《外圆内方和外方内圆》
《外方内圆,外圆内方》(教案)六年级上册数学人教版
《外方内圆，外圆内方》（教案）六年级上册数学人教版教学目标：1. 让学生能准确地理解外圆内方和外方内圆的概念。
2. 发展学生观察能力和分析证明的能力。
3. 提高解决问题的能力。
教学重点：1. 把握外圆内方和外方内圆的概念。
2. 熟悉外圆内方和外方内圆的性质。
教学难点：1. 发展学生对于外圆内方和外方内圆的证明能力。
2. 提高学生对于解决问题的思考能力。
教具材料：教师：教学板书，双边几何模型学生：笔，纸片，白板笔教学过程：一、导入老师把纸片折成一个正方形，然后告诉学生，在正方形中，既可以画出正方形，也可以画出圆形。
画出的圆形就是外圆内方，而画出的正方形则是外方内圆。
测试学生对于这两个概念的理解情况。
二、讲授1. 让学生自己画出几个外方内圆和外圆内方的图形，并且标注出来。
2. 教师根据以上的引导，告诉学生外圆内方是指一个正方形内部有一圆形，这个圆形的边界与正方形的边界重合，且圆心在正方形的中心。
而外方内圆就是指一个圆形内部有一个正方形，正方形的边界与圆形的边界重合，且正方形的外接圆是圆形。
3. 教师指导学生熟悉外圆内方和外方内圆的性质：外圆内方：a. 圆的直径是正方形的边长；b. 正方形的对角线等于圆的直径；c. 正方形的面积等于圆的面积的四分之一。
外方内圆：a. 圆的直径等于正方形的对角线；b. 正方形的边长等于圆的直径的二分之一；c. 圆的面积等于正方形面积的2π。
三、定理证明1. 圆的直径是正方形的边长。
证明：连接圆心和正方形的任意一边中点，两边均等，又因为圆心和中点重合，所以圆的直径等于正方形的边长。
2. 正方形对角线等于圆的直径。
证明：圆心连对角线中点，可知等腰直角三角形成立，而直角三角形的斜边就是正方形的对角线，所以正方形对角线等于圆的直径。
3. 正方形的面积等于圆的面积四分之一。
证明：圆心到正方形任意一边的距离等于正方形边长的一半，所以圆的半径是正方形的一半。
故圆面积为πr²=π×(a/2)²=(π/4) × a²，正方形面积为a²。
外方内圆和外圆内方知识点
外方内圆和外圆内方引言圆是几何学中的一种基本图形，具有许多有趣的性质和应用。
在圆的研究中，外方内圆和外圆内方是两个重要的概念。
它们分别描述了一个正方形包含一个内切圆和一个圆包含一个内接正方形的情况。
这两个概念在几何学和工程学中都有广泛的应用。
本文将对外方内圆和外圆内方进行全面、详细和深入的探讨。
外方内圆外方内圆是指一个正方形内切一个圆。
我们先来探讨一下外方内圆的一些基本性质。
性质1：半径比对于一个正方形和内切圆，它们之间的半径有一个固定的比例关系。
设正方形的边长为L，内切圆的半径为r，则有：L = 2r。
这个比例关系对于所有外方内圆都成立。
性质2：面积比正方形和内切圆之间的面积也有一个固定的比例关系。
设正方形的面积为A，内切圆的面积为B，则有：A = 4B。
换句话说，外方内圆所占的比例恒定为4∶π。
性质3：圆心位置内切圆的圆心与正方形的中心重合。
这是因为正方形的对角线恰好通过内切圆的圆心，而对角线的交点即为正方形的中心。
性质4：角度关系正方形的边和内切圆的切线之间存在特定的角度关系。
对于任意一条正方形的边和与之相切的圆上一点，这两者之间的夹角恰好为45°。
外圆内方外圆内方是指一个圆内接一个正方形。
接下来我们将讨论一些外圆内方的性质。
性质1：边长比对于一个圆和内接正方形，它们之间的边长也有一个固定的比例关系。
设圆的直径为D，正方形的边长为L，则有：D = √2L。
这个比例关系对于所有外圆内方都成立。
性质2：面积比圆和内接正方形之间的面积也有一个固定的比例关系。
设圆的面积为A，正方形的面积为B，则有：A = πB。
换句话说，外圆内方所占的比例恒定为π∶2。
性质3：圆心位置内接正方形的中心和圆心是同一个点。
这是因为正方形的对角线恰好通过圆心，而对角线的交点即为正方形的中心。
性质4：角度关系正方形的对角线和与之相切的圆弧之间存在特定的角度关系。
对于任意一条正方形的对角线和与之相切的圆上一点，这两者之间的夹角恰好为90°。
外圆内方和外方内圆的面积公式
外圆内方和外方内圆的面积公式
外圆内方和外方内圆是平面图形中常见的两个组合形态，它们的面积由一定的公式计算得出。
下面将会分别介绍外圆内方和外方内圆的面积公式及其应用。
一、外圆内方的面积公式
外圆内方是指一正方形内切于一个圆形，该圆形与正方形相切于其四个顶点。
外圆内方的面积公式如下：
S = πr²/2
其中，S代表正方形的面积，r代表圆的半径。
该公式表示，外圆内方的面积等于圆的面积的一半。
应用举例：
假设正方形的边长为10，求其内切圆的面积。
解：由于正方形内切于圆，则圆的直径等于正方形的对角线长，即10√2。
故圆的半径r=5√2。
带入公式S = πr²/2，得到答案S = 25π。
