子空间迭代法(课件)

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chapter03线性代数方程组迭代解法PPT课件

不完全分解
当矩阵无法进行完全分解时，迭代法可以作为替代方案进行求解。
数值稳定性
对于某些数值不稳定的问题，迭代法可以提供更稳定的近似解。
迭代解法的优缺点分析
优点
适用于大规模问题，计算量相对较小；适用于不完全分解和数值不稳定问题；能够提供近似解，满足工程精度要求。
缺点
需要设定初始解向量或近似解向量；迭代过程可能不收敛或收敛速度慢；对于某些问题可能无法得到准确解。
SOR方法案例分析
01
SOR（Successive Over-Relaxation）方法是一种改进
的迭代方法，通过引入松弛因子来加速收敛。
02
SOR方法适用于系数矩阵为稀疏、对称正定的情况，
广泛应用于实际工程问题。
03
SOR方法的收敛速度与松弛因子的选择有关，选择合
适的松弛因子可以加快收敛速度。
Jacobi方法案例分析
松弛方法
松弛方法是另一种改进的迭代算法，用于求解线性代数方程
组。
该方法通过引入松弛因子来调整迭代过程中的系数矩阵，以
提高收敛速度和稳定性。
松弛方法适用于系数矩阵为非对角占优的情况，尤其在处理稀疏矩阵时具有优势。
总结词：松弛方法是一种适用于非对角占优矩阵的迭代算法，通过调整松弛因子提高收敛速度和稳定性。
收敛速度与系数矩阵
收敛速度与系数矩阵的特征值和范数有关，不同的迭代法适用于不同的系数矩阵情况。
加速迭代法
为了提高迭代法的收敛速度，可以采用一些加速技巧，如预处理技术、共轭梯度法等。
03 几种常见的迭代解法
Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel方法是一种迭代算法，用于求解线性代数

预处理子空间迭代法的一些基本概念

CG算法的预处理技术：、为什么要对A进行预处理：其收敛速度依赖于对称正定阵A的特征值分布特征值如何影响收敛性：特征值分布在较小的范围内，从而加速CG的收敛性特征值和特征向量的定义是什么？（见笔记本以及收藏的网页）求解特征值和特征向量的方法：Davidson方法：Davidson 方法是用矩阵( D - θI)- 1( A - θI) 产生子空间，这里D 是A 的对角元所组成的对角矩阵。

θ是由Rayleigh-Ritz 过程所得到的A的近似特征值。

什么是子空间法：Krylov子空间叠代法是用来求解形如Ax=b 的方程，A是一个n*n 的矩阵，当n充分大时，直接计算变得非常困难，而Krylov方法则巧妙地将其变为Kxi+1=Kxi+b-Axi 的迭代形式来求解。

这里的K(来源于作者俄国人Nikolai Krylov姓氏的首字母)是一个构造出来的接近于A的矩阵，而迭代形式的算法的妙处在于，它将复杂问题化简为阶段性的易于计算的子步骤。

如何取正定矩阵Mk为：Span是什么？:设x_(1,)...,x_m∈V ,称它们的线性组合∑_(i=1)^m?〖k_i x_i \|k_i∈K,i=1,2...m〗为向量x_(1,)...,x_m的生成子空间，也称为由x_(1,)...,x_m张成的子空间。

记为L（x_(1,)...,x_m），也可以记为Span（x_(1,)...,x_m）什么是Jacobi迭代法：什么是G_S迭代法：请见PPT《迭代法求解线性方程组》什么是SOR迭代法：什么是收敛速度：什么是可约矩阵与不可约矩阵？：不可约矩阵（irreducible matrix）和可约矩阵（reducible matrix）两个相对的概念。

定义1：对于n 阶方阵A 而言，如果存在一个排列阵P 使得P'AP 为一个分块上三角阵，我们就称矩阵A 是可约的；否则称矩阵A 是不可约的。

定义2：对于n 阶方阵A=(aij) 而言，如果指标集{1，2，...，n} 能够被划分成两个不相交的非空指标集J 和K，使得对任意的j∈J 和任意的k∈K 都有ajk=0, 则称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵A 是不可约的。

