线性方程组的消元解法
W084线性代数-3.1 线性方程组的消元解法
解线性方程组
2x1 x1
2x2 2x2
x3 4x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
解
2x1 x1
2x2 2x2
4
x3 x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
2
x1
2x2 3x2
(9
/
x3 2)x3
6 0
2x2 (7 / 2)x3 13
2
x1
2x2 3x2
0 0 1 2
可以看出用消元法解线性方程组的过程 实质上就是对
该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程 解线性方程组
时 为了书写简便 只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可
2x1
2x2 3x2
8 9
x3 2
2
x1
2
x2 x2
8 3
x3 2
2x1
x2
2 3
x3 2
xxx121 x3
233
0001
5 1 0 0
1 1 0 0
1 2
0 0
0021
0001
1 1 0 0
2 1 6 0
3 4
3 0
2911
都是阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
如果阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1 且
线性方程组的消元法
线性方程组的消元法线性方程组的消元法是解决线性方程组的常用方法之一，通过逐步消去未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
本文将详细介绍线性方程组的消元法及其应用。
1. 消元法简介消元法是一种通过逐步消除未知数的系数，将线性方程组转化为更简单形式的方法。
它的基本思想是通过不断的代入与消去操作，将方程组转化为三角形式或最简形式，从而求得方程组的解。
2. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为未知数的系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
3. 消元法的步骤（1）选取主元：根据方程组的特点，选择一项作为主元，并将其系数置为1，并且使其所在的其他行对应的列的系数皆为0，这样可以简化计算过程并减少误差。
（2）代入消元：选择一个非主元进行代入，将其代入主元所在的其他方程中，从而消去该未知数。
（3）重复步骤（1）和（2），直至将所有的非主元都消去为止。
（4）最后得到一个三角形形式的线性方程组，可以通过回代法求解该方程组的解。
4. 消元法的应用消元法广泛应用于各个领域，特别是在科学和工程领域中具有重要作用。
以下是几个应用实例：（1）经济学中的输入产出模型：通过消元法可以分析不同产业之间的投入产出关系，从而得出经济模型的解释。
（2）物理学中的电路分析：通过消元法可以简化复杂的电路方程组，从而计算出电路中各个节点的电压和电流。
（3）化学反应平衡问题：通过消元法可以解决化学反应平衡过程中的复杂线性方程组，从而得到反应物和生成物的浓度。
5. 总结消元法是一种解决线性方程组的有效方法，通过逐步消除未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
消元法求解线性方程组
消元法求解线性⽅程组
这⾥的消元法，主要是针对矩阵A可逆的情况下(如果A不可逆消元后不好回代)，即线性⽅程组只有唯⼀解的情况下，有多解的情况的解法在后⾯介绍。
其中的⼀种分解⽅法是LU分解。
这种⽅法的优势在于分解结果中L（上三⾓矩阵）和U（下三⾓矩阵）都是三⾓形矩阵，后续运算⽐较简便。
⽽且⼆者恰好相配，使⽤计算机进⾏运算时可以存储在⼀个数组中，节约存储空间。
利⽤A的LU分解解线性⽅程组的过程为将Ax=b等价变形成（LU）x=b，根据结合律有L(Ux)=b，再解Ly=b中的y，最后解Ux=y得到线性⽅程组的解。
Processing math: 100%。
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法线性方程组的解法：消元法、代入法和高斯消元法线性方程组是数学中的基本概念之一，在现代数学和物理学的研究中有着广泛的应用。
为了求解线性方程组，人们发明了许多方法，其中最常用的有消元法、代入法和高斯消元法。
本文将介绍这三种方法的基本原理和求解步骤，并通过实例对其进行说明。
一、消元法消元法是一种通过逐步消除未知量，从而求解线性方程组的方法。
其基本原理是利用等式变换，逐步消去各个方程中的未知量，直到将方程组化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将含有未知量的项都移动到等式的同一侧，即将线性方程组转化为增广矩阵形式。
