自动控制原理2实验三状态空间分析..
自动控制原理控制系统分析与设计-状态空间方法1——基础部分
t
)
RC
duC ( dt
t
)
uC
(
t
)
u(
t
)
状态方程
x1 x2
x1
x2
0 1
LC
1 R
L
x1 x2
0 1
u
该方法具有一般性,可用于 输入输出高阶微分方程
y 1
0
x x
1 2
输出方程
7
同一系统不同状态变量之间的关系？
前例R-L-C网络的两 种状态变量为
i
x
uc
和
0x
0 0
0
0
x u,
1
0
an1 b0
16
即 x Ax Bu
y Cx
0
1
0
0
0
1
A
0
0
0
a0 a1 a2
c 1 0 0 0
0 0
0
0
, b ,
1
0
an1
b0
输入端含导数项时如何建立状态空间表达式？
17
基于传递函数的直接分解法：
x2
1RL
C
1 L 0
x1 x2
1
L
0
u
y 0
1
x x
1 2
x1
x2
0 1
LC
1 R
L
x1 x2
0 1u
1 G( s ) LCs2 RCs 1
y 1
0
x x
1 2
由同一系统的不同状态空间表 达式导出的传递函数（阵）必 然相同
13
由微分方程或传递函数转化为状态空间模型
自动控制原理2--实验3状态空间2012
《自动控制原理Ⅱ》实验指导书中国石油大学（北京）自动化系2011年实验三用Matlab进行状态空间分析及设计一、实验目的：掌握使用MATLAB进行及状态空间分析及状态反馈控制系统的设计二、主要函数及命令（一）、状态空间描述及其转换1．状态空间表达及显示ss（A,B,C,D）%显示ABCD构成的状态空间模型sys1＝ss（A,B,C,D）%将ABCD状态空间模型赋给结构变量sys1 [A2,B2,C2,D2]＝ssdata（sys1）%模型sys1中的矩阵赋给矩阵变量printsys(A,B,C,D) %显示ABCD构成的状态空间模型sys1 %显示结构变量sys1即状态空间模型2．模型转换[num,den]＝ss2tf（A,B,C,D） sys_ss=ss(A,D,C,D)[A,B,C,D]＝tf2ss（num,den） sys_tf＝tf(num,den)sys_ss2＝ss2ss（sys_ss1,T） [A2,B2,C2,D2]＝ssdata(ss2)3．标准形式sys_ss2＝canon（sys_ss1,，modal，）%对角线,复数sys_ss3＝canon（sys_ss1,，companion，）％A为伴随矩阵4．最小实观[Am,Bm,Cm,Dm]＝minreal（A,B,C,D）sys_ssm=mineral(sys_ss) sys_tfm＝minreal（sys_tf）（二）、求A的特征值，特征向量[W, Ad ]＝eig（A） eig（A） eig（sys_ss） det（A）（三）、状态方程的解及状态转移矩阵expm（A*t）%t必须已知如：t＝[0:0.1:5][y,x]＝lsim（A,B,C,D,u,t,x0）%例u=0*t, or u=u+1 , x0=[0;0;0]plot(x) %另plot(x(1)),plot(y)等step(sys_ss)（四）、可控可观性分析Qc＝ctrb（sys_ss） Qo＝obsv（sys_ss）Qc＝ctrb（A,B） Qo＝obsv（A,C）n ＝length（A） nc＝rank（Qc）no＝rank（Qo） no＝rank(obsv（ss（a,b,c,d））)[A1,B1,C1,T,K]＝ctrbf（A,B,C） [A1,B1,C1,T,K]＝obsv（A,B,C）（五）状态反馈控制器的设计（极点配置法举例）a=[-2 –2.5 –0.5 ; 1 0 0; 0 1 0] >>b=[1;0;0]P＝[-1，-2，-3] %希望配置的闭环极点k=place(a,b,p) %求状态反馈矩阵aclose=a-b*k %求状态反馈控制系统闭环状态矩阵eig(a) %求开环状态矩阵特征值（开环极点）eig(aclose) %求闭环状态矩阵特征值（闭环环极点）三、实验及报告内容1，系统状态空间模型如下：010*******A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦;001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;[]100C =（1） 求其传递函数，由传递函数求系统的极点；（2） 由上述状态空间模型，求系统的特征值；（3） 求上述系统状态转移矩阵；（4） 求其在x0=[2; 1; 2], u 为单位阶跃输入时x 及y 的响应；（5） 分析上述系统的可控性、可观性；（6） 将上述状态空间模型转换为其他标准形式；（7） 取T=[1 2 4;0 1 0;0 0 1] 对上述状态空间模型进行变换，分析变换后的系统。
自动控制原理状态空间法
目录
• 引言 • 状态空间法基础 • 线性系统的状态空间表示 • 状态反馈与极点配置 • 最优控制理论 • 离散系Biblioteka 的状态空间表示01引言
状态空间法的定义
状态空间法是一种基于状态变量描述线性时不变系统的方法，通过建立系 统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
状态变量是能够完全描述系统内部状态的变量，可以是系统的物理量或抽 象的数学变量。
最优控制问题
在满足一定约束条件下，寻找一个控制输入， 使得被控系统的某个性能指标达到最优。
性能指标
通常为系统状态或输出函数的积分，如时间加 权或能量加权等。
约束条件
