第一章 第讲 n元线性方程组求解
解n元线性方程组的模型
{x=A[i][k];
For(j=k;j<N;j++)
A[i][j]-=x*A[k][j;]
}
If(SetPrintMatrix) PriontMatrix()
}
Return 0;
}
（2） 再定义一个求和变量sum和一个指针变量*P，其中p指向 最后一行的每一个元素U[m-1][j], j=0,1，……n-1，判断p所指向的元素的值是否为0，如果是0，则sum++，P++，若不为0，则结束程序；
五、参考文献
[1]陈维兴林晓茶.C++面向对象程序设计（第二版）.9.中国铁道出版社2009.11（2010.9重印）
[2]胡超梁伟闫玉宝. C语言从入门到精通.机械工业出版社.2011.1
[3]甄西丰实用数值计算方法.清华大学出版社2006.1
解n元线性方程组的模型
问题的提出：小明妈妈去买白菜，青菜总共花了10元。白菜2.5元一斤，青菜3元一斤，请算出小明妈妈买了几斤白菜及青菜？
尽管这个问题听起来非常熟悉，显得非常简单，但仅仅由这几个数字和约束条件解不出来这个问题的实际解。因为这个问题有白菜和青菜的质量的两个变元，所以还必须需要一组约束，既需要白菜和青菜的总和斤量才能解出这个问题唯一解，否则这个问题会有很多解，这不符合实际要求。
再举一个物理机械运动学有关的简单例子：甲乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度。
解方程组的思想是数学上很热的问题，更是在化学，物理，经济，天文学，医学等许多领域都常会遇到及需要解的问题。
课件：线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
最简形方程组
x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 (2) 0=0
x1 5x3 = 1 x2+2x3 = 2 0=0
由此可得原方程组的通解
x1 = 5x3+1 x2 = 2x32 x3 = x3
上述求方程组解的方法---Gauss消元法
第1章 行列式和线性方程组的求解
则称A为阶梯形矩阵(简称阶梯阵). 这时称A 中非零行的行数为A的阶梯数. 例如
1 1 2 0 4
11 0 0 4
01 00
3 0
2 2
2 3
,
0 1 0 2 2 0 0 0 2 3
00 0 0 0
00 0 0 4
第1章 行列式和线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
如果阶梯阵A还满足如下条件
§1.4 线性方程组的求解
1. 线性方程组的换法变换, 倍法变换和消法变 换统称为线性方程组的初等变换.
注: 倍法变换必须用非零的常数去乘某一个 方程.
2. 阶梯形线性方程组的有三中基本类型. 例如
2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0=1
x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5
x1+ 2x2 + x3+ x4 = -1 2x1 - x2 +2x3+ x4 = 2 x1 + x2 +2x3+ 2x4 = 0
第三章 矩阵的相抵变换和秩·线性方程组
§3.1 消元法
例2. 设线性方程组
x1 x2 x3 0
x1
(
1) x2
线性方程的组的求解
所以
X = R \ (R′ \ b)
（3）QR 分解 对于任何长方矩阵 A，都可以进行 QR 分解，其中 Q 为正交矩阵，R 为上三角矩阵的初
等变换形式，即：A=QR 方程 A*X=b 变形成 所以
QRX=b X=R\(Q\b)
上例中 [Q, R]=qr(A)
X=R\(Q\B) 说明 这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘
0
0
0
0
0 1.0000
0
0
0
0
0 1.0000
则 R 的最后一列元素就是所求之解。
2.2662 -1.7218 1.0571 -0.5940 0.3188
例 1-77 解：
求方程组
⎪⎨⎧3xx11+−xx22−−33xx33−+x44x=4
1 =
4
的一个特解。
⎪⎩x1 + 5x2 − 9x3 − 8x4 = 0
%判断有唯一解
X=A\b
elseif R_A==R_B&R_A<n %判断有无穷解
X=A\b
%求特解
C=null(A,'r') %求 AX=0 的基础解系
else X='equition no solve' %判断无解
end
运行后结果显示：
R_A = 2
R_B = 3
X= equition no solve
=1 =2
⎪⎩2x1 + x2 + 2x3 − 2x4 = 3
解：在 Matlab 中建立 M 文件如下：
A=[1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2];
解线性方程组的解法
定理3.1（线性方程组有解判别定理） 线性方程组 Ax β 有解的充要条件是它的系数矩阵 A 与增 广矩阵 A ( A, β ) 等秩，即 r ( A) r ( A) r ( A, β ) 推论3.1（解的个数定理） （1）n元线性方程组 Ax β 有唯一解的充要条件是 r ( A) r ( A, β ) n . （2）n元线性方程组 Ax β 有无穷多解的充要条 件是 r ( A) r ( A, β ) r n . 此时它的一般解中含 n r 个自由未知量. （3）n元线性方程组 Ax β 无解的充要条件 是 r ( A) r ( A, β ) . 由于上述讨论并未涉及常数项 b1 , b2 ,, bm 的 取值，因此对b1 b2 bm 0 时的n元齐次线性 方程组
