第一章 单变量最优化
最优化方法习题答案
最优化方法习题答案最优化方法习题答案最优化方法是数学中一门重要的学科，它研究如何找到使函数取得最大值或最小值的方法。
在实际问题中，最优化方法被广泛应用于经济学、工程学、管理学等领域。
本文将为读者提供一些最优化方法习题的答案，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一学科。
一、单变量函数的最优化问题1. 求函数f(x) = x^2 - 2x + 1在区间[0, 3]上的最小值。
解：首先，我们需要找到函数f(x)的驻点。
计算f'(x) = 2x - 2，并令其等于零，得到x = 1。
然后，我们计算f''(x) = 2，发现在x = 1处，f''(x)大于零，说明该点是函数的极小值点。
接下来，我们需要检查区间的端点和驻点，找到函数f(x)在这些点的函数值。
f(0) = 1，f(1) = 0，f(3) = 4。
由于f(1)是最小的函数值，因此函数f(x)在区间[0, 3]上的最小值为0。
2. 求函数f(x) = e^x - 2x在整个实数轴上的最小值。
解：首先，我们计算f'(x) = e^x - 2，并令其等于零，得到x = ln(2)。
然后，我们计算f''(x) = e^x，发现在x = ln(2)处，f''(x)大于零，说明该点是函数的极小值点。
接下来，我们需要检查整个实数轴上的函数值。
由于函数f(x)在x趋近负无穷大时趋于负无穷大，而在x趋近正无穷大时趋于正无穷大，因此函数f(x)在整个实数轴上没有最小值。
二、多变量函数的最优化问题1. 求函数f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y在闭区域D={(x, y)|0≤x≤2, 0≤y≤3}上的最小值。
解：首先，我们需要找到函数f(x, y)的驻点。
计算f_x(x, y) = 2x - 2和f_y(x, y) = 2y - 4，并令它们同时等于零，得到x = 1和y = 2。
二次多项式近似及单变量最优化例题课件
目 录
• 二次多项式近似 • 单变量最优化问题 • 二次多项式近似在单变量最优化问题中的应用 • 实际应用案例分析
01
二次多项式近似
二次多项式的基本形式
二次多项式的基本形式为ax² + bx + c，其中a、b、c为待定系数。
二次多项式是一种常见的数学函数形式，其一般形式为ax² + bx + c，其中a、b 、c为实数，且a≠0。这个形式的多项式在数学、物理和工程等领域有广泛的应 用。
在给定风险和收益要求的 情况下，如何确定各种资 产的配置比例以获得最优 的投资组合。
最优路径确定路径以使总 距离最短或总时间最少。
03
二次多项式近似在单变量最优化 问题中的应用
利用二次多项式近似求解单变量最优化问题
确定目标函数
首先需要确定要优化的目 标函数，并了解其特性。
02
单变量最优化问题
单变量最优化问题的定义
定义
目标
单变量最优化问题是指在给定条件下 ，找到一个单变量的最优值，使得某 个目标函数达到最小或最大值。
最小化或最大化的目标函数，通常是 一个单变量的函数。
条件
约束条件和边界条件，约束条件通常 指变量的取值范围，边界条件通常指 函数在某些点的取值。
单变量最优化问题的求解方法
实际应用案例的解析与解答
案例一
假设某公司生产一种产品，其总成本与产量之间的关系可以用二次多项式表示 。通过利用二次多项式近似求解单变量最优化问题，可以找到使总成本最小的 产量水平。
案例二
在物理学中，弹簧振子的振动周期与其长度和弹簧常数有关。通过构建二次多 项式近似模型，可以求解使振动周期最小的弹簧长度。
浙教版数学九年级上册_《二次函数》整章教材分析
第一章二次函数本章是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。
伽利略所发现的、通过比萨斜塔实验验证的、著名的自由落体运动公式就是二次函数刻画物体运动的最好例证，是最重要的物理学公式之一。
二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。
函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。
学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。
本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。
本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。
《最优化方法》课程复习考试
《最优化方法》复习提要 第一章 最优化问题与数学预备知识§1. 1 模型无约束最优化问题 12min (),(,,,)T n n f x x x x x R =∈．约束最优化问题（},,2,1,0)(;,,2,1,0)(,|{l j x h m i x g R x x S j i n ===≥∈=∧）min ();...f x s t x S ⎧⎨∈⎩ 即 m i n ();..()0,1,2,,,()0,1,2,,.i j f x s t g x i m h x j l ⎧⎪≥=⎨⎪==⎩其中()f x 称为目标函数，12,,,n x x x 称为决策变量，S 称为可行域，()0(1,2,,),()0(1,2,,)i j g x i m h x j l ≥===称为约束条件．§1. 2 多元函数的梯度、Hesse 矩阵及Taylor 公式定义 设:,n n f R R x R →∈．如果n ∃维向量p ，n x R ∀∆∈，有()()()T f x x f x p x o x +∆-=∆+∆．则称()f x 在点x 处可微，并称()T df x p x =∆为()f x 在点x 处的微分．如果()f x 在点x 处对于12(,,,)T n x x x x =的各分量的偏导数(),1,2,,if x i n x ∂=∂都存在，则称()f x 在点x 处一阶可导，并称向量12()()()()(,,,)Tnf x f x f x f x x x x ∂∂∂∇=∂∂∂ 为()f x 在点x 处一阶导数或梯度．定理1 设:,n n f R R x R →∈．如果()f x 在点x 处可微，则()f x 在点x 处梯度()f x ∇ 存在，并且有()()T df x f x x =∇∆．定义 设:,n n f R R x R →∈．d 是给定的n 维非零向量，de d=．如果 0()()lim()f x e f x R λλλλ→+-∈存在，则称此极限为()f x 在点x 沿方向d 的方向导数，记作()f x d∂∂． 定理2 设:,n n f R R x R →∈．如果()f x 在点x 处可微，则()f x 在点x 处沿任何非零方向d 的方向导数存在，且()()T f x f x e d ∂=∇∂，其中de d=． 定义 设()f x 是n R 上的连续函数，n x R ∈．d 是n 维非零向量．如果0δ∃>，使得(0,)λδ∀∈，有()f x d λ+<（>）()f x ．则称d 为()f x 在点x 处的下降（上升）方向．定理3 设:,n n f R R x R →∈，且()f x 在点x 处可微，如果∃非零向量n d R ∈，使得()T f x d ∇<（>）0，则d 是()f x 在点x 处的下降（上升）方向． 定义 设:,n n f R R x R →∈．如果()f x 在点x 处对于自变量12(,,,)T n x x x x =的各分量的二阶偏导数2()(,1,2,,)i j f x i j n x x ∂=∂∂都存在，则称函数()f x 在点x 处二阶可导，并称矩阵22221121222222122222212()()()()()()()()()()n n n n n f x f x f x x x x x x f x f x f x f x x x x x x f x f x f x x x x x x ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∇=∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪∂∂∂⎪∂∂∂∂∂⎝⎭为()f x 在点x 处的二阶导数矩阵或Hesse 矩阵． 定义 设:,n m n h R R x R →∈，记12()((),(),,())T m h x h x h x h x =，如果 ()(1,2,,)i h x i m =在点x 处对于自变量12(,,,)T n x x x x =的各分量的偏导数()(1,2,,;1,2,,)i jh x i m j n x ∂==∂都存在，则称向量函数()h x 在点x 处是一阶可导的，并且称矩阵111122221212()()()()()()()()()()n n m n m m m n h x h x h x xx x h x h x h x x x x h x h x h x h x xx x ⨯∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪∂∂∂∇= ⎪ ⎪⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭为()h x 在点x 处的一阶导数矩阵或Jacobi 矩阵，简记为()h x ∇．