二、外方内圆的面积公式
外方内圆是指一个圆形内含于一个正方形，该正方形的四个顶点位于
圆周上。
外方内圆的面积公式如下：
S = (2-π)r²
其中，S代表圆的面积，r代表圆的半径。
该公式表示，外方内圆的面
积等于圆的面积与正方形面积之差。
应用举例：
假设正方形的边长为10，求其内含圆的面积。
解：进一步分析可得，正方形对角线长等于圆的直径，即10√2为圆直径。
所以圆的半径r=5√2/2。
带入公式S = (2-π)r²，得到答案S ≈ 11.32。
以上是外圆内方和外方内圆的面积公式及应用的介绍。
这两种形态的
应用十分广泛，常见于建筑物设计、广场景观等领域。
外方内圆和外圆内方的计算公式
一、外方内圆的计算公式外方内圆是指一个正方形内切于一个圆，我们可以通过一些简单的几何学知识来计算外方内圆的相关参数。
假设这个正方形的边长为a，圆的半径为r，那么我们可以根据几何性质得出以下的计算公式：1. 外方的对角线长外方的对角线长等于外方边长的平方根的两倍，即D = √2 * a2. 外方的面积外方的面积等于外方边长的平方，即A = a^23. 外方的周长外方的周长等于外方边长的四倍，即P = 4 * a4. 内圆的直径内圆的直径等于外方边长，即d = a5. 内圆的半径内圆的半径等于外方边长的一半，即r = a / 26. 内圆的面积内圆的面积等于π乘以内圆半径的平方，即A' = π * (a/2)^2内圆的周长等于π乘以内圆直径，即P' = π * a二、外圆内方的计算公式外圆内方是指一个圆内切于一个正方形，同样通过几何学知识我们可以得到外圆内方的计算公式。
假设这个正方形的边长为a，圆的半径为r，那么我们可以得到以下的计算公式：1. 外圆的直径外圆的直径等于外方边长，即D = a2. 外圆的半径外圆的半径等于外方边长的一半，即r = a / 23. 外圆的面积外圆的面积等于π乘以外圆半径的平方，即A = π * (a/2)^24. 外圆的周长外圆的周长等于π乘以外圆直径，即P = π * a5. 内方的对角线长内方的对角线长等于内方边长的平方根的两倍，即d = √2 * a内方的面积等于内方边长的平方，即A' = a^27. 内方的周长内方的周长等于内方边长的四倍，即P' = 4 * a通过以上的计算公式，我们可以在实际问题中更加方便地计算外方内圆和外圆内方的相关参数，在工程设计和数学问题中都能得到应用。
对于建筑设计和工程计算来说，这些计算公式能够更加准确地确定各个图形的尺寸，对于数学问题来说，这些公式也能够帮助我们更好地理解几何学知识和解决几何题目。
了解外方内圆和外圆内方的计算公式对于我们来说是非常重要的。
《外方内圆,外圆内方》(教案)六年级上册数学人教版
《外方内圆，外圆内方》（教案）六年级上册数学人教版教案：《外方内圆，外圆内方》一、教学内容本节课的教学内容选自人教版六年级上册数学教材，具体为第五章“圆”的第三节“圆的内接四边形和外切四边形”。
本节内容主要介绍圆的内接四边形和外切四边形的性质及其判定方法。
二、教学目标1. 让学生掌握圆的内接四边形和外切四边形的性质及判定方法。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和创新能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：圆的内接四边形和外切四边形的判定方法。
2. 教学重点：圆的内接四边形和外切四边形的性质及其应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
2. 学具：直尺、圆规、剪刀、彩笔。
五、教学过程1. 情境引入：利用多媒体课件展示生活中的圆形物体，如硬币、圆桌、地球等，引导学生关注圆形的特征。
2. 探究圆的内接四边形和外切四边形的性质：（1）引导学生观察圆的内接四边形和外切四边形的图形，发现它们的特征。
（2）引导学生通过画图、剪裁等方式，验证圆的内接四边形和外切四边形的性质。
3. 讲解圆的内接四边形和外切四边形的判定方法：（2）运用判定方法，解决实际问题。
4. 巩固练习：设计一些具有代表性的练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。
5. 课堂小结：六、板书设计1. 圆的内接四边形的性质（1）对角互补（2）相邻角互补2. 圆的外切四边形的性质（1）对角互补（2）相邻角互补3. 圆的内接四边形和外切四边形的判定方法（1）内接四边形：四边形内接于圆（2）外切四边形：四边形外切于圆七、作业设计1. 题目：判断下列四边形是否为圆的内接四边形或外切四边形，并说明理由。
图1：四边形ABCD内接于圆O。
图2：四边形ABCD外切于圆O。
2. 答案：图1：四边形ABCD是圆的内接四边形，因为对角互补，相邻角互补。