x (9,1,6)T
9
一般地，不妨设线性方程组（3.1）的增广矩阵可通 过适当的初等行变换化为阶梯形矩阵 1 0 0 c1r 1 c1n d1 0 1 0 c2 r 1 c2 n d 2 0 0 1 crr 1 crn d r A 0 0 d r 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 因而由初等行变换不改变矩阵的秩可知：线性方程 组（3.1）的系数矩阵 A 与增广矩阵 A 的秩分别为
5
集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称 它们同解(same solution). 若线性方程组（3.1）的解存 在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解 线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求 出它的全部解. 消元法是求解线性方程组的一种基本方法，其基 本思想是通过消元变形把方程组化成容易求解的同解 方程组. 在中学代数里我们学过用消元法求解二元或 三元线性方程组，现在把这种方法理论化、规范化、 并与矩阵的初等变换结合起来，使它适用于求解含更 多未知量或方程的线性方程组. 为此，先看一个例子.
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，解决线性方程组可以帮助我们求解各种实际问题。
在本文中，我们将介绍几种常见的求解线性方程组的方法。
一、高斯消元法高斯消元法是最常见、最简单的一种求解线性方程组的方法。
该方法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为简化的梯形方程组，并进一步求解出方程组的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 选取矩阵中的一个元素作为主元，将主元所在的行进行换位，使主元尽可能地靠近对角线。
3. 使用消元法，通过将主元下方的所有元素消为零，将矩阵化为简化的梯形矩阵。
4. 从最后一行开始，逆推求解出每个未知数的值。
高斯消元法的优点是简单易懂，适用于一般的线性方程组。
然而，该方法在涉及大规模矩阵的情况下计算量较大，效率相对较低。
二、矩阵的逆和逆矩阵法矩阵的逆和逆矩阵法是通过求解矩阵的逆矩阵来求解线性方程组的方法。
这种方法需要先求出矩阵的逆矩阵，然后利用逆矩阵和增广矩阵相乘得到方程组的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 求解增广矩阵的逆矩阵。
3. 将逆矩阵与增广矩阵相乘，得到方程组的解。
矩阵的逆和逆矩阵法的优点是适用于包含多个方程组的情况，且相对于高斯消元法在计算大型矩阵时具有更高的效率。
然而，该方法要求矩阵可逆，且逆矩阵存在才能得到准确的解。
三、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的方法，用于求解含有n个未知数的n个线性方程组的解。
该方法通过求解方程组的行列式来得到各个未知数的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式，并求出系数矩阵的行列式D。
2. 分别将系数矩阵的每一列替换成常数项的列向量，分别求出替换后的矩阵的行列式D1、D2...Dn。
3. 通过D1/D、D2/D...Dn/D得到方程组的解。
克拉默法则的优点是对于小规模的线性方程组简单易懂，但对于大规模的线性方程组计算量较大，效率较低。
总结：以上介绍了几种常见的线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵的逆和逆矩阵法，以及克拉默法则。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，它可以表示为多个线性方程的组合，我们需要找到满足所有方程的解。
下面将介绍几种常用的线性方程组解法。
一、高斯消元法高斯消元法是最常用的线性方程组解法之一，它通过矩阵的初等行变换，将线性方程组转化为等价的简化行阶梯形矩阵。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式；2. 选取一个主元（通常是矩阵的第一行第一列元素）；3. 将选中的主元通过初等行变换变为1，并将该列其他元素通过初等行变换变为0；4. 重复上述步骤，直到将整个矩阵化简成行阶梯形矩阵。
通过高斯消元法得到的行阶梯形矩阵可以帮助我们找到线性方程组的解。
如果矩阵中存在形如0=1的方程，则说明该线性方程组无解。
二、克拉默法则克拉默法则是另一种解线性方程组的方法，它利用了行列式的概念。
对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量，如果A的行列式不为0，那么该线性方程组有唯一解，可以通过如下公式求解：xi = |Ai| / |A|, i=1,2,...,n其中|Ai|表示将A的第i列替换成向量b后的新矩阵的行列式，|A|为A的行列式。
克拉默法则的优点是直观易懂，适用于较小规模的线性方程组。
然而，它的计算过程较为繁琐，不适用于大规模线性方程组的求解。
三、矩阵求逆法对于一个n元线性方程组Ax=b，我们可以通过求解系数矩阵A的逆矩阵来得到方程组的解：x = A^(-1) * b其中A^(-1)表示A的逆矩阵，*为矩阵乘法运算。