包括系统动态方程、初始状态、控制输入和终端状态等。
线性二次调节器问题
线性二次调节器问题是最优控制问题的一个特例， 其性能指标为系统状态向量的二次范数。
THANKS
状态方程描述了系统内部状态变量之间的动态关系，而输出方程则描述了 系统输出与状态变量之间的关系。
状态空间法的重要性
1
状态空间法提供了系统分析和设计的统一框架， 可以用于线性时不变系统的各种分析和设计问题。
2
通过状态空间法，可以方便地实现系统的状态反 馈控制、最优控制、鲁棒控制等控制策略。
3
状态空间法具有直观性和易于实现的特点，能够 直接反映系统的动态行为，便于理解和分析。
02
状态空间法基础
状态与状态变量
状态
系统在某一时刻的状态是由系统 的所有内部变量共同决定的。
状态变量
描述系统状态的变量，通常选择 系统的输入、输出和内部变量作 为状态变量。
状态方程的建立
根据系统的物理或数学模型，通过适 当的方法建立状态方程。
控制系统的状态空间分析与设计
控制系统的状态空间分析与设计控制系统的状态空间分析与设计是现代控制理论的重要内容之一，它提供了一种描述和分析控制系统动态行为的数学模型。
状态空间方法是一种广泛应用于系统建模和控制设计的理论工具，其基本思想是通过描述系统内部状态的变化来揭示系统的特性。
一、状态空间模型的基本概念状态空间模型描述了系统在不同时间点的状态，包括系统的状态变量和输入输出关系。
在控制系统中，状态变量是指影响系统行为的内部变量，如电压、速度、位置等。
通过状态空间模型，可以将系统行为转化为线性代数方程组，从而进行分析和设计。
1. 状态方程控制系统的状态方程是描述系统状态演化的数学表达式。
一般形式的状态方程可以表示为：x(t) = Ax(t-1) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)是系统在时刻t的状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是控制输入矩阵，u(t)是系统的控制输入，y(t)是系统的输出，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
2. 状态空间矩阵状态空间矩阵包括系统的状态转移矩阵A、控制输入矩阵B、输出矩阵C和直接传递矩阵D。
通过这些矩阵，可以准确描述系统的状态变化与输入输出之间的关系。
3. 系统的可控性和可观性在状态空间分析中，可控性和可观性是评估系统控制性能和观测性能的重要指标。
可控性是指通过调节控制输入u(t)，系统的状态可以在有限时间内从任意初始状态x(0)到达任意预期状态x(t)。
可控性可以通过系统的状态转移矩阵A和控制输入矩阵B来判定。
可观性是指通过系统的输出y(t)可以完全确定系统的状态。
可观性可以通过系统的状态转移矩阵A和输出矩阵C来判定。
二、状态空间分析方法状态空间分析方法包括了系统响应分析、系统稳定性分析和系统性能指标分析。
1. 系统响应分析系统的响应分析可以通过状态方程进行。
主要分析包括零输入响应和零状态响应。
零输入响应是指当控制输入u(t)为零时，系统的输出y(t)变化情况。
《自动控制原理》状态空间描述的非唯一性及线性变换
•
x = Ax + bu, y = cx
（9-183）
令
x = Px
（9-184）
式中P为非奇异线性变换矩阵，它将x变换为 x，变换后的动态
方程为
•
x = Ax + bu, y = cx = y
(9-185)
式中
A = P−1 AP,b = P−1b, c = cP
（9-186）
并称为对系统进行P变换。对系统进行线性变换可以使 A 阵规
这表明变换前与变换后系统的传递矩阵完全相同，系统的传递矩阵
对于非奇异线性变换具有不变性。
(2)变换Leabharlann 系统特征值不变变换后系统的特征值为
I − P −1 AP = P −1P − P −1 AP = P −1P − P −1 AP = P −1 (I − A)P = P −1 (I − A) P = P −1 P I − A = P−1P I − A = I I − A = I − A
则仍可使A阵化为对角阵 。 （特殊情况，了解内容）
P = p1 p2 pm pm+1 pn
（*）
式中 pm+1, pm+2 ,, pn 是互异实数特征值对应的实特征向量。 展开 Api = 1 pi (i = 1,2,, m) 时，n个代数方程中若有m个pij ( j = 1,2,,n) 元
可见，系统变换后与变换前的特征值完全相同，这说明对于非奇异
线性变换，系统特征值具有不变性。
第9-1节 作业：习题 9-3 9-4 9-6 9-7
0
− a0 − a1 − a2 − an−1
1
下面具体推导变换矩阵P：
设变换矩阵P为
P = P1T P2T PnT T
第七章线性系统状态空间分析_自动控制原理
第七章线性系统状态空间分析例 1 已知实际力学模型的状态方程为求其系统的状态空间表达式。
程序代码：num=[1 2 1];den=[1 3 2 1];G=tf(num,den);Gss=ss(G)由结果显示可知，系统的状态空间表达式：例 2 已知控制系统的状态空间表达式为试绘制系统的单位阶跃输出轨线和脉冲输出轨线。