图2：四边形ABCD是圆的外切四边形，因为对角互补，相邻角互补。
人教版六年级上册第五单元《圆的面积——外圆内方和外方内圆》教案
举例：引导学生分析外圆内方和外方内圆的面积计算步骤，明确先求哪个图形的面积，再进行相应的运算。
（3）解决实际问题的应用：将所学知识应用于解决生活中的实际问题，是学生需要突破的难点。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对外圆内方和外方内圆的概念掌握得还不错，但在实际运用面积公式进行计算时，部分学生还是显得有些吃力。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生对公式运用的熟练程度。
在导入新课环节，通过提问生活中的实例，学生们能够很快地进入学习状态，这表明实例导入法对于激发学生的学习兴趣是相当有效的。但在新课讲授过程中，我发现有些学生对理论知识的接受程度并不高，可能是我讲授的方式不够生动形象，也有可能是学生对这部分内容的理解还不够深入。
举例：通过画图、剪裁、拼接等实际操作，让学生直观地感受外圆内方和外方内圆的面积计算方法。
2.教学难点
（1）空间观念的建立：对于六年级学生来说，空间观念正在逐步形成，如何让学生在脑海中构建出外圆内方和外方内圆的图形，是本节课的一个难点。
举例：利用教具、模型或多媒体展示，帮助学生建立空间观念，更好地理解图形的面积计算。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的以下能力：1.空间观念与几何直观：通过外圆内方和外方内圆的学习，提高学生对图形面积的认识，增强空间观念和几何直观能力；2.逻辑思维与问题解决：培养学生运用圆的面积公式进行推理和计算，解决实际问题的能力，提高逻辑思维水平；3.数学抽象与模型构建：使学生能够从具体实例中抽象出数学模型，构建外圆内方和外方内圆的面积计算方法，提升数学抽象和模型构建能力。通过本节课的学习，让学生在实际问题中体会数学的价值，培养数学素养。
外圆内方和外方内圆的面积的圆形和正方形的比
外圆内方和外方内圆的面积的圆形和正方形的比1、外圆内方：内方的对角线即是外圆的直径，它将内方平均分成了两个以外圆直径为底，半径为高的三角形。
内方的对角线=外圆的直径d=外圆的半径r的2倍=2r.内正方形面积=2S三角形=2×12ah=2×（12×内方的对角线×12内方的对角线）=2×（12d×r）【=2×(12d×12d)=2×14d2 =对角线的平方除以2】=2×(12×2r×r)=2r2外圆的面积=Πr2=3.14r2，内圆面积∶外正方形面积=3.14r2∶2r2=3.14∶2=157∶100=1.57∶1内圆面积－外正方形面积=Πr2－2r2=3.14r2－2r2=1.14r2内圆面积∶（圆面积－正方形面积）=Πr2∶（Πr2－2r2）=3.14∶1.14=314∶114 （圆面积－正方形面积）∶外正方形面积=1.14r2∶2r2=1.14∶2=0.57∶1已知外圆的面积求内方的面积：S内方= S外圆÷1.57已知内方的面积求外圆的面积：S外圆=1.57S内方已知内方的面积求（圆面积－正方形面积）：S(圆面积－正方形面积)=0.57 S内方已知外圆的面积求（圆面积－正方形面积）：S(圆面积－正方形面积)=114 S外圆÷3142、外方内圆：内圆的直径d=外正方形边长a ，内圆的面积=Πr 2=Π(d2)2=14Πd 2=Π(a 2)2= 14Πa 2=14×3.14a 2外正方形面积=a 2=(2r)2=4r 2内圆面积∶外正方形面积=Πr 2∶4r 2=3.14∶ 4=157∶200=78.5∶100 外正方形面积－内圆面积=4r 2－Πr 2=（4－3.14）r 2=0.85r 2外正方形面积∶（外正方形面积－内圆面积）=4r 2∶0.85r 2=4∶0.85=1∶0.215 内圆面积∶（外正方形面积－内圆面积）=Πr 2 ∶0.85r 2=3.14∶0.85=314∶85已知外方的面积求（外方面积－内圆面积）：S （外方－内圆）=0.215 S 外方。
外方内圆和外圆内方知识点
外方内圆和外圆内方知识点
外方内圆和外圆内方是两种常见的几何形状，常用于描述某些物体的特征或属性。
下面将分别介绍外方内圆和外圆内方的定义、特点以及一些相关的应用。
1. 外方内圆：
外方内圆可以简单地理解为一个圆嵌套在一个正方形中，圆的直径与正方形的边长相等，并且圆的边界与正方形的四个顶点相切。
外方内圆具有以下特点：
1) 外方内圆的直径等于外接正方形的边长。
2) 正方形的对角线恰好等于圆的直径。
3) 外方内圆的面积等于正方形的面积与圆的面积之和。
外方内圆的应用非常广泛，常见的例如：篮球场、足球场等运动场地，其中中心的圆就可以看作是外方内圆。
2. 外圆内方：
外圆内方即一个圆外接在一个正方形的四个顶点上，外接圆的圆心与正方形的四个顶点重合。