然而，矩阵求逆法在实际应用中往往需要消耗大量的计算资源和时间，尤其是在维数较高的情况下。
因此，该方法适用于对较小规模的线性方程组求解。
四、迭代法迭代法是一种数值解法，适用于大规模稀疏线性方程组的求解。
其基本思想是通过迭代计算逼近线性方程组的解。
常用的迭代方法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法等。
雅可比迭代法的计算公式为：xi(k+1) = (bi - Σ(aij * xj(k))) / aii, i = 1, 2, ..., n其中k表示迭代的次数，xi(k)表示第k次迭代后第i个未知数的值。
中国科学技术大学线性代数课程讲义1
本章主要介绍一般的 n 元线性方程组
aa2111
x1 x1
+ +
a12x2 a22x2
+ +
· ·
· ·
· ·
+ +
a1nxn a2nxn
= =
b1 b2
am1x1
+
ห้องสมุดไป่ตู้
··········· am2x2 + · · · +
· amnxn
=
bm
(1.1)
的求解方法，其中 a11, a12, · · · , amn, b1, b2 · · · , bm 是已知的数，x1, x2, · · · , xn 是待求解的变量．特 别，当 b1 = b2 = · · · = bm = 0 时，线性方程组 (1.1) 称为齐次线性方程组．
以把 a11 ̸= 0 情形化为 a11 = 1 情形．
例 1.1 中的同解变形消元过程可以表示为如下初等变换．
⃝⃝12 ⃝⃝34
−换−行→
⃝⃝21 ⃝⃝34
−消−去−−x→2
⃝⃝21 ⃝⃝67
=
⃝5
−
3
×
⃝1
−消−去−−x→1
⃝⃝21 ⃝⃝35
=
⃝4
−
⃝3
−消−去−−x→1
⃝⃝21 ⃝⃝65
=
⃝3
7
8
第一章 线性方程组
例 1.1. 求解线性方程组
xx12
− −
x3 = −1 2x2 = −4
⃝1 ⃝2
33xx11
− +
2x2 + x4 = −7 x2 + x3 + 3x4 =
线性代数1-4
D2 1 1
1
2
1
D3 1 1
1
2
( 1) ( 1)
2
2
此时方程组的（唯一）解是
x1 ( 1)
2
x2
1
2
x3
( 1)
2
2
例 2 的进一步讨论： 1、当 方程组
x1 x 2 x 3 1 x1 x 2 x 3 x x x 2 2 3 1
？
第 i 行 确实是方程组的解。
元素
下面再证方程组解的唯一性。
设 x1 1 ,
x2 2 , ,
xn n ,
为方程组
(4.1)的任一解， 我们证明必定有
1
D1 D ,
2
D2 D
, , n
Dn D
因为 1 , 2 , , n 是（4.1）式的一个解， 所以 它满足（4.1）式， 即
b1 b2 bn
a1 2 a 22 an2
a1 n a2n a nn D1
即
1
D1 D
Dj D
j 2, , n
同理可证 j D
Dj
，即 j
所以方程组（4.1）的解是唯一的。
例1 求解线性方程组
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1 3 x1 x 2 x 3 2 x 4 4 2 x1 3 x 2 x 3 x 4 6 x1 2 x 2 3 x 3 x 4 4
有唯一解，并求出其解。 解 方程组的系数行列式
解线性方程组的解法_图文
线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之 一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术 和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、 最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用. 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数 与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组. 本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的 判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相 关的向量线性相关性等. 其主要知识结构如下：
为方程组（3.1）的增广矩阵(augmented matrix). 因为 一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以 线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的. 如果 x1 c1 , x2 c2 ,, xn cn 可以使（3.1）中的每个等式都 T x ( c , c , , c ) 成立，则称 为线性方程组（3.1）的一个 1 2 n 解(solution). 线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解
集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称 它们同解(same solution). 若线性方程组（3.1）的解存 在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解 线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求 出它的全部解.
