n元线性方程组求解
matlab中用克拉默法则解n元方程
matlab中用克拉默法则解n元方程克拉默法则是一种解决n元线性方程组的方法，它通过使用行列式的性质，可以求解出方程组的解。
在MATLAB中，可以利用克拉默法则来解决n元线性方程组的问题。
克拉默法则的基本思想是，将n元线性方程组的解表示为各个未知数的比例关系，并通过计算行列式的值来求解未知数的值。
具体步骤如下：1. 将n元线性方程组写成矩阵形式。
假设方程组为A*X=B，其中A 是一个n阶矩阵，X是未知数向量，B是已知常数向量。
2. 计算系数矩阵A的行列式值det(A)。
如果det(A)=0，说明方程组无解；如果det(A)≠0，说明方程组有唯一解。
3. 对于方程组的每一个未知数Xi，将其系数矩阵A中第i列替换为常数向量B，得到矩阵Ai。
然后计算矩阵Ai的行列式值det(Ai)。
4. 未知数Xi的解为det(Ai)/det(A)。
将每个未知数的解代入原方程组中，可以验证解的正确性。
以一个具体的例子来说明克拉默法则在MATLAB中的应用。
假设有以下的3元线性方程组：2x + 3y - z = 14x - y + 2z = -23x + 2y - 3z = 3将方程组写成矩阵形式：A = [2, 3, -1; 4, -1, 2; 3, 2, -3]B = [1; -2; 3]接下来，计算系数矩阵A的行列式值：detA = det(A)然后，计算每个未知数的解：x = det([B, A(:,2:3)])/detAy = det([A(:,1), B, A(:,3)])/detAz = det([A(:,1:2), B])/detA将解代入原方程组中验证：eq1 = 2*x + 3*y - zeq2 = 4*x - y + 2*zeq3 = 3*x + 2*y - 3*z如果方程组有解，那么eq1、eq2和eq3的值应该分别为1、-2和3。
通过以上步骤，可以使用MATLAB中的克拉默法则来解决n元线性方程组的问题。
n元线性方程组线性方程组的
1 4
R2
2 R1 ,R3
R1
2
x1 x2 4x2
3x3 x3 2
1
2x1 x2 2x3 5
2x2 x3 4
R2 2 R3
2
x1
x2 3x3 x3 6
1
R2 R3
2
x1 x2 2x2
crr xr dr cr,r1xr1 crn xn ,
由此给出xr1,, xn的一组值，就可唯一地给出x1, x2 ,, xr的值，
即给出（7）的一个解。
一般地，由（7）我们可以把x1, x2 ,, xr通过xr1,, xn表示出来， 这样的一组表达式称为方程组（1）的一般解，而xr1,, xn称为 一组自由未知量。
n元一次线性方程组_2
n元线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1, a21x1 a22 x2 a2nxn b2 , as1x1 as2 x2 asn xn bs ,
的一个解就是指由n个数k1, k2,, kn组成的有序数组（k1, k2,, kn）， 当（x1, x2,, xn）分别用（k1, k2,, kn）代入后,方程组中的每个等式都 变成恒等式，方程组的解的全体称为它的解集合。
(4)
而（3）与（1）是同解的，
as2 ' x2 asn ' xn bs ', 因此，方程组（1）有解的充分必要条件为方程组（4）有解。
对（4）依照以上变换，一步步作下去，最后得到一个阶 梯 形 方 程 组，设为
c11x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1,
解n元线性方程组的模型
{x=A[i][k];
For(j=k;j<N;j++)
A[i][j]-=x*A[k][j;]
}
If(SetPrintMatrix) PriontMatrix()
}
Return 0;
}
（2） 再定义一个求和变量sum和一个指针变量*P，其中p指向 最后一行的每一个元素U[m-1][j], j=0,1，……n-1，判断p所指向的元素的值是否为0，如果是0，则sum++，P++，若不为0，则结束程序；
五、参考文献
[1]陈维兴林晓茶.C++面向对象程序设计（第二版）.9.中国铁道出版社2009.11（2010.9重印）
[2]胡超梁伟闫玉宝. C语言从入门到精通.机械工业出版社.2011.1
[3]甄西丰实用数值计算方法.清华大学出版社2006.1
解n元线性方程组的模型
问题的提出：小明妈妈去买白菜，青菜总共花了10元。白菜2.5元一斤，青菜3元一斤，请算出小明妈妈买了几斤白菜及青菜？
尽管这个问题听起来非常熟悉，显得非常简单，但仅仅由这几个数字和约束条件解不出来这个问题的实际解。因为这个问题有白菜和青菜的质量的两个变元，所以还必须需要一组约束，既需要白菜和青菜的总和斤量才能解出这个问题唯一解，否则这个问题会有很多解，这不符合实际要求。
再举一个物理机械运动学有关的简单例子：甲乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度。
解方程组的思想是数学上很热的问题，更是在化学，物理，经济，天文学，医学等许多领域都常会遇到及需要解的问题。
第一章 第讲 n元线性方程组求解
第四讲 n 元线性方程组求解上一讲我们介绍了当n 元一次线性方程组的系数矩阵A 可逆时，可求出方程组解1X A b -=，实际上这也是方程组的唯一解。
