北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形

为什么？
A
D
证明:矩形ABCD中
∵AB∥CD
O
∴∠OAB=∠OCD,
B
C
∠OBA=∠ODC △ABO与△DCO中
∵ ∠OAB=∠OCD,AB=CD,∠OBA=∠ODC
∴ △ABO ≌△DCO, ∴AO=OD,BO=CO
∴AO+OC=BO+OD,即:AC=BD
如图：矩形的对角线 A
D
相交于点E，你可以找
3、进一步体会证明的必要性以及计算与证明在 解决问题中的作用。
4、体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转 化等数学思想方法。
5、培养学生实事求是的辩证唯物主义思想及积 极探究的思想意识。
三、教学指导：
本节课共分为三课时内容，教 学过程中可分为三大步完成，即： 理论、方法积累、思路梳理——合 作交流，互助探索学习——自主探 索，拓展延伸，归纳新知。这充分 体现了螺旋上升的原则。
首先，我们应培养学生很好地掌握已熟悉 的逻辑方法，包括证明的思路和证明过程的 准确表达。
其次，对不同证明方法的探索可以提高学 生的逻辑思维水平。因此，在证明了一个命 题以后，同学们还应该思考是否还有其他的 证明方法，如辅助线的添加方法唯一吗？还 可以从什么角度解决问题……。
五、评价建议：
1、关注学生探索结论、分析思路和方法的 过程。
形
角形斜边上的 中线等于斜边 的一半。
B
D
具有平行四边形 所有边的性质
矩形 四个角都是直角 性质：
对角线相等且 互相平分
证明：过程
解答过程 ：
特殊平行四边形（二）
在认真学习第一课时的基础上，本节课的教学 可按以下环节逐步展开：
1.知识回顾——回想知识，加强记忆、理解。 2.新课引入——动手实践，发现新知。 3.新课讲解——互助合作，探索性质，判别。 4.训练应用——强化训练，加深应用。 5.拓展延伸——类比菱形，探索正方形。 6.小 结——综合思想，归纳思路。 7.作 业——综合知识，强化训练。 下面就每个环节，逐层分析。
矩形
平行四边形 定义 边
菱 形 性质 对角线
判别
例2： 证明： 证明过程
特殊平行四边形（三）
在认真学习“矩形、菱形、正方形基本知识”的 基
础上，第三节的教学可按以下步骤逐步展开： 1、课前复习——梳理知识点，对比特点，加深理
解，作好铺垫。 2、探究交流——自我探索，归纳知识，交流成果 3、拓展延伸——开拓思维，强化探索过程 4、综合应用——联系生活，激发兴趣，强化探索
D
1、直角三角形斜边上的中线长为4厘米，则他的两条 直角边的中点的连线长是
2、已知矩形的一条对角线长为8厘米，两条对角线的
一个交角为60°，则矩形的边长为：
。
3、用8块相同的长方形地砖拼成
一个矩形，则每个长方形地砖的
面积为 。
40厘
A、200cm² B、300cm²
米
C、600cm² D、240cm²
H分别是梯形ABCD边 E
AB、BC、CD、DA的
中点，当梯形ABCD满 B
足
条件时，
H
D
G
F
C
四边形EFGH是菱形。证明你的发现。
2、如图：四边形 ABCD中，E、F、G、
A
E
D
H分别是AD、BD、 BC、AC的中点，顺
FH
次连接E、F、G、H，
得到的四边形是一个 B 怎样的四边形？
G
C
若四边形E、F、G、H是一个菱形，则四边
1、下面是菱形具有而矩形不具有的性质为：
A、对边平行 B、对角相等 C、对角线互相平分 D、对角线互相垂直
2、菱形的两条对角线的长分别为6厘米和8厘米，则其
周长为
，面积为
。
3、菱形的周长为40厘米，它的一条对角线长为10厘米，
则它的另一条对角线长为
。
4、先阅读下列题目及小明给
出的证明。再根据要求回答 下列问题：
第一环节：知识回顾 第二环节：新课引入 第三环节：新课讲解 第四环节：训练应用 第五环节：拓展延伸 第六环节：感悟与收获 第七环节：布置作业
(二)
性质
判别
边角
线
平行四 平行 邻角互 互相平 1、 2、
边形 相等 补,对 分
3、 4、
角相等
矩形 平行 全为直 互相平 1、 2、
相等 角
分且相 3、
O
（4） ∵AE、BF分别是∠BAF、 B
∠ABE的平分线
EC
（5） ∴ ∠ 1= ∠ 2= ∠ BAF/2 ∠3= ∠ 4= ∠ ABE/2
问：1、上述证明是否 正确？