例1 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1 2 x3 6 2 x1 4 x 2 x 5 x 4 2 3 1
( 2 ) (1)
x2 x3
1 6
显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组） 同解，所以原方程组有唯一解 x1 9, x2 1, x3 6
由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可 以对方程组反复施行以下三种变换： 1. 交换两个方程的位置； 2. 用一个非零数乘某个方程的两边； 3. 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 称它们为线性方程组的初等变换. 显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组 的同解性. 在例1的求解过程中，我们只对方程组的系数和 常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变 换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行 变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于 用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵. 下面我们将 例1的求解过程写成矩阵形式：
线性方程组的解法
• 【例2】已知向量v，试建立以向量v作为主对角线 例 的对角阵A；建立分别以向量v作为主对角线两侧 的对角线的对角阵B和C。 • MATLAB程序如下： MATLAB
一、 特殊矩阵的实现
% 按各种对角线情况构成相应的对角阵A、B和C
• • • • • • • • • • • • • • •
v =[1;2;3]; % 建立一个已知的向量A A=diag(v) A= 1 0 0 0 2 0 0 0 3 B=diag(v,1) B = 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 C=diag(v,-1) C = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3
一、 特殊矩阵的实现
• 【例 4】试分别用triu(A)、triu(A,1)和、triu(A,例 1)从矩阵A提取相应的上三角部分构成上三角 阵B、C和D。
• MATLAB程序如下：
• • • • • • • • • A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;9 8 7]; % 一个已知的43阶矩阵A % 构成各种情况的上三角阵B、C和D B=triu(A) B = 1 2 3 0 5 6 0 0 9 0 0 0 C=triu(A,1) D=triu(A,-1)
x1 x2 X = ⋮ x n
称为n元未知量矩阵 称为 元未知量矩阵.
b1 b2 称为(2.1)的常数项矩阵. 的常数项矩阵 B = 称为 ⋮ b m
于是线性方程组(2.1)写成矩阵方程形式 写成矩阵方程形式 于是线性方程组 将系数矩阵A和常数项矩阵 放在一起构成的矩阵 将系数矩阵 和常数项矩阵B放在一起构成的矩阵 即 和常数项矩阵 放在一起构成的矩阵,即
n元线性方程组线性方程组的
高斯消元法_1
例子：用高斯消元法解方程组
2 x1 x2 3x3 1 R 2 R , R R 2 x1 x2 3x3 1 2 1 3 1 4 x1 2 x2 5 x3 4 4 x2 x3 2 2x x 2x 5 2x x 4 3 2 3 1 2 2 x1 x2 3x3 1 2 x1 x2 3x3 1 R2 2 R3 R2 R3 x3 6 2 x2 x3 4 2x x 4 x3 6 2 3 由此，易求得方程组的 解为(9,1,6).
线性的方程组的矩阵表示
称矩阵
a11 a21 as1 a12 a22 as 2 a1n a2 n asn b1 b2 bs
（2）
为线性方程组（1）的增广矩阵
ห้องสมุดไป่ตู้
高斯消元法_1
例子：用高斯消元法解方程组
2 x1 x2 3x3 1 R 2 R , R R 2 x1 x2 3x3 1 2 1 3 1 4 x1 2 x2 5 x3 4 4 x2 x3 2 2x x 2x 5 2x x 4 3 2 3 1 2 2 x1 x2 3x3 1 2 x1 x2 3x3 1 R2 2 R3 R2 R3 x3 6 2 x2 x3 4 2x x 4 x3 6 2 3 由此，易求得方程组的 解为(9,1,6).
