【数学】数学 平行四边形的专项 培优练习题含答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．

操作示例

当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB 并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．

思考发现

小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．

实践探究

（1）正方形FGCH的面积是；（用含a， b的式子表示）

（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

联想拓展

小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由．

【答案】（1）a2+b2；（2）见解析；联想拓展：能剪拼成正方形.见解析．

【解析】分析：实践探究：根据正方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案；

应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半．注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割．

详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2；

剪拼方法如图2-图4；

联想拓展：能，

剪拼方法如图5（图中BG=DH=b）．

．

点睛：本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的．

2．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C 关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；

（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；

（3）连接AC，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC′的面积最大值．

【答案】（1）45°；（2）BP+DP2AP，证明详见解析；（32﹣1．

【解析】【分析】

（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝1

2

∠ADC＝45°；

（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论；

（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．

【详解】

（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，

在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，

∴AD＝C'D，

∵F是AC'的中点，

∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，

∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝1

2

∠ADC＝45°；

（2）结论：BP+DP＝2AP，

理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，

∴∠PAP'＝90°，

在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，

∴∠DAP'＝∠BAP，

由（1）可知：∠FDP＝45°

∵∠DFP＝90°

∴∠APD＝45°，

∴∠P'＝45°，

∴AP＝AP'，

在△BAP和△DAP'中，

∵

BA DA

BAP DAP AP AP

'

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

='

⎪

⎩

，

∴△BAP ≌△DAP '（SAS ），

∴BP ＝DP '，

∴DP +BP ＝PP '＝2AP ； （3）如图，过C '作C 'G ⊥AC 于G ，则S △AC 'C ＝12

AC •C 'G ，

Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝2，

∴AC ＝22(2)(2)2+=，即AC 为定值，

当C 'G 最大值，△AC 'C 的面积最大，

连接BD ，交AC 于O ，当C '在BD 上时，C 'G 最大，此时G 与O 重合，

∵CD ＝C 'D ＝2，OD ＝

12AC ＝1， ∴C 'G ＝2﹣1，

∴S △AC 'C ＝

112(21)2122AC C G '•=⨯-=-． 【点睛】

本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

3．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，BD=BC ，点E 为CD 的中点，射线BE 交AD 的延长线于点F ，连接CF ．

（1）求证：四边形BCFD 是菱形；

（2）若AD=1，BC=2，求BF 的长．

【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】

（1）∵AF ∥BC ，∴∠DCB =∠CDF ，∠FBC =∠BFD ，

∵点E 为CD 的中点，∴DE =EC ，