外圆内方具有以下特点：
1) 外接圆的直径等于正方形的边长。
2) 正方形的对角线是圆的直径。
3) 正方形的面积等于外接圆的面积的两倍。
外圆内方也有许多重要的应用，例如：
1) 在城市设计中，许多花坛、广场等景观设计中常常使用外圆内方形状。
这种形状具有简洁、对称的特点，能够为城市增添美感。
2) 在建筑设计中，如圆柱形建筑物的平面布局常采用外圆内
方形状，能够提供更好的内部空间利用率。
3) 外圆内方也是徽章、徽章等一些设计上常使用的形状，简
洁大方，容易辨识。
综上所述，外方内圆和外圆内方是两种常见的几何形状，在实际生活和工作中有广泛的应用。
了解这两种形状的特点和应用，可以帮助我们更好地理解和应用几何知识。
外圆内方和外方内圆
可以借助刚才两组图探究 的结论得到，当半径是r 时，它们分别是…… 大正方形、圆和小正方形的面积比是（ 4:π:2 ）。
三、沟通联系
大正方形、圆和小正方形的面积有什么关系呢？
这里圆外面大正方形的面 积是圆里面小正方形面积 的2倍。
可以借助刚才两组图探究 的结论得到，当半径是r 时，它们分别是……
圆面积：π×1²＝π 正方形面积：2×2＝4
假如圆的半径是2、3……呢？
圆和正方形的面积 比是（ π:4 ）
你能验证吗？
圆的 半径
1 2 3 r
圆面积
π 4π 9π πr²
正方形 面积
4 16 6 4r²
圆和正方 形面积比
π:4 π:4 π:4 π:4
二、合作探究
2. 外圆内方
圆和正方形的面积 比是（ π:2 ）
你能验吗？
如图，把正方形分成两个三角形。
假设圆的半径是1。
圆面积：π×1²＝π
正方形面积：2×1÷2×2＝2
假如圆的半径是2、3……呢？
圆的 半径
1 2 3 r
圆面积
π 4π 9π πr²
正方形 面积
2 8 18 2r²
圆和正方 形面积比
π:2
π:2 π:2 π:2
三、沟通联系
大正方形、圆和小正方形的面积有什么关系呢？
外圆内方和外方内圆
圆
外圆内方和外方内圆
一、问题引入
想一想，正方形和圆的位置关系。
中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。
二、合作探究
探究：正方形和圆的面积有怎样的关系？
外方内圆
外圆内方
中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。
《外圆内方和外方内圆》
研究主题教学内容《外方内圆和外圆内方》杨冰飞教学年级六年级课时安排 1把握教材《外方内圆和外圆内方》是人教版六年级上册第五单元《圆》新增内容，是在学习了各平面图形的面积、圆的认识、圆的周长、圆的面积及圆环的面积的基础上学习的。
教材的文字和图片分析，由欣赏古代建筑物的图片引入，抽象出图形提出问题：你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？针对圆内方的图形，书上出现分割法，借助图形直观帮助学生突破“圆内方”难点。
最后，在学生反思验证过程中通过推理得到一般性规律，培养学生严谨的数学意识。
研究学生前置学习单：课前有对学生进行访谈以及前测， 95％的学生可以看出并且画图表达大正方形面积是小正方形面积的2倍。
100％的学生能理解圆的直径就是正方形的边长并区分圆的周长和面积的计算方法。
对于画圆内最大的正方形，约50％的学生利用对折绘制；有30％的学生利用外切正方形绘制。
可以看出，对于外方内圆的面积，学生已经掌握，但是学生对观察组合图形间的关系经验比较欠缺，认识有限。
教学目标预设整体教学目标上限目标下限目标适合学生1.结合具体情境，学生通过画图、分析、推理等活动过程探究圆和正方通过画图、分析、推理等活动，在探究过程中掌握知识，建立数学模型，能掌握计算此类图形面积的方法，并能准确计算。
形的组合图形的面积差和面积比的关系，掌握计算此类图形面积的方法，并能准确计算。
灵活解决此类图形计算问题。
2、通过数学建模的过程，得到一般性结论，渗透分割法，借助图形旋转的动态方式帮助学生积累经验，发展几何直观，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
积累活动经验，发展几何直观，串联沟通已有的知识经验和活动经验，能方法迁移，解决类似数学问题，可以用动态的眼光看数学图形。
在小组讨论，全班交流的过程中，推理出一般性结论，应用结论，解决简单的外圆内方和外方内圆的问题。
3、结合例题渗透传统文化的教育，通过体验图形和生活的联系感受数学的价值，提高学生对数学的兴趣。
外方内圆和外圆内方知识点
外方内圆和外圆内方知识点外方内圆和外圆内方是数学中的两个几何形状，它们具有一些特殊的性质和应用。
在本文中，我们将详细介绍外方内圆和外圆内方的知识点。
一、外方内圆1. 定义：外方内圆是指一个正方形的四个顶点分别与一个圆相切。