Krylov子空间迭代法

• 直接不完全正交化方法
采用IOM后，仍然需要存储v(1), v(2), …v(m),因为在第(vi)步中仍然需要这些向量. 解决这个问题可以考虑采用H的LU分解，通过自身分解的迭代更新以减少每一步的存储量使xm的更新依赖于xm-1,
14
Arnoldi方法-DIOM
lower bidiagonal
banded upper triangular
15
Arnoldi方法-DIOM
16
Arnoldi方法-DIOM
17
Thanks for your time !
18
得到基于Galerkin原理构成的算法
5
Arnoldi方法-基本算法
6
Arnoldi方法-基本算法
7
Arnoldi方法-MGS
8
Arnoldi方法-HO
9
Arnoldi方法-FOM
10
Arnoldi方法-FOM
11
Arnoldi方法-FOM（m）
12
Arnoldi方法-IOM
13
Arnoldi方法-DIOM
Krylov子空间方法
March 23, 2016
内
• Arnoldi算法
– Arnoldi过程 – Gram-Schmidt Arnoldi – HouseHolder Arnoldi
容
• 子空间和Krylov子空间
• FOM
– IOM – DIOM
2
子空间
• 空间
– 集合，元素都是向量 – 线性空间（向量空间）
• 线性空间（交换律，结合律，幺元性，零元性，可逆性，数乘分配律等）
• 子空间
– 线性空间的非空子集

子空间迭代法课件副本

和可扩展性。
参数自适应调整
研究自适应调整算法参数的方法，以适应不同问题和计算环
境的需求。
04
子空间迭代法的实现细节
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
预处理技巧
矩阵分解
通过将原矩阵分解为若干个简单的矩阵，降低迭代法的计算复杂度。
稀疏近似
利用矩阵的稀疏性，用近似矩阵代替原矩阵，提高计算效率。
详细描述
优化问题涉及到寻找函数的最优值，子空间迭代法通过迭代搜索子空间中的最优解，能够快速找到局部最优解，尤其适用于非线性优化问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
子空间迭代法通过构造矩阵的特征子空间，利用迭代优化技术寻找特征值和特征向量。这种方法能够有效地处理大型矩阵的特征值问题，并且可以应用于各种工程领域，如结构动力学、流体动力学等。
优化问题求解
总结词
子空间迭代法可以应用于求解约束优化和非线性优化问题，通过迭代寻找最优解。
详细描述
子空间迭代法可以将复杂的优化问题转化为子空间优化问题，利用梯度下降、共轭梯度等方法进行迭代优化。这种方法在处理大规模约束优化和非线性优化问题时具有较好的效果，能够有效地提高求解效率。
自适应子空间迭代法
总结词
自适应子空间迭代法是一种改进的子空间迭代法，它根据问题的特性和迭代过程中的信息，自适应地调整子空间的划分方式和迭代策略。
详细描述
自适应子空间迭代法能够根据问题的特性和迭代过程中的信息，动态地调整子空间的划分方式和迭代策略。这种方法能够更好地适应问题的变化，提高算法的收敛速度和精度。自适应子空间迭代法通常需要更多的计算资源和存储空间，但其灵活性和适应性使其成为解决复杂问题的重要工具。

(完整版)Krylov子空间迭代法

Krylov子空间方法
February 10, 2020
内容
• 子空间和Krylov子空间
• Arnoldi算法
– Arnoldi过程 – Gram-Schmidt Arnoldi – HouseHolder Arnoldi
• FOM
– IOM – DIOM
2
子空间
• 空间
– 集合，元素都是向量 – 线性空间（向量空间）
根据Cayley-Hamilton定理有
�� + ��−1��−1+. . . +��1��1 + ��0��0 = 0
即
VP= -�� 其中�� = [��0, ��1, . . . , ��−1ሿ，�� = ��0, ��1, . . . , ��−1 �� Krylov子空间： ��(��, ��) = ��{��, ��, . . . , ��−1��ሽ Krylov矩阵： ��(��, ��) = [��, ��, . . . , ��−1��ሿ
• 线性空间（交换律，结合律，幺元性，零元性，可逆性，数乘分配律等）
• 子空间
– 线性空间的非空子集
• 包含零元素，并且满足加法和乘法的封闭性
– 扩张（符合记作span）

