第一章 第四讲 n元线性方程组求解

第四讲 n 元线性方程组求解

上一讲我们介绍了当n 元一次线性方程组的系数矩阵A 可逆时，可求出方程组解

1X A b -=，实际上这也是方程组的唯一解。如果方程组系数矩阵A 不可逆或A 不是方阵时，

该如何来讨论方程组的解？这一讲将通过矩阵的初等变换来研究n 元一次线性方程组（齐次、非齐次）在什么条件下有解、如何求解以及各种解的表达形式等.

n 元一次线性方程组是指形如

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

22221211

1212111 ... ...（4.1）

令

111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪

⎪

⎝⎭，12n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12m b b b b ⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

则方程组的矩阵方程形式AX b =.其中：A 称为方程组（4.1）的系数矩阵，()A A b =称为方程组（4.1）的增广矩阵。

当b O ≠时，称（4.1）式为一元线性非齐次线性方程组;

当b O =时，称 (4.2 ) 式为一元线性齐次线性方程组，其矩阵形式AX O =.

1111221211222211220

00

n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪++

+=⎩ ... ...(4.2)

显然X O =是（4.2）式的当然解。所以说，齐次线性方程组的解只有两种情况：唯一解(零解)和无穷多解(非零解)。

把非齐次线性方程组（4.1）式的每个方程右边的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。（即：（4.2）是（4.1）的导出组）

在第二讲的例2.12中，非齐次方程组的解是通过对方程组的增广矩阵实施初等行变换得到的. 那么，这种求解方法是不是对任意的线性方程组都适用？答案是肯定的。下面我们就给出理论证明.

定理4.1 若将非齐次线性方程组AX b =的增广矩阵()A A b =用初等行变换化为

()V U ，则方程组AX b =与V UX =是同解方程组。

证 由第二讲的性质3.2及定理3.1知，当对增广矩阵()A A b =用初等行变换化为

()V U

时，一定存在初等矩阵k P P P ,,,21 ，使得

()()1

1k k P P P A b U

V -= 成立 记P P P P k k =-11 ，由初等矩阵的可逆性知P 可逆。若设1X 为AX b =的解，即

1AX b =，两边同时左乘矩阵P ，有

111()PAX Pb PA X Pb UX V =⇒=⇒=

于是1X 是方程组V UX =的解。反之，若2X 为V UX =的解，即

11112222()UX V P UX P V P U X P V AX b ----=⇒=⇒=⇒=

2X 亦为AX b =的解。综上所述，AX b =与V UX =所表示的是同解方程组.

定理4.1给出了利用矩阵初等行变换求解方程组的思路，具体方法如下：

将方程组的增广矩阵()A A b =实施初等行变换化为行的最简形，此时该最简形作为增广矩阵对应的方程组与原方程组同解，这样通过解简化的阶梯形矩阵所对应的方程组就求出原方程组的解，这种方法称为高斯消元法。

4.1.1非齐次线性方程组的相容性

先写出方程组（4.1）的增广矩阵A ，然后利用初等行变换将A 化为行最简形。

()A A b ==1112

1121222212

n n m m mn

m m n

a a a

b a a a b a a a b ⨯⎛⎫

⎪ ⎪

⎪

⎪⎝⎭ A 的行最简形有下面三种情形（为方便讨论，假设A 的行最简形中构成的单位阵正好

在左上角）。

（1）11121121222212

n n m m mn

m m n

a a a

b a a a b a a a b ⨯⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭−−−→行变换

12(1)

100001000

001000000

00n m n c c c ⨯+⎛⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪

⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭...... (4.3) 注意到A 的行最简形矩阵不为零的行数正好等于变量个数n ，其对应的方程组如下

1

122n n

x c x c x c =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩

此时原方程组的唯一解已经得到： 12

n c c X c ⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；

（2）1112112122

2212n n m m mn

m m n

a a a

b a a a b a a a b ⨯⎛⎫

⎪

⎪ ⎪

⎪⎝⎭−−−→行变换

1(1)2(2)1()12(1)(2)2()2(1)

(2)

()(1)

100001001000000

000

000

0r r r n r r r n r r r r r r n r m n d d d c d d d c d d d c +++++++++⨯+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭... ... (4.4) 注意到A 的行最简形中不为零的行数为r （

11(1)11(2)21122(1)12(2)2222(1)1(2)2r r r r n n r r r n n r r r r r r r rn n r

x b x b x b x c x b x b x b x c x b x b x b x c +++++++++++++

++++=⎧⎪

+

++++=⎪⎨

⎪⎪+++

+=⎩

此时还不能完全求出原方程的解，但可以看出原方程有无数个解，这是因为如果把后