绘制系统的单位阶跃输出轨线，程序代码如下：A=[-5 -1;3 -1];B=[2 5]';C=[1 2];D=0;G=ss(A,B,C,D);[y,t,x]=step(G);plot(t,x,'r',t,y,'b');grid;text(2,-0.1,'x_2(t)');text(2,4.2,'x_1(t)');text(2,7.6,'y(t)');绘制系统的脉冲信号输出轨线，程序代码如下：A=[-5 -1;3 -1];B=[2 5]';C=[1 2];D=0;G=ss(A,B,C,D);[y,t,x]=impulse(G);plot(t,x,'r',t,y,'b');axis([-0.1 3 -2 13]);grid;text(0.52,0.1,'x_2(t)');text(0.52,3.2,'x_1(t)');text(0.52,6,'y(t)');例 3 已知缠绕装置张力控制系统的传递函数的状态空间表达式为绘制状态响应, 其中输入信号为, 初始条件为。
绘制状态响应曲线，程序代码如下：A=[-2 -2.5 -0.5;1 0 0;0 1 0];B=[1;0;0];C=[0 1.5 1];D=0;G=ss(A,B,C,D);t=[0:0.1:20]';x0=[1 0 2]; % 非零初始条件u(1:21)=2*ones(21,1); % 输入 0<t<2u(21:201)=0.5*ones(181,1); % 输入 t>2[y,t,x]=lsim(G,u,t,x0); % 初始条件引起的响应plot(t,x(:,1),'-r',t,x(:,2),'-b',t,x(:,3),'-m'); % 用不同的线条和颜色绘制状态响应轨线grid on;text(6,0.25,'x_1(t)'); % 标识曲线，用“ _ ”表示下标text(6,-0.5,'x_2(t)');text(8,1.7,'x_3(t)');title(' 状态响应轨线 ');xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');例 4 已知某自动装置的控制系统的状态方程为：试确定其系统的稳定性。
自动控制原理状态空间分析方法
x(s) (sI A)1 x0
（9-37）
拉氏反变换后得到
x(t) L1[(sI A)1]x0 （9-38） e At L1[( sI A)1 ]
(sI A)1 L[eAt ] L[I At k1！Akt k ]
I s
A s2
A2 s3
Ak sk 1
第29页/共217页
最终得到
(sI
A)
s 2
1 s 3
(sI
A) 1
adj(sI A) sI A
(s
1 1)(s
2)
s 3
2
1 s
s3
(s
1)(s 2
2)
(s 1)(s 2)
(s
1
1)(s s
2)
2 s21
s
1
2
2
(s 1)(s 2) s 1 s 2
1
s 1 1
s
1
2
2
s 1 s 2
2 非齐次状态方程的解
非齐次方程
x(t) Ax(t) Bu(t) （9-53）
改写为
x(t) Ax(t) Bu(t)
用 e At
左乘等式两边
eAt [x(t) Ax(t)] d [eAt x(t)] eAt Bu(t) dt
（9-54）
第39页/共217页
积分上式得
t
eAt x(t) x(0) eA Bu( )d
第31页/共217页
性质3
图9-8 状态转移特性
第32页/共217页
例9-5
设系统的状态方程为
x1 x2
0 0
1 0
x1 x2
试求状态转移矩阵。
第33页/共217页
状态空间模型性能分析——《自动控制原理-理论篇》第8.5节
8.5.2 能控性分析----举例
例8-15
0 0 x 1 x u 设系统为 0 0 1 x x x y 1 1 试判能控性 . x
1 1 2 2 1 2
解:
1 0 S B AB ; rank s 1 n 1 0 S y CB CAB D 2 0 0; rank s y 1 m
若系统有一个状态变量不能由系统的输出唯一确定，
8.5.3 能观性分析----能观性判据
线性定常连续系统状态完全能观的充分必 要条件是其能观性矩阵
C CA V n 1 CA nmn
满秩,即
rankV n
8.5.3 能观性分析----举例
控制器 控制器 ˆ x 状态观测器
为了实现状态反馈，要能够测量全部状态，但实际状态往
往是难以测量的 能观性 -----
y(t)对x(t)的反映能力
这就需要从可以测量的输出中估计出来，状态估计的任
务就是设计状态观测器
能够从系统的输出中估计出状态？这就是系统能观性问题。
8.5.3 能观性分析----定义
例8-16 已知 系统的状态空间表达式
2 0 1 t x xt ut 1 1 1 yt 0 1xt
试分析能观性。
解:
C 0 1 V CA 1 1 rankV 2
试判断系统的稳定性。
解:
令 sI A s 1s 2 0 s1 1; s2 2
1 0 2 0 s 2 0 sI A s s 1s 2 1 s 1 0 1 1 1
自控实验—二、三阶系统动态分析
实验二．二、三阶系统动态分析一．实验目的：1．学习二、三阶系统的电模拟方法及参数测试方法；2．观察二、三阶系统的阶跃响应曲线，了解参数变化对动态特性的影响； 3．学习虚拟仪器（超抵频示波器）的使用方法； 4．使用MATLAB 仿真软件进行时域法分析； 5．了解虚拟实验的使用方法。
二．实验设备及仪器1．模拟实验箱； 2．低频信号发生器；3．虚拟仪器(低频示波器)； 4．计算机；5．MATLABL 仿真软件。
三．实验原理及内容实验原理：1、二阶系统的数学模型系统开环传递函数为系统闭环传递函数为2、 二阶系统暂态性能(a) 延迟时间t d : 系统响应从 0 上升到稳态值的 50% 所需的时间。
)2s (s n 2nςω+ω为阻尼比（，为无阻尼自然振荡频率其中：ςωω+ςω+ω==n 2nn 22ns 2s )s (G )s (R )s (C(b) 上升时间t r : 对于欠阻尼系统是指 , 系统响应从 0 上升到稳态值所需的时间 ; 对于过阻尼系统则指 , 响应从稳态值的 10% 上升到 90% 所需的时间。
