62 分式线性变换及其映射性质
复变函数课件6-2分式线性映射
够处理更广泛的函数。
值的扩展
02
将分式线性映射的值域从实数域扩展到复数域，从而能够处理
复数函数的变换。
参数的扩展
03
引入更多的参数，以实现更复杂的分式线性映射，并提高映射
的灵活性和适用性。
分式线性映射的推广
推广到高维空间
将分式线性映射从二维平面推广到更高维的空间 ，以处理更复杂的几何变换和函数变换。
解答1
对于题目1，首先化简$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z - 1)} = frac{(z + 1)(z - 1)}{z(z - 1)} = frac{z + 1}{z}$，然后根据 留数的定义，得到在$z = 1$和$z = 0$的留数分别为0和1。
解答2
对于题目2，首先化简$f(z) = frac{1}{z^2 - 4z + 3} = frac{1}{(z - 1)(z - 3)} = frac{1}{2}left(frac{1}{z - 1} frac{1}{z - 3}right)$，然后根据留数的定义，得到在$z = 2 + i$和$z = 2 - i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$frac{i}{4}$。
分式线性映射在信号处理中的应用
在信号处理中，分式线性映射可以用于实现信号的滤波、频域变换和调制解调等处理，以提高信号的质量和传输 效率。
05
分式线性映射的习题和解答
分式线性映射的习题
题目1
01
题目2
02
03
题目3
设$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z 1)}$，求$f(z)$在$z = 1$和$z = 0$的留数。
应用
分式线性映射的导数在研究函数的性质、曲线和曲面的几何形状等 方面有重要应用。
6-2分式线性映射
az + b ( ad − bc ≠ 0, a , b, c , d均为常数 .) 定义 w = cz + d 称为分式线性映射 分式线性映射. 称为分式线性映射 任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的 分式映射复合而成: 分式映射复合而成
(1)平移映射 w = z + b ; ( 2)旋转与相似映射 w = az ; 1 ( 3)反演映射 w = . z
由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 故命题得证. 故命题得证 [证毕 证毕] 证毕
17
试将如图所示的区域映射到上半平面. 试将如图所示的区域映射到上半平面 y z+i i , 解 取分式线性映射 w1 = z−i • 将切点 i映射为w1 = ∞ , 并将
9
3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时 这 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域. 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域
10
三、典型例题
例1 求分式线性映射 , 使 z = 1映射成 w = 1 , 且使 z = 1,1 + i 映射成 w = 1, ∞ .
=e
− πiw1
=e
− πi
z+i z−i
为所求映射. 为所求映射
( w1 )
z+i w1 = z−i
•i
−1
O −i
1x
O
19
y
i
( w1 )
•
O −i
•i
1x
w2 = − iw1
i
( w2 )
−1
O
O
w3 = πw2
复变函数6.2
圆 C 上的点和本身关于圆 C 对称。 圆心 及 是关于圆 C 的对称点。
定理 4.4 如果分式线性函数把扩充 z 平面 上的圆 C 映射成扩充 W 平面上的圆 Γ , 则它 把关于圆 C 的对称点 及 映射成关于圆 Γ 的对称点 及 .（保对称点性） Γ
例 设 则当 因为 所以 表示扩充 z 平面上的圆。 因为 0 和 是圆 W 平面 的对称点，且 时 是 w 平面上的圆， Z 平面
例 在扩充复平面上
把实轴映射成实轴。
在有限复平面上 除去原点的实轴。
把除去原点的实轴映射成
例 设
把不通过点 通过点
的圆和直线映射为圆，把
的圆和直线映射为直线。
设分式线性函数把扩充 z 平面上的圆 C 映射成扩充 w 平面上的圆Γ C Γ
则 或 例 问 把圆 的内部区域和外部
分别映射成什么区域？ 切线 由 实轴 知圆 实轴， 直线
（2）把圆盘
保形映射成圆盘
的分式线性函数。 取 使
时
因此
，所求函数是
例如取 总结 分式线性函数的性质：
则
保角性，保圆性，保对称点性，三个点（圆） 分别映射成三个点（圆）的存在性。
扩充w平面
当 当
时 时
可见，分式线性函数是由以下三种简单函数 复合而得。
例
