线性方程组的通解

(1)
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
或用矩阵方程,方程组(1)表示为: Ax b
非齐次线性方程组 Axb 有解的判断与求解步骤： (1)对于非齐次线性方程组 把它的增广矩阵B=(A, b) 化成行阶梯形 从B的行阶梯形可同时看出R(A)和 R(B) 若R(A)R(B) 则方程组无解
并求一般解。
解：
1 2 5 1
B
3 2
1 0
5 2
2
1 2 5 1
0
5
10
5
0 4 8 －2
1 2 5 1
0
1
2
1
0 4 8 －2
1 2 5 1
0
1
2
1
0 0 0 2
2 时方程组有解。
8
1 2 5 1
B
~
0 0
1 0
2 0
01
1 0 1 －1
2
(2)若R(A)R(B) 则进一步把B化成行最简形 而对于齐次线性方程组 则把系数矩阵A化成行 最简形 (3)设R(A)R(B) r 把行最简形中 r 个非零 行的首非零元所对应的未知数取作非自由未 知数 其余nr个未知数取作自由未知数 并
令自由未知数分别等于c1 c2 cnr 由B
的行最简形 即可写出含nr个参数的通解
0
1
2
1
0 0 0 0
x1 x2
1 1
x3 2 x3
所以方程组的通解为
x1 1 1
x2
c
2
1
x3 1 0
( c为任意实数）
9
二、齐次线性方程组的通解
对于方程组（其中有n个未知数，m个方程）
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2
a2n xn 0
(2)
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
或用矩阵方程方程组(1)表示为: Ax 0
齐次线性方程组 Ax0 有非零解的判断与求解步骤： (1)对于齐次线性方程组 把它的系数矩阵A 化成行阶 梯形 从A的行阶梯形可同时看出R(A) 若R(A)n , 则齐次线性方程组只有零解
x1 2x2 2x3 x4 0 2 x1 x2 2x3 2x4 0
.
x1 x2 4x3 3x4 0
解：对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 A 2
1
2 1 1
2 2 4
1 2 3
r2 r3
2r1 r1
1 0 0
2 3 3
2 6 6
1 4 4
12
1 2 2 1 0 3 6 4 0 3 6 4
15
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
x1
2c2
5 3 c2,
x2 x3
2c2 c1 ,
4 3
c2
,
x4 c2,
5
x1 x2 x3 x4
c1
2 2 1 0
c2
3 4
3 0
1
.
14
小结:
1.齐次线形方程组的通解的求法. 2.非齐次线形方程组的通解的求法.
r3 r2
1 2 0 1
2 2
1 4
1 0
r1
2r2
0
1
2 2
5 3 4
r2
(3)
0
0
0
3 0
3
0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组
x1 x2
2 2
x3 x3
5
3 4
3
x4 x4
0, 0,
13
由此即得
ຫໍສະໝຸດ Baidux1 x2
2
x3
5 3
x4
,
2
x3
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
10
(2)若R(A) n 则进一步把A化成行最简形 (3)设R(A) r 把行最简形中 r 个非零行的首 非零元所对应的未知数取作非自由未知数 其 余nr个未知数取作自由未知数 并令自由未
知数分别等于c1 c2 cnr 由A的行最简
形 即可写出含nr个参数的通解
11
例4. 求解齐次线性方程组
第三章 矩阵的初等变 换与线性方程组
第六讲 线性方程组的通解
一、非齐次线性方程组的通解 二、齐次线性方程组的通解
1
一、非齐次线性方程组的通解
对于方程组（其中有n个未知数，m个方程）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
3
例1. 求解非齐次线性方程组
解 对增广矩阵B进行初等行变换，
故方程组无解．
4
例2 求解非齐次方程组的通解 解 对增广矩阵B进行初等变换
5
故方程组有解，且有
6
所以方程组的通解为
7
例3.为何值时，线性方程组
x1－2 x2 5 x3 3 x1 x2 5 x3
1 2
有解，
2 x1 2 x3