例2 设,,n n a R x R b R ∈∈∈，求()T f x a x b =+在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．解 设1212(,,,),(,,,)TTn n a a a a x x x x ==，则1()nk k k f x a x b ==+∑，因()(1,2,,)k kf x a k n x ∂==∂，故得()f x a ∇=．又因2()0(,1,2,,)i jf x i j n x x ∂==∂∂，则2()f x O ∇=．例3 设n n Q R ⨯∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，称1()2TT f x x Qx b x c =++为二次函数，求()f x 在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．解 设1212(),(,,,),(,,,)T T ij n n n n Q q x x x x b b b b ⨯===，则121111(,,,)2n nnn ij i j k k i j k f x x x q x x b x c ====++∑∑∑，从而111111111()()()nn j j j j j j n n n nj j n nj j j j n f x q x b q x x bf x Qx b f x b q x b q x x ====⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∇===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑．再对1()(1,2,,)nij j i j i f x q x b i n x =∂=+=∂∑求偏导得到2()(,1,2,,)ij i jf x q i j n x x ∂==∂∂，于是1112121222212()n n n n nn q q q q q q f x Q q q q ⎛⎫⎪ ⎪∇== ⎪⎪⎝⎭． 例 4 设()()t f x td ϕ=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求(),()t t ϕϕ'''．解 由多元复合函数微分法知 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ϕϕ'''=∇+=∇+． 定理4 设:,n n f R R x R →∈，且()f x 在点x 的某邻域内具有二阶连续偏导数，则()f x 在点x 处有Taylor 展式21()()()(),(01)2T T f x x f x f x x x f x x x θθ+∆=+∇∆+∆∇+∆∆<<．证明 设()(),[0,1]t f x t x t ϕ=+∆∈，则(0)(),(1)()f x f x x ϕϕ==+∆．按一元函数Taylor 公式()t ϕ在0t =处展开，有21()(0)(0)(),(0)2t t t t ϕϕϕϕθθ'''=++<<．从例4得知2(0)(),()()()T T f x x x f x x x ϕϕθθ'''=∇∆=∆∇+∆∆．令1t =，有21()()()(),(01)2T T f x x f x f x x x f x x x θθ+∆=+∇∆+∆∇+∆∆<<．根据定理1和定理4，我们有如下两个公式()()()()()T f x f x f x x x o x x =+∇-+-，221()()()()()()()()2T T f x f x f x x x x x f x x x o x x =+∇-+-∇-+-．§1. 3 最优化的基本术语定义 设:n f R R →为目标函数，n S R ⊆为可行域，x S ∈．（1） 若x S ∀∈，都有()()f x f x ≥，则称x 为()f x 在S 上的全局（或整体）极小点，或者说，x 是约束最优化问题min ()x Sf x ∈的全局（或整体）最优解，并称()f x为其最优值．（2） 若,x S x x ∀∈≠，都有()()f x f x >，则称x 为()f x 在S 上的严格全局（或整体）极小点．（3） 若x ∃的δ邻域(){}(0)n N x x R x x δδδ=∈-<>使得()x N x S δ∀∈，都有()()f x f x ≥，则称x 为()f x 在S 上的局部极小点，或者说，x 是约束最优化问题min ()x Sf x ∈的局部最优解．（4） 若x ∃的δ邻域()(0)N x δδ>使得(),x N x S x x δ∀∈≠，都有()()f x f x >，则称x 为()f x 在S 上的严格局部极小点．第二章 最优性条件§2.1 无约束最优化问题的最优性条件定理 1 设:n f R R →在点x 处可微，若x 是问题min ()f x 的局部极小点，则()0f x ∇=．定义 设:()n f S R R ⊆→在int x S ∈处可微，若()0f x ∇=，则称x 为()f x 的平稳点．定理2 设:n f R R →在点x 处具有二阶连续偏导数，若x 是问题min ()f x 的局部极小点，则()0f x ∇=，且2()f x ∇半正定．定理3 设:n f R R →在点x 处具有二阶连续偏导数，若()0f x ∇=，且2()f x ∇正定，则x 是问题min ()f x 的严格局部极小点． 注：定理2不是充分条件，定理3不是必要条件．例1 对于无约束最优化问题2312min ()f x x x =-，其中212(,)T x x x R =∈，显然 2212()(2,3),T f x x x x R ∇=-∀∈，令()0f x ∇=，得()f x 的平稳点(0,0)T x =，而且2222020(),()0600f x f x x ⎛⎫⎛⎫∇=∇= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．易见2()f x ∇为半正定矩阵．但是，在x 的任意δ邻域x x δ-<，总可以取到(0,)2T x δ=，使()()f x f x <，即x 不是局部极小点．例2 对于无约束最优化问题42241122min ()2f x x x x x =++，其中212(,)T x x x R =∈， 易知3223112122()(44,44)Tf x x x x x x x ∇=++，从而得平稳点(0,0)T x =，并且 22221212221212001248(),()008412x x x x f x f x x x x x ⎛⎫+⎛⎫∇=∇=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 显然2()f x ∇不是正定矩阵．但是，22212()()f x x x =+在x 处取最小值，即x 为严格局部极小点．例3 求解下面无约束最优化问题332122111min ()33f x x x x x =+--，其中212(,)T x x x R =∈， 解 因为21212222201(),()0222x x f x f x x x x ⎛⎫-⎛⎫∇=∇= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以令()0f x ∇=，有2122210,20.x x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解此方程组得到()f x 的平稳点(1)(2)(3)(4)1111,,,0202x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．从而2(1)2(2)2020(),()0202f x f x ⎛⎫⎛⎫∇=∇= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2(3)2(4)2020(),()0202f x f x --⎛⎫⎛⎫∇=∇= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．由于2(1)()f x ∇和2(4)()f x ∇是不定的，因此(1)x 和(4)x 不是极值点．2(3)()f x ∇是负定的，故(3)x 不是极值点，实际上它是极大点．2(2)()f x ∇是正定的，从而(2)x 是严格局部极小点．定理4 设:n f R R →是凸函数，且()f x 在点n x R ∈处可微，若()0f x ∇=，则x 为min ()f x 的全局极小点．推论5 设:n f R R →是凸函数，且()f x 在点n x R ∈处可微．则x 为min ()f x 的全局极小点的充分必要条件是()0f x ∇=． 例 4 试证正定二次函数1()2TT f x x Qx b x c =++有唯一的严格全局极小点1x Q b -=-，其中Q 为n 阶正定矩阵．证明 因为Q 为正定矩阵，且(),n f x Qx b x R ∇=+∀∈，所以得()f x 的唯一平稳点1x Q b -=-．又由于()f x 是严格凸函数，因此由定理4知，x 是()f x 的严格全局极小点．§2.2 等式约束最优化问题的最优性条件定理1 设:n f R R →在点x 处可微，:(1,2,,)n j h R R j l →=在点x 处具有一阶连续偏导数，向量组12(),(),,()l h x h x h x ∇∇∇线性无关．若x 是问题min ();..