2. 性质：a. 外接圆：外方内圆的四个顶点共同确定了一个圆，称为外接圆。
b. 对角线：正方形的对角线经过外接圆的直径。
c. 角度关系：正方形的对角线与边长之比为√2，即对角线长度为边长乘以√2。
d. 面积关系：正方形的面积等于外接圆面积的两倍。
3. 应用：a. 工程设计：在建筑设计中，外方内圆常用于构造具有稳定性和美观性的结构。
b. 地理测量：测量地球表面时，可以使用正方形和其外接圆来近似表示地球的形状。
二、外圆内方1. 定义：外圆内方是指一个圆与一个正方形相切，且该正方形的四条边都与圆相切。
2. 性质：a. 内切圆：外圆内方的四个顶点共同确定了一个圆，称为内切圆。
b. 对角线：正方形的对角线是内切圆的直径。
c. 角度关系：正方形的对角线与边长之比为√2，即对角线长度为边长乘以√2。
d. 面积关系：正方形的面积等于内切圆面积的两倍。
3. 应用：a. 工程设计：外圆内方常用于设计具有良好流动性和稳定性的物体，如水泵叶轮、风力发电机桨叶等。
b. 制造业：在制造过程中，外圆内方可以用来精确定位和测量工件。
三、外方内圆和外圆内方的区别1. 形状：外方内圆是一个正方形加一个内切圆，而外圆内方是一个正方形加一个外接圆。
2. 圈数：在外方内圆中，正方形围绕着内切圆旋转一周；而在外圆内方中，正方形围绕着外接圆旋转一周。
3. 应用场景：外方内圆常用于建筑和地理测量等领域，而外圆内方常用于工程设计和制造业等领域。
总结：外方内圆和外圆内方是两个几何形状，它们具有一些相似的性质和应用。
外方内圆是一个正方形加一个内切圆，而外圆内方是一个正方形加一个外接圆。
它们在角度关系、面积关系和对角线等方面有一些共同的特点。
外圆内方和外方内圆的公式
外圆内方和外方内圆的公式外圆内方和外方内圆都是特殊的图形，它们都拥有自己的公式。
在几何学中，这些公式被用来计算这些图形的面积以及其他相关的特征。
在本文中，我们将深入探讨外圆内方和外方内圆的公式及其应用。
一、外圆内方的公式外圆内方，简称外接正方形，是如图所示的以圆的直径为对角线的正方形。
此时，正方形的边长就是圆的直径。
因为外圆内方是一个正方形，因此可以使用正方形的面积公式计算其面积。
外圆内方的面积等于正方形的边长的平方，即S=a²。
其中，a代表正方形的边长，这也是圆的直径。
二、外方内圆的公式外方内圆，简称内切圆，是如图所示的刚好与正方形相切的圆形。
内切圆的半径r等于正方形边长a的一半。
因为内切圆是一个圆形，所以我们需要使用圆形的面积公式来计算其面积。
外方内圆的面积等于圆的面积，公式为S=πr²。
其中，π是一个常数，约等于3.14。
因此，外方内圆的面积可以表示为S=π(a/2)²，S=π(a²/4)。
三、如何应用这些公式？了解了外圆内方和外方内圆的公式后，我们可以运用它们来计算相关的几何问题。
以下是一些例子。
例一：已知一个圆的半径为10cm，求它的外圆内方和外方内圆的面积。
答案：首先，外圆内方的边长等于圆的直径，即20cm。
因此，外圆内方的面积为S=20²=400cm²。
其次，内切圆的半径等于10cm，因此其面积为S=π(10/2)²=25π≈78.5cm²。
例二：已知一个正方形的面积为36cm²，求它的外圆内方和外方内圆的面积。
答案：首先，正方形的边长等于根号下面积，即a=√36=6cm。
因此，外圆内方的面积为S=6²=36cm²。
其次，内切圆的半径等于正方形边长的一半，即r=3cm。
因此，其面积为S=π(3/2)²=2.25π≈7.07cm²。
结论：外圆内方和外方内圆是重要的几何图形，我们可以使用它们的公式来计算它们的面积和其他相关的特征。
人教版六年级上册第五单元《圆的面积——外圆内方和外方内圆》教学设计
人教版六年级上册第五单元《圆的面积——外圆内方和外方内圆》教学设计在教学设计中，我会详细阐述教学内容、教学目标、教学难点与重点、教具与学具准备、教学过程、板书设计、作业设计以及课后反思与拓展延伸。
一、教学内容我打算用人教版六年级上册第五单元的《圆的面积——外圆内方和外方内圆》作为教学内容。
我会引导学生回顾之前学过的平面图形的面积计算方法，如正方形、长方形等。
然后，我会引入圆的面积的概念，并讲解圆的面积的计算公式。
接着，我会通过具体例题，让学生掌握外圆内方和外方内圆的面积计算方法。
二、教学目标通过这节课的学习，我希望学生能够理解并掌握圆的面积的概念和计算方法，能够灵活运用到实际问题中。
同时，我也希望学生能够理解并掌握外圆内方和外方内圆的面积计算方法，能够解决相关的实际问题。
三、教学难点与重点本节课的重点是让学生理解并掌握圆的面积的计算方法，以及外圆内方和外方内圆的面积计算方法。
而教学难点则是让学生理解并掌握圆的面积的概念，以及如何将圆的面积运用到实际问题中。
四、教具与学具准备我会准备多媒体课件、黑板、粉笔等教具，以及练习题、计算器等学具。
五、教学过程1. 实践情景引入：我会通过展示一些实际问题，如计算自行车轮胎的面积，引入圆的面积的概念。