2. 选取一个主元素，将该列的其他元素全部变为0，从而消去该列的未知量。
3. 依次选取下一个主元素，直到整个增广矩阵被消元成上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
二、代入法代入法是一种通过将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解未知量的方法。
其基本原理是将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量，不断代入，从而求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量。
2. 将该解代入另一个方程，求解未知量的值。
3. 重复以上步骤，直到求出所有未知量的值。
三、高斯消元法高斯消元法是一种通过矩阵变换，将线性方程组化为上三角形式，从而求解未知量的方法。
其基本原理是利用初等矩阵变换，逐步将增广矩阵化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将矩阵的列向量按递增顺序排列，从左到右依次选取主元素。
2. 利用初等矩阵变换，将每一列的主元素下方元素全部变为0。
3. 重复以上步骤，直到整个增广矩阵被化为上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
举例说明：考虑以下线性方程组：x + 2y – z = 92x – y + 3z = –33x + y + 4z = 12采用消元法求解：将该方程组转化为增广矩阵形式：1 2 –1 | 92 –13 | –33 14 | 12选取主元素1，将第2行乘以2减去第1行，将第3行乘以3减去第1行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 –5 7 | –15选取主元素–5，将第3行减去第2行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 0 2 | 6将该矩阵化为上三角形式，然后采用回代方法，求得：x = 2y = –3z = 3同样的，采用代入法或高斯消元法也能求解出相同的结果。
掌握简单的线性方程组的解法
掌握简单的线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，解法也是非常重要的内容。
通过掌握简单的线性方程组的解法，我们可以解决很多实际问题，提高我们的数学能力。
本文将介绍几种简单的线性方程组的解法。
一、消元法消元法是解决线性方程组的一种常见方法。
通过消除未知数，将方程组化为简化形式，我们可以求解出未知数的值。
下面是一个例子：2x + y = 5x - y = 1首先，我们可以通过第二个方程x - y = 1将y的系数消去，得到x = 1 + y。
将这个结果代入第一个方程，我们可以得到一个只有y的方程2(1 + y) + y = 5。
将方程化简，我们可以得到y = 1。
将y的值代入x = 1 + y中，可以得到x = 2。
因此，这个线性方程组的解是x = 2，y = 1。
二、代入法代入法也是解决线性方程组的一种常见方法。
通过将一个方程的一个未知数表示成其他未知数的形式，我们可以将方程组化简为只有一个未知数的方程。
下面是一个例子：3x + 2y = 8x - y = 3我们可以将第二个方程x - y = 3转化为x = 3 + y。
将这个结果代入第一个方程3x + 2y = 8，可以得到3(3 + y) + 2y = 8。
将方程化简，我们可以得到y = 1。
将y的值代入x = 3 + y中，可以得到x = 4。
因此，这个线性方程组的解是x = 4，y = 1。
三、矩阵法矩阵法是解决线性方程组的一种常用方法，尤其适用于有大量方程和未知数的情况。
通过将系数矩阵和常数向量进行运算，我们可以得到未知数的值。
下面是一个例子：2x + y + z = 10x - 3y + 2z = 13x + 2y - z = 3我们可以将这个线性方程组表示为增广矩阵的形式：[2 1 1 | 10][1 -3 2 | 1][3 2 -1 | 3]通过矩阵的初等行变换，我们可以将矩阵化简为行阶梯形式：[1 -3 2 | 1][0 7 -5 | 7][0 0 1 | -3]从中可以读出z = -3。
3.1 线性方程组的消元解法
定理3.1 线性方程组 线性方程组AX=b有解的充分必要条件是: 有解的充分必要条件是: 定理 有解的充分必要条件是 r(A b)=r(A). 且当r(A b)=n时有唯一解; 当r(A b)<n时有无 且当 时有唯一解; 时有无 时有唯一解 穷多解. 穷多解.
