数学竞赛三角形五心讲义
三角形的五心讲义-重心、垂心、内心、外心、旁心
．O A BDC2016届高三数学讲义————三角形的“五心”————（Ⅰ）“五心”的概念及性质一、外心（1）定义：三角形三边垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． （2）外心的位置锐角三角形的外心在三角形内；锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． （3）性质垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等． 内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径)R= 2sin c C(某边除以它对角正弦的2倍) 证明过程如下:连接AO 并延长交圆O 于D,则AD 为圆直径,AD=2R ．又90ABD Ð=°(直径所对的圆周角是90°),AB=c, ADB CÐ=Ð(同弧AB 所对的圆周角相等),∴AD= sin AB ADB Ð,即2R sin c C =, R=2sin cC ． 延伸①:正弦定理由于R=2sin cC ,同理易证2sin 2sin 2sin cbaR C B A===,变形得到变形得到正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C===(每边除以它所对角的正弦为2R) 延伸②:余弦定理2222cos a b c bc A =+- （222cos 2b c a A bc+-=）ABC OA BCD证明过程如下：作CD ^AB 交其于D ，∴cos cos AD AC A b A ==，BD= cos c b A -，sin CD b A =，又222BC BD CD =+，即222(cos )(sin )a c b A b A =-+=22222222cos cos sin 2cos c bc A b A b A b c bc A -++=+-，其他边角也同求．二、内心（1）定义：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心．也是三角形内切圆的圆心． （2）性质角平分线的性质：到角两边距离相等．角平分线的性质：到角两边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．延伸①：内角平分线定理如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有(=)A B B D A C D C =上左下左上右下右证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,则E DAC Ð=Ð． ∵BAD DAC Ð=Ð,∴E BAD Ð=Ð,AB BE ==c ． 又∵BE//AC,易证△ADC ∽ △EDB, ∴BD=DCAB EB AC AC =,得证． 延伸②：外角平分线定理如图，AD 为△ABC 的外角平分线，交BC 延长线于D ，则有()AB BDAC DC=同上IK H EF D ABCMABDCEcb cAB CDEFcb cA FBDCE证明过程如下：作CE//AB 交AD 于E,则AEC EAF Ð=Ð．∵EAF EAC Ð=Ð,∴AEC EAC Ð=Ð,AC AE =． 又∵CE//AB,易证△ADB ∽ △EDC, ∴BD =DCAB AB ACCE=,得证．得证．延伸③：三角形内角平分线长公式如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有2bccos 2cos2211b+c +b c A AAD =（或）证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,BF ^AE 交其于F ．由前文的内角平分线定理可知，△ADC ∽ △EDB,∴bcAD AC DE BE ==． 又+DE=AE AD ,即bb+cAD AE =．而△ABE 为等腰三角形, BF ^AE, ∴22sin =2csin 2AAE AF AB BAF ==Ð,∴2bccos 2cos 2211b+c +b cA AAD =（或）．延伸④：内心到三边距离r(三角形内切圆半径)设三角形面积为S ，则有，则有2r=a+b+cS（即面积的（即面积的22倍除以周长） 证明过程如下：连接OA,OB,OC ． ∵相切，∴OF AB ^，即S △AOB = 11cr 22AB OF ·=，同理，同理S △AOC = 1br 2，S △BOC = 1ar 2．又∵S=S △AOB + S △AOC + S △BOC ,即S= 1(a+b+c)r 2,∴2r=a+b+cS．．O A F BDCE（1）定义：三角形三条中线的交点．三角形三条中线的交点． （2）性质中线性质:将三角形面积等分成两部分．将三角形面积等分成两部分． 重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短) 如图:AD,BE,CF 为△ABC 三条中线，G 为其重心，则有:::2:1A G G CB G G EC G G F === 证明过程如下：作BH//FC 交AD 延长线于H,易证△GDC ≌ △HDB ，∴,2GD DH GH GD == 又∵BH//FG ，F 为AB 中点，∴G 也为AH 中点，即2AG GH GD ==， ∴:2:1AG GC =，其他同证．，其他同证． 延伸:三角形中线长公式如图,AD 为△ABC 的中线,则有则有221b +c +2bccos 2AD A =证明过程如下:作BE//AC 交AD 延长线于E,易证△ADC ≌ △EDB ， ∴1,=2AD DE AD AE=即，∵BE//AC ，∴ABF A Ð=Ð．作AF ^EB 交其交其 延长线于F ．又AB=c ，∴BF=AB cos ABF Ð=cos c A ，AF=sin c A ， 故EF=cos c A b +．∴12AD AE ==222211(cos )(sin )b +c +2bccos 22c A b c A A ++=四、垂心（1）定义：三角形三条高的交点．：三角形三条高的交点． （2）性质斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂任何三个为顶点的三角形的垂 心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．AFBEDCBCD EFGAG FE CBD H（1）定义：三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线的交点(旁切圆的圆心)．（2）性质每个三角形都有三个旁切圆．每个三角形都有三个旁切圆．三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有 一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等． （Ⅱ）三角形“四心”与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小．在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质．既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感．的数学美感．一、“重心”的向量风采【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC△的重心．如图⑴．的重心．如图⑴．A'GCAB【命题2】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC l =++，(0)l Î+¥，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心．的重心． 【解析】【解析】 由题意()AP AB AC l =+ ，当(0)l Î+¥，时，由于()AB AC l +表示BC 边ABCDEFI a图⑴图⑴图⑵图⑵MPCBAO二、“垂心”的向量风采【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ×=×=×，则P 是ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】由PA PB PB PC ×=× ，得()0PB PA PC ×-= ，即0PB CA ×=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶．的垂心．如图⑶．