Krylov子空间迭代法
Krylov子空间方法II
max {q (λi )2 }
2 yi λi
min
max {q (λi ) } y Λy
5/76
= = 即
q ∈Pk , q (0)=1 1≤i≤n q ∈Pk , q (0)=1 1≤i≤n
min
max {q (λi )2 } ϵ0 Aϵ0 max {q (λi )2 } ∥ϵ0 ∥2 A,
⊺
min
11/76
(4.6)
又 Λ 是对角矩阵, 所以 ∥q (Λ)∥2 = max |q (λi )|.
1≤i≤n
设 x(k) 是由 GMRES 方法得到的近似解. 由 GMRES 方法的最优性可 知, x(k) 极小化残量的 2 范数. 因此, ∥b − Ax(k) ∥2 = = ≤
x∈x(0) +Kk (A,r0 ) q ∈Pk , q (0)=1 q ∈Pk , q (0)=1
1+ε δ
10/76
5.2 GMRES 方法的收敛性
正规矩阵情形 设 A 是正规矩阵, 即 A = U ΛU ∗ , 其中 Λ = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ) 的对角线元素 λi ∈ C 为 A 的特征值. 设 x ∈ x(0) + Kk (A, r0 ), 则存在多项式 p(t) ∈ Pk−1 使得 x = x(0) + p(A)r0 . 于是 b − Ax = b − Ax(0) − Ap(A)r0 = (I − Ap(A))r0 ≜ q (A)r0 , 其中 q (t) = 1 − t p(t) ∈ Pk 满足 q (0) = 1. 直接计算可知 ∥b − Ax∥2 = ∥q (A)r0 ∥2 = ∥U q (Λ)U ∗ r0 ∥2 ≤ ∥U ∥2 ∥U ∗ ∥2 ∥q (Λ)∥2 ∥r0 ∥2 = ∥q (Λ)∥2 ∥r0 ∥2 .
keryolv子空间迭代法
keryolv子空间迭代法Krylov子空间迭代法是一种求解大规模线性方程组的有效方法。
它的基本思想是利用一个初始向量和一个矩阵来构造一个Krylov子空间，然后在这个子空间中寻找一个近似解。
这种方法通常比直接求解线性方程组的方法更快，尤其是当矩阵非常大时。
下面将从以下几个方面详细介绍Krylov子空间迭代法：1. Krylov子空间的定义和构造Krylov子空间是由一个向量v和一个矩阵A产生的一组向量集合，表示为：K(A,v) = span{v, Av, A^2v, ..., A^(k-1)v}其中k是任意正整数。
这个集合包含了所有由v和A作用k次得到的向量的线性组合。
2. Arnoldi过程Arnoldi过程是一种构造Krylov子空间的算法。
它通过对向量集合进行正交化来构造一个Hessenberg矩阵，该矩阵描述了向量在Krylov 子空间中的投影。
Arnoldi过程可以表示为以下步骤：(1) 选择初始向量v，并令q1 = v/||v||。
(2) 对于k = 1, 2, ..., n，执行以下步骤：(a) 计算w = Aqk。
(b) 对于j = 1, 2, ..., k，计算hj,k = qj^Tw，并令w = w - hj,kqj。
(c) 计算hk+1,k = ||w||，如果hk+1,k=0，则停止迭代。
(d) 如果hk+1,k≠0，则令qk+1 = w/hk+1,k，并将(h1,1, h2,1, ..., hk+1,k)作为Hessenberg矩阵的第k列。
3. GMRES方法GMRES是一种基于Krylov子空间的迭代方法，用于求解线性方程组Ax=b。
它通过在Krylov子空间中寻找一个最小化残差的向量来逼近解向量。
GMRES可以表示为以下步骤：(1) 选择初始向量x0和r0=b-Ax0。
(2) 构造Krylov子空间K(A,r0)，并使用Arnoldi过程构造Hessenberg矩阵H和正交矩阵Q。
Krylov迭代法(续)
数值模拟导论-第七讲Krylov子空间矩阵解法雅克比·怀特感谢Deepak Ramaswamy, Michal Rewienski,Karen Veroy and Jacob White概要·回顾GCR－最小残向量解法－Krylov子空间－与多项式关系·回顾特征值和范数－诱导范数－谱半径定理·收敛速度的评估－Chebychev多项式·预处理－对角预处理－近似LU预处理GCR 算法标准化图示运算步1）正交化2）解计算r 的最小值i Mr s′kx吸热Krylov方法“与外界物热交换的例子”绝缘棒和矩阵近端温度远端温度离散化节点平衡方程Krylov方法“与外界有热交换”的例子导体棒和矩阵近端温度远端温度离散化节点平衡方程GCR性能（随机的Rhs）反复迭代后的残向量对数图GCR性能( Rhs＝－1，＋1，－1，＋1….）反复迭代后的残向量对数图诱导范数矩阵的放大倍数问题假设，那么y 比x 大多少？或者y 相对于x 扩大了多少倍？