例2 解线性方程组 x1 + 5 x2 − x3 − x4 = −1 x − 2 x + x + 3x = 3 1 2 3 4 3 x1 + 8 x2 − x3 + x4 = 1 x1 − 9 x2 + 3 x3 + 7 x4 = 7 例3 解线性方程组
2 x1 + 2 x2 = 8 → − 3 x2 = −9 ⑤ x3 = 2 2 x1 + 2 x2 = 8 → x2 = 3 ⑥ x3 = 2
=2 2 x1 → x2 = 3 x3 = 2 x1 = 1 → x2 = 3 x = 2 3
⑤
⑥
⑦
线性方程组的消元解法课件
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
矩阵
a11 a12 a1n b1
(A b)=
a21
a22 a2n
b2
am1 am2 amn bm
称为线性方程组的增广矩阵。
PPT学习交流
3
下页
一、线性方程组的矩阵表示：
1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
1 5 -1 -1 -1
0 1 -1 -2 -2 0 -2 2 4 4
0 -4 4 8 8
1 5 -1 -1 -1
10499
0 1 -1 -2 -2 00000
0 1 -1 -2 -2 00000
，
00000
00000
形矩阵继续施以初等行变换，化成行最简形矩阵；
第四步，写出方程组的解。
PPT学习交流
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例2．解线性方程组
x1 + 5x2 - 5x3 - x4 =- 1 x1 + 6x2 - 2x3 - 3x4 =- 3 。 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 3x3 + 7x4 = 7
8
线性方程组解的判定定理：
定理3：n元线性方程组Ax=b
（1）无解
R(A)R(A,b);
（2）有唯一解 R (A )=R (A ,b)=n;
（3）有无穷多解 R (A )=R (A ,b)n.
PPT学习交流
9
线性代数—解线性方程组的消元法
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
3
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
a11 a12 a1n
系数矩阵
A
a21 am1
a22 am2
a2n amn
,
a11 a12 a1n b1
增广矩阵
A
(
A,
b)
a21 am1
a22 am2
a2n amn
b2 bm
,
15
利用矩阵的初等行变换将A 化为阶梯形,
c11 c12 c1r c1n d1
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 0 0 0 2
最后一个为矛盾方程组 0 2 , 故方程组无解.
14
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
线性方程组
a21
x1
a22
x2
a2n xn
b2
,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
例1 用高斯消元法解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2 3
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
解(1)12 来自 2x1 x2 2 x3 x4 4, 1
x2
4
x3
3
.
5 x1 7 x2 x3 28
第一节 线性方程组的消元解法
解
用消元法
2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 3 x1 + 2 x2 + 9 x3 = 19 x1 + x2 + 2 x3 = 4 x1 + x2 + 2 x3 = 4 ①,③ 3 x + 2 x + 9 x = 19 1 2 3 互换 2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 x1 + x2 + 2 x3 = 4 − x + 3x = 7 2 3 −17 x3 = −34
(-3)①+② 3)① (-2)①+③ 2)①
x1 + x2 + 2 x3 = 4 (-5)②+③ 5)② − x2 + 3 x3 = 7 −5 x 2 − 2 x 3 = 1
阶梯形方程组
x1 + x 2 + 2x 3 = 4
− x 2 + 3x 3 = 7 −17x 3 = −34
− 1 ③ 17
x1 + x 2 + 2x 3 = 4 − x 2 + 3x 3 = 7 x3 = 2 =0 =1
x3 = 2
阶梯形方程组
(-3)③+② 3)③ (-2)③+① 2)③
x1 + x 2 − x2
x1
=1 x2 = −1
x3 = 2
简化阶梯形矩阵每个1对应的未知量为非自由未知量其余的为自由未知量令自由未知量为任意常数将非自由未知量用自由未知量表示出来就得到方程的全部解
第三章
线性方程组
克莱姆法则
第9讲：线性方程组的消元解法