如果方程组系数矩阵A 不可逆或A 不是方阵时，该如何来讨论方程组的解？这一讲将通过矩阵的初等变换来研究n 元一次线性方程组（齐次、非齐次）在什么条件下有解、如何求解以及各种解的表达形式等.n 元一次线性方程组是指形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112222212111212111 ... ...（4.1）令111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，12n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ，12m b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M则方程组的矩阵方程形式AX b =.其中：A 称为方程组（4.1）的系数矩阵，°()A A b =称为方程组（4.1）的增广矩阵。
当b O ≠时，称（4.1）式为一元线性非齐次线性方程组;当b O =时，称 (4.2 ) 式为一元线性齐次线性方程组，其矩阵形式AX O =.111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L L ... ...(4.2) 显然X O =是（4.2）式的当然解。
所以说，齐次线性方程组的解只有两种情况：唯一解(零解)和无穷多解(非零解)。
把非齐次线性方程组（4.1）式的每个方程右边的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。
克拉默法则计算行列式
克拉默法则计算行列式行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵所具有的一个标量值。
在解线性方程组时，行列式可以帮助我们判断方程组的解的情况，而克拉默法则是一种基于行列式的解线性方程组的方法。
我们来回顾一下行列式的定义。
对于一个n阶方阵A = [a_ij]，它的行列式记作|A|或det(A)，计算公式如下：|A| = a_11 * A_11 + a_12 * A_12 + ... + a_1n * A_1n其中，A_ij表示将第i行和第j列划去后，剩余元素构成的(n-1)阶方阵的行列式。
对于2阶方阵A = [a_11 a_12; a_21 a_22]，它的行列式为|A| = a_11 * a_22 - a_12 * a_21。
接下来，我们介绍克拉默法则。
克拉默法则是一种求解n元线性方程组的方法，它基于行列式的性质。
对于一个n元线性方程组：a_11 * x_1 + a_12 * x_2 + ... + a_1n * x_n = b_1a_21 * x_1 + a_22 * x_2 + ... + a_2n * x_n = b_2...a_n1 * x_1 + a_n2 * x_2 + ... + a_nn * x_n = b_n其中，a_ij为系数矩阵，x_i为未知数，b_i为常数项。
如果方程组的系数矩阵的行列式不等于0，即|A| ≠ 0，那么该方程组有唯一解，可以通过克拉默法则求解。
根据克拉默法则，方程组的解可以表示为：x_1 = |A_1| / |A|x_2 = |A_2| / |A|...x_n = |A_n| / |A|其中，A_i是将方程组的系数矩阵的第i列替换为常数项向量所得到的矩阵。
例如，A_1 = [b_1 a_12 ... a_1n]，A_2 = [a_21 b_2 ... a_2n]，以此类推。
通过计算每个A_i的行列式，然后除以系数矩阵的行列式，即可得到方程组的解。
需要注意的是，克拉默法则的计算比较繁琐，当方程组规模较大时，计算量会很大。
解线性方程组的解法
定理3.1（线性方程组有解判别定理） 线性方程组 Ax β 有解的充要条件是它的系数矩阵 A 与增 广矩阵 A ( A, β ) 等秩，即 r ( A) r ( A) r ( A, β ) 推论3.1（解的个数定理） （1）n元线性方程组 Ax β 有唯一解的充要条件是 r ( A) r ( A, β ) n . （2）n元线性方程组 Ax β 有无穷多解的充要条 件是 r ( A) r ( A, β ) r n . 此时它的一般解中含 n r 个自由未知量. （3）n元线性方程组 Ax β 无解的充要条件 是 r ( A) r ( A, β ) . 由于上述讨论并未涉及常数项 b1 , b2 ,, bm 的 取值，因此对b1 b2 bm 0 时的n元齐次线性 方程组
x (9,1,6)T
9
一般地，不妨设线性方程组（3.1）的增广矩阵可通 过适当的初等行变换化为阶梯形矩阵 1 0 0 c1r 1 c1n d1 0 1 0 c2 r 1 c2 n d 2 0 0 1 crr 1 crn d r A 0 0 d r 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 因而由初等行变换不改变矩阵的秩可知：线性方程 组（3.1）的系数矩阵 A 与增广矩阵 A 的秩分别为
5
集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称 它们同解(same solution). 若线性方程组（3.1）的解存 在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解 线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求 出它的全部解. 消元法是求解线性方程组的一种基本方法，其基 本思想是通过消元变形把方程组化成容易求解的同解 方程组. 在中学代数里我们学过用消元法求解二元或 三元线性方程组，现在把这种方法理论化、规范化、 并与矩阵的初等变换结合起来，使它适用于求解含更 多未知量或方程的线性方程组. 为此，先看一个例子.