y Mx =诱导范数回顾向量的范数L 2范数：L 1范数：范数：L ∞特征值和特征向量应用谱半径理论iλ()01...pp f x x xααα=+++()01...pp f M M Mααα=+++()()()()spectrum f M f spectrum M =给定一个多项式将多项式扩展到矩阵那么就有Krylov方法收敛性分析矩阵多项式的标准化M特征空间的条件数图中英文为：矩阵M的特征向量Krylov方法收敛性分析矩阵多项式的标准化Krylov方法对称矩阵的收敛性多项式的残余量如果M 是对称矩阵，那么1）M有标准正交的特征向量2）M有实数特征值如果M正定，那么()0λ>M导热棒矩阵的多项式残余量图无热量散失情况（n=10）Krylov方法对称矩阵的收敛性Chebyshev方法解最值问题Chebyshev多项式：Chebyshev多项式的最小化超出了[1，10]Krylov方法对称矩阵的收敛性Chebyshev的范围Krylov方法对称矩阵的收敛性Chebyshev的结果Krylov方法前处理对角矩阵的例子是什么原因使GCR收敛更加迅速？Krylov 方法前处理对角矩阵的例子让M=D+M 其中D 是对角矩阵应用GCR 到矩阵的逆在计算机中很容易求出经常用来提高收敛性()()111nd D M x I D M x D b −−−=+=导热棒的例子系统离散化图中：一个小的x∆x∆下面哪个收敛曲线是GCR迭代导体棒的例子前处理矩阵特征值残余值最小化的Krylov子空间运算法则，可以通过直接设置多项式零点来去除无关的特征值。
Krylov子空间方法
由于 x ˜ ∈ x(0) + K, 因此存在向量 y ∈ Rm 使得 x ˜ = x(0) + V y 由正交性条件 (4.4) 可知 r0 − AV y ⊥ wi , i = 1, 2, . . . , m , 即 W ⊺ AV y = W ⊺ r0 .
x ˆ≜x ˜ − x(0) = V y
9/115
Arnoldi 过程: 计算 Km 的一组正交基
算法 2.1 基于 Gram-Schmidt 正交化的 Arnoldi 过程
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13:
给定非零向量 r, 计算 v1 = r/∥r∥2 for j = 1, 2, . . . , m − 1 do wj = Avj for i = 1, 2, . . . , j do hij = (wj , vi ) end for j ∑ wj = wj − hij vi hj +1,j = ∥wj ∥2 if hj +1,j = 0 then break end if vj +1 = wj /hj +1,j end for
若给定初值 x(0) ∈ Rn , 则改用仿射空间 x(0) + K, 即 find x ˜ ∈ x(0) + K such that b − Ax ˜ ⊥ L. (4.3)
好的初值一般都包含有价值 的信息
事实上, 如果将 x ˜ 写成: x ˜ = x(0) + x ˆ, 其中 x ˆ ∈ K, 则 (4.3) 就等价于 find x ˆ∈K such that r0 − Ax ˆ ⊥ L, (4.4)
定解条件
r = b − Ax ˜⊥L 其中 x ˜ 是近似解, L 是另一个 m 维子空间. 不同的 L 对应不同的投影方法 当 L = K 时, 我们称为 正交投影法 , 否则称为 斜投影法
krylov子空间迭代法
krylov子空间迭代法Krylov子空间迭代法是一种有效的求解线性方程组的迭代方法，因Krylov于1908年提出而得名。
它是一种基于子空间的迭代方法，可以在较少的计算量下，解决高维线性方程组的较大特征值的问题。
Krylov子空间迭代法的基本思想是：将线性方程组中的高维系数矩阵P划分为n个受限的Krylov子空间，用这些子空间来模拟矩阵P的特征值的变化趋势。
这样，可以使线性方程组的解从低维子空间转移到高维子空间，从而求出线性方程组的解。
Krylov子空间迭代法具有以下优点：（1）采用Krylov子空间技术可以降低计算维度，减少计算量，提高计算效率；（2）将子空间技术与迭代法相结合，实现了近似求解线性方程组的解；（3）Krylov子空间迭代法能有效收敛，解的可靠性高；（4）运行简便，无需调整参数；（5）可用于求解各种类型的线性方程组。
由于Krylov子空间迭代法的优越性，它已经广泛应用于工程、数学、物理、生物等多学科的计算和仿真中。
从根本上讲，Krylov子空间迭代法是一种非常有效的迭代方法，它可以有效地解决线性方程组的特征值问题。
下面我们将介绍Krylov 子空间迭代法的算法步骤：（1）输入高维系数矩阵P、初始向量v、迭代次数m及收敛准则ε；（2）构造Krylov子空间：V＝[v，Pv, Pv,……，P^m-1v]；（3）用V中的向量代替P，将Pv-λv转化为V的线性方程；（4）求解V线性方程组；（5）求出V的特征值λ；（6）利用第4步求出的解v，求出线性方程组的解x；（7）若特征值收敛，则停止迭代；（8）重复第2至第7步，直至特征值收敛；（9）输出计算结果。
