《外圆内方和外方内圆》

研究主题

教学内容《外方内圆和外圆内方》

杨冰飞教学年级六年级课时安排 1

把握

教材

《外方内圆和外圆内方》是人教版六年级上册第五单元《圆》新增内容，是在学习了各平面图形的面积、圆的认识、圆的周长、圆的面积及圆环的面积的基

础上学习的。教材的文字和图片分析，由欣赏古代建筑物的图片引入，抽象出图

形提出问题：你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？针对圆内方的图形，书上

出现分割法，借助图形直观帮助学生突破“圆内方”难点。最后，在学生反思验

证过程中通过推理得到一般性规律，培养学生严谨的数学意识。

研究

学生

前置学习单：

课前有对学生进行访谈以及前测， 95％的学生可以看出并且画图表达大正方形面积是小正方形面积的2倍。100％的学生能理解圆的直径就是正方形的边

长并区分圆的周长和面积的计算方法。对于画圆内最大的正方形，约50％的学

生利用对折绘制；有30％的学生利用外切正方形绘制。可以看出，对于外方内

圆的面积，学生已经掌握，但是学生对观察组合图形间的关系经验比较欠缺，认

识有限。

教学

目标

预设

整体教学目标上限目标下限目标适合学生

1.结合具体情

境，学生通过画图、

分析、推理等活动

过程探究圆和正方

通过画图、分析、

推理等活动，在探

究过程中掌握知

识，建立数学模型，

能掌握计算此类图

形面积的方法，并

能准确计算。

形的组合图形的面积差和面积比的关系，掌握计算此类图形面积的方法，并能准确计算。灵活解决此类图形计算问题。

2、通过数学建模的过程，得到一般性结论，渗透分割法，借助图形旋转的动态方式帮助学生积累经验，发展几何直观，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。积累活动经验，发

展几何直观，串联

沟通已有的知识经

验和活动经验，能

方法迁移，解决类

似数学问题，可以

用动态的眼光看数

学图形。

在小组讨论，全班

交流的过程中，推

理出一般性结论，

应用结论，解决简

单的外圆内方和外

方内圆的问题。

3、结合例题渗透传统文化的教育，通过体验图形和生活的联系感受数学的价值，提高学生对数学的兴趣。渗透数学文化，让

学生用数学的眼光

观察生活，提出有

价值的数学问题

体验数学与生活的

联系，感受学习数

学的乐趣。

教学重、难点教学重点：

1.认识外方内圆和外圆内方的组合图形的特征

2.掌握此类图形的面积方法

教学难点：

外圆内方的组合图形的特征分析

教学准备随堂练习单，学习课件等

教学空间

形式

教学过程

教学环节教师引领学生活动特别设计意图及

关注目标落实情

况

一、问题导

入，明晰课

题

（一）谈话引入，引发思考

1.学生前测作品呈现

同学们，通过访谈和测试，

了解到你们都认为把圆平均分

成若干份，可以拼成近似的三

角形、梯形、长方形、平行四

边形，都可以推导出圆的面积

公式。不能拼成正方形。

2.思考：正方形与圆有什

么关系？

3.小结：看来正方形和圆

也有很亲密的关系。

（二）图片欣赏，揭示课题

1.呈现图片：

2.中国建筑中经常见到这

样的设计，这两个图有什么相

同之处和不同之处？

小结：我们把这样的设计

分别称为“外方内圆”和“外

圆内方”。1.全班学生分享

交流前测结果

2.学生交流圆与

正方形的关系。

生1：圆出于矩，

割圆术，其他图

形没有这样的特

点。

3.在欣赏中国建

筑图片中，感受

正方形与圆组合

的图形的特点：

外圆内方和外方

内圆的图形。

4.学生自主提问

生1：两者面积比

的关系

生2：两者面积差

的关系。

板书：

外方内圆和外圆

内方

1.学生前

测单以及

访谈的问

题，找到学

生的学习

起点

2.学生

的想法：关

于圆与正

方形的关

系

3.学生提

出与价值

的数学问

题

1.圆与正方

形有亲密关

系，引导学生

思考：可以研

究两者什么

面积关系

呢？面积不

相等，还可以

研究面积相

差关系和倍

数关系。激发

学生的好奇

心，培养学生

发现问题和

提出问题的

能力。

2.具体的情

境创设，让学

生抽象出图

形，有前面的

积累，可以帮

助学生提出

有价值的数

学问题

3.你想研究圆和正方形面积的什么关系呢？

4.揭示课题：今天我们就一起研究外方内圆和外圆内方的面积。

二、合作交流，探究新知（一）探究外方内圆

1.明确问题，正方形和圆

之间部分的面积是多少？

2.这个问题，你最少需要

知道几个数据？

补充条件：圆的半径是1

米

3.当圆的半径是r，外方

内圆的面积差是多少？讨论交

流。

汇报如下

4.反思验证：ｒ可以表示

数字几呢？

验证一下，当r是1时，

面积差成立。

（二）探究外圆内方

1.呈现学生外圆内方作品

2.说一说，你是怎么画

的？

3. 明确问题，正方形和圆

之间部分的面积是多少？

4.解决这个问题，你最少

需要知道几个数据？

5.挑战一下，只给一个条

件：圆的半径是1米

6.仔细观察画的图，有什

（一）

1.学生独立尝

试，汇报解释每

一步算式的意

义。

2.小组讨论，交

流字母r,外方内

圆的面积差是多

少？

3.过渡到字母

时，抽象成推理

过程，得到一般

性的规律，学生

在这个过程中积

累一般性的问题

解决经验。

4.反思验证，再

由一般性回到特

殊性，培养学生

反思严谨的数学

习惯。

（二）

1.学生画法：

方法1：利用对

折，画两条互相

垂直的直径，连

接交点绘制

方法2：利用外切

正方形，连接交

点绘制。

1.基于学

情前测分

析，该问题

简单，学生

已经掌握。

2.给小组

充分交流

的时间，部

分思维弱

的学生推

理一般化

的规律时，

可能不知

道怎么表

达，多给学

生一些时

间自我梳

理，同时要

不断鼓励

表达自己

的想法。

3.突破重

难点时，利

用好画图

过程中的

直观图，学

1.经过观察、

分析、推理获

得一般性的

规律，积累一

般性的问题

解决经验，反

思验证再由

一般性回到

特殊性。

2.通过学生

的画图过程，

知道外圆内

方的画法，为

下面探究小

正方形的面

积提供直观

图形，通过学

生的对折方

法，可以明显

看出作图痕

迹，根据痕

迹，学生可以

自然地联想

到分割法和

其它方法，进

行推理探究，

为突破难点

提供经验积