（6） ∴ ∠ 1+ ∠ 3=180 ° /2=90 °
（7） ∴ ∠AOB=90 °
（8） ∴AE ⊥BF
2、如果有错误，指出
在第 步到第 步推
第一环节——复习提问 第二环节——新课引入 第三环节——新课讲解 第四环节——应用训练 第五环节——拓展延伸 第六环节——感悟与收获 第七环节——布置作业
（一）
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形
平行四边形性质：
对边平行 对边相等
边
对角相等 邻角互补
角
对角线互相平分
对角线
平行四边形判别：
到那些相等的线段？
E
如果擦去△ADC，则 B
C
剩余的RT△ABC中， A
D
BE是怎样的一条特殊
的线段？它具有什么
特性？为什么？
E
B
C
经历上述的探讨过程，你能证明以下 结论吗？
推论：直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半。
已知：Rt△ABC中， A
D
BE是斜边AC上的中
E
线，
B
C
求证：BE=AC/2
4、已知：在矩形ABCD中E、F分别为BC、 AD上的点，且AE=CF，
求证：四边形AECF为平行四边形
A
F
D
B
E
C
矩形都有哪些判别方式？你能 设法证明它们吗？
定义：
角：
对角线：
请你设计一个方案，看怎样利
用刻度尺检查一个四边形零件是否 是矩形。
有一个角是
证明：直角三 例： A
C
矩形 直角的平行 定义：四边形是矩
两组对边分别平行
边： 两组对边分别相等
一组对边平行且相等
线： 对角线互相平分
的四边 形是平 行四边 形
证明命题的一般步骤：
1、审（找条件、结论） 2、作（作图，并标明字母、符号） 3、写（把文字语言转化为几何符
号语言，写已知、求证） 4、证（证明结论）
在一个平行四边形活动框架上，用
两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上， 拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边 形的形状，如图：
特殊平行四边形
一、教材： 九年制义务教育课程标准实验
教科书（北师大版）《数学》九 年级上册，第三章，第二节“特 殊平行四边形”。
二、教材分析：
特殊平行四边形：矩形、菱形、 正方形……是常见的几何图形。
如1推、结理下经合能：历力本探。节索、课猜知想识、特证明点的，过制程，定进教一学步目发展标
2、能够利用综合法证明矩形、菱形、正方形的 性质定理及其他相关结论。
已知：矩形ABCD中， A
D
AC、BD相交于点O
求证：AC=BD
B
O C
证明：
证明:∵四边形ABCD是矩 A
D
形，
∴AB=CD，
O
∠ABD=∠ADC=90°
B
C
RT△ABD与RT△DCA中 ∵AB=CD，∠ABD=∠ADC=90°
AD=AD
∴ △ABD≌ △DCA（SAS）
∴AC=BD
下列是小刚的证明过程 ，这样做对吗？
应用 5、小结——体会探索过程，疏理探索思路 6、视野窗——开阔眼界，综合知识，体会《原
本》价值
(三）
平行四边形
矩形 菱形 正方形
性质
对边平行相等，对 角相等，对角线互
相平分
四角都是直角，对 角线相等
四条边相等，对角 线互相垂直
四角相等，四边相 等，对角线相等、
互相垂直平分
判别
1、 2、 3、 4、
画图试一试，设法证明你的猜想。
A
B
D
C A
A
D
B
C
A
B
D
B
D
C
C
经历上述猜想、探索、证明过程，你 有何体会？有什么发现？
依次连接四边形各边中点所得的四 边形形状与哪些线段有关系？有怎 样的关系？对所有的四边形都适应 吗？你能用文字语言将你的成果表 达出来，让大家一起分享吗？
如图：梯形ABCD中， A AB∥：
。
（9） ∴四边形ABEF是菱形
如果想探讨正方形的性质、判别方式， 你会从那些方面入手来解决这个问题？
小组讨论一下，你们会得到那些性质、 判别，你们能迅速的思考出证明方法 吗？
总结 平行四边形、矩形、菱形、正
方形的性质及判别方式，比较其异 同点，加深理解、认识区别。
证明：
1、分别过A、C作BC、AB的平行线AD、DC，交 点为D，连接BD
证:ABCD为矩形
BD平分AC， 即：BD过E
BE=AC/2
证明：
A
D
2、过A作BC的平行线与
BE的延长线交于点D，
E
连接CD
B
C