高等代数第2讲——n元线性方程组解的情况
⾼等代数第2讲——n 元线性⽅程组解的情况 在有理数(或实数，或复数)集内(这⼀前提还是很重要的)，n 元线性⽅程组解的情况有且只有三种情况：(1)⽆解；(2)唯⼀解；(3)⽆穷解。
可以通过两条直线(“直线”对应代数中的“线性”)的关系加以理解：两条直线要么平⾏(对应⽆解)，要么相交(对应唯⼀解)，要么重合(对应⽆穷解)。
可以通过对线性⽅程组的增⼴矩阵进⾏初等⾏变换，得到最简⾏阶梯矩阵，据此可以判断线性⽅程组解的情况。
何谓初等⾏变换呢？1. 把⼀⾏的倍数加到另⼀⾏2. 现⾏互换3. ⼀⾏乘以⼀个⾮0常数 何谓最简⾏阶梯矩阵？它的特点是：1. 它是阶梯形矩阵2. 每个⾮零⾏的主元都是13. 每个主元所在列的其余元素都是0与之对应的⽅程组为 上⾯的最简⾏阶梯矩阵中，红框中的元即为主元，或称主变量。
⽅程组可写为： 这个表达式称为原线性⽅程线的⼀般解，其中以主元为系数的未知量 x 1 ， x 3 称为主变量，⽽其余未⽮量 x 2称为⾃由未知量。
⼀般解就是⽤含⾃由未知量的式⼦来表⽰主变量。
定理1 n 元线性⽅程组的解的情况只有三种可能：⽆解，有唯⼀解，有⽆穷多个解。
把n 元线性⽅程组的增⼴矩阵经过初等⾏变换化成阶梯矩阵，如果相应的阶梯形⽅程出现"0=d(其中d 是⾮零数"这样的⽅程，则原⽅程组⽆解；否则，有解。
当有解时，如果阶梯形矩阵的⾮零⾏数⽬r 等于未知量数⽬n ，则原⽅程组有唯⼀解；如果⾮零⾏数⽬r<n ，则原⽅程组有⽆穷个解。
如果⼀个线性⽅程组有解，则称它是相容的；否则，称它是不相容的。
下述线性⽅程组有什么特点？它是否⼀定有解？ 上⾯的线性⽅程组的每个⽅程的常数项都为0。
常数项全为0的线性⽅程组称为齐次线性⽅程组。
显然(0,0,0,0)是齐次线性⽅程组的⼀个解，这个解称为零解。
任何⼀个齐次线性⽅程组都有零解。
如果⼀个齐次线性⽅程组除了零解外，还有其它的解，则称其它解为⾮零解。
《线性代数》 线性方程组
A 2
5
3
③+①(-3) 0
1
1
3 8
0 1 6
③+②(-1)
1
0
3 1
2
1
0 0 5
对于齐次线性方程组，要使其有非零解，
则要求： 秩r(A)n 3
故 5 ＝ ， 0 ， ＝ 5 时 当 即 r A 2 ， 3
此时方程组有非零解。 这时系数矩阵变为：
1 3 2
如果常数项 b1,b2,,bm不全为0，则 称为：非齐次线性方程组。
5、方程组的解：
方程组的解是满足方程组的未知量的
一组取值： x 1 c 1 ,x 2 c 2 , ,x n c n .
也可记c1为 ,c2,： ,cn） （
例如：
显然，
5x1 x2 2x3 0 2x1 x2 x3 0 9x1 2x2 5x3 0
经济数学基础
《线性代数》
第三章 线性方程组
本章重点：
•线性方程组的解的判定和求法
本章难点：
•解的判定定理
一、线性方程组的有关概念
1、n元线性方程组为：
a11x1 a12x2 a1nxn b1,
a21x1 a12x2 a1nxn b2,
am1x1 am2x2 amnxn bm.