(c) 峰值时间t p : 系统响应到达第一个峰值所需的时间。
(d) 最大超调量σp ( 简称超调量 ) : 系统在暂态过程中输出响应超过稳态值的最大偏离量。
通常以单位阶跃响应稳态值的百分数来表示 , 即%100e e esin 1e)t sin(1e1)y(t )y()y()y(t σ22pn pn pn 11t 2t p d 2t p p p ⨯===-=+--=-=∞∞-=-------ζπζζπζζωζωζωϕζϕωζ超调量)t sin(1e 1)t (y d 2tn ϕωζζω+--=- 2n d p d 1ωπωπt 0)t sin()t (y ζω-==∴= 峰值时间求导可得对dr t t ωπt 1y(t)rϕ-=== 可令2n21n πϕωξ-=-t ≈n2d n d 2.06.01t 7.01ως+ς+ως+≈或n2d n d2.06.01t 7.01t ως+ς+≈ως+≈或(e) 调节时间t s : 系统响应到达并不再越出稳态值的容许误差带±Δ所需的最短时间 , 即通常取Δ为稳态值的 5% 或 2% 。
自动控制原理实验报告(实验一,二,三)分析
自动控制原理实验报告实验名称：线性系统的时域分析线性系统的频域分析线性系统的校正与状态反馈班级：学号：姓名：指导老师：2013 年12 月15日典型环节的模拟研究一. 实验目的1．了解和掌握各典型环节模拟电路的构成方法、传递函数表达式及输出时域函数表达式2．观察和分析各典型环节的阶跃响应曲线，了解各项电路参数对典型环节动态特性的影响二．实验内容及步骤观察和分析各典型环节的阶跃响应曲线，了解各项电路参数对典型环节动态特性的影响.。
改变被测环节的各项电路参数，画出模拟电路图，阶跃响应曲线，观测结果，填入实验报告运行LABACT 程序，选择自动控制菜单下的线性系统的时域分析下的典型环节的模拟研究中的相应实验项目，就会弹出虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验机配套的虚拟示波器（B3）单元的CH1测孔测量波形。
具体用法参见用户手册中的示波器部分1)．观察比例环节的阶跃响应曲线典型比例环节模拟电路如图3-1-1所示。
图3-1-1 典型比例环节模拟电路传递函数：01(S)(S)(S)R R K KU U G i O === ； 单位阶跃响应： K )t (U = 实验步骤：注：‘S ST ’用短路套短接！（1）将函数发生器（B5）所产生的周期性矩形波信号（OUT ），作为系统的信号输入（Ui ）；该信号为零输出时，将自动对模拟电路锁零。
① 在显示与功能选择（D1）单元中，通过波形选择按键选中矩形波’（矩形波指示灯亮）。
② 量程选择开关S2置下档，调节“设定电位器1”，使之矩形波宽度＞1秒（D1单元左显示）。
③ 调节B5单元的“矩形波调幅”电位器使矩形波输出电压= 4V （D1单元‘右显示）。
（2）构造模拟电路：按图3-1-1安置短路套及测孔联线，表如下。
（a ）安置短路套 （b ）测孔联线（3）运行、观察、记录：打开虚拟示波器的界面，点击开始，按下信号发生器（B1）阶跃信号按钮（0→+4V 阶跃），观测A5B 输出端（Uo ）的实际响应曲线。
自动控制原理状态空间设计知识点总结
自动控制原理状态空间设计知识点总结自动控制原理是探讨和研究如何实现系统的自动控制以达到预期目标的学科。
状态空间法是自动控制领域中一种重要的设计方法。
本文将对自动控制原理中的状态空间设计的知识点进行总结。
一、什么是状态空间法状态空间法是自动控制原理中一种用于描述和分析线性时不变系统的方法。
它通过引入状态变量和状态方程的概念，将系统的输入、输出和状态统一起来，从而使得系统的设计和分析更加方便和灵活。
在状态空间法中，系统被描述为一组由状态变量、输入和输出组成的方程，其中状态变量描述了系统的内部状态，输入是系统的外部指令或信号，输出是系统的响应结果。
二、状态空间模型的表示方式1. 状态方程表示状态方程是状态空间模型的一种常用表示方式。
它由一组常微分方程组成，描述了系统状态随时间的变化规律。
一般形式的状态方程可以表示为：dx(t)/dt = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)为n维状态向量，描述系统的内部状态；u(t)为m维输入向量，描述系统的外部输入；y(t)为p维输出向量，描述系统的响应结果；A、B、C、D为系统的系数矩阵。
2. 传递函数表示传递函数是状态空间模型的另一种常用表示方式。
它通过 Laplace 变换将系统的输入、输出表示为复频域函数的比值。
传递函数的一般形式为：G(s) = C(sI - A)^(-1)B + D其中，G(s)为传递函数，s为复变量，I为单位矩阵。
三、状态空间设计的基本步骤1. 确定系统的状态变量状态变量的选择对系统的描述和分析有重要影响。
一般来说，状态变量需要能够全面反映系统的内部状态，并且能够适应系统的控制要求。
2. 建立系统的状态方程根据系统的特点和要求，建立描述系统状态变化规律的状态方程。
可以根据物理原理、经验模型或者系统的观测数据进行建模。
3. 确定系统的输出方程输出方程描述了系统的响应结果如何与状态变量、输入信号相联系。
自动控制原理控制系统分析与设计-状态空间方法2——综合与设计
状态观测器的闭环极点可任意配置的充要条件为
系统状态完全可观测
23
例： 设系统的状态空间表达式为
1 1 0 1 x 1 1 0 x 0u
0 1 3 0
y 0 0 1x
状态方程同前 面极点配置例