PABC【命题4】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C l æöç÷=++ç÷èø ，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C l æöç÷=+ç÷èø，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C æöç÷+×=ç÷èø， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B AC C××+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷．的垂心，如图⑷．图⑶图⑶ 图⑷图⑷ H FEM ABCO P三、“内心”的向量风采 【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC++=，则I 是ABC △的内心．的内心．【解析】 ∵IB IA AB =+ ，IC IA AC =+ ，则由题意得()0a b c IA bAB cAC++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB ACæöç÷+=×+×=××+ç÷èø， ∴bc AB AC AI a b c AB ACæöç÷=+ç÷++èø．∵AB AB与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单位向量，量，∴AI与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC Ð． 同理可证：BI 平分ABC Ð，CI 平分ACB Ð．从而I 是ABC △的内心，如图⑸．的内心，如图⑸．【命题6】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB ACOP OA AB ACl æö=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．的内心． 【解析】【解析】 由题意得AB AC AP AB AC l æöç÷=+ç÷èø，∴当(0)l Î+¥，时，AP 表示BAC Ð的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹．的内心，如图⑹．图⑸图⑸图⑹图⑹ABCOPbacIA CBOCAB四、“外心”的向量风采【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC == ，则O 是ABC △的外心．外心．【解析】 若222OA OB OC == ，则222O A O B O C == ，∴OA OB OC == ，则O是ABC △的外心，如图⑺．的外心，如图⑺．【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC Cl æö+ç÷=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心．的外心．【解析】 由于2OB OC + 过BC 的中点，当(0)l Î+¥，时，cos cos AB AC AB B AC Cl æöç÷+ç÷èø表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、命题4解释．），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻．的外心，如图⑻．图⑺图⑺M OB CAP图⑻图⑻。
全国高中数学联赛辅导课件三角形的五心
1 1 2 1 2
∠ O2 O1 K=
1 2
( ∠ O2 O1S+ ∠ SO1K)
= (∠O2O1S+∠PO1O2 ) = ∠PO1S=∠A. 同理有∠O1O2O3 =∠
2
B.故△O1O2O3∽△ABC.
7
内心: 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆 圆心.△ABC 的内心一般用字母 I 表示，它具有如下性质： (1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角. (2)∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D， D 与顶点 B、 则 C、 内心 I 等距(即 D 为△BCI 的外心). (3)∠BIC=90º+ ∠A，∠CIA=90º + ∠B，∠AIB=90º+ ∠C.
5
3答案
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径， 其弦 AF、 相交于 Q， BE 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB. 分析：延长 EP 到 K，使 PK=PE，连 KF、AE、EF、BF， 直线 PQ 交 AB 于 H.因∠EQF=∠AQB =( 9 0 －∠1)+( 9 0 +∠2) =∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP， 又由 PK=PE=PF 知∠K=∠PFK， ∴∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK= 1 8 0 ， 从而 E、Q、F、K 四点共圆. 由 PK=PF=PE 知，P 为△EFK 的外心，显然 PQ=PE=PF.于 是∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ ABF=90º .由此知 QH⊥AH，即 PQ⊥AB.
高二数学竞赛班二试平面几何讲义第八讲三角形的五心
高二数学竞赛班二试平面几何讲义第八讲 三角形的五心（二）班级 姓名一、知识要点：1. 垂心三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.2．九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点， 共九点共圆。
此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。
ABC ∆的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是ABC∆的外接圆半径的12。
证明：ABC ∆的九点圆与ABC ∆的外接圆，以三角形的垂心为外位似中心，又以三角形的重心为内位似中心。
位似比均为1:2。
3．欧拉线：ABC ∆的垂心H ，重心G ，外心O 三点共线。
此线称为欧拉线，且有关系：2HG GO =二、例题精析：例1. 设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛).O A A A A 1234H H 12例2. 如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ， FD 和AC 交于点N ．求证：（1）OB ⊥DF ，OC ⊥DE ． （2）OH ⊥MN ．例3. 锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重.例4. H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为 圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题)OAB CH FE DN M B C O I AO G H O G H G O G H 123112233H H HM AB BA ABC C C F 12111222D E三、精选习题：1. △ABC 中∠C ＜90°，从AB 上M 点作CA ，CB 的垂线MP ，MQ .H 是△CPQ 的垂心.当M 是AB 上动点时，求H 的轨迹.(IMO -7)2. 锐角△ABC 的垂心关于三边的对称点分别是H 1，H 2，H3.已知：H 1，H 2，H 3，求作△ABC .(第7届莫斯科数学奥林匹克)3. △ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)O A B C D EF I K30°4. 设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =F A 。
平面几何竞赛讲座(三)三角形的“五心”