以上就是Krylov子空间迭代法的算法步骤。
Krylov子空间迭代法的算法实现起来相对简单，只需要实现以上的几个步骤即可。
由于Krylov子空间迭代法的有效性，它已经被广泛应用于工程、数学、医学、物理、生物等多学科的计算和仿真中。
总之，Krylov子空间迭代法是一种高效的求解线性方程组的迭代方法，它可以有效收敛，具有较高的求解精确度和计算效率。
krylov子空间算法
Krylov 子空间的定义：定义：令N R υ∈，由1m A υυυ-，，，A 所生成的子空间称之为由υ与A 所生成的m 维Krylov 子空间，并记(),m K A v 。
主要思想是为各迭代步递归地造残差向量，即第n 步的残差向量()n r 通过系数矩阵A 的某个多项式与第一个残差向量()0r 相乘得到。
即()()()0n r p A r =。
但要注意，迭代多项式的选取应该使所构造的残差向量在某种内积意义下相互正交，从而保证某种极小性（极小残差性），达到快速收敛的目的。
Krylov 子空间方法具有两个特征：1.极小残差性，以保证收敛速度快。
2.每一迭代的计算量与存储量较少，以保证计算的高效性。
投影方法线性方程组的投影方法方程组Ax b =,A 是n n ⨯的矩阵。
给定初始()0x ,在m 维空间K(右子空间）中寻找x 的近似解()1x 满足残向量()1r b Ax =-与m 维空间L(左子空间）正交，即()1b Ax L -⊥，此条件称为Petrov-Galerkin 条件。
当空间K=L 时，称相应的投影法为正交投影法，否则称为斜交投影法.投影方法的最优性：１. (误差投影)设A 为对称正定矩阵,()0x 为初始近似解,且K=L,则()1x 为采用投影方法得到的新近似解的充要条件是()()()()01min z x Kx z ϕϕ∈+=其中,()()()12,z A x z x z ϕ=--2.(残量投影)设A 为任意方阵,()0x 为初始近似解,且L AK =,则()1x 为采用投影方法得到的新近似解的充要条件是()()()()01min z x Kx z ψψ∈+=其中()()122,z b Az b Az b Az ψ=-=--矩阵特征值的投影方法对于特征值问题Ax x λ=,其中A 是n ×n 的矩阵，斜交投影法是在m 维右子空间K 中寻找i x 和复数i λ满足i i i Ax x L λ-⊥,其中L 为m 维左子空间.当L=K 时，称此投影方法为正交投影法. 误差投影型方法： 取L=K 的正交投影法非对称矩阵的FOM 方法（完全正交法） 对称矩阵的IOM 方法和DIOM 方法 对称矩阵的Lanczos 方法 对称正定矩阵的CG 方法 残量投影型方法： 取L=AK 时的斜交投影法GMERS 方法（广义最小残量法） 重启型GMERS 方法、QGMERS 、DGMERSArnoldi 方法标准正交基方法：Arnoldi 方法是求解非对称矩阵的一种正交投影方法。
(完整版)Krylov子空间迭代法
February 10, 2020
内容
• 子空间和Krylov子空间
• Arnoldi算法
– Arnoldi过程 – Gram-Schmidt Arnoldi – HouseHolder Arnoldi
• FOM
– IOM – DIOM
2
子空间
• 空间
– 集合，元素都是向量 – 线性空间（向量空间）
根据Cayley-Hamilton定理有
������������ + ������������−1������������−1+. . . +������1������1 + ������0������0 = 0
即
VP= -������������ 其中������ = [������0, ������1, . . . , ������������−1ሿ，������ = ������0, ������1, . . . , ������������−1 ������ Krylov子空间： ������������(������, ������) = ������������������������{������, ������������, . . . , ������������−1������ሽ Krylov矩阵： ������������(������, ������) = [������, ������������, . . . , ������������−1������ሿ
• 线性空间（交换律，结合律，幺元性，零元性，可 逆性，数乘分配律等）
• 子空间
– 线性空间的非空子集
• 包含零元素，并且满足加法和乘法的封闭性
– 扩张（符合记作span）
第四讲Krylov子空间方法
如果没有特别注明, 本章内容都是在实数域中讨论.