求状态观测器，使其特征值为 1 2 3 3
解：
C 0 0 1
Qo
CA
0
1
3
CA2 1 2 9
7
二、状态反馈与闭环极点配置
极点配置条件：
对于 x Ax Bu
y Cx
通过状态反馈 u r Kx
全部闭环极点的充要条件为：
系统状态完全可控
可任意配置
即状态可控的前提下，反馈系统特征方程
det[sI A BK ] ( s 1 )( s 2 ) ( s n )
的根可以任意设置。
8
例： 设系统的状态方程为
41
基于观测器的状态反馈系统结构图 （有输出端扰动）
74 1 B 29 0
12 0
x( t ) xˆ ( t )
程序：ac8no542
状态变量的收敛性1
状态变量的 误差不→0
x1 xˆ 1
43
状态变量的收敛性2
状态变量的 误差不→0
x2 xˆ 2
44
状态变量的收敛性3
状态变量的 误差不→0
f * ( s ) ( s 3 )3 s3 9s2 27 s 27
令 f * ( s ) f ( s ) 得 h1 74 , h2 29 , h3 12
观测器的反馈系数阵为 H 74 29 12T
25
观测器的状态方程为 xˆ ( A HC )xˆ Bu Hy 1 1 74 1 74 1 1 29 xˆ 0u 29 y 0 1 9 0 12
自动控制原理课件：状态空间分析
C CA =n rankP = rank n −1 CA
必要性: 设rankP<n,则存在x(0), 使得Px(0)=0, 即
我们有
10 X 1 (s) = X 2 (s) s+5
状态空间方程的可控性和可观测性
定义 2.1 如果在一个有限的时间内施加一个无约束的控制向量, 使 系统由初始状态x(t0)转移到任一状态, 则称该系统在时间t0时 为状态可控的。 定义 2.2 如果系统的状态x(t0)在有限时间内可由输出的观测值确定, 那么称系统在时刻t0是状态可观测的。 控制系统的状态完全可控性 设状态方程为:
y1 (t ) = g1 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
y2 (t ) = g 2 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
ym (t ) = g m ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
定义:
x(t ) = [ x1 (t ), , xn (t )]
A(t)称为状态矩阵, B(t)称为输入矩阵 C(t)称为输出矩阵, D(t)称为直接传输矩阵
D(t )
u (t )
B(t )
+
x(t )
•
+
∫ dt
A(t )
x(t )
C (t )
+
+
y (t )
如果向量函数f和g不显含时间t, 则称该系统定常系统：
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
自动控制原理状态空间法
控制系统的状态空间描述
一.问题的引出 1 --古典控制理论的局限性 1、仅适用于SISO的线性定常系统(外部描述，
时不变系统) 2、古典控制理论本质上是复频域的方法.(理论) 3、设计是建立在试探的基础上的.(应用) 4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下,才
能采用传递函数.
(2)状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅为数 学描述所需,而非明确的物理意义。
(3)状态变量是系统的内部变量,一般情况下输出是 状态的函数,但输出总是希望可量测的。
(4)仅讨论有限个状态变量的系统。 (5)有限个数的状态变量的集合,称为状态向量。 (6)状态向量的取值空间称为状态空间。
例2,设下图的RLC网络,如果电流 i(t,0电) 容电压
• 状态方程描述了 t0时刻和状态 x(和t0 )输入 u(t0所, 决)定的系统在 的t 行 t为0 .
2.输出方程
• 输出方程是在指定输出变量情况下,(输出变量 往往是选取可以量测的物理量)其输出变量与 状态变量以及输入变量之间的关系. 用
y(t) C(t)x(t) D(t)u(t)
• 其中: • y(t是) m×1维向量, y(t) R, m1 • C(t是) m×n维向量, C(t) ,Rmn • D(t是) m×r维向量, D(t) ,Rmr
根据系统微分方程建立状态空间表达式.
1.输入项中不含输入导数项的线性系统空间状态 表达式
• 系统描述为:
y(n) a1 y(n1) an1 y an y u
(1)
讨论:状态如何选择
• 对方程(1),若已知 y(,t0], y(,t0], y(n1) (,t0和] 则可u[完t0 , 全) 确定系统在 的行为t,故 t而0 可选取
第二章 控制系统的状态空间分析
t
A(t t ) 式中 (t t0 ) e 0
系统的单位脉冲响应：
x(t ) (t ) x(0) (t ) Bu( )d (t ) x(0) (t )B ( )d (t ) x(0) (t )B
0 0 t 0
系统的输出响应为：
B, n r A, n n 矩阵
矩阵
定义1.如果存在一个分段连续的输入信号u(t),能在 t0 , t f 内，将系统的任一初始状态转移到终端状态 x t f ,那么称该系统 是完全能控的，或简称系统是能控的。若系统n个状态变量中， 至少有一个状态不能控时，称此系统为状态不完全能控。
是非奇异的。
4）n×nm能控性矩阵
U r B AB An1B
的秩是n.