x1 , x2 , , xn 代表n个未知量， s是方程的个数， aij (i 1,2, , s, j 1,2, , n)称为方程组的系数， b j ( j 1,2, , s )称为常数项。
线性代数第1章解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换PPT课件
当(1)式右端常数全为0而得到的齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
成为(1)导出的齐次线性方程组。
- 30 -
定义 由方程组(1)的系数与常数项组成的矩阵
几种特殊的方阵（P4）
1. 对角矩阵(约定:未写出的元素全为零)
d1
D
d2
d
n
记作 D d ia g ( d 1 ,d 2 , ,d n )
2. 数量矩阵
A
- 11 -
3. 单位矩阵
1
E
1
1
4.上(下)三角矩阵
a11 A
a12 a22
上三角
a1n
a2n
- 16 -
定义 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、 第三种初等行变换:
(1) 交换矩阵的某两行，记为 ri rj (2) 以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为 k ri (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，
记为 ri krj
类似定义三种初等列变换:
( 1 ) c i c j( 2 ) k i ( k c 0 )( 3 ) c i k j c
2 2
2
0
1 2
r2
0
1 1
1
0
r3 2r1 0 5 5 3 6 0 5 5 3 6
r4 3r1
0
3 3
4
3
0
3 3
4
3
- 24 -
1 1 2 1 4
1 1 2 1 4
r35r2
线性方程组的求解方法详解
线性方程组的求解方法详解线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数都是一次项（与其他未知数之间没有乘法关系）。
解线性方程组的目标是找到满足所有方程的未知数的值。
线性方程组的求解方法有多种，包括高斯消元法、矩阵方法、Cramer法则等。
1.高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的经典方法之一、它通过将线性方程组转化为行简化阶梯形矩阵的形式，从而求得未知数的值。
具体步骤如下：第一步，将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中增广矩阵的最后一列为方程组的常数项。
第二步，选择一行（通常选择第一行）为主元行，并将其系数设置为1第三步，对于其他行，通过消去主元的系数，并使得该列上下的其他系数为零。
这一步称为消元操作。
第四步，重复第三步，直到所有行都被消元为止。
第五步，通过回代法，将最简形的增广矩阵转化为解方程组所需的形式。
从最后一行开始，将未知数的值代入到其他行的系数中，直到所有未知数都求得其值。
2.矩阵方法矩阵方法是一种利用矩阵运算求解线性方程组的方法。
该方法可以通过矩阵的逆矩阵、伴随矩阵等来求解。
具体步骤如下：第一步，将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵写成增广矩阵的形式。
第二步，求解系数矩阵的逆矩阵。
第三步，将逆矩阵和常数矩阵相乘，得到未知数的解向量。
3. Cramer法则Cramer法则是一种基于行列式的方法，可以求解n元线性方程组。
该方法的基本思想是通过计算行列式的值来求解方程组。
具体步骤如下：第一步，计算线性方程组的系数矩阵的行列式值，如果行列式值不为零则方程组有唯一解，如果行列式值为零，则方程组无解或者有无穷多解。
第二步，将系数矩阵的每一列用常数项替换，并计算其行列式值。
第三步，将每个未知数的系数矩阵的行列式值除以原始行列式的值，得到解向量。
4.LU分解法LU分解法是一种将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的方法。
该方法利用了矩阵分解的性质，通过将线性方程组转化为一个简单的形式，从而求得未知数的值。
《线性代数讲义》-课题- 第一章
第一章 行列式本章要给出求解n 元线性方程组的另一种方法—行列式法。
问题与背景 中学我们就学过解二元一次方程组、三元一次方程组。
我们能不能得到一个求解二元一次方程组、三元一次方程组等n 元线性方程组的公式呢？我们先从二元一次方程组入手。
利用加减消元法，我们很容易得到二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a 的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=211222112112112211222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x 大家一定疑惑，这么容易就能得到的公式，为什么以前不讲呢？问题是这个公式很难记住。
一个公式如果很难记住，它的作用自然不能很好地发挥。
只要我们引入行列式的概念，改变一下这个公式的形式，这个公式就很容易记住，上面的公式就求活了。
§1 二阶与三阶行列式我们引入记号dc b a ，称其为二阶行列式，它实际上是个代数式，并有bc ad dc ba -=，可以简记为有了二阶行列式的记号，则上述的公式就可写成222112112221211a a a a a b a b x =222112112211112a a a a b a b a x =记2221211a b a b D =(与1x 的解对应) 2211112b a b a D =(与2x 的解对应)22211211a a a a D = (称为系数行列式)则 DD x DD x 2211==此时公式变得更简单。
例1 求解方程组⎩⎨⎧=+-=-1212322121x x x x 解：1411122,2121312,7213221=-=-=--==-=D D D271437212211===-=-==D D x D D x 受二元一次方程组求解的启发，自然要问二元一次方程组、n 元一次方程组是否也有上述简单的公式解？答案是肯定的，只需要合理地定义三阶行列式、n 阶行列式就可以了。
线性代数 线性方程组
变换 3: 第i 个方程 乘以 r 0
…… … … … … …
ai1 x1+ai2 x2+… +ain xn = bi …… … … … … …
aj1 x1+aj2 x2+…+ajn xn = bj …… … … … … …
第 i 个方程乘以 r−1 即返回
…… … … … … …
rai1 x1+rai2 x2+… +rain xn = rbi …… … … … … …
同解。
行阶梯形
y z =3
0=0
x = 2+z
y = 3+z
1 0 1 2
0 1 1 3 0000
行最简形
x z = 2 y z = 3
0=0
2. 行最简形矩阵:
• 首先是行阶梯形矩阵； • 其次首元所在的列除了这个首1 外其余元素都是0.