ai： j 第 i个方,第 程 j个未知 xj的量 系数；
1 1 0 x1 1
1
0
2x2
2
0 3 4 x3 3
由线性方程组可惟一确定增广矩阵；反之 由增广矩阵，也可以惟一确定线性方程组。
【例2】已知方程组的增广矩阵如下，试写出
它的线性方程组
1 1 0 1
A 1 0 2 2
【解】：x1x2 1
线性方程组的解法
• 【例2】已知向量v，试建立以向量v作为主对角线 例 的对角阵A；建立分别以向量v作为主对角线两侧 的对角线的对角阵B和C。 • MATLAB程序如下： MATLAB
一、 特殊矩阵的实现
% 按各种对角线情况构成相应的对角阵A、B和C
• • • • • • • • • • • • • • •
v =[1;2;3]; % 建立一个已知的向量A A=diag(v) A= 1 0 0 0 2 0 0 0 3 B=diag(v,1) B = 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 C=diag(v,-1) C = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3
一、 特殊矩阵的实现
• 【例 4】试分别用triu(A)、triu(A,1)和、triu(A,例 1)从矩阵A提取相应的上三角部分构成上三角 阵B、C和D。
• MATLAB程序如下：
• • • • • • • • • A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;9 8 7]; % 一个已知的43阶矩阵A % 构成各种情况的上三角阵B、C和D B=triu(A) B = 1 2 3 0 5 6 0 0 9 0 0 0 C=triu(A,1) D=triu(A,-1)
x1 x2 X = ⋮ x n
称为n元未知量矩阵 称为 元未知量矩阵.
b1 b2 称为(2.1)的常数项矩阵. 的常数项矩阵 B = 称为 ⋮ b m
于是线性方程组(2.1)写成矩阵方程形式 写成矩阵方程形式 于是线性方程组 将系数矩阵A和常数项矩阵 放在一起构成的矩阵 将系数矩阵 和常数项矩阵B放在一起构成的矩阵 即 和常数项矩阵 放在一起构成的矩阵,即
高斯消元法解n元一次方程组
高斯消元法则是解决线性方程组的一种常用方法，它基于矩阵运算的特点，通过行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵或者行简化阶梯矩阵，从而求出方程组的解。
下面是高斯消元法求解n元一次方程组的步骤：
1）将系数矩阵A构造成增广矩阵（即系数矩阵与常数向量的组合），并写出方程组的一般式：AX=B。
2）从下往上依次对A进行行初等变换，将其化为行简化阶梯矩阵或者阶梯形矩阵。
具体操作如下：
-若当前行元素全为零，则跳过该行，继续向下处理下一行；
-若非零元素位于当前行的第一个位置，则交换当前行第一个非零元素与其前一行的最后一个元素，然后将当前行第一个元素置为零；
-若是主元（即非零元素），则将当前行主元移至下一行，并将当前行主元代替当前行主元所在列的所有元素。
3）当A变为行简化阶梯矩阵或者阶梯形矩阵时，可以通过回代求解方程组的解。
具体操作如下：
-从下往上进行回代，依次将回代后的方程代入方程组，直至回代后的方程为零，从而求出方程组的解。
需要注意的是，高斯消元法的时间复杂度为O(n^3)，因此对于大型方程组而言，使用高斯消元法进行求解可能需要较长的时间。
为了提高计算效率，可以使用更高效的算法，例如矩阵分解、矩阵约化、矩阵分解等算法。
3.3 线性方程组的消元解法
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
于是得到
x3=2， x2 =3-2x3 =-1， x1=3+2x2-4x3=-7。
方程组的解为
x1=x2=-
7 1。
x3= 2
—r3-—2r2
x1
-2x2+4x3 x2+2x3
= =
3 3，
x3 = 2 最新课件
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1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
10499
0 0
1 -1 -2 -2 0000
，
00000
R (A )=R (A ,b)=2 4 , 故方程组有无穷多解.
方程组的一般解为
x1 = 9 - 4x3 x2 =- 2 + x3
- 9x4 + 2x4
(x3, x4任意)
则方程组的通解为：
x1=- 9 - 4c1 - 9c2
x2=- 2 + c1 + 2c2
x3 =
c1 c1
x4 =
c2
(c1,c2 R)
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12
铃
例3．解线性方程组
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 x2 + x3 - 4x4 = 1 。
x1 + 2x2 + 3x3 - x4 = 4 2x1 + 2x2 - x3 - x4 =- 6
n元线性方程组线性方程组的
高斯消元法_1
例子：用高斯消元法解方程组
2 x1 x2 3x3 1 R 2 R , R R 2 x1 x2 3x3 1 2 1 3 1 4 x1 2 x2 5 x3 4 4 x2 x3 2 2x x 2x 5 2x x 4 3 2 3 1 2 2 x1 x2 3x3 1 2 x1 x2 3x3 1 R2 2 R3 R2 R3 x3 6 2 x2 x3 4 2x x 4 x3 6 2 3 由此，易求得方程组的 解为(9,1,6).