4. 分式线性函数的映射性质 约定：把复平面上的直线看作半径是无穷 大的圆，或通过无穷远点的圆。
定理4.1 在扩充复平面上，分式线性函数把 圆映射为圆。（保圆性） 证 设直线的方程为 或 对于 是 w 平面上的直线 把直线映射成直线。
由保角性知道： 圆 直线
圆内的点 1 映射成直线右 边的点 1 ，所以圆内的区 域映射成直线右边的区域。
第二节 分式线形函数及其映射性质
注：
(1)分式线性函数的定义域可以推广到扩充复平
面 C。 (2)当 0时，规定它把 z 映射成 w ；
(3)当 0 时，规定它把z , z 映射成
w , w
二、分式线性函数的拓广
由此，我们可以解出分式线性函数。显然 这样的分式线性函数也是唯一的。
注：
z z1 : z3 z1 和 w w1 : w3 w1 分别称为 z z2 z3 z2 w w2 w3 w2 及 z1, z2, z, z3 的交比。w1, w2, w, w3 分别记为 (z1, z2 , z, z3 ) ，(w1, w2 , w, w3 )
2
2i
则得圆的复数表示：
azz z z d 0,
其中a,b,c,d是实常数，
1 2
(b
ic)
是复常数。
函数 w 1 把圆映射成为 z
dww w w a 0,
即w平面的圆（如果d=0，它表示一条直线， 即扩充w平面上半径为无穷大的圆）。
注解：
(1)、设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映射 成扩充w平面上的圆C‘。于是，C及C’把这两个 扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域， D1, D2 及 D1', D2 '，其边界分别是C及C'。
（3）、w rz 确定一个以原点为相似中心的相 似映射；
（4）、w
1 z
是由 z1
1 z
映射及关于实轴的对称
映射 w z1 叠合而得。
四、映射的性质
1、保圆性
规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无 穷大的圆。 定理6.6 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射 成圆。
线性变换与线性映射
线性变换与线性映射线性变换和线性映射是线性代数中非常重要的概念，它们在许多数学和科学领域中扮演着重要角色。
本文将介绍线性变换和线性映射的概念、性质、表示以及它们在实际问题中的应用。
一、线性变换线性变换是指将一个向量空间中的向量变换成另一个向量空间中的向量，并且满足以下两个性质：保持向量加法和标量乘法。
具体而言，设V和W是两个向量空间，如果存在一个映射T：V→W，对于任意的向量u和v以及任意的标量c，满足以下两个条件：1. T(u+v) = T(u) + T(v)，即线性变换保持向量的加法；2. T(cu) = cT(u)，即线性变换保持标量与向量的乘法；则称T为从V到W的线性变换。
线性变换的特点在于它们保持向量空间的线性结构，即维度和线性关系不会发生改变。
同时，线性变换也保持向量空间的零向量不变。
二、线性映射线性映射是线性代数中另一种重要的概念，它可以看作是线性变换的一种具体形式。
线性映射也被称为线性函数或线性算子。
设V和W是两个向量空间，如果存在一个映射L：V→W，对于任意的向量u和v以及任意的标量c，满足以下两个条件：1. L(u+v) = L(u) + L(v)，即线性映射保持向量的加法；2. L(cu) = cL(u)，即线性映射保持标量与向量的乘法；则称L为从V到W的线性映射。
线性映射与线性变换的概念相似，但线性映射通常更强调其作为一种函数的性质。
线性映射将向量空间V中的每个向量映射到向量空间W中的一个向量，并且保持了向量间的线性关系。
三、线性变换与线性映射的表示线性变换和线性映射可以通过矩阵来表示。
对于线性变换T：V→W，我们可以选择向量空间V和W的基，然后将V中的每个向量表示为一个列向量，将T作用于这些列向量，得到对应的W中的列向量。
将这些列向量按顺序排列，就得到一个矩阵A，称作线性变换T 的矩阵表示。
同样，对于线性映射L：V→W，也可以采用同样的方法进行表示。
矩阵表示的优势在于它可以将复杂的线性变换或线性映射问题转化为矩阵运算问题，简化了计算过程。
复变函数教程 §6-2 分式线性映射
1. 分式线性映射的定义 2. 分式线性映射的性质
1. 分式线性映射的定义
定义 映射w az b (ad bc 0) (1) cz d
称为分 ~~~式~~线 ~~~性~~映~~~射,其中a, b, c, d是复常数.
ad bc (1) w' (cz d )2
w
w1
1 ei r
o
x,u
w
w 1的几何作图
z
z
w1
r1 r
1, z与w1在同一射线上; z, w1关于 z 1对称.
1)作出点z关于圆周z 1的对称点w1.
2)作 出 点w1关 于 实 轴 对 称 的 点 即 得w(见 图).
2. 分式线性映射的性质
先讨论以上三种特殊映射的性质, 从而得
出一般分式线性映射的性质.