09-多自由度系统的数值计算方法

A a1 1 a2 2 a s s
1 , 2 ,, s 是选取的s个线性独立的假设振型
1 2 s , a a1 a2 a s
T
n s 矩阵
A a
Theory of Vibration with Applications
ET max U max
U max T
2 n
Theory of Vibration with Applications
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多自由度系统
多自由度系统的数值计算方法—瑞利法
设A为振型矢量，对于简谐振动，其最大动能和最大势能为
M x K x 0
1 Tmax 2 A T MA 2 1 Vmax A T KA 2
A C1 AN C2 AN Cn AN Ci ANi AN C 1 2 n
i 1 n
Theory of Vibration with Applications
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多自由度系统
多自由度系统的数值计算方法—瑞利法
现取假设振型A是正则振型矢量的线性组合，即
i 1 n
n
C
i 1
2 i
2 2 C 2 2 C 2 2 Cn n 1 2 2 3 3 C C C 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 C2 C3 Cn 1 C C C 1 1 1
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多自由度系统
多自由度系统的数值计算方法—瑞利法
瑞利第一商值是否为系统某一主频率的平方，则决定于所取矢量A。如果A与某一主振型矢量接近，则所得瑞利商是相应的固有频率的近似值。实际上，对高阶振型很难做出合理的假设，而对于第一阶主振型则比较容易估计，所以此方法常用于求基频，现推证如下。按照振型叠加的原理，系统的任何可能位移，包括假设振型，都可以描述为各阶主振型的线性组合。现取假设振型A是正则振型矢量的线性组合，即

线性代数方程组迭代法PPT课件

超松弛法
收敛速度快
总结词
总结词
计算量较大
ABCD
详细描述
超松弛法具有较快的收敛速度，尤其对于大型线性方程组，能够显著减少迭代次数。
详细描述
由于超松弛法的计算量较大，因此在实际应用中可能需要考虑计算效率的问题。
CHAPTER 04
迭代法的实现步骤
初始化
设置初值
为方程组的解向量设定一个初始值。
迭代法的应用场景
当方程组的系数矩阵难以直接求解时，迭代法可以作为一种有效的替代方案。
在科学计算、工程技术和经济领域中，许多问题可以转化为线性代数方程组求解，而迭代法在这些领域有广泛的应用。
迭代法的优缺点
优点
迭代法通常比直接法更加灵活和通用，对于大规模和高维度的线性代数方程组，迭代法更加高效。
缺点
迭代法需要选择合适的迭代公式和参数，并且需要满足收敛条件，否则可能无法得到正确的解。此外，迭代法的计算过程比较复杂，需要较高的计算成本。
CHAPTER 02
迭代法的基本原理
迭代法的数学模型
迭代法是一种求解线性代数方程组的数值方法，通过不断迭代逼近方程的解。
迭代法的数学模型通常表示为：$x_{n+1} = T(x_n)$，其中$x_n$表示第 $n$次迭代时的近似解，$T(x)$表示迭代函数。
03
非线性方程组的迭代法在求解优化问题、控制问题等领域有广泛应用。
在优化问题中的应用
01
迭代法在优化问题中也有广泛应用，如求解无约束优化问题、约束优化问题和多目标优化问题等。
02
常见的优化问题迭代法包括梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法
等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解，广泛应用于机器学习、

子空间迭代法的两种Rayleigh商加速技术

南京航空航天大学硕士学位论文摘要本文研究求解大型对称矩阵特征值问题的子空间迭代法。

为了加速子空间迭代法的收敛性，我们应用Ｒａｙｌｅｉｇｈ商最小化技术得到两种新的改进算法。

第一种改进算法是用Ｒａｙｌｅｉｇｈ商加速子空间迭代法。

它用每次迭代得到的Ｒｉｔｚ矩阵和将Ｒｉｔｚ反迭代得到的矩阵，二者构造一个带参数矩阵的线性组合，适当选取参数矩阵，使组合后的矩阵的列向量的Ｒａｙｌｅｉｇｈ商达到最小，从而更接近最小特征向量。

