高三数学一轮复习精品资料基础知识归纳整理

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高三数学一轮复习:基础知识归纳

第一部分 集合

1.理解集合中元素的意义.....是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还是因变量的取值?还是曲线上的点?…

2.数形结合....是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决

3.(1) 元素及集合的关系:U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.

(2)德摩根公式: ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. (3)

A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=Φ

U C A B R ⇔=

注意:讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况.

(4)集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空

子集有2n –1个;

非空真子集有2n –2个. 4.φ是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

第二部分 函数及导数

1.映射:注意: ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一或多对一. 2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;⑤换元法 ;

⑥利用均值不等式 2

2

2

2b a b a ab +≤

+≤; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、

绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(x a、x

cos等);⑨平方

sin、x

法;⑩导数法

3.复合函数的有关问题:

(1)复合函数定义域求法:

① 若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由

不等式a ≤ g(x) ≤ b解出

② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于

x∈[a,b]时,求g(x)的值域.

(2)复合函数单调性的判定:

①首先将原函数)]

(x

y=分解为基本函数:内函数)

g

u=及外

g

f

(

[x

函数)

f

y=

(u

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性

③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单

调性.

4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,

再下结论。

5.函数的奇偶性:

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件

....

⑵)

(

)

(x

(x

x

⇔.

-

f=

⇔;)

f

f是偶函数)

)

(

-

(x

(x

f是奇函数)

f

=

f-

x

⑶奇函数)

f在0处有定义,则0

(x

)0(=

f

⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函

数有相反的单调性

⑸若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性

6.函数的单调性: ⑴单调性的定义:

①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <; ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >; ⑵单调性的判定:①定义法:一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;②导数法(见导数部分);③复合函数法;④图像法

注:证明单调性主要用定义法和导数法。 7.函数的周期性:

(1)周期性的定义:对定义域内的任意x ,若有)()(x f T x f =+ (其中T 为非零常数),则称函数)(x f 为周期函数,T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。

(2)三角函数的周期:①π2:sin ==T x y ;②π2:cos ==T x y ;

③π==T x y :tan ;④|

|2:)cos(),sin(ωπ

ϕωϕω=+=+=T x A y x A y ;⑤|

|:tan ωπ

ω=

=T x y (3)及周期有关的结论:

)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f 的周期为a 2

8.基本初等函数的图像及性质:

㈠.⑴指数函数:)1,0(≠>=a a a y x ; ⑵对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ; ⑶幂函数:αx y = ()R ∈α ; ⑷正弦函数:x y sin =; ⑸余弦函数:x y cos = ; (6)正切函数:x y tan =;

⑺一元二次函数:02=++c bx ax (a ≠0); ⑻其它常用函数:

正比例函数:)0(≠=k kx y ;②反比例函数:)0(≠=k x

k y ;③函数

)0(>+

=a x

a

x y ㈡.

⑴分数指数幂:m n

a =1m n

m n

a

a

-

=

(以上0,,a m n N *>∈,且1n >).

⑵.①b N N a a b =⇔=log ; ②()N M MN a a a log log log +=;

③N M N M a a a

log log log -=; ④log log m n a a n

b b m

=. ⑶.对数的换底公式:log log log m a m N

N a

=.对数恒等式:log a N a N =.

9.二次函数:

⑴解析式:①一般式:c bx ax x f ++=2)(;

②顶点式:k h x a x f +-=2)()(,),(k h 为顶点; ③零点式:))(()(21x x x x a x f --= (a ≠0).

⑵二次函数问题解决需考虑的因素:

①开口方向;②对称轴;③端点值;④及坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。

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