(1)保角性
对于(iii)w 1 的情况 z
z 1 w 1 z 1 w 1
z 1 w 1;
若arg z , arg w
因此映射w 1 通常称为反演变换
w f (z)
z
w f (z)
z 0 w ; z w 0(见第一章§2)
v y u2 v2
C : a( x2 y2 ) bx cy d 0
w1z : d (u2 v 2 ) bu cv a 0
a,d 0 a 0, d 0 a 0, d 0 a 0, d 0
圆 周C 圆 周 圆 周C 直 线 直 线C 圆 周 直 线C 直 线
cz d
cw a
则,逆映射仍为分式线性的,
分式线性变换
§2 分式线性变换一、教学目标或要求：理解分式线性变换的映射性质及应用 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：分式线性变换的映射性质，例题 重点：分式线性变换 难点：应用三、教学手段与方法： 讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：4-11§2 分式线性变换1、分式线性变换及其分解分式线性变换的概念 称变换dcz baz w ++=(7.3) 为分式线性变换或Möbius 变换，其中的d c b a ,,,为复常数，且0≠-bc ad ．记为 。
规定时，， 时， 。
线性变换将扩充平面一一变换为扩充平面,逆变换 也是线性变换。
线性变换可分解为以下二种类型变换的复合(Ⅰ) 整线性变换 (当时,)(Ⅱ)反演变换 (当时,)(Ⅰ)型变换的几何意义——整线性变换下,原象与象是不改变图形方向的相似变换。
(Ⅱ)型变换的几何意义。
其中具有性质:，并且对称点都在过单位圆心的同一射线上。
把平面上的单位圆周映成平面上的单位圆周,并把单位圆周内(外)部映成单位圆外(内)部。
规定圆心 与 为关于单位圆周的对称点。
线性变换的复合仍是线性变换。
几个初等函数的映射性质1.h z w += (h 为常数)的映射性质： (1)是一个平移变换．(2)在复平面处处是保角的．这是因为，在复平面上处处有01≠='w ． (3)将圆周映射为圆周．2.kz w = (k 为常数，且0≠k )的映射性质： (1)是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加．(2)在复平面上处处是保角的．这是因为，0≠='k w 在复平面上处处成立． 3.zw 1=的映射性质： (1)该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称． (2)在复平面上除0=z 外，处处是保角的．(3)将圆周映射为圆周． 对于z 平面上的圆周（或直线）0)(22=++++D Cy Bx y x A映射zw 1=当0,0≠≠D A 时，将圆周映射为圆周； 当0,0=≠D A 时，将圆周映射为直线； 当0,0≠=D A 时，将直线映射为圆周； 当0,0==D A 时，将直线映射为直线． 分式线性变换的映射性质（7.3）式的“结构”是由平移变换、旋转与伸长（或缩短）变换及反演变换复合而成．1. 线性变换的保形性定义 两曲线在无穷远点处的交角是指它们在反演变换之下的象曲线在原点处的交角。
线性变换的定义和性质
汇报人：XX
• 线性变换的基本概念 • 线性变换的基本性质 • 线性变换的矩阵表示 • 线性变换的应用举例 • 线性变换与空间结构的关系
01
线性变换的基本概念
定义与性质
线性变换定义
保持原点不动
保持向量共线性
保持向量比例不变
线性变换是一种特殊的映射， 它保持向量空间中的加法和数 乘运算的封闭性。即对于向量 空间V中的任意两个向量u和v 以及任意标量k，都有 T(u+v)=T(u)+T(v)和 T(kv)=kT(v)。
矩阵性质
线性变换的矩阵表示具有一些特殊的性质。例如，两个线性变换的复合对应于它们矩阵的乘积；线性变换的可逆 性对应于矩阵的可逆性；线性变换的特征值和特征向量对应于矩阵的特征值和特征向量等。
02
线性变换的基本性质
线性变换的保线性组合性
线性组合保持性
对于任意标量$a$和$b$，以及向量 $mathbf{u}$和$mathbf{v}$，线性 变换$T$满足$T(amathbf{u} + bmathbf{v}) = aT(mathbf{u}) + bT(mathbf{v})$。
通过引入复数和极坐标等 概念，可以将某些函数图 像进行旋转。
微分方程中的线性变换
变量代换
通过适当的变量代换，可以将某些非线性微分方 程转化为线性微分方程，从而简化求解过程。
拉普拉斯变换
将时间域内的微分方程通过拉普拉斯变换转换到 频域内，从而方便求解和分析。
傅里叶变换
将时间域内的函数通过傅里叶变换转换到频域内 ，可以分析函数的频率特性和进行滤波等操作。
数乘保持性
对于任意标量$k$和向量$mathbf{v}$，线性变换$T$满足$T(kmathbf{v}) = kT(mathbf{v})$。
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2. 保交比性
定义 扩充复平面上有顺序的四个相异点z1 , z2 , z3 ,z4
构成下面的量,称为它们的交比,记为( z1 , z2 ,z3 ,z4 ) :
z4 z1 z3 z1 ( z1 , z2 ,z3 ,z4 )= : . z4 z2 z3 z2
a ( x 2 y 2 ) bx cy d 0, (如果a 0, 表示一条直线)中,
代换 zz zz x y z z, x ,y , 2 2i
2 2
则得到圆方程的复数形式 az z z z d 0, 1 其中a, b, c, d为实常数, (b ic)为复常数. 2 1 函数w 将上式映射为 z dww w w a 0,
的方向平移一段距离 后, 就得到w.