第二个改进算法是用带位移的Ｒａｙｌｅｉｇｈ商加速子空间迭代法。

与第一个改进算法类似，都是构造了一个带参数矩阵的线性组合，不过它选用的矩阵不同，是用Ｒｉｔｚ矩阵和将Ｒｉｔｚ矩阵带位移反迭代后得到的矩阵构造的，同样通过选取适当的参数矩阵，使其Ｒａｙｌｅｉｇｈ商达到最小，从而加速子空ｆＤ】的收敛性。

本文分析了这两个改进算法中参数矩阵的选取及其性质，数值稳定性和算法的收敛性，并给出了数值实验，将新方法和原始子空间方法进行比较，数值实验表明新改进的两个算法比子空间方法更优越。

关键词：对称正定矩阵，特征值，特征向量，子空间迭代法，Ｒａｙｌｅｉｇｈ商反迭代，带位移的反迭代。

子空间迭代的两种Ｒａｙｌｅｉｇｈ商加速技术ＡＢＳＴＲＡＣＴＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｓｕｂｓｐａｃｅｉｔｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｌａｒｇｅｓｙｍｍｅｔｒｉｃｅｉｇｅｎｐｒｏｂｌｅｍｓ，Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏａｃｃｅｌｅｒａｔｅｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｒａｔｅ，ｗｅｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｍｅｔｈｏｄｗｉｔｈａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ａｎｄｐｒｅｓｅｎｔｔｗｏｎｅｗａｌｇｏｒｉｔｈｍｓＩｎｍｙｔｈｅｆｉｒｓｔｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＡｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｌａｔｅｓｔｍａｔｒｉｘｒｅｃｅｉｖｅｄｂｙｉｎｖｅｒｓｅｉｔｅｒａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅＲｉｔｚｍａｔｒｉｘｉｓｆｏｒｍｅｄｉｎｖｏｌｖｉｎｇａｎｕｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｐａｒａｍｅｔｅｒｍａｔｒｉｘ，ｗｈｉｃｈｉｓｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｂｙｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇｔｈｅＲａｙｌｅｉｇｈｑｕｏｔｉｅｎｔ，ｔｈｅｎｉｔｗｉｌｌｎｅａｒｔｈｅｍｉｎｉｍａｌｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒ．Ｉｎｍｙｔｈｅｓｅｃｏｎｄｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍ，Ｗｅｃｒｅａｔｅａｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎａｓｔｈｅｓａｍｅａｓｔｈｅｆｉｒｓｔｏｎｅ，ｂｕｔｉｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｎｅｔｈｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｉｎｖｏｌｖｉｎｇａｎｕｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｐａｒａｍｅｔｅｒｍａｔｒｉｘ，ｗｈｉｃｈｉｓｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｂｙｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇｔｈｅＲａｙｌｅｉｇｈｑｕｏｔｉｅｎｔｉｓｆｏｒｍｅｄｂｙｔｈｅｌａｔｅｓｔｍａｔｒｉｘｒｅｃｅｉｖｅｄｂｙａｓｈｉｆｔｅｄｉｎｖｅｒｓｅｉｔｅｒａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅＲｉｔｚｍａｔｒｉｘ，ｔｈｅｎａｃｃｅｌｅｒａｔｅｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｒａｔｅｏｆｓｕｂｓｐａｃｅ．Ｉｎｔｈｅｐａｐｅｒ．Ｗｅａｎａｌｙｓｉｓｔｈｅｃｈｏｏｓｉｎｇｍｅｔｈｏｄｏｆｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｍａｔｒｉｘａｎｄｉｔｓｓｏｍｅｐｒｏｐｅｒｔｙ，ｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ．Ｏｕｒｎｕｍｅｒｉｃａｌｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｔｗｏｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｓａｒｅｓｕｐｅｒｉｏｒｔｏｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｓｕｂｓｐａｃｅｉｔｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｙｍｍｅｔｒｉｃｍａｔｉｘ，ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ，ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒ，ｓｕｂｓｐａｃｅｉｍｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ’Ｒａｙｌｅｉｇｈｑｕｏｔｉｅｎｔ，ｉｎｖｅｒｓｅｉｔｅｒａｔｉｏｎ，ｔｈｅｓｈｉｆｔｅｄｉｎｖｅｒｓｅｉｔｅｒａｔｉｏｎ。

