1-1n元线性方程组

1 2
3
4
用“回代”的方法求出解：
x1 x2 2 x3 7, x2 x3 3, x4 3, 0 0,
1 2
2

3
1
3
3
4
1

2
4, x1 x3 x2 x3 3, x4 3, 0 0,
解： 原式
(1) (2)
(1)
( 2) ( 3)
x1 2 x2 3 x3 0 2 x1 3 x2 x3 4 3 x 5 x 4 x 2 2 3 1
(1)
( 2) ( 3)
退出
(2) 2(1) (3) 3(1)
x1 2 x2 3 x3 0 x2 5 x3 4 x 5x 2 2 3
（2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i ）
（3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ） 称以上三种变换为线性方程组的初等变换.
(1)
( 2) ( 3)
(3) (2)
x1 2 x2 3 x3 0 x2 5 x3 4 0 2
(1)
( 2) ( 3)
上述方程组中最后一个方程是一个矛盾方程，从 而可以看出此线性方程组无解.
上述解方程组的方法称为高斯消元法．一共用到
下述三种变换. 定义3. 对线性方程组所作的下述三种变换： （1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）给某个方程乘上一个非零常数； （3）用一个常数乘某个方程后加到另一个方程上.
几个概念：
1）零解与非零解
k1 ,, kn
2）解集
方程组的所有解构成的集合
两个解集相同的方程组
3）同解方程组
显然结论： 任意齐次线性方程组必有零解. 线性方程组理论研究的两大基本问题： 1）线性方程组是否有解？ 2）在有解时，如何求其解？
二.高斯消元法与方程组的初等变换 例1. 求解线性方程组
1 2
2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,
解：
(1)
1 2 3 2
3
4
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)
1 2
3
4
1 2 2 3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4, x2 x3 x4 0, 2 x4 6, x4 3,
1 2
3
4
3
4
4 2 3
x1 x2 2 x3 x4 4, x2 x3 x4 0, x4 3, 0 0,
1 2
3
4
x1 x3 4 于是解得 x2 x3 3 x 3 4
其中x3为任意取值.
令x3 c, 解即为 x1 c 4
x c 3 2 其中c为任意常数 . x3 c x 4 3
例 2. 求解线性方程组
2 x1 3 x2 x3 4 x1 2 x2 3 x3 0 3 x 5 x 4 x 2 2 3 1
bi为 aij 为系数， 称为 n 元线性方程组.其中 xi 为未知量， 常数项.常数项全为零的方程组称为齐次线性方程组， 否则称为非齐次线性方程组.
定义2：对于给定的 n 元线性方程组，若存在一个数 组 k1, k2 ,, kn , 代入方程组后，能使每个方程都成为恒 等式，则称该方程组有解，并称这个数组为该方程组 的一个解.若这样的数组不存在，则称该方程组无解.
统称为方程组的初等变换.
高斯消元法的本质：
通过对方程组进行适当的初等变换，将原方程 组转化为相对简单的阶梯形的同解方程组，从而
比较容易地判断原方程组是否有解.
定理：线性方程组经初等变换后所得的方程组与 原方程组同解.
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小结： 1. 上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
n
第一节
一.
线性方程组
n元线性方程组
二.
高斯消元法与线性方程组的初等变换
一. n元线性方程组 定义1：形如
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,
1 2
3
4
2 3 4
3 21 31
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x2 2 x3 2 x4 0, 5 x2 5 x3 3 x4 6, 3 x2 3 x3 4 x4 3,