全等三角形复习经典练习题.doc

全等三角形的判定题型

类型一、全等三角形的判定1——“边边边”

例题、已知：如图,AD = BC, AC=BD.试证明:ZCAD=ZDBC.

类型二、全等三角形的判定2——“边角边"

例题、已知，如图，在四边形ABCD中，AC平分ZBAD, CE1AB于E,并且

AE=- (AB+AD),求证：ZB+ZD=180° .

2

类型三、全等三角形的判定3——“角边角"

例题、已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ=NQ. 求证：HN=PM.

类型四、全等三角形的判定4——“角角边”

例题、已知RtAABC 中，AC=BC, ZC=90° , D 为AB 边的中点，ZEDF=90° , ZEDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC、CB于E、F.当ZEDF绕D点旋转到DE±AC于E时(如图1), 易证$脱欧+ 5*砰=［，△*；当NEDF绕D点旋转到DE

和AC不垂直时，在图2情况下，上

2

述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.

图1

图2

类型五、直角三角形全等的判定“HL

下列说法中，正确的画错误的画“X”，并举出反例画出图形.

(1)一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等・( )

(3) X.在ZXABC 和ZXABD 中，AB=AB,AD=AC, All为第三边上的高，如下图:

(2)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等・( )

(3)有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等・( )

(1)V； (2) X；在AABC 和ADBC 中，AB=DB, AE 和DF 是其中一边上的高，AE=DF

1、已知：如图，DE±AC, BF±AC, AD=BC, DE=BF. 求

证:AB〃DC.

2、如图，ZXABC 中，ZACB = 90° , AC=BC, AE 是BC 边上的中线,

过C作CFJLAE,垂足为F,过B作BD±BC交CF的延长线于D.

(1)求证：AE=CD；

(2)若AC = 12cm,求BD 的长.

启发：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法

为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件

三角形角平分线的性质

三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.

三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.

这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在

直线距离相等的点共有4个.如图所示：AABC的内心为尸，旁心为

4，匕,旦，这四个点到△ ABC三边所在直线距离相等.

角的平分线的性质及判定

1、如图，AD是NBAC的平分线，DEXAB,交AB的延长线于点E,

DF±AC于点F,且DB = DC.求证：BE = CF.

2、如图，AC=DB, APAC与APBD的面积相等.

求证:0P平分ZAOB.

启发：观察已知条件中提到的三角形APAC与APB。，

显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得•跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想

不到的效果.

3、如图，DC〃AB, NBAD和ZADC的平分线相交于E,过E的直线分别交

DC、AB于C、B两点.求证：AD=AB+DC.

类型一、全等三角形的性质和判定

如图，已知：AE±AB, AD±AC, AB=AC,

ZB=ZC, 求证：BD=CE.

类型二、巧引辅助线构造全等三角形

(1).作公共边可构造全等三角形：

1、在△ ABC 中，AB=AC.求证：ZB=ZC

(2).倍长中线法：

1、已知：如图所示，CE、CB分别是AABC与AADC的中线,

且ZACB=ZABC.求证：CD = 2CE.

2、若三角形的两边长分别为5和7,则第三边的中线长尤的取值范围是(

) A. 1

D.无法确定 (3) .作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：

r

如图，AD 是\ABC 的角平分线，H, G 分别在AC, AB ±,且HD=BD. (1)求证：NB 与 ZAHD 互补；

(2)若ZB+2ZDGA=180° ,请探究线段AG 与线段AH 、HD 之间 A -------------------------------- B

满足的等量关系，并加以证明.

(3) .利用截长(或补短)法作构造全等三角形：

1、如图，AD 是AABC 的角平分线，AB>AC,求证：AB-AOBD-DC

2、如图所示，已知AABC 中AB>AC, AD 是匕BAC 的平分线，

M 是AD 上任意一点，求证：MB —MCVAB —AC. B D c

启发：因为AB>AC,所以可在AB 上截取线段AE=AC,这时BE=AB —AC,如果连接EM,在左 BME 中，

显然有MB-MEVBE.这表明只要证明ME=MC,则结论成立.充分利用角平 分线的对称性，

截长补短是关键.

(4) .在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. \

1、如图所示，已知E 为正方形ABCD 的边CD 的中点， I I

点 F 在 BC ±,且ZDAE=ZFAE.求证：AF=AD+CF. B ---- F ~C

启发与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，

构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.四边形ABCD 为正方形，则匕 D

= 90° .而ZDAE=ZEAE 说明AE 为匕FAD 的平分线，按常规过角平分线上的点作出到 角两

边的距离，而E 到AD 的距离已有，只需作E 到AF 的距离EM 即可，由角平分线性质 可知

ME=DE. AE=AE. RtAAME 与RtZiADE 全等有AD=AM.而题中要证AF=AD+CF.根 据图知

AF=AM+MF.故只需证MF=FC 即可.从而把证AF=AD+CF 转化为证两条线段相 等的问题.

c

D C