《子空间迭代法》课件

迭代正则化方法
结合子空间迭代法，在每次迭代过程中加入正则化项，逐步修正解的误差。
约束优化方法
将病态问题转化为约束优化问题，利用约束条件限制解的范围，提高解的稳定性。
处理大规模问题的策略
1 2
稀疏矩阵技术Biblioteka 利用大规模问题的稀疏性特点，选择适当的存储方式和计算方法，降低内存占用和计算复杂度。
并行计算技术
子空间迭代法的收敛速度取决于算法参数的选择和子空间的性质。收敛速度越快，算法的效率越高。收敛性的研究是子空间迭代法的一个重要研究方向。
03
子空间迭代法的实现步骤
预处理
数据准备
收集并整理需要解决的问题的相关数据，包括已知条件、未知量等。
数学模型建立
根据实际问题，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题。
松弛技术
采用松弛迭代方法，如SOR（Successive Over-Relaxation）方法，通过调整迭代矩阵的参数来改善收敛速度。
共轭梯度法
结合子空间迭代法，利用共轭方向和梯度信息，在子空间中寻找最优解，提高收敛速度。
处理病态问题的方法
正则化方法
通过引入正则化项，改善原问题的条件数，从而降低病态问题的敏感性。
子空间的定义与性质
子空间是线性空间的一个非空子集，具有一些重要的性质。在子空间迭代法中，子空间的选择对算法的收敛性和求解精度具有重要影响。
子空间应具有正交性和完备性等性质，以保证算法的稳定性和收敛性。同时，子空间的维数应尽可能低，以提高算法的效率。
子空间迭代法的收敛性
子空间迭代法的收敛性是指随着迭代次数的增加，解向量逐渐逼近原问题的解。收敛性的证明需要用到数学分析中的一些理论工具，如矩阵范数、谱半径等。

第七讲子空间迭代方法

∈ R(m+1)×m,
hm+1,m
则由 Arnoldi 过程可知
所以有
Avj = h1,j v1 + h2,j v2 + · · · + hj,j vj + hj+1,j vj+1.
AVm = Vm+1Hm+1,m = VmHm + hm+1,mvm+1eTm,
(7.1) 5/55
3: z = Avj 4: for i = 1 to j do % MGS 正交化过程
5:
hi,j = (vi, z), z = z − hi,j vi
6: end for
7: hj+1,j = ∥z∥2 % if hj+1,j = 0, break, endif
8:
vj+1 = z/hj+1,j
9: end for
3/55
基的选取: Arnoldi 过程
最简单的基: {r, Ar, A2r, . . . , Am−1r} −→ 非正交, 稳定性得不到保证. Arnoldi 过程 : 将 {r, Ar, A2r, . . . , Am−1r} 单位正交化
1: v1 = r/∥r∥2
2: for j = 1 to m do
第七讲子空间迭代方法
1 Krylov 子空间 2 GMRES 算法 3 共轭梯度法 (CG) 4 收敛性分析 5 其它 Krylov 子空间迭代算法
基本思想
在一个维数较低的子空间中寻找解析解的一个最佳近似 . 子空间迭代算法的主要过程可以分解为下面三步:
(1) 寻找合适的子空间; (2) 在该子空间中求 “最佳近似”; (3) 若这个近似解满足精度要求, 则停止计算; 否则, 重新构造一个新

第七讲子空间迭代方法

终止迭代
12: end if
13: end for
10/55
如何计算 x(0) + Km 中的 “最佳近似” x(m)
首先, 我们必须给出 “最佳” 的定义, 不同的定义会导致不同的算法. 最直接的方式: ∥x(m) − x∗∥2 达到最小. 但由于 x∗ 不知道, 因此不实用.
什么是 “最佳” (1) ∥rm∥2 = ∥b − Ax(m)∥2 达到最小 A 对称 → MINRES , A 非对称 → GMRES (2) A 对称正定, 极小化 ∥x∗ − x(m)∥A → CG (共轭梯度法)
其中 q1(m + 1) 表示 q1 的第 m + 1 个分量.
16/55
Hm+1,m 的 QR 分解的递推计算方法
由于 Hm+1,m 是上 Hessenberg 矩阵, 因此我们采用 Givens 变换. []
(1) 当 m = 1 时, H21 =
h11 h21
, 构造 Givens 变换 G1 使得
14/55
实施细节
需要解决下面两个问题: (1) 如何计算残量 rm ≜ b − Ax(m) 的范数? (2) 如何求解最小二乘问题 (7.6)?
这两个问题可以同时处理.
15/55
最小二乘问题的求解
设 Hm+1,m 的 QR 分解为
Hm+1,m = QTm+1Rm+1,m,
其中 Qm+1 是正交矩阵, Rm+1,m ∈ R(m+1)×m 是上三角矩阵. 则
∈ R(m+1)×m,
hm+1,m
则由 Arnoldi 过程可知
所以有