课题：线性方程组的消元解法教学目的：掌握线性方程组的定义，矩阵表示式，消元解法教学重点：高斯消元法教学时数：二学时教学设计：I •引入课题在行列式的学习中，我们学到了克莱姆法则，可以利用行列式来解线性方程组，如X i X2 - X3 =0«2石+3x2+ x3 = 73石一2x2 _2x3 = -31 1由克莱姆法则，有D=2 33 -2故X1 = 1, x 2 =1,X3 =2。
克莱姆法则可以作为一种解方程组的方法，但计算量比较大，而且只能解方程个数与未知数个数相同的线性方程组，比较有局限性，今天开始，我们来学习普通的方程组的解法，并由此引入向量组的相关问题。
第三章线性方程组与向量组的线性相关性II .新课设计3.1线性方程组的消元解法一.线性方程组a“X1 +a12X2 +■八+amx n =6a21X1 +a22 X2 +"八+a2n X n =b2形如< 的方程组，称为线性方程组，若令i a m1X1 *a m2X2 衣*a mn x n =b ma11 a12 a1 n f 、X1A = a 21 a 22・・・a 2 n ---系数矩阵，X = X2 I----未知数矩阵，b = b2--常数矩阵。
& m1 a m 2・・・amn」2n」-1 0 1 -11 =16 , D1 =7 3 1 =16 ,-2 -3 -2 -21 1 02 3 7 =323 -2 -30 -17 1 =16 , D3-3 -2D2(6)线性方程组的分类若b =0，则线性方程组为 AX =0，称为齐次线性方程组 若b = 0，则线性方程组为 AX =b ，称为非齐次线性方程组 。
对于AX b 若只改变b = 0，则称AX 0为原方程组的到处方程组。
二•线性方程组的消元解法---高斯消元法例1 •解线性方程组（每写一个方程组，同时写出对应的增广矩阵）X i +X 2—X 3 =0r1 1 -1 0a,彳2X t + 3x 2 + x 3 = 72 3 1 7 --A3X i 一2x 2 一2X 3 = -33 J-2-2_3J解：(1)汉一2+(2), (1)疋 d +3X i +X 2 -X 3 =0 q 1 一 1b, <X 2 十3x 3 =71 3 1 —B一 5X 2 +X 3 = -3-51~2J(4) 5 - (5)d + X 2 - X 3 = 0 「11-1 0 ' < x 2 +3x 3 = 70 13 7 J6x 3 =321632」116X 1 + x 2 -x 3 =01 _1 0、X 2 — 3X 3 =7 0 1 3 7,X 3 =2<0 012」ai2ainb i 、 增广矩阵：(Ab )=a21a22・ ・a2nb 2i a m1am 2・ ・amnb n J则方程组可用矩阵可表示为:AX = b ---方程组的矩阵表示以后，要求能根据方程组写出增广矩阵, （举例说明）反之，给出增光矩阵，能写出对应的方程组。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题之一，其解法有多种。
本文将介绍线性方程组的两种常见解法：高斯消元法和矩阵法。
一、高斯消元法高斯消元法是一种通过行变换将线性方程组转化为最简形式的方法。
接下来，我们将通过一个具体的例子来说明高斯消元法的步骤。
假设有以下线性方程组：a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d31. 将方程组转化为增广矩阵形式将系数矩阵和常数矩阵合并成一个增广矩阵：[a1 b1 c1 | d1][a2 b2 c2 | d2][a3 b3 c3 | d3]2. 主元选取和消元选取第一列第一行的元素作为主元，通过行变换将其他行的第一列元素消为零。
具体步骤如下：a2' = a2 - a2 / a1 * a1'b2' = b2 - a2 / a1 * b1'c2' = c2 - a2 / a1 * c1'd2' = d2 - a2 / a1 * d1'a3' = a3 - a3 / a1 * a1'b3' = b3 - a3 / a1 * b1'c3' = c3 - a3 / a1 * c1'd3' = d3 - a3 / a1 * d1'其中，a1'是主元。
3. 重复第二步，将第二列的其他行元素消为零。
以此类推，将每一列的其他行元素都消为零，直到整个矩阵变为最简形式：[a1' b1' c1' | d1'][0 a2' b2' | c2'][0 0 a3' | b3']4. 回代求解从最后一行开始，按照以下步骤求解每个未知数：z = d3' / a3'y = (d2' - b2' * z) / a2'x = (d1' - b1' * y - c1' * z) / a1'这样，我们便得到了线性方程组的解。
解线性方程组的消元法
注： 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
变换 ri rj 的逆变换是其本身， 则 E ( i , j ) 1 E ( i , j ) ；
1 变换 ri k 的逆变换为 ri ， k 1 1 则 E ( i ( k )) E ( i ( )); k
变换 ri krj 的逆变换为ri ( k )rj， 则 E ( ij ( k ))1 E ( ij ( k )) .