2. 讲解圆的面积的概念和计算方法：我会用多媒体课件展示圆的面积的计算过程，并讲解圆的面积的计算公式。
3. 例题讲解：我会通过具体的例题，让学生掌握外圆内方和外方内圆的面积计算方法。
4. 随堂练习：我会给出一些练习题，让学生当场练习，巩固所学知识。
5. 板书设计：我会设计简洁明了的板书，突出圆的面积的计算公式和外圆内方、外方内圆的面积计算方法。
6. 作业设计：我会布置一些有关圆的面积计算的作业题，让学生课后巩固所学知识。
六、板书设计板书设计主要包括圆的面积的计算公式，以及外圆内方和外方内圆的面积计算方法。
七、作业设计1. 计算自行车轮胎的面积。
2. 计算一个直径为10厘米的圆的面积。
六年级上册数学教案《外圆内方和外方内圆》第三课时
六年级上册数学教案《外圆内方和外方内圆》第三课时教学目标1、认识“外方内圆”和“外圆内方”的组合图形的特征，学会正方形与圆之间部分面积的计算，能发现解决这类问题的一般规律。
2、在解决问题的过程中，通过思考，实践，探究的活动，提高提出问题，分析问题，解决问题的能力，发展推理能力。
3、体会图形与生活的联系，感受数学的价值。
教学重点在解决问题中积累数学经验。
教学难点学会计算“外方内圆”和“外圆内方”的正方形与圆之间的部分面积，能发现解决问题的规律。
教学过程一、情境引入课件出示天坛和地坛图片。
师：圆和正方形是我们熟悉的图形，中国传统的建筑，更是讲究天圆地方。
师：这些都是具有中国传统特色的建筑和器物，仔细观察比较，你有什么发现？预设：它们都是由圆和正方形组成的图形。
师：同学们能发现生活中的数学，下面我们一起来研究这两种组合图形。
二、探究新知1、认识“外方内圆”。
（1）尝试画圆。
尝试在正方形内画一个最大的圆,说一说你是怎么画的。
小结：以正方形对角线的交点为圆心，以正方形边长的一半为半径画圆。
师：我们把这种图形称为“外方内圆”。
2、认识“外圆内方”（1）尝试画圆。
让正方形的四个顶点都在圆上，使它成为圆内最大的正方形。
学生汇报。
小结：以正方形对角线的交点为圆心，正方形对角线的一半为半径。
（2）说说“外圆内方”和“外方内圆”的联系。
预设1：大正方形在圆外，小正方形在圆内。
预设2：这两幅图中，圆的大小相同。
3、解决问题中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。
下图中的两个圆半径都是1米，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？（1）提出问题正方形和圆之间部分的面积是多少？（2）分析与解答外方内圆：正方形的面积：2 × 2 = 4平方米圆的面积：3.14 × 1² = 3.14平方米面积差：4 – 3.14 = 0.86平方米外圆内方：三角形的面积：2 × 1 ÷ 2 = 1平方米正方形的面积：1 × 2 = 2平方米圆的面积：3.14 × 1² = 3.14 平方米面积差：3.14 – 2 =1.14平方米（3）回顾与反思1、提出问题：如果半径用字母r表式，怎么用公式表示面积差？外方内圆：正方形的边长：2r正方形的面积：（2r）²= 4r²圆的面积：πr²。
外方内圆》《外圆内方》教学反思
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《外方内圆》《外圆内方》教学反思
本课时主要是通过中国建筑中常常出现的“外圆内方”和“外方内圆”而引出的圆与正方形面积间的问题。
在本节课中探究圆与正方形的关系是重点，需要学生自己动手操作尝试画图体会两者间的关系
这节整课的难度非常大，它是在研究圆与它外切正方形的比是π:4，圆与它内接正方形的比是π:2的，有一定的难度，加上学生在学习圆的面积计算时，根本没有直接用π来计算，而是用来计算，所以这一节课要让学生用π来计算，又增加了一点新的难度。
本节课是一节思维训练课，难点就是研究两种关系：
1、通过让学生计算多个在正方形中画一个最大的圆，求出圆的
面积和正方形的面积，再计算它们的面积比。
2、通过让学生计算多个在圆内画一个最大的正方形，求出圆的
面积和正方形的面积，再计算它们的面积比。
然后运用这两个知识点解决实际问题。
而要得出这两个结论不能直接告诉学生，必须给学生足够的时间和空间经历观察、猜测、计算、推理等一系列数学活动。
1、在一个正方形中作一个最大的圆，圆的半径就是正方形边长
的一半，并在多个图中强调，让学生印象深刻。
3、学生在解决求圆内画一个最大正方形的面积时，提出的方法
很多，我在肯定学生的同时，要引导学生选择简单的方法计算，这样也为学生在计算中省下不少时间。
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研究主题教学内容《外方内圆和外圆内方》杨冰飞教学年级六年级课时安排 1把握教材《外方内圆和外圆内方》是人教版六年级上册第五单元《圆》新增内容，是在学习了各平面图形的面积、圆的认识、圆的周长、圆的面积及圆环的面积的基础上学习的。