4.1 投影方法
设 K 是 Rn 的一个子空间, 维数为 dim(K) = m ≪ n. 我们需要在 K 中寻找精确解的一 个 “最佳” 近似. 由于 K 的维数是 m, 为了能够唯一确定这个近似解, 我们需要设置 m 个约 束. 在通常情况下, 我们要求残量满足 m 个正交性条件:
x˜ = x(0) + V y.
· 4-2 ·
由正交性条件 (4.5) 可知 r0 − AV y ⊥ wi, i = 1, 2, . . . , m,
即 W AV y = W r0.
如果 W AV 是非奇异的, 则可解得 y = (W AV )−1W r0. 因此, 近似解 x˜ 可表示为 x˜ = x(0) + V (W AV )−1W r0.
vj+1 = wj /hj+1,j
14: end for
如果计算到第 k (k < m) 步时有 hk+1,k = 0, 则方法会提前终止. 此时 Avk 必定可以由 v1, v2, . . . , vk 线性表出 (这里不考虑浮点运算的舍入误差).
算法 4.1 中的向量 vi 称为 Arnoldi 向量. 需要注意的是, 在该算法中, 我们是用 A 乘以 vj, 然后与之前的 Arnoldi 向量正交化, 而不是计算 Ajr. 事实上, 它们是等价的.
r = b − Ax˜ ⊥ L,
(4.2)
其中 x˜ 是我们所要寻找的近似解, L 是另一个 m 维子空间. 这就是数值计算中常用的 PetrovGalerkin 条件. 如果 L = K, 则称为 Galerkin 条件. 子空间 L 也称为 约束空间 (constraint subspace). 相应地, K 通常称为 搜索空间.
《解线性方程组的VRP-GMRES(m)迭代法》
《解线性方程组的VRP-GMRES(m)迭代法》篇一一、引言随着科技的发展，线性方程组的求解在科学计算、工程问题以及数据分析等领域扮演着重要的角色。
其中，VRP-GMRES(m)迭代法是一种高效、准确的求解方法。
本文将详细介绍VRP-GMRES(m)迭代法的原理、步骤及其在解线性方程组中的应用。
二、VRP-GMRES(m)迭代法的基本原理VRP-GMRES(m)迭代法是一种基于Krylov子空间的迭代法，用于求解大型稀疏线性方程组。
该方法通过构造一系列的Krylov 子空间，逐步逼近方程组的解。
GMRES算法在每次迭代中都会寻找一个最佳的方向来逼近解，而VRP（Variable Projection）技术则是在此基础上进行优化，提高了算法的收敛速度和稳定性。
三、VRP-GMRES(m)迭代法的步骤1. 初始化：设定初始向量x0和初始残差r0=b-Ax0。
2. 构建Krylov子空间：根据初始残差r0，通过Arnoldi过程构建Krylov子空间。
3. 求解最小二乘问题：在Krylov子空间中求解最小二乘问题，得到搜索方向。
4. 投影与更新：利用VRP技术对搜索方向进行投影和更新，得到新的近似解和残差。
5. 判断收敛性：根据设定的收敛准则判断是否收敛，若收敛则输出解，否则返回步骤2继续迭代。
四、VRP-GMRES(m)迭代法在解线性方程组中的应用VRP-GMRES(m)迭代法在解线性方程组中具有广泛的应用。
首先，它可以有效地处理大型稀疏线性方程组，提高了计算效率。
其次，该方法在处理病态方程组时具有较好的稳定性和收敛性。
此外，VRP技术的引入进一步提高了算法的收敛速度和精度。
在实际应用中，VRP-GMRES(m)迭代法已被广泛应用于科学计算、工程问题、数据分析等领域。
五、结论VRP-GMRES(m)迭代法是一种高效、准确的求解大型稀疏线性方程组的方法。
该方法通过构造Krylov子空间，逐步逼近方程组的解。
krylov子空间算法
Krylov 子空间的定义:定义:令N R υ∈,由1m A υυυ-L ，，，A 所生成的子空间称之为由υ与A 所生成的m 维Krylov 子空间,并记(),m K A v 。
主要思想就是为各迭代步递归地造残差向量,即第n 步的残差向量()n r 通过系数矩阵A 的某个多项式与第一个残差向量()0r 相乘得到。
即()()()0n r p A r =。
但要注意,迭代多项式的选取应该使所构造的残差向量在某种内积意义下相互正交,从而保证某种极小性(极小残差性),达到快速收敛的目的。
Krylov 子空间方法具有两个特征:1、极小残差性,以保证收敛速度快。
2、每一迭代的计算量与存储量较少,以保证计算的高效性。
投影方法线性方程组的投影方法方程组Ax b =,A 就是n n ⨯的矩阵。
给定初始()0x ,在m 维空间K(右子空间)中寻找x 的近似解()1x 满足残向量()1r b Ax =-与m 维空间L(左子空间)正交,即()1b Ax L -⊥,此条件称为Petrov-Galerkin 条件。
