华东师大初中数学八年级下册数据的整理与初步处理知识讲解

数据的整理与初步处理——知识讲解【学习目标】1、掌握平均数、加权平均数的意义和求法，体会用样本平均数估计总体平均数的思想．2、了解中位数和众数的意义，掌握中位数的求法，并会找一组数据的众数.3、了解方差的意义及求法，体会用样本方差估计总体方差的思想，能用方差解决一些实际问题.4、从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用.【要点梳理】要点一、平均数和加权平均数1.平均数1??nxx、…x、x、x+x+???x+x+就是这组数个数据一般地，如果有，那么，n213 ??x x+xx?+???x+x+. 即”表示.据的算术平均数，简称平均数，用“n123n要点n213n1诠释：（1）平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任意一个数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响.2.加权平均数ffxffxxx次，这组数据的平均数若数据出现出现出现次，出现次......次，31kk1232xf?xf? (x)k2121k fffxx=n，k≤…+为+，则=n（其中）+1k2f?f?…+f k21在一组数据中，数据重复出现的次数f叫做这个数据的权.按照上述方法求出的平均数，叫做加权平均数.数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.要点诠释：fx的个数越多，“权”就越重. “权”越重，对平均数的影响就越（1）越大，表示kk大.加权平均数的分母恰好为各权的和.（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.要点二、中位数和众数1.中位数一般地，当一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数.要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.众数2.一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个，也可能没有. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、众数、中位数都是反映数据集中趋势的统计量，能从不同的角度提供信息.区别：平均数是概括一组数据的一种常用指标，反映了这组数据中各数据的平均大小.中位数是概括一组数据的另一种指标，如果将一组数据按由小到大的顺序排列，那么中位数的左边和右边恰有一样多的数据.众数告诉我们，这个值出现的次数最多，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数.总之，要根据具体问题来选择刻画一组数据的集中程度的统计量，选择的统计量要能够更客观地反映实际背景.要点四、方差x,x,…，x是，我们数据是的平均数用它，们设一组x n12??1??2222)(x??(xx)xS???xx...??来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这n12n组数据的方差.求方差的步骤概括为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”.一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大，越不稳定.要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.2k k倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的3）一组数据的每一个数据都变为原来的（倍. 要点五、用样本估计总体在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.要点诠释：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.【典型例题】类型一、平均数、众数和中位数1、某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，则这位选手得分的众数和中位数分别是（）A．99.60，99.70 B．99.60，99.60C．99.60，98.80 D．99.70，99.60根据众数和中位数的定义求解即可．【思路点拨】．【答案】B；【解析】解：数据99.60出现3次，次数最多，所以众数是99.60；数据按从小到大排列：99.45，99.60，99.60，99.60，99.70，99.80，99.83，中位数是99.60．故选B．【总结升华】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．举一反三：【高清课堂数据的分析例8】x，3.9，3.7的中位数是3.2，3.5，则其众数是________，【变式1】若数据3.2，3.4，平均数是________．【答案】3.2；3.5；x?3.4?3.5,x?3.6，所以众数是3.2解：由题意，平均数是3.5. 2【变式2】某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（）A．6.2小时 B．6.4小时 C．6.5小时 D．7小时【答案】B；解：根据题意得：（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50=（50+90+140+40）÷50=320÷50=6.4（小时）．故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时．类型二、利用平均数、众数、中位数解决问题、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各2 分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：项测试成绩满分均为100测试成绩测试项目丙甲乙73 73 85 教学能力65 70 71 科研能力846472组织能力(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．1??x???++xx++x即可求出三人的平均成绩，比较）运用求平均数公式（【思路点拨】1n132n 得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果.【答案与解析】．解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，∴候选人丙将被录用．(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，∴候选人甲将被录用．【总结升华】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用．举一反三：【高清课堂数据的分析例10】【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?【答案】89?78?85?84x?（分）解：小王平时测试的平均成绩．384?10%?90?30%?87?60%?87.6（分）所以．10%?30%?60%答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．3、（2015春?东莞期末）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋20双，各种尺码鞋的销售量如表：鞋号 23.5 24 24.5 25 25.5 26人数 3 4 4 7 1 1（1）求出这些尺码鞋的平均数，中位数，众数．