教材的文字和图片分析，由欣赏古代建筑物的图片引入，抽象出图形提出问题：你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？针对圆内方的图形，书上出现分割法，借助图形直观帮助学生突破“圆内方”难点。
最后，在学生反思验证过程中通过推理得到一般性规律，培养学生严谨的数学意识。
研究学生前置学习单：课前有对学生进行访谈以及前测， 95％的学生可以看出并且画图表达大正方形面积是小正方形面积的2倍。
100％的学生能理解圆的直径就是正方形的边长并区分圆的周长和面积的计算方法。
对于画圆内最大的正方形，约50％的学生利用对折绘制；有30％的学生利用外切正方形绘制。
可以看出，对于外方内圆的面积，学生已经掌握，但是学生对观察组合图形间的关系经验比较欠缺，认识有限。
教学目标预设整体教学目标上限目标下限目标适合学生1.结合具体情境，学生通过画图、分析、推理等活动过程探究圆和正方通过画图、分析、推理等活动，在探究过程中掌握知识，建立数学模型，能掌握计算此类图形面积的方法，并能准确计算。
形的组合图形的面积差和面积比的关系，掌握计算此类图形面积的方法，并能准确计算。
灵活解决此类图形计算问题。
2、通过数学建模的过程，得到一般性结论，渗透分割法，借助图形旋转的动态方式帮助学生积累经验，发展几何直观，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
积累活动经验，发展几何直观，串联沟通已有的知识经验和活动经验，能方法迁移，解决类似数学问题，可以用动态的眼光看数学图形。
在小组讨论，全班交流的过程中，推理出一般性结论，应用结论，解决简单的外圆内方和外方内圆的问题。
3、结合例题渗透传统文化的教育，通过体验图形和生活的联系感受数学的价值，提高学生对数学的兴趣。
渗透数学文化，让学生用数学的眼光观察生活，提出有价值的数学问题体验数学与生活的联系，感受学习数学的乐趣。
教学重、难点教学重点：1.认识外方内圆和外圆内方的组合图形的特征2.掌握此类图形的面积方法教学难点：外圆内方的组合图形的特征分析教学准备随堂练习单，学习课件等教学空间形式教学过程教学环节教师引领学生活动特别设计意图及关注目标落实情况一、问题导入，明晰课题（一）谈话引入，引发思考1.学生前测作品呈现同学们，通过访谈和测试，了解到你们都认为把圆平均分成若干份，可以拼成近似的三角形、梯形、长方形、平行四边形，都可以推导出圆的面积公式。
不能拼成正方形。
2.思考：正方形与圆有什么关系？3.小结：看来正方形和圆也有很亲密的关系。
（二）图片欣赏，揭示课题1.呈现图片：2.中国建筑中经常见到这样的设计，这两个图有什么相同之处和不同之处？小结：我们把这样的设计分别称为“外方内圆”和“外圆内方”。
1.全班学生分享交流前测结果2.学生交流圆与正方形的关系。
生1：圆出于矩，割圆术，其他图形没有这样的特点。
3.在欣赏中国建筑图片中，感受正方形与圆组合的图形的特点：外圆内方和外方内圆的图形。
4.学生自主提问生1：两者面积比的关系生2：两者面积差的关系。
板书：外方内圆和外圆内方1.学生前测单以及访谈的问题，找到学生的学习起点2.学生的想法：关于圆与正方形的关系3.学生提出与价值的数学问题1.圆与正方形有亲密关系，引导学生思考：可以研究两者什么面积关系呢？面积不相等，还可以研究面积相差关系和倍数关系。
激发学生的好奇心，培养学生发现问题和提出问题的能力。
2.具体的情境创设，让学生抽象出图形，有前面的积累，可以帮助学生提出有价值的数学问题3.你想研究圆和正方形面积的什么关系呢？4.揭示课题：今天我们就一起研究外方内圆和外圆内方的面积。
二、合作交流，探究新知（一）探究外方内圆1.明确问题，正方形和圆之间部分的面积是多少？2.这个问题，你最少需要知道几个数据？补充条件：圆的半径是1米3.当圆的半径是r，外方内圆的面积差是多少？讨论交流。
汇报如下4.反思验证：ｒ可以表示数字几呢？验证一下，当r是1时，面积差成立。
（二）探究外圆内方1.呈现学生外圆内方作品2.说一说，你是怎么画的？3. 明确问题，正方形和圆之间部分的面积是多少？4.解决这个问题，你最少需要知道几个数据？5.挑战一下，只给一个条件：圆的半径是1米6.仔细观察画的图，有什（一）1.学生独立尝试，汇报解释每一步算式的意义。
2.小组讨论，交流字母r,外方内圆的面积差是多少？3.过渡到字母时，抽象成推理过程，得到一般性的规律，学生在这个过程中积累一般性的问题解决经验。
4.反思验证，再由一般性回到特殊性，培养学生反思严谨的数学习惯。
（二）1.学生画法：方法1：利用对折，画两条互相垂直的直径，连接交点绘制方法2：利用外切正方形，连接交点绘制。