线性的方程组的矩阵表示
称矩阵
a11 a21 as1 a12 a22 as 2 a1n a2 n asn b1 b2 bs
（2）
为线性方程组（1）的增广矩阵
ห้องสมุดไป่ตู้
高斯消元法_1
例子：用高斯消元法解方程组
2 x1 x2 3x3 1 R 2 R , R R 2 x1 x2 3x3 1 2 1 3 1 4 x1 2 x2 5 x3 4 4 x2 x3 2 2x x 2x 5 2x x 4 3 2 3 1 2 2 x1 x2 3x3 1 2 x1 x2 3x3 1 R2 2 R3 R2 R3 x3 6 2 x2 x3 4 2x x 4 x3 6 2 3 由此，易求得方程组的 解为(9,1,6).
x1 , x2 , , xn 代表n个未知量， s是方程的个数， aij (i 1,2, , s, j 1,2, , n)称为方程组的系数， b j ( j 1,2, , s )称为常数项。
克拉默法则原理
克拉默法则原理克拉黫法则是线性代数中的一个重要原理，它是解线性方程组的一种方法。
克拉默法则可以用来求解n元线性方程组的解，它的理论基础是行列式的性质。
在实际应用中，克拉默法则可以帮助我们更快速地求解线性方程组的解，尤其在小规模线性方程组的求解中具有一定的优势。
下面我们将详细介绍克拉默法则的原理及其应用。
首先，我们来看克拉默法则的基本原理。
对于一个n元线性方程组，如果它的系数矩阵的行列式不等于0，那么这个线性方程组有唯一解，并且可以用克拉默法则来求解。
假设有n元线性方程组：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2。
...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn。
其中aij为系数矩阵的元素，bi为常数项，x1, x2, ..., xn为未知数。
系数矩阵的行列式记为D，而将系数矩阵的第i列替换为常数项所得的新矩阵的行列式记为Di。
那么根据克拉默法则，线性方程组的解可以表示为：x1 = D1 / D, x2 = D2 / D, ..., xn = Dn / D。
其中D1, D2, ..., Dn分别为将系数矩阵的第1列到第n列分别替换为常数项所得的新矩阵的行列式。
这就是克拉默法则的基本原理，通过计算行列式的值来求解线性方程组的解。
其次，我们来看克拉默法则的应用。
在实际应用中，克拉默法则通常用于小规模线性方程组的求解。
当线性方程组的规模较大时，使用克拉默法则求解会涉及到大量的行列式计算，效率较低。
但在一些特定情况下，克拉默法则仍然可以发挥作用。
例如，当我们需要求解3元线性方程组时，可以直接利用克拉默法则进行计算，而不需要使用其他方法。
此外，克拉默法则还可以用于研究线性方程组的解的存在性和唯一性。
通过计算系数矩阵的行列式，我们可以判断线性方程组是否有解，以及解的个数。
这对于理论研究和实际问题的分析都具有重要意义。
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是数学中的重要概念，在各种应用领域都有着重要的作用。
线性方程组的求解是数学中的一个重要问题，它在代数学、几何学、物理学等领域有着广泛的应用。
本文将从线性方程组的定义、求解方法及其应用等方面进行介绍和分析。
一、线性方程组的定义线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。
一般而言，一个线性方程组由n个未知数x1、x2、…、xn的m个线性方程组成，即：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2……am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm其中a11、a12、…、amn为系数，b1、b2、…、bm为常数。
n个未知数x1、x2、…、xn、m个方程就构成了一个m元n次线性方程组。
1. 【高斯消元法】高斯消元法是一种常用于求解线性方程组的方法。
它的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转换成为一个等价的简单形式，从而容易求解。
高斯消元法的具体步骤如下：（1）将方程组写成增广矩阵的形式。
（2）利用初等变换将增广矩阵化为行阶梯形式。
（4）根据化简后的行阶梯形式得出方程组的解。
2. 【矩阵法】线性方程组也可以用矩阵的形式表示。
已知线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x 为未知数向量，b为常数向量。
矩阵法的基本思想是利用矩阵的性质和运算规则来求解线性方程组。
具体步骤如下：（2）根据矩阵的性质和运算规则，通过矩阵运算来求解x。
3. 【克拉默法则】克拉默法则是一种用行列式来求解线性方程组的方法。
对于n元线性方程组，如果系数矩阵的行列式不等于0，则该线性方程组有唯一解，可以通过克拉默法则来求解。
具体步骤如下：（1）计算系数矩阵的行列式Δ。
（2）分别将系数矩阵的每一列替换成常数向量b，得到n个行列式Δ1、Δ2、…、Δn。
（3）方程组的解为x1=Δ1/Δ，x2=Δ2/Δ，…，xn=Δn/Δ。
1. 【代数学】线性方程组在代数学中有着重要的应用。
克莱姆(cramer)法则的两种证明方法
克莱姆(cramer)法则的两种证明方法
克莱姆法则是线性代数中的一个定理，用于求解n元线性方程组的解。
它有两种证明方法：代数法证明和几何法证明。
1. 代数法证明：
- 首先，假设有一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个
n×n的矩阵，x和b是n维列向量。
- 根据克莱姆法则，如果A是可逆矩阵，即det(A)≠0，那么方程组有唯一解，解为x=A⁻¹b，其中A⁻¹是A的逆矩阵。
- 现在我们使用线性代数的定理，在矩阵A的逆矩阵存在的条件下，通过线性方程组的变换可以得出唯一解的表达式。
- 我们可以通过对Ax=b两边同时左乘A的逆矩阵A⁻¹，得到x=A⁻¹b。
- 这样就证明了克莱姆法则成立。
2. 几何法证明：
- 首先，我们将n元线性方程组转化为矩阵形式Ax=b，并将其视为方程组的几何表示。
- 根据几何直观，如果矩阵A是可逆的，即行向量或列向量的线性组合不为零，那么方程组有唯一解。