(z) (w)
w
o
z
(2) w e z(为实数) (旋转);
i
(z) (w)
把z旋转一个角度 得到w.
w
z
o
(3) w z( 为正实数) (相似映射);
把|z|伸长 倍后得到w.
(z) (w)
z
w
o
1 (4) w (反演映射). z
y
定义 若 在 半 直 线 上 有 两 点 p, p'
r
o
P
满 足op op' r , 则 称p与p' 关
2
于 圆 周z r对 称.
~~~~~~~~
P'
x
~~~~~~~~~~~~~~~~~
规定无穷远点的对称点为圆心o
T
o
如何由 p找到关于圆周 z r的对称点 p'呢?
设p在 圆 外 , 从p作 圆 周 的 切 线pT , 连 接op,由T作op 的垂线 Tp' , 与op交 于p' , 那 么p与p'即 互 为 对 称 点 .
于是,整个z平面映射成w平面上的一点.
z 2. 0, w 称为整线性映射. z z w 3. 由w z , z w
即分式线性映射的逆映射也是分式线性映射. z 4. 将w 的定义域及值域推广到扩充复平面C . z z 当 0, w 将z 映射成w ; z z 当 0, w 将z 及z 映射成 z
w 及w ;
z 5. 0, w z ,
z 0, w , z 2 z
(1) w z (为常数) (平移);
一般的分式线性方程由下面四种简单的函数复合可得：
证 先考虑各点为有限的情况.
z 设所求的分式线性函数为w ,则 z zk wk (k 1, 2,3). zk
算出w w1 , w w2 , w3 w1 , w3 w2 , 并计算消去
, , , ,得到
w w1 w3 w1 z z1 z3 z1 : : . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
P'
P
1 1 反演映射w . 令w1 , 则w w1. z z 1 1 i 1 i i 则有 w e , w w1 e , 设 z re , 1 z r r
从而 w1 z 1.
故z与w1是关于单位园周 z 1 的对称点.
z
关于单位圆对称
w1 w1 .
.z
关于实轴对称
o
. w
w
二、分式线性函数的映射性质
1. 保圆性 所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为 圆周的性质. 特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周.
定理6.2.1
在扩充z上,分式线性函数
把圆映射成圆.
证 已知分式线性映射所确定的映射,是平移,
1 旋转,相似映射以及反演映射w 的复合. z 显然,平移,旋转,相似映射将圆映射成圆. 1 下证反演映射w 将圆映射成圆. z 在圆方程
(6.2.4)即可推出.
(6.2.4)
1 z 1 满足条件, 下证唯一性. 若另一函数为w 1 z 1
类似地可得到(6.2.4). 所以该变换是唯一的.
其次,若已给出点除w3＝外, 其它点都是有限点.
z 那么所求函数有下列形式w . ( z z3 )
zk 并且wk ( zk z3 )
(2) w ei z(为实数) (旋转);
(3) w z( 为正实数) (相似映射);
1 (4) w (反演映射). z
2. 四种简单的分式线性映射 (为方便起见, 令w平面与z平面重合)
(1) w z (为常数) (平移);
在此映射下, z沿向量 (即复数 所表示的向量)
当四点中有一点为,应当将包含此点项用1代替. 如:z1 ,即有
1 1 (, z2 ,z3 ,z4 )= : . z4 z2 z3 z2
定理6.2.2 对于扩充z上任意三个不同的点 z1 , z2 , z3以及扩充w平面上任意三个不同的点w1 , w2 , w3 ,
存在唯一的分式线性函数, 把z1 ,z2 ,z3分别映射成 w1 , w2 , w3 .
第二节 分式线性变换及其映射性质
• 一、分式线性函数 • 二、分式线性函数的映射性质
一、分式线性函数
1. 分式线性函数的定义
分式线性函数指如下形式的函数:
ห้องสมุดไป่ตู้
z w , z
其中 , , 及 是复常数, 且 0.
说明: 1. 0, 保证了映射的保角性. dw 否则,由于 0, 有w 常数. 2 dz ( z )
(k 1, 2).
算出w w1 , w w2 , 并计算消去 , , , ,得到