§ 2 计算实对称矩阵特征值的同时迭代法

QkWk 1 Dm diag(d1,, dm ).
从而,由(2.10)式有
1 1 Vk 1 U k 1Wk 1 Rk 1 ( X a Da X b Db Ek )QkWk 1 Rk 1 1 ( X a Da X b Db Ek ) Dm Rk 1 1 1 ( X a X b Db Ek Da ) Da Dm Rk 1 1 ( X a X b Db Ek Da )R
其中 x j 是与 j 相应的特征向量.现设
1 2 3 n .
且 1 m1 ,1 m n.同时迭代法的计算步骤如下: 取m个初始近似向量组成一个 n m 阶列直交矩阵V0,即有V0TV0 I m , 对 k 1,2 ,执行以下各步:
(1)计算
U k AVk 1;
(2.1)
(2)计算 m m 阶实对称矩阵:
Bk VkT1U k ;
(k ) (k ) (3)计算Bk的特征值 1(k ) , 2 ,设其排列次序为 , m (k ) (k ) 1( k ) 2 m ,
(2.2)
共计算其特征向量矩阵Wk,取它为一个直交矩阵; (4)计算Uk Wk;
Vk 1 的第j向量可作为与 j 相应的近似特征向量(j=1,…,m).当这说明，
j ( j 1,, m) 非互异时，亦有类似的结论成立.
降阶法和同时迭代都可用来计算实对称矩阵模数较大的前几个特征值.但当A为稀疏带状时,前者在迭代过程中破坏这种结构;对于后者,第(1)
步中的A在迭代过程中始终不变,可以利用A的稀疏性来减少计算量和存
记
Da diag(1 , 2 , , m ), Db diag(m 1 , , n ), X a [ x1 , x2 , , xm ], X b [ xm 1 , , xn ].

08-课件：55.2 迭代法

大连理工大学罗晓芳算法思想:利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行，每次执行这组指令(或步骤)时，都从变量原值推出一个新值。

关键步骤：1、确定迭代变量:也就是直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量。

2、建立迭代关系式: 指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。

3、对迭代过程进行控制。

在什么时候结束迭代过程?迭代算法一般结构小猴在一天内摘了若干个桃子，当天吃掉一半多一个；第二天吃掉剩下的一半桃子多一个；以后每天都吃尚存桃子的一半零一个。

直到第7天早上要吃时，只剩下一个了，问小猴共摘了多少个桃子？例4：小猴吃桃子问题问题分析：先从最后一天推出倒数第二天的桃子，再从倒数第二天推出倒数第三天的桃子，……设第n天的桃子为x,它是前一天的桃子数的一半少一个x n = xn-1/2-1前一天的桃子数为：xn-1=(xn+1)×2(递推公式）设迭代变量x x=(x+1)*2#include "stdio.h"int main(){int i, x;x=1；printf("第7 天的桃子数为：1只\n");for(i=6; i>=1; i--){x=(x+1)*2;printf("第%d 天的桃子数为：%d 只", i , x);printf("\n");}return 0;小猴吃桃子问题迭代关系，迭代:原值推出新值//迭代变量赋初值思考:小猴在一天内摘了94个桃子，当天吃掉一半多一个；以后每天都吃尚存桃子的一半多一个，问小猴直到第几天早上要吃时只剩下一个了？例5：用迭代法求a 的算术平方根。