利用行最简形增广矩阵直接就可以写出解.
增广矩阵
初等行变换
行阶梯形
得到一个与原方程组有相同解集的新方程组, 它更容 易判别是否有解并方便求解. 这一过程称为等价变换 或同解变换.
消元法：
• 消元
• 回代
例5
2x y z 3
求解
x y
2
解
x y z 6
xy 2
①
②
2x y z 3
x y z 6
xy 2
y z 1 ③ +②×(- 2)
2 y z 4
② +①×(- 2) ③ +①×(- 1)
严格三角形方程组
xy 2
Байду номын сангаас
y z 1
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是数学中的重要概念，在各种应用领域都有着重要的作用。
线性方程组的求解是数学中的一个重要问题，它在代数学、几何学、物理学等领域有着广泛的应用。
本文将从线性方程组的定义、求解方法及其应用等方面进行介绍和分析。
一、线性方程组的定义线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。
一般而言，一个线性方程组由n个未知数x1、x2、…、xn的m个线性方程组成，即：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2……am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm其中a11、a12、…、amn为系数，b1、b2、…、bm为常数。
n个未知数x1、x2、…、xn、m个方程就构成了一个m元n次线性方程组。
1. 【高斯消元法】高斯消元法是一种常用于求解线性方程组的方法。
它的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转换成为一个等价的简单形式，从而容易求解。
高斯消元法的具体步骤如下：（1）将方程组写成增广矩阵的形式。
（2）利用初等变换将增广矩阵化为行阶梯形式。
（4）根据化简后的行阶梯形式得出方程组的解。
2. 【矩阵法】线性方程组也可以用矩阵的形式表示。
已知线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x 为未知数向量，b为常数向量。
矩阵法的基本思想是利用矩阵的性质和运算规则来求解线性方程组。
具体步骤如下：（2）根据矩阵的性质和运算规则，通过矩阵运算来求解x。
3. 【克拉默法则】克拉默法则是一种用行列式来求解线性方程组的方法。
对于n元线性方程组，如果系数矩阵的行列式不等于0，则该线性方程组有唯一解，可以通过克拉默法则来求解。
具体步骤如下：（1）计算系数矩阵的行列式Δ。
（2）分别将系数矩阵的每一列替换成常数向量b，得到n个行列式Δ1、Δ2、…、Δn。
（3）方程组的解为x1=Δ1/Δ，x2=Δ2/Δ，…，xn=Δn/Δ。
1. 【代数学】线性方程组在代数学中有着重要的应用。
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组在数学和工程领域中有着广泛的应用，它们描述了多个变量之间的线性关系，如电路分析、机械结构分析、经济学模型等领域都能见到线性方程组的身影。
线性方程组的求解不仅在理论上有着重要意义，更在实际问题中发挥着巨大的作用。
本文将介绍线性方程组的求解方法以及其应用。
一、线性方程组的概念及求解方法线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，其中未知量的最高次数为1。
一般形式如下：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bma11, a12, ..., a1n, b1是已知的常数，x1, x2, ..., xn是未知数，要求的是未知数的值。
求解线性方程组的方法有很多，常用的有高斯消元法、矩阵法和克拉默法则等。
下面分别介绍这几种方法：（1）高斯消元法高斯消元法是通过逐步消元来解线性方程组的方法。
首先将线性方程组写成增广矩阵的形式，然后利用初等行变换将增广矩阵化为简化行阶梯形矩阵，最终通过回代求解未知数的值。
这种方法在理论上很严谨，但在实际应用中计算量较大。
（2）矩阵法线性方程组可以用矩阵表示，因此可以借助矩阵的性质来求解线性方程组。
具体操作是将系数矩阵和常数矩阵组成增广矩阵，然后对增广矩阵进行初等行变换，得到行阶梯形矩阵，再通过回代求解未知数的值。
（3）克拉默法则克拉默法则是一种比较直观的方法，它是通过行列式的性质来求解线性方程组的。
具体操作是求出系数矩阵的行列式和以每个未知数为自变量的n个方程组成的行列式，然后用系数矩阵的行列式除以方程组行列式就得到了未知数的值。
以上三种方法都可以用来求解线性方程组，但在不同的应用场景下可能有所不同，需要根据实际情况来选择合适的方法。
二、线性方程组的应用线性方程组在现实生活和工程领域中有着广泛的应用。
下面介绍一些典型的应用场景。
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第四讲 n 元线性方程组求解上一讲我们介绍了当n 元一次线性方程组的系数矩阵A 可逆时，可求出方程组解1X A b -=，实际上这也是方程组的唯一解。
如果方程组系数矩阵A 不可逆或A 不是方阵时，该如何来讨论方程组的解？这一讲将通过矩阵的初等变换来研究n 元一次线性方程组（齐次、非齐次）在什么条件下有解、如何求解以及各种解的表达形式等.n 元一次线性方程组是指形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112222212111212111 ... ...（4.1）令111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，12n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ，12m b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M则方程组的矩阵方程形式AX b =.其中：A 称为方程组（4.1）的系数矩阵，°()A A b =称为方程组（4.1）的增广矩阵。