2 3 1 1
1 2 0 7 r r ( 4) x 2 x 7 0 6 5 24 ( 1 ) r r ( 2) 1 2 (1)( 4 ) ( 2 ) (1)( 2 ) ( 3) ( 2 ) 6 x 5 x 24 2 3 0 5 3 13 5 x2 3 x3 13 (3)
ai(1) 1 i (1) (2) a22
(i 3,
n)
照此消元，直至第 n 1步得到三角形方程组
(0) (0) (0) 0) a11 x1 a12 x 2 a13 x3 a1(n x n b1( 0) (1) (1) (1) (1) a x a x a x b 22 2 23 3 2n n 2 ( 2) ( 2) ( 2) a33 x3 a 3 x b n n 3 ( n 1) ( n 1) a x b nn n n
(0) 11
a12 a 22
a1n a2n
a n 2 a nn
a a a
(0) 13 (1) 23 ( 2) 33
b1 b2 a r r bn a
n n1 11
a21 r1 a11 a r3 31 r1 a11 r2
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是高中数学中非常基础的一部分，但是线性方程组的求解方法却有很多种。
在这篇文章中，我们将系统地介绍几种线性方程组的常用求解方法。
一、高斯消元法高斯消元法是最基本的线性方程组求解方法之一，其基本思想是通过不断消元，将一组线性方程转化成简单的形式，从而求解出未知数的值。
这种方法的主要步骤是：1. 构造增广矩阵；2. 选出第一个主元素，采用行变换使其成为1；3. 将第一个主元素以下的所有元素消为0；4. 选出下一个主元素，执行第二步和第三步，直到所有主元素都被选完或没有解。
这种方法的时间复杂度为O(n^3)，但是它是一种通用的求解方法，能够解决任意规模的线性方程组。
二、列主元高斯消元法列主元高斯消元法在高斯消元法的基础上进行了改进，它能够更准确地选出主元素，从而加速求解过程。
其主要步骤是：1. 构造增广矩阵；2. 在每一列中选出绝对值最大的元素作为主元素；3. 采用行变换使得主元素所在行的其他元素都消为0；4. 重复2和3步，直到所有未知数的值都解出或者出现无解的情况。
列主元高斯消元法比普通的高斯消元法要更快一些，其时间复杂度为O(n^3)。
三、LU分解法LU分解法将线性方程组的系数矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，从而将原问题转化成两个较为简单的子问题。
其主要步骤是：1. 将系数矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U；2. 将线性方程组Ax=b转化为LUx=b；3. 解Ly=b和Ux=y。
LU分解法虽然时间复杂度为O(n^3)，但是它可以节省计算量，特别是当需要解多个方程组时，分解过程只需要进行一次，即可解出多个方程组。
四、Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种通过迭代逐步求解的方法，其主要思想是将待求解的线性方程组分解成一个对角线矩阵和一个非对角线矩阵的和，从而通过迭代求解整个线性方程组。
算法步骤如下：1. 将线性方程组Ax=b化为对角线矩阵D和非对角线矩阵R的和，即A=D-R；2. 取一个初始向量X0；3. 迭代，直到误差小于精度要求或者迭代次数超过预设值为止。
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组线性方程组的解法——学会利用消元法解决线性方程组线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的方法有很多种，而消元法是其中最常用的一种解法。
本文将详细介绍线性方程组的消元法解法及其应用。
一、线性方程组的基本概念在介绍消元法之前，我们首先需要了解线性方程组的基本概念。
线性方程组由多个线性方程组成，每个线性方程可以写成如下形式：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为系数，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，b₁,b₂, ..., bₙ为常数项，m为方程组的数量，n为未知数的数量。
二、消元法的原理消元法的基本思想是通过变换线性方程组的等价形式，将未知数的系数化为0，使得方程组具备易解性。
具体来说，消元法通过一系列的行变换和列变换，将线性方程组化为最简形式，也即阶梯形式。
三、消元法的步骤1. 第一步：将线性方程组写成增广矩阵的形式将线性方程组转化为矩阵形式，如下所示：⎡ a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙ | b₁⎤⎢ a₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ | b₂⎥⎢ ... ... ... ... | ... ⎥⎢ aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ | bₙ ⎥⎣以矩阵的形式更方便进行行变换和列变换。