பைடு நூலகம்
School of Automation Engineering
自动 控制原理下部
时变系统中，状态变量x(t)的转移与初始时刻有关，而在 定常系统中，系统的能控性与初始时刻的选取无关。 在线性定常系统中，为简便起见，可以假设初始时刻时， 系统的终端状态为零。 若存在一个无约束的控制信号，使得系统状态由零转移到任 意终端状态，则称系统是能达的。 在定常线性系统中，能控一定能达，能达也一定能控。而在 线性时变系统中能控不一定能达，能达不一定能控。 在讨论能控性问题时，输入信号从理论上来说是无约束的， 取值并非唯一。 输出的能控性 令线性定常系统的状态方程为
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定理5
线性定常系统 ( A, C) 状态能观测的充要条件为下列 条件之一， 1）矩阵 Ce
【实验报告】《自动控制原理》实验三 用Matlab进行状态空间分析及设计
实验三用Matlab进行状态空间分析及设计1.A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6];B=[0;0;1];C=[1 0 0];sys1=ss(A,B,C,0);[num,den]=ss2tf(A,B,C,0);sys2=tf(num,den);[z,p,k]=tf2zp(num,den);e=eig(sys1);t=0;F=expm(A*t);t=[0:0.1:5];t0=0;x0=[2;1;2];u=stepfun(t,t0);[y,x]=lsim(sys1,u,t,x0);figure(1);plot(t,x);grid;title('step response of x');figure(2);plot(t,y);grid;title('step response of y');Qc1=ctrb(sys1);c=rank(Qc1);if c==3disp('sys1 is controlled');endQo1=obsv(sys1);o=rank(Qo1);if o==3disp('sys1 is observable');endsys3=ss(A',C',B',0);T=[1 2 4;0 1 0;0 0 1] ;sys4=ss2ss(sys1,T);Qc4=ctrb(sys4);c=rank(Qc4);if c==3disp('sys4 is controlled');endQo4=obsv(sys4);o=rank(Qo4);if o==3disp('sys4 is observable');end（1）传递函数及由此得到的系统的极点极点p =[-3.0000-2.0000-1.0000]（2）根据状态空间模型得到的系统的特征值（由语句eig(sys1)求出）ans=[-1.0000-2.0000-3.0000]系统的特征值全部位于s平面的左半部分，由此判断出系统是一个稳定系统（3）求系统的状态转移矩阵（由语句symst1 ；expm(A*t1)求出）（4）求系统在x0=[2; 1; 2], u为单位阶跃输入时x及y的响应记录曲线如下：A:单位阶跃输入时状态变量X的响应曲线:B：单位阶跃输入时系统输出y响应曲线(5)系统的可控性，可观性分析A.系统的可控性矩阵s为：s = 0 0 10 1 -61 -6 25则系统可控性矩阵的秩f=3，矩阵A的维数为n=3得到系统的结果是system is controlled即系统是可控的B.系统的可观性矩阵v为：v =1 0 00 1 00 0 1则系统可观性矩阵的秩m=3，矩阵A的维数为n=3得到系统的结果是system is observable即系统是可观测的实验结论：由运行结果可知该系统既可控也可观（6）将原来的系统状态空间模型转化为以下俩种标准形式A.转化为对角线的标准形式（由语句sys3=canon(sys1,'modal')求出）B.转化成为A为伴随矩阵的标准形式（由语句sys4=canon(sys1,'companion')求出）（6）T=[1 2 4;0 1 0;0 0 1] 对上述状态空间模型进行变换，分析变换后的系统的空间模型为（有语句T=[1 2 4;0 1 0;0 0 1] ;sys5=ss2ss(sys1,T)实现）对变换后的系统的空间模型进行可控可观性分析得到的结果是系统的可控性矩阵s为s=1 0 00 1 00 0 1可控性矩阵的秩f=3得到系统的结果是system is controlled即系统是可控的系统的可观性矩阵v为v =0 0 10 1 -61 -6 25系统的可观测矩阵的秩m =3得到系统的结果是system is observable即系统是可观测的系统的特征根ans=[ -1.0000 -2.0000 -3.0000 ]2.A1=[0 2 0 0;0 1 -2 0;0 0 3 1;1 0 0 0];B1=[1 0;0 0;0 1;1 0];C1=[0 1 0 0;0 0 1 0];sys1=ss(A1,B1,C1,0);Qc1=ctrb(sys1);c=rank(Qc1);if c==4disp('sys1 is controlled');endQo1=obsv(sys1);o=rank(Qo1);if o==4disp('sys1 is observable');end系统的可控性矩阵s为：s =1 0 0 0 0 -4 -4 -160 0 0 -2 -2 -8 -10 -260 1 1 3 4 9 12 271 0 1 0 0 0 0 -4可控性矩阵的秩f = 4系统的维数n =4得到系统的结果是system is controlled即系统是可控的系统的可观性矩阵v为：v =0 1 0 00 0 1 00 1 -2 00 0 3 10 1 -8 -21 0 9 3-2 1 -26 -83 2 27 9系统的可观性矩阵秩m =4得到系统的结果是system is observable即系统是可观测的综上说明该系统即是可控的也是可观测的A2=[-3 1 0 0 0 0 0 0;0 -3 0 0 0 0 0 0;0 0 -4 1 0 0 0 0;0 0 0 -4 0 0 0 0;0 0 0 0 -1 1 0 0;0 0 0 0 0 -1 0 0;0 0 0 0 0 0 -5 1;0 0 0 0 0 0 0 5];B2=[1 3;5 7;4 3;0 0;1 6;0 0;9 2;0 0];C2=[3 1 0 5 0 0 3 6;1 4 0 2 0 0 7 1];sys2=ss(A2,B2,C2,0);Qc2=ctrb(sys2);c2=rank(Qc2);if c2==8disp('sys2 is controlled');endQo2=obsv(sys2);o2=rank(Qo2);if o2==8disp('sys2 is observable');end[A21,B21,C21,T21,K21]=ctrbf(A2,B2,C2);[A22,B22,C22,T22,K22]=obsvf(A2,B2,C2);系统的可控性矩阵s为：可控性矩阵的秩f=5系统的维数n =8得到系统的结果是system is no controlled即系统是不可控的系统的可观性矩阵v为：系统的可观性矩阵秩m =5得到系统的结果是system is no observable即系统是不可观测的综上说明该系统即是不可控的也是不可观测的A3=[-1 0 0 0;2 -3 0 0;1 0 -2 