当空间K=L 时,称相应的投影法为正交投影法,否则称为斜交投影法、投影方法的最优性:１、 (误差投影)设A 为对称正定矩阵,()0x 为初始近似解,且K=L,则()1x 为采用投影方法得到的新近似解的充要条件就是()()()()01min z x Kx z ϕϕ∈+=其中,()()()12,z A x z x z ϕ=--2.(残量投影)设A 为任意方阵,()0x 为初始近似解,且L AK =,则()1x 为采用投影方法得到的新近似解的充要条件就是()()()()01min z x Kx z ψψ∈+=其中()()122,z b Az b Az b Az ψ=-=--矩阵特征值的投影方法对于特征值问题Ax x λ=,其中A 就是n ×n 的矩阵,斜交投影法就是在m 维右子空间K 中寻找i x 与复数i λ满足i i i Ax x L λ-⊥,其中L 为m 维左子空间、当L=K 时,称此投影方法为正交投影法、 误差投影型方法: 取L=K 的正交投影法非对称矩阵的FOM 方法(完全正交法) 对称矩阵的IOM 方法与DIOM 方法 对称矩阵的Lanczos 方法 对称正定矩阵的CG 方法 残量投影型方法: 取L=AK 时的斜交投影法 GMERS 方法(广义最小残量法)重启型GMERS 方法、QGMERS 、DGMERSArnoldi 方法标准正交基方法:Arnoldi 方法就是求解非对称矩阵的一种正交投影方法。
keryolv子空间迭代法
Krylov 子空间迭代法一、背景介绍Krylov 子空间迭代法是一种数值线性代数方法，用于求解大型稀疏线性方程组或特征值问题。
它的基本思想是通过逐步构建 Krylov 子空间来逼近方程组的解或特征向量，从而减少计算复杂度并提高求解效率。
Krylov 子空间是由矩阵 A 和给定的向量 b 生成的向量空间。
在 Krylov 子空间迭代法中，我们将选择一个合适的初始向量 x0，并在每一次迭代中构建一个新的Krylov 子空间，直到满足收敛条件为止。
二、Krylov 子空间迭代法的基本原理Krylov 子空间是通过向量 b 和矩阵 A 的乘积逐步构建而成的。
给定一个 n 维向量 b 和一个n×n 的矩阵 A，我们可以定义一个 Krylov 子空间 K(m, A, b) 如下：K(m, A, b) = span{b, Ab, A^2b, …, A^(m-1)b}其中 span 表示向量的线性组合，A^k 表示矩阵 A 的 k 次幂。
在 Krylov 子空间迭代法中，我们通过迭代的方式来逼近方程组 Ax = b 的解 x，或者求解特征值问题Av = λv。
我们首先选择一个初始向量 x0，并构建初始的Krylov 子空间 K(1, A, b) = span{b}。
然后，我们通过增加 Krylov 子空间的维数来逼近解或特征向量。
在每一次迭代中，我们选择一个新向量 v_k，使其满足以下条件：v_k ∈ K(k, A, b) v_k ⊥ K(k-1, A, b)其中⊥ 表示正交。
我们可以使用基于正交化过程的方法，如Arnoldi 迭代法或 Lanczos 迭代法，来实现这一目标。
通过迭代构建 Krylov 子空间，我们可以逐渐改善逼近解或特征向量的精度，直到满足收敛条件为止。
三、Krylov 子空间迭代法的主要算法Krylov 子空间迭代法主要包括以下几个步骤：1. 选择初始向量在迭代过程中，需要选择一个合适的初始向量 x0。
预处理子空间迭代法的一些基本概念
krylov 子空间迭代算法
krylov 子空间迭代算法Krylov子空间迭代算法Krylov子空间迭代算法是一种常用的数值方法，用于求解线性方程组和特征值问题。
它的基本思想是通过构建一个Krylov子空间来逼近问题的解，从而实现高效的迭代求解。
Krylov子空间是由向量b和矩阵A的幂次向量组成的，即{b, Ab, A^2b, ..., A^(m-1)b}，其中m是迭代步数。
Krylov子空间的一个重要性质是它能够近似表示线性方程组或特征值问题的解。
因此，通过在Krylov子空间中寻找一个最优近似解，可以有效地求解原始问题。
Krylov子空间迭代算法的核心是通过迭代过程不断扩展Krylov子空间，从而逼近问题的解。
最常用的Krylov子空间迭代算法有雅可比迭代法、Gauss-Seidel迭代法和共轭梯度法等。
雅可比迭代法是最简单的Krylov子空间迭代算法之一。
它的基本思想是通过迭代更新解向量的各个分量，直到满足一定的收敛条件。
每次迭代中，雅可比迭代法只考虑线性方程组的一个分量，并用当前解向量中的其他分量作为已知条件。
这种分量级的更新方式使得雅可比迭代法的收敛速度较慢，但它具有简单易实现的优点。
Gauss-Seidel迭代法是另一种常用的Krylov子空间迭代算法。
它的思想是通过迭代更新解向量的各个分量，并利用已更新的分量来更新其他分量。
