第一章 单变量最优化

– 3.推导模型的数学表达式
– 4.求解模型 – 5.回答问题
1提出问题

用数学语言对问题的描述和表达
– 首先列出整个问题涉及的变量（包含单位）
– 写出所做的假设，并给出已知（或假设）的变量之间
的关系（等式或者不等式） – 用明确的数学语言写出问题的目标的表达式。
1.提出问题

例1.1中的全部变量包括：
– 记r为价格的下降率。我们前面假设r=0.01美元/天，
现在假设r的实际值是不同的。 – 对几个不同的r值重复前面的求解过程，我们会对问 题的解关于r的敏感程度有所了解。
售猪时间x关于价格的下降率r的灵敏性
r（美元/天） 0.008 0.009 0.10 X（天） 15.0 11.1 8.0
16
y f ( x)

收益 求导
(0.65 rx) 200 5x 0.45 x
2 25rx 500r 7 f ( x) 5
'


令 f ' ( x) 0 推出 x
7 500r 25r

只要x≥0，即只要 0 r 0.014 ，最佳售猪时间就 由上式给出。
(P美元)=(R美元)-(C美元)

可以从最显而易见的部分开始
目标：求P的最大值
售猪问题的第一步结果
变量：
t=时间（天）
假设
t>0 w=200+5t P=0.65-0.01t C=0.45t R=pw P=R-c
w=猪的重量（磅）
p=猪的价格（美元/磅） C=饲养t天的花费（美元） R=售出猪的收益（美元） P=净收益（美元）
五步法归纳

第一步，提出问题
–

第二步，选择建模方法
–
– –
–
–
列出问题中涉及的变量， 包括适当的假设。 注意不要混淆变量和常量 列出你对变量所做的全部 假设，包括等式和不等式 检查单位从而保证你的假 设有意义 用准确的数学术语给出问 题的目标
–
–
选择解决问题的一个一般 的求解方法 一般地，这一步的成功需 要经验，技巧和熟悉相关 文献 在本书中，我们通常会给 定要用的建模方法
– 猪的重量w（磅）
– 从现在到售出经历的时间t（天）
– t天内养猪的花费C（美元） – 猪的市场价格p（美元/磅）
– 售出生猪所获得的收益R（美元）
– 最终获得的净收益P（美元） – 其他常量：如猪的初始重量（200磅）
1.提出问题

列出关系式
5磅 (磅)= 200磅 + t天 天
r（美元/天） 0.011 0.012
X（天） 5.5 3.3
14
12
r(美 元 / 天 ）
10
8
6
4
2 0.008
0.0085
0.009
0.0095
0.01 x(天 ）
0.0105
0.011
0.0115
0.012


对灵敏性的更系统的分析是将r作为未知的参数 ，仍按照前面的步骤求解，写出 价格 p 0.65 rt
2.选择建模方法

已有用数学语言表述的问题 然后需要选择数学方法来求解
– 许多问题都可以表示成一个已有有效的一般求解办法
的标准形式 – 应用数学领域的多数研究都包含确定问题的一般类别 ，并提出解决该类问题的有效方法。在这一领域有许 多文献，并且不断取得许多新的进展，一般很少有学 生对选择较好的建模方法有经验或熟悉文献，本书， 除极少的例外，都会给出所用的建模方法。 – 例1.1定位为单变量最优化问题，或者极大-极小化问 题。
5 13g 49 令f ( x) 0 推出 x 2g
'

只要有（1-3）式计算出的x值是非负的，最佳售 猪时间就由上式给出。图1-6给出了最佳售猪时 间和生长率g之间的关系。

将灵敏性数据表示成相对该变量或百分比的形式 ，要比表示成绝对该变量的形式更自然也更实用 。例如，r的10%的下降导致了x的39%的增加，而 g的10%的下降导致了x的34%的下降。如果x的改 变量为Δx，则x的相对该变量为Δx/x,百分比该 变量为100 Δx/x。如果r改变了Δr，导致x有 Δx的该变量，则相对该变量的比值为Δx/x与 Δr/r的比值。令Δr→0，按照导数的定义，我 们有：
数学建模方法
马永奎 Yk_ma@hit.edu.cn 郑黎明 zheng@hit.edu.cn
第1章 单变量的最优化
概述

解决最优化问题是数学的一些最常见的应 用。
– 列举例子，例如取得最好的成绩，达到最小的消耗，
在一定目标下使成本最低等等。
共同的数学模式：有一个或者多个可以控 制的变量，控制这些变量（实际中受限） ，达到最优结果。
五步法归纳

第三步，推导模型的数学 表达式
–

第四步，求解模型
–
–
–
将第一步中得到的问题重 新表达成第二部选定的建 模方法所需的形式 可能需要将第一步中的一 些变量名改成与第二步中 所用的记号一致 记下任何补充假设，这些 假设是为了使第一步中描 述的问题与第二步中选定 的数学结构相适应而做出 的。