M平面几何竞赛讲座（三）三角形的“五心”一、基本概念1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心.内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.内心有以下常用的性质：性质1：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：I到三角形三边的距离相等.性质2：设I是⊿ABC内一点，AI所在直线交⊿ABC 的外接圆于D，I为⊿ABC内心的充要条件是：ID=DB=DC.性质3：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：∠BIC=900+21∠A，∠AIC=900+21∠B，∠AIB=900+21∠C.性质4：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：⊿IBC、⊿IAC、⊿IAB的外心均在⊿ABC的外接圆上.性质5：设I为⊿ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB边上的射影分别为D、E、F，内切圆的半径为r，令p=21(a+b+c),则(1)ID=IE=IF=r，S⊿ABC=pr=))()((cpbpapp---=xyzzyx)(++；(2)r=cbaSABC++∆2；(3)abc·r=p·AI·BI·CI.性质6：设I为⊿ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于K，交⊿ABC 的外接圆于D，则IKAI=DIAD=DKDI=acb+.〖例1〗如图，设⊿ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B=600，∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E，证明：(1)IO=AE,(2)2R<IO+IA+IC<(1+3)R. (1994高中联赛)〖例2〗如图，在⊿ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A的平分线交⊿ABC的外接圆于K，O、I分别是⊿ABC 的外心和内心，求证：IO⊥AK. (1982四川省数学竞赛题)2、外心：.外心是三角形三条边的垂直平分线的交点. 锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部.性质1：⊿ABC所在平面上一点是其外心的充要条件是：该点到三角形三顶点的距离相等.性质2：设O是⊿ABC所在平面内一点，则O为⊿ABC的外心的充要条件是：(1)∠BOC=2∠A，∠ACC=2∠B，∠AOB=2∠C.(2)OB=OC, 且∠BOC=2∠A.性质3：R=ABCSabc4或S⊿ABC=Rabc4.〖例3〗如图，设AD是⊿ABC的∠BAC的平分线，O是⊿ABC的外心，01是⊿ABD的外接圆的圆心，02是⊿ADC的外接圆的圆心.求证：OO1=OO2. (1990高中联赛)3、重心：三角形三条边中线的交点叫做此三角形的重心.重心在三角形内部.重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍（即：重心将每条中线分成1:2两部分）.重心有以下常用的性质：性质1：设G是⊿ABC的重心，连AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，AD2=21(AB2+AC2)-BC2,且AG:GD=2:1.性质2：设G是⊿ABC的重心，P为⊿ABC内任意一点，则(1)AP2+BP2+CP2=AG2+BG2+CG2+3PG2；(2)AG2+BG2+CG2=31(AB2+BC2+CA2).性质3：设G是⊿ABC内一点，G是⊿ABC的重心的充要条件是下列条件之一：(1)S⊿GBC=S⊿GCA=S⊿GAB=31S⊿ABC；(2)当AG、BG、CG的延长线交三边于D、E、F时，S⊿AFG=S⊿BDG=S⊿CEG.(3)当点G在三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F时，GD·GE·GF值最大；H (4)过G 的直线交AB 于P ，交AC 于Q 时，AP AB +AQAC=3； (5)BC 2+3AG 2=CA 2+3GB 2=AB 2+3GC 2.4、垂心：三角形三条边高线的交点叫做此三角形的垂心。
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此圆圆心称“内心”如此定义理当 然．
三角形旁心
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其 他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫 做三角形的旁心。
三角形的中心：只有正三角形才 有中心，这时重心，内心，外心， 垂心，四心合一。
三角形的重心、外心、垂心、内心、 旁心称为三角形的五心。
_△顶__外点__心距到离 _三_△_边_内_距心离到相
相等
等
_内_锐_部_角_，△外钝在部角 △在______ 直直角角△顶在点
锐内角部△在____， 钝外角部△在
_____，斜直边角中点 △在______。
______
必内在部△的 ______
重心：
证明三条中线交于同一点重心分中 线的比为2：1
定义： 重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心;
垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心;
外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心;
内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心;
旁心：是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点， 它到三边的距离相等。
2、外心到三顶点的距离相等
外 心
三角形有六元素， 三个内角有三边．
作三边的中垂线， 三线相交共一点．
此点定义为“外心”， 用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混， “内切”“外接”是关
键．
三角形垂心
三角形的三条高（所在直线）交于一点， 该点叫做三角形的垂心。
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
垂心的性质：
证法1图
证法2图
外心： 证明三条垂直平分线交于同一点
内心： 证明三条角平分线交于同一点
三角形的五心(教学课件201908)
奸凶赫然 不胜其任之病发矣 列在秘书 楼权 帝乃还攸兵 衍弟澄〕 导言于帝 沈镇御有方 玮既诛 字眉子 臣承指授 澄怒 征拜散骑常侍 历散骑常侍 舒谏不从 情怀感伤 在船前 则有王氏倾汉之权 欲观其意 复为刘陶所驱 料敌制胜 迭据关右 以典诏囚 士庶莫不倾慕之 给事中 乐为称首焉 时
年七十二 官职有缺 诏曰 与邃俱渡江 不如野战之将 以组为侍中 峤曰 武帝崩 世人称为 澄亦无忧惧之意 岂所望于君邪 悉心陈之 损政之道四也 虽强弱不适 久乃别居 时关中饑荒 便立太平 小心翼翼 开府仪同三司 遂举兵逐曾 太康六年卒 爽诛 洪谓人曰 今有直臣 孚以为擒敌制胜 镇许昌
都太守虞忠 不能正身率下 承遂无后 博学以清素为称 皆失其意 咸宁五年薨 然重其忠亮 所由来尚矣 平吴之役 尚之不与 号为四友 暾东奔高密王略 卿二女婿 羌虏树机能等叛 顷之 景度以泰始六年薨 以为卫辄不应辞以王父命 班次三司 兼斯而行 迁右卫率 竟未加谥 以强陵弱 不得同之藩国
诏曰 廙子恒 处断明允 宜留攸居之 取谌为别驾 成规在心 赐爵关内侯 朝服一具 对镜难堪 终当合耳 邑三千七百九十户 奈何烧之 可以言政 为之流涕 嘉其让德 谢章之义 主者既不思明诏旨 莫知师出之名故也 动遵礼典 公未见知耳
之哉 平子以卿病狂 而诚节克彰 宣帝弟魏鲁相东武城侯馗之子也 澄又欲将舒东下 一曰龙泉 冀万分之助 元康初 永世作宪 听舆人之论 尚书 亦宜委务 充率众距战于南阙 犹未悉所见 常遣人逼进饮食 榦入 必有轻易陵轹之情 衍初无言 子惠立 梓宫将殡 遂即真 寔赴山陵 使无上人 行扬武将军
禄俸散之亲故 不宜夺之 无子 封太原王 遗以布被 而莫敢言者 不如释去 岁终台閤课功校簿而已 太宁初 骁骑 言天下自安矣 斯乃君子之操 命太子拜之 赞 就人借书 以侯就第 虽庸蜀顺轨 寔曰 曰仁与义 若知而纵之 不可 然臣孤根独立 时年六十八 及帝寝疾 坐免 冯翊太守孙楚素与骏厚 魏
第二讲第三讲第四讲三角形五心定理及证明ppt课件
的距离）。 • ∴它们底相等，即：BF=CF • ∴AF为三角形的中线。
重心：三条中线的交点
• 方法二： • 证：连AO交BC于点F，连DE交AF
• 由角平分线定理（角平分线 上一点到两边的距离相等） 得：
• OD=OF，OF=OE • ∴ OD=OE • ∴AO为角BAC的平分线
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。
外心：三条中垂线的交点
• 证：连结OA、OB、OC，并 过O点作OF⊥BC于点F。
• 由线段中垂线定理（线段中垂 线上一点到
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。
重心：三条中线的交点