()0,1,2,,j f x s t h x j l ⎧⎨==⎩的局部极小点，则,1,2,,j v R j l ∃∈=，使得1()()0lj j j f x v h x =∇-∇=∑．称(,)()()T L x v f x v h x =-为Lagrange 函数，其中12()((),(),,())T l h x h x h x h x =．称12(,,,)T l v v v v =为Lagrange 乘子向量．易见(,)x v L L x v L ∇⎛⎫∇= ⎪∇⎝⎭，这里1(,)()(),(,)()lx j j v j L x v f x v h x L x v h x =∇=∇-∇∇=-∑．定理 2 设:n f R R →和:(1,2,,)n j h R R j l →=在点n x R ∈处具有二阶连续偏导数，若l v R ∃∈，使得(,)0x L x v ∇=，并且，,0n z R z ∀∈≠，只要()0,1,2,,T j z h x j l ∇==，便有2(,)0T xx z L x v z ∇>，则x 是问题min ();..()0,1,2,,j f x s t h x j l ⎧⎨==⎩的严格局部极小点．例1 试用最优性条件求解 221212min ();..()80.f x x x s t h x x x ⎧=+⎨=-=⎩解 Lagrange 函数为221212(,)(8)L x v x x v x x =+--，则1221122(,)2(8)x vx L x v x vx x x -⎛⎫⎪∇=- ⎪ ⎪--⎝⎭， 从而得(,)L x v 的平稳点(8,8,2)T 和(8,8,2)T --，对应有(8,8),2T x v ==和(8,8),2T x v =--=．由于221222(,),()222xx x v L x v h x x v--⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇==∇= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因此1212(){(,)|(,)()0}T M x z z z z h x =∇=121221{(,)|0}T z z z x z x =+= 1212{(,)|}T z z z z ==-．并且(),0z M x z ∀∈≠，有222211221(,)24280T xx z L x v z z z z z z ∇=-+=>．利用定理2，所得的两个可行点(8,8)T x =和(8,8)T x =--都是问题的严格局部极小点．§2.3 不等式约束最优化问题的最优性条件定义 设,,,0n n S R x clS d R d ⊆∈∈≠，若0δ∃>，使得，,(0,)x d S λλδ+∈∀∈， 则称d 为集合S 在点x 处的可行方向． 这里{|,(),0}n clS x x R SN x δδ=∈≠∅∀>．令 {|0,0,,(0,)}D d d x d S δλλδ=≠∃>+∈∀∈使，0{|()0}T F d f x d =∇<．定理 1 设n S R ⊆是非空集合，:,,()f S R x S f x →∈在点x 处可微．若x 是问题min ()x Sf x ∈的局部极小点，则 0F D =∅．对于min ();..()0,1,2,,,i f x s t g x i m ⎧⎨≥=⎩ （1）其中:,:(1,2,,)n n i f R R g R R i m →→=．令(){|()0,1,2,,}i I x i g x i m ===，其中x 是上述问题（1）的可行点．定理 2 设x 是问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，如果x 是问题（1）的局部极小点，则 00F G =∅，其中0{|()0,()}T i G d g x d i I x =∇>∈．定理 3 设x 是问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，若x 是问题（1）的局部极小点，则存在不全为0的非负数0,(())i u u i I x ∈，使0()()()0iii I x u f x u g x ∈∇-∇=∑． （x 称为Fritz John 点）如果()(())i g x i I x ∉在点x 处也可微，则存在不全为0的非负数01,,,m u u u ，使01()()0,()0,1,2,,.mi i i i iu f x u g x u g x i m =⎧∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑ （x 称为Fritz John 点） 例1 设1311222min ();..()(1)0,()0.f x x s t g x x x g x x =-⎧⎪=--≥⎨⎪=≥⎩试判断(1,0)T x =是否为Fritz John 点． 解 因为12100(),(),()011f x g x g x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇=∇=∇= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且(){1,2}I x =，所以为使Fritz John 条件01210000110u u u -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，只有00u =才行．取0120,0u u u α===>即可，因此x 是Fritz John 点．定理 4 设x 是问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，并且()(())i g x i I x ∇∈线性无关．若x 是问题（1）的局部极小点，则存在0(())i u i I x ≥∈，使得()()()0iii I x f x u g x ∈∇-∇=∑． （x 称为K-T 点）如果()(())i g x i I x ∉在点x 处也可微，则存在0(1,2,,)i u i m ≥=，使得1()()0,()0,1,2,,.mi i i i if x ug x u g x i m =⎧∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑ （x 称为K-T 点） 例2 求最优化问题21211222min ()(1);..()20,()0f x x x s t g x x x g x x ⎧=-+⎪=--+≥⎨⎪=≥⎩的K-T 点． 解 因为1122(1)10(),(),()111x f x g x g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇=∇=∇= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以K-T 条件为111211222122(1)0,10,(2)0,0,0,0.x u u u u x x u x u u -+=⎧⎪+-=⎪⎪--+=⎨⎪=⎪⎪≥≥⎩ 若20u =，则11u =-，这与10u ≥矛盾．故20u >，从而20x =；若120x -+=，则12u =-，这与10u ≥矛盾．故10u =，从而211,1u x ==； 由于120,0u u ≥≥，且(1,0)T x =为问题的可行点，因此x 是K-T 点． 定理5 设在问题（1）中，()f x 和()(1,2,,)i g x i m -=是凸函数，x 是可行点，并且()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微．若x 是问题（1）的K-T 点，则x 是问题（1）的全局极小点．§2.4 一般约束最优化问题的最优性条件考虑等式和不等式约束最优化问题min ();..()0,1,2,,,()0,1,2,,,i j f x s t g x i m h x j l ⎧⎪≥=⎨⎪==⎩（1） 其中:,:(1,2,,),:(1,2,,)n n n i j f R R g R R i m h R R j l →→=→=．并把问题（1）的可行域记为S ．,(){|()0,1,2,,}i x S I x i g x i m ∀∈==．定理 1 设x 为问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(1,2,,)j h x j l =在点x 处具有一阶连续偏导数，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，并且向量组12(),(),,()l h x h x h x ∇∇∇线性无关．若x 是问题（1）的局部极小点，则 00F G H =∅，这里0{|()0}T F d f x d =∇<，0{|()0,()}T i G d g x d i I x =∇>∈，0{|()0,1,2,,}T j H d h x d j l =∇==．定理 2 设x 为问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(1,2,,)j h x j l =在点x 处具有一阶连续偏导数，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续．