- 当A是可逆矩阵时，矩阵A的行向量或列向量构成一个n维的空间，称为列空间或行空间。
- 如果矩阵A是可逆的，那么由于列空间或行空间的维数等于n，所以方程组有唯一解。
- 因此，几何上的直观理解也证明了克莱姆法则的成立。
这些证明方法都是基于线性代数的基本原理和定理，可以通过严谨的推导和数学推理来证明克莱姆法则的正确性。
克兰姆(Cramer)法则
一类特殊的线性方程组的求解问题—— 方程组中未知数个数与方程个数相同
一、n元线性方程组 元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 L an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = bn
例1
解线性方程组
x1 + x2 + x3 + x4 = 5 x + 2 x − x + 4 x = −2 1 2 3 4 2 x1 − 3x2 − x3 − 5 x4 = −2 3x1 + x2 + 2 x3 + 11x4 = 0
解：方程组的系数行列式
1 d= 1 3 1 2 1 1 −1 2 1 4 11 = L = −142 ≠ 0
例２：问λ取何值时，齐次线性方程组
(5 − λ ) x1 + 2 x2 + 2 x3 = 0 2 x1 + (6 − λ ) x2 = 0 2 x + (4 − λ ) x = 0 1 3
有非零解？
5− λ
2 6 −λ 0
2 0 = (5−λ)(2−λ)(8−λ) 4 −λ
解: d = 2
(3)
注：
1) 齐次线性方程组总有解；
2) x1 = x2 = L = xn = 0为齐次线性方程组的解
称之为零解 零解; 零解 3) 除零解外的解(若还有的话)称为非零解 非零解. 非零解
定理5 定理 若齐次线性方程组(3)的系数行列式 d≠0, 则(3)只有零解． 推论 若齐次线性方程(3)有非零解，则必 有系数行列式d=0.
关于n个方程的n元齐次线性方程组的克拉默法则
关于n个方程的n元齐次线性方程组的克拉默法则
克拉默法则指的是解n元齐次线性方程组的一种有效方法，它是基于矩阵代数
的一种新的数学技术，是当今数学研究的一个重要组成部分。
克拉默法则实质上是求解n元齐次线性方程组的一种三角形矩阵法，它要求原
方程组的系数矩阵依次乘以n个单位矩阵的n行n列，如果有n个原方程组，则系数矩阵的n行n列应依次转变为三角阵。
三角矩阵又可分为上三角矩阵和下三角矩阵，上三角矩阵可通过变换得到一个对角元都为1的一般三角矩阵，而下三角矩阵则可以通过变换得到一个右下角元都为1
的单位矩阵。
克拉默法则的求解思路是这样的，假设系数矩阵为A，constant vector为b，要求解的未知数vector则为x。
应用这个法则，首先将Ax = b变为A~ = LUx = b,其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。
此法有一个重要特点，那就是可以求解出比较复杂的线性方程组。
由于前面所
讨论的步骤比较多，因此实际求解非常繁琐。
为了解决这一问题，有计算机程序可以将克拉默法则及其步骤求解线性方程组的诸多细节都实现了，因此相对来说较为轻松。
总之，克拉默法则是一种常用的求解n元齐次线性方程组的有效方法，简便
有效，被认为是当今数学分析方面有重要应用价值的工具。
n元一次方程组有解的条件
n元一次方程组有解的条件n元一次方程组是数学中的一种基本问题，它涉及到线性方程的求解。
在解一个n元一次方程组之前，我们首先需要确定方程组有解的条件。
n元一次方程组有解的条件主要有两个：方程个数与未知数个数相等，且系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
方程个数与未知数个数相等是方程组有解的必要条件。
如果方程个数多于未知数个数，那么方程组就会出现冗余，无法确定唯一的解。
如果方程个数少于未知数个数，那么方程组就会出现不确定性，存在无穷多个解。
系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩是方程组有解的充分条件。
在求解方程组时，我们通常会将系数矩阵和增广矩阵进行行变换，以简化方程组的形式。
如果系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，那么方程组就有解。
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，那么方程组就无解。
如果系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩，那么方程组就有无穷多个解。
除了以上两个条件，方程组还可能存在特殊的情况。
例如，当方程组中的方程之间存在线性相关性时，方程组就可能存在无穷多个解。
当方程组中的方程之间存在矛盾时，方程组就无解。
n元一次方程组有解的条件是方程个数与未知数个数相等，并且系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
在实际求解方程组时，我们可以通过高斯消元法、矩阵的行列式等方法来确定方程组是否有解，并找到解的具体形式。
通过解决n元一次方程组的问题，我们可以深入理解线性代数中的线性方程组的性质和求解方法，为后续学习和应用提供了基础。
同时，对于实际问题的建模和求解，也离不开对n元一次方程组有解条件的理解和应用。
因此，掌握n元一次方程组有解的条件对于数学学习和实际问题的解决都具有重要意义。
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第四讲 n 元线性方程组求解（3节）上一讲我们介绍了当n 元一次线性方程组的系数矩阵A 可逆时，可求出方程组解1X A b -=，实际上这也是方程组的唯一解。
如果方程组系数矩阵A 不可逆或A 不是方阵时，该如何来讨论方程组的解？这一讲将通过矩阵的初等变换来研究n 元一次线性方程组（齐次、非齐次）在什么条件下有解、如何求解以及各种解的表达形式等.n 元一次线性方程组是指形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 ... ...（4.1）令111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12m b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则方程组的矩阵方程形式AX b =.其中：A 称为方程组（4.1）的系数矩阵，()A A b =称为方程组（4.1）的增广矩阵。