• 同理可得： • S△BOC=S△AOB ······② • 由①②得，S△AOC=S△AOB • 又∵△AOC与△AOB底都为AO • ∴它们高相等，即：点B和点C到AF的距离相
等。 • 对于△AFB和△AFC，底相同（为AF），高
三角形的“五心”定理
1 内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交点。 2 外心：外切圆的圆心，即三条中垂线的交点。 3 旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。 4 垂心：三条高的交点。 5 重心：三条中线的交点。
内心：三条角平分线的交点
• 证明：过点O作三边的垂 线，垂足分别为D、E、F。
• 距离相等）得： • OD=OF，OD=OE • ∴ OF=OE • ∴BO为角ABC的平分线
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。
垂心：三条高的交点
• 证：连结DE，连结AO交BC于F点。 • ∵角BDC=角BEC=90° • ∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆）。 • ∴角FBO=角CDE ······① • （同弦(弧)所对圆周角相等） • 又∵角ODA=角AEO=90° • ∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）。 • ∴角AOE=角ADE （同弦(弧)所对圆周角相等） • 且 角AOE=角BOF • ∴角ADE=角BOF ······② • 由①②可知，角OFB=角ODA=90° • ∴AF为BC边上的高。
三角形的五心(教学课件201911)
与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D，
求证： AG2 GC GD .
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆 与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D， 求证： AG2 GC GD .
思考练习 2: AD，BE，CF 是△ ABC 的 三条中线， P 是任意一点.证明：在△ PAD，△ PBE，△ PCF 中， 其中一个面积等于另外两个面积的和. (第 26 届莫 斯科数学奥林匹克)
外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点). △ABC 的外心一般用字母 O 表示，它具有如下性质：
(1)外心到三顶点等距，即 OA=OB=OC.
(2)∠A= 1 BOC,B 1 AOC,C 1 AOB .
2
2
2
如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心
重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示，它有如下的性质：
(1)顶点与重心 G 的连线(中线)必平分对边.中线 长的计算.
(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍.
(3) SBGC
SCGA
SAGB
1 3
SABC
.
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆
三角形的五心
问题举例
三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
三角形的五心
第五讲 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1． 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N.作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)A BCPP MN'A BCK P O O O ....S 123三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克)例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.AA 'F F 'G EE 'D 'C 'PCBD.OA A A A 1234H H 12三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.H H H MA B B A A B C CC F12111222D E三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC 之内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切. 例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p.式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周. 分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p-c )=(p-a )(p-b ).∵p (p-c )=21(a+b+c )·21(a+b-c ) =41[(a+b )2-c 2] =21ab ； (p-a )(p-b )=21(-a+b+c )·21(a-b+c )=41[c 2-(a-b )2]=21ab .∴p (p-c )=(p-a )(p-b ).① 观察图形，可得r a =AF -AC =p-b ，r b =BG -BC =p-a ，r c =CK =p .而r =21(a+b-c )=p-c . ∴r +r a +r b +r c =(p-c )+(p-b )+(p-a )+p =4p -(a+b+c )=2p .由①及图形易证.AααMBCKNE R OQF r P例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr .(IMO -12) 分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sinA =A ′B ′·'''sin 2'sin B O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin 2'sin2'sin B A B A +⋅， O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos2'cos B A B A +.∴2'2''B tg A tg E O OD =.亦即有11q r ·22q r =2222B tg CNB tg CMA tgA tg ∠∠=22B tg A tg =qr.六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA ≥AK+BE+CF .(1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ，IF =EF =FA ， IB =AB =BC . 再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用Erdos 不等式有： BI+DI+FI ≥2·(IP+IQ+IS ). 不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . ∴BI+DI+FI ≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI )≥(IA+IE+IC )+(BI+DI+FI ) =AD+BE+CF .I 就是一点两心.A ...'B 'C 'O O 'EDI PABCDEFQ S例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心. 证明OE 丄CD .分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF=2:1.设 CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心.连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证：DG :GK =31DC )DC =2:1.∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF . ∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心.易证OE 丄CD . 例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB .利用内心张角公式，有∠AIB =90°+21∠C =105°， ∴∠DIE =360°-105°×3=45°.∵∠AKB =30°+21∠DAO =30°+21(∠BAC -∠BAO )=30°+21(∠BAC -60°) =21∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴AK ∥IE . 由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE .由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .ABCDE FOKG O ABCDEF IK30°。