若x 为问题（1）的局部极小点，则存在不全为0的数0,(())i u u i I x ∈和(1,2,,)j v j l =，且0,0(())i u u i I x ≥∈，使0()1()()()0liijji I x j u f x u g x v h x ∈=∇-∇-∇=∑∑． （x 称为Fritz John 点）若()(())i g x i I x ∉在点x 处也可微，则存在不全为0的数0,(1,2,,)i u u i m =和(1,2,,)j v j l =，且0,0(1,2,,)i u u i m ≥=，使011()()()0,()0,1,2,,.m li i j j i j i iu f x u g x v h x u g x i m ==⎧∇-∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑∑ （x 称为Fritz John 点）例1 设2212311222212min ();..()0,()0,()(1)0.f x x x s t g x x x g x x h x x x ⎧=+⎪=-≥⎪⎨=≥⎪⎪=--+=⎩试判断(1,0)T x =是否为Fritz John 点．解 (){2}I x =，且2200(),(),()011f x g x h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇=∇=∇= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且(){1,2}I x =，因此为使Fritz John 条件022*******u u v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，只有00u =才行．所以取020,1,1u u v ===-，即知x 是Fritz John 点．定理 3 设x 为问题（1）的可行点，()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微，()(1,2,,)j h x j l =在点x 处具有一阶连续偏导数，()(())i g x i I x ∉在点x 处连续，且向量组()(()),()(1,2,,)i j g x i I x h x j l ∇∈∇=线性无关．若x 是问题（1）的局部极小点，则存在数0(())i u i I x ≥∈和(1,2,,)j v j l =，使()1()()()0liijji I x j f x u g x v h x ∈=∇-∇-∇=∑∑． （x 称为K-T 点）如果()(())i g x i I x ∉在点x 处也可微，则存在数0(1,2,,)i u i m ≥=和(1,2,,)j v j l =，使11()()()0,()0,1,2,,.m li i j j i j i if x ug x vh x u g xi m ==⎧∇-∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑∑ （x 称为K-T 点） 令 1212()((),(),,()),()((),(),,())T T m l g x g x g x g x h x h x h x h x ==，1212(,,,),(,,,)T T m l u u u u v v v v ==，称u 与v 为广义Lagrange 乘子向量或K-T 乘子向量．()()()0,()0,0.T T Tf xg x uh x v u g x u ⎧∇-∇-∇=⎪=⎨⎪≥⎩令(,,)()()()T T L x u v f x u g x v h x =--为广义Lagrange 函数．称(,,)L x u v 为广义Lagrange 函数．则K-T 条件为(,,)0,()0,0.x TL x u v u g x u ∇=⎧⎪=⎨⎪≥⎩定理 4 设在问题（1）中，()f x 和()(1,2,,)i g x i m -=是凸函数，()(1,2,,)j h x j l =是线性函数，x 是可行点，并且()f x 和()(())i g x i I x ∈在点x 处可微．若x 是问题（1）的K-T 点，则x 是问题（1）的全局极小点．例2 求解最优化问题221221212min ()(3)(1);..()0,()230.f x x x s t g x x x h x x x ⎧=-+-⎪=-+≥⎨⎪=+-≥⎩ 解 广义Lagrange 函数为222121212(,,)()()()(3)(1)()(23)L x u v f x ug x vh x x x u x x v x x =--=-+---+-+-．因为111(,,)2(3)22L x u v x ux v x ∂=-+-∂，22(,,)2(1)L x u v x u v x ∂=---∂．所以K-T 条件及约束条件为112212212122(3)220,2(1)0,()0,0,230,0.x ux v x u v u x x x x x x u -+-=⎧⎪---=⎪⎪-+=⎪⎨-+≥⎪⎪+-=⎪≥⎪⎩ 下面分两种情况讨论． （1） 设0u =，则有12122(3)20,2(1)0,230.x v x v x x --=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩ 由此可解得12718,,555x x v ===-，但71(,)55T x =不是可行点，因而不是K-T 点．（2） 设0u >，则有112212122(3)220,2(1)0,0,230.x ux v x u v x x x x -+-=⎧⎪---=⎪⎨-+=⎪⎪+-=⎩ 由此可得211230x x --+=，解得11x =或13x =-。
《数学建模》PPT课件
( x2
x1)
f
f (x2 ) (x2 ) f
2 1 ( x1) 22
1
f
( x1 )
f
(x2 )
3
f
( x1 ) x1
f (x2 ) x2
2 (12 f (x1)f (x2 ))1/2
如函数的导数容易求得，一般首先考虑使用三次插值
法，因为它具有较高效率。对于只需要计算函数值的方
法中，二次插值法是一个很好的方法，它的收敛速度较
优化模型
（2）多项式近似法 该法用于目标函数比较复杂的情 况。此时寻找一个与它近似的函数代替目标函数，并用 近似函数的极小点作为原函数极小点的近似。常用的近 似函数为二次和三次多项式。
二次内插涉及到形如下式的二次函数数据拟合问题：
mq() a2 b c
其中步长极值为：
b
2a
完整版课件ppt
求解单变量最优化问题的方法有很多种，根据目标函 数是否需要求导，可以分为两类，即直接法和间接法。 直接法不需要对目标函数进行求导，而间接法则需要用 到目标函数的导数。
完整版课件ppt
4
优化模型
1、直接法 常用的一维直接法主要有消去法和近似法两种： （1）消去法 该法利用单峰函数具有的消去性质进行
反复迭代，逐渐消去不包含极小点的区间，缩小搜索区 间，直到搜索区间缩小到给定允许精度为止。一种典型 的消去法为黄金分割法(Golden Section Search）。黄金 分割法的基本思想是在单峰区间内适当插入两点，将区 间分为三段，然后通过比较这两点函数值的大小来确定 是删去最左段还是最右段，或同时删去左右两段保留中 间段。重复该过程使区间无限缩小。插入点的位置放在 区间的黄金分割点及其对称点上，所以该法称为黄金分 割法。该法的优点是完整算版课法件p简pt 单，效率较高，稳定性好5 。
第1章最优化方法的基本知识
Pattern Recognition and Intelligent System Institute, BIT
最优化方法的地位
为应用数学的一个分支，是新兴的数学理论之一； 是现代工程分析最佳设计的四种主要方法之一：
有限元分析 将问题从几何上看作有限个小单元（结点） 将问题从几何上看作有限个小单元（结点）相互连接而成的集 合体，使连续体离散化，然后用结构矩阵分析的方法处理， 合体，使连续体离散化，然后用结构矩阵分析的方法处理，得 到一组以结点场量为未知量的代数方程组， 到一组以结点场量为未知量的代数方程组，再用计算机及相应 最优化方法 无穷维系统，一般由偏微分方程、积分方程、 无穷维系统，一般由偏微分方程、积分方程、泛函微分方程 的计算方法，可以得到需求结点处未知量的近似值。 的计算方法，可以得到需求结点处未知量的近似值。 或抽象空间中的微分方程所描述。 或抽象空间中的微分方程所描述。我国学者在细长体弹性振 动系统的建模和振动控制、振动系统的谱分析、 动系统的建模和振动控制、振动系统的谱分析、能控性和反 动态设计 一般地， 一般地，系统的数学模型与实际系统存在着参数或结构等方 由于实际系统的复杂性，人们往往很难(或不可能 由于实际系统的复杂性，人们往往很难 人口系统控制、人 馈镇定、一般无穷维系统的极大值原理、或不可能)从基本的 人口系统控制、 馈镇定、一般无穷维系统的极大值原理、或不可能 从基本的 面的差异， 面的差异，而我们设计的控制律大多都是基于系统的数学模 物理定律出发直接推导出系统的数学模型， 物理定律出发直接推导出系统的数学模型，这就需要利用可 口预测和控制等方面都做出了重要贡献。 口预测和控制等方面都做出了重要贡献。 为了保证实际系统对外界干扰、 型，为了保证实际系统对外界干扰 以量测的系统输入和输出数据， 、系统的不确定性等有尽 以量测的系统输入和输出数据，来构造系统内部结构及参数 数值仿真 可能小的敏感性，导致了研究系统鲁棒控制问题。 可能小的敏感性，导致了研究系统鲁棒控制问题 的估计，并研究估计的可靠性和精度等问题， 。 的估计，并研究估计的可靠性和精度等问题，这就是系统辨 近几年，非线性系统、时滞饱和系统、 近几年，非线性系统、时滞饱和系统、时滞故障系统的鲁棒 识的任务。系统辨识领域有3个热点研究方向 个热点研究方向: 识的任务。系统辨识领域有 个热点研究方向 综合控制问题已经成为新的热点研究方向， 综合控制问题已经成为新的热点研究方向，而且已经有不少 1.基于鲁棒控制数学模型要求的鲁棒辨识； 基于鲁棒控制数学模型要求的鲁棒辨识； 基于鲁棒控制数学模型要求的鲁棒辨识 应用事例。例如，核反应堆的温度跟踪鲁棒控制、 应用事例。例如，核反应堆的温度跟踪鲁棒控制、导弹系统 2.基于特殊信号驱动下的系统辨识； 基于特殊信号驱动下的系统辨识； 基于特殊信号驱动下的系统辨识 Pattern Recognition and Intelligent System Institute, 。 的鲁棒自适应最优跟踪设计、机器人操作的鲁棒神经控制。 的鲁棒自适应最优跟踪设计、机器人操作的鲁棒神经控制。 3.基于智能信息处理的非线性系统辨识 BIT 基于智能信息处理的非线性系统辨识。 基于智能信息处理的非线性系统辨识