其他的假设
p美元 0.65美元 0.01美元 ( )= - t天 磅 磅 磅天 0.45美元 (C美元)= t天 天
1.提出问题
p美元 ( R美元)= 磅 磅
(P美元)=(R美元)-(C美元)
3.推导模型的数学表达式
P R C p w 0.45t (0.65 0.01t ) 200 5t 0.45t
– 令y=P是最大化的目标变量，x=t是自变量。我们的问
题现在化为在集合S={x:x≥0}上求下面函数的最大值
y f x (0.65 0.01x) 200 5 x 0.45 x
1.1五步法
一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养花费45美分/ 天，猪的市场价格65美分/磅，但每天下降1美分 ，求猪的最佳出售时间。 这个过程什么是假设的条件？哪些可能会不准确 ？哪些数据更可靠一些？
可靠的数据

生猪的重量 现在猪的售出价格 每天饲养的花费
不确定的因素

价格的下降（上升）率

现在养成使用五步法的习惯， 今后就会比较容易解决我们遇 到的更为复杂的建模问题。 在实际中，仅结果正确是不够 的，你还需要把你的结论与他 人交流的能力，其中有些人可 能并不像你一样了解那么多的 数学知识。
1.2灵敏性分析

上一节概要介绍了数学建模的五步法，整个过程 从对问题做出一些假设开始。我们很少能保证这 些假设都是完全正确的。因此我们需要考虑所得 结果对每一条假设的敏感程度。这种灵敏性分析 是数学建模中的一个重要方面。具体内容与所用 的建模方法有关。因此关于灵敏性分析的讨论会 在本书中贯穿始终。
–
–
将第二步中所选的一般求 解过程应用于第三步得到 表达式的特定问题 注意数学推导，检查是否 有错误，答案是否有意义 采用适当的技术，计算机 代数系统，图形工具、数 值计算软件等，扩大结题 范围，减少错误。
五步法归纳

第五步，回答问题
–

– –
Leabharlann Baidu
用非技术性语言将第四步 的结果重新表述 避免数学符号和术语 能理解最初提出的问题的 人就应该能理解你给出的 解答
5.回答第一步中提出的问题

何时售猪可以达到最大收益 我们数学模型得到的答案是在8天之后，可以获 得净收益133.20美元。
– 只要第一步中的假设成立，得到的结果就是正确的。 – 由于我们处理的是一个实际问题，在第一步中会存在
一个风险因素存在，因此通常有必要研究集中可供选 择的方案，这一过程称为灵敏性分析。
x / x dx r r / r dr x

我们称这个极限值为x对r的灵敏性，记为S(x,r) 在售猪问题中，我们在点r=0.01和x=8得到：
dx 7 2800 2 dr 25r
dx r 0.01 7 因此 S x, r 2800 dr x 8 2
此外要假设t≥0，我们的目标是：求净收益P的最大值
1.提出问题-说明

变量、假设、目标无特定顺序 检验完整性的方法是检查最终目标函数是否能写 成t的函数：
0.45美元 5磅 p美元 t天 t天 200磅 + 天 磅 天
不确定的因素

猪的生长率
– 原来假设g=5磅/天，更一般地，我们可以假设
w 200 gt – 从而有公式 f ( x) (0.65 0.01x) 200 gx 0.45 x – 于是 2 gx 5 49 13g ' f ( x) 100
2.选择建模方法

概述选定的建模方法
– 给定定义在实轴的子集S上的实值函数y=f(x).设f在S的
某一内点x是可微的，若f在x达到极大或者极小，则 f‘(x)=0。这一结论是微积分中的一个定理，只要 f‘(x)=0的点不是太多，这个方法就很有效。
3.推导模型的数学表达式


把第一步得到的问题应用于第二部，写成所选建 模方法的标准形式，以便于我们运用标准的算法 过程求解。 如果所选的建模方法通常采用一些特定的变量名 ，比如我们这个例子，那么就把问题中的变量名 修改成建模方法中常用的变量名即可。
4.利用第二步确定的标准过程求解
– 在我们的例子中是对式子y=f(x)在区间x≥0上就最大
值，图1-2给出了f(x)的曲线。由于f关于x是二次的 ，因此这是一条抛物线。
f ' x
– 那么在x=8处，
8 x 10
f‘(x)=0。由于f在区间（-∞，8） 上是递增的，在（ 8 ，+∞）是递减的。所以x=8是 全局最大值点，并有y=f(8)=133.2

表明若r增加2%，则x下降7%。

由于
dx 245 2 4.9 dg 2 g

表明，猪的生长率增加1%，会导致要多等待大约 3%的时间再出售。
dx g 5 S x, g 4.9 3.0625 dg x 8

灵敏性的分析要有较好的判断力，通常既不可能对模型 中的每一个参数都计算灵敏性系数，也没有这种特殊的 要求。我们需要选择那些有交大不确定性的参数进行灵 敏性的分析。对灵敏性系数的解释还要依赖于参数的不 确定程度。主要问题是数据的不确定程度影响我们答案 的置信度。在这个售猪问题总，我们通常认为猪的生长 率g比价格下降率r更可靠，如果我们观察了猪或者其他 类似动物在过去的生长情况，则g有25%的误差会是很不 寻常的，但对于r的估计有25%的误差则不足为奇。
1.1五步法

概要介绍数学建模的一般过程-五步法。（以典 型的单变量极大-极小化问题为例）
– 一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养花费45美分/天
，猪的市场价格65美分/磅，但每天下降1美分，求猪 的最佳出售时间。

解决问题的数学建模分五个步骤：
1.1五步法
– 1.提出问题 – 2.选择建模方法