当b O ≠时，称（4.1）式为一元线性非齐次线性方程组;当b O =时，称 (4.2 ) 式为一元线性齐次线性方程组，其矩阵形式AX O =.111122121122221122000n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ... ...(4.2)显然X O =是（4.2）式的当然解。
把非齐次线性方程组（4.1）式的每个方程右边的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。
（即：（4.2）是（4.1）的导出组）在第二讲的例2.12中，非齐次方程组的解是通过对方程组的增广矩阵实施初等行变换得到的. 那么，这种求解方法是不是对任意的线性方程组都适用？答案是肯定的。
下面我们先给出理论证明.定理4.1 若将非齐次线性方程组AX b =的增广矩阵()A A b =用初等行变换化为()V U ，则方程组AX b =与V UX =同解。
证 由第二讲的性质3.2及定理3.1知，当对增广矩阵()A A b =用初等行变换化为()V U时，一定存在初等矩阵k P P P ,,,21 ，使得()()11k k P P P A b UV -= 成立 记P P P P k k =-11 ，由初等矩阵的可逆性知P 可逆。
若设1X 为AX b =的解，即1AX b =，两边同时左乘矩阵P ，有111()PAX Pb PA X Pb UX V =⇒=⇒=于是1X 是方程组V UX =的解。
反之，若2X 为V UX =的解，即11112222()UX V P UX P V P U X P V AX b ----=⇒=⇒=⇒=2X 亦为AX b =的解。
综上所述，AX b =与V UX =所表示的是同解方程组.定理4.1给出了利用矩阵初等行变换求解方程组的思路，具体方法如下：将方程组的增广矩阵()A A b =实施初等行变换化为行的最简形，此时该最简形作为增广矩阵对应的方程组与原方程组同解，这样通过解简化的阶梯形矩阵所对应的方程组就求出原方程组的解，这种方法就是高斯消元法。
4.1.1非齐次线性方程组的相容性先写出方程组（4.1）的增广矩阵A ，然后利用初等行变换将A 化为行最简形。
()A A b ==11121121222212n n m m mnm m na a ab a a a b a a a b ⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ A 的行最简形有下面三种情形（为方便讨论，假设A 的行最简形中构成的单位阵正好在左上角）。
（1）11121121222212n n m m mnm m na a ab a a a b a a a b ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭−−−→行变换12(1)10000100000100000000n m n c c c ⨯+⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭...... (4.3) 注意到A 的行最简形矩阵不为零的行数正好等于变量个数n ，其对应的方程组如下1122n nx c x c x c =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩此时原方程组的唯一解已经得到： 12n c c X c ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭； （2）11121121222212n n m m mnm m na a ab a a a b a a a b ⨯⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭−−−→行变换1(1)2(2)1()12(1)(2)2()2(1)(2)()(1)10000100100000000000000r r r n r r r n r r r r r r n r m n d d d c d d d c d d d c +++++++++⨯+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭... ... (4.4) 注意到A 的行最简形中不为零的行数为r （<r n ）小于变量个数n .对应的方程组如下11(1)11(2)21122(1)12(2)2222(1)1(2)2r r r r n n r r r n n r r r r r r r rn n rx b x b x b x c x b x b x b x c x b x b x b x c +++++++++++++++++=⎧⎪+++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩此时还不能完全求出原方程的解，但可以看出原方程有无数个解，这是因为方程组可以改写如下11(1)11(2)21122(1)12(2)2222(1)1(2)2r r r r n n r r r n n r r r r r r r rn n r x b x b x b x c x b x b x b x c x b x b x b x c ++++++++++++=----+⎧⎪=----+⎪⎨⎪⎪=---++⎩如果把后面n r -个变量12,,r r n x x x ++赋予数值后，前面r 个变量12,,r x x x 的值就被唯一确定，从而得到方程组解X =｛12,,r x x x ，12,,r r n x x x ++｝T .（3）11121121222212n n m m mnm m na a ab a a a b a a a b ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭−−−→行变换12+1(1)1000010000010000000k k m n c c c c ⨯+⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.....（4.5） 注意到A 的行最简形中不为零的行数是+1k ，但第+1k 行中只有10k c +≠，其余元素全为零。