证： ∆BCE ≌ ∆DAE（SAS） BC=AD
四边形ABCD为矩形
BE=AC/2
3、延长BE到D，使BE=DE，连接AD、DC。
等
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是 菱形
试一试：你能用折纸的方 式得到一个菱形吗？折纸 的过程中你发觉菱形有何 特性？总结一下。
边： 四条边都相等，对边平行
菱形的特点：
对角线：互相垂直平分，且每条对
角线平分每一组对角
以小组为单位讨论、 证明菱形的这些性质 定理。
证明：菱形的对角线互相垂直，并 且每条对角线平分一组对角
分每一组对角
以上的证明过程中你用到了哪些知识？进一步体 验折纸过程，折叠之后的三角形具有什么特点？ 你有何体会？
证明：菱形的面积等于其对角线乘积的 一半。
例2：
如图，四边形ABCD是边 长为13厘米的菱形，其中 对角线BD长10厘米，求：
（1）对角线AC的长度
（2）菱形ABCD 的面积
以小组为单位，回想、探讨 菱形的判别方法，并证明其 相关结论
对于第一课时的学习，重点以讲授、引 导思路为主。
对于第二课时，在第一课时的基础上， 放手让学生合作探索。
对于第三课时则采取探究式的教学方式， 有了前两课时的培训，大可放开手，让 学生自主探索，自己调整思路，透过现 象看本质，寻其根源，归纳总结知识。
四、学法指导：
本章的内容与《证明（二）》的联系是很 密切的，因此在学习方法上也很相近。
1、 2、 3、
1、 2、 3、
矩形+菱形
在学习第一节平行四边形的时候，曾研究过这样一 道题目：
任做一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得 到一个新的四边形，这个新的四边形的形状有何特征？ 怎样证明？ （1）猜想一下，如果依次连接矩形各边中点能得到什 么图形？
（2）连接菱形各边中点呢？连接正方形各边中点呢？ 连接平行四边形各边中点呢？
证：四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分）
四边形ABCD为矩形
BE=AC/2
回顾刚才的证明过程，证明结论的关 键是什么？其中用了哪种思维方式？ 运用了那些知识？你有什么体会？
例：如图：矩形ABCD的两条对角线相 交于点O，已知∠AOD=120°，AB=2.5 厘米，求矩形对角线的长。
A
C
B
A
F
D
已知:如图：在平行四边形 ABCD中， ∠A的平分线与 BC交于点E， ∠B的平分线与
2 1 3
O 4
AD边交于点F，AE与BF相交 B 于O
EC
求证：四边形ABEF是菱形
证明（1） ∵四边形ABCD是平行四边形 A
FD
（2）∴AD∥BC
2 1
（3） ∴ ∠ABE= ∠BAF=180 °
3 4
A
已知：
菱形ABCD中，AC、
12
BD相交与点O，
B
求证：
O
D
AC⊥BD，且AC、BD分
别平分每一组对角。
C
证明： ∵菱形ABCD中，
BO=OD，而∆ABD中，
AB=AD，BO=OD ，
A
∴AO ⊥BD， ∠ 1= ∠ 2
（三线合一）
B
即：AC ⊥BD，
12 O
D
∠ 1= ∠ 2 C
同理可得AC、BD平
2、关注学生推理论证的能力和水平。
六、教学过程：
特殊平行四边形（一）
为顺利完成教学目标，本节课在教学中设 置以下环节。
1、复习提问——理顺知识，作好辅垫。 2、新课引入——导入新课，激发兴趣。 3、新课讲解——积累知识，培养思维。 4、应用训练——熟练知识，加强理解。 5、拓展延伸——开阔知识面，训练思维。 6、小 结——总结收获，畅谈体会。 7、布置作业——加强练习，加深理解。
形ABCD应满足什么条件？
如图：ABCDXA表示 一条环行高速公路，X
A
B
表示一座水库，B、C 表示两个大市镇。已知
X
ABCD是一个正方形，
XAD是一个等边三角形。
假使政府要铺设两条输 水管XB和XC，从水库
D
C
向B、C两个市镇供水，那么这两条水管的夹角（即
∠BXC）是多少度？
α
α
α
经历上述运动及变化过程，回想一下矩 形是怎样定义的？它又具有哪些性质？
矩形定义： 有一个角是直角的平行
四边形是矩形
边： 具有平行四边形
所有边的性质
矩形性质： 角： 四个角都是直角
线：对角线相等且互相平分
与平行四边形的性质相对比，有什么 不同之处？为什么？
你能证明矩形的特殊性质吗？
证明：矩形的对角线相等