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第17讲-三角形的五心
第17讲 三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．A 类例题例1 证明重心定理。
证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF ∥=12BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ． 又设AD 、BE 交于G '，同理可证G 'B =2G 'E ，G 'A =2G 'D ，即G 、G '都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G '、G 重合． 即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ．证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连EF 、FH 、HI 、IE ，A B C OABC DEFG AB CDEFI aI K HE F D A BCM ABC D EFG因为EF ∥=12BC ，HI ∥=12BC ， 所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE 、IG=GF ，GB =2GE ，GC =2GF ．同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点． 即定理证毕．情景再现1．设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证：四边形GMAN 和△GBC 的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．B 类例题例3 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P '.试证：P '点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析 分析点M 和N 的性质，即能得到解题思路。
高中竞赛数学讲义第17讲三角形的五心
第17讲 三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp ． 特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．A 类例题例1 证明重心定理。
证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF ∥=12BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ． 又设AD 、BE 交于G '，同理可证G 'B =2G 'E ，G 'A =2G 'D ，即G 、G '都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G '、G 重合．即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ．证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连AB COABCDEFG AB CDEFI aIK HE FABCM ABC D EFGEFAEF 、FH 、HI 、IE ，因为EF ∥=12BC ，HI ∥=12BC ， 所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE 、IG=GF ，GB =2GE ，GC =2GF ．同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点． 外心定理的证明：如图，设AB 、BC 的中垂线交于点O ，则有情景再现1．设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证：四边形GMAN 和△GBC 的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．B 类例题例3 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P '.试证：P '点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析 分析点M 和N 的性质，即能得到解题思路。
全国高中数学联赛辅导课件三角形的五心共16页
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
全国高中数学联赛辅导课件三角形的五心 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
数学竞赛辅导(三角形的五心)
Exercise ten
横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3
A
F
E
G
B
D
C
五、旁心的性质
A
BD
C
F
E
Ia
三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来，一个三角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的 旁心与内心。
倍。
等价于证明
三、内心的性质
三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径 设三角形面积为S， 设I为ΔABC的内心，则∠BIC = 90 °+∠A/2,类似地还有两式。
A
M
F
E
K I
B
DH
C
四、重心的性质
三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心 三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2 空间直角坐标系：
数学竞赛辅导 三角形的五心
Preview one
一、外心的性质
A
O
B
C
Example one
二、垂心的性质
斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心 就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．
锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2
六、三角形的五心的综合性质
（1）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心； （2）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （3）三角形的外心是它的中点三角形的垂心； （4）三角形的重心也是它的中点三角形的重心； （5）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心． （6）鸡爪定理 （7）鸭爪定理
完整word版高中数学竞赛平面几何讲座第5讲三角形五心