2. 第二步：选主元在进行消元操作前，需要选取主元。
主元是指每一行首个不为0的元素，它将作为该行进行消元的依据。
3. 第三步：消元操作通过行变换和列变换，将主元下方的元素化为0。
行变换包括以下几种操作：- 交换两行位置- 将某行乘以一个非零常数- 将某行的倍数加到另一行上4. 第四步：重复进行消元操作重复进行消元操作，直到将所有非主元下方的元素全部化为0。
5. 第五步：回代求解未知数消元完成后，可得到一个阶梯形矩阵。
4-线性方程组的解法
17
定理 1 矩阵 A 可以三角分解的条件如下：
1. 若矩阵 A 的所有顺序主子式不等于零; 2. 若矩阵 A 对称正定; 3. 若矩阵 A 严格对角占优，即：
akk akj , k 1, 2, n 。
j k
18
2 2 1 A 4 5 4 例 3 已知矩阵 ，检验 A 是否满足三角分解的条件， 2 4 3
n n n n a11 a1 a b k 1n 1 n n n akk akn bk n n ann bn
7
消元公式：
(0) aij aij , bi(0) bi , ( i , j 1, 2, ..., n) For k 1, 2, ..., n 1 (k ) ( k 1) ( k 1) aij aij lik akj b( k ) b( k 1) l b( k 1) i i ik k ( k 1) ( k 1) akk ; i , j k 1, ..., n lik aik
利用增广矩阵的初等行变换法表示为：
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 3 2 1 3 2 A b 4 1 2 1 3 6 7 3 1
k 1
1
ai1 lik uk1 li1u11 ，
k 1
1
即： li1 ai1 u11 i 2, 3,, n .
这是 U 的第一行和 L 的第一列。
22
设： U 的前 m 1 行和 L 前 m 1 列均已算出，那么：
amj lmk ukj lmk ukj lmmumj ,
1线性方程组的消元解法
dr1 0 时，方程组有解
r( A ) r( Ab )
r n 时，方程组有唯一解 r( A ) r( Ab ) n r n 时，方程组有无穷多解 r( A ) r( Ab ) n
即： 线性方程组化为阶梯形后，有 r( A ) r( Ab ) 无解
r( A ) r( Ab ) n 唯一解
x1
13 7
3 7
c1
13 7
c2
x2
4 7
2 7
c1
4 7
c2
x3 c1
x4
c2
四、齐次线性方程组的求解 1、定理3.2 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
是： r( A ) n
例5 解齐次线性方程组
x1 x2 5 x3 x4 0
x1 x2 2 x3 3x4 0
则方程组可写为： AX b
Ab
a11 a12 a1n b1
a21 a22 a2n b2
am1
am2
amn
bm
2、求解步骤：
① 写出增广矩阵
② 化为阶梯形
③ 判断是否有解，如有解
④ 进行回代
称为增广矩阵
化为阶梯形
a'
11
x1
a' 12 x2 a' 22 x2
1 0 1 7
0
1
4 1
8 9
2 4
方程组有无穷多个解
引例3 线性方程组
x31x1
2
x2 x2
3x3 5x3
x4 3x4
1
2
2x1 x2 2x3 2x4 3
解：消元得
x1
2x2 5x2
3x3 x4 4x3 1
完整版)线性方程组的常见解法
完整版)线性方程组的常见解法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的常见且有效的方法。
它的基本思想是通过一系列的行变换，将线性方程组化为简单的等价形式，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：1.将方程组写成增广矩阵的形式。
2.选择一个主元，通常选择首行首列的元素作为主元。
3.对其它行进行变换，使得主元下面的元素都变为0.4.重复步骤2和步骤3，直到将增广矩阵变成上三角形矩阵。
5.从最后一行开始，逐步计算出未知数的值。
高斯消元法的优点是简单、直观，适用于任意的线性方程组。
然而，当线性方程组中出现矩阵的秩小于未知数量的情况时，可能存在无解或无穷多解的情况。
二、克拉默法则克拉默法则是另一种常见的解线性方程组的方法。
它通过分别计算每个未知数在方程组中的系数的行列式值，从而求解出未知数的值。
具体步骤如下：1.将方程组写成矩阵的形式。
2.计算系数矩阵的行列式值。
3.将未知数的系数替换为方程组中的常数，然后计算新的矩阵的行列式值。
4.重复步骤3，每次只替换一个未知数的系数。
5.将每次计算得到的行列式值除以系数矩阵的行列式值，得到各个未知数的值。
克拉默法则的优点是在某些特定情况下比高斯消元法更便捷，且不需要判断线性方程组是否有解或有无穷多解。
但是，克拉默法则的计算复杂度比较高，不适用于大规模的线性方程组。
三、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种常见且有效的解线性方程组的方法。