这就是说A 的行最简形对应的方程组中最后一个方程是“10k c +=”（10k c +≠），这显然是一个矛盾方程，因而原方程组无解。
根据上面讨论的方程组（4.1）解的3种情况，先给出非齐次方程组的相关定义定理后再详细讨论（4.1）的解。
定义4.1 如果一个n 元线性方程组它存在解，则称方程组是相容的，否则就称方程组是不相容组或矛盾方程组。
比如（4.3）式和（4.4）式所表示的方程组都是相容方程组，而（4.5）所表示的方程组是不相容方程组。
定义4.2 n 元线性方程组经过化简后，方程组中被保留的方程称为有效方程，消去的方程称为多余方程.比如（4.3）式的有效方程个数正好有n 个（相容的有效方程组）；（4.4）式的有效方程个数有r 个，多余方程个数有n r -个（相容的有效方程组）.（4.5）式有效方程有1r +个，多余方程1n r --个（不相容的有效方程组）.定理4.2（1）方程组（4.1）有唯一解的充要条件是，有效方程的个数等于变量个数； （2）方程组（4.1）有无穷多解的充要条件是，有效方程的个数小于变量个数； （3）方程组（4.1）无解的充要条件是，存在着矛盾的有效方程。
证明（略）定理4.2更加明确了利用高斯消元法如何判断非齐次方程组的解的情况.例4.1 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=-+-=-+-422312320432143214321x x x x x x x x x x x x解：将方程组的增广矩阵用初等行变换化为行最简形()A A b ==213123111101111021321011013212401454r r r r ------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭33213231215111101111001101011010055500111110011001101010010100011100111r r r r r r r r r ----+----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎪⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭这时行最简形所对应的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+101434241x x x x x x注意到方程组的有效方程个数为3小于方程变量个数4，所以原方程有无穷多解，求解方法如下：先将x 4移到等号右端得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=-=434241101xx x x x x ，称123,,x x x 是方程组的保留变量，称4x 是方程组的自由变量（可任意取值）。
再令x 4取任意常数k R ∈，则得 1234101x k x k x k x k=-⎧⎪=-⎪⎨=-+⎪⎪=⎩ ， ... ... （4.6）或写成 123411011101x x k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ... .. .(4.7)称k 为方程组的自由未知数或自由元，(4.6) 式称为方程组的通解或一般解；（4.7）称为方程组的向量解.例4.2求线性方程组的解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=+-=++=+-53221232312321321321321x x x x x x x x x x x x解 将方程组的增广矩阵用初等行变换化为行最简形()A A b ==2131413211211121312304401211011222350077r r r r r r -----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭23124321424343414(1)1()721121101101100110011200220011001110001000010101010000001100110000r r r r r r r r r r r r r r r -+---+-↔-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪−−−→−−−→⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从增广矩阵行的最简形可看出，方程组有效方程数是3，方程组的第3个方程是多余方程，但由于方程组变量的个数是也是3，所以原方程组有唯一解：⎪⎩⎪⎨⎧===110321x x x本例说明当有解方程组中方程的个数多于变量个数时，方程组一定有多余方程.例4.3 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=-+-=++-33221531232432143214321x x x x x x x x x x x x解 将方程组的增广矩阵用初等行变换化为行阶梯形213132123211232131511054742123305471r r r r A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=---−−−→--- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭32123210547400005r r --⎛⎫ ⎪−−−→--- ⎪⎪⎝⎭， 行阶梯形所对应的方程组是 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=--=++-504745123244324321x x x x x x x x ， 虽说方程组有效方程有3个，但最后一个方程是矛盾方程，故原方程组无解.例4.4 设方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=++=++k x x kx x x x x kx 5221823532321321问：k 取何值时方程组有唯一解?无穷多解?无解?在有无穷多解时求出通解。