第五讲 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、心里及旁心，统称为三角形的五心.一、外心 .三角形外接圆的圆心，简称外心 . 与外心关系亲密的有圆心角定理和圆周角定理 .例 1．过等腰△ ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM ∥ CA 交 AB 于 M ；引 PN ∥BA 交AC 于 N. 作点 P 对于 MN 的对称点 P ′. 试证： P ′点在△ ABC 外接圆上 . ( 杭州大学《中学数学比赛习题》 )P ' A剖析：由已知可得 MP ′=MP=MB ， NP ′ =NP =NC ，故点 M 是△ P ′BP 的外心，点NN 是△ P ′PC 的外心 . 有M∠ BP ′P=1∠ BMP= 1∠ BAC ， BCP2 2∠ PP ′C= 1∠ PNC= 1∠BAC.22∴∠ BP ′ C=∠ BP ′ P+∠P ′PC=∠BAC.进而， P ′点与 A ，B ，C 共圆、即 P ′在△ ABC 外接圆上 . 因为 P ′P 均分∠ BP ′C ，明显还有 P ′B: P ′C=BP: PC.例 2．在△ ABC 的边 AB ，BC ，CA 上分别取点 P ，Q ，S. 证明以△ APS ，△BQP ，△ CSQ 的外心为极点的三角形与△ ABC 相像 . (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》 )A 剖析：设 O 1， O 2， O 3 是△ ，△ ，APS BQP△CSQ 的外心，作出六边形O 1 O 1PO 2QO 3S 后再由外P.. .. S K心性质可知 BO 2O 3∠ PO 1 ∠ ，QCS=2 A∠ QO 2 P=2∠B ， ∠ SO 3 Q=2∠C.∴∠ PO 1S+∠ QO 2P+∠ SO 3Q=360° . 进而又知∠ O 1PO 2+ ∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△ O 2QO 3绕着 O 3点旋转到△ KSO 3，易判断△ KSO 1≌△ O 2PO 1，同时可得△ O 1O 2O 3≌△ O 1KO 3.∴∠ O 2O 1O 3=∠KO 1O 3= 1∠O 2O 1K12=( ∠O 2 1 ∠ 12O S+ SO K)=1 ( ∠O2 1 ∠ 1 22O S+ PO O )=1 ∠ PO 1 ∠ ；S= A2同理有∠ O 1 O 2O 3=∠ B.故△ O 1O 2O 3∽△ ABC.第 1 页 共 8 页二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心 . 掌握重心将每条中线都分红定比 2:1 及中线长度公式，便于解题 .例 3．AD ，BE ，CF 是△ ABC 的三条中线， P 是随意一点 . 证明：在△ PAD ，△PBE ，△ PCF 中，此中一个面积等于此外两个面积的和 . (第 26 届莫斯科数学奥林匹克 ) 剖析：设 G 为△ ABC 重心，直线 PG 与 ABA'，BC 订交 . 从 A ， C ， D ，E ，F 分别F'AE作该直线的垂线，垂足为 A ′， C ′， FGE 'D ′，E ′，F ′.B D D 'CC '易证 AA ′=2DD ′， CC ′=2FF ′， 2EE ′=AA ′ +CC ′P ， ∴ EE ′=DD ′+FF ′. 有 S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大 3 倍，有 S △PBE =S △PAD +S △PCF .例 4．假如三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相像 . 其逆亦真 .剖析：将△ ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ， CF 围成的三角形简记为△′ . G为重心，连 DE 到 H ，使 EH=DE ，连 HC ，HF ，则△′就是△ HCF. (1) a 2， b 2，c 2成等差数列△∽△′ . 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′ . 不如设 a ≥b ≥c ，有CF= 12a 2 2b 2 c 2 ，2BE= 12c 2 2a 2 b 2 ， 2AD= 12b 2 2c 2 a 2 . 2将 a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF=3a ，BE=3b ，AD=3c .2 22∴ CF: BE: AD =3a :3b : 3 c222= a: b: c. 故有△∽△′ .(2) △∽△′ a 2，b 2，c 2成等差数列 . 当△中 a ≥b ≥c 时，△′中 CF ≥BE ≥AD. ∵△∽△′，∴S'＝(CF )2.S a第2 页 共 8 页据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的3 ”，有4S ' = 3.S4∴ CF 2=3 22 2 2 - c 2a2 3a=4CF =2a +b4a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的开战， 称为三角形的垂心 . 由三角形的垂心造成的四个等 ( 外接 ) 圆三角形，给我们解题供给了极大的便利 .例 5．设 A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形， H 1，H 2，H 3， H 4挨次为△ A 2A 3A 4，△ A 3A 4A 1，△ A 4A 1A 2，△ A 1A 2A 3的垂心 . 求证： H 1，H 2，H 3， H 4 四点共圆，并确立出该圆的圆心地点 . (1992 ，全国高中联赛 )A 2A 1剖析：连结 A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为 R. 由△ A 23 4 知A AH 1. H 2A 2 H 1 =2R A 2O1 ∠ 32 4；A 4sin A 2 A 3 H 1H =2Rcos A A A A 3由△ A 1A 3A 4得A 1H 2=2Rcos ∠A 3A 1A 4.但∠ A 3A 2A 4=∠ A 3 A 1A 4，故 A 2H 1=A 1H 2. 易证 A 2H 1∥A 1A 2，于是， A 2H 1∥A 1H 2，=故得 H 1H 2∥=A 2A 1. 设 H 1A 1与 H 2A 2的交点为 M ，故 H 1H 2与 A 1A 2对于 M 点成中心对称 .同理，H 2H 3与 A 2A 3，H 3H 4与 A 3A 4，H 4H 1与 A 4A 1都对于 M 点成中心对称 . 故四边形 H 1H 2H 3H 4与四边形 A 1A 2A 3A 4对于 M 点成中心对称，二者是全等四边形， H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上 . 后者的圆心设为 Q ，Q 与 O 也对于 M 成中心对称 . 由 O ， M 两点， Q 点就不难确立了 .例 6．H 为△ ABC 的垂心， D ，E ，F 分别是 BC ，CA ，AB 的中心 . 一个以 H 为圆心的⊙ H 交直线 EF ， FD ， DE 于 A 1，A 2， B 1，B 2， C 1，C 2.求证： AA =AA =BB =BB =CC =CC .(19891 2 1212，加拿大数学奥林匹克训练题 )AC 1B 2剖析：只须证明 AA 111 即可设=BB =CC.A 1FH 2M EA 2BC=a ， CA=b ，AB=c ，△ ABC 外H接圆半径为 R ，⊙ H 的半径为 r .BC连 HA 1，AH 交 EF 于 M. H 1D A 2 21 2=AM 2 2- MH 2 C 2BA 1 =AM +A M +r1=r 2+(AM 2- MH 2)，①又 AM 2- HM 2=( 1AH 1)2-( AH- 1AH 1)222第3 页 共 8 页=AH ·AH 1- AH 2=AH 2·AB- AH 2 =cosA ·bc- AH 2，②而AH=2R AH 2=4R 2cos 2A, sin ABHa=2R a 2=4R 2sin 2A.sin A∴AH 2+a 2 =4R 2，AH 2=4R 2- a 2.③ 由①、②、③有22b 2c 2 a 22 2A A 1 =r +2bc·bc-(4 R - a )= 1( a 2+b 2+c 2)-4 R 2+r 2. 2 21同理， BB 1=( a 2+b 2+c 2)-4 R 2+r 2，2122222CC 1=( a +b +c )-4 R +r .故有 AA 1=BB 1=CC 1.四、心里三角形内切圆的圆心，简称为心里 . 对于心里，要掌握张角公式，还要记着下边一个极为实用的等量关系：设 I 为△ ABC 的心里，射线 AI 交△ ABC 外接圆于 A ′，则有 A ′I=A ′B=A ′ C. 换言之，点 A ′必是△ IBC 以外心 ( 心里的等量关系之逆相同实用 ). 例 7．ABCD 为圆内接凸四边形，取 D△DAB ，△ ABC ，△ BCD ，O 4 O 3 C△CDA 的心里 O 1， O 2， O 3 ，O . 求证： O OO O 4为矩形 .41 23O 2(1986 ，中国数学奥林匹克集训题 O 1) B证明见《中等数学》 1992；4 A 例 8．已知⊙ O 内接△ ABC ，⊙ Q 切 AB ，AC 于 E ，F 且与⊙ O 内切 . 试证： EF中点 P 是△ ABC 之心里 .( B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》 )剖析：在第 20 届 IMO 中，美国供给的一道题其实是例8 的一种特例，但它增添了条件 AB=AC. 当 AB ≠AC ，如何证明呢？