优化理论——精选推荐
第一章最优化理论方法优化理论是一门实践性很强的学科。
所谓最优化问题，一般是指按照给定的标准在某些约束条件下选取最优的解集。
他被广泛地应用于生产管理、军事指挥和科学试验等领域，如工程设计中的最优设计、军事指挥中的最优火力配置问题等。
优化理论和方法于20世纪50年代形成基础理论。
在第二次世界大战期间，出于军事上的需要，提出并解决了大量的优化问题。
但作为一门新兴学科，则是在G.B.Dantzig提出求解线性规划问题的单纯形法，H.W.Kuhnh和A.W.Tucker 提出非线性规划基本定理，以及R.Bellman提出动态规划的最优化原理以后。
之后，由于计算机的发展，使优化理论得到了飞速的发展，至今已形成具有多分支的综合学科。
其主要分支有：线性规划、非线性规划、动态规划、图论与网络、对策论、决策论等。
1.极小值优化1.1标量最小值优化求解单变量最优化问题的方法有多种，根据目标函数是否需要求导，可以分为两类，即直接法和间接法。
直接法不需要对目标函数进行求导，而间接法则需要用到目标函数的导数。
常用的一维直接法主要有消去法和近似法两种。
消去法利用单峰函数具有的消去性质进行反复迭代，逐渐消去不包含极小点的区间，缩小搜索区间，直到搜索区间缩小到给定的允许精度为止。
该法的优点是算法简单，效率较高，稳定性好。
多项式近似法用于目标函数比较复杂的情况。
此时搜索一个与它近似的函数代替目标函数，并用近似函数的极小点作为原函数极小点的近似。
常用的近似函数为二次和三次多项式、间接法需要计算目标函数的导数，优点是计算速度很快。
常见的间接法包括牛顿切线法、对分法、割线法和三次差值多项式近似法等。
如果函数的导数容易求得，一般来说应首先考虑使用三次插值法，因为它具有较高的效率。
在只需要计算函数值得方法中，二次差值是一个很好的方法，它的收敛速度快，特别是在极小点所在区间较小时尤为如此。
1.2无约束最小值优化无约束最优化问题在实际应用中也比较常见，如工程中常见的参数反演问题。
最优化计算方法(工程优化)第1章
最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个简单的实 例。
例1：把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。
问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
优化模型的分类
根据问题的不同特点分类
一般的约束优化问题
标准形式
min
xRn
f
x
s.t. gi x 0, i 1, 2, , m
1） gi x 0 -gi x 0
2）
hi
x
0
hi x 0
-hi
x
0
优化模型的分类
根据函数类型分类
线性规划：目标函数、约束条件都是线性的 非线性规划：目标函数、约束条件中的函数不全是线性
yi
a1
1
a3
ln 1
a2 exp
xi
a4 a5
最优化问题举例
例3已：知有从一v旅i 到行团v j从的v旅0费出为发要cij遍，游问城应市如何v1安, v排2 行,..程.,使vn总 ，
费用最小？
模型：
变量—是否从i第个城市到第j个城市
xij 1, 0;
约束—每个城市只能到达一次、离开一次
因此，我们在学习本课程时要尽可能了解如何 由实际问题形成最优化的数学模型。
数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
最优化问题的数学模型与分类
数学模型的建立
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描 述所研究的系统。
过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情 况；而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。
最优化方法 1第一章
2 2
比较以上三式可得 3a yz 3a zx 3a xy 从而x=y=z=a，右侧面积固定的长方 体的最大体积客观存在，因此侧面积固定 的长方体中以正方体体积最大．
j 1
18
按经典极值问题解法可能出现不能解决的情况：
（1）当变量个数增加且方程组又是非线性，求解此方程 只有在相当特殊情况下才能人工解出．通常高等数学中的 求极值问题的变量个数一般不超过三个． （2）当限制条件出现不等式，无论变量数多少，按经典 极值方法求解根本无法解决． 要解决上述问题，直到本世纪50年代最优化理论建立 以及电子计算机的迅速发展才为求解各种最优化问题提供 了雄厚的基础和有效手段．而且最优化方法作为一门崭新 的应用学科，有关理论和方法有待于进一步发展与完善。
解设长方体的长宽高分别为体积为则依题意知体积为限制条件为由拉格朗日乘数法考虑函数xyzvvfxyzxyz??2260xyzyzxzxya??????62222?13令62222axyzxyzxyzzyxf??????202020xyzfyzyzfxzzxfxyxy??????????????????由题意可知应是正数由此将上面三个等式分别乘以并利用条件得到222230230230xyzayzxyzazxxyzaxy?????????????????
2 x1 5 x 2 40
x1 0 ， x2 0
即求
max f ( x1 , x 2 ) x1 x 2 ，
2 x1 5 x2 40， x1 0，x2 0．
16
第一个例子代表无约束极值问题： 一般地可表示为 min f ( x1 , x 2 , , x n )或 max f ( x1 , x 2 , , x n ) n 这里 f ( x1 , x 2 , , x n ) 是定义在 R 上的可微函数． 求极值的方法是从如下含有n个未知数的非线性方程组
数学建模案例之单变量最优化
数学建模案例之单变量最优化在现实生活中，我们经常需要对一些变量进行优化，以获得最佳的结果。
这个过程就被称为单变量最优化。
在数学建模中，单变量最优化是一个非常常见的问题。
下面以公司海外销售业绩最大化为例，介绍单变量最优化的数学建模方法。
假设公司想要通过调整价格来提高其在海外市场的销售额。
现在，该公司销售一种产品，定价为P（单位：美元），该产品的销售量是一个衰减函数，即随着价格的上升，销售量逐渐减少。
为了简化问题，我们假设销售量Q（单位：件）与价格P之间的关系可以用一个二次函数来近似表示。
那么，我们可以将该问题建模为一个单变量最优化问题。
首先，我们需要找到销售量与价格之间的函数关系。
假设销售量与价格之间的关系可以用以下二次函数来表示：Q=aP^2+bP+c其中，a、b、c是待定系数。
接下来，我们需要根据已知的数据来确定这些系数的值。
假设我们已经知道了两个数据点，即在价格P1下销售量为Q1，价格P2下销售量为Q2、我们可以将这两个点代入上式，得到以下两个方程：Q1=aP1^2+bP1+cQ2=aP2^2+bP2+c通过解这个方程组，我们可以确定a、b、c的值。
具体的解法可以使用最小二乘法，即通过最小化误差平方和的方法，求得最佳的a、b、c的估计值。
接下来，我们需要确定如何调整价格来使销售额最大化。
为了简化问题，我们假设该公司的成本是固定的，并且每一件产品的利润是固定的。
那么，该公司的总利润可以表示为：Profit = (P - Cost) * Q其中，Cost是单位产品的成本，P是产品的价格，Q是销售量。
我们的目标是使总利润最大化。
通过将Profit表达式代入销售量与价格之间的函数关系，可以得到总利润关于价格的函数。
我们可以使用微分法来求解这个问题，即通过求导数来找到函数的驻点。
驻点处的导数为0，表示函数取得极值。
我们可以找到极值点来确定价格的最佳取值。
最后，我们可以使用数值方法，如牛顿法或二分法，来求得函数的极值点。
第二讲 单变量最优化
明确问题：
假设短期内汽油的需求和价格是常数，公司希望最大化 利润，或最小化成本。
考虑如下问题：每个加油站在保证持有足够多的汽油满 足顾客需求的前提下，使每天平均的送货和库存持货成 本最小（假设其余成本不受送货数量和送货时间的影 响）。直观上看，这样的最小成本是存在的。
基本假设：
1) 汽油价格相对稳定（生产能力相对于需求为无穷大） 2) 不允许缺货 3) 需求率为常数r 4) 生产准备费每次为d，单位产品日储存费为s
0.08
0.1
0.12
0.14
g 0.16
生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%.