当b O ≠时，称（4.1）式为一元线性非齐次线性方程组;当b O =时，称 (4.2 ) 式为一元线性齐次线性方程组，其矩阵形式AX O =.111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L L ... ...(4.2) 显然X O =是（4.2）式的当然解。
所以说，齐次线性方程组的解只有两种情况：唯一解(零解)和无穷多解(非零解)。
把非齐次线性方程组（4.1）式的每个方程右边的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。
（即：（4.2）是（4.1）的导出组）在第二讲的例2.12中，非齐次方程组的解是通过对方程组的增广矩阵实施初等行变换得到的. 那么，这种求解方法是不是对任意的线性方程组都适用？答案是肯定的。
下面我们就给出理论证明.定理4.1 若将非齐次线性方程组AX b =的增广矩阵°()A A b =用初等行变换化为()V U ，则方程组AX b =与V UX =是同解方程组。
证 由第二讲的性质3.2及定理3.1知，当对增广矩阵°()A A b =用初等行变换化为()V U 时，一定存在初等矩阵k P P P ,,,21Λ，使得()()11k k P P P A b UV -=L 成立记P P P P k k =-11Λ，由初等矩阵的可逆性知P 可逆。
若设1X 为AX b =的解，即1AX b =，两边同时左乘矩阵P ，有111()PAX Pb PA X Pb UX V =⇒=⇒=于是1X 是方程组V UX =的解。
反之，若2X 为V UX =的解，即11112222()UX V P UX P V P U X P V AX b ----=⇒=⇒=⇒=2X 亦为AX b =的解。
综上所述，AX b =与V UX =所表示的是同解方程组.定理4.1给出了利用矩阵初等行变换求解方程组的思路，具体方法如下：将方程组的增广矩阵°()A A b =实施初等行变换化为行的最简形，此时该最简形作为增广矩阵对应的方程组与原方程组同解，这样通过解简化的阶梯形矩阵所对应的方程组就求出原方程组的解，这种方法称为高斯消元法。
4.1.1非齐次线性方程组的相容性先写出方程组（4.1）的增广矩阵°A ，然后利用初等行变换将°A 化为行最简形。
°()A A b ==11121121222212n nm m mn m m na a ab a a a b a a a b ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭L L L L L LL°A 的行最简形有下面三种情形（为方便讨论，假设°A 的行最简形中构成的单位阵正好在左上角）。
（1）11121121222212n nm m mn m m na a ab a a a b a a a b ⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭L L L L L LL−−−→行变换12(1)10000100000100000000n m n c c c ⨯+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M M M L M L L M M L M M L...... (4.3) 注意到°A 的行最简形矩阵不为零的行数正好等于变量个数n ，其对应的方程组如下1122n nx c x c x c =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩L L L此时原方程组的唯一解已经得到： 12n c c X c ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ；（2）11121121222212nnm m mn m m na a ab a a a b a a a b ⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L L L L L LL−−−→行变换1(1)2(2)1()12(1)(2)2()2(1)(2)()(1)10000100100000000000000r r r n r r r n r r r r r r n r m n d d d c d d d c d d d c +++++++++⨯+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L M M M M M M M M L L L L LM M M L M L... ... (4.4) 注意到°A 的行最简形中不为零的行数为r （<r n ）小于变量个数n .对应的方程组如下 11(1)11(2)21122(1)12(2)2222(1)1(2)2r r r r n n r r r n n r r r r r r r rn n r x b x b x b x c x b x b x b x c x b x b x b x c +++++++++++++++++=⎧⎪+++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L L此时还不能完全求出原方程的解，但可以看出原方程有无数个解，这是因为如果把后面n r -个变量12,,r r n x x x ++L 赋予数值后，前面r 个变量12,,r x x x L 的值就被唯一确定，从而得到方程组解X =｛12,,r x x x L ，12,,r r n x x x ++L ｝T .（3）11121121222212n nm m mn m m na a ab a a a b a a a b ⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭L L L L L LL−−−→行变换12+1(1)1000010000010000000k k m n c c c c ⨯+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M M M L M L L M M L M M L.....（4.5） 注意到°A 的行最简形中不为零的行数是+1k ，但第+1k 行中只有10k c +≠，其余元素全为零。