0;4 -1 2 -4];B3=[0;0;1;2];C3=[3 0 1 0];sys3=ss(A3,B3,C3,0);Qc3=ctrb(sys3);c3=rank(Qc3);if c3==4disp('sys3 is controlled');endQo3=obsv(sys3);o3=rank(Qo3);if o3==4disp('sys3 is observable');end[A31,B31,C31,T31,K31]=ctrbf(A3,B3,C3);[A32,B32,C32,T32,K32]=obsvf(A3,B3,C3);系统的可控性矩阵s为：s =0 0 0 00 0 0 01 -2 4 -82 -6 20 -72可控性矩阵的秩f = 2系统的维数n =4得到系统的结果是system is no controlled即系统是不可控的系统的可观性矩阵v为：v =3 0 1 0-2 0 -2 00 0 4 04 0 -8 0系统的可观性矩阵秩m =2得到系统的结果是system is no observable即系统是不可观测的综上说明该系统即是不可控的也是不可观测的3.A=[0 1 0; 0 0 1; -50 -25 -12];B=[0;0;1];C=[1 0 0];sys1=ss(A,B,C,0);Qc1=ctrb(sys1);c=rank(Qc1);if c==3disp('sys1 is controlled');endQo1=obsv(sys1);o=rank(Qo1);if o==3disp('sys1 is observable');endp=[-1,-10,-12];k=place(A,B,p);sys2=ss(A-B*k,B,C,0);[num,den]=ss2tf(A-B*k,B,C,0);G=tf(num,den);figure(1);step(sys1);grid;hold on;step(sys2);grid;legend('sys1','sys2');hold o ff;（1）判别系统的可控性系统的可控性矩阵s为：s =0 0 10 1 -121 -12 119可控性矩阵的秩f = 3系统的维数n =3得到系统的结果是system is controlled即系统是可控的系统的可观性矩阵v为：v =1 0 00 1 00 0 1系统的可观性矩阵秩m =3得到系统的结果是system is observable即系统是可观测的综上说明该系统即是可控的也是可观测的（2）设计状态反馈控制器使闭环极点为p=[-1,-10,-12];所求状态反馈增益矩阵为k=[70.0000 117.0000 11.0000] 状态反馈控制系统闭环状态矩阵:A1 =0 1 00 0 1-120-142 -23（3）求出闭环系统的传递函数和动态方程改变前系统传递函数改变后系统传递函数改变前系统的动态方程改变后系统动态方程（4）比较反馈前后系统的阶跃响应A.系统的单位阶跃响应状态曲线B.系统的单位阶跃响应输出曲线。
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实验三 用Matlab 进行状态空间分析及设计一、实验目的：掌握使用MATLAB 进行及状态空间分析及状态反馈控制系统的设计。
二、实验内容实验内容一：系统状态空间模型如下：010*******A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦;001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;[]100C = （1） 求其传递函数，由传递函数求系统的极点；（2） 由上述状态空间模型，求系统的特征值；（3） 求上述系统状态转移矩阵；（4） 求其在x0=[2; 1; 2], u 为单位阶跃输入时x 及y 的响应；（5） 分析上述系统的可控性、可观性；（6） 将上述状态空间模型转换为其他标准形式；（7） 取T=[1 2 4;0 1 0;0 0 1] 对上述状态空间模型进行变换，分析变换后的系统。
实验matlab 程序：A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6];B=[0 0 1]';C=[1 0 0];D=0; %输入矩阵ABCDsys1=ss(A,B,C,D) %显示ABCD 构成的状态空间模型[num,den]=ss2tf(A,B,C,D) %实现状态空间模型到传递函数模型的转换sys2=tf(num,den) %得到系统按分子分母多项式降幂排列的传递函数P=roots(den) %求出系统的极点eig(sys1) % 由状态空间模型得到系统的特征值 syms t1expm(A*t1) %求系统状态转移矩阵 x0=[2;1;2] %系统的初始状态t=[0:0.1:20]'; %定义时间tu(1,1:201)=1*ones(1,201); %输入单位阶跃[y t x]=lsim(sys1,u,t,x0); %计算系统的单位阶跃响应figure(1)plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'-',t,x(:,3),'-') %绘制系统单位输入响应状态曲线xlabel('t/秒');ylabel('x(t)');title('单位阶跃输入响应状态曲线')gridtext(6,0.3,'x_1(t)')text(6,-1.5,'x_2(t)')text(6,1.8,'x_3(t)')figure(2)plot(t,y);grid; %绘制系统单位输入响应输出曲线xlabel('t/秒');ylabel('y(t)');title('系统单位输入响应输出曲线')s=ctrb(A,B) %计算可控性矩阵Sf=rank(s) %通过rank 命令求可控矩阵的秩n=length(A) %计算矩阵A 的维数if f==n %判断系统的可控性disp('system is controlled')elsedisp('system is no controlled')endv=obsv(A,C) %计算可观性矩阵vm=rank(v) %通过rank命令求可控矩阵的秩if m==n %判断系统的可观性disp('system is observable')elsedisp('system is no observable')Endsys3=canon(sys1,'modal') %将系统转化成对角线的标准形式sys4=canon(sys1,'companion') %将系统转化成为A为伴随矩阵的标准形式T=[1 2 4;0 1 0;0 0 1] %输入变换矩阵sys5=ss2ss(sys1,T) %得到变换后的状态空间模型实验结果：（1）传递函数及由此得到的系统的极点极点p =[-3.0000 -2.0000 -1.0000]（2）根据状态空间模型得到的系统的特征值（由语句eig(sys1)求出）ans =[-1.0000 -2.0000 -3.0000]系统的特征值全部位于s平面的左半部分，由此判断出系统是一个稳定系统（3）求系统的状态转移矩阵（由语句syms t1 ；expm(A*t1)求出）（4）求系统在x0=[2; 1; 2], u为单位阶跃输入时x及y的响应记录曲线如下：A:单位阶跃输入时状态变量X的响应曲线:B：单位阶跃输入时系统输出y响应曲线(5)系统的可控性，可观性分析A.