与雅可比迭代法不同的是，Gauss-Seidel迭代法在更新解向量的过程中，始终使用最新的可用信息。
这种分量级的更新方式使得Gauss-Seidel迭代法的收敛速度相对较快。
共轭梯度法是一种更高级的Krylov子空间迭代算法，它在求解对称正定线性方程组时具有较好的收敛性能。
共轭梯度法利用了线性方程组的对称性质，通过构建正交的搜索方向和共轭的更新方式，实现了更快的收敛速度。
共轭梯度法的优点在于它不需要存储整个Krylov子空间，只需存储一个搜索方向和一个残差向量，从而减少了内存消耗。
除了线性方程组的求解，Krylov子空间迭代算法还可以用于求解特征值问题。
第七讲子空间迭代方法
终止迭代
12: end if
13: end for
10/55
如何计算 x(0) + Km 中的 “最佳近似” x(m)
首先, 我们必须给出 “最佳” 的定义, 不同的定义会导致不同的算法. 最直接的方式: ∥x(m) − x∗∥2 达到最小. 但由于 x∗ 不知道, 因此不实用.
什么是 “最佳” (1) ∥rm∥2 = ∥b − Ax(m)∥2 达到最小 A 对称 → MINRES , A 非对称 → GMRES (2) A 对称正定, 极小化 ∥x∗ − x(m)∥A → CG (共轭梯度法)
其中 q1(m + 1) 表示 q1 的第 m + 1 个分量.
16/55
Hm+1,m 的 QR 分解的递推计算方法
由于 Hm+1,m 是上 Hessenberg 矩阵, 因此我们采用 Givens 变换. []
(1) 当 m = 1 时, H21 =
h11 h21
, 构造 Givens 变换 G1 使得
14/55
实施细节
需要解决下面两个问题: (1) 如何计算残量 rm ≜ b − Ax(m) 的范数? (2) 如何求解最小二乘问题 (7.6)?
这两个问题可以同时处理.
15/55
最小二乘问题的求解
设 Hm+1,m 的 QR 分解为
Hm+1,m = QTm+1Rm+1,m,
其中 Qm+1 是正交矩阵, Rm+1,m ∈ R(m+1)×m 是上三角矩阵. 则
∈ R(m+1)×m,
hm+1,m
则由 Arnoldi 过程可知
所以有
krylov子空间迭代法
krylov子空间迭代法Krylov子空间迭代法，又称"Krylov空间迭代方法"，是一种常见的数值计算的迭代方法，用于求解常微分方程或非线性方程的数值解。
它的基本思想是将原始问题分解为一系列子问题，其中每个子问题都是在Krylov子空间中的线性问题。
Krylov子空间迭代方法通常用于大规模线性系统的求解，也可以用于非线性方程的求解。
Krylov子空间迭代法是一种迭代方法，它基于Krylov 子空间的技术，用于求解线性方程组或非线性方程组的数值解。
Krylov子空间迭代法的核心思想是将原始问题分解为一系列子问题，其中每个子问题都是在Krylov子空间中的线性问题。
Krylov子空间是由一组向量组成的，包括矩阵A的n次幂、矩阵A的n-1次幂乘以右端项b、矩阵A的n-2次幂乘以右端项b、…、以及右端项b，这些向量都在Krylov子空间中。
Krylov子空间迭代法的优势在于其应用范围广泛，并且可以在不同的环境和算法中获得良好的结果。
此外，Krylov子空间迭代法比一般迭代方法更快，能够有效减少计算时间，因而有助于提高计算效率。
Krylov子空间迭代法的基本步骤非常简单，主要分为三个步骤：生成Krylov子空间；计算Krylov子空间中的系数；迭代寻找最优解。
首先，通过矩阵A的n次幂、矩阵A的n-1次幂乘以右端项b、矩阵A的n-2次幂乘以右端项b，…，以及右端项b，生成Krylov子空间。
其次，在Krylov子空间中，根据最小二乘法或其它相关方法，计算系数矩阵。
最后，使用迭代法寻找Krylov子空间中的最优解。
Krylov子空间迭代法有很多种，如Conjugate Gradient (CG) 方法、GMRES 方法、Arnoldi 方法等。
这些方法都是基于Krylov子空间的，其基本思想是将原始问题分解为一系列子问题，其中每个子问题都是在Krylov子空间中的线性问题。
这种方法在计算上非常有效，而且实现起来也非常简单，能够有效解决求解大规模线性系统或非线性方程的问题。
krylov子空间算法知识讲解
Krylov 子空间的定义：定义：令N R υ∈，由1m A υυυ-L ，，，A 所生成的子空间称之为由υ与A 所生成的m 维Krylov 子空间，并记(),m K A v 。
主要思想是为各迭代步递归地造残差向量，即第n 步的残差向量()n r 通过系数矩阵A 的某个多项式与第一个残差向量()0r 相乘得到。
即()()()0n r p A r =。
但要注意，迭代多项式的选取应该使所构造的残差向量在某种内积意义下相互正交，从而保证某种极小性（极小残差性），达到快速收敛的目的。