这就是说°A 的行最简形对应的方程组中最后一个方程是“10k c +=”（10k c +≠），这显然是一个矛盾方程，因而原方程组无解。
根据上面讨论的方程组（4.1）解的3种情况，先给出非齐次方程组的相关定义定理后再详细讨论（4.1）的解。
定义4.1 如果一个n 元线性方程组它存在解，则称方程组是相容的，否则就称方程组是不相容组或矛盾方程组。
比如（4.3）式和（4.4）式所表示的方程组都是相容方程组，而（4.5）所表示的方程组是不相容方程组。
定义4.2 n 元线性方程组经过化简后，方程组中被保留的方程称为有效方程，消去的方程称为多余方程.比如（4.3）式的有效方程个数正好有n 个（相容的有效方程组）；（4.4）式的有效方程个数有r 个，多余方程个数有n r -个（相容的有效方程组）.（4.5）式有效方程有1r +个，多余方程1n r --个（不相容的有效方程组）. 定理4.2（1）方程组（4.1）有唯一解的充要条件是，有效方程的个数等于变量个数； （2）方程组（4.1）有无穷多解的充要条件是，有效方程的个数小于变量个数； （3）方程组（4.1）无解的从要条件是，存在着矛盾的有效方程。
证明（略）定理4.2更加明确了利用高斯消元法如何判断非齐次方程组的解的情况.例4.1 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=-+-=-+-422312320432143214321x x x x x x x x x x x x解：将方程组的增广矩阵用初等行变换化为行最简形213133213232315111101111021321011013212401454111101111001101011010055500111110010101000111r r r r r r r r r r r r A ----------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=---−−−→- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭:12100110101000111r +⎛⎫⎪−−−→ ⎪⎪--⎝⎭这时行最简形所对应的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+101434241x x x x x x注意到方程组的有效方程个数为3小于方程变量个数4，所以原方程有无穷多解，求解方法如下：先将x 4移到等号右端得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=-=434241101xx x x x x ，称123,,x x x 是方程组的保留变量，称4x 是方程组的自由变量（可任意取值）。
4x再令x 4取任意常数k R ∈，则得 1234101x k x k x k x k=-⎧⎪=-⎪⎨=-+⎪⎪=⎩ ， ... ... （4.6）或写成 123411011101x x k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ... .. .(4.7)称k 为方程组的自由未知数或自由元，(4.6) 式称为方程组的通解或一般解；（4.7）称为方程组的向量解.例4.2求线性方程组的解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=+-=++=+-53221232312321321321321x x x x x x x x x x x x解 将方程组的增广矩阵用初等行变换化为行最简形2131412312432142433214(1)1()721121112131230440121101122235007711211011011001100112002200110011r r r r r r r r r r r r r r r r r r A ----+---+---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪⎪−−−→−−−→ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43410001000010101010000001100110000r r r ↔⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪−−−→−−−→⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭从增广矩阵行的最简形可看出，方程组有效方程数是3，方程组的第4个方程是多余方程，但由于方程组变量的个数是也是3，所以原方程组有唯一解：⎪⎩⎪⎨⎧===110321x x x本例说明当方程组中方程的个数多于变量个数时，方程组一定有多余方程.例4.3 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=-+-=++-33221531232432143214321x x x x x x x x x x x x 解 将方程组的增广矩阵用初等行变换化为行阶梯形213132123211232131511054742123305471r r r r A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=---−−−→--- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭:32123210547400005r r --⎛⎫ ⎪−−−→--- ⎪⎪⎝⎭， 行阶梯形所对应的方程组是 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=--=++-504745123244324321x x x x x x x x ， 虽说方程组有效方程有3个，但最后一个方程是矛盾方程，故原方程组无解.例4.4 设方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=++=++k x x kx x x x x kx 5221823532321321问：k 取何值时方程组有唯一解?无穷多解?无解?在有无穷多解时求出通解。