甲运动员射击3次，均未击中9环以上的概率为P0=C0·0.80·(1-0.8)3=0.008．3所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率P=1-P0=0.992．(Ⅱ)同解法一．18. 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想像能力、推理论证能力和探索问题、解决问题的能力．满分13分． 解法一：如图分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，由已知得D (0，0，0)、A (2，0，0)、B (2，2，0)、 C (0，2，0)、B 1(2，2，2)、D 1(0，0，2)、 E (1，0，2 )、F (0，2，1)．(Ⅰ)取AD 1中点G ，则G （1，0，1），CG -→=（1，-2，1），又EF -→=（-1，2，-1），由EF -→=-→-CG ，∴EF -→与CG -→共线．从而ＥＦ∥ＣＧ，∵CG ⊂平面ACD 1，EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1. (Ⅱ) ∵AB =(0,2，0)， cos<EF ,AB>=||||2EF AB EF AB ⋅==⋅， ∴异面直线EF 与AB 所成角的余弦值为36. (Ⅲ)假设满足条件的点P 存在，可设点P (2，2，t )(0<t ≤2)，平面ACP 的一个法向量为n =(x ，y ，z )，则0,0.n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∵AP =(0，2，t ), AC =(-2，2，0)，∴220,20,x y y tz -+=⎧⎨+=⎩取2(1,1,)n t =-.易知平面ABC 的一个法向量1(0,0,2)BB =，依题意知，<1BB ，n >=30°或<1BB ，n >=150°，∴|cos<1BB ，n4||-=， 即22434(2)4t t =+，解得3t =∵(0,2]3∈，∴在棱BB 1上存在一点P ，当BP的长为3二面角P -AC -B 的大小为30°.解法二：(Ⅰ)同解法一知EF =(-1,2，-1) ，1AD =(-2,0，2)，AC = (-2,2，0)，∴EF =AC -121AD ，∴EF 、AC 、1AD 共面. 又∵EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1. (Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．解法三：易知平面ACD 1的一个法向量是1DB =(2，2，2). 又∵EF =(-1,2，-1)，由EF ·1DB = -2+4-2=0， ∴EF ⊥1DB ，而EF ⊄平面ACD 1， ∴EF ∥平面ACD 1. (Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．19．本题主要考查函数与导数等基础知识，考查分析问题、解决问题能力，考查应用意识.满分13分. 解：以O 为原点，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系如图，依题意可设抛物线方程为).2,4(),0(22C p px y 且>=因为21224,2p p =⋅=， 故曲线段OC 的方程为).40(≤≤=x x y设)20)(,(2<≤y y yP 是曲线段OC 上的任意一点，则在矩形PQBN 中，,4||,2||2y PN y PQ -=+=∴工业区面积,842)4)(2(||||232++--=-+=⋅=y y y y y PN PQ S2,320,443212-==='+--='y y S y y S 得令. .32,20=∴<<y y 当y S S y 是时,0)32,0(>'∈的增函数；当)2,32(∈y 时，y S S 是,0<'的减函数，32=∴y 时，S 取到极大值，此时382||=+=y PQ ，.5.92725693238.9324||2≈=⨯==-=S y PN20,8,9.5().max y S S km ==∴≈时答：把工业园区规划成长为km km 38,932宽为的矩形时，工业园区的面积最大，最大面 积约为25.9km .20．本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力．满分14分．解法一：(Ⅰ)设椭圆方程为22221y x a b+=(a>b>0)，由已知c =1，又2a ==所以a 2=a 2-c 2=1，椭圆C 的方程是x 2+ 22y =1.(Ⅱ)若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是x 2+y 2=1,若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是(x +13)2+y 2=169．由22221,116(),39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得1,0.x y =⎧⎨=⎩即两圆相切于点(1，０)． 因此所求的点T 如果存在，只能是(1，0)． 事实上，点T (1，０)就是所求的点．证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T (1，0)． 若直线l 不垂直于x 轴，可设直线l ：y =k (x +13)． 由221(),31.2y k x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即(k 2+2)x 2+23k 2x +19k 2-2=0. 记点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则2122212223,2129.2k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩又因为TA =(x 1-1, y 1), TB =(x 2-1, y 2),TA ·TB =(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=(x 1-1)(x 2-1)+k 2(x 1+13)(x 2+13)=(k 2+1)x 1x 2+(13k 2-1)(x 1+x 2)+19k 2+1=(k 2+1) 221292k k -++(13k 2-1) 22232k k -++ 219k +1=0，所以TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T (1，0)． 所以在坐标平面上存在一个定点T (1，0)满足条件．解法二：(Ⅰ)由已知c =1，设椭圆C 的方程是222211y x a a +=-(a>1)． 