公式：x n =0.5*(x n-1+a/x n-1)确定初值为x0,新值为x1 取a/2为x0的初值，迭代结束条件:|x1-x0|<=10-5.#include <stdio.h>#include <math.h>int main( ){ float a, x0, x1;scanf("%f",&a);x0=a/2; x1=(x0+a/x0)/2; while (fabs(x1-x0)>1e-5){x0=x1;x1=(x0+a/x0)/2; }printf("sqrt(a)=%f\n", x1);零非零|x1-x0|>10-5？x0=x1x1=(x0+a/x0)/2x0=a/2x1=(x0+a/x0)/2输出a ，x1迭代:原值推出新值// 迭代变量赋初值//新值变原值//将循环结束条件取反1.分析：程序采用逐位分离的方法。

迭代解法(全章)讲解ppt课件

10/18/2023
第六章线性方程组的迭代解法
21
§3 常用的三种迭代解法
一、 Jacobi迭代法
对于线性方程组 Ax=b
(1)
设 det(A)≠ 0 ，aii ≠ 0,i=0,1,2,…,n ，按照如下方式对A
进行分裂：
A=L+D+U
(2)
10/18/2023
第六章线性方程组的迭代解法
22
则由 Ax=b 得到 (L+D+U) x=b >D x=-(L+U)x+b
或向量序列 {x(k)} 收敛于向量 x* ，当且仅当它的每一个分量序列收敛于x* 的对应分量，即
10/18/2023
第六章线性方程组的迭代解法
7
二、矩阵的范数
矩阵范数是反映矩阵“大小”的一种度量，具体定义如下。定义6.3 设||·||是以n阶矩阵为变量的实值函数，且满足条件：
(1) || A ||≥0，且|| A ||＝0时，当且仅当A＝0
矩阵1-范数：
列和
矩阵2-范数：
矩阵∞-范数：
行和
以上三种范数都满足矩阵范数的条件，通常将这三种矩阵范数统一表示为||A ||p，P＝1 ，2 ，∞。
10/18/2023
第六章线性方程组的迭代解法
9
例6.2 设矩阵
求矩阵A的范数||A ||p，P＝1 ，2 ，∞ 。解根据定义
由于则它的特征方程为:
25
对于 n 元线性方程组其一般式为：
从中解出：
得Jacobi迭代格式
通过|| x(k+1)-x(k)||<ε 控制迭代次数。
10/18/2023

快速子空间迭代法_迭代Ritz向量法与迭代Lanczos法的比较_宫玉才

Ⅲ. 迭代 I max次, 完成后转向Ⅱ ( 1) 对 k = 0, 1, …, r 解 LDLTQ~ k+ 1 = MQk , 然后
第 2 期
宫玉才, 等: 快速子空间迭代法、迭代 Ritz 向量法与迭代 La nczos 法的比较
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将 Q~k+ 1 对已收敛的特征向量以及 Q1, Q2 , …, Qk 作 M —正交归一化, 并形成 Qk+ 1 。在此过程中交化以前的模与正交化以后的模之比超过了某一阈值, 将对此向量实施双正交化, 即对已正交化的向量再实施正交化。在下面的数值试验中, 这一阈值取为 1012。
为节省计算量, Ritz 向量法与 L anczos 法的第 Ⅲ步在形成新的特征向量时, 未计算全部 Ray leig hRit z 特征值相对应的近似特征向量。
Ⅲ. 迭代 I max 次, 完成后转向Ⅰ
( 1) 将 X 进行 M—正交归一化;
( 2) 解试向量矩阵 X 1= ( LDLT ) - 1MX;
( 3) 计算 K 和 M 在 X 1 上的投影,
K*
=
X
T 1
K
X
1,
M*
=
XT1 MX 1;
( 4) 求解 q 阶广义特征值问题 K* 5* =
凡是最后一个已收敛的特征值是3算例与讨论大量的实际工程问题被用来检验本文的三种方法限于篇幅仅在表1和表2中列出一小部分其中pkustk系列在以前的研究中已多次使用1须强调基于半带宽解法或变带宽解法的特征值算法求解这些阶数的问题时在时间和空间上都是十分困难的特别是求解数十个特征模态时
第 18 卷第 2 期 2005 年 6 月
传统上, 子空间迭代用特征值的两次迭代的相