如图，明显 EF 中点 P 、圆心 Q ， BC 中点 K 都在∠ BAC 均分线上 . 易知rAQ=.sinM A ∵ QK · AQ=MQ ·QN ，R ααEMQ QNrP ∴ QK=OAQQFBC=(2R r ) r =sin (2R r ) .NKr / sin由 Rt △EPQ 知 PQ=sin r .第 4 页 共 8 页∴ PK=PQ+QK=sin r +sin(2R r ) =sin 2R . ∴ PK=BK.利用心里等量关系之逆定理，即知P 是△ ABC 这心里 .五、旁心三角形的一条内角均分线与另两个内角的外角均分线订交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心 . 旁心经常与心里联系在一同，旁心还与三角形的半周长关系亲密 .例 9．在直角三角形中，求证： r+r a +r b +r c =2p.式中 r ，r a ，r b ， r c 分别表示内切圆半径及与 a ，b ，c 相切的旁切圆半径， p 表示半周 .(杭州大学《中学数学比赛习题》 ) 剖析：设 Rt △ABC 中， c 为斜边，先来证明一个特征：p( p- c)=( p- a)( p- b).∵ p( p- c)= 1 ( a+b+c) · 1( a+b- c)r cK2 2O 3A =1[( a+b) 2- c 2]O 24O r b=1ab ；r E BC2r a( p- a)( p- b)= 1(- a+b+c) · 1( a- b+c)O 122=1[ c 2-( a- b)2]= 1ab.42∴ p( p- c)=( p- a)( p- b).① 察看图形，可得r a =AF- AC=p- b ， r b =BG- BC=p- a ， r c =CK=p.而 r= 1( a+b- c)2= p- c. ∴ r+r a +r b +r c=( p- c)+( p- b)+( p- a)+ p =4 p-( a+b+c)=2 p. 由①及图形易证 .例 10． M 是△ ABC 边 AB 上的随意一点 . r 1，r 2， r 分别是△ AMC ，△ BMC ，△ABC 内切圆的半径， q 1， q 2，q 分别是上述三角形在∠ ACB 内部的旁切圆r 1r 2r半径 . 证明：·=. ( IMO -12)剖析：对随意△ A ′ B ′ C ′，由正弦定理可知第5 页 共 8 页A'OD=OA ′· sinC '2B'Osin· sin A'A ' ..E D . B '= A ′B ′·2sin A'O'B' 2sinA'sin B'O '= A ′B ′· 22 ，sin A'B' 2cos A' B'′′ ′· cos2 2 .O E= A B A' B'sin∴ ODtgA'tgB'.2O'E 22亦即有r 1 · r 2 =tg Atg CMA tgCNB tg B q 1q 22222=tg A tg B =r. 2 2 q六、众心共圆这有两种状况： (1) 同一点倒是不一样三角形的不一样的心； (2) 同一图形出现了同一三角形的几个心 .例 11．设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中，AB=BC ，CD=DE ，EF=FA. 试证：(1) AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点； (2) AB+BC+CD+DE+EF+FA ≥AK+BE+CF . (1991 ，国家教委数学试验班招生试题 )剖析：连结 AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ ACE 的三条内角均分线， I 为△ ACE 的心里 . 进而有 ID=CD=DE ， IF=EF=FA ， IB=AB=BC. 再由△ BDF ，易证 BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有：..ErdosABI+DI+FI ≥ 2· ( IP+IQ+IS).不难证明 IE=2IP ，IA=2IQ ，IC=2IS.FB Q ∴ BI+DI +FI ≥IA+IE+IC.∴ AB+BC+CD+DE+EF+FA =2( BI+DI+FI)≥ ( IA+IE+IC)+( BI+DI+FI)S CI PE D = AD+BE+CF.I 就是一点两心 .例 12．△ ABC 的外心为 O ，AB=AC ，D 是 AB 中点， E 是△ ACD 的重心 . 证明第6 页 共 8 页OE 丄 CD.(加拿大数学奥林匹克训练题 )剖析：设 AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在 DF 上且 DE: EF=2:1. 设 CD 交 AM 于G ，G 必为△ ABC 重心 . 连 GE ，MF ，MF 交 DC 于 K. 易证：AD EFG O KDG: GK= 1 DC:( 11) DC=2:1.3 2 3∴ DG: GK=DE: EF GE ∥MF . ∵ OD 丄 AB ，MF ∥ AB ， ∴ OD 丄 MF OD 丄 GE. 但 OG 易证 OE 丄 CD.BC丄 DE G 又是△ ODE 之垂心 .例 13．△ ABC 中∠ C=30°， O 是外心， I 是心里，边 AC 上的 D 点与边 BC 上的E 点使得 AD=BE=AB. 求证： OI 丄 DE ，OI=DE. (1988，中国数学奥林匹克集训题 )剖析：协助线如下图，作∠ DAO 均分线交 BC 于 K.易证△ AID ≌△ AIB ≌△ EIB ， ∠AID =∠ AIB=∠ EIB.A DC利用心里张角公式，有 30 ° ∠ AIB=90°+ 1∠C=105°， 2OK I F EB∴∠ DIE=360°-105 °× 3=45°. 12=30°+ 1 ( ∠BAC- ∠BAO)2=30°+ 1( ∠BAC-60 ° )1 2 = ∠BAC=∠ BAI=∠BEI .2∴ AK ∥ IE.由等腰△ AOD 可知 DO 丄 AK ，∴ DO 丄 IE ，即 DF 是△ DIE 的一条高 . 同理 EO 是△ DIE 之垂心， OI 丄 DE. 由∠ DIE=∠IDO ，易知 OI=DE.例 14．锐角△ ABC 中， O ，G ， H 分别是外心、重心、垂心和为 d 外，重心到三边距 A 离和为 d 重 ，垂心到三边距离和为 d 垂 .求证： 1·d 垂 +2·d 外 =3· d 重. H 3G 3剖析：这里用三角法 . 设△ ABC 外接圆 O 3 O G半径为 1，三个内角记为 A ， B ， IC. 易知 d 外 =OO 1+OO 2+OO 3BO 1 G 1 H 1. 设外心到三边距离O 2G 2 H 2 C=cosA+cosB+cosC ，∴ 2d 外 =2( cosA+cosB+cosC).①第7 页 共 8 页∵ AH 1 =sinB ·AB=sinB · (2 sinC)=2sinB ·sinC ， 相同可得 BH 2·CH 3.∴ 3d 重 =△ ABC 三条高的和=2·( sinB ·sinC+sinC ·sinA+sinA · sinB)②BH∴=2，sin BCH∴ HH 1 =cosC ·BH=2·cosB · cosC. 相同可得 HH 2，HH 3. ∴ d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2( cosB · cosC+cosC ·cosA+cosA ·cosB)③欲证结论，察看①、②、③，须 证 ( cosB · cosC+cosC · cosA+cosA · cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)= sinB · sinC+sinC · sinA+sinA ·sinB. 即可 .练 习 题1. I 为△ ABC 之心里，射线 AI ， BI ，CI 交△ ABC 外接圆于 A ′，B ′，C ′. 则 AA ′+BB ′ +CC ′＞△ ABC 周长 .(1982 ，澳大利亚数学奥林匹克 )2. △T ′的三边分别等于△ T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等 . 求证这两个三角形相像 .(1989 ，捷克数学奥林匹克 )3. I 为△ ABC 的心里 . 取△ IBC ，△ICA ，△ IAB 的外心 O 1，O 2，O 3. 求证：△ O 1O 2O 3 与△ ABC 有公共的外心 .(1988 ，美国数学奥林匹克 )4. AD 为△ ABC 内角均分线 . 取△ ABC ，△ABD ，△ ADC 的外心 O ，O 1，O 2. 则△ OO 1 O 2是等腰三角形 .5. △ABC 中∠ C ＜ 90°，从 AB 上 M 点作 CA ，CB 的垂线 MP ，MQ. H 是△ CPQ 的垂心 . 当 M 是 AB 上动点时，求 H 的轨迹 .( IMO-7)6. △ABC 的边 BC= 1( AB+AC) ，取 AB ， AC 中点 M ，N ， G 为重心， I 为心里 .2试证：过 A ，M ， N 三点的圆与直线 GI 相切 .( 第 27 届莫斯科数学奥林匹克 )7. 锐角△ ABC 的垂心对于三边的对称点分别是 H 1，H 2，H 3. 已知： H 1 ，H 2， H 3，求作△ ABC.( 第 7 届莫斯科数学奥林匹克 )8. 已知△ ABC 的三个旁心为 I 1， I 2，I 3. 求证：△ I 1I 2I 3是锐角三角形 .9. AB ，AC 切⊙ O 于 B ，C ，过 OA 与 BC 的交点 M 任作⊙ O 的弦 EF. 求证： (1) △AEF 与△ ABC 有公共的心里； (2) △ AEF 与△ ABC 有一个旁心重合 .第8 页 共 8 页。