Krylov 子空间方法具有两个特征：1.极小残差性，以保证收敛速度快。
2.每一迭代的计算量与存储量较少，以保证计算的高效性。
投影方法线性方程组的投影方法方程组Ax b =,A 是n n ⨯的矩阵。
给定初始()0x ,在m 维空间K(右子空间）中寻找x 的近似解()1x 满足残向量()1r b Ax =-与m 维空间L(左子空间）正交，即()1b Ax L -⊥，此条件称为Petrov-Galerkin 条件。
当空间K=L 时，称相应的投影法为正交投影法，否则称为斜交投影法.投影方法的最优性：１. (误差投影)设A 为对称正定矩阵,()0x 为初始近似解,且K=L,则()1x 为采用投影方法得到的新近似解的充要条件是()()()()01min z x Kx z ϕϕ∈+=其中,()()()12,z A x z x z ϕ=--2.(残量投影)设A 为任意方阵,()0x 为初始近似解,且L AK =,则()1x 为采用投影方法得到的新近似解的充要条件是()()()()01min z x Kx z ψψ∈+=其中()()122,z b Az b Az b Az ψ=-=--矩阵特征值的投影方法对于特征值问题Ax x λ=,其中A 是n ×n 的矩阵，斜交投影法是在m 维右子空间K 中寻找i x 和复数i λ满足i i i Ax x L λ-⊥,其中L 为m 维左子空间.当L=K 时，称此投影方法为正交投影法. 误差投影型方法： 取L=K 的正交投影法非对称矩阵的FOM 方法（完全正交法） 对称矩阵的IOM 方法和DIOM 方法 对称矩阵的Lanczos 方法 对称正定矩阵的CG 方法 残量投影型方法： 取L=AK 时的斜交投影法GMERS 方法（广义最小残量法）重启型GMERS 方法、QGMERS 、DGMERSArnoldi 方法标准正交基方法：Arnoldi 方法是求解非对称矩阵的一种正交投影方法。
《解线性方程组的VRP-GMRES(m)迭代法》
《解线性方程组的VRP-GMRES(m)迭代法》篇一一、引言随着科技的发展，线性方程组的求解在众多领域中扮演着重要的角色。
其中，VRP-GMRES(m)迭代法作为一种高效的求解方法，被广泛应用于各种实际问题中。
本文将详细介绍VRP-GMRES(m)迭代法的基本原理、步骤以及在实际问题中的应用。
二、VRP-GMRES(m)迭代法的基本原理VRP-GMRES(m)迭代法是一种基于Krylov子空间的迭代方法，用于求解线性方程组Ax=b。
该方法通过构造一系列的Krylov子空间，逐步逼近方程的解。
与传统的迭代方法相比，VRP-GMRES(m)具有更高的稳定性和收敛速度。
三、VRP-GMRES(m)迭代法的步骤1. 初始化：设定初始解向量x0和容忍误差ε。
2. 构造Krylov子空间：利用矩阵A和初始解向量x0，构造初始的Krylov子空间。
3. 正交化过程：对Krylov子空间中的向量进行正交化处理，得到一组正交基向量。
4. 最小二乘问题求解：利用GMRES算法求解最小二乘问题，得到下一步迭代的搜索方向。
5. 迭代过程：根据搜索方向和矩阵A进行迭代计算，逐步逼近方程的解。
6. 判断收敛性：检查当前解与上一步解的差值是否小于设定的容忍误差ε，若满足则停止迭代，否则继续进行迭代。
7. 输出结果：输出最终解向量x以及迭代过程中的其他信息。
四、VRP-GMRES(m)迭代法的应用VRP-GMRES(m)迭代法在众多领域中有着广泛的应用。
例如，在计算机科学中，可以用于求解大规模稀疏线性方程组；在物理学中，可以用于模拟物理系统的运动和行为；在工程领域中，可以用于优化设计和分析等问题。
此外，VRP-GMRES(m)迭代法还可以与其他优化算法相结合，进一步提高求解效率和精度。
五、结论VRP-GMRES(m)迭代法是一种高效的求解线性方程组的方法。
通过构造Krylov子空间和利用GMRES算法求解最小二乘问题，该方法能够逐步逼近方程的解，并具有较高的稳定性和收敛速度。
keryolv子空间迭代法详解与应用案例
keryolv子空间迭代法详解与应用案例标题：Krylov子空间迭代法详解与应用案例介绍：Krylov子空间迭代法是一种迭代求解线性代数方程组的方法，在科学计算和工程领域具有广泛的应用。
本篇文章将详细介绍Krylov子空间迭代法的原理和算法，并通过实际应用案例展示其在解决复杂问题上的有效性和优势。