稳健性分析
即使该模型不完全精确，由其导出的 结果也是正确的，或者说，足够近似 从而可以在实际问题中应用。
假设猪的重量w和价格p都是时间的线性函数，这是现实 情况的简化。
研究 r, g不是常数时对模型结果的影响
日平均成本=f(储存费用，送货费用，产品需求率)
模型建立：
子模型： 储存费用 送货费用 需求 （连续化）q来自每个周期的费用Q
T
一个库存周期
斜率为-r
T2 Q d s T d sr 2 2
t
日平均费用
d srT c T 2
2d 模型求解： T sr
*
EOQ
2dr Q s
目标：求Q的最大值
选择建模方法 建立模型：
Q R C pw 4t (8 0.1t )(80 2t ) 4t 2 Max Q( t ) 0.2t 4t 640
t 0
求解模型：
解得全局极大值点
t * 10
回答问题： 用非技术性语言表述，避免使用数学符号和术语
1-01 单变量最优化
1.2、灵敏性分析
1、问题的提出
1.4、小结
2、最佳售猪时间x关于 1.5、练习题 价格下降速率r的灵敏性 3、最佳售猪时间x关于 生长率g的灵敏性 4、灵敏性的相对改变量
一①单变量最优化 ※2013-7-17※
3/25
1、五步方法概要 ⑴定义： 数学模型解决问题的一般过程分五步，称之 为五步方法。 ⑵五个步骤： ⑴提出问题(问题)； ⑵选择建模方法(方法)； ⑶推导模型的数学表达式；
130 125 120 115 110 105 100
120 若要x≥0,只要0<r≤0.014, 110 最佳售猪时间可由x=(7- 100 500r) /25r给出,对r>0.014 , 90 051015
在[0,+∞)上都有 f‘(x)<0, 最佳售猪时间为x=0. 图 1-5给出了r =0.015的情况.
图1-3 五步方法图（续） 一①单变量最优化 ※2013-7-17※
14/25
1、问题的提出 ⑴上概要介绍五步法, 从假设开始, 但难保证假设都正 确. 故要考虑结果对每一条假设的敏感程度即灵敏性. ⑵灵敏性分析是数学建模的一个重要方面，具体内容 与所用的建模方法有关, 关于它的讨论贯穿本书,下面 仅对单变量优化问题进行灵敏性分析. ⑶上用售猪说明五步法，图1-1列出了求解的所有假 设，虽然数据和假设都有非常详细的说明，但还要再 严格检查，由于数据是由测量、观察有时甚至完全是 猜测得到的，故要考虑数据的不准确的可能性。 ①可靠性高的数据:生猪现在的重量、猪现在的价格、 每天饲养的花费等易测量，确定性大； ②可靠性低的数据:猪的生长率g和价格的下降速率r.
133 132 131 130 5 10 15
一①单变量最优化
最优化设计：第1章 最优化基本要素
1.4 最优化问题的数学模型及分类
根据以上讨论，由优化变量、目标函
数和约束条件三要素所组成的最优化问题 的数学模型可表述为：在满足约束条件的 前提下，寻求一组优化变量，使目标函数 达到最优值。一般约束优化问题数学模型 的基本表达方式为
min f ( x)
s.t. hl ( x) 0
gm(x) 0
目标函数的极小化可表示为
f (x) min 或 min f (x) 目标函数的极大化可表示为
f (x) max 或 max f (x)
求目标函数的极大化等效于求目标函
数的极小化，为规范起见，将求目标函数 的极值统一表示为求其极小值。
在优化问题中，如只有一个目标函数，
则其为单目标函数优化问题；如有两个或 两个以上目标函数，则其为多目标函数优 化问题。目标函数越多，对优化的评价越 周全，综合效果也越好，但是问题的求解 也越复杂。
度分类，以下是一些常见的分类和名称。
（1）按照约束的有无可分为无约束优化 问题和有约束优化问题。
（2）按照优化变量的个数可分为一维优 化问题和多维优化问题。
（3）按照目标函数的数目可分为单目标优 化问题和多目标优化问题。 （4）按照目标函数与约束条件线性与否可 分为线性规划问题和非线性规划问题。当 目标函数是优化变量的线性函数，且约束 条件也是优化变量的线性等式或不等式时， 称该优化问题为线性规划问题；当目标函 数和约束条件中至少有一个是非线性时， 称该优化问题为非线性规划问题。 （5）当目标函数为优化变量的二次函数， 和均为线性函数时，称该优化问题称为二 次规划问题。
对同一优化目标来说，约束条件越多， 可行域就越小，可供选择的方案也就越少， 计算求解的工作量也随之增大。所以，在 确定约束条件时，应在满足要求的前提下， 尽可能减少约束条件的数量。同时也要注 意避免出现重复的约束，互相矛盾的约束 和线性相关的约束。 例1-1 分析以下约束优化问题的可行和非 可行区域。
Python最优化算法实战学习笔记
Python最优化算法实战第一章最优化算法概述1.1最优化算法简介最优化算法,即最优计算方法,也是运筹学。
涵盖线性规划、非线性规划、整数规划、组合规划、图论、网络流、决策分析、排队论、可靠性数学理论、仓储库存论、物流论、博弈论、搜索论和模拟等分支。
当前最优化算法的应用领域如下。
(1)市场销售:多应用在广告预算和媒体的选择、竞争性定价、新产品开发、销售计划的编制等方面。
如美国杜邦公司在20世纪50年代起就非常重视对广告、产品定价和新产品引入的算法研究。
(2)生产计划:从总体确定生产、储存和劳动力的配合等计划以适应变动的需求计划,主要采用线性规划和仿真方法等。
此外,还可用于日程表的编排,以及合理下料、配料、物料管理等方面。
(3)库存管理:存货模型将库存理论与物料管理信息系统相结合,主要应用于多种物料库存量的管理,确定某些设备的能力或容量,如工厂库存量、仓库容量,新增发电装机容量、计算机的主存储器容量、合理的水库容量等。
(4)运输问题:涉及空运、水运、陆路运输,以及铁路运输、管道运输和厂内运输等,包括班次调度计划及人员服务时间安排等问题。
(5)财政和会计:涉及预算、贷款、成本分析、定价、投资、证券管理、现金管理等,采用的方法包括统计分析、数学规划、决策分析,以及盈亏点分析和价值分析等。
(6)人事管理:主要涉及以下6个方面。
①人员的获得和需求估计。
②人才的开发,即进行教育和培训。
③人员的分配，主要是各种指派问题。
④各类人员的合理利用问题。
⑤人才的评价，主要是测定个人对组织及社会的贡献。
⑥人员的薪资和津贴的确定。
(7)设备维修、更新可靠度及项目选择和评价:如电力系统的可靠度分析、核能电厂的可靠度B风险评估等。
(8)工程的最佳化设计:在土木，水利、信息电子、电机、光学、机械、环境和化工等领域皆有作业研究的应用。
(9)计算机信息系统:可将作业研究的最优化算法应用于计算机的主存储器配置，如等候理论在不同排队规则下对磁盘、磁鼓和光盘工作性能的影响。
二次多项式近似及单变量最优化例题
f2 x2
f1 x1
f3 x3
f1 x1
xx222
x12 x1
x32 x3
x12 x1
a2
f2
x2
f1 x1
f3 x3
f1 x1
x2
x3
a2
令：c1
f3 x3
f1 x1
xf2 2 xf1 1xf3 3 xf1 1x2x3a2
xf22 xf11c1x2x3a2 a2(xf22 xf11c1)/x2x3c2
设备费用：显然t提高， t m 降低,设备费 用增大
矛盾出在t的择优上，应建立总费用与t关系 的数学模型，并求使总费用最小的t.