它通过求解矩阵的逆矩阵，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：1.将方程组写为矩阵的形式。
2.判断系数矩阵是否可逆，若可逆则继续，否则方程组无解或有无穷多解。
3.求解系数矩阵的逆矩阵。
4.将常数向量乘以逆矩阵，得到未知数向量。
矩阵求逆法的优点是计算精确，适用于任意规模的线性方程组。
然而，计算矩阵的逆矩阵需要一定的计算量，不适合处理大规模的方程组。
总结：以上是线性方程组的常见解法。
在选择解法时，可以根据方程组的特点、规模、求解的精确度要求等因素进行权衡。
我们需要明确方程组是否有解或有无穷多解，并选择适用于特定情况的求解方法。
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x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
x3 2
1 1 1 2 1 2 r3 0 3 2 2 0 0 1 2
(1)-2×(3)，(2)+2×(3)
得
x1 x2 3
3x2
6
x3 2
r1 2r3 1 1 0 3
0 3 0
6
r2 2r3 0 0 1 2
(5)-(4) 得
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个
未知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组
。 精品课件
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
(3)-(2) 得
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
2 x3 4
（阶梯形方程组）
(-1/2)×(3) 得
r2 2r1 1 1 2 1
0 3 2
2
r3 4r1 0 3 4 2
1 1 2 1
r3 r 2 0 3 2
2
0 0 2 4
（行阶梯形矩阵）
精品课件
x1 x2 2 x3 1
， (-2)×(7)+(2)，(2)-(9) 得
x1 1
故原方程组的解为
x 1 1 , x 2 2 , x 3 2
精品课件
从上述求解过程可以看出 加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的
算术运算，每次消去一个未知量，得到一个比原方 程组少一个未知量的方程组，一次一次进行下去， 直至得到便于求解的一个形式简单的方程。
精品课件
对于一般的线性方程组
a11x1 a12x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22x2 L LLLL
a2n xn LLLL
b2 L
am1x1 am2x2 L amn xn bm
a11 a12 L a1n
A
a21
a22
L
a2n
M M M M
a
m1
am2
L
amn
a21 am1
a22 am2
的线性运算（重要的工具）。
a1n
a2n
amn
精品课件
§1 线性方程组的消元解 法 对二元一次方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
我们在中学已经学过它的解法，但是实际问题中会 遇到未知量个数和方程个数都很多的一次方程组， 且未知量个数和方程个数未必相同。
例1 求解线性方程组
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
(1) (2)
4x1 x2 4x3 2 (3)
解：方程组的增广矩阵
2 1 2 4
A
1
1
2
1
4 1 4 2
精品课件
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
(1) (2)
2
A
1
1 1
2 2
4
1
4x1 x2 4x3 2 (3)
(-1/3)×(2) 得
精品课件
x1 x2 3
3x2
6
x3 2
(-1/3)×(2)
得
x1 x2
x2
3 2 x3 2
(1)-(2) 得
r1 2r3 1 1 0 3
0 3 0
6
r2 2r3 0 0 1 2
1 3
r2
1 0
1 1
0 0
3 2
将方程组的形式变的简单易求，且新方程组与 原方程组是同解方程组。 用消元法求解线性方程组的实质
对方程组施行一系列同解的初等变换，将它逐 步化简以求其解。
精品课件
经初等变换求解线性方程组的这一思路，反映 了一般线性方程组的求解规律。
思考：方程组的解和未知量符号有没有关系
？那和什么有关呢？
没有
和未知量的系数以及右端的常数项有关！
其中有 n 个未知量x1,x2,L ,xn
，a mij 个R方程，
(i 1 ,L,m ;j 1 ,L,n )是未知量的系数，b1,L ,bmR
是常数项。
若右端常数项 b1,b2,L ,bm均为零，则称方程组为 齐次线性方程组；否则称为非齐次线性方程组。
精品课件
将要研究的问题 1、线性方程组是否有解？ 2、若有解，解是否唯一？ 3、有解时，如何求出全部的解？ 研究的思路和途径
A
1
1
2
(1)
4 1 4
此数表是按各数在方程组中的相对位置排成的。
2 1 2 4
加上常数项得数表
A
1
1
2
1
(2)