（2）如果你是老板，去鞋厂进货时哪个尺码的鞋子可以多进一些.为什么？【思路点拨】（1）直接利用平均数公式求出即可，再利用中位数以及众数的定义得出答案；（2）利用众数的意义得出答案．【答案与解析】解：（1）这组数据的平均数是：=（23.5×3+24×4+24.5×4+25×7+25.5+26）=24.55，中位数是：24.5，众数是25；（2）去鞋厂进货时25尺码型号的鞋子可以多进一些，原因是这组数据中的众数是25，故销售的女鞋中25尺码型号的鞋卖的最好．【总结升华】此题主要考查了众数、中位数的定义以及平均数求法，正确掌握中位数的定义是解题关键．举一反三：【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图．零花钱数额（元5101520a 51520学生个数（个）请根据图表中的信息，回答以下问题.a的值； (1)求 (2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数．【答案】a＝50－15－20－5解：(1) ＝10．(2)众数是15．1(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)平均数为＝12．50类型三、方差（2016?巴彦淖尔）某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他4. 们进行了8次测试，测试成绩（单位：环）如下表：（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是环，乙的平均成绩是环；（2）分别计算甲、乙两名运动员8次测试成绩的方差；（3）根据（1）（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，并说明理由．【思路点拨】（1）根据平均数的计算公式计算即可；（2）利用方差公式计算；（3）根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大解答即可．【答案与解析】解：（1）甲的平均成绩为：×（10+8+9+8+10+9+10+8）=9，乙的平均成绩为：×（10+7+10+10+9+8+8+10）=9，故答案为：9；9；）9+9）（10﹣9）+（﹣89+89[（2）甲的方差为：（10﹣）+（﹣9）（9﹣）+（﹣22，]=0.758 222222+9（﹣9）9（10﹣）+2222228（+）9﹣8（+）9﹣9（+）9﹣10（+）9﹣10（+）9﹣7（+）9﹣10（[乙的方差为：9）]=1.25﹣9）+（10﹣，0.75＜1.25（3）∵∴甲的方差小，∴甲比较稳定，故选甲参22，加全国比赛更合适．的平均数，x，…x【总结升华】本题考查的是方差的概念和性质，一般地设n个数据，x n122222，它反映了一组数据的波动大小，）﹣）+…+（x]﹣（为，方差S=[xx﹣）+（n21方差越大，波动性越大，反之也成立．举一反三：且甲所中的环数的B5，5，A，，C, 8【变式】甲、乙两人各射击6次，甲所中的环数是，．根据以上数据，对甲、乙射平均数是6，众数是8；乙所中的环数的平均数是6，方差是4 击成绩的正确判断是（） B．乙射击成绩比甲稳定A．甲射击成绩比乙稳定 D．甲、乙射击成绩稳定性无法比较C．甲、乙射击成绩稳定性相同B.【答案】类型四、用样本估计总体，小刚在他所、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”5，并将调查(单位：t)名同学家庭中一年的月均用水量在班的50名同学中，随机调查了10 结果绘成了如图所示的条形统计图． 10个样本数据的平均数、众数和中位数；求这 (1)的约有多少名同学家庭中月均用水量不超过7t(2)根据样本数据，估计小刚所在班50户．【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t的用户所占的百分比，再进一步估计总体．【答案与解析】解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是6?2?6.5?4?7?1?7.5?2?8?1?x6.8?．10∴这组样本数据的平均数为6.8．次，出现的次数最多．4出现了6.5在这组样本数据中，∴．∴这组数据的众数是6.5．∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5，有6.5?6.5?6.5．2∴这组数据的中位数是6.5．7??3550． 10户中月均用水量不超过7t的有7户，有∵(2)10∴根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有35户．【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．举一反三：【变式】（2014?清河区二模）4月23日是“世界读书日”，向阳中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放100份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如下：月阅读册数（本） 1 2 3 4 5被调查的学生数（人） 20 50 15 10 5请你根据以上信息，解答下列问题：（1）被调查的学生月平均阅读册数为本；（2）被调查的学生月阅读册数的中位数是；（3）在平均数、中位数这两个统计量中，更能反映被调查学生月阅读的一般水平；（4）若向阳中学共有学生1600人，求四月份该校学生共阅读课外书籍多少本？【答案】解：（1）平均阅读册数为：=2.3（本）；名学生，（2）∵共有100；∴第50和51为同学的阅读量的平均数为中位数：=2（3）在平均数、中位数这两个统计量中，中位数更能反映被调查学生月阅读的一般水平；（4）2.3×1600=3680（本）．6. 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：cm）甲： 21 42 39 14 19 22 37 41 40 25乙： 27 16 40 41 16 44 40 40 27 44(1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的方差.(2)哪种玉米的苗长得高些？(3)哪种玉米的苗长得齐？【思路点拨】本题考察方差的定义.熟记方差的计算公式是解决问题的关键.【答案与解析】1）（?）?????????（?x2142391419223741402530cm 1（解：:）甲的平均值甲10．乙的平均值:222)30(25?30)??(21?30)??(42?22?cmS)?104.2(:, 甲的方差甲10222)3144???(?31)16?(?31)(27?22?)8(cmS.?128: 乙的方差乙10（2）因为甲种玉米的平均高度小于乙种玉米的平均高度，所以乙种玉米的苗长的高.22S＜S）因为.，所以甲种玉米的苗长得整齐（3乙甲【总结升华】本题既是一道与方差计算有关的问题，又是利用方差解决实际问题的一道题目，关键是理解和掌握方差的计算公式.举一反三：【变式】为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势．【答案】54 2 3 植株编号 1 84 5 7 甲种苗高 5 乙种苗高 6 4 5 6 5∵x?5.，x8?.25，乙甲∴甲种水稻比乙种水稻长得更高一些．22∵S?2.16，S?0.56，乙甲∴乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些．。