目标：总费用最小
例题
212 ℃蒸汽 350 ℃蒸汽 70 ℃ 换热器1 t℃ 换热器2 300 ℃
二、数学模型的建立：
设总费用为Z，f1为加热蒸汽费用，f2为设备费 用，则Z= f1 + f2
想办法消去 a 0
② － ① ： f2f1(x2x1)a1(x22x12)a2(A ) ③ － ① ： f3f1(x3x1)a1(x32x12)a2(B )
② － ① ： f2f1(x2x1)a1(x22x12)a2(A ) ③ － ① ： f3f1(x3x1)a1(x32x12)a2(B )
将式 A (x2 x 1 ) B (x 3 x 1 ) 得
例题
单变量函数最优化应用举例：
例：有如下所示的两个串联加热器。用蒸汽加热某气体，
要求参数如图所示：
212 ℃蒸汽 350 ℃蒸汽
70 ℃ 换热器1 t℃ 换热器2 300 ℃
要求：用Ⅰ、Ⅱ两个加热器和两种蒸汽，将气量为 50000kg/h的气体，由70℃，加热到300℃
数学中的最优化问题求解方法
数学中的最优化问题求解方法随着科技的迅速发展，人们对于各种事物的需求也越来越高。
而大多数时候，我们是希望达到“最优化”的状态，即在一定条件下，尽可能地取得最大收益或最小成本。
因此，在现实生活中，最优化问题思维逐渐成为人们解决问题的重要方法之一。
而在数学领域，最优化问题同样具有重要作用。
本文将从最优化问题基本概念、最优化建模和求解方法三方面，介绍最优化问题的相关知识。
一、最优化问题基本概念最优化问题，即指在满足一定约束条件下，求出某些目标（如最大值或最小值）最优的解。
最优化问题的基本形式为：$\max_{x\in S} f(x)\qquad$或$\qquad\min_{x\in S} f(x)$其中，$f(x)$为目标函数，$x$为变量，$S$为变量的约束条件。
在最优化问题中，“最大值”和“最小值”藏在目标函数里。
目标函数中哪个变量每增加1，函数数值改变的最大值或最小值就被称为局部最优解或全局最优解。
因此，最优化问题的关键在于如何确定最优解，这便需要我们对其建模和求解。
二、最优化建模最优化问题的关键在于合理建立问题模型。
根据问题特性，我们可以将其分为线性规划、非线性规划、整数规划、混合整数规划、多目标规划等不同类型。
2.1 线性规划线性规划问题是指目标函数和约束条件均为线性函数的最优化问题。
线性规划模型最为简单，但覆盖了许多实际应用的情况。
其基本形式为：$\max_{x\in\Re^n}c^Tx\qquad s.t.\qquad Ax\leq b,x\geq0$其中，向量$c$, $b$和矩阵$A$均为已知的常数，$x$为待求的向量。
在式子中，第一行为目标函数，第二行代表约束条件。
由于目标函数和约束条件均为线性函数，因此这是典型的线性规划问题。
2.2 非线性规划非线性规划问题是指其中一个或多个约束条件或目标函数为非线性函数的最优化问题。
非线性规划比线性规划更为广泛，因此变量取值空间、目标函数和约束条件也更灵活多样。
可靠性与优化设计智慧树知到课后章节答案2023年下山东科技大学
可靠性与优化设计智慧树知到课后章节答案2023年下山东科技大学山东科技大学第一章测试1.直接凭借人类的直觉或逻辑思维的优化方法有哪些？（）A:穷举法 B:黄金分割法 C:遗传算法 D:瞎子爬山法答案:穷举法;黄金分割法;瞎子爬山法2.在进行优化设计时，设计变量选定需遵循哪些原则？（）A:抓主要，舍次要 B:根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量 C:用设计变量来阐述设计问题应该是用最少的数量 D:设计变量应该是独立的答案:抓主要，舍次要;根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量;用设计变量来阐述设计问题应该是用最少的数量;设计变量应该是独立的3.在设计空间中，满足所有约束条件的点称为内点。
（）A:对 B:错答案:对4.优化问题按设计变量的性质可分为？（）A:0-1变量优化问题 B:连续变量优化问题 C:整数变量优化问题 D:离散变量优化问题答案:0-1变量优化问题;连续变量优化问题;整数变量优化问题;离散变量优化问题5.无约束优化问题的目标函数的极值点就是等值面的中心。
（）A:错 B:对答案:对6.优化问题的图解法可求解超过三维的高维优化问题。
（）A:对 B:错答案:错第二章测试1.若函数在某一点处沿某一方向的方向导数大于零，意味着函数值在该点处沿此方向是减小的。
（）A:错 B:对答案:错2.梯度是一个标量。
（）A:对 B:错答案:错3.一个n×n阶矩阵正定的条件是该矩阵的各阶主子式的都大于零。
（）A:对 B:错答案:对4.凸规划的性质哪些？（）A:目标函数是有心的，二维等值线是环环相套的 B:可行域是凸集 C:凸规划问题的局部最优解不一定是全局最优解 D:凸规划问题的任何局部最优解都是全局最优解答案:目标函数是有心的，二维等值线是环环相套的;可行域是凸集;凸规划问题的任何局部最优解都是全局最优解5.多元函数的海赛矩阵具有对称性。
（）A:错 B:对答案:对6.一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段总是位于曲线弧的下方。
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4.利用第二步确定的标准过程求解
– 在我们的例子中是对式子y=f(x)在区间x≥0上就最大
值，图1-2给出了f(x)的曲线。由于f关于x是二次的 ，因此这是一条抛物线。
f ' x
– 那么在x=8处，
8 x 10
f‘(x)=0。由于f在区间（-∞，8） 上是递增的，在（ 8 ，+∞）是递减的。所以x=8是 全局最大值点，并有y=f(8)=133.2
3.推导模型的数学表达式
P R C p w 0.45t (0.65 0.01t ) 200 5t 0.45t
– 令y=P是最大化的目标变量，x=t是自变量。我们的问
题现在化为在集合S={x:x≥0}上求下面函数的最大值
y f x (0.65 0.01x) 200 5 x 0.45 x
此外要假设t≥0，我们的目标是：求净收益P的最大值
1.提出问题-说明
变量、假设、目标无特定顺序 检验完整性的方法是检查最终目标函数是否能写 成t的函数：
0.45美元 5磅 p美元 t天 t天 200磅 + 天 磅 天
五步法归纳
第一步，提出问题
–
第二步，选择建模方法
–
– –
–
–
列出问题中涉及的变量， 包括适当的假设。 注意不要混淆变量和常量 列出你对变量所做的全部 假设，包括等式和不等式 检查单位从而保证你的假 设有意义 用准确的数学术语给出问 题的目标
–
–
选择解决问题的一个一般 的求解方法 一般地，这一步的成功需 要经验，技巧和熟悉相关 文献 在本书中，我们通常会给 定要用的建模方法
2.选择建模方法
概述选定的建模方法
– 给定定义在实轴的子集S上的实值函数y=f(x).设f在S的