因为点P 在椭圆C 上，所以2211211a a +=-,解得a 2=2，所以椭圆C 的方程是：2212y x +=.(Ⅱ)假设存在定点T (u ，v )满足条件． 同解法一得(k 2+2)x 2+23k 2x +19k 2-2=0. 记点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2),则2122212223,2129.2k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩又因为TA =(x 1-u , y 1-v ), TB =(x 2-u , y 2-v ),及y 1=k (x 1+13),y 2=k (x 2+13)． 所以TA ·TB =(x 1-u )(x 2-u )+(y 1-v )(y 2-v ) =(k 2+1)x 1x 2+(13k 2-u -kv )(x 1+x 2)+19k 2-23k v +u 2+v 2 =(k 2+1) 221292k k -++(13k 2-u -kv )·22232k k -++ 219k -23k v + u 2+v 2，=222222(3235)46663(2)u u v k vk u v k ++--++-+.当且仅当TA ·TB =０恒成立时，以AB 为直径的圆恒过点T . TA ·TB =０恒成立等价于222232350,40,6660.u u v v u v ⎧++-=⎪-=⎨⎪+-=⎩解得u =1,v =0.此时，以AB 为直径的圆恒过定点T (1，０)．当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆22116()39x y ++=亦过点T (1，０)． 所以在坐标平面上存在一个定点T (1，O)满足条件． 解法三：(Ⅰ)同解法一或解法二．(Ⅱ)设坐标平面上存在一个定点T 满足条件，根据直线过x 轴上的定点S 及椭圆的对称性，所求的点T 如果存在，只能在x 轴上，设T(t ，O)．同解法一得2122212223,2129.2k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩又因为TA =(x 1-t , y 1), TB =(x 2-t , y 2),所以TA ·TB =(x 1-t )(x 2-t )+y 1y 2=(x 1-t )(x 2-t )+k 2(x 1+13)(x 2+13)=(k 2+1)x 1x 2+(13k 2-t)(x 1+x 2)+19k 2+t 2=(k 2+1) 221292k k -++(13k 2-t )22232k k -++219k +t 2= 2222(325)663(2)t t k t k +-+-+. 当且仅当TA ·TB =O 恒成立时，以AB 为直径的圆恒过点T . TA ·TB =O 恒成立等价于223250,660.t t t ⎧+-=⎨-=⎩解得t =1. 所以当t =1时,以AB 为直径的圆恒过点T .当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆22116()39x y ++=亦过点T (1，O)． 所以在坐标平面上存在一个定点T (1，O)满足条件．21．（1）本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想.满分7分．解：111 0 0 0220 20 10 2MN ⎛⎛⎫⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎭ ⎝⎭⎭⎝⎝，设(,)P x y 是所求曲线C 上的任意一点，它是曲线sin y x =上点000(,)P x y 在矩阵MN 变换下的对应点，则有001 020 2x x y y ⎛⎫⎛⎛⎫⎫ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎭⎭ ⎝⎝⎭⎝，即001,22.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以002,1.2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩又点00(,)P x y 在曲线sin y x =上，故00sin y x =，从而1sin 22y x =，所求曲线C的方程为2sin 2y x =．（2）本题主要考查直线和圆的极坐标与参数方程，考查运算求解能力及化归与转化思想.满分7分．解：曲线C 的极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程为2240x y x +-=，即22(2)4x y -+=.直线l的参数方程1,x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化为普通方程为10x y --=.曲线C 的圆心（2，0）到直线l2=， 所以直线l 与曲线C相交所成的弦的弦长为= （3）本题主要考查利用常见不等式求条件最值，考查化归与转化思想.满分7分． 解法一：注意到,,x y z R ∈，且3x y z ++=为定值，利用柯西不等式得到222222()(111)x y z ++++2(111)9x y z ≥⋅+⋅+⋅=， 从而222x y z ++3≥，当且仅当1x y z ===时取“＝”号， 所以222x y z ++的最小值为3．解法二：可考虑利用基本不等式“222a b ab +≥”进行求解，由222x y z ++＝2()(222)x y z xy xz yz ++-++2222229()x y x z y z ≥-+++++， 从而求得222x y z ++3≥，当且仅当1x y z ===时取“＝”号， 所以222x y z ++的最小值为3．。
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2
3
C. x2 +y2 -x=0 D. x2 +y2 -2x=0
【答案】D 【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的
半径为 r=1，故所求圆的方程为（x-1)2 +y2 =1，即 x2 -2x+y2 =0 ，选 D。
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。
D.2
【解析】由题意知，所求的| AB | 的最小值，即为区域 1 中的点到直线 3x 4 y 9 0 的
距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
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2009年福建省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2009•福建）函数f（x）=sinxcosx的最小值是（）