系统的可控性矩阵s为：s = 0 0 10 1 -61 -6 25 则系统可控性矩阵的秩f=3，矩阵A的维数为n=3 得到系统的结果是system is controlled即系统是可控的B.系统的可观性矩阵v为：0 1 00 0 1 则系统可观性矩阵的秩m=3，矩阵A的维数为n=3得到系统的结果是system is observable即系统是可观测的实验结论：由运行结果可知该系统既可控也可观（6）将原来的系统状态空间模型转化为以下俩种标准形式A.转化为对角线的标准形式（由语句sys3=canon(sys1,'modal')求出）B.转化成为A为伴随矩阵的标准形式（由语句sys4=canon(sys1,'companion')求出）（6）T=[1 2 4;0 1 0;0 0 1] 对上述状态空间模型进行变换，分析变换后的系统的空间模型为（有语句T=[1 2 4;0 1 0;0 0 1] ;sys5=ss2ss(sys1,T) 实现）对变换后的系统的空间模型进行可控可观性分析得到的结果是系统的可控性矩阵s为s=0 1 00 0 1可控性矩阵的秩f=3得到系统的结果是system is controlled即系统是可控的系统的可观性矩阵v为v =0 0 10 1 -61 -6 25系统的可观测矩阵的秩m =3得到系统的结果是system is observable即系统是可观测的系统的特征根ans=[ -1.0000 -2.0000 -3.0000 ]综上实验结果分析：对变换后的系统进行可控性，可观性分析得到可控性矩阵的秩f=n-=3，可观测性矩阵的秩m=n=3由此经过变换后的系统仍即可控也可观，变换后系统的特征根仍为：ans =[1.0000 -2.0000 -3.0000] 与原来系统相同。
为了便于研究系统的一些固有的特性，常常需要引进线性变换，例如在实验内容（5）中将A阵对角化，但是通过实验内容（6）知道经过线性变换后系统的一些固有特性：系统的特征值，传递矩阵，可控性，可观性等重要性质保持不变。
特征值不变也说明系统的稳定性也不会发生变化。
实验内容二：分析下列系统的可控性、可观性（1）,113212A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111B;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11C实验程序如下：A=[0 2 0 0;0 1 -2 0;0 0 3 1;1 0 0 0];B=[1 0;0 0;0 1;1 0];C=[0 1 0 0;0 0 1 0];D=0; sys1=ss(A,B,C,D)s=ctrb(A,B)f=rank(s)n=length(A)if f==ndisp('system is controlled')elsedisp('system is no controlled')endv=obsv(A,C)m=rank(v)if m==ndisp('system is observable')elsedisp('system is no observable')End实验结果如下：系统的可控性矩阵s 为：s =1 0 0 0 0 -4 -4 -160 0 0 -2 -2 -8 -10 -260 1 1 3 4 9 12 271 0 1 0 0 0 0 -4可控性矩阵的秩f = 4系统的维数n =4得到系统的结果是system is controlled 即系统是可控的系统的可观性矩阵v 为：v =0 1 0 00 0 1 00 1 -2 00 0 3 10 1 -8 -21 0 9 3-2 1 -26 -83 2 27 9系统的可观性矩阵秩m =4得到系统的结果是system is observable 即系统是可观测的综上说明该系统即是可控的也是可观测的（2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=5000000015000000001000000011000000004000000014000000003000000013A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0029006100347531B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1700204163005013C实验程序如下：A=[-3 1 0 0 0 0 0 0;0 -3 0 0 0 0 0 0;0 0 -4 1 0 0 0 0;0 0 0 -4 0 0 0 0;0 0 0 0 -1 1 0 0;0 0 0 0 0 -1 0 0;0 0 0 0 0 0 -5 1;0 0 0 0 0 0 0 5]B=[1 3;5 7;4 3;0 0;1 6;0 0;9 2;0 0]C=[3 1 0 5 0 0 3 6;1 4 0 2 0 0 7 1]D=0sys1=ss(A,B,C,D)s=ctrb(A,B)f=rank(s)n=length(A)if f==ndisp('system is controlled')elsedisp('system is no controlled')endv=obsv(A,C)m=rank(v)if m==ndisp('system is observable')elsedisp('system is no observable')End实验结果如下：系统的可控性矩阵s 为：可控性矩阵的秩 f=5系统的维数n =8得到系统的结果是system is no controlled 即系统是不可控的系统的可观性矩阵v 为：系统的可观性矩阵秩m =5得到系统的结果是system is no observable 即系统是不可观测的综上说明该系统即是不可控的也是不可观测的（3）[]0103C ;2100B ;4214020100320001A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----= 实验程序如下：A=[-1 0 0 0;2 -3 0 0;1 0 -2 0;4 -1 2 -4]B=[0 0 1 2]';C=[3 0 1 0];D=0;sys1=ss(A,B,C,D)s=ctrb(A,B)f=rank(s)n=length(A)if f==ndisp('system is controlled')elsedisp('system is no controlled')endv=obsv(A,C)m=rank(v)if m==ndisp('system is observable')elsedisp('system is no observable')End实验结果如下：系统的可控性矩阵s 为：s =0 0 0 00 0 0 01 -2 4 -82 -6 20 -72可控性矩阵的秩f = 2系统的维数n =4得到系统的结果是system is no controlled 即系统是不可控的系统的可观性矩阵v 为：v =3 0 1 0-2 0 -2 00 0 4 04 0 -8 0系统的可观性矩阵秩m =2得到系统的结果是system is no observable 即系统是不可观测的综上说明该系统即是不可控的也是不可观测的实验内容三：系统状态空间模型如下，（1）判别系统的可控性；（2）设计状态反馈控制器使闭环极点为p=[-1,-10,-12];（3）求出闭环系统的传递函数和动态方程；（4）比较反馈前后系统的阶跃响应。