某一内点x是可微的，若f在x达到极大或者极小，则 f‘(x)=0。这一结论是微积分中的一个定理，只要 f‘(x)=0的点不是太多，这个方法就很有效。
3.推导模型的数学表达式
把第一步得到的问题应用于第二部，写成所选建 模方法的标准形式，以便于我们运用标准的算法 过程求解。 如果所选的建模方法通常采用一些特定的变量名 ，比如我们这个例子，那么就把问题中的变量名 修改成建模方法中常用的变量名即可。
2.选择建模方法
已有用数学语言表述的问题 然后需要选择数学方法来求解
– 许多问题都可以表示成一个已有有效的一般求解办法
的标准形式 – 应用数学领域的多数研究都包含确定问题的一般类别 ，并提出解决该类问题的有效方法。在这一领域有许 多文献，并且不断取得许多新的进展，一般很少有学 生对选择较好的建模方法有经验或熟悉文献，本书， 除极少的例外，都会给出所用的建模方法。 – 例1.1定位为单变量最优化问题，或者极大-极小化问 题。
(P美元)=(R美元)-(C美元)
可以从最显而易见的部分开始
目标：求P的最大值
售猪问题的第一步结果
变量：
t=时间（天）
假设
t>0 w=200+5t P=0.65-0.01t C=0.45t R=pw P=R-c
w=猪的重量（磅）
p=猪的价格（美元/磅） C=饲养t天的花费（美元） R=售出猪的收益（美元） P=净收益（美元）
– 记r为价格的下降率。我们前面假设r=0.01美元/天，
现在假设r的实际值是不同的。 – 对几个不同的r值重复前面的求解过程，我们会对问 题的解关于r的敏感程度有所了解。
售猪时间x关于价格的下降率r的灵敏性
r（美元/天） 0.008 0.009 0.10 X（天） 15.0 11.1 8.0
16
5.回答第一步中提出的问题
何时售猪可以达到最大收益 我们数学模型得到的答案是在8天之后，可以获 得净收益133.20美元。
– 只要第一步中的假设成立，得到的结果就是正确的。 – 由于我们处理的是一个实际问题，在第一步中会存在
一个风险因素存在，因此通常有必要研究集中可供选 择的方案，这一过程称为灵敏性分析。
1.1五步法
概要介绍数学建模的一般过程-五步法。（以典 型的单变量极大-极小化问题为例）
– 一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养花费45美分/天
，猪的市场价格65美分/磅，但每天下降1美分，求猪 的最佳出售时间。
解决问题的数学建模分五个步骤：
1.1五步法
– 1.提出问题 – 2.选择建模方法
y f ( x)
收益 求导
(0.65 rx) 200 5x 0.45 x
2 25rx 500r 7 f ( x) 5
'
令 f ' ( x) 0 推出 x
7 500r 25r
只要x≥0，即只要 0 r 0.014 ，最佳售猪时间就 由上式给出。
5 13g 49 令f ( x) 0 推出 x 2g
'
只要有（1-3）式计算出的x值是非负的，最佳售 猪时间就由上式给出。图1-6给出了最佳售猪时 间和生长率g之间的关系。
将灵敏性数据表示成相对该变量或百分比的形式 ，要比表示成绝对该变量的形式更自然也更实用 。例如，r的10%的下降导致了x的39%的增加，而 g的10%的下降导致了x的34%的下降。如果x的改 变量为Δx，则x的相对该变量为Δx/x,百分比该 变量为100 Δx/x。如果r改变了Δr，导致x有 Δx的该变量，则相对该变量的比值为Δx/x与 Δr/r的比值。令Δr→0，按照导数的定义，我 们有：
表明若r增加2%，则x下降7%。
由于
dx 245 2 4.9 dg 2 g
表明，猪的生长率增加1%，会导致要多等待大约 3%的时间再出售。
dx g 5 S x, g 4.9 3.0625 dg x 8
灵敏性的分析要有较好的判断力，通常既不可能对模型 中的每一个参数都计算灵敏性系数，也没有这种特殊的 要求。我们需要选择那些有交大不确定性的参数进行灵 敏性的分析。对灵敏性系数的解释还要依赖于参数的不 确定程度。主要问题是数据的不确定程度影响我们答案 的置信度。在这个售猪问题总，我们通常认为猪的生长 率g比价格下降率r更可靠，如果我们观察了猪或者其他 类似动物在过去的生长情况，则g有25%的误差会是很不 寻常的，但对于r的估计有25%的误差则不足为奇。
现在养成使用五步法的习惯， 今后就会比较容易解决我们遇 到的更为复杂的建模问题。 在实际中，仅结果正确是不够 的，你还需要把你的结论与他 人交流的能力，其中有些人可 能并不像你一样了解那么多的 数学知识。
1.2灵敏性分析
上一节概要介绍了数学建模的五步法，整个过程 从对问题做出一些假设开始。我们很少能保证这 些假设都是完全正确的。因此我们需要考虑所得 结果对每一条假设的敏感程度。这种灵敏性分析 是数学建模中的一个重要方面。具体内容与所用 的建模方法有关。因此关于灵敏性分析的讨论会 在本书中贯穿始终。
r（美元/天） 0.011 0.012
X（天） 5.5 3.3
14
12
r(美 元 / 天 ）
10
8
6
4
2 0.008
0.0085
0.009
0.0095
0.01 x(天 ）
0.0105
0.011
0.0115
0.012
对灵敏性的更系统的分析是将r作为未知的参数 ，仍按照前面的步骤求解，写出 价格 p 0.65 rt
– 3.推导模型的数学表达式
– 4.求解模型 – 5.回问题的描述和表达
– 首先列出整个问题涉及的变量（包含单位）
– 写出所做的假设，并给出已知（或假设）的变量之间
的关系（等式或者不等式） – 用明确的数学语言写出问题的目标的表达式。
1.提出问题
例1.1中的全部变量包括：
–
–
将第二步中所选的一般求 解过程应用于第三步得到 表达式的特定问题 注意数学推导，检查是否 有错误，答案是否有意义 采用适当的技术，计算机 代数系统，图形工具、数 值计算软件等，扩大结题 范围，减少错误。
五步法归纳
第五步，回答问题
–
– –
用非技术性语言将第四步 的结果重新表述 避免数学符号和术语 能理解最初提出的问题的 人就应该能理解你给出的 解答
– 猪的重量w（磅）
– 从现在到售出经历的时间t（天）
– t天内养猪的花费C（美元） – 猪的市场价格p（美元/磅）
– 售出生猪所获得的收益R（美元）
– 最终获得的净收益P（美元） – 其他常量：如猪的初始重量（200磅）
1.提出问题
列出关系式
5磅 (磅)= 200磅 + t天 天
其他的假设
p美元 0.65美元 0.01美元 ( )= - t天 磅 磅 磅天 0.45美元 (C美元)= t天 天
1.提出问题
p美元 ( R美元)= 磅 磅
(P美元)=(R美元)-(C美元)
五步法归纳
第三步，推导模型的数学 表达式
–
第四步，求解模型
–
–
–
将第一步中得到的问题重 新表达成第二部选定的建 模方法所需的形式 可能需要将第一步中的一 些变量名改成与第二步中 所用的记号一致 记下任何补充假设，这些 假设是为了使第一步中描 述的问题与第二步中选定 的数学结构相适应而做出 的。
x / x dx r r / r dr x