电路中消耗的电功率与热功率有时为何不等？

解析：在t=t0时，磁场的磁感应强度B=k t0，回 路面积 S=v t0d。回路中既有因磁场随时间变化 而引起回路中磁通量变化所产生的感生电动势， 又有因导体棒ab的运动在切割磁感线所产生的 动生电动势。两种电动势的方向相同。
回路中的电动势
S B E B S t t t
E Bdv kdvt0 kt0 dv kdvt0 2kt0vd
演变：如图（a）所示，间距为l、电阻不计的光滑 导轨固定在倾角为θ的斜面上。在区域I内有方向垂直 于斜面的匀强磁场，磁感应强度为B；在区域Ⅱ内有 垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度Bt的大小 随时间t变化的规律如图（b）所示。t =0时刻在轨道 上端的金属细棒ab从如图位置由静止开始沿导轨下 滑，同时下端的另一金属细棒cd在位于区域I内的导 轨上由静止释放。在ab棒运动到区域Ⅱ的下边界EF 处之前，cd棒始终静止不动，两棒均与导轨接触良 好。
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已知cd棒的质量为m、电阻为R，ab棒的质量、 阻值均未知，区域Ⅱ沿斜面的长度为2l， 在t=tx时 刻（tx未知）ab棒恰进入区域Ⅱ， 重力加速度为g。 求： （1）通过cd棒电流的方向和区域I内的磁场方向； （2）当ab棒在区域Ⅱ内运动时cd棒消耗电功率； （3）ab棒开始下滑的位置离EF的距离； （4）ab棒从开始下滑至到达EF过程中回路中产生 的热量。
E 2kt0 vd I R R
2k 2t0 vd 2 F安 BIL R
2
回路消耗的电功率 安培力做功的功率
[2kt0 vd ]2 P 电 IE R
P安 Fv
2k 2 t 0 v 2 d 2 R
2
显然，回路中消耗的电功率不等于克服安培力 的功率。这是什么原因呢？ 当回路中既有动生电动势又有感生电动势时， 回路中的电能来源就有两部分，其一是通过拉动导 体棒的拉力克服安培力做功将其它能量转化为电能， 其二是通过磁场变化产生感生电场推动回路中电荷 的定向移动，将磁场能转化为回路的电能，不需要 通过克服安培力做功，此时导体棒克服安培力做功 理所当然地小于电路中消耗的电能。 可见：在存在感生电场的情况下涉及闭合回路 消耗电功率的计算时，采用直接计算法既稳妥又方 便。
解析： （1）通过 cd 棒的电流方向 d→c 区域 I 内磁场方向为垂直于斜面向上 （2）对 cd 棒，F 安=BIl=mgsinθ 所以通过 cd 棒的电流大小 I = m2g2Rsin2θ 当 ab 棒在区域 II 内运动时 cd 棒消耗的电功率 P=I R= B2l2
2
mgsinθ Bl
F合 （3）ab 棒在到达区域 II 前做匀加速直线运动，a= m =gsinθ cd 棒始终静止不动，ab 棒在到达区域 II 前、后，回路中产生的感应电动 势不变，则 ab 棒在区域 II 中一定做匀速直线运动 可得； △φ =Blvt △t B· 2l· l t x =Blgsinθt x 所以 t x= 2l gsinθ
E Blv t Bl 2 gl sin
ab棒从开始下滑至EF的过程中闭合回路中产 生的热量： Q=EIt=4mglsinθ
如果采用间接计算法计算热量
Q=｜△EP ｜ - ｜△Ek｜ =3mglsinθ- mglsinθ =2mglsinθ
计算出的热量比直接计算来得小。
究其原因： 在0-tx内有感生电场驱动 电荷运动形成电流产生了热量。机械 能的减少量与感生电场做功之和，等 于回路中产生的电热。
ab 棒在区域 II 中做匀速直线运动的速度 vt= 2glsinθ 1 则 ab 棒开始下滑的位置离 EF 的距离 h= 2 a t x2+2l=3 l。
（4） ab棒在区Baidu NhomakorabeaII中运动的时间
2l t2 vt 2l g sin
ab棒从开始下滑至EF的总时间
2l t t x t2 2 g sin
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如图所示，足够长的光滑 导轨水平地平行放置， 间距为 d。 左端用电阻为R的导体MN连接，金属棒 ab的电阻及导轨电阻不计。整个装置处于竖直向下 的匀强磁场中， 磁场的磁感应强度B随时间变化规 律为B=kt， 其中k为大于零常数。t=0时，金属棒ab 与MN相距非 常近。 金属棒ab在水平外力F的作用 下沿导轨向右运动， 在 t0时以速度v做匀速运动， 求此时闭合回路消耗的电功率。