A．﹣1 B．﹣C．D．1
2．（5分）（2009•福建）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，则∁U A等于（）A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜0或x＞2} D．{x|x≤0或x≥2}
3．（5分）（2009•福建）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=4，则公差d等于（）A．1 B．C．2 D．3
4．（5分）（2009•福建）（1+cosx）dx等于（）
A．πB．2 C．π﹣2 D．π+2
5．（5分）（2009•福建）下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（）
A．f（x）= B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=e x D．f（x）=ln（x+1）
6．（5分）（2009•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．（5分）（2009•福建）设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（）
A．m∥β且l∥αB．m∥l1且n∥l2 C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2
8．（5分）（2009•福建）已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
9．（5分）（2009•福建）设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，则|•|的值一定等于（）
A．以，为邻边的平行四边形的面积
B．以，为两边的三角形面积
C．，为两边的三角形面积
D．以，为邻边的平行四边形的面积
10．（5分）（2009•福建）函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线对称．据此
可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解集都不可能是（）
A．{1，2} B．{1，4} C．{1，2，3，4} D．{1，4，16，64}
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．（4分）（2009•福建）若=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则a+b=．
12．（4分）（2009•福建）某电视台举办青年歌手电视大奖赛，9位评委为参赛选手甲给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的a）无法看清，若记分员计算无误，则数字
a=．
13．（4分）（2009•福建）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=．
14．（4分）（2009•福建）若曲线f（x）=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．
15．（4分）（2009•福建）五位同学围成一圈依次循环报数，规定①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学报出的数之和，②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次．已知甲同学第一个报数．当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为．
三、解答题（共6小题，满分80分）
16．（13分）（2009•福建）从集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．（Ⅰ）记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；（Ⅱ）记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ
17．（13分）（2009•福建）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠OBA=75°，⊙O的半径为1，
则OC的长等．
18．（13分）（2009•福建）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°
（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
19．（13分）（2009•福建）已知A，B 分别为曲线C：+y2=1（y≥0，a＞0）与x轴的左、
右两个交点，直线l过点B，且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连接AS交曲线C 于点T．
（1）若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；
（2）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O，M，S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．
20．（14分）（2009•福建）已知函数f（x）=x3+ax2+bx，且f′（﹣1）=0．
（1）试用含a的代数式表示b，并求f（x）的单调区间；
（2）令a=﹣1，设函数f（x）在x1，x2（x1＜x2）处取得极值，记点M （x1，f（x1）），N （x2，f（x2）），P（m，f（m）），x1＜m＜x2，请仔细观察曲线f（x）在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：
（Ⅰ）若对任意的t∈（x1，x2），线段MP与曲线f（x）均有异于M，P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；
（Ⅱ）若存在点Q（n，f（n）），x≤n＜m，使得线段PQ与曲线f（x）有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）．
21．（14分）（2009•福建）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．
（2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共
点个数；
（3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1．。