P018函数图象创新题例析

函数图象创新题例析

“函数”是贯穿于高中数学的一条主线，函数图象又是表述函数问题的重要工具，因此函数图象问题与其它知识的联系非常紧密。尤其是导数和向量的引入，拓宽了函数图象问题的命题空间，出现了不少的创新题，下面介绍几例。 例1. 已知函数y a b =→→·，其中a x →=(sin||)1，，b x →=()，1，当[]x ∈-ππ，时的大致图象是（ ）

图1 解析：y a b x x x x =→→==+·，·，(sin||)()sin||11

由于y x x =+sin||的图象问题已超出了高中大纲的范围，因此想通过画出图象来确定答案，将是十分困难的。作反面思考，从选择支出发：选择支（A ）、（D ）的图象均关于坐标原点对称，选择支（B ）的图象关于y 轴对称，而函数y x x =+sin||既非奇函数又非偶函数，因此排除（A ）、（B ）、（D ）。答案（C ）正确。

点评：本题以平面向量为载体，考查非常规型函数的图象，灵活运用函数的相关性质排除错误是解题的关键。

例 2. 设函数y f x =()在定义域内可导，y f x =()的图象如图2所示，则导函数y f x ='()的图象可能为（ ）

图2

图3

解析：观察图2，发现x <0时，y f x =()单调递增，因此x <0时，f x '()>0，立即排除（B ）、（C ）。再从图2中发现，x >0且x 靠近0时，y f x =()单调递增，此时f x '()>0，立即排除（A ）。答案（D ）正确。

点评：本题是函数图象与其导函数图象的交汇，主要考查两者图象之间的关系。利用

函数y f x =()的单调性确定导函数f x '()的符号是解题的关键。

例3. 如图4所示，函数y f x =()的图象上有一列点P 1，P 2，P 3，…，P n ，…，已知n ≥2

时，P P n P P n n n n -++−→−−−=−→−−−111

。设线段PP P P P P P P n n 1223341，，，…，+的长分别为a a a a n 123，，，…，，且a 11=，则（ ）

图4

A. a n n =

1!

B. a n n =-11()!

C. a n n =!

D. a n n =-()!1

解析：由P P n P P n n n n -++−→−−−=−→−−−111

得P P P P n P P n n n n n n -++−→−−−+−→−−−=−→−−−111

所以P P n P P n n n n -+−→−−−=-−→−−−11

1() 即P P n P P n n n n

+-−→−−−=-−→−−−1111 所以a n a n n n =-≥-11

21() 又，，，…，a a a a a a a a n n n 21324311121311

====-- 将这()n -1个等式相乘，得

a a n n a n n N n n 11121314111

111=-=-=

-∈····…·所以()!

()!()* 答案（B ）正确。

点评：本题在函数y f x =()的图象上构建向量，融函数图象、平面向量、数列等知识于一体，利用向量的和差运算寻求递推关系是解题的关键。

例 4. 定义在（0，3）上的函数f x ()的图象如图5所示，a f x →=(())，0，

b x →=(cos )，1，那么不等式a b →→<·0的解集是___________。

图5

解析：a b f x x →→<⇒<·00()cos

⇔<>⎧⎨⎩><⎧⎨⎩⇔<<-<<+⎧⎨⎪⎩⎪<<+<<+⎧⎨⎪⎩

⎪⇔<<<

000001222213222320123

或或或πππππππππ

因此a b →→<·0的解集是()0123，， π⎛⎝ ⎫⎭

⎪ 点评：本题以平面向量为载体，考查抽象函数与三角函数的复合型不等式的解集，分类讨论、由图定数是解题的关键。

例 5. 已知某质点在运动过程中，热量Q 随位移x 变化的规律是Q x ax bx cx d ()=+++32，其图象关于坐标原点对称，如图6所示是其图象的一部分，则Q （x ）的解析式是___________。

图6

解析：因为Q （x ）的图象关于坐标原点对称

所以Q x Q x ()()-=-，即

-+-+=----ax bx cx d ax bx cx d 3232

所以b d ==00，

因此Q x ax cx ()=+3

Q x ax c '()=+32

由图象可知，当x =12

时，Q x ()有极小值-1， 所以Q a c Q a c 123401218

21⎛⎝ ⎫⎭⎪=+=⎛⎝ ⎫⎭⎪=+=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解得a c ==-43，

故Q x x x ()=-433

点评：本题以物理知识为背景，融函数的导数、极值、奇偶性于一体，从函数图象上发现其性质是解题的关键。

以上几个函数图象问题，虽然难度不大，但具有背景新、内容新、结构新的特点，具有一定的创新性。这类问题在高考中常常以选择题、填空题的形式出现，能有效考查学生的观察能力、直觉思维能力、合情推理能力和综合能力。排除法、特殊值法、数形结合法常常是解决这类问题的有效途径。