第一部分：Krylov子空间的概念和性质（800字）1.1 Krylov子空间的定义和推导1.2 Krylov子空间的性质和特点1.3 Krylov子空间与迭代法的联系和关系第二部分：基本的Krylov子空间迭代法（1000字）2.1 最小残差法（CG方法）及其算法步骤2.2 重启共轭梯度法（GMRES方法）及其算法步骤2.3 Krylov子空间迭代法的收敛性和稳定性分析第三部分：Krylov子空间迭代法的改进和优化（1000字）3.1 预处理技术在Krylov子空间迭代法中的应用3.2 变形共轭梯度法（CGS方法）及其算法步骤3.3 其他优化技术和策略的介绍和比较第四部分：Krylov子空间迭代法在实际问题中的应用案例（800字）4.1 电力系统潮流计算中的Krylov子空间迭代法应用4.2 计算流体力学中的Krylov子空间迭代法应用4.3 结构分析和优化中的Krylov子空间迭代法应用第五部分：对Krylov子空间迭代法的观点和理解（400字）5.1 Krylov子空间迭代法的优点和不足5.2 Krylov子空间迭代法的未来发展方向5.3 对Krylov子空间迭代法在解决实际问题中的应用前景的评估总结：Krylov子空间迭代法是一种高效、灵活且广泛应用的线性代数方程组求解方法。
通过深入理解Krylov子空间的概念、算法和应用案例，读者可以更全面地认识和掌握这一方法，为解决实际问题提供有效的数值计算工具。
观点和理解：在我的观点和理解中，Krylov子空间迭代法是一种非常有价值的数值计算方法。
它具有高度的灵活性和适用性，可以应用于各种科学和工程领域的复杂问题求解。
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采用IOM后，仍然需要存储v(1), v(2), …v(m),因为在第(vi)步 中仍然需要这些向量. 解决这个问题可以考虑采用H的LU分解，通过自身分解的迭代更新以减少每 一步的存储量 使xm的更新依赖于xm-1,
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Arnoldi方法-DIOM
lower bidiagonal
banded upper triangular
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Arnoldi方法-DIOM
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Arnoldi方法-DIOM
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得到基于Galerkin原 理构成的算法
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Arnoldi方法-基本算法
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Arnoldi方法-基本算法
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Arnoldi方法-MGS
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Arnoldi方法-HO
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Arnoldi方法-FOM
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Arnoldi方法-FOM
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Arnoldi方法-FOM（m）
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Arnoldi方法-IOM
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Arnoldi方法-DIOM
Krylov子空间方法
March 23, 2016
内
• Arnoldi算法
– Arnoldi过程 – Gram-Schmidt Arnoldi – HouseHolder Arnoldi
容
• 子空间和Krylov子空间
• FOM
– IOM – DIOM
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子空间
• 空间
– 集合，元素都是向量 – 线性空间（向量空间）
• 线性空间（交换律，结合律，幺元性，零元性，可 逆性，数乘分配律等）
• 子空间
– 线性空间的非空子集
• 包含零元素，并且满足加法和乘法的封闭性
– 扩张（符合记作span）
• 包含所有向量的最小子空间3Biblioteka Krylov子空间4
Krylov子空间法
Ax=b ,|A|!=0
给定任意的x(0)，令 x=x(0)+z Az=r(0),r(0)=b-Ax(0) X(m)=x(0)+z(m) 选定子空间Km和Lm 以及他们的基{vi},{wi}