4 1 4 2
定义1
称上述矩形表为矩阵，横的
排称为行，竖的排称为列，其中的数称为矩阵的元
素。
矩阵(1)称为方程组的系数A 矩. 阵，记为A，矩阵
(2)称为方程组的增广矩阵，记为
x32 (7)
最后，将(7)代回(4)中，即消去(4)中的 x3，
由2×(7)+(4) 得
3x26 (8)
精品课件
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
4x1 x2 4x3 2
(1) (2) (3)
x32 (7) 3x26 (8)
由(-1/3)×(8) 得
x22 (9) 将(7)(9)代回(2)中，即消去(2)中的 x2, 由x3
问题：在用初等变换求解方程组时，本质上 是对什么在运算？什么在变化？
未知量的系数以及右端的常数项！
基于此，在解题时可将未知量舍去不写；此时
就出现了由未知量系数以及右端常数项组成的数表
：
精品课件
2 x1 x1
x2 x2
2 x3 2 x3
4 1
4 x1 x 2 4 x3 2
2 1 2
4 x1 x 2 4 x3 2
1 1 2 1
r1
r2
2
1
2
4
4 1 4 2
(2)-2×(1)，(3)-4×(1) 得
x13xx2222xx3312 3x2 4x3 2
(3)-(2) 得
r2 2r1 1 1 2 1
0 3 2
2
r3 4r1 0 3 4 2
精品课件
x13xx2222xx3312 3x2 4x3 2
1 4
(2) (1)
4x1 x2 4x3 2 (3)
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1，
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
精品课件
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
1 4
(2) (1)
4x1 x2 4x3 2 (3)
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
x3 2 (7)
第五步，消去(2)(4)中的 (x23，)-2×(7)，
(4)+2×(7)
x1 x2
3x2
3 (8) 6 (9)
x3 2 (7)
第六步，使(9)中的 x2 的系数变为(1-1/3)×(9)
，
得
精品课件
x1 x2 3 (8)
3x2
6 (9)
x3 2 (7)
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的 求解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤 。
精品课件
例1 求解线性方程组
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
(1) (2)
4x1 x2 4x3 2 (3)
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的
位置
12xx11
x2 x2
2x3 2x3
第三章 线性代数初步
§1 线性方程组的 消元解法
§2 矩阵及其运算
精品课件
线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才 形成，然而它的历史却非常久远。
最古老的线性代数问题是线性方程组的求解， 在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中， 已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上 相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等 变换，消去未知量的方法。
x1 x2 2x3 1 3x2 2x3 2
(2) (4)
3x2 4x3 2 (5)
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2，
(5)-(4) 得
精品课件
x1 x2 2x3 1 3x2 2x3 2
(2) (4)
3x2 4x3 2 (5)
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2，
第六步，使(9)中的 x2 的系数变为(1-1/3)×(9)
，
得
x1 x2
x2
3 (8) 2 (10)
x3 2 (7)
第七步，消去(8)中的x(28，)-(10) 得
精品课件
x1 x2 3 (8)
x2 2 (10)
x3 2 (7)
第七步，消去(8)中的x(28，)-(10) 得
x(1-，2)×(2)+(1)，(-4)×(2)+(3) 得
33xx2242xx3322
(4) (5)
该方程组比原方程组少一个未知量。
精品课件
33xx2242xx3322
(4) (5)
其次，用(4)消去(5)中的未知量 由x2(，5)-(4) 得
2x34 (6)
这比原方程组又少了一个未知量。
由(-1/2)×(6) 得
精品课件
本节的主要内容
1、线性方程组
a11x1 a12x2 L a1n xn b1
La2L1x1L