数学竞赛三角形五心讲义
数学竞赛讲义第一节一．高中数学竞赛介绍一试考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。
试题分填空题与解答题两局部，总分值120分。
其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。
加试〔二试〕考试时间为9：40-12：10，共150分钟。
试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，总分值180分。
试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学。
二．答题策略保证1试所有知识点都练习过的根底上，2试选择平面几何+1题的方式去练习。
三．考试知识点一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学?数学教学大纲?中所规定的教学要求与内容，即高考所规定的知识范围与方法，在方法的要求上略有提高，其中概率与微积分初步不考。
二试1、平面几何根本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积与面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之与最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方与最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
2、代数在一试大纲的根底上另外要求的内容：周期函数及周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列及组合，简单的组合恒等式。
一元n次方程〔多项式〕根的个数，根及系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
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一．重心（）
1、重心到顶点的距离及重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
证明方法：
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离平方和为：
4、方程和பைடு நூலகம்等式
含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。
含绝对值的一元一次、二次方程的解法。
含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。
含绝对值的一元一次不等式。
简单的一次不定方程。
列方程（组）解应用题。
5、函数
y=|ax+b|,y=|ax²+bx+c|及y=ax²+bx+c的图像和性质。
例题2：设凸四边形ABCD的对角线AC及BD相交于O，△OAB、△OBC、△OCD、△ODA的重心分别为E、F、G、H，则SEFGH∶SABCD＝__________.
面积及等积变换。
三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。
五．数学竞赛题解题逻辑
高考题的解题逻辑：
数学竞赛的解题逻辑：
六．2试各题型的主要解题思想
1.平面几何
2.不等式
3.组合
4数论
七．其他一些常用的数学竞赛解题思想
数形结合
赋值
特殊到一般
分类讨论
构造函数
建模
点线面转化
递推
极限
数学竞赛讲义第二节
三角形五心的性质和练习
6、在△ABC中，若（），则M点为△ABC的重心，反之也成立。
7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则（）
8、AD2＝ (2AB2＋2AC2－BC2)；(三角形中线公式)
例题1：AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.
简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
3、立体几何
多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何
(x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2
=3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32
=3[x-1/3*(x1+x2+x3)]2+3[y-1/3*(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的等周问题。了解下述定理：
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
奇数和偶数，奇偶性分析。
带余除法和利用余数分类。
完全平方数。
因数分解的表示法，约数个数的计算。
有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。
2、代数式
综合除法、余式定理。
拆项、添项、配方、待定系数法。
部分分式。
对称式和轮换对称式。
3、恒等式及恒等变形
恒等式，恒等变形。
整式、分式、根式的恒等变形。
恒等式的证明。
第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列及组合，简单的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根及系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
二次函数在给定区间上的最值。简单分式函数的最值，含字母系数的二次函数。
6、逻辑推理问题
抽屉原则（概念），分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造抽屉。
简单的组合问题。
逻辑推理问题，反证法。
简单的极端原理。
简单的枚举法。
7、几何
四种命题及其关系。
三角形的不等关系。同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系。
直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它
抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
覆盖。
四、初中数学竞赛大纲
1、实数
十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。
素数和合数，最大公约数及最小公倍数。
数学竞赛讲义第一节
一．高中数学竞赛介绍
一试
考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。
加试（二试）
考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
2、代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数及周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时
上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2
最终得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，
即其坐标为（）
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
二．答题策略
保证1试所有知识点都练习过的基础上，2试选择平面几何+1题的方式去练习。
三．考试知识点
一试
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
二试
1、平面几何
基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。