1.基于学情前测分析，该问题简单，学生已经掌握。
2.给小组充分交流的时间，部分思维弱的学生推理一般化的规律时，可能不知道怎么表达，多给学生一些时间自我梳理，同时要不断鼓励表达自己的想法。
3.突破重难点时，利用好画图过程中的直观图，学1.经过观察、分析、推理获得一般性的规律，积累一般性的问题解决经验，反思验证再由一般性回到特殊性。
2.通过学生的画图过程，知道外圆内方的画法，为下面探究小正方形的面积提供直观图形，通过学生的对折方法，可以明显看出作图痕迹，根据痕迹，学生可以自然地联想到分割法和其它方法，进行推理探究，为突破难点提供经验积么发现？独立思考后，同桌互相交流。
（三）合作交流，深入探究1.分割法探究外圆内方根据画法一，想到分割法。
（1）分割成两个三角形结合学生回答课件展示。
（2）分割成四个小三角形2.外切大正方形，旋转法根据画法二，想到旋转法。
图（1）图（2）图（3）借助课件，观察图1和图2，有什么相同点和不同点吗？（1）图1是怎么变成图2呢？动画演示明确：图1中的圆和小正方形通过旋转得到图2，图形形状大小不变，面积不变。
（2）观察图2，思考小正方形面积还可以怎么计算？（3）根据学生的回答，呈现图（3）交流汇报如下：（4）改变数据，圆的半径是２、3、4米，计算出外圆内方面积差。
请任意选择一个数据计2.学生观察画的图，根据痕迹，学生可以自然地联想到分割法和其它方法。
（三）1.讨论交流，分享想法生1：小正方形看成两个三角形追问：三角形的底和高分别是多少？相当于什么？（底和高相当于圆的直径和半径。
）结合学生回答课件展示。
生2：分割成四个小三角形。
追问：每个三角形的底和高各是多少呢？相当于什么？（底和高相当于圆的半径。
）借助课件，呈现动态旋转图，帮助学生理解切割的三角形的底和高。
2.在多个例子中计算，学生在汇报中解释每一步算式的道理，帮生有脚手架。
4.旋转动态法，也是沟通学生的知识和经验，动态看图。
5.要充分给学生交流方法和算式的意义的时间，让学生在经验的基础上去推理，在反思验证中得到一般化结论。
累和方法。
3.分割的方法可以很好地解决，但是旋转的方法，圆外接大正方形，打开学生的思维，沟通联系之前学过的知识和经验：如前测的大正方形面积是小正方形面积的2倍，学生自然可以突破难点，化未知为已知。
算，汇报交流，具体说一说用的是什么方法。
（5）当圆的半径是r，外圆内方的面积差是多少？讨论交流。
3.汇报整理，交流验证（1）分割2个三角形方法（2）旋转法（3）反思验证：当r=2、3、4，时，成立。
（四）认识联系，完善脉络小结梳理：它们的面积比分别是多少？助学生积累经验，发现规律。
3.学生通过推理，得到一般性规律。
学生梳理圆，小正方形，大正方形的面积比的关系学生梳理知识的叙述，根据什么方法知道的，完善脉络体系。
三、应用新知，解决生活问题。
三、巩固练习，强化认识（一）基本过关（二）巩固提高（三）拓展延伸…1.基础练习学生直接应用外圆内方面积差的公式，也可以自己用方法推理出。
2.巩固提高学生1：通过外面画出整个大正方形后，可以知道大正方形的面积，通过面积比来算出圆的面积学生2：小正方形的面积就是1.解决方法多样，让学生能灵活应用所学知识来解决。
2.学生由内接正方形与外切大正形面积探究，将方法迁移到正方形的内分层练习，发展学生的数学思维。
发散思维，通过图形不断地延伸，学生由欣赏数学图形美上升到数学思维美，发现一般性规律，拓展学生的思维1.正方形的面积是2平方米，小圆和大圆的面积比是多少？2.动画演示：如果不停地画下去，你发现什么规律？ｒ２推理出圆的面积。
3.拓展延伸联系比的知识。
结论：正方形的面积从内到外依次扩大2倍，圆的面积从内到外也是依次扩大2倍。
接圆和外接圆的面积探究，并通过图形不断地延伸，发现一般性规律，拓展学生的思维。
四、全课总结，畅谈收获请看黑板回顾一下，通过本节课的学习，你有什么收获？谁来说一说。
学生自由总结。
谈感想，总结、提升，激发学生进一步学习的欲望。
学生回顾学习过程，对知识和方法的梳理，形成系统的知识体系。
板书设计外方内圆和外圆内方设计说明一、基于学情，以生为本，培养问题能力本堂课的每个环节学生是主体，坚持“以生为本”的教学理念，根据前测问题的精心设计，分析学情，准确把握教学重难点。
由数学文化，圆出于矩及中国建筑图片欣赏，抽象出图形，引发学生思考，发展学生发现问题、提出有价值的数学问题的能力，借助几何直观，培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、重视方法，积累经验，寻求解决路径1.追本溯源，动手操作搭支架学生第一次来研究不同图形间的面积关系，分析圆和内接正方形之间的联系是有一定的困难的。
追本溯源，图形是如何产生的？通过动手画外圆内方的过程，学生借助直观图形的作图痕迹，